Des articles

5.2 : Fonctions quadratiques - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître les caractéristiques des paraboles.
  • Comprendre comment le graphique d'une parabole est lié à sa fonction quadratique.
  • Déterminer la valeur minimale ou maximale d'une fonction quadratique.
  • Résoudre des problèmes impliquant la valeur minimale ou maximale d'une fonction quadratique.

Les antennes incurvées, telles que celles illustrées à la figure (PageIndex{1}), sont couramment utilisées pour focaliser les micro-ondes et les ondes radio afin de transmettre les signaux de télévision et de téléphone, ainsi que les communications par satellite et par satellite. La section transversale de l'antenne a la forme d'une parabole, qui peut être décrite par une fonction quadratique.

Figure (PageIndex{1}) : Une gamme d'antennes paraboliques. (crédit : Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Dans cette section, nous étudierons les fonctions quadratiques, qui modélisent fréquemment des problèmes impliquant des mouvements de surface et de projectile. Travailler avec des fonctions quadratiques peut être moins complexe que travailler avec des fonctions de degré supérieur, elles offrent donc une bonne opportunité pour une étude détaillée du comportement des fonctions.

Reconnaître les caractéristiques des paraboles

Le graphique d'une fonction quadratique est une courbe en forme de U appelée parabole. Une caractéristique importante du graphique est qu'il a un point extrême, appelé le sommet. Si la parabole s'ouvre, le sommet représente le point le plus bas sur le graphique, ou le valeur minimum de la fonction quadratique. Si la parabole s'ouvre vers le bas, le sommet représente le point le plus élevé sur le graphique, ou le valeur maximum. Dans les deux cas, le sommet est un point tournant sur le graphe. Le graphique est également symétrique avec une ligne verticale tracée à travers le sommet, appelée le axe de symétrie. Ces fonctionnalités sont illustrées dans la figure (PageIndex{2}).

L'ordonnée à l'origine est le point auquel la parabole croise l'axe (y). Les abscisses sont les points auxquels la parabole croise l'axe (x). S'ils existent, les abscisses à l'origine représentent le zéros, ou alors les racines, de la fonction quadratique, les valeurs de (x) auxquelles (y=0).

Exemple (PageIndex{1}) : Identification des caractéristiques d'une parabole

Déterminez le sommet, l'axe de symétrie, les zéros et l'ordonnée à l'origine de la parabole illustrée à la figure (PageIndex{3}).

Solution

Le sommet est le point tournant du graphe. Nous pouvons voir que le sommet est à ((3,1)). Parce que cette parabole s'ouvre vers le haut, l'axe de symétrie est la ligne verticale qui coupe la parabole au sommet. L'axe de symétrie est donc (x=3). Cette parabole ne traverse pas l'axe des x, elle n'a donc pas de zéros. Il croise l'axe (y) à ((0,7)) c'est donc l'ordonnée à l'origine.

Le forme générale d'une fonction quadratique présente la fonction sous la forme

[f(x)=ax^2+bx+c]

où (a), (b) et (c) sont des nombres réels et (a{ eq}0). Si (a>0), la parabole s'ouvre vers le haut. Si (a<0), la parabole s'ouvre vers le bas. Nous pouvons utiliser la forme générale d'une parabole pour trouver l'équation de l'axe de symétrie.

L'axe de symétrie est défini par (x=−frac{b}{2a}). Si nous utilisons la formule quadratique, (x=frac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a}), pour résoudre (ax^2+bx+c=0 ) pour les abscisses, ou zéros, on trouve la valeur de (x) à mi-chemin entre elles est toujours (x=−frac{b}{2a}), l'équation de l'axe de symétrie.

La figure (PageIndex{4}) représente le graphique de la fonction quadratique écrite sous forme générale comme (y=x^2+4x+3). Sous cette forme, (a=1), (b=4) et (c=3). Parce que (a>0), la parabole s'ouvre vers le haut. L'axe de symétrie est (x=−frac{4}{2(1)}=−2). Cela a également du sens car nous pouvons voir sur le graphique que la ligne verticale (x=−2) divise le graphique en deux. Le sommet se trouve toujours le long de l'axe de symétrie. Pour une parabole qui s'ouvre vers le haut, le sommet apparaît au point le plus bas du graphe, dans ce cas, ((−2,−1)). Les abscisses, ces points où la parabole croise l'axe des x, se produisent à ((−3,0)) et ((−1,0)).

