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3.7 : Équations exactes - Mathématiques


Dans cette section, il est pratique d'écrire des équations différentielles du premier ordre sous la forme

[label{eq:3.8.1} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.]

Cette équation peut être interprétée comme

[label{eq:3.8.2} M(x,y)+N(x,y),{dyover dx}=0,]

où (x) est la variable indépendante et (y) est la variable dépendante, ou comme

[label{eq:3.8.3} M(x,y),{dxover dy}+N(x,y)=0,]

où (y) est la variable indépendante et (x) est la variable dépendante. Puisque les solutions de l'Équation ef{eq:3.8.2} et de l'Équation ef{eq:3.8.3} devront souvent être laissées sous forme implicite, nous dirons que (F(x,y)=c) est une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.1} si chaque fonction dérivable (y=y(x)) qui satisfait (F(x,y)=c) est une solution de l'équation ef {eq:3.8.2} et toute fonction différentiable (x=x(y)) qui satisfait (F(x,y)=c) est une solution de l'équation ef{eq:3.8.3}

Voici quelques exemples:

Équation ef{eq:3.8.1}Équation ef{eq:3.8.2}Équation ef{eq:3.8.3}
(3x^2y^2,dx+2x^3y,dy =0)(3x^2y^2+2x^3y, {dyover dx} =0)(3x^2y^2, {dxover dy}+2x^3y=0)
((x^2+y^2),dx +2xy,dy=0)((x^2+y^2)+2xy, {dyover dx}=0)((x^2+y^2), {dxsur dy} +2xy=0)
(3ysin x,dx-2xycos x,dy =0)(3ysin x-2xycos x, {dyover dx} =0)(3ysin x, {dxover dy}-2xycos x =0)

Tableau (PageIndex{1}): Exemples d'équations différentielles exactes sous trois formes

Notez qu'une équation séparable peut être écrite comme Équation ef{eq:3.8.1} comme

[M(x),dx+N(y),dy=0. pas de numéro]

nous développerons une méthode pour résoudre l'équation ef{eq:3.8.1} sous des hypothèses appropriées sur (M) et (N). Cette méthode est une extension de la méthode de séparation des variables. Avant de l'énoncer, considérons un exemple.

Exemple (PageIndex{1})

Montre CA

[label{eq:3.8.4} x^4y^3+x^2y^5+2xy=c ]

est une solution implicite de

[label{eq:3.8.5} (4x^3y^3+2xy^5+2y),dx+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x),dy=0. ]

Solution

En ce qui concerne (y) en fonction de (x) et en différenciant l'équation ef{eq:3.8.4} implicitement par rapport à (x) donne

[(4x^3y^3+2xy^5+2y)+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x),{dyover dx}=0. pas de numéro]

De même, en considérant (x) en fonction de (y) et en différenciant implicitement l'équation ef{eq:3.8.4} par rapport à (y) donne

[(4x^3y^3+2xy^5+2y){dxover dy}+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x)=0. pas de numéro]

Par conséquent, l'équation ef{eq:3.8.4} est une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.5} dans l'une ou l'autre de ses deux interprétations possibles.

Vous pouvez penser que l'exemple (PageIndex{1}) est inutile, car concocter une équation différentielle qui a une solution implicite donnée n'est pas particulièrement intéressant. Cependant, il illustre le prochain théorème important, que nous prouverons en utilisant la différentiation implicite, comme dans l'exemple (PageIndex{1}).

Théorème (PageIndex{1})

Si (F=F(x,y)) a des dérivées partielles continues (F_x) et (F_y), alors

[label{eq:3.8.6} F(x,y)=c ]

(avec (c) comme constante) est une solution implicite de l'équation différentielle

[label{eq:3.8.7} F_x(x,y),dx+F_y(x,y),dy=0.]

Preuve

En ce qui concerne (y) en fonction de (x) et en différenciant l'équation ef{eq:3.8.6} implicitement par rapport à (x) donne

[F_x(x,y)+F_y(x,y),{dyover dx}=0. pas de numéro]

D'autre part, en considérant (x) en fonction de (y) et en différenciant implicitement l'équation ef{eq:3.8.6} par rapport à (y) donne

[F_x(x,y),{dxover dy}+F_y(x,y)=0. pas de numéro]

Ainsi, l'équation ef{eq:3.8.6} est une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.7} dans l'une ou l'autre de ses deux interprétations possibles.

On dira que l'équation

[label{eq:3.8.8} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0]

est exact sur un rectangle ouvert (R) s'il existe une fonction (F=F(x,y)) telles que (F_x) et (F_y) sont continues, et

[label{eq:3.8.9} F_x(x,y)=M(x,y) quad ext{and} quad F_y(x,y)=N(x,y)]

pour tout ((x,y)) dans (R). Cet usage de « exact » est lié à son utilisation en calcul, où l'expression

[F_x(x,y),dx+F_y(x,y),dy onumber ]

(obtenu en substituant l'équation ef{eq:3.8.9} dans le côté gauche de l'équation ef{eq:3.8.8}) est le différentiel exact de (F).

