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1.6 : Formule d'Euler


La formule d'Euler (prononcé « oilers ») relie les exponentielles complexes, les coordonnées polaires et les sinus et cosinus. La formule est la suivante :

[e^{i heta} = cos ( heta) + i sin ( heta). label{1.6.1}]

Il y a plusieurs façons d'aborder la formule d'Euler. Notre approche consiste simplement à prendre l'équation ef{1.6.1} comme définition des exponentielles complexes. C'est légal, mais cela ne montre pas que c'est une bonne définition. Pour ce faire, nous devons montrer que le (e^{i heta}) obéit à toutes les règles que nous attendons d'une exponentielle. Pour ce faire, nous parcourons systématiquement les propriétés des exponentielles et vérifions qu'elles sont valables pour les exponentielles complexes.

(e^{i heta}) se comporte comme une vraie exponentielle

P1

(e^{i t}) se différencie comme prévu :

[dfrac{de^{it}}{dt} = c'est-à-dire^{it}. onumber]

Preuve

Cela découle directement de la définition de l'équation ef{1.6.1} :

[ egin{align*} dfrac{de^{it}}{dt} &= dfrac{d}{dt} (cos (t) + i sin (t)) [4pt] & = -sin (t) + i cos (t) [4pt] &= i (cos (t) + i sin (t)) [4pt] &= ie^{it}. end{align*}]

P2

[e^{i cdot 0} = 1 . pas de numéro]

Preuve

Cela découle directement de la définition de l'équation ef{1.6.1} :

(e^{i cdot 0} = cos (0) + i sin (0) = 1).

P3

Les règles habituelles des exposants tiennent :

[e^{ia} e^{ib} = e^{i(a + b)}. onumber]

Preuve

Cela repose sur les formules d'addition cosinus et sinus et sur la définition de l'équation ef{1.6.1} :

[egin{align*} e^{ia} cdot e^{ib} & = (cos (a) + i sin (a)) cdot (cos (b) + i sin (b )) [4pt] & = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) + i (cos (a) sin (b) + sin (a) cos (b)) [4pt] & = cos (a + b) + i sin (a + b) = e^{i (a + b)}. end{align*}]

P4

La définition de (e^{i heta}) est cohérente avec la série entière pour (e^x).

Preuve

Pour voir cela, nous devons rappeler les séries entières pour (e^x), (cos (x)) et (sin (x)). Ils sont

[egin{align*} e^x & = 1 + x + dfrac{x^2}{2!} + dfrac{x^3}{3!} + dfrac{x^4}{4 !} + ... [4pt] cos (x) & = 1 - dfrac{x^2}{2!} + dfrac{x^4}{4!} - dfrac{x^6 }{6!} + ldots [4pt] sin (x) & = x - dfrac{x^3}{3!} + dfrac{x^5}{5!} + ... end{align*}]

Maintenant, nous pouvons écrire la série entière pour (e^{i heta}) puis la diviser en séries entières pour le sinus et le cosinus :

[egin{align*} e^{i heta} & = sum_{0}^{infty} dfrac{(i heta)^n}{n!} [4pt] & = sum_{0}^{infty} (-1)^k dfrac{ heta ^{2k}}{(2k)!} + i sum_{0}^{infty} (-1)^k dfrac{ heta ^{2k + 1}}{(2k + 1)!} [4pt] & = cos ( heta) + i sin ( heta). end{align*}]

La définition de la formule d'Euler est donc cohérente avec la série de puissances habituelle pour (e^x).

Propriétés P1-P4 devrait vous convaincre que (e^{i heta}) se comporte comme une exponentielle.

Exponentielles complexes et forme polaire

Passons maintenant à la relation entre les coordonnées polaires et les exponentielles complexes.

Supposons que (z = x + iy) ait les coordonnées polaires (r) et ( heta). C'est-à-dire que nous avons (x = r cos ( heta)) et (y = r sin ( heta)). On obtient ainsi la relation importante

[ egin{align*} z &= x + iy [4pt] &= r cos ( heta) + ir sin ( heta) [4pt] &= r (cos ( heta) ) + i sin ( heta)) [4pt] &= re^{i heta}. end{align*}]

C'est tellement important que vous ne devriez pas continuer sans comprendre. Nous l'enregistrons également sans l'équation intermédiaire.

[z = x + iy = r e^{i heta}.]

Parce que (r) et ( heta) sont les coordonnées polaires de ((x, y)) nous appelons (z = re^{i heta}) la forme polaire de (z ).

Vérifions maintenant que la grandeur, l'argument, le conjugué, la multiplication et la division sont faciles sous forme polaire.

Ordre de grandeur

(|e^{i heta}| = 1).

Preuve

[ egin{align*} |e^{i heta}| &= |cos ( heta) + i sin ( heta)| [4pt] &= sqrt{cos ^2 ( heta) + sin ^2 ( heta)} [4pt] &= 1 . end{align*}]

En mots, cela dit que (e^{i heta}) est toujours sur le cercle unité - c'est utile à retenir !

De même, si (z = r e^{i heta}) alors (|z| = r). Vous pouvez le calculer, mais cela devrait être clair d'après les définitions : (|z|) est la distance de (z) à l'origine, qui est exactement la même définition que pour (r).

Argument

Si (z = r e^{i heta}) alors ( ext{arg} (z) = heta).

Preuve

C'est encore la définition : l'argument est l'angle polaire ( heta).

Conjuguer

(overline{(z = r e^{i heta})} = r e^{-i heta}).

Preuve

[ egin{align*} overline{(z = re^{i heta})} &= overline{r (cos ( heta) + i sin ( heta))} [4pt ] &= r (cos ( heta) - i sin ( heta)) [4pt] &= r(cos (- heta) + i sin (- heta)) [4pt ] &= re^{-i heta}. end{align*}]

En mots : la conjugaison complexe change le signe de l'argument.

Multiplication

Si (z_1 = r_1 e^{i heta_1}) et (z_2 = r_2 e^{i heta_2}) alors

[z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i ( heta_1 + heta_2)}. pas de numéro]

C'est ce que les mathématiciens appellent trivial à voir, il suffit d'écrire la multiplication. En mots, la formule dit le pour (z_1 z_2) les grandeurs se multiplient et les arguments s'additionnent.

