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11.1 : Séquences


Alors que l'idée d'une séquence de nombres, (a_1,a_2,a_3,ldots) est simple, il est utile de considérer une séquence comme une fonction. Les séquences sont écrites de différentes manières, toutes équivalentes ; tout cela veut dire la même chose :

[ displaylines{a_1,a_2,a_3,ldotscr left{a_n ight}_{n=1}^{infty}cr left{f(n) ight}_ {n=1}^{infty}cr} ]

Comme pour les fonctions sur les nombres réels, nous rencontrerons le plus souvent des séquences qui peuvent être exprimées par une formule. Nous avons déjà vu la séquence ( a_i=f(i)=1-1/2^i), et d'autres sont faciles à trouver :

[eqalign{ f(i)&={iover i+1}cr f(n)&={1over2^n}cr f(n)&=sin(npi/6 )cr f(i)&={(i-1)(i+2)over2^i}.cr }]

Fréquemment, ces formules auront un sens si elles sont considérées comme des fonctions avec le domaine (mathcal{R}) ou (mathcal{N}), bien que parfois on n'ait de sens que pour les valeurs entières.

Face à une séquence on s'intéresse à la limite (lim_{i o infty} f(i) = lim_{i oinfty} a_i.) On comprend déjà (lim_{x o infty} f(x)) lorsque (x) est une variable à valeur réelle ; maintenant, nous voulons simplement restreindre les valeurs "d'entrée" à des entiers. Aucune différence réelle n'est requise dans la définition de la limite, sauf que nous spécifions, peut-être implicitement, que la variable est un entier. Comparez cette définition à la définition 4.10.2.

Définition 11.1.1 : Séquences convergentes et divergentes

Supposons que (left{a_n ight}_{n=1}^{infty}) soit une séquence. On dit que ( lim_{n o infty}a_n=L) si pour tout (epsilon>0) il y a un (N > 0) de sorte que chaque fois que (n>N) , (|a_n-L| < epsilon). Si ( lim_{n oinfty}a_n=L) on dit que la suite converge, sinon il diverge.

Si (f(i)) définit une séquence, et (f(x)) a du sens, et (displaystyle lim_{x oinfty}f(x)=L), alors il est clair que ( lim_{i oinfty}f(i)=L) aussi, mais il est important de noter que l'inverse de cette déclaration n'est pas vrai. Par exemple, puisque ( lim_{x oinfty}(1/x)=0), il est clair que aussi ( lim_{i oinfty}(1/i)=0) , c'est-à-dire les nombres

[{1over1},{1over2},{1over3},{1over4},{1over5},{1over6},ldots]

se rapprocher de plus en plus de 0. Considérez ceci, cependant : Soit (f(n)=sin(npi)).

C'est la séquence

[ sin(0pi), sin(1pi),sin(2pi),sin(3pi),ldots=0,0,0,0,ldots ]

puisque

[sin(npi)=0]

lorsque (n) est un entier. Ainsi ( lim_{n oinfty}f(n)=0). Mais ( lim_{x oinfty}f(x)), quand (x) est réel, n'existe pas : comme (x) devient de plus en plus gros, les valeurs (sin( xpi)) ne se rapprochent pas de plus en plus d'une valeur unique, mais prennent toutes les valeurs entre (-1) et (1) encore et encore. En général, chaque fois que vous voulez savoir ( lim_{n oinfty}f(n)), vous devez d'abord essayer de calculer ( lim_{x oinfty}f(x)), puisque si celle-ci existe, elle est également égale à la première limite. Mais si pour une raison quelconque ( lim_{x oinfty}f(x)) n'existe pas, il peut toujours être vrai que ( lim_{n oinfty}f(n)) existe , mais vous devrez trouver un autre moyen de le calculer.

Il est parfois utile de penser au graphe d'une séquence. Étant donné que la fonction est définie uniquement pour les valeurs entières, le graphique n'est qu'une séquence de points. En chiffres 11.1.1 on voit les graphes de deux séquences et les graphes des fonctions réelles correspondantes.

Figure 11.1.1. Graphes de séquences et leurs fonctions réelles correspondantes.

Sans surprise, les propriétés des limites des fonctions réelles se traduisent assez facilement en propriétés des séquences. Théorème 2.3.6 sur les limites devient

Définition 11.1.2

Supposons que (lim_{n oinfty}a_n=L) et (lim_{n oinfty}b_n=M) et (k) soient une constante. Puis

[eqalign{ &lim_{n oinfty} ka_n = klim_{n oinfty}a_n=kLcr &lim_{n oinfty} (a_n+b_n) = lim_ {n oinfty}a_n+lim_{n oinfty}b_n=L+Mcr &lim_{n oinfty} (a_n-b_n) = lim_{n oinfty}a_n -lim_{n oinfty}b_n=LMcr &lim_{n oinfty} (a_nb_n) = lim_{n oinfty}a_ncdotlim_{n oinfty} b_n=LMcr &lim_{nàinfty} {a_nover b_n} = {lim_{n oinfty}a_nover lim_{n oinfty}b_n}={L sur M},hbox{ si (M) n'est pas 0}.cr }]

De même le Théorème de compression (4.3.1) devient

Théorème 11.1.3

Supposer que

[ a_n le b_n le c_n]

pour tout (n>N), pour certains (N). Si

[lim_{n oinfty}a_n=lim_{n oinfty}c_n=L,]

ensuite

[lim_{n oinfty}b_n=L.]

