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10.7E : Variation des paramètres pour les systèmes linéaires non homogènes (exercices) - Mathématiques


Q10.7.1

Dans Exercices 10.7.1-10.7.10 trouver une solution particulière.

1. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{-1}&{-4}{-1}&{-1}end{array} ight] {f y}+left[egin{array}{c}{21e^{4t}}{8e^{-3t}} end{array} ight])

2. ({f y}'=frac{1}{5}left[egin{array}{cc}{-4}&{3}{-2}&{-11} end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{50e^{3t}}{10e^{-3t}} end{array} ight] )

3. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{1}&{2}{2}&{1}end{array} ight]{f y }+gauche[egin{array}{c}{1}{t} end{array} ight])

4. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{-4}&{-3}{6}&{5}end{array} ight]{ bf y}+left[egin{array}{c}{2}{-2e^{t}} end{array} ight])

5. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{-6}&{-3}{1}&{-2}end{array} ight]{ f y}+left[egin{array}{c}{4e^{-3t}}{4e^{-5t}} end{array} ight])

6. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{0}&{1}{-1}&{0}end{array} ight]{f y}+gauche[egin{array}{c}{1}{t} end{array} ight])

7. ({f y}'=left[egin{array}{ccc}{3}&{1}&{-1}{3}&{5}&{1}{ -6}&{2}&{4}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{3}{6}{3} end{tableau} ight])

8. ({f y}'=left[egin{array}{ccc}{3}&{-1}&{-1}{-2}&{3}&{2} {4}&{-1}&{-2}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{1}{e^{t} }{e^{t}} end{array} ight])

9. ({f y}'=left[egin{array}{ccc}{-3}&{2}&{2}{2}&{-3}&{2} {2}&{2}&{-3}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{e^{t}}{e^{ -5t}}{e^{t}} end{array} ight])

10. ({f y}'=frac{1}{3}left[egin{array}{ccc}{1}&{1}&{-3}{-4}&{ -4}&{3}{-2}&{1}&{0}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{e^{ t}}{e^{t}}{e^{t}} end{array} ight])

Q10.7.2

Dans Exercices 10.7.11-10.7.20 trouver une solution particulière, étant donné que (Y) est une matrice fondamentale pour le système complémentaire.

11. ({f y}'=frac{1}{t}left[egin{array}{cc}{1}&{t}{-t}&{1}end{ array} ight]{f y}+tleft[egin{array}{c}{cos t}{sin t}end{array} ight];quad Y=t gauche[egin{array}{cc}{cos t}&{sin t}{-sin t}&{cos t}end{array} ight])

12. ({f y}'=frac{1}{t}left[egin{array}{cc}{1}&{t}{t}&{1}end{array } ight]{f y}+left[egin{array}{c}{t}{t^{2}}end{array} ight];quad Y=tleft[ egin{array}{cc}{e^{t}}&{e^{-t}}{e^{t}}&{-e^{-t}}end{array} ight ])

13. ({f y}'=frac{1}{t^{2}-1}left[egin{array}{cc}{t}&{-1}{-1} &{t}end{array} ight]{f y}+tleft[egin{array}{c}{1}{-1}end{array} ight];quad Y=gauche[egin{array}{cc}{t}&{1}{1}&{t}end{array} ight])

14. ({f y}'=frac{1}{3}left[egin{array}{cc}{1}&{-2e^{-t}}{2e^{t }}&{-1}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{e^{2t}}{e^{-2t}} end{array} ight];quad Y=left[egin{array}{cc}{2}&{e^{-t}}{e^{t}}&{2}end {tableau} ight])

15. ({f y}'=frac{1}{2t^{4}}left[egin{array}{cc}{3t^{3}}&{t^{6}} {1}&{-3t^{3}}end{array} ight]{f y}+frac{1}{t}left[egin{array}{c}{t^{ 2}}{1}end{array} ight];quad Y=frac{1}{t^{2}}left[egin{array}{cc}{t^{3} }&{t^{4}}{-1}&{t}end{array} ight])

16. ({f y}'=left[egin{array}{cc}{frac{1}{t-1}}&{-frac{e^{-t}}{t- 1}}{frac{e^{t}}{t+1}}&{frac{1}{t+1}}end{array} ight]{f y}+left [egin{array}{c}{t^{2}-1}{t^{2}-1}end{array} ight];quad Y=tleft[egin{array }{cc}{t}&{e^{-t}}{e^{t}}&{t}end{array} ight])

17. ({f y}' = frac{1}{t}left[egin{array}{ccc}{1}&{1}&{0}{0}&{2} &{1}{-2}&{2}&{2}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{1}{2 }{1}end{array} ight];quad Y=left[egin{array}{ccc}{t^{2}}&{t^{3}}&{1} {t^{2}}&{2t^{3}}&{-1}{0}&{2t^{3}}&{2}end{array} ight])

18. ({f y}' = left[egin{array}{ccc}{3}&{e^{t}}&{e^{2t}}{e^{-t} }&{2}&{e^{t}}{e^{-2t}}&{e^{-t}}&{1}end{array} ight]{f y}+ left[egin{array}{c}{e^{3t}}{0}{0}end{array} ight];quad Y=left[egin{array}{ ccc}{e^{5t}}&{e^{2t}}&{0}{e^{4t}}&{0}&{e^{t}}{e^{3t} }&{-1}&{-1}end{array} ight])

19. ({f y}' = frac{1}{t}left[egin{array}{ccc}{1}&{t}&{0}{0}&{1} &{t}{0}&{-t}&{1}end{array} ight]{f y}+left[egin{array}{c}{t}{t }{t}end{array} ight];quad Y=tleft[egin{array}{ccc}{1}&{cos t}&{sin t}{0 }&{-sin t}&{cos t}{0}&{-cos t}&{-sin t}end{array} ight])

20. ({f y}' = -frac{1}{t}left[egin{array}{ccc}{e^{-t}}&{-t}&{1-e^ {-t}}{e^{-t}}&{1}&{-te^{-t}}{e^{-t}}&{-t}&{1-e^ {-t}}end{array} ight]{f y}+frac{1}{t}left[egin{array}{c}{e^{t}}{0} {e^{t}}end{array} ight];quad Y=frac{1}{t}left[egin{array}{ccc}{e^{t}}&{ e^{-t}}&{t}{e^{t}}&{-e^{-t}}&{e^{-t}}{e^{t}}&{ e^{-t}}&{0}end{array} ight])

Q10.7.3

21. Démontrer le théorème 10.7.1.

22.