Division

Encore une fois c'est banal que

(dfrac{r_1 e^{i heta_1}}{r_2 e^{i heta_2}} = dfrac{r_1}{r_2} e^{i ( heta_1 - heta_2)}.)

Exemple (PageIndex{1}) : Multiplication par 2(i)

Voici un exemple simple mais important. En regardant le graphique, nous voyons que le nombre (2i) a une magnitude 2 et un argument (pi/2). Donc, en coordonnées polaires, il est égal à (2e^{i pi /2}). Cela signifie que la multiplication par (2i) multiplie les longueurs par 2 et ajoute (pi/2) aux arguments, c'est-à-dire qu'elle tourne de (90^{circ}). L'effet est montré dans les figures ci-dessous

Exemple (PageIndex{2}) : élévation à une puissance

Calculons ((1 + i)^6) et ((dfrac{1 + i sqrt{3}}{2})^3)

Solution

(1 + i) a magnitude = (sqrt{2}) et ( ext{arg} = pi /4), donc (1 + i = sqrt{2} e^{ je pi /4}). Passer à une puissance est maintenant facile :

((1 + i)^6 = (sqrt{2} e^{i pi /4})^6 = 8 e^{6i pi /4} = 8 e^{3i pi /2} = -8i).

De même, (dfrac{1 + isqrt{3}}{2} = e^{i pi / 3}), donc ((dfrac{1 + isqrt{3}}{2 })^3 = (1 cdot e^{i pi / 3})^3 = e^{i pi} = -1)

Complexification ou remplacement complexe

Dans l'exemple suivant, nous allons illustrer la technique de complexification ou alors remplacement complexe. Cela peut être utilisé pour simplifier une intégrale trigonométrique. Cela nous sera utile lorsque nous aurons besoin de calculer certaines intégrales.

Exemple (PageIndex{3})

Utiliser le remplacement complexe pour calculer

[I = int e^x cos (2x) dx.]

Solution

On a la formule d'Euler

[e^{2ix} = cos (2x) + i sin (2x),]

donc (cos (2x) = ext{Re} (e^{2ix})). L'astuce de remplacement complexe consiste à remplacer (cos (2x)) par (e^{2ix}). On obtient (justification ci-dessous)

[I_c = int e^x cos 2x + ie^x sin 2x dx]

avec

[I = ext{Re} (I_c)]

Le calcul (I_c) est simple :

[I_c = int e^xe^{i2x} dx = int e^{x(1 + 2i)} dx = dfrac{e^{x(1 + 2i)}}{1 + 2i} .]

Ici, nous allons d'abord effectuer le calcul en coordonnées rectangulaires. Dans les applications, par exemple tout au long de 18.03, la forme polaire est souvent préférée car elle est plus simple et donne la réponse sous une forme plus utilisable.

[egin{array} {rcl} {I_c} & = & {dfrac{e^{x(1 + 2i)}}{1 + 2i} cdot dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} } {} & = & {dfrac{e^x (cos (2x) + i sin (2x)) (1 - 2i)}{5}} {} & = & {dfrac{ 1}{5} e^x (cos (2x) + 2 sin (2x) + i (-2 cos (2x) + sin (2x)))} end{array}]

Alors,

[I = ext{Re} (I_c) = dfrac{1}{5} e^x (cos (2x) + 2sin (2x)).]

Justification d'un remplacement complexe. L'astuce consiste à ajouter intelligemment une nouvelle intégrale à (I) comme suit, soit (J = int e^x sin (2x) dx). Ensuite, nous laissons

[I_c = I + iJ = int e^x (cos (2x) + i sin (2x)) dx = int e^x 2^{2ix} dx.]

Clairement, par construction, ( ext{Re} (I_c) = I) comme indiqué ci-dessus.

Alternative en utilisant des coordonnées polaires pour simplifier l'expression pour (I_c):

Sous forme polaire, on a (1 + 2i = re^{i phi}), où (r = sqrt{5}) et (phi = ext{arg} (1 + 2i) = ext{tan}^{-1} (2)) dans le premier quadrant. Puis:

(I_c = dfrac{e^{x(1 + 2i)}}{sqrt{5} e^{i phi}} = dfrac{e^x}{sqrt{5}} e^{ i(2x - phi)} = dfrac{e^x}{sqrt{5}} (cos (2x - phi) + i sin (2x - phi))).

Ainsi,

[I = ext{Re} (I_c) = dfrac{e^x}{sqrt{5}} cos (2x - phi).]

(N)ième racines

Il va falloir pouvoir trouver les (n)ième racines des nombres complexes, c'est-à-dire résoudre des équations de la forme

[z^N = c,]

où (c) est un nombre complexe donné. Cela peut être fait plus facilement en exprimant (c) et (z) sous forme polaire, (c = Re^{i phi}) et (z = re^{i heta}) . Ensuite, lors de la substitution, nous devons résoudre

[r^N e^{iN heta} = Re^{i phi}]

Pour que les nombres complexes de gauche et de droite soient égaux, leurs grandeurs doivent être les mêmes et leurs arguments ne peuvent différer que d'un multiple entier de (2pi). Cela donne

[r = R^{1/N}) (N heta = phi + 2pi n), où (n = 0, pm 1, pm 2, ...]

En résolvant pour ( heta), nous avons

[ heta = dfrac{phi}{N} + dfrac{2pi n}{N}.]

Exemple (PageIndex{4})

Trouvez les 5 racines cinquièmes de 2.

Solution

Pour (c = 2), on a (R = 2) et (phi = 0), donc les racines cinquièmes de 2 sont

(z_n = 2^{1/5} e^{2n pi i/5}), où (n = 0, pm 1, pm 2, ...)

En regardant à droite, nous voyons que pour (n = 5) nous avons (2^{1/5} e^{2pi i}) qui est exactement la même que la racine lorsque (n = 0), c'est-à-dire (2^{1/5} e^{0i}). De même (n = 6) donne exactement la même racine que (n = 1), et ainsi de suite. Cela signifie que nous avons 5 racines différentes correspondant à (n = 0, 1, 2, 3, 4).