Le forme standard d'une fonction quadratique présente la fonction sous la forme

[f(x)=a(x−h)^2+k]

où ((h, k)) est le sommet. Étant donné que le sommet apparaît sous la forme standard de la fonction quadratique, cette forme est également connue sous le nom de forme de sommet d'une fonction quadratique.

Comme pour la forme générale, si (a>0), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum. Si (a<0), la parabole s'ouvre vers le bas, et le sommet est un maximum. La figure (PageIndex{5}) représente le graphe de la fonction quadratique écrite sous forme standard comme (y=−3(x+2)^2+4). Puisque (x–h=x+2) dans cet exemple, (h=–2). Sous cette forme, (a=−3), (h=−2) et (k=4). Parce que (a<0), la parabole s'ouvre vers le bas. Le sommet est à ((−2, 4)).

La forme standard est utile pour déterminer comment le graphique est transformé à partir du graphique de (y=x^2). La figure (PageIndex{6}) est le graphique de cette fonction de base.

Si (k>0), le graphe se décale vers le haut, alors que si (k<0), le graphe se décale vers le bas. Dans la figure (PageIndex{5}), (k>0), le graphique est donc décalé de 4 unités vers le haut. Si (h>0), le graphe se décale vers la droite et si (h<0), le graphe se décale vers la gauche. Dans la figure (PageIndex{5}), (h<0), le graphique est donc décalé de 2 unités vers la gauche. L'amplitude de (a) indique l'étirement du graphique. Si (|a|>1), le point associé à une valeur x particulière s'éloigne de l'axe x, de sorte que le graphique semble devenir plus étroit et qu'il y a un étirement vertical. Mais si (|a|<1), le point associé à une valeur x particulière se rapproche de l'axe x, donc le graphique semble devenir plus large, mais en fait il y a une compression verticale. Dans la figure (PageIndex{5}), (|a|>1), le graphique devient plus étroit.

La forme standard et la forme générale sont des méthodes équivalentes pour décrire la même fonction. Nous pouvons le voir en développant la forme générale et en la fixant égale à la forme standard.

[egin{align*} a(x−h)^2+k &= ax^2+bx+c [4pt] ax^2−2ahx+(ah^2+k)&=ax^2+ bx+c end{align*} ]

Pour que les termes linéaires soient égaux, les coefficients doivent être égaux.

[–2ah=b ext{, donc } h=−dfrac{b}{2a}. pas de numéro]

C'est le axe de symétrie nous avons défini plus tôt. Mettre les termes constants égaux :

[egin{align*} ah^2+k&=c k&=c−ah^2 &=c−a−Big(dfrac{b}{2a}Big)^2 &=c−dfrac{b^2}{4a} end{align*}]

En pratique, cependant, il est généralement plus facile de se rappeler que (k) est la valeur de sortie de la fonction lorsque l'entrée est (h), donc (f(h)=k).

Définitions : formes de fonctions quadratiques

Une fonction quadratique est une fonction de degré deux. Le graphique d'un fonction quadratique est une parabole.

  • Le Forme générale d'une fonction quadratique est (f(x)=ax^2+bx+c) où (a), (b) et (c) sont des nombres réels et (a{ eq }0).
  • La forme standard d'une fonction quadratique est (f(x)=a(x−h)^2+k).
  • Le sommet ((h,k)) est situé à [h=–dfrac{b}{2a},;k=f(h)=f(dfrac{−b}{2a}). ]

HOWTO : Écrire une fonction quadratique sous une forme générale

Étant donné un graphique d'une fonction quadratique, écrivez l'équation de la fonction sous sa forme générale.

  1. Identifier le décalage horizontal de la parabole ; cette valeur est (h). Identifier le déplacement vertical de la parabole ; cette valeur est (k).
  2. Remplacez les valeurs du décalage horizontal et vertical par (h) et (k). dans la fonction (f(x)=a(x–h)^2+k).
  3. Substituez les valeurs de n'importe quel point, autre que le sommet, sur le graphique de la parabole pour (x) et (f(x)).
  4. Résolvez le facteur d'étirement, (|a|).
  5. Si la parabole s'ouvre, (a>0). Si la parabole s'ouvre vers le bas, (a<0) car cela signifie que le graphique a été réfléchi autour de l'axe des x.
  6. Développez et simplifiez pour écrire sous une forme générale.