L'exemple (PageIndex{1}) montre qu'il est facile de résoudre l'équation ef{eq:3.8.8} si elle est exacte et nous connaissons une fonction (F) qui satisfait l'équation ef{eq:3.8.9}. Les questions importantes sont :

  • Question 1. Étant donné une équation Équation ef{eq:3.8.8}, comment pouvons-nous déterminer si elle est exacte ?
  • Question 2. Si l'équation ef{eq:3.8.8} est exacte, comment trouver une fonction (F) satisfaisant l'équation ef{eq:3.8.9} ?

Pour découvrir la réponse à la question 1, supposons qu'il existe une fonction (F) qui satisfait l'équation ef{eq:3.8.9} sur un rectangle ouvert (R), et en plus que (F) a dérivées partielles mixtes continues (F_{xy}) et (F_{yx}). Alors un théorème du calcul implique que [label{eq:3.8.10} F_{xy}=F_{yx}.] Si (F_x=M) et (F_y=N), en différenciant le premier de ces équations par rapport à (y) et la seconde par rapport à (x) donne

[label{eq:3.8.11} F_{xy}=M_y quad ext{and} quad F_{yx}=N_x.]

A partir de l'équation ef{eq:3.8.10} et de l'équation ef{eq:3.8.11}, nous concluons qu'une condition nécessaire pour l'exactitude est que (M_y=N_x). Ceci motive le théorème suivant, que nous énonçons sans démonstration.

Théorème (PageIndex{2}): La condition d'exactitude

Supposons (M) et (N) sont continus et ont des dérivées partielles continues (M_y) et (N_x) sur un rectangle ouvert (R.) Alors

[M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 onumber ]

est exacte sur (R) si et seulement si

[label{eq:3.8.12} M_y(x,y)=N_x(x,y)]

pour tout ((x,y)) dans (R.).

Pour vous aider à vous souvenir de la condition d'exactitude, notez que les coefficients de (dx) et (dy) sont différenciés dans l'équation ef{eq:3.8.12} par rapport aux variables « opposées » ; c'est-à-dire que le coefficient de (dx) est différencié par rapport à (y), tandis que le coefficient de (dy) est différencié par rapport à (x).

Exemple (PageIndex{2})

Montrer que l'équation

[3x^2y,dx+4x^3,dy=0 onumber ]

n'est exacte sur aucun rectangle ouvert.

Solution

Ici

[M(x,y)=3x^2y quad ext{and} quad N(x,y)=4x^3 onumber]

alors

[M_y(x,y)=3x^2 quad ext{et} N_x(x,y)=12 x^2. pas de numéro]

Donc (M_y=N_x) sur la ligne (x=0), mais pas sur n'importe quel rectangle ouvert, donc il n'y a pas de fonction (F) telle que (F_x(x,y)=M(x, y)) et (F_y(x,y)=N(x,y)) pour tout ((x,y)) sur tout rectangle ouvert.

L'exemple suivant illustre deux méthodes possibles pour trouver une fonction (F) qui satisfait la condition (F_x=M) et (F_y=N) si (M,dx+N,dy=0 ) est exacte.

Exemple (PageIndex{3})

Résoudre

[label{eq:3.8.13} (4x^3y^3+3x^2),dx+(3x^4y^2+6y^2),dy=0.]

Solution (Méthode 1)

Ici [M(x,y)=4x^3y^3+3x^2,quad N(x,y)=3x^4y^2+6y^2, onumber ] et [M_y(x, y)=N_x(x,y)=12 x^3y^2 onumber ] pour tout ((x,y)). Par conséquent, le théorème (PageIndex{2}) implique qu'il existe une fonction (F) telle que

[label{eq:3.8.14} F_x(x,y)=M(x,y)=4x^3y^3+3x^2]

et

[label{eq:3.8.15} F_y(x,y)=N(x,y)=3x^4y^2+6y^2]

pour tout ((x,y)). Pour trouver (F), nous intégrons l'équation ef{eq:3.8.14} par rapport à (x) pour obtenir

[label{eq:3.8.16} F(x,y)=x^4y^3+x^3+phi(y),]

où (phi (y)) est la « constante » d'intégration. (Ici (phi) est "constant" en ce qu'il est indépendant de (x), la variable d'intégration.) Si (phi) est une fonction dérivable de (y) alors ( F) satisfait l'équation ef{eq:3.8.14}. Pour déterminer (phi) de sorte que (F) satisfasse également l'équation ef{eq:3.8.15}, supposons que (phi) est dérivable et différencier (F) par rapport à ( y). Cela donne

[F_y(x,y)=3x^4y^2+phi'(y). pas de numéro]

La comparaison avec l'équation ef{eq:3.8.15} montre que

[phi'(y)=6y^2. pas de numéro]

Nous intégrons ceci par rapport à (y) et prenons la constante d'intégration égale à zéro car nous ne sommes intéressés qu'à trouver certains (F) qui satisfait l'équation ef{eq:3.8.14} et l'équation ef{eq:3.8.15}. Cela donne

[phi (y)=2y^3. pas de numéro]

Substituer cela dans l'équation ef{eq:3.8.16} donne

[label{eq:3.8.17} F(x,y)=x^4y^3+x^3+2y^3.]