(z_n = 2^{1/5}, e^{1/5} e^{2pi i/5}, e^{1/5} e^{4pi i/5}, e^ {1/5} e^{6pi i/5}, e^{1/5} e^{8pi i/5})

De même on peut dire qu'en général (c = Re^{i phi}) a (N) (N) ième racines distinctes :

(z_n = r^{1/N} e^{i phi / N + i 2pi (n/N)}) pour (n = 0, 1, 2, ..., N - 1 ).

Exemple (PageIndex{5})

Trouvez les 4 racines de 1.

Solution

Nous devons résoudre (z^4 = 1), donc (phi = 0). Donc les 4 racines quatrièmes distinctes sont sous forme polaire

[z_n = 1, e^{i pi /2}, e^{i pi}, e^{i 3 pi /2}]

et en représentation cartésienne

[z_n = 1, i, -1, -i.]

Exemple (PageIndex{6})

Trouvez les 3 racines cubiques de -1.

Solution

(z^2 = -1 = e^{i pi + i 2 pi n}). Donc, (z_n = e^{i pi + i 2 pi (n/3)}) et les 3 racines cubiques sont (e^{i pi /3}), (e^{ i pi}), (e^{i 5 pi /3}). Puisque (pi /3) radians est (60^{circ}) nous pouvons simplifier :

(e^{i pi /3} = cos (pi / 3) + i sin (pi /3) = dfrac{1}{2} + i dfrac{sqrt{3}} {2} Rightarrow z_n = -1, dfrac{1}{2} pm i dfrac{sqrt{3}}{2})

Exemple (PageIndex{7})

Trouvez les 5 racines cinquièmes de (1 + i).

Solution

[z^5 = 1 + i = sqrt{2} e^{i (pi / 4 + 2npi)}]

pour (n = 0, 1, 2, ...). Ainsi, les 5 cinquièmes racines sont

(2^{1/10} e^{ipi /20}), (2^{1/10} e^{i9pi /20}), (2^{1/10 } e^{i17pi /20}), (2^{1/10} e^{i25pi /20}), (2^{1/10} e^{i33pi / 20}).

En utilisant une calculatrice, nous pourrions les écrire numériquement sous la forme (a + bi), mais il n'y a pas de simplification facile.

Exemple (PageIndex{8})

Nous devons vérifier que notre technique fonctionne comme prévu pour un problème simple. Trouvez les 2 racines carrées de 4.

Solution

(z^2 = 4 e^{i2 pi n}). Donc, (z_n = 2e^{i pi n}), avec (n = 0, 1). Donc les deux racines sont (2e^0 = 2) et (2e^{ipi} = -2) comme prévu !

La géométrie des (N)ième racines

En regardant les exemples ci-dessus, nous voyons que les racines sont toujours espacées uniformément autour d'un cercle centré à l'origine. Par exemple, les racines cinquièmes de (1 + i) sont espacées par incréments de (2pi / 5) radians autour du cercle de rayon (2^{1/5}).

Notez également que les racines des nombres réels viennent toujours par paires conjuguées.


Vingt preuves de la formule d'Euler : V-E+F=2

De nombreux théorèmes en mathématiques sont suffisamment importants pour avoir été prouvés à maintes reprises de manières étonnamment différentes. Les exemples incluent l'existence d'une infinité de nombres premiers, l'évaluation de zêta(2), le théorème fondamental de l'algèbre (les polynômes ont des racines), la réciprocité quadratique (une formule pour tester si une progression arithmétique contient un carré) et le théorème de Pythagore (qui selon Wells a au moins 367 preuves). Cela arrive aussi parfois pour des théorèmes sans importance, comme le fait que dans tout rectangle disséqué en rectangles plus petits, si chaque rectangle plus petit a une largeur ou une hauteur entières, le plus grand en fait de même.

Cette page répertorie les preuves de la formule d'Euler : pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets et de faces ensemble est exactement deux de plus que le nombre d'arêtes. Symboliquement V&moinsE+F=2. Par exemple, un tétraèdre a quatre sommets, quatre faces et six arêtes 4-6+4=2.

Une version de la formule date de plus de 100 ans avant Euler, à Descartes en 1630. Descartes donne une forme discrète du théorème de Gauss-Bonnet, indiquant que la somme des angles de face d'un polyèdre est 2&pi(V&moins2), à partir de laquelle il en déduit que le nombre d'angles plans est 2F+2V-4. Le nombre d'angles plans est toujours le double du nombre d'arêtes, ce qui équivaut à la formule d'Euler, mais des auteurs ultérieurs tels que Lakatos, Malkevitch et Polya ne sont pas d'accord, estimant que la distinction entre les angles de face et les arêtes est trop grande pour que cela soit possible. considéré comme la même formule. La formule V&moinsE+F=2 fut (re)découverte par Euler il en écrivit deux fois en 1750, et en 1752 en publia le résultat, avec une preuve erronée par induction pour les polyèdres triangulés basée sur la suppression d'un sommet et la retriangulation du trou formé par son suppression. L'étape de retriangulation ne préserve pas nécessairement la convexité ou la planéité de la forme résultante, donc l'induction ne passe pas. Une autre première tentative de preuve, par Meister en 1784, est essentiellement la preuve de suppression de triangle donnée ici, mais sans justifier l'existence d'un triangle à supprimer. En 1794, Legendre en fournit une preuve complète, en utilisant des angles sphériques. Cauchy est entré dans l'acte en 1811, citant Legendre et ajoutant des preuves incomplètes basées sur l'élimination du triangle, la décomposition de l'oreille et l'élimination du tétraèdre à partir d'une tétraèdre d'une partition du polyèdre en polyèdres plus petits. Hilton et Pederson fournissent plus de références ainsi que des spéculations divertissantes sur la découverte de la formule par Euler. De manière confuse, d'autres équations telles que e i pi = -1 et a phi( n ) = 1 (mod n ) portent également le nom de "formule d'Euler" Euler était un homme occupé.