Exemple (PageIndex{2}) : écriture de l'équation d'une fonction quadratique à partir du graphique

Écrivez une équation pour la fonction quadratique (g) dans la figure (PageIndex{7}) comme une transformation de (f(x)=x^2), puis développez la formule et simplifiez les termes en écrire l'équation sous sa forme générale.

Solution

On peut voir que le graphe de (g) est le graphe de (f(x)=x^2) décalé vers la gauche 2 et vers le bas 3, donnant une formule sous la forme (g(x)=a (x+2)^2–3).

En substituant les coordonnées d'un point sur la courbe, telles que ((0,−1)), nous pouvons résoudre le facteur d'étirement.

[egin{align} -1&=a(0+2)^2−3 2&=4a a&=dfrac{1}{2} end{align}]

Sous forme standard, le modèle algébrique de ce graphe est (g(x)=dfrac{1}{2}(x+2)^2–3).

Pour écrire cela sous forme polynomiale générale, nous pouvons développer la formule et simplifier les termes.

[egin{align} g(x)&=dfrac{1}{2}(x+2)^2−3 &=dfrac{1}{2}(x+2)(x+ 2)−3 &=dfrac{1}{2}(x^2+4x+4)−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x+2−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x−1 end{align}]

Notez que les décalages horizontaux et verticaux du graphique de base de la fonction quadratique déterminent l'emplacement du sommet de la parabole ; le sommet n'est pas affecté par les étirements et les compressions.

Une analyse

Nous pouvons vérifier notre travail en utilisant la fonction de tableau sur un utilitaire graphique. Saisissez d'abord (mathrm{Y1=dfrac{1}{2}(x+2)^2−3}). Ensuite, sélectionnez (mathrm{TBLSET}), puis utilisez (mathrm{TblStart=–6}) et (mathrm{ΔTbl = 2}), et sélectionnez (mathrm{TABLE} ). Voir le tableau (PageIndex{1})

Tableau (PageIndex{1})
(X)-6-4-202
(y)-5-1-3-15

Les paires ordonnées dans le tableau correspondent aux points du graphique.

Exercice (PageIndex{2})

Une grille de coordonnées a été superposée sur le chemin quadratique d'un ballon de basket dans la figure (PageIndex{8}). Trouvez une équation pour la trajectoire de la balle. Le tireur fait-il le panier ?

Figure (PageIndex{8}) : Arrêtez l'image animée d'un garçon lançant un ballon de basket dans un cerceau pour montrer la courbe parabolique qu'il forme.
(crédit : modification d'œuvre par Dan Meyer)

Réponse

Le chemin passe par l'origine et a un sommet à ((−4, 7)), donc (h(x)=–frac{7}{16}(x+4)^2+7). Pour faire le tir, (h(−7,5)) devrait être d'environ 4 mais (h(–7,5){approx}1,64); il n'y arrive pas.

Étant donné une fonction quadratique sous sa forme générale, trouvez le sommet de la parabole.

  1. Identifiez (a), (b) et (c).
  2. Trouvez (h), la coordonnée x du sommet, en substituant (a) et (b) dans (h=–frac{b}{2a}).
  3. Trouvez (k), la coordonnée y du sommet, en évaluant (k=f(h)=fBig(−frac{b}{2a}Big)).

Exemple (PageIndex{3}): Recherche du sommet d'une fonction quadratique

Trouvez le sommet de la fonction quadratique (f(x)=2x^2–6x+7). Réécrivez le quadratique sous forme standard (forme sommet).

Solution

La coordonnée horizontale du sommet sera à

[egin{align} h&=–dfrac{b}{2a} &=-dfrac{-6}{2(2)} &=dfrac{6}{4} & =dfrac{3}{2}end{align}]

La coordonnée verticale du sommet sera à

[egin{align} k&=f(h) &=fBig(dfrac{3}{2}Big) &=2Big(dfrac{3}{2}Big )^2−6Grand(dfrac{3}{2}Grand)+7 &=dfrac{5}{2} end{align}]

En réécrivant sous forme standard, le facteur d'étirement sera le même que le (a) dans le quadratique d'origine.