  1. Convertir l'équation scalaire [P_0(t)y^{(n)}+P_1(t)y^{(n-1)}+cdots+P_n(t)y=F(t) ag{A} ] dans un système (n imes n) équivalent [{f y}'=A(t){f y}+{f f}(t). ag{B}]
  2. Supposons que (A) soit normal sur un intervalle ((a,b)) et que ({y_1,y_2,dots,y_n}) soit un ensemble fondamental de solutions de [P_0(t)y^ {(n)}+P_1(t)y^{(n-1)}+cdots+P_n(t)y=0 ag{C}] sur ((a,b)). Trouver une matrice fondamentale correspondante (Y) pour [{f y}'=A(t){f y} ag{D}] sur ((a,b)) telle que [ y=c_1y_1+c_2y_2+cdots+c_ny_n onumber ] est une solution de (C) si et seulement si ({f y}=Y{f c}) avec [{f c}= left[egin{array}{c}c_1c_2vdotsc_nend{array} ight] onumber ] est une solution de (D).
  3. Soit (y_p=u_1y_1+u_1y_2+cdots+u_ny_n) une solution particulière de (A), obtenue par la méthode de variation des paramètres pour les équations scalaires donnée dans la section 9.4, et définissons [{f u}= left[egin{array}{c}u_1u_2vdotsu_nend{array} ight]. onumber ] Montrez que ({f y}_p=Y{f u}) est une solution de (B).
  4. Soit ({f y}_p=Y{f u}) une solution particulière de (B), obtenue par la méthode de variation des paramètres des systèmes telle que donnée dans cette section. Montrer que (y_p=u_1y_1+u_1y_2+cdots+u_ny_n) est une solution de (A).

23. Supposons que la fonction matricielle (n imes n) (A) et la fonction (n)–vecteur ({f f}) soient continues sur ((a,b)) . Soit (t_0) dans ((a,b)), soit ({f k}) un vecteur constant arbitraire, et soit (Y) une matrice fondamentale pour le système homogène ({f y}'=A(t){f y}). Utiliser la variation des paramètres pour montrer que la solution du problème de la valeur initiale

[{f y}'=A(t){f y}+{f f}(t),quad {f y}(t_0)={f k} onumber ]

est

[{f y}(t)=Y(t)left( Y^{-1}(t_0){f k}+int_{t_0}^t Y^{-1}(s){ f f}(s), ds ight). onumber ]


Guide d'étude pour les principes fondamentaux de l'ingénierie (fe) Examen Cbt électrique et informatique

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Guide d'étude pour les principes fondamentaux de l'ingénierie (FE) Examen CBT électrique et informatique Deuxième édition

Pratiquez plus de 500 problèmes résolus avec des solutions détaillées, y compris les types d'éléments alternatifs

Wasim Asghar PE, ing., ing.

AVIS DE NON-RESPONSABILITÉ Ce livre est développé pour aider le lecteur dans la préparation de l'examen FE électrique et informatique. Il a subi plusieurs cycles de révision pour produire un texte de haute qualité. Cependant, il n'y a aucune représentation ou garantie, expresse ou implicite, concernant l'exhaustivité, l'exactitude, la fiabilité, la pertinence ou la disponibilité des informations, produits ou graphiques associés contenus dans ce livre à quelque fin que ce soit. L'auteur n'accepte aucune responsabilité légale pour le contenu qu'il contient. En utilisant ce livre, le lecteur s'engage à indemniser et à dégager de toute responsabilité l'auteur et l'éditeur de tout dommage réclamé en raison du contenu de ce livre.

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Copyright © 2018 par Wasim Asghar. Tous les droits sont réservés. Aucune partie de cette publication ne peut être reproduite, stockée dans un système de récupération ou transmise sous quelque forme ou par quelque moyen que ce soit, électronique, mécanique, photocopie, enregistrement ou autre, sans l'autorisation écrite préalable de l'auteur.

Imprimé par CreateSpace, une société Amazon.com ISBN-13 : 978-1985699717 ISBN-10 : 1985699710