Maintenant, le théorème (PageIndex{1}) implique que [x^4y^3+x^3+2y^3=c onumber ] est une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.13}. Résoudre ceci pour (y) donne la solution explicite

[y=left(c-x^3over2+x^4 ight)^{1/3}. pas de numéro]

Solution (Méthode 2)

Au lieu d'intégrer d'abord l'équation ef{eq:3.8.14} par rapport à (x), nous pourrions commencer par intégrer l'équation ef{eq:3.8.15} par rapport à (y) pour obtenir

[label{eq:3.8.18} F(x,y)=x^4y^3+2y^3+psi (x),]

où (psi) est une fonction arbitraire de (x). Pour déterminer (psi), nous supposons que (psi) est dérivable et différencions (F) par rapport à (x), ce qui donne

[F_x(x,y)=4x^3y^3+psi'(x). pas de numéro]

La comparaison avec l'équation ef{eq:3.8.14} montre que

[psi'(x)=3x^2. pas de numéro]

En intégrant cela et en prenant à nouveau la constante d'intégration égale à zéro, on obtient

[psi(x)=x^3. pas de numéro]

En le substituant à l'équation ef{eq:3.8.18}, on obtient l'équation ef{eq:3.8.17}.

La figure (PageIndex{1}) montre un champ de direction et quelques courbes intégrales de l'équation ef{eq:3.8.13}.

Voici un résumé de la procédure utilisée dans la méthode 1 de cet exemple. Vous devez résumer la procédure utilisée dans la méthode 2.

HOWTO : Procédure pour résoudre une équation exacte (Méthode 1)

  • Étape 1. Vérifier que l'équation [label{eq:3.8.19} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0] satisfait la condition d'exactitude (M_y=N_x). Sinon, n'allez pas plus loin avec cette procédure.
  • Étape 2. Intégrez [{partial F(x,y)overpartial x}=M(x,y) onumber ] par rapport à (x) pour obtenir [label{eq:3.8.20} F(x,y)=G(x,y)+phi(y),] où (G) est une primitive de (M) par rapport à (x), et ( phi) est une fonction inconnue de (y).
  • Étape 3. Différencier l'équation ef{eq:3.8.20} par rapport à (y) pour obtenir [{partial F(x,y)overpartial y}={partial G(x,y)over partial y}+phi'(y). pas de numéro]
  • Étape 4. Égalisez le côté droit de cette équation à (N) et résolvez pour (phi'); ainsi, [{partial G(x,y)overpartial y}+phi'(y)=N(x,y), quad ext{so} quad phi'(y)= N(x,y)-{partiel G(x,y)overpartial y}. pas de numéro]
  • Étape 5. Intégrez (phi') par rapport à (y), en prenant la constante d'intégration égale à zéro, et substituez le résultat dans l'équation ef{eq:3.8.20} pour obtenir (F(x,y )).
  • Étape 6. Définissez (F(x,y)=c) pour obtenir une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.19}. Si possible, résolvez pour (y) explicitement en fonction de (x).

C'est une erreur courante d'omettre l'étape 6 dans la procédure ci-dessus. Cependant, il est important d'inclure cette étape, car F n'est pas lui-même une solution de l'équation ef{eq:3.8.19}. De nombreuses équations peuvent être résolues facilement par l'une des deux méthodes utilisées dans l'exemple (PageIndex{3}). Cependant, l'intégration requise dans une approche est parfois plus difficile que dans l'autre. Dans de tels cas, nous choisissons l'approche qui nécessite l'intégration la plus facile.

Exemple (PageIndex{4})

Résous l'équation

[label{eq:3.8.21} left( ye ^ { xy } an x + e ^ { xy } sec ^ { 2 } x ight) dx + xe ^ { xy } an x , dy = 0]

Solution

Nous vous laissons vérifier que (M_y = N_x) sur tout rectangle ouvert où ( an x) et (sec x) sont définis. Ici, nous devons trouver une fonction F telle que

[label{eq:3.8.22} F_x(x, y) = ye^{xy} an x + e^{xy} sec^2 x]

et

[label{eq:3.8.23} F_y(x, y) = xe^{xy} an x. ]

Il est difficile d'intégrer l'équation ef{eq:3.8.22} par rapport à (x), mais facile d'intégrer l'équation ef{eq:3.8.23} par rapport à (y). Cela donne

[label{eq:3.8.24} F(x, y) = e^{xy} an x + psi(x). ]

Différencier cela par rapport à (x) donne

[F_x(x, y) = y e^{xy} an x + e^{xy} sec^2 x + psi'(x). pas de numéro]

La comparaison avec l'équation ef{eq:3.8.22} montre que (psi'(x) = 0). Par conséquent, (psi) est une constante, que nous pouvons considérer comme nulle dans l'équation ef{eq:3.8.24}, et

[e^{xy} an x = c, onumber]

est une solution implicite de l'équation ef{eq:3.8.21}.