[f(x)=ax^2+bx+c f(x)=2x^2−6x+7]

En utilisant le sommet pour déterminer les décalages,

[f(x)=2Grand(x–dfrac{3}{2}Grand)^2+dfrac{5}{2}]

Une analyse

Une des raisons pour lesquelles nous pouvons vouloir identifier le sommet de la parabole est que ce point nous informera de la valeur maximale ou minimale de la fonction, ((k)), et où elle se produit, ((h)) .

Exercice (PageIndex{3})

Étant donné l'équation (g(x)=13+x^2−6x), écrivez l'équation sous forme générale puis sous forme standard.

Réponse

(g(x)=x^2−6x+13) sous forme générale ; (g(x)=(x−3)^2+4) sous forme standard.

Trouver le domaine et l'étendue d'une fonction quadratique

N'importe quel nombre peut être la valeur d'entrée d'une fonction quadratique. Par conséquent, le domaine de toute fonction quadratique est constitué de tous les nombres réels. Comme les paraboles ont un point maximum ou minimum, la portée est restreinte. Étant donné que le sommet d'une parabole sera soit un maximum, soit un minimum, la plage se composera de toutes les valeurs y supérieures ou égales à la coordonnée y au tournant ou inférieures ou égales à la coordonnée y au tournant selon que la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.

Définition : domaine et étendue d'une fonction quadratique

Le domaine de tout fonction quadratique sont tous des nombres réels.

La plage d'une fonction quadratique écrite sous la forme générale (f(x)=ax^2+bx+c) avec une valeur positive (a) est (f(x){geq}f ( − frac{b}{2a}Big)), ou ([ f(−frac{b}{2a}),∞ ) ); l'étendue d'une fonction quadratique écrite sous forme générale avec une valeur a négative est (f(x) leq f(−frac{b}{2a})), ou ((−∞,f(− frac{b}{2a})]).

La plage d'une fonction quadratique écrite sous la forme standard (f(x)=a(x−h)^2+k) avec une valeur (a) positive est (f(x) geq k; ) la plage d'une fonction quadratique écrite sous forme standard avec une valeur négative (a) est (f(x) leq k).

Étant donné une fonction quadratique, trouvez le domaine et l'étendue.

  1. Identifiez le domaine de toute fonction quadratique comme tous les nombres réels.
  2. Déterminez si (a) est positif ou négatif. Si (a) est positif, la parabole a un minimum. Si (a) est négatif, la parabole a un maximum.
  3. Déterminer la valeur maximale ou minimale de la parabole, (k).
  4. Si la parabole a un minimum, la plage est donnée par (f(x){geq}k), ou (left[k,infty ight)). Si la parabole a un maximum, la plage est donnée par (f(x){leq}k), ou (left(−infty,k ight]).

Exemple (PageIndex{4}): Recherche du domaine et de la plage d'une fonction quadratique

Trouvez le domaine et la plage de (f(x)=−5x^2+9x−1).

Solution

Comme pour toute fonction quadratique, le domaine est constitué de nombres réels.

Comme (a) est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas et a une valeur maximale. Nous devons déterminer la valeur maximale. Nous pouvons commencer par trouver la valeur x du sommet.

[egin{align} h&=−dfrac{b}{2a} &=−dfrac{9}{2(-5)} &=dfrac{9}{10} end{ aligner}]

La valeur maximale est donnée par (f(h)).

[egin{align} f(dfrac{9}{10})&=5(dfrac{9}{10})^2+9(dfrac{9}{10})-1 & = dfrac{61}{20}end{align}]

La plage est (f(x){leq}frac{61}{20}), ou (left(−infty,frac{61}{20} ight]).

Exercice (PageIndex{4})

Trouvez le domaine et la plage de (f(x)=2Big(x−frac{4}{7}Big)^2+frac{8}{11}).

Réponse

Le domaine est composé de nombres réels. La plage est (f(x){geq}frac{8}{11}), ou (left[frac{8}{11},infty ight)).

Détermination des valeurs maximales et minimales des fonctions quadratiques

La sortie de la fonction quadratique au sommet est la valeur maximale ou minimale de la fonction, selon l'orientation de la parabole. Nous pouvons voir les valeurs maximales et minimales dans la figure (PageIndex{9}).