Table des matières Préface 1 À propos de l'auteur 3 Chapitre # 1 - Mathématiques 4 Ensemble de problèmes # 1.1 - Algèbre et trigonométrie 5 Ensemble de problèmes # 1.2 - Nombres complexes 7 Ensemble de problèmes # 1.3 - Mathématiques discrètes et progressions 8 Ensemble de problèmes # 1.4 - Géométrie analytique 10 Ensemble de problèmes # 1.5 - Calcul 12 Ensemble de problèmes # 1.6 - Équations différentielles 15 Ensemble de problèmes # 1.7 - Analyse matricielle et vectorielle 16 Chapitre #2 - Probabilités et statistiques 18 Ensemble de problèmes # 2.1 - Mesures des tendances centrales 19 Ensemble de problèmes # 2.2 - Distributions de probabilité 20 Ensemble de problèmes n° 2.3 - Valeurs attendues et estimation pour une moyenne unique 21 Chapitre n° 3 - Éthique et pratique professionnelle 23 Ensemble de problèmes n° 3.1 - Codes de déontologie et loi type et règles NCEES® 24 Ensemble de problèmes n° 3.2 - Propriété intellectuelle 26 Chapitre n° 4 - Économie de l'ingénierie 27 Ensemble de problèmes # 4.1 - Valeur temporelle de l'argent 28 Ensemble de problèmes # 4.2 - Estimation des coûts 29 Ensemble de problèmes # 4.3 - Identification et analyse des risques 30 Chapitre # 5 - Propriétés des matériaux électriques 31 Pro Ensemble de problèmes # 5.1 - Propriétés chimiques 32 Ensemble de problèmes # 5.2 - Propriétés électriques 33 Ensemble de problèmes # 5.3 - Propriétés mécaniques 34 Ensemble de problèmes # 5.4 - Propriétés thermiques 35 Chapitre # 6 - Sciences de l'ingénieur 36 Ensemble de problèmes # 6.1 - Travail, énergie, puissance 37 Ensemble de problèmes # 6.2 - Électrostatique 39 Ensemble de problèmes # 6.3 - Capacité 40 Ensemble de problèmes # 6.4 - Inductance 41 Chapitre # 7 - Analyse de circuits 42 Ensemble de problèmes # 7.1 - Lois de Kirchoff - KCL, KVL43

Ensemble de problèmes # 7.2 - Circuits équivalents séries / parallèles 45 Ensemble de problèmes # 7.3 - Théorèmes de Thevenin et Norton 47 Ensemble de problèmes # 7.4 - Analyse de forme d'onde 49 Ensemble de problèmes # 7.5 - Phaseurs 50 Ensemble de problèmes # 7.6 - Impédance 52 Chapitre # 8 - Systèmes linéaires 54 Ensemble de problèmes # 8.1 - Fréquence / réponse transitoire 55 Ensemble de problèmes # 8.2 - Résonance 57 Ensemble de problèmes # 8.3 - Transformée de Laplace 59 Ensemble de problèmes # 8.4 - Fonctions de transfert 61 Ensemble de problèmes # 8.5 - Théorie des deux ports 63 Chapitre # 9 - Traitement du signal65 Problème Ensemble # 9.1 - Convolution en temps continu 66 Ensemble de problèmes # 9.2 - Convolution en temps discret 69 Ensemble de problèmes # 9.3 - Transformées en Z 71 Ensemble de problèmes # 9.4 - Échantillonnage 73 Ensemble de problèmes # 9.5 - Filtres 74 Chapitre # 1 0 - Électronique 76 Ensemble de problèmes # 10.1 - Fondamentaux des transistors 77 Ensemble de problèmes n° 10.2 - Diodes 78 Ensemble de problèmes n° 10.3 - BJT 80 Ensemble de problèmes n° 10.4 - MOSFET 83 Ensemble de problèmes n° 10.5 - Amplificateurs opérationnels 86 Ensemble de problèmes n° 10.6 - Instrumentation 88 Ensemble de problèmes n° 10.7 - Electronique de puissance 90 Chapitre # 1 1 - Alimentation 91 Ensemble de problèmes # 11.1 - Alimentation monophasée 92 Ensemble de problèmes # 11.2 - Alimentation/transmission et distribution triphasée 94 Ensemble de problèmes # 11.3 - Régulation de tension 96 Ensemble de problèmes # 11.4 - Transformateurs 97 Ensemble de problèmes # 11.5 - Moteurs et Générateurs 98 Ensemble de problèmes n° 11.6 - Facteur de puissance 99 Chapitre n° 12 - Électromagnétisme 100 Ensemble de problèmes n° 12.1 - Équations de Maxwell 101

Ensemble de problèmes n° 12.2 - Électrostatique / Magnétostatique 103 Ensemble de problèmes n° 12.3 - Lignes de transmission et propagation des ondes 104 Ensemble de problèmes n° 12.4 - Compatibilité électromagnétique 105 Chapitre n° 13 - Systèmes de commande 106 Ensemble de problèmes n° 13.1 - Schémas fonctionnels 107 Ensemble de problèmes n° 13.2 - Diagrammes de Bode 110 Ensemble de problèmes n° 13.3 - Erreurs d'état stable 113 Ensemble de problèmes n° 13.4 - Critères de Routh-Hurwitz et stabilité du système 115 Ensemble de problèmes n° 13.5 - Locus racine 116 Ensemble de problèmes n° 13.6 - Variables d'état 121 Chapitre n° 1 4 - Communications 123 Ensemble de problèmes n° 14.1 - Modulation d'amplitude 124 Ensemble de problèmes n° 14.2 - Modulation d'angle 126 Ensemble de problèmes n° 14.3 - Modulation par code d'impulsions (PCM) et modulation d'amplitude d'impulsions (PAM) 127 Ensemble de problèmes n° 14.4 - Transformées de Fourier 128 Ensemble de problèmes n° 14.5 - Multiplexage 129 Chapitre n° 1 5 - Réseaux informatiques 130 Ensemble de problèmes n° 15.1 - Routage et commutation 131 Ensemble de problèmes n° 15.2 - Topologies / Frameworks / Modèles de réseau 132 Ensemble de problèmes n° 15.3 - Réseaux locaux 133 Chapitre n° 16 - Systèmes numériques 134 Ensemble de problèmes n° 16.1 - Systèmes de nombres 135 Ensemble de problèmes n° 16.2 - Logique booléenne 136 Ensemble de problèmes n° 16.3 - Portes logiques 137 Ensemble de problèmes n° 16.4 - Cartes de Karnaugh 139 Ensemble de problèmes n° 16.5 - Tongs et compteurs 141 Ensemble de problèmes n° 16.6 - Machine à états Conception 144 Chapitre # 1 7 - Systèmes informatiques 146 Ensemble de problèmes # 17.1 - Architecture et interfaçage 147 Ensemble de problèmes # 17.2- Microprocesseur 149 Ensemble de problèmes # 17.3 - Technologie et systèmes de mémoire 150 Chapitre # 1 8 - Développement de logiciels 151 Ensemble de problèmes # 18.1 - Algorithmes 152 Ensemble de problèmes # 18.2 - Structures de données 153