La formule du polyèdre, bien sûr, peut être généralisée de nombreuses manières importantes, certaines en utilisant les méthodes décrites ci-dessous. Une généralisation importante concerne les graphes planaires. Pour former un graphe planaire à partir d'un polyèdre, placez une source lumineuse près d'une face du polyèdre et un plan de l'autre côté.

Les ombres des arêtes du polyèdre forment un graphe planaire, intégré de telle manière que les arêtes sont des segments de ligne droite. Les faces du polyèdre correspondent à des polygones convexes qui sont des faces du plongement. La face la plus proche de la source lumineuse correspond à la face extérieure de l'encastrement, qui est également convexe. A l'inverse, tout graphe planaire avec certaines propriétés de connectivité provient d'un polyèdre de cette manière.

Certaines des preuves ci-dessous utilisent uniquement la topologie du graphe planaire, certaines utilisent la géométrie de son plongement et certaines utilisent la géométrie tridimensionnelle du polyèdre d'origine. Les graphes de ces preuves ne seront pas nécessairement simples : les arêtes peuvent connecter un sommet à elles-mêmes, et deux sommets peuvent être connectés par plusieurs arêtes. Plusieurs des preuves reposent sur le théorème de la courbe de Jordan, qui lui-même a plusieurs preuves, mais celles-ci ne sont généralement pas basées sur la formule d'Euler, on peut donc utiliser les courbes de Jordan sans craindre un raisonnement circulaire.

  • Preuve 1 : Arbres interdigités
  • Preuve 2 : induction sur les visages
  • Preuve 3 : Induction sur les sommets
  • Preuve 4 : induction sur les bords
  • Preuve 5 : Diviser pour mieux régner
  • Preuve 6 : Charge électrique
  • Preuve 7 : double charge électrique
  • Preuve 8 : Somme des angles
  • Preuve 9 : Angles sphériques
  • Preuve 10 : Théorème de Pick
  • Preuve 11 : Décomposition de l'oreille
  • Preuve 12 : Le bombardement
  • Preuve 13 : Suppression du triangle
  • Preuve 14 : l'arche de Noé
  • Preuve 15 : Homologie binaire
  • Preuve 16 : partition d'espace binaire
  • Preuve 17 : Évaluations
  • Preuve 18 : Dispositions d'hyperplans
  • Preuve 19 : énumération en nombres entiers
  • Preuve 20 : Circuits Euler
  • Toutes les preuves
  • Les références

J'imagine qu'il serait possible de construire des inductions basées sur la représentation de polyèdres convexes comme des intersections de demi-espaces ou d'enveloppes convexes de points, mais la nécessité de gérer les entrées en position non générale rendrait les preuves résultantes assez compliquées.

Il semble également y avoir un lien potentiel avec les binômes : si l'on définit un polynôme p(t) = 1+Vt+Et 2 +Ft 3 +t 4 , la formule d'Euler peut être interprétée comme disant que p(t) est divisible par 1+t. Mais pour les simplexes de toute dimension, p(t)=(1+t) d+1 par la formule binomiale. Il existe peut-être une preuve de la formule d'Euler qui utilise ces polynômes directement plutôt que de simplement traduire l'une des inductions sous forme polynomiale. Jim Propp pose des questions similaires pour les polytopes de dimension infinie, interprétant p(t) comme une série entière (voir aussi son récent développement de ces idées).


Explication de la leçon : formule d'Euler pour les identités trigonométriques Mathématiques

Dans cet explicateur, nous allons apprendre à utiliser la formule d'Euler pour prouver des identités trigonométriques comme le double angle et le demi-angle.

Lorsque nous découvrons pour la première fois les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentielles, elles semblent avoir peu, voire rien, en commun. Les fonctions trigonométriques sont périodiques et, dans le cas du sinus et du cosinus, sont bornées en haut et en bas par 1 et

, alors que la fonction exponentielle est non périodique et n'a pas de borne supérieure. Cependant, la formule d'Euler démontre que, grâce à l'introduction de nombres complexes, ces idées apparemment non liées sont, en fait, intimement liées et, à bien des égards, sont comme les deux faces d'une pièce.

Définition : formule d'Euler

La formule d'Euler stipule que pour tout nombre réel

Cette formule est également appelée relation d'Euler.

La formule d'Euler a des applications dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse fonctionnelle, les équations différentielles et l'analyse de Fourier. De plus, ses applications s'étendent à la physique et à l'ingénierie dans des domaines aussi divers que le traitement du signal, le génie électrique et la mécanique quantique. Dans cet explicateur, nous nous concentrerons sur ses applications en trigonométrie, en particulier les dérivations d'identités trigonométriques.

Dans le premier exemple, nous montrerons comment nous pouvons dériver des identités trigonométriques en utilisant l'une des propriétés de la fonction exponentielle, puis en appliquant la formule d'Euler.


1.6 : Formule d'Euler

Le physicien mathématicien suisse Leonhard Euler est connu pour plusieurs découvertes et travaux dans le monde des mathématiques et de la physique. En 1750, Euler a dérivé la formule F+V=E+2 qui vaut pour tous les polyèdres convexes. Les variables F, V et E représentent respectivement les faces, les sommets et les arêtes d'un polyèdre. Cela peut être vu facilement pour les cinq polyèdres réguliers illustrés ci-dessous.

Cela peut ne pas être très surprenant pour certains et peut ne ressembler qu'à une coïncidence. Examinons quelques autres polyèdres. Jetons d'abord un coup d'œil à l'icosaèdre tronqué, la figure est composée de 20 pentagones réguliers et de 12 hexagones réguliers. Cela peut sembler plus familier à certains que le polyèdre ci-dessus (c'est un ballon de football). Le polyèdre est fait en coupant 1/3 de chaque arête de l'icosaèdre régulier et comme nous le verrons, satisfait la formule d'Euler.

Nombre de faces : 32 (20 pentagones et 12 hexagones)

Jetons un coup d'œil au cube tronqué ou à l'hexaèdre tronqué. Il s'agit d'un polyèdre formé de la même manière que l'icosèdre tronqué : 1/3 de chaque arête est découpé dans un cube.