Il existe de nombreux scénarios du monde réel qui impliquent de trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction quadratique, telles que des applications impliquant une superficie et des revenus.

Exemple (PageIndex{5}): Recherche de la valeur maximale d'une fonction quadratique

Une agricultrice souhaite aménager un espace rectangulaire pour un nouveau jardin dans sa cour clôturée. Elle a acheté 80 pieds de clôture métallique pour entourer trois côtés, et elle utilisera une section de la clôture de la cour arrière comme quatrième côté.

  1. Trouvez une formule pour la zone délimitée par la clôture si les côtés de la clôture perpendiculaires à la clôture existante ont une longueur (L).
  2. Quelles dimensions doit-elle faire de son jardin pour maximiser l'espace clos ?

Solution

Utilisons un diagramme tel que la figure (PageIndex{10}) pour enregistrer les informations données. Il est également utile d'introduire une variable temporaire, (W), pour représenter la largeur du jardin et la longueur de la section de clôture parallèle à la clôture de la cour.

une. Nous savons que nous n'avons que 80 pieds de clôture disponibles, et (L+W+L=80), ou plus simplement, (2L+W=80). Cela nous permet de représenter la largeur, (W), en termes de (L).

[W=80-2L]

Maintenant, nous sommes prêts à écrire une équation pour la zone délimitée par la clôture. Nous savons que l'aire d'un rectangle est la longueur multipliée par la largeur, donc

[egin{align} A&=LW=L(80−2L) A(L)&=80L−2L^2 end{align}]

Cette formule représente l'aire de la clôture en termes de longueur variable (L). La fonction, écrite sous forme générale, est

[A(L)=−2L^2+80L].

Le quadratique a un coefficient directeur négatif, donc le graphique s'ouvrira vers le bas et le sommet sera la valeur maximale pour la zone. Pour trouver le sommet, il faut être prudent car l'équation n'est pas écrite sous forme polynomiale standard avec des puissances décroissantes. C'est pourquoi nous avons réécrit la fonction sous sa forme générale ci-dessus. Puisque (a) est le coefficient du terme au carré, (a=−2), (b=80) et (c=0).

Pour trouver le sommet :

[egin{align} h& =−dfrac{80}{2(−2)} &k&=A(20) &=20 & ext{and} ;;;; &=80(20)−2(20)^2 &&&=800 end{align}]

La valeur maximale de la fonction est une superficie de 800 pieds carrés, qui se produit lorsque (L=20) pieds. Lorsque les côtés les plus courts mesurent 20 pieds, il reste 40 pieds de clôture pour le côté le plus long. Pour maximiser la superficie, elle devrait clôturer le jardin de sorte que les deux côtés les plus courts aient une longueur de 20 pieds et le côté le plus long parallèle à la clôture existante ait une longueur de 40 pieds.

Une analyse

Ce problème pourrait également être résolu en traçant le graphique de la fonction quadratique. Nous pouvons voir où se produit l'aire maximale sur un graphique de la fonction quadratique de la figure (PageIndex{11}).

Étant donné une application impliquant des revenus, utilisez une équation quadratique pour trouver le maximum.

  1. Écrivez une équation quadratique pour les revenus.
  2. Trouvez le sommet de l'équation quadratique.
  3. Déterminez la valeur y du sommet.

Exemple (PageIndex{6}) : Recherche de revenus maximum

Le prix unitaire d'un article affecte son offre et sa demande. Autrement dit, si le prix unitaire augmente, la demande pour l'article diminuera généralement. Par exemple, un journal local compte actuellement 84 000 abonnés à un tarif trimestriel de 30 $. Une étude de marché a suggéré que si les propriétaires augmentaient le prix à 32 $, ils perdraient 5 000 abonnés. En supposant que les abonnements soient linéairement liés au prix, quel prix le journal devrait-il facturer pour un abonnement trimestriel afin de maximiser ses revenus ?

Solution

Les revenus sont le montant d'argent qu'une entreprise rapporte. Dans ce cas, les revenus peuvent être trouvés en multipliant le prix par abonnement par le nombre d'abonnés, ou la quantité. On peut introduire des variables, (p) pour le prix par abonnement et (Q) pour la quantité, nous donnant l'équation ( ext{Revenu}=pQ).