Ensemble de problèmes # 18.3 - Méthodes de conception de logiciels/implémentation/test 154 Solutions 156 Chapitre #1 - Mathématiques 161 Chapitre #2 - Probabilités et statistiques 184 Chapitre #3 - Éthique et pratique professionnelle 192 Chapitre #4 - Économie de l'ingénierie 195 Chapitre #5 - Propriétés des matériaux électriques 201 Chapitre #6 - Sciences de l'ingénieur 205 Chapitre #7 - Analyse de circuits 210 Chapitre # 8 - Systèmes linéaires 219 Chapitre # 9 - Traitement du signal 228 Chapitre # 10 - Électronique 237 Chapitre # 11 - Puissance 253 Chapitre # 12 - Electromagnétique 264 Chapitre # 13 - Systèmes de contrôle 273 Chapitre # 14 - Communications 284 Chapitre # 15 - Réseaux informatiques 290 Chapitre # 16 - Systèmes numériques 293 Chapitre # 17 - Systèmes informatiques 303 Chapitre #18 - Développement de logiciels 308

Préface « La pratique rend parfait » s'applique aussi bien à la réussite de l'examen NCEES® FE qu'à toute autre chose. Le plus grand défi impliqué dans la préparation à l'examen FE est l'étendue des connaissances requises. Cependant, la doublure argentée est que les questions d'examen peuvent ne pas être très complexes. Par conséquent, il est important d'acquérir une compréhension fondamentale de tous les sujets (plus sur la stratégie de prise d'examen plus tard). Le public visé par ce livre comprend les étudiants de dernière année, les nouveaux diplômés et les professionnels chevronnés qui ont quitté l'école depuis un certain temps. Quoi de neuf dans la deuxième édition ? L'examen CBT du guide d'étude des principes fondamentaux de l'ingénierie (FE) en électricité et en informatique a été bien examiné par les étudiants. L'auteur s'est efforcé d'ajouter des problèmes pratiques difficiles, d'introduire de nouveaux concepts, d'offrir des solutions détaillées et de mettre à jour le contenu en général en fonction du dernier formulaire d'examen et des commentaires des étudiants. Les principaux changements dans la deuxième édition incluent : •

Plus de 100 nouveaux problèmes de pratique.

Ajout des mathématiques, des probabilités et des statistiques, de l'éthique et de la pratique professionnelle et de l'économie de l'ingénierie résultant en une couverture complète des 18 sections d'examen.

Types d'éléments alternatifs (AIT).

Solution étape par étape des problèmes nécessitant une explication détaillée.

Ajout de figures et de schémas de circuits dans les solutions pour une meilleure compréhension des étudiants.

Meilleure façon d'utiliser ce livre Ce livre couvre maintenant les 18 sections de l'examen NCEES® FE Electrical and Computer CBT. Il est centré sur l'idée de « l'apprentissage basé sur les problèmes ». Il est important de noter que le manuel de référence NCEES® FE sera le seul document de référence disponible pour les candidats pendant l'examen. En tant que tel, ce livre est conçu pour développer la familiarité du lecteur avec le manuel de référence. Il est suggéré aux étudiants de procéder à plusieurs révisions des sections applicables du manuel de référence NCEES® FE et de comprendre la théorie derrière les concepts et les formules pertinents en utilisant toutes les ressources disponibles. Il est recommandé d'essayer les problèmes de chaque chapitre juste après avoir étudié les concepts pertinents. Vous ne pourrez peut-être pas résoudre tous les problèmes du premier coup. Par conséquent, il est suggéré de prendre note des concepts nécessitant un examen plus approfondi. Une fois la théorie sous-jacente comprise, vous devriez revoir les problèmes et les réessayer. Après avoir résolu les problèmes, nous vous encourageons à revoir les solutions à la fin de ce livre pour reconfirmer les réponses et la méthodologie. Dans certains cas, il peut y avoir plusieurs façons de résoudre la même question, mais un effort a été fait pour présenter une technique de résolution efficace. Dans les cas impliquant des concepts et des théories inconnus, il est recommandé de rechercher un tel contenu pour acquérir la compréhension nécessaire. En fait, dans le cadre de l'effort de préparation à l'examen, les étudiants doivent réfléchir à la manière dont les questions peuvent être posées. 1 Matériel protégé par le droit d'auteur © 2018

Organisation de ce livre Chaque chapitre commence par une référence aux sections applicables et aux numéros de page du manuel de référence NCEES® FE, des commentaires concernant le niveau de difficulté de la section et des conseils et formules spécifiques à un sujet pour une préparation efficace à l'examen. Les solutions sont regroupées à la fin pour faciliter l'examen. Comme indiqué précédemment, ce livre est spécialement conçu pour développer la familiarité du lecteur avec le manuel de référence. Espérons qu'après avoir résolu tous les problèmes et examiné les solutions pertinentes, les étudiants seront en mesure de naviguer confortablement dans le manuel de référence NCEES® FE et de se rappeler rapidement les formules applicables pendant l'examen. Cela leur permettra de gagner un temps précieux lors des examens et d'améliorer leurs performances.