Tenter d'appliquer notre procédure à une équation différentielle qui n'est pas exacte conduira à un échec à l'étape 4, puisque la fonction

[N - frac { partial G } { partial y } onumber]

ne sera pas indépendant de (x) si (M_y eq N_x), et ne peut donc pas être la dérivée d'une fonction de (y) seule. L'exemple (PageIndex{5}) illustre cela.

Exemple (PageIndex{5})

Vérifiez que l'équation

[label{eq:3.8.25} 3x^2y^2,dx+6x^3y,dy=0]

n'est pas exacte et montre que la procédure de résolution d'équations exactes échoue lorsqu'elle est appliquée à l'équation ef{eq:3.8.25}.

Solution

Ici [M_y(x,y)=6x^2y quad ext{and} quad N_x(x,y)=18x^2y, onumber ]

donc l'équation ef{eq:3.8.25} n'est pas exacte. Essayons néanmoins de trouver une fonction (F) telle que

[label{eq:3.8.26} F_x(x,y)=3x^2y^2]

et

[label{eq:3.8.27} F_y(x,y)=6x^3y.]

L'intégration de l'équation ef{eq:3.8.26} par rapport aux rendements (x)

[F(x,y)=x^3y^2+phi(y), onumber]

et en différenciant cela par rapport à (y) donne

[F_y(x,y)=2x^3y+phi'(y). pas de numéro]

Pour que cette équation soit cohérente avec l'équation ef{eq:3.8.27},

[6x^3y=2x^3y+phi'(y), onumber]

ou alors

[phi'(y)=4x^3y. pas de numéro]

C'est une contradiction, puisque (phi') doit être indépendant de (x). Par conséquent le processus


Équations exactes et non exactes

(3) Intégrer soit la première équation par rapport à la variable x soit la seconde par rapport à la variable y . Le choix de l'équation à intégrer dépendra de la facilité des calculs. Supposons que la première équation a été choisie, alors nous obtenons

La fonction devrait être là, puisque dans notre intégration, nous avons supposé que la variable y est constante. (4) Utilisez la deuxième équation du système pour trouver la dérivée de . En effet, nous avons

Notez que c'est une fonction de y uniquement. Par conséquent, dans l'expression donnant la variable, x , devrait disparaître. Sinon quelque chose s'est mal passé ! (5) Intégrer pour trouver (6) Ecrire la fonction F ( x , y ) (7) Toutes les solutions sont données par l'équation implicite

(8) Si on vous donne un IVP, branchez la condition initiale pour trouver la constante C .

Vous pouvez demander, que faisons-nous si l'équation n'est pas exacte ? Dans ce cas, on peut essayer de trouver un facteur d'intégration qui rende l'équation différentielle donnée exacte.


Étant donné un sous-ensemble simplement connecté et ouvert de R 2 et deux fonctions je et J qui sont continus sur , une équation différentielle ordinaire implicite du premier ordre de la forme

I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 ,

s'appelle un équation différentielle exacte s'il existe une fonction continûment dérivable F, appelé le fonction potentielle, [1] [2] de sorte que

Une équation exacte peut également être présentée sous la forme suivante :

I ( x , y ) + J ( x , y ) y ( x ) = 0

où les mêmes contraintes sur je et J demander que l'équation différentielle soit exacte.

La nomenclature de « l'équation différentielle exacte » fait référence à la différentielle exacte d'une fonction. Pour une fonction F ( x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 , x n ) ,x_<1>. x_,X_)> , la dérivée exacte ou totale par rapport à x 0 > est donnée par

Exemple Modifier

est une fonction potentielle pour l'équation différentielle

Dans les applications physiques, les fonctions je et J sont généralement non seulement continus, mais même continûment dérivables. Le théorème de Schwarz nous fournit alors un critère nécessaire à l'existence d'une fonction potentielle. Pour les équations différentielles définies sur des ensembles simplement connexes le critère est même suffisant et on obtient le théorème suivant :

Étant donné une équation différentielle de la forme (par exemple, lorsque F a une pente nulle dans les directions x et y à F(X,oui)):

I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 ,

avec je et J différentiable en continu sur un sous-ensemble simplement connecté et ouvert de R 2 alors une fonction potentielle F existe si et seulement si

Étant donné une équation différentielle exacte définie sur un sous-ensemble simplement connecté et ouvert de R 2 avec fonction potentielle F, une fonction différentiable F avec (X, F(X)) dans est une solution si et seulement s'il existe un nombre réel c pour que

on peut trouver localement une fonction potentielle en

pour oui, où c est un nombre réel, on peut alors construire toutes les solutions.