Comme le nombre d'abonnés change avec le prix, nous devons trouver une relation entre les variables. Nous savons qu'actuellement (p=30) et (Q=84 000). On sait aussi que si le prix monte à 32 $, le journal perdrait 5 000 abonnés, ce qui donne une deuxième paire de valeurs, (p=32) et (Q=79 000). De là, nous pouvons trouver une équation linéaire reliant les deux quantités. La pente sera

[egin{align} m&=dfrac{79.000−84.000}{32−30} &=−dfrac{5.000}{2} &=−2.500 end{align}]

Cela nous indique que le journal perdra 2 500 abonnés pour chaque dollar d'augmentation du prix. Nous pouvons alors résoudre pour l'ordonnée à l'origine.

[egin{align} Q&=−2500p+b & ext{Remplacer dans le point $Q=84.000$ et $p=30$} 84.000&=−2500(30)+b & ext{Résoudre pour $b$} b&=159 000 end{align}]

Cela nous donne l'équation linéaire (Q=−2 500p+159 000) reliant le coût et les abonnés. Revenons maintenant à notre équation de revenus.

[egin{align} ext{Revenus}&=pQ ext{Revenus}&=p(-2 500p+159 000) ext{Revenus}&=-2 500p^2+159 000p fin{aligner}]

Nous avons maintenant une fonction quadratique pour les revenus en fonction des frais d'abonnement. Pour trouver le prix qui maximisera les revenus du journal, nous pouvons trouver le sommet.

[egin{align} h&=−dfrac{159 000}{2(-2 500)} &=31,8 end{align}]

Le modèle nous dit que le revenu maximum se produira si le journal facture 31,80 $ pour un abonnement. Pour trouver quel est le revenu maximum, nous évaluons la fonction de revenu.

[egin{align} ext{revenu maximum}&=-2 500(31,8)^2+159 000(31,8) &=2 528 100 end{align}]

Une analyse

Cela pourrait également être résolu en traçant le quadratique comme dans la figure (PageIndex{12}). Nous pouvons voir le revenu maximum sur un graphique de la fonction quadratique.

Trouver les abscisses x et y d'une fonction quadratique

Tout comme nous l'avons fait dans les problèmes d'application ci-dessus, nous devons également trouver des interceptions d'équations quadratiques pour tracer des paraboles. Rappelons que nous trouvons l'ordonnée à l'origine d'un quadratique en évaluant la fonction à une entrée de zéro, et nous trouvons l'ordonnée à l'origine aux emplacements où la sortie est nulle. Notez dans la figure (PageIndex{13}) que le nombre d'intersections x peut varier en fonction de l'emplacement du graphique.

Donné une fonction quadratique (f(x)), trouvez les ordonnées et les abscisses à l'origine.

  1. Évaluez (f(0)) pour trouver l'ordonnée à l'origine.
  2. Résolvez l'équation quadratique (f(x)=0) pour trouver les abscisses à l'origine.

Exemple (PageIndex{7}): Recherche des intersections y et x d'une parabole

Trouvez les ordonnées à l'origine et x du quadratique (f(x)=3x^2+5x−2).

Solution

Nous trouvons l'ordonnée à l'origine en évaluant (f(0)).

[egin{align} f(0)&=3(0)^2+5(0)−2 &=−2 end{align}]

L'ordonnée à l'origine est donc à ((0,−2)).

Pour les abscisses, on trouve toutes les solutions de (f(x)=0).

[0=3x^2+5x−2]

Dans ce cas, le quadratique peut être facilement factorisé, fournissant la méthode la plus simple pour la solution.

[0=(3x−1)(x+2)]

[egin{align} 0&=3x−1 & 0&=x+2 x&= frac{1}{3} & ext{or} ;;;;;;; ; x&=−2 end{align}]

Les abscisses à l'origine sont donc à ((frac{1}{3},0)) et ((-2,0)).

Une analyse

En traçant le graphique de la fonction, nous pouvons confirmer que le graphique croise l'axe (y) à ((0,−2)). Nous pouvons également confirmer que le graphe croise l'axe des x en (Big(frac{1}{3},0Big)) et ((−2,0)). Voir la figure (PageIndex{14}).

Réécriture de quadratiques sous forme standard

Dans l'exemple (PageIndex{7}), le quadratique a été facilement résolu par factorisation. Cependant, il y a beaucoup de quadratiques qui ne peuvent pas être factorisés. Nous pouvons résoudre ces quadratiques en les réécrivant d'abord sous forme standard.