& Stratégies de prise d'examen informatique

Il est fortement suggéré d'acheter le dernier échantillon d'examen électrique et informatique NCEES® FE sur www.ncees.org pour une pratique supplémentaire. L'auteur suggère d'adopter l'une des stratégies suivantes pour passer l'examen FE Electrical and Computer CBT : Stratégie n° 1 - Trois rounds knock-out Premier round - Après avoir lu la question, classez-la dans l'une des quatre catégories suivantes "Facile", " Moyenne ', ' Difficile mais soluble ' ou ' Aucune idée '. Si c'est " Facile ou " Moyen ", résolvez-le tout de suite, sinon marquez-le et passez à autre chose. Après avoir terminé le premier tour, vous vous retrouverez avec les questions « Difficile mais résoluble » et « Aucune idée ». Deuxième tour - Parcourez la liste des questions signalées et essayez de résoudre les questions « difficiles mais solubles ». Retirez soigneusement les drapeaux des questions résolues. Après avoir terminé le deuxième tour, il ne vous restera plus que des questions « Aucune idée ». Troisième tour - En fonction du temps restant à l'examen, essayez de résoudre les questions restantes ou appliquez la méthode d'élimination. Vous ne devez en aucun cas laisser une question sans réponse. Stratégie # 2 - Détendez-vous, voyez et conquérir Cette stratégie fonctionne mieux pour les candidats audacieux. L'idée est de passer en revue toutes les questions dès le départ pour obtenir une vue d'ensemble de l'examen. Il est conseillé de signaler toutes les questions difficiles au cours du processus de lecture séquentielle, mais essayez de ne pas les résoudre tout de suite. Après avoir parcouru toute la section de l'examen (il y a une partie d'examen le matin et l'après-midi), vous vous sentirez, espérons-le, détendu et confiant, car la peur de l'inconnu s'atténuera. Vous devriez maintenant commencer à résoudre les questions non signalées, suivies des questions signalées. Tout le temps restant devrait être consacré à revérifier vos réponses. L'auteur a adopté la stratégie n° 1 en passant l'examen FE Electrical and Computer CBT qu'il a réussi au premier essai et la stratégie n° 2 en passant l'examen PE - Power qui a également été réussi au premier essai.

2 Matériel protégé par le droit d'auteur © 2018

Cours de préparation aux examens à la demande et examens pratiques

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Rapports d'errata et d'erreurs en ligne Ce livre a subi plusieurs cycles de révision et des efforts importants ont été déployés pour produire un texte de haute qualité. Cependant, il est concevable que certaines erreurs soient passées inaperçues. N'hésitez pas à signaler toute erreur, amélioration ou question sur comments(5)studvforfe.com. Veuillez visiter le site Web www.studyforfe.com pour consulter les errata confirmés en ligne.

À propos de l'auteur W asim Asghar est un ingénieur professionnel agréé au Texas (PE), en Floride (PE) et en Ontario (P. Eng) avec une expérience de conseil dans la conception, la mise en service et l'ingénierie de systèmes électriques pour des clients de premier plan dans diverses industries, notamment l'énergie, l'exploitation minière et la fabrication. Il est titulaire d'un baccalauréat en ingénierie - électrique avec distinction de l'Université McMaster, Hamilton, Canada (2010) et d'une maîtrise en ingénierie - systèmes électriques de l'Université de Toronto (2013) qui a été complétée par un travail à temps plein. En 2014, il a entrepris une mission de travail international de deux ans pour un projet majeur en Floride et a décidé de poursuivre la licence d'EP aux États-Unis. La route vers le permis d'exercice était difficile, principalement en raison du manque de matériel d'étude utile pour les examens FE et PE. W asim a réussi les deux examens du premier coup. Les leçons apprises au cours du processus de préparation à l'examen l'ont inspiré à écrire ce livre qui est conçu pour aider les futurs ingénieurs professionnels à mieux se préparer à l'examen FE Electrical and Computer. Remerciements Je suis vraiment reconnaissant pour le soutien offert par ces personnes merveilleuses : •

Mère - Farhat, pour avoir toujours cru en mes capacités

Père-A sg h ar, pour m'avoir fourni les bases pour atteindre mes objectifs

Femme - Amna, pour avoir fait partie de mes rêves

Frère - Fahim, pour avoir fourni une assistance continue pendant tout le cycle de vie de ce projet

Oncle - Jawad, pour avoir été un grand ami et mentor au fil des ans

Dédicace Ce livre est dédié à feu tante Nighat Parveen et feu grand-mère Nazira Begum qui m'ont donné un amour et une affection inestimables pendant mon enfance. 3 Matériel protégé par le droit d'auteur © 2018

Chapitre # 1 - Domaines de connaissances clés en mathématiques* NCEES® FE Reference Handbook

Algèbre et trigonométrie Nombres complexes Mathématiques discrètes Géométrie analytique Calcul Équations différentielles Algèbre linéaire Analyse vectorielle

1 1 -1 7 questions peuvent être attendues sur l'examen (selon la spécification NCEES® FE).

Les mathématiques sont la section la plus pondérée à l'examen.

Le niveau de difficulté de cette section est classé « Moyen » par l'auteur.

Conseils pour préparer cette section •

Comprendre les concepts trouvés sur les pages mentionnées ci-dessus du manuel de référence NCEES® FE.

Certains des concepts et équations les plus importants de cette section comprennent : ■

Algèbre - Equations de droites (général, pente-origine, point-pente, angle entre droites, distance entre points, droite perpendiculaire), Equation quadratique, Surface quadratique, Identités logarithmiques.

■ Nombres complexes - Forme rectangulaire, forme polaire, conversions entre formes rectangulaire et polaire, addition, soustraction, m ultiplication et division, identité d'Euler. ■ Trigonom ètrie -Fonctions trigonométriques, Loi des sinus, Loi des cosinus, Identités trigonométriques et simplification d'une expression trigonomique. ■ Mathématiques discrètes - Théorie des ensembles, Fonctions et méthodes de mappage, Graphes orientés. ■ Géométrie analytique - M ensuration des surfaces et des volumes, Sections coniques. ■ Calcul - Calcul différentiel, fonction max/min et dérivées, règle de L'Hospital, calcul intégral, intégrales définies et indéfinies. ■

Équations différentielles - solutions d'équations différentielles du 1er ordre - méthodes de séparation des variables et des facteurs intégrateurs, solutions d'équations différentielles du 2ème ordre.