Le concept d'équations différentielles exactes peut être étendu aux équations du second ordre. [3] Envisagez de commencer par l'équation exacte du premier ordre :


Introduction aux équations

Par équation, nous entendons une phrase mathématique qui déclare que deux expressions algébriques sont égales. Par exemple, a (b + c) =ab + ac, ab = ba et x 2 -1 = (x-1)(x+1) sont toutes des équations que nous avons utilisées. Nous rappelons que nous avons défini une variable comme une lettre pouvant être remplacée par des nombres d'un ensemble donné, au cours d'une discussion donnée. Cet ensemble spécifié de nombres est parfois appelé l'ensemble de remplacement. Dans ce chapitre, nous traiterons des équations impliquant des variables où l'ensemble de remplacement, sauf indication contraire, est l'ensemble de tous les nombres réels pour lesquels toutes les expressions de l'équation sont définies.

Si une équation est vraie après que la variable a été remplacée par un nombre spécifique, alors le nombre est appelé une solution de l'équation et on dit qu'il la satisfait. De toute évidence, chaque solution fait partie de l'ensemble de remplacement. Le nombre réel 3 est une solution de l'équation 2x-1 = x+2, puisque 2*3-1=3+2. tandis que 1 est une solution de l'équation (x-1)(x+2) = 0. L'ensemble de toutes les solutions d'une équation est appelé l'ensemble de solutions de l'équation.

Dans la première équation ci-dessus, <3>est l'ensemble de solutions, tandis que dans le deuxième exemple, <-2,1>est l'ensemble de solutions. On peut vérifier par substitution que chacun de ces nombres est une solution de son équation respective, et on verra plus loin que ce sont les seules solutions.

Une équation conditionnelle est une équation qui est satisfaite par certains nombres de son ensemble de remplacement et non satisfaite par d'autres. Une identité est une équation qui est satisfaite par tous les nombres de son ensemble de remplacement.

Exemple 1 Considérons l'équation 2x-1 = x+2

L'ensemble de remplacement ici est l'ensemble de tous les nombres réels. L'équation est conditionnelle puisque, par exemple, 1 est membre de l'ensemble de remplacement mais pas de l'ensemble de solutions.

Exemple 2 Considérons l'équation (x-1)(x+1) =x 2 -1

L'ensemble de remplacement est l'ensemble de tous les nombres réels. D'après nos lois des nombres réels, si a est un nombre réel, alors (a-1)(a+1) = a 2 -1

Par conséquent, chaque membre de l'ensemble de remplacement est également membre de l'ensemble de solutions. Par conséquent, cette équation est une identité.

Exemple 3 Envisager

L'ensemble de remplacement pour cette équation est l'ensemble des nombres réels sauf 0, puisque 1/x et (1-x)/x ne sont pas définis pour x = 0. Si a est un nombre réel dans l'ensemble de remplacement, alors

de sorte que l'équation originale est une identité.

Exemple 4 Envisager

L'ensemble de remplacement est l'ensemble de tous les nombres réels non négatifs, car ce n'est pas un nombre réel si x est négatif. L'équation est conditionnelle puisque, par exemple, 4 est membre de l'ensemble de remplacement mais pas de l'ensemble de solutions.


3.7 : Équations exactes - Mathématiques

Chapitre 4 – Équations simples

Q.1. Après 20 ans, Manoj aura 5 fois son âge actuel. Trouvez son âge actuel.

Q.2. Si 45 est ajouté à un demi-nombre, le résultat est le triple du nombre. Trouvez le numéro.

Q.3. Dans une famille, la consommation de blé est 4 fois supérieure à celle de riz. La consommation totale des deux céréales est de 80 kg. Retrouvez les quantités de riz et de blé consommées dans la famille.

Q.4. Anamika a pensé à un nombre. Elle l'a multiplié par 2, a ajouté 5 au produit et a obtenu 17 comme résultat. Quel est le nombre auquel elle avait pensé ?

Q.5. L'un des deux nombres est le double de l'autre. La somme des nombres est 12. Trouve les nombres.

Q.6. Un nombre divisé par 6 donne le quotient 6. Quel est le nombre ?

Q.7. Le périmètre d'un rectangle est de 40 m. La longueur du rectangle est de 4 m inférieure à 5 fois sa largeur. Trouvez la longueur du rectangle.

Q.8. La somme de deux multiples consécutifs de 2 est 18. Trouve les nombres.

Q.9. Deux angles complémentaires diffèrent de 20°. Trouvez les angles.

Q.10. 150 a été divisé en deux parties de telle sorte que deux fois la première partie est égale à la seconde partie. Trouvez les pièces.

Q.11. Dans une classe de 60 élèves, le nombre de filles est le tiers du nombre de garçons. Trouvez le nombre de filles et de garçons dans la classe.

Q.12. Un nombre est autant supérieur à 27 qu'il est inférieur à 73. Trouvez le nombre.

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Solution

Lorsque vous résolvez cette équation avec des images, vous vous retrouvez avec 3 sacs en équilibre avec 1 tuile. Pour faire la division, vous devez couper la tuile, conduisant à la fraction 1/3, qui est la solution que vous obtenez symboliquement.