Et un dernier fait utile :

Théorème 11.1.4

[lim_{nàinfty}|a_n|=0]

si et seulement si

[lim_{n oinfty}a_n=0.]

Ce théorème dit simplement que la taille de ( a_n) se rapproche de zéro si et seulement si ( a_n) se rapproche de zéro.

Exemple 11.1.5

Déterminez si (left{{nover n+1} ight}_{n=0}^{infty}) converge ou diverge. S'il converge, calculez la limite.

Solution

Puisque cela a du sens pour les nombres réels, nous considérons

[ lim_{x oinfty}{xover x+1}=lim_{x oinfty}1-{1over x+1}=1-0=1. ]

La suite converge donc vers 1.

Exemple 11.1.6

Déterminez si (igg{{ln nover n}igg}_{n=1}^{infty}) converge ou diverge. S'il converge, calculez la limite.

Solution

On calcule (lim_{x oinfty}{ln xover x}=lim_{x oinfty}{1/xover 1}= 0,) en utilisant la règle de L'Hôpital. La suite converge donc vers 0.

Exemple 11.1.7

Déterminez si ({(-1)^n}_{n=0}^{infty}) converge ou diverge. S'il converge, calculez la limite.

Solution

Cela n'a pas de sens pour tous les exposants réels, mais la séquence est facile à comprendre : elle est (1,-1,1,-1,1ldots) et diverge clairement.

Exemple 11.1.8

Déterminez si ({(-1/2)^n}_{n=0}^{infty}) converge ou diverge. S'il converge, calculez la limite.

Solution

On considère la séquence

[{|(-1/2)^n|}_{n=0}^{infty}={(1/2)^n}_{n=0}^{infty} .]

Puis

[ lim_{x oinfty}left({1over2} ight)^x=lim_{x oinfty}{1over2^x}=0, ]

donc par théorème 11.1.4 la suite converge vers 0.

Exemple 11.1.9

Déterminez si ({(sin n)/sqrt{n}}_{n=1}^{infty}) converge ou diverge. S'il converge, calculez la limite.

Solution

Puisque (|sin n|le 1), ( 0le|sin n/sqrt{n}|le 1/sqrt{n}) et on peut utiliser le théorème 11.1.3 avec ( a_n=0) et ( c_n=1/sqrt{n}). Depuis (lim_{n oinfty} a_n=lim_{n oinfty} c_n=0), (lim_{n oinfty}sin n/sqrt{n}= 0) et la suite converge vers 0.

Exemple 11.1.10

Une séquence particulièrement courante et utile est ( {r^n}_{n=0}^{infty}), pour diverses valeurs de (r). Certaines sont assez simples à comprendre : Si (r=1) la suite converge vers 1 puisque tout terme est 1, et de même si (r=0) la suite converge vers 0. Si (r=-1 ) c'est la séquence d'exemple 11.1.7 et divergent. Si (r>1) ou (r < -1) les termes ( r^n) deviennent grands sans limite, donc la séquence diverge. Si (0 < r < 1) alors la suite converge vers 0. Si (-1 < r < 0) alors ( |r^n|=|r|^n) et (0 < | r| < 1), donc la suite ( {|r|^n}_{n=0}^{infty}) converge vers 0, donc aussi ({r^n}_ {n=0}^{infty}) converge vers 0. converge. En résumé, ( {r^n}) converge précisément lorsque (-1 < rle1) auquel cas ( lim_{n oinfty} r^n=cases{ 0& if (-1 < r < 1)cr 1& si (r=1).cr} )

Parfois on ne pourra pas déterminer la limite d'une suite, mais on aimerait quand même savoir si elle converge. Dans certains cas, nous pouvons le déterminer même sans pouvoir calculer la limite.

Une séquence s'appelle en augmentant ou parfois strictement croissante si ( a_i < a_{i+1}) pour tout (i). On l'appelle non décroissant ou parfois (malheureusement) en augmentant si ( a_ile a_{i+1}) pour tout (i). De même, une séquence est décroissant si ( a_i>a_{i+1}) pour tout (i) et non croissant if ( a_ige a_{i+1}) pour tout (i). Si une séquence a l'une de ces propriétés, elle est appelée monotone.

Exemple 11.1.11

La séquence

[ left{ dfrac{2^i-1}{2^i} ight}_{i=1}^{infty} = dfrac{1}{2}, dfrac{3} {4}, dfrac{7}{8}, dfrac{15}{16}, dots ]

augmente,

et

[ left{ {n+1over n} ight}_{i=1}^{infty}= {2over1},{3over2},{4over3},{5 over4},ldots ]

décroît.

Une séquence est délimité au-dessus s'il existe un certain nombre (N) tel que ( a_nle N) pour tout (n), et délimité en dessous s'il existe un certain nombre (N) tel que ( a_nge N) pour chaque (n). Si une séquence est bornée en haut et bornée en dessous, elle est délimité. Si une suite ( {a_n}_{n=0}^{infty}) est croissante ou non décroissante elle est bornée en dessous (par