■ Analyse matricielle et vectorielle - Opérations matricielles - addition, soustraction, m ultiplication, déterminant, transposition, inverse, Opérations vectorielles - produit scalaire, produit croisé. •

Résolvez les ensembles de problèmes sur les pages suivantes et passez en revue les solutions à la fin de ce livre.

*Les détails des spécifications de l'examen se trouvent aux pages 265-267 du manuel de référence NCEES® FE. 4 Matériel protégé par le droit d'auteur © 2018

Ensemble de problèmes n° 1.1 - Algèbre et trigonométrie Consultez le Manuel de référence NCEES® FE - Pages 23-24 tout en résolvant ces questions Problème 1.1 a) Résoudre pour x : lo g 3(3 x - 12) - lo g 3(x) = 2 ( A) 2

Problème 1.1 b) Résoudre pour x : ln (x ) + ln ( x + 8) = ln ( x — 12) (A) 0

Problème 1.1 c) Résoudre pour x : lo g 4( x 2 + 8 x + 17) = 0 (A) 4

Problème 1.1 d) lo g 5 7 peut être exprimé par s ___________in lo g 10. Problème 1.1 e) Simplifier l'expression trigonométrique suivante : s en 2 x (co t2 x + 1) (A) csc2 x (C) 0

Problème 1.1 f) Simplifier l'expression trigonométrique suivante : c o t2 X c o t2 X (A )s en 2 x

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Problème 1.1 g) Simplifier l'expression trigonométrique suivante : ( s in x + c o s x ) 2 — 1 (A) 0 (C) sin 2%

Problème 1.1 h) Dans le triangle ci-dessous, longueur du côté 'a' = _

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Ensemble de problèmes # 1.2 - Nombres complexes Consultez le Manuel de référence NCEES® FE - Page 23 tout en résolvant ces questions Problème 1.2 a) Laquelle des options suivantes représente (8 + 4j ) — (5 + 0j ) sous forme polaire ? (A) 3 + 4j

Problème 1.2 b) Laquelle des options suivantes représente (4 + 4y)/(2 + 3j ) sous forme polaire ? (A) 3 + 4j

Problème 1.2 c) Parmi les options suivantes, laquelle représente 2/30° x 4/15° sous forme rectangulaire ? (A) 8/4 5°

Problème 1.2 d) Parmi les options suivantes, laquelle représente 4/30° + 6/30° sous forme rectangulaire ? (A) 10/60°

Problème 1.2 e) 3 + 4j peut être exprimé par s __________ (A) 5 (cos 53° + j sin 53°)

Problème 1.2 f) Le conjugué complexe de Z = (2 + 67) x (3 + 3j ) est _

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Ensemble de problèmes n° 1.3 - Mathématiques discrètes et progressions Consultez le Manuel de référence NCEES® FE - Pages 22 et 30 tout en résolvant ces questions Problème 1.3 a) Lequel des ensembles suivants est un sous-ensemble approprié de l'ensemble <2, 4, 6, 8, 10,12> ? (UNE)

Problème 1.3b) Lequel des ensembles suivants est un sous-ensemble de l'ensemble ? (UNE)

Problème 1.3 c) <1, 2, 3, 4, 5>et sont des exemples d'ensembles _________. (A) Disjoint

Problème 1.3 d) Qu'est-ce que le produit cartésien de <1, 2>x ? (A) <(l,a),(l,b),(2,a),(2,b)>(B) <(l,a),(l,b),(l,c), (l,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d)>(C) <(a,l),(b,l),(c,l ),(d,l),(a,2),(b,2),(c,2),(d,2)>(D) Aucune de ces réponses Problème 1.3 e) Laquelle des relations suivantes( s) n'est pas un exemple de fonction ? (UNE)

Problème 1.3 f) <(a,l),(b,l),(c,2),(d,2)>est un exemple de fonction _______. (A) Injectif

Problème 1.3 g) Le 35e terme de progression donné ci-dessous est ________ .

2, 4, 6, 8, 10, 12 Problème 1.3 h)_______ est la somme d'une progression arithmétique avec 120 termes s pour lesquels le premier terme est 1 et le dernier terme est 259.

8 Matériel protégé par le droit d'auteur © 2018

Problème 1.3 i) Le 12e terme de progression donné ci-dessous est _______ . 3, 9, 27, 81 Problème 1.3 j)______ est la somme d'une progression géométrique pour laquelle le premier terme est 1, le dernier terme est 19683 et le rapport commun est 3. Problème 1.3 k) Sélectionnez la ou les régions appropriées représentant A n B.

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Ensemble de problèmes # 1.4 - Géométrie analytique Consultez le Manuel de référence NCEES® FE - Pages 22, 24 - 27 tout en résolvant ces questions Problème 1.4 a) Calculez l'angle entre deux droites donné en suivant l'équation.

Problème 1.4 b) Trouvez l'équation d'une droite passant par les points (2,10) et (3,12). (A) y = 3x + 12

Problème 1.4 c) L'équation d'une droite de pente de 2 et d'intersection de -5 est ______ . Problème 1.4 d) Sélectionnez la ou les options représentant une ligne droite perpendiculaire à la ligne donnée ci-dessous. y = 4x + 4 (A)y = —x/4

Problème 1.4 e) Une équation de section conique contenant seulement un terme x 2 ou un terme y 2 représente _______ . (A) Parabole (C) Ellipse

Problème 1.4 f) Une section conique donnée par l'équation 2(x — 1 0 )2 + 8 (y — 6 )2 = 200 représente____ (A) Parabole (C) Ellipse

Problème 1.4 g) L'excentricité de la section conique donnée dans le problème 1.4 f) est __________ . Problème 1.4 h) Une section conique donnée par l'équation 2(x — 1 0 )2 — 8 ( y — 6 )2 = 200 représente___ (A) Parabole (C) Ellipse

Problème 1.4 i) L'excentricité de la section conique donnée dans le problème 1.4 h) est __________ .