Afin de résoudre cette équation avec des images, vous devez avoir un moyen de représenter la soustraction en 2x – 4$. Si les élèves ont de l'expérience avec les jetons entiers, ils peuvent transférer cette connaissance dans cette situation pour montrer 2x + -4$, mais sinon ils peuvent avoir du mal avec l'idée. Les images nous donnent un bon modèle pour comprendre les opérations que nous effectuons pour résoudre des équations, mais ce n'est lisse que pour les problèmes avec des nombres « gentils ». C'est une des raisons pour lesquelles nous souhaitons passer à l'approche symbolique.

Une équation linéaire n'aura pas de solution s'il y a le même nombre de $x$ et des constantes différentes de chaque côté. Par exemple : 2x + 4 = 2x + 1$. Si vous résolvez cela avec des images, lorsque vous enlevez les 2x$ des deux côtés, vous vous retrouverez avec 4$ = 1$, ce qui ne peut clairement pas être équilibré. Si l'équation avait une infinité de solutions, vous constateriez que vous avez exactement la même image des deux côtés de la balance.

L'erreur est dans la première étape - l'étudiant a divisé seulement une partie du côté gauche de l'équation par 2. Vous pouvez voir sur l'image que diviser l'équation de cette façon ne maintiendra pas le niveau d'équilibre (en supposant que les deux sacs égal):


3.7 : Équations exactes - Mathématiques

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Négation d'un énoncé

Définition: UNE phrase fermée est un énoncé objectif qui est vrai ou faux.

Ainsi, chaque phrase fermée de l'exemple 1 a une valeur de vérité vraie ou fausse, comme indiqué ci-dessous.

1. Chaque triangle a trois côtés. vrai
2. Albany est la capitale de l'État de New York. vrai
3. Aucun nombre premier n'est pair. faux

Notez que la troisième phrase est fausse puisque 2 est un nombre premier. Il est possible qu'une phrase fermée ait des valeurs de vérité différentes à des moments différents. Ceci est démontré dans l'exemple 2 ci-dessous.

1. aujourd'hui, c'est mardi ..
2. Bill Clinton était le 42e président des États-Unis.

Exemple 3 : Examinez les phrases ci-dessous.

1. x + 3 = 7
2. Elle a réussi les maths.
3. y - 4 = 11
4. C'est mon frère.

Les phrases de l'exemple 3 sont des phrases ouvertes.

Définition: Une phrase ouverte est une instruction qui contient une variable et devient vraie ou fausse selon la valeur qui remplace la variable.

Jetons un autre coup d'œil à l'exemple 3. Cette fois, nous identifierons la variable pour chaque phrase ouverte.

1. x + 3 = 7 La variable est x.
2. Elle a réussi les maths. La variable est elle.
3. y - 4 = 11 La variable est y.
4. C'est mon frère. La variable est lui.

Maintenant que nous avons identifié les variables, nous pouvons analyser le sens de ces phrases ouvertes. La phrase 1 est vraie si x est remplacé par 4, mais fausse si x est remplacé par un nombre autre que 4. La phrase 3 est vraie si y est remplacé par 15, mais fausse sinon. La phrase 2 est vraie ou fausse selon la valeur de la variable « elle ». De même, la phrase 4 est soit vraie soit fausse selon la valeur de la variable « il ». En résumé, la valeur de vérité de chaque phrase ouverte dépend de la valeur utilisée pour remplacer la variable dans cette phrase.

Donné: Soit p représentant, "Le baseball est un sport."
Soit q représente, "Il y a 100 cents dans un dollar."
Soit r : "Elle fait ses devoirs".
Représentons, "Un centime n'est pas une pièce de monnaie."
Problème: Écrivez chaque phrase ci-dessous à l'aide de symboles et indiquez si elle est vraie, fausse ou ouverte.

Dans l'exemple 5, on nous demande de trouver la négation de p.

Définition: Le négation de la déclaration p est "pas p." La négation de p est symbolisée par "

p est l'opposé de la valeur de vérité de p.

Regardons quelques autres exemples de négation.

Nous pouvons construire une table de vérité pour déterminer toutes les valeurs de vérité possibles d'un énoncé et de sa négation.

Définition: UNE table de vérité nous aide à trouver toutes les valeurs de vérité possibles d'un énoncé. Chaque déclaration est soit Vrai (T) soit Faux (F), mais pas les deux.

Connexion: Pour nous aider à nous souvenir de cette définition, pensez à un ordinateur, qui est allumé ou éteint, mais pas les deux.

Exemple 8 : Construire une table de vérité pour la négation de x.

Dans l'exemple 8, lorsque x est vrai,

x est faux et quand x est faux,

x est vrai. De cette table de vérité, nous pouvons voir que un énoncé et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.

Exemple 9 : Construire une table de vérité pour la négation de p.

On peut aussi nier une négation. Par exemple, la négation de

p) ou p. Ceci est illustré dans l'exemple ci-dessous.

Exemple 10 : Construire une table de vérité pour la négation de p, et pour la négation de non p.

Résumé: Un énoncé est une phrase qui est vraie ou fausse. Une phrase fermée est une déclaration objective qui est vraie ou fausse. Une phrase ouverte est une déclaration qui contient une variable et devient vraie ou fausse selon la valeur qui remplace la variable. La négation de l'énoncé p est "pas p", symbolisé par "

p". Un énoncé et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.