Nombre de faces : 14 (8 triangles équilatéraux et 6 octogones réguliers)

LA FORMULE D'EULER FONCTIONNE À NOUVEAU !

Essayons maintenant le Grand Icosaèdre (polyèdre non convexe) :

LA FORMULE D'EULER FONCTIONNE À NOUVEAU !

Prenons un autre polyèdre qui n'est pas convexe. Prenez un prisme rectangulaire et placez un prisme triangulaire sur le dessus du prisme rectangulaire en formant quelque chose de similaire à l'image ci-dessous :

6 du prisme rectangulaire, et 4 du prisme triangulaire (le fond n'est plus un visage)

Nombre total de sommets : 14

LA FORMULE D'EULER NE TIENT PLUS !

Ce cas en soi prouve que la formule ne peut pas fonctionner pour TOUS polyèdres, mais cela fonctionne pour certains. Alors cela nous amène à la question ultime : pour quels polyèdres le théorème est-il valable ? Un excellent livre dédié uniquement à cette formule intéressante a été écrit par Imre Lakatos intitulé Proofs and Limitations: The Logic of Mathematical Discovery. Il considère de nombreuses preuves ainsi que des contre-exemples.


Comment trouver la formule d'Euler ?

La formule d'Euler est définie comme le nombre de sommets et de faces ensemble est exactement deux de plus que le nombre d'arêtes.

Il est symboliquement écrit F+V=E+2, où

F est le nombre de faces, V le nombre de sommets et E le nombre d'arêtes. Cela ne s'applique qu'aux polyèdres. Le nombre 2 dans la formule est appelé caractéristique d'Euler.

Exemple résolu :

En utilisant la formule d'Euler, trouvez le nombre de sommets si le nombre de faces est de 6 et le nombre d'arêtes est de 12 ?

Solution:

En utilisant la formule d'Euler, F+V=E+2

Par conséquent, le nombre de sommets est de 8.

De même, vous pouvez essayer la calculatrice pour trouver le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d'arêtes

1) Trouver le nombre de faces si le nombre de sommets est de 6 et le nombre d'arêtes est de 9 ?

2) Trouver le nombre d'arêtes si le nombre de sommets est de 9 et le nombre de faces est de 22 ?


Coordonnées cartésiennes et polaires

La formule d'Euler trace un cercle unité dans le plan complexe en fonction de (varphi). Ici, (varphi) est l'angle qu'une ligne reliant l'origine à un point du cercle unité fait avec l'axe réel positif, mesuré en radians.

Un point dans le plan complexe peut être représenté par un nombre complexe écrit en coordonnées cartésiennes. La formule d'Euler vous permet de convertir entre les coordonnées cartésiennes et polaires. La forme polaire simplifie les mathématiques lorsqu'elle est utilisée dans la multiplication ou les puissances de nombres complexes. [wiki]

Tout nombre complexe (z=x+jy) peut s'écrire sous la forme


Formule d'Euler et topologie

En gros, un réseau (ou, comme diraient les mathématiciens, un graphique ) est un ensemble de points, appelé sommets , et les lignes qui les joignent, appelées bords . Chaque arête ne rencontre que deux sommets (un à chacune de ses extrémités), et deux arêtes ne doivent se croiser qu'à un sommet (qui sera alors une extrémité commune des deux arêtes). L'ensemble des arêtes forme la limite de certaines zones, appelées visages . Les visages ne doivent pas avoir de trous ou de poignées. Si deux faces ont des points de frontière communs, alors elles doivent partager une arête commune (et uniquement celle-ci), ou un sommet commun (et uniquement celle-ci).

Dans la figure 1, il y a deux exemples de réseaux, et ceux-ci ont
3 faces, 12 arêtes et 10 sommets,
et
(ii) 2 faces, 6 arêtes et 5 sommets,
respectivement.

Il n'est pas nécessaire de supposer que les lignes d'un réseau sont des « lignes droites », elles peuvent être des « courbes » de toutes sortes, sauf qu'elles ne doivent pas se croiser ni se croiser. De plus, nous pouvons dessiner de tels réseaux sur n'importe quelle surface (par exemple, le plan, une sphère, un cylindre, etc.).

UNE triangulation d'une surface est un réseau sur la surface dont toutes les faces sont triangulaires (c'est-à-dire qu'elles sont délimitées par trois arêtes). En fait, les arpenteurs cartographient la campagne en la triangulant avec des « points de déclenchement » (généralement au sommet des montagnes) et en mesurant les angles et les distances entre ces points de déclenchement. Dans ce cas, les points de trig sont les sommets de la triangulation.

L'exemple le plus simple d'une triangulation sur la sphère (que nous considérons comme la surface de la terre) se trouve en traçant l'équateur et, disons, $n$ lignes de longitude. Dans cet exemple, qui est illustré à la figure 2, il y a $2n$ faces triangulaires, $n+2$ sommets ($n$ sur l'équateur, et un à chaque pôle), et $3n$ arêtes, de sorte que $ hbox<(nombre de faces)>-hbox<(nombre d'arêtes)>+ hbox <(nombre de sommets)>= 2n - 3n + (n + 2) = 2.$

Il est peut-être surprenant que cette réponse ne dépend pas du choix de $n$ . Plus remarquable encore est le fait, connu sous le nom de Théorème d'Euler , que cette formule est vraie pour TOUS triangulations de la sphère. Leonard Euler (1707-1783) était un mathématicien suisse qui était peut-être le mathématicien le plus productif de tous les temps. Ainsi, pour toute triangulation de la sphère avec, disons, $T$ triangles, $E$ arêtes et $V$ sommets, La formule d'Euler pour la sphère est que $T-E+V = 2.$

La chose importante à comprendre est que cette formule est une invariant topologique : cela signifie que si nous déformons la triangulation et la sphère de façon continue alors les nombres $T$, $E$ et $V$ ne changeront pas et la formule sera toujours vraie. Par exemple, comme nous pouvons déformer la sphère en cube, la formule sera toujours valable pour un cube, alors vérifions cela avec une triangulation particulière du cube. Nous divisons chaque face du cube en deux triangles en traçant une diagonale sur chaque face. Alors il y a six faces du cube et chacune donne deux triangles donc $T=12$. Clairement $V=8$ (il n'y a pas de nouveaux sommets introduits lorsque nous dessinons les diagonales), et $E = 18$ (douze du cube original et les six diagonales ajoutées). Donc $T-E+V = 12-18+8 = 2.$

EXERCICE 1

  1. pour un tétraèdre (une pyramide à base triangulaire)
  2. pour la surface formée en collant deux tétraèdres ensemble à travers leur base
  3. pour une pyramide à base carrée comme en Egypte (rappelez-vous que la base de la pyramide, là où la pyramide touche le sol, fait partie de la surface de la pyramide)
  4. pour l'octaèdre (qui est formé en collant deux pyramides ensemble à travers leur base)
  5. la surface formée en collant deux pyramides, chacune à base carrée, sur deux faces différentes d'un cube. Vous devez supposer que les faces du cube sont de la même taille que les bases des pyramides.