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Problème 1.4 j) Une section conique donnée par l'équation (y — 8 ) 2 = 4(x — 2) représente _______ . (A) Parabole

Problème 1.4 k) La directrice de section conique donnée dans le problème 1.4 j) est un t _________ . Problème 1.41) Le volume e d'un cylindre circulaire droit de rayon lm et de hauteur 2m est _______ . (A) 2,1 m3

Problème 1,4 m) L'aire d'un cône circulaire droit de rayon 2 m et de hauteur 4 m est ______ . (A) 40 m2

Problème 1.4 n) Laquelle des formes géométriques suivantes contiendra le plus grand volume de liquide à condition qu'elles aient le même rayon et la même hauteur ? (A) Cône circulaire droit (C) Paraboloïde de révolution

(B) Cylindre circulaire droit (D) Tous auront le même volume

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Ensemble de problèmes # 1.5 - Calcul Consultez le Manuel de référence NCEES® FE - Pages 27 - 29 tout en résolvant ces questions Problème 1.5 a) Calculez la dérivée de la fonction suivante.

f i x ') = 2 ta n 2 x + s dans 2 x (A) 4 tan x + 2 sin x

(C) 4 ta n x sec2 x + 2 sin x cos x

Problème 1.5 b) Calculer la dérivée de la fonction suivante. / ( x ) = 4 x 2 + 6x + 2 y 2 (A) 8 x + 6

Problème 1.5 c) Calculer la dérivée de la fonction suivante. / ( x ) = 2 tan x sec x (A) 2 s en x / co s2 x

Problème 1.5 d) Calculer la dérivée de la fonction suivante.

Problème 1.5 e) Calculer les points locaux minimum et maximum de la fonction donnée ci-dessous.

Le nombre prévu d'infractions au code de la route par conducteur est de _________ . Problème 2.3 f) L'aire totale sous la fonction de densité de probabilité et la fonction de masse de probabilité est toujours égale à o ____________. Problème 2.3 g) Le revenu moyen de 60 ménages selon un recensement récent dans une petite ville est de 55 000 $. Le revenu du ménage est supposé être distribué normalement avec un écart type de a = 5 000 $. Déterminer l'intervalle de confiance de 99 % pour la moyenne de la population du revenu du ménage. (A) 55 000 $ ± 5 000 $

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Problème 2.3 h) Dans le problème 2.3 g), l'erreur type de la moyenne (SEM) est _________ . Problème 2.3 i) Selon un sondage mené auprès de 10 participants, le temps moyen consacré à l'exercice de faible intensité par les retraités a été enregistré à 100 minutes par semaine avec un échantillon d'écart-type de 20 minutes. Calculer l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne de la population du temps consacré à l'exercice de faible intensité par les retraités en supposant qu'il suit la distribution t. (A) 100 ± 20

Problème 2.3 j) Dans le problème 2.3 i), la marge d'erreur est ________ .

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Chapitre #3 - Éthique et pratique professionnelle Domaines de connaissances clés*

Manuel de référence NCEES® FE

Loi type et règles types des NCEES

3 - 5 questions peuvent être attendues sur l'examen (selon la spécification NCEES® FE).

L'éthique et la pratique professionnelle est l'une des sections les moins pondérées de l'examen.

Le niveau de difficulté de cette section est classé « Facile » par l'auteur.

Conseils pour préparer cette section •

Comprendre les concepts trouvés sur les pages mentionnées ci-dessus du manuel de référence NCEES® FE.

Certains des concepts les plus importants de cette section et de ses sous-sections comprennent : ■

Code d'éthique - Contexte et définitions.

Loi type et règles types des NCEES - Règles types, article 240.15, Règles de conduite professionnelle, Obligation du titulaire de licence envers le public, Obligation du titulaire de licence envers l'employeur et le client, Obligation du titulaire de licence envers les autres titulaires de licence.

Propriété intellectuelle - Marque de commerce, droit d'auteur, brevet, dessin industriel, secret commercial.

• Résolvez les ensembles de problèmes sur les pages suivantes et passez en revue les solutions à la fin de ce livre.

*Exam specification details can be found on pages 265-267 o f NCEES® FE Reference Handbook. 23 Copyrighted Material © 2018

Problem Set # 3.1 - Codes of Ethics & NCEES® Model Law and Rules Consult NCEES® FE Reference Handbook - Pages 3 - 4 while solving these questions Problem 3.1 a) A recently licensed professional engineer is working under the supervision of a senior engineer. The junior engineer brings a potential design issue to senior engineer's attention which can result in a safety hazard. The senior engineer tells her that design is based on standard industry practice, construction is underway and the probability of safety incident occurring is practically zero. W hat should be junior engineer's response after learning these facts? (A) Junior engineer is not required to do anything further because senior engineer is competent. (B) Junior engineer is not required to do anything further because he's already expressed concern. (C) Junior engineer shall escalate his concerns to a higher level because he's still worried about safety. (D) Junior engineer shall escalate his concerns to a higher level because it will raise his profile. Problem 3.1 b) John is a well-respected engineer with a specialization in pow er system engineering and some experience in control systems. John has an excellent track record of delivering successful projects on tim e and under budget. He is asked by his new supervisor to take an assignment involving control systems scope. John's new supervisor does not know his past work experience very well, but he has heard wonderful things about John from other managers. Is it ethically acceptable for John to accept this assignment? (A) Yes, accepting the assignment will give him an opportunity to enhance skills in control systems. (B) Yes, it is his professional obligation to work diligently for the employer. (C) No, John is a power systems specialist and should only work in that area. (D) John should review assignment requirem ents and his expertise with his supervisor and then decide. Problem 3.1 c) Sarah is a professional engineer and she is brought on a project as a discipline lead. The project is in its final design stages. Project manager has asked her to quickly review near com plete engineering docum ents and seal them. These documents were prepared by other engineers who are not licensed. However, she knows that all of them are com petent based on her experience. Should Sarah sign and seal these documents? (A) Yes, she is fam iliar with quality of team. (B) Yes, she is the new lead and can review docum ents even though tim eline is tight. (C) No, documents were not developed by licensed engineers. (D) No, documents were not developed under her supervision and review tim e may be insufficient. 24 Copyrighted Material © 2018