Des exercices

Instructions : Lisez chaque question ci-dessous. Sélectionnez votre réponse en cliquant sur son bouton. Les commentaires sur votre réponse sont fournis dans la BOÎTE DES RÉSULTATS. Si vous faites une erreur, choisissez un autre bouton.


Mathématiques des épidémies sur les réseaux

Auteurs: Embrasser, István Z., Meunier, Joël, Simon, Pierre L.

  • Détaille l'état de l'art actuel de la modélisation des épidémies sur les réseaux
  • Propose une comparaison directe des principaux modèles épidémiques du réseau et établit leur hiérarchie
  • Identifie les opportunités pour une exploration mathématique plus rigoureuse
  • Comprend des algorithmes de simulation pratiques écrits en pseudocode avec un code implémenté disponible en ligne

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  • Présenter différentes approches mathématiques pour formuler des modèles exacts et solubles
  • Identifier les liens concrets entre les modèles approchés et leur représentation mathématique rigoureuse
  • Présenter une hiérarchie de modèles et mettre clairement en évidence les liens entre les hypothèses du modèle et la complexité du modèle
  • Fournir une source de référence pour les étudiants de premier cycle avancés, ainsi que pour les doctorants, les chercheurs postdoctoraux et les experts universitaires qui sont engagés dans la modélisation des processus stochastiques sur les réseaux
  • Fournir des logiciels capables de résoudre des modèles d'équations différentielles ou de simuler directement des épidémies sur des réseaux.

Dr I.Z. Embrasser: Le Dr Kiss est professeur au département de mathématiques de l'Université du Sussex avec ses recherches à l'interface de la science des réseaux, des processus stochastiques et des systèmes dynamiques. Ses travaux portent sur la modélisation et l'analyse des processus épidémiques stochastiques sur des réseaux statiques et dynamiques. Ses intérêts actuels incluent l'identification de liens rigoureux entre les modèles approximatifs et leurs homologues mathématiques rigoureux et la formulation de nouveaux modèles pour des processus de diffusion plus complexes ou des réseaux structurés.

Dr J.C. Miller : Le Dr Miller est chercheur scientifique principal à l'Institute for Disease Modeling de Seattle. Il est également maître de conférences à l'Université Monash de Melbourne avec une nomination conjointe en mathématiques et en biologie. Ses intérêts de recherche incluent la dynamique des maladies infectieuses, les processus stochastiques sur les réseaux et l'écoulement des fluides dans les milieux poreux. La majorité de ses travaux se situent à l'intersection de la dynamique des maladies infectieuses et des processus stochastiques sur les réseaux.

Pr P.L. Simon: Le professeur Simon est professeur à l'Institut de mathématiques de l'Université Eötvös Loránd de Budapest. Il est membre du groupe de recherche Analyse numérique et grands réseaux et chef du département d'analyse appliquée et de mathématiques computationnelles. Ses intérêts de recherche incluent les systèmes dynamiques, les équations aux dérivées partielles et leurs applications en chimie et en biologie. En particulier, ses travaux portent sur la modélisation et l'analyse des processus de réseau à l'aide d'équations différentielles.

« Le livre ajoute à la connaissance de la modélisation épidémique sur les réseaux en fournissant un certain nombre d'arguments mathématiques rigoureux et en confirmant la validité et la plage optimale d'applicabilité des modèles épidémiques. Il constitue un bon guide de référence pour les chercheurs et un manuel complet pour les étudiants diplômés. (Yilun Shang, Revues mathématiques, novembre 2017)

« C'est l'un des premiers livres à paraître sur la modélisation des épidémies sur les réseaux. … Il s'agit d'un texte complet et bien écrit destiné aux étudiants ayant un intérêt sérieux pour l'épidémiologie mathématique. Il est plus approprié pour les étudiants de premier cycle ou les étudiants diplômés avancés ayant une certaine expérience des équations différentielles, des systèmes dynamiques, des probabilités et des processus stochastiques. (William J. Satzer, MAA Reviews, septembre 2017)


Équations avec plusieurs étapes

La plupart du temps, la résolution d'équations nécessite plus d'une seule étape. Par exemple, pensez à l'équation que je vous ai présentée au début de la section : 3x - 2 = 19. Non seulement il y a un -2 du même côté du signe égal que le x, mais il y a aussi un 3 accroché à ce x, comme une feuille de séchoir collée à une jambe de pantalon. Afin d'isoler x (et donc de résoudre l'équation), vous devrez vous débarrasser des deux nombres, en utilisant chacune des techniques que vous avez apprises jusqu'à présent. (Cela ne ferait pas de mal d'ajouter un assouplissant textile avec un contrôleur d'adhérence statique.)