EXERCICE 2

Remarque 1 :

Remarque:

Preuve de Legendre de la formule d'Euler sur une sphère

La géométrie de la sphère est extrêmement importante par exemple, lorsque les navigateurs (à bord de navires ou d'avions) établissent leur parcours à travers l'un des océans, ils doivent utiliser la géométrie de la sphère (et non la géométrie de l'avion !). Dans la géométrie euclidienne plane habituelle, la somme des angles d'un triangle est de 180$ degrés (ou $pi$ radians). Sur la surface de la sphère, l'arc de distance la plus courte entre deux points est l'arc d'un grand cercle sur la sphère, et si nous formons un triangle « sphérique » avec ces arcs comme côtés, la somme des angles du triangle n'est PAS de 180 $ $ degrés. Par exemple, si nous regardons le triangle sur la sphère délimitée par l'équateur, le méridien de Greenwich, et la ligne de longitude donnée par $90^circ$ East, nous obtenons un triangle sphérique dont les trois angles sont $90^circ $. Appelons ce triangle $Delta$. Vous voudrez peut-être considérer maintenant quelles autres sommes d'angles d'un triangle sont possibles sur la sphère.

C'est un fait, que nous supposerons ici, que si un triangle sphérique repose sur une sphère de rayon unitaire et a, disons, des angles $ heta_1$, $ heta_2$ et $ heta_3$ (mesurés en radians), puis le l'aire du triangle est $ heta_1+ heta_2+ heta_3 - pi$. Bien sûr, en géométrie euclidienne, nous aurions $ heta_1+ heta_2+ heta_3 = pi$, mais cette formule n'est plus valable car notre espace est courbe. À son niveau le plus simple, la théorie d'Einstein sur l'espace-temps est que l'espace-temps dans lequel nous vivons est courbe et donc les « formules » de la physique sont différentes de celles que nous obtenons si nous utilisons simplement le point de vue euclidien.

Notez que si nous acceptons la formule ci-dessus pour l'aire d'un triangle sphérique, alors le triangle $Delta$ construit ci-dessus a l'aire $3(pi/2)-pi = pi/2$. Comme huit copies de $Delta$ rempliront la sphère sans se chevaucher, nous voyons que l'aire de la sphère (de rayon unitaire) est $4pi$.

Nous pouvons maintenant donner la belle démonstration de Legendre de la formule d'Euler qui repose sur une simple discussion de la géométrie sur la sphère. Pour tout triangle sur la sphère, on a $hbox = hbox + pi.$ Supposons qu'il y ait $T$ triangles, $E$ arêtes et $V$ sommets dans la triangulation de la sphère. Ensuite, en additionnant tous les angles dans tous les triangles, la somme totale des angles est $2pi V$ (car tous les angles se produisent à un sommet sans chevauchement, et la somme des angles à l'un des sommets $V$ est exactement $2pi $). Aussi, la somme des aires des triangles est l'aire de la sphère, soit $4pi$ donc on voit que $2pi V = 4pi + Tpi ,$ ou $V - T/2 = 2. $ Maintenant (en comptant les arêtes de chaque triangle et en notant que cela compte deux fois chaque arête), on obtient $3T=2E$, soit $E=3T/2$. On a donc $T - E + V = T - 3T/2 + (2 + T/2)= 2$ qui est la formule d'Euler.

Formule d'Euler pour un polygone fermé simple

Étant donné un polygone qui ne se croise pas, nous pouvons trianguler l'intérieur du polygone en triangles qui ne se chevauchent pas de telle sorte que deux triangles se rencontrent (le cas échéant) soit le long d'un bord commun, soit à un sommet commun. Supposons qu'il existe des triangles $T$, des arêtes $E$ et des sommets $V$ alors Formule d'Euler pour un polygone est $T-E+V = 1.$ Vous devriez pouvoir le confirmer dans le polygone illustré à la figure 3.

EXERCICE 3

Démonstration de la formule d'Euler pour un polygone fermé simple

Comme les termes $T$, $E$ et $V$ restent inchangés lorsque nous appliquons un changement (ou une déformation) continu à l'image, nous pouvons imaginer que l'image est dessinée sur une feuille de caoutchouc souple. Nous découpons le polygone de la feuille, puis le manipulons jusqu'à ce qu'il s'adapte exactement à la moitié inférieure d'une sphère posée sur la table. Nous pouvons maintenant la considérer comme une triangulation de l'hémisphère inférieur de cette sphère, et nous utiliserons des termes géographiques, comme « équateur » et « pôle nord » pour décrire les points de la sphère. Il y aura un certain nombre de sommets, disons $N$, sur "l'équateur" de la sphère (exactement le même nombre qu'il y en avait sur la limite du polygone d'origine) et, comme les sommets et les arêtes alternent autour de l'équateur, il y aura sera également exactement $N$ arêtes sur l'équateur. Dessinez maintenant des arcs de cercles depuis le « pôle nord » de la sphère jusqu'à chacun de ces $N$ sommets (voir Figure 4). Cela nous donnera maintenant une triangulation de la sphère avec $N$ nouvelles faces triangulaires, $N$ nouvelles arêtes (toutes du pôle Nord) et un nouveau sommet (au pôle Nord). Ainsi, à partir de la formule d'Euler pour la sphère, $(T+N) - (E+N) + (V+1) = 2,$ et cela donne la formule d'Euler pour le polygone, à savoir $T-E+V = 1. $

La formule d'Euler avec des faces polygonales sur n'importe quelle surface

Jusqu'à présent, nous avons considéré la formule d'Euler sur une surface dont le réseau n'avait que des faces triangulaires. En fait, la formule est également valable lorsque les faces sont des polygones. Vous devriez essayer quelques exemples pour vous persuader qu'il en est ainsi. À titre d'exemple, le cube a six faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets et 6 - 12 + 8 = 2.