Donné une fonction quadratique, trouvez les abscisses à l'origine en réécrivant sous forme standard.

  1. Remplacez a et (b) par (h=−frac{b}{2a}).
  2. Substituez (x=h) dans la forme générale de la fonction quadratique pour trouver (k).
  3. Réécrivez le quadratique sous forme standard en utilisant (h) et (k).
  4. Résolvez le moment où la sortie de la fonction sera nulle pour trouver les abscisses à l'origine.

Exemple (PageIndex{8}) : Recherche des abscisses d'une parabole

Trouvez les abscisses de la fonction quadratique (f(x)=2x^2+4x−4).

Solution

Nous commençons par déterminer quand la sortie sera nulle.

[0=2x^2+4x−4 onumber]

Parce que le quadratique n'est pas facilement factorisable dans ce cas, nous résolvons les interceptions en réécrivant d'abord le quadratique sous forme standard.

[f(x)=a(x−h)^2+k onumber]

On sait que (a=2). Ensuite, nous résolvons pour (h) et (k).

[egin{align*} h&=−dfrac{b}{2a} & k&=f(−1) &=−dfrac{4}{2(2)} & &=2(−1 )^2+4(−1)−4 &=−1 & &=−6 end{align*}]

Alors maintenant, nous pouvons réécrire sous forme standard.

[f(x)=2(x+1)^2−6 onumber]

Nous pouvons maintenant déterminer quand la sortie sera nulle.

[egin{align*} 0&=2(x+1)^2−6 6&=2(x+1)^2 3&=(x+1)^2 x+1&={ pm}sqrt{3} x&=−1{pm}sqrt{3} end{align*}]

Le graphe a des abscisses à l'origine ((−1−sqrt{3},0)) et ((−1+sqrt{3},0)).

Une analyse

Nous pouvons vérifier notre travail en représentant graphiquement la fonction donnée sur un utilitaire graphique et en observant les abscisses à l'origine. Voir la figure (PageIndex{15}).

Exercice (PageIndex{1})

Dans Try It (PageIndex{1}), nous avons trouvé la forme standard et générale de la fonction (g(x)=13+x^2−6x). Trouvez maintenant les ordonnées à l'origine et les abscisses (le cas échéant).

Réponse

Y à l'origine à ((0, 13)), pas de x à l'origine

Exemple (PageIndex{9}): Résolution d'une équation quadratique avec la formule quadratique

Résoudre (x^2+x+2=0).

Solution

Commençons par écrire la formule quadratique : (x=frac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a}).

Lors de l'application de la formule quadratique, nous identifions les coefficients (a), (b) et (c). Pour l'équation (x^2+x+2=0), nous avons (a=1), (b=1) et (c=2). En remplaçant ces valeurs dans la formule, nous avons :

[egin{align*} x&=dfrac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a} &=dfrac{−1{pm}sqrt{1^ 2−4⋅1⋅(2)}}{2⋅1} &=dfrac{−1{pm}sqrt{1−8}}{2} &=dfrac{−1{ pm}sqrt{−7}}{2} &=dfrac{−1{pm}isqrt{7}}{2} end{align*}]

Les solutions de l'équation sont (x=frac{−1+isqrt{7}}{2}) et (x=frac{−1-isqrt{7}}{2} ) ou (x=−frac{1}{2}+frac{isqrt{7}}{2}) et (x=frac{-1}{2}−frac{i sqrt{7}}{2}).

Exemple (PageIndex{10}): Application du sommet et des abscisses d'une parabole

Une balle est lancée vers le haut depuis le sommet d'un bâtiment de 40 pieds de haut à une vitesse de 80 pieds par seconde. La hauteur de la balle au-dessus du sol peut être modélisée par l'équation (H(t)=−16t^2+80t+40).

Quand la balle atteint-elle la hauteur maximale ?
Quelle est la hauteur maximale de la balle ?
Quand la balle touche-t-elle le sol ?

La boule atteint la hauteur maximale au sommet de la parabole.
[egin{align} h &= −dfrac{80}{2(−16)} &=dfrac{80}{32} &=dfrac{5}{2} & =2.5 end{align}]

La balle atteint une hauteur maximale après 2,5 secondes.