Si une solution nécessite plus d'une étape, voici l'ordre à suivre :

Parler la Parler

Considérons l'équation 3oui - 7oui = 12. Depuis 3oui et -7oui les deux ont exactement la même partie variable (oui), elles sont appelées termes semblables et vous pouvez simplifier en combinant les coefficients et en laissant la variable seule : 3oui - 7oui = -4oui, puisque 3 - 7 = -4, donc l'équation est maintenant -4oui = 12.

je vais définir soigneusement termes semblables and discuss them further in Introducing Polynomials.

  1. Simplify the sides of the equation separately. Each of the items added to or subtracted from one another in the equation are called terms. If two terms have the exact same variable portion, then they are called termes semblables, and you can combine them as though they were numbers.
  2. Separate the variable. Using addition and subtraction, move all terms containing the variable you're isolating to one side of the equation (usually the left) and move everything else to the other side (usually the right). You're finished when you have something that looks like this: ax = b (a number times the variable is equal to a number).
  3. Eliminate the coefficient. If the variable's coefficient is something other than 1, you need to either divide by it or multiply by its reciprocal (like you did earlier in this section).

Equation solving requires practice, and it's going to take some trial and error before you get good at it. Don't forget to check your answers! Even though I will only show answer checking rarely from this point forward (to save space), rest assured that I never let the chance to make sure I got the answer right go by! Eventually, you'll feel comfortable checking answers by substituting in your head and working things out mentally.

Exemple 2: Solve each equation.

  • (a) 3X - 2 = 19
  • Solution: You can't simplify the left side, since 3X and -2 are not like terms, so the first thing to do is to separate the variable term. Accomplish this by adding 2 to both sides.

Divide both sides by 3 to eliminate the coefficient.

  • 3X3 = 21 3
  • X = 7
  • (b) -14 = 2X + 4(X + 1)
  • Solution: You can do a bit of simplifying on the right side of the equation. Start by distributing that positive 4 into the quantity within parentheses.
  • -14 = 2X + 4 X + 4 1
  • -14 = 2X + 4X + 4
  • Simplify like terms 2X and 4X.
  • -14 = 6X + 4
  • At this point, the problem looks a lot like the equation from part (a), except the variable term appears on the right side of the equation. There's no problem with thatit's perfectly fine. In fact, if you leave the 6X on the right side, it's less work to separate the variable term. Just subtract 4 from both sides.

Divide both sides by 6 to eliminate the coefficient.

How'd You Do That?

In Example 2, part (b), I solved the equation by isolating the X on the right side, rather than the left side. To tell you the truth, I prefer X on the left side as a matter of personal taste, even though it doesn't affect the answer at all.

According to the symmetric property of algebra, you can swap sides of an equation without affecting its solution or outcome. In other words, I could have flip-flopped the sides of the equation in 2(b) to get 2X + 4(X + 1) = -14. If you solve that equation, you'll get X = -3, the exact same answer. So, if you ever wish the sides of an equation were reversed, go ahead and flip them without fear.

  • (c) -3(X + 7) = -2(X - 1) + 5
  • Solution: You can apply the distributive property on both sides of the equal sign to begin.
  • -3X - 21 = -2X + 2 + 5
  • Simplify the right side by combining the 2 and 5 (which are technically like terms, since they have the exact same variable partno variables at all).
  • -3X - 21 = -2X + 7
  • Now, it's time to separate the variable term. Do this by adding 2X to both sides (to remove all X terms from the right side of the equation) and adding 21 to both sides as well (to remove plain old numbers from the left side of the equation).
Critical Point

As demonstrated in Example 2(c), a negative variable like -w technically has an implied coefficient of -1, so you can rewrite it as -1w if you wish. (This is similar to implied exponents, where a plain old variable like w has an implied coefficient of 1, so w = 1w 1 .)

  • At this point, you have -X = 28, which means "the opposite of the answer equals 28." Therefore, the correct answer is X = -28 (since -28 is the opposite of 28).
  • Here's another way to get the final answer: Since -X = -1 X, you can rewrite the final line of the equation so it looks like it has a coefficient and divide by that -1 coefficient:
  • -1X1 = 28 1
  • X = -28
  • (ré) oui + 3 = 1 4oui + 5
  • Solution: Since there are no like terms together on one side of the equation, skip right to separating the variable terms. Accomplish this by subtracting 1 4oui and 3 on both sides of the equation. (By the way, even though the variable is oui, not X, in this equation, that doesn't change the way you solve it.)
You've Got Problems

Problem 3: Solve the equations.

(b) 2X - 7 = 4X + 13

  • Since the coefficient is fractional, multiply both sides by its reciprocal to finish.
  • 4 3 ( 3 4oui = ( 4 3) 2 1
  • 12 12oui = 8 3
  • oui 8 3
  • Since 8 and 3 have no common factors (other than 1), the improper fraction cannot be simplified, so leave it as is.

Excerpted from The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 by W. Michael Kelley. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. Used by arrangement with Alpha Books, a member of Penguin Group (USA) Inc.


Voir la vidéo: Sulkeet u0026 matematiikka: Ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, jossa on sulkeet! . Matikkapirkko (Octobre 2021).

1. Un centime est une pièce de monnaie.