Voici un croquis d'une démonstration de la formule d'Euler pour une sphère $F - E + V = 2.$ Certains détails sont omis mais l'idée générale doit être claire.

Nous commençons par un polygone dessiné sur la sphère. Supposons que cela ait $N$ sommets et donc $N$ côtés sur la limite du polygone. Il y a deux faces (l'intérieur et l'extérieur du polygone) donc pour ce réseau nous avons $F - E + V = 2 - N + N = 2.$ Supposons maintenant que nous joignions deux sommets par une courbe polygonale - représentée en rouge ligne dans le diagramme.

Pour une courbe générale de ce type, nous ajoutons $k$ de nouvelles arêtes, $k - 1$ de nouveaux sommets (dans la figure, $k = 4$), et le nombre de faces est augmenté d'une (une face est divisée en deux ). Ensuite pour le nouveau réseau $F_ -E_ + V_ = (F + 1) - (E + k) + (V + k - 1)= F - E + V = 2.$ De la même manière, nous pouvons ajouter une autre ligne 'pointillée' sans changer $F - E + V $, et de cette façon nous pouvons construire un réseau général pour lequel nous devons encore avoir $F - E + V = 2.$

Pour un polygone, la preuve ressemble beaucoup à la preuve de la section 3.

Une formule d'Euler pour un polygone avec des trous

Considérons deux polygones, l'un dans l'autre, quelques exemples sont donnés dans la figure 5. Quelle est la formule d'Euler pour la région entre les deux polygones ? You should draw different regions of this type, triangulate them in different ways, and when you have reached an answer experimentally, try and prove it.

Now try to find Euler's formula for regions with two or more holes like those in Figure 6.

A Euler's formula for a square tube

Consider a square tube with no ends as illustrated in Figure 7, and consider triangulations of this that cover the whole tube. What is Euler's formula for a square tube ? You should draw different triangulations of this, and when you have reached an answer experimentally, try and prove it.

When you have done this, try and find Euler's formula for a `doughnut' : see Figure 8.

The angle deficiency of a polyhedron

Here is an attractive application of Euler's Formula. The angle deficiency of a vertex of a polyhedron is $360^circ $ (or $ 2pi $ radians) minus the sum of the angles at the vertex of the faces that meet at the vertex. For example, for a cube, there are three faces, each with a right angle at each vertex so the angle deficiency (at each vertex) is $ 2pi - 3 imes (pi/2) = pi /2 $ ($ 360^circ - 3 imes90^circ = 90^circ $), or 90 degrees. The total angle deficiency for the cube is $ 8 imes 90^circ = 720^circ $ (or $4pi$ radians). It is a remarkable fact that the total angle deficiency of any polyhedron that is topologically equivalent to a sphere is $720^circ$ or $4pi$ radians .

Suppose that we have a polyhedron which is made up with faces $F_1,ldots F_k$ (each of these is a polygon, which need not be regular). Then we can apply Euler's Theorem to the polyhedron, so let us count the faces, edges and vertices. First, by definition, there are $k$ faces. Suppose that the face $F_j$ has $N_j$ edges (and hence $N_j$ vertices). If we count the total number of edges by looking at them from inside each face we `see' $N_1+cdots +N_k$ edges. But of course, we see each edge twice (for each edge is `seen' from both sides) thus $2E = N_1+cdots + N_k.$ One interesting fact here is that $N_1+cdots +N_k$ must be even this is not obviously so. Finally, the number $V$ of vertices is given by Euler's formula for a sphere (or for any `deformed sphere'), so $V = E-F+2 = (N_1+cdots + N_k)/2 - k +2,$ or $2V = (N_1+cdots + N_k) - 2k +4.$

The polyhedron has $V$ vertices and, by definition, the total angle deficiency of the polyhedron is $2pi V$ minus the sum of the angles of all faces at all vertices . As the interior angle sum of a polygon with $n$ sides is $(n-2)pi$, we see that the total angle deficiency of the polyhedron is $Theta$, where

$ egin Theta &= 2pi V - Big[(N_1-2)pi+(N_2-2)pi + cdots +(N_k-2)piBig] &= 2pi V - (N_1+cdots + N_k)pi+2kpi &= piBig(2V - (N_1+cdots +N_k)+2kBig) &= 4pi. end $

We have now proved the following result.

Theorem

The total angle deficiency of any polyhedron is $4pi$.

An example

Consider the regular tetrahedron. This has three equilateral triangles meeting at each of four vertices, so in this case, $Theta = 8pi - 4 imes (3 imes pi/3) = 4pi.$ You may like to try this with other examples.

The fact that the total angle deficiency of a polyhedron is 720 degrees, together with Euler's formula, gives the key to finding how many regular polyhedra there are (Platonic Solids) and how many semi-regular polyhedra there are (Archimedean solids) and discovering their properties (the shapes and number of faces etc.).

Adding Euler numbers

We are going to show that if we join two surfaces together across the boundary of a hole in each, then the Euler number of the joined surface is the sum of the Euler numbers of the two separate surfaces .

Suppose that we have two surfaces $S_1$ and $S_2$, each with a hole in it. By deforming the surfaces, we may assume that the two holes are circular with the same radius for example as illustrated below.

Now triangulate both surfaces in such a way that there are exactly $k$ vertices, and hence $k$ edges, on each of the circular boundaries of the holes. Again by deforming the surfaces we may assume that these $k$ vertices and $k$ edges match up exactly when the two surfaces are brought together.