Pour trouver la hauteur maximale, trouvez la coordonnée y du sommet de la parabole.
[egin{align} k &=H(−dfrac{b}{2a}) &=H(2,5) &=−16(2,5)^2+80(2,5)+40 &=140 end{align}]

La balle atteint une hauteur maximale de 140 pieds.

Pour trouver quand la balle touche le sol, nous devons déterminer quand la hauteur est nulle, (H(t)=0).

Nous utilisons la formule quadratique.

[egin{align} t & =dfrac{−80±sqrt{80^2−4(−16)(40)}}{2(−16)} & = dfrac{−80± sqrt{8960}}{−32} end{align} ]

Parce que la racine carrée ne simplifie pas bien, nous pouvons utiliser une calculatrice pour approximer les valeurs des solutions.

[t=dfrac{−80-sqrt{8960}}{−32} 5.458 ext{ ou }t=dfrac{−80+sqrt{8960}}{−32} ≈−0.458 ]

La deuxième réponse est en dehors du domaine raisonnable de notre modèle, nous concluons donc que la balle touchera le sol après environ 5,458 secondes. Voir la figure (PageIndex{16}).

(PageIndex{5}): Un rocher est projeté vers le haut depuis le sommet d'une falaise de 112 pieds de haut surplombant l'océan à une vitesse de 96 pieds par seconde. La hauteur de la roche au-dessus de l'océan peut être modélisée par l'équation (H(t)=−16t^2+96t+112).

  1. Quand le rocher atteint-il la hauteur maximale ?
  2. Quelle est la hauteur maximale du rocher ?
  3. Quand la roche frappe-t-elle l'océan ?

Solution

une. 3 secondes b. 256 pieds c. 7 secondes

Équations clés

  • forme générale d'une fonction quadratique : (f(x)=ax^2+bx+c)
  • la formule quadratique : (x=dfrac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a})
  • forme standard d'une fonction quadratique : (f(x)=a(x−h)^2+k)

Concepts clés

  • Une fonction polynomiale de degré deux est appelée fonction quadratique.
  • Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Une parabole est une courbe en forme de U qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas.
  • L'axe de symétrie est la ligne verticale passant par le sommet. Les zéros, ou abscisses à l'origine, sont les points auxquels la parabole croise l'axe des x. L'ordonnée à l'origine est le point auquel la parabole croise l'axe (y).
  • Les fonctions quadratiques sont souvent écrites sous une forme générale. La forme standard ou sommet est utile pour identifier facilement le sommet d'une parabole. L'une ou l'autre forme peut être écrite à partir d'un graphique.
  • Le sommet peut être trouvé à partir d'une équation représentant une fonction quadratique. .
  • Le domaine d'une fonction quadratique est constitué de tous les nombres réels. La portée varie selon la fonction.
  • La valeur minimale ou maximale d'une fonction quadratique est donnée par la valeur y du sommet.
  • La valeur minimale ou maximale d'une fonction quadratique peut être utilisée pour déterminer l'étendue de la fonction et pour résoudre de nombreux types de problèmes du monde réel, y compris des problèmes impliquant la superficie et les revenus.
  • Certaines équations quadratiques doivent être résolues en utilisant la formule quadratique.
  • Le sommet et les interceptions peuvent être identifiés et interprétés pour résoudre des problèmes du monde réel.

Glossaire

axe de symétrie
une ligne verticale passant par le sommet d'une parabole autour de laquelle la parabole est symétrique ; il est défini par (x=−frac{b}{2a}).

forme générale d'une fonction quadratique
la fonction qui décrit une parabole, écrite sous la forme (f(x)=ax^2+bx+c), où (a,b,) et (c) sont des nombres réels et a≠0 .

forme standard d'une fonction quadratique
la fonction qui décrit une parabole, écrite sous la forme (f(x)=a(x−h)^2+k), où ((h, k)) est le sommet.

sommet
le point auquel une parabole change de direction, correspondant à la valeur minimale ou maximale de la fonction quadratique

forme de sommet d'une fonction quadratique
un autre nom pour la forme standard d'une fonction quadratique

zéros
dans une fonction donnée, les valeurs de (x) auxquelles (y=0), aussi appelées racines


Voir la vidéo: Kuvaajia trigonometriset funktiot eli sini ja kosini (Octobre 2021).