Problem 3.1 d) A professional engineer is reviewing equipm ent drawings for compliance on behalf of a client. The engineer notices that vendor is providing a technically acceptable alternative to one o f the specification requirements listed in original bid. Upon further research, the engineer finds that proposed alternative is cheaper than the one required by client's specification. W hat should be included in the engineer's recommendation report to the client? (A) Rejection, because proposed alternative is cheaper than original requirem ent (B) Rejection, because proposed alternative is not the same as one required by specification (C) Acceptance, because proposed alternative is technically acceptable. (D) Acceptance, because proposed alternative is acceptable but negotiate a price credit from supplier. Problem 3.1 e) M ark is a licensed professional engineer who independently provides engineering consultancy services to various clients. He recently came across a proprietary solution w hile working for one of his regular clients which can be deployed in sim ilar scenarios faced by many other clients. Can M ark use this unique solution in sim ilar applications for other clients? (A) Yes, M ark is obligated to provide solutions to his clients to the best o f his knowledge (B) Yes, M ark's clients hire him because of his wide experience and expect innovative solutions (C) No, M ark cannot use confidential details w ithout obtaining consent from relevant clients (D) No, M ark is obligated to produce innovative solutions for each client. Problem 3.1 f) Drag and drop correct NCEES® M odel Rules, Section 240.15, Rule o f Professional Conduct reference in front of given description. Respect of fellow licensees________ . A-4

Problem 3.1 g) Which o f the follow ing statement(s) is correct? (A) Only licensed engineers are expected to conduct them selves professionally. (B) Ethical problems are always straight forward. (C) Engineers possess special knowledge which is not common in public domain. (D) Engineer is not liable for violating an ethical principle if he/she wasn't aware o f it.

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Problem Set # 3.2 - Intellectual Property Consult NCEES® FE Reference Handbook - Page 5 while solving these questions Problem 3.2 a) An advertising agency interested in protecting creative marketing slogans for its clients should co n sid e r__________registration. (A) Trademark

Problem 3.2 b) A m anufacturing plant interested in protecting its innovative processing techniques should co n sid er__________ registration. (A) Trademark

Problem 3.2 c) A publishing com pany interested in protecting content of its publications should co n sid e r________ registration. (A) Trademark

Problem 3.2 d) A toy m anufacturer interested in preventing com petitors from copying its packaging styles should co n sid er________ registration. (A) Trademark

Problem 3.2 e) Drag and drop correct symbol against given intellectual property registration products. 1 - Tradem ark_____ 2 - Copyright_______ 3 - Registered Trademark

Problem 3.2 f) Which of the follow ing option(s) is an example o f intellectual property? (A) Stocks (C) Software program

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Chapter # 4 - Engineering Economics Key Knowledge Areas*

Time value of money Cost estimation Risk Identification Analysis

Facts about this section • 3 - 5 questions can be expected on the exam (according to NCEES® FE Specification). • Engineering Economics is one o f the most lightly weighted section on exam. • Difficulty level o f this section is rated 'Easy' by the author.

Tips for preparing this section • Understand concepts found on above mentioned pages of NCEES® FE Reference Handbook. • Some of the most im portant concepts and equations of this section and sub-sections include: ■

Time value of money - Single payment compound amount, Single payment present worth, Uniform series sinking fund, Capital recovery, Uniform series compound amount, Uniform series present worth, Uniform gradient worth, Uniform gradient future worth, Uniform gradient uniform series.

Cost estimation - Inflation, Depreciation, Book value, Capitalized costs.

Risk identification - Definition, Rate-of-Return.

Analysis - Break-even analysis, Benefit-cost analysis.

• Learn how to use interest rate tables given in NCEES® FE Reference Handbook. • Solve problem sets on next pages and review solutions at the end o f this book.

*Exam specification details can be found on pages 265-267 of NCEES® FE Reference Handbook.

27 Copyrighted Material © 2018

Problem Set # 4.1 - Time value of money Consult NCEES® FE Reference Handbook - Page 131 while solving these questions Problem 4.1 a) Calculate the future worth o f $25,000 investment, 20 years from now. 12% annual interest rate can be assumed for this calculation. Problem 4.1 b) Calculate the present worth of a retirem ent fund if it is expected to have $750,000 in it approxim ately 30 years from now. 4% annual interest rate can be assumed for this calculation. Problem 4.1 c)_______ converts an annuity to a future amount. (A) Capital Recovery

(B) Uniform Series Compound Am ount

(C) Uniform Series Present W orth

(D) Uniform Series Sinking Fund

Problem 4.1 d )_______ converts a present value to an annuity. (A) Capital Recovery

(B) Uniform Series Compound Am ount

(C) Uniform Series Present W orth

(D) Uniform Series Sinking Fund

Problem 4.1 e) A retired couple is considering 20-year term annuity with their $200,000 cash savings at 6% annual interest rate. The yearly annuity am ount they can expect to receive is _______ . Problem 4.1 f) Amanda needs to have 10.7E: Variation of Parameters for Nonhomogeneous Linear Systems (Exercises) - Mathematics,[nobr][H1toH2]