Suppose that the triangulation of $S_1$ has $T_1$ triangles, $E_1$ edges and $V_1$ vertices, and similarly for $S_2$. When the surfaces have been joined together at the edges of the two circular holes, we will have a triangulation of the new surface, which we call $S$, and this triangulation will have exactly $T_1+T_2$ triangles in it. However, it will not have $E_1+E_2$ edges because each of the $k$ edges on the boundary of one hole will be joined to one of the other edges on the other boundary thus the new triangulation will have exactly $E_1+E_2-k$ edges and, similarly, $V_1+V_2-k$ vertices. Thus $ egin hbox(S) &=(T_1+T_2) - (E_1+E_2-k) + (V_1+V_2-k) &=(T_1-E_1+V_1) + (T_2-E_2+V_2) &= hbox(S_1) + hbox(S_2). end $

As an example, a disc is topologically a hemisphere, so that these two surfaces have the same Euler number. If we join two hemispheres across their boundaries (for example, the southern and northern hemishperes are joined across the equator) we see that the Euler number of a sphere is twice the Euler number of a hemisphere. Hence the Euler number of a hemisphere, and also of a disc, is one.


Mechanics of Materials

DAN B. MARGHITU , . BOGDAN O. CIOCIRLAN , in Mechanical Engineer's Handbook , 2001

2.10 Intermediate-Length Columns with Central Loading

When the actual slenderness ratio je/k is less than (je/k)1, and so is in the region in Fig. 2.12 where the Euler formula is not suitable, one can use the parabolic ou alors J. B. Johnson formula of the form

une et b are constants that can be obtained by fitting a parabola (the dashed line tangent at T) to the Euler curve in Fig. 2.12 . Thus, we find


Euler's formula

Our editors will review what you’ve submitted and determine whether to revise the article.

Euler’s formula, either of two important mathematical theorems of Leonhard Euler. The first formula, used in trigonometry and also called the Euler identity, says e jeX = cos X + jesin X, où e is the base of the natural logarithm and je is the square root of −1 (see irrational number). When X is equal to π or 2π, the formula yields two elegant expressions relating π, e, et je: e jeπ = −1 and e 2jeπ = 1, respectively. The second, also called the Euler polyhedra formula, is a topological invariance (see topology) relating the number of faces, vertices, and edges of any polyhedron. It is written F + V = E + 2, where F is the number of faces, V the number of vertices, and E the number of edges. A cube, for example, has 6 faces, 8 vertices, and 12 edges and satisfies this formula.

The Editors of Encyclopaedia Britannica This article was most recently revised and updated by Barbara A. Schreiber.


Consider the white triangle (sf T ) on the sphere shown above. Girard's Theorem gives a formula for the area of…

I’m not gonna show the rigorous proof of this theorem here. A visual demonstration is given in the Wolfram link above. Also a rigorous proof is given in the Princeton blog.

Now that we know what is Geodesic Triangle, can we extend the notion of triangle to any polygon? The answer is: yes, we can. In an analogous manner, we define a Geodesic Polygon as the area bounded by three or more geodesics. Needless to say, the sides of a Geodesic Polygon are parts of some great circles.

In this photo, ABCDE is a geodesic pentagon. The sides AB, BC, CD, DE, EA are actually parts of some geodesics.

In the same way as before, we can now generalize the Harriot-Girard Theorem for polygons. The generalized Harriot-Girard Theorem is: if an n-sided geodesic polygon has angles a₁, a₂, a₃, … , aₙ then the area of this polygon is: a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ –( n–2 )π = sum of angles–nπ+2π.

The proof to the generalization is just using the previous result. For any n-sided geodesic polygons, we can divide it into n-2 geodesic triangles. Just choose any vertex, then connect the other vertices to this chosen vertex using some great circles. Thus we obtain n-2 geodesic triangles. Notice that, the sum of the areas of these triangles is precisely the area of the polygon. Furthermore, the sum of all the angles of the triangles is equal to the sum of the angles of the polygon. Now, if we apply Harriot-Girard Theorem on all the n-2 triangles, we obtain the result.

Alright, enough about spherical geometry. How are these even related to our original problem, Euler’s Polyhedron Formula?

What Legendre does next is, he connects all these seemingly unrelated ideas from spherical geometry to solve a combinatorial problem.

Let’s consider a convex polyhedron with V vertices, E edges and F faces. Take any point X inside the polyhedron. Then construct a hollow sphere centered at X that surrounds the polyhedron completely. The units are not really important here. So we can assume without loss of generality that the sphere is a unit sphere.

What happens next is sheer magic! :0 We project the polyhedron onto the sphere through the point X. We can think of this projection as light and shadow. Assume that there is a lightbulb at the point X. Then we shall mark the shadows of the edges onto the sphere. The shadows will make some geodesic polygons.

The next trick Legendre pulls out of his sleeve is Counting in two ways. This means, if we calculate the same quantity in two different ways, the values we find using the two ways must be the same. Because we are essentially calculating the same thing. And how can a thing can have multiple different values?

What Legendre calculates here is the surface area of the sphere. One possible way to calculate surface area is: we know the formula surface area =4πr². Here the radius is 1, so the surface area is 4π.

We can calculate the same thing by adding the areas of the geodesic polygons we got after projecting. By the generalized Harriot-Girard Theorem, area=sum of angles–nπ+2π, where n is the number of edges of that geodesic polygon. Notice that, each face of the polyhedron corresponds to exactly one geodesic polygon. That means, there are total F polygons. If we take the sum of areas over all polygons, we get

If we choose a vertex of the polyhedron, the projected vertex makes some angles across some geodesic polygons. The sum of these angles is 2π (again, the proof is left as an exercise for the reader). (Σsum of angles) is basically sum of angles across all the vertices. So this quantity is 2πV.

Now, what was n? n was the number of edges in the polygon. From the definition of edge in a polyhedron, each edge is shared by exactly two faces. Hence, when we calculate Σn, we count each edge twice. So Σnπ = πΣn=π(2E)=2πE.

We showed earlier that there are total F polygons. And we are summing over these F polygons. So Σ2π=2πF. Σarea is the surface area of the sphere, which is 4π. Plugging in values, we get