Domaine et image d'une fonction

Le domaine d'une fonction de A à B est toujours l'ensemble de départ lui-même, c'est-à-dire D = A. Si un élément x A est associé à un élément y B, on dit que y est un image x (indiquez y = f (x) et lisez «y est égal à f de x»).

Notez le domaine et l'image dans la fonction ci-dessous.

Un autre exemple: si f est une fonction de IN dans IN (cela signifie que le domaine et la contradiction sont les nombres naturels) définis par y = x + 2, alors nous devons:

• L'image de 1 à f est 3, c'est-à-dire que f (1) = 1 + 2 = 3;
• L'image de 2 à f est 4, c'est-à-dire que f (2) = 2 + 2 = 4;

En général, l'image de x à f est x + 2, c'est-à-dire: f (x) = x + 2.

Dans une fonction f de A à B, les éléments de B qui sont des images des éléments de A en appliquant f forment l'ensemble d'images de f. Selon le concept de fonction, il existe deux conditions pour qu'une relation f soit une fonction:

1ª) Le domaine doit toujours correspondre à l'ensemble de départ, c'est-à-dire chaque élément de A C'est le point de départ de la flèche. Si nous avons un élément de Un d'où aucune flèche ne s'écarte, la relation n'est pas une fonction. 2ª) De chaque élément de Un doit partir un seul flèche Si d'un élément de Un À partir de plusieurs flèches, la relation n'est pas une fonction.

Remarques:

• Puisque x et y ont leurs valeurs variant dans les ensembles A et B, elles sont appelées variables.
• La variable x est appelée la variable indépendante et la variable y, la variable dépendante, car pour obtenir la valeur de y, nous dépendons d'une valeur de x.
• Une fonction f est définie lorsqu'on lui donne son domaine (ensemble A), sa contradiction (ensemble B) et la loi d'association y = f (x).

Exercices résolus

1) Considérons la fonction f: A B représenté par le schéma suivant:

Déterminez:

a) le domaine (D) de f;
b) f (1), f (-3), f (3) et f (2);
c) l'ensemble d'images (Im) de f;
d) le droit d'association

Résolution:

a) Le domaine est égal à l'ensemble de départ, c'est-à-dire D = A.
b) f (1) = 1, f (-3) = 9, f (3) = 9 et f (2) = 4.
c) L'ensemble d'images est formé par toutes les images des éléments du domaine, donc:
Im = {1,4,9}.
d) Comme 1²=1, (-3)²=9, 3²= 9 et 2²= 4, nous avons y = x².

2) Étant donné la fonction f: IRIR (ie le domaine et la contradiction sont des nombres réels) définis par f (x) = x²-5x + 6, calculez:

a) f (2), f (3) et f (0);
b) la valeur de x dont l'image vaut 2.

Résolution:

a) f (2) = 2²-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f (3) = 3²-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f (0) = 0²-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calculer la valeur de x dont l'image vaut 2 équivaut à résoudre l'équation f (x) = 2, c'est-à-dire x²-5x + 6 = 2. En utilisant la formule de Bhaskara, nous trouvons les racines 1 et 4. Par conséquent, les valeurs de x qui ont l'image 2 sont 1 et 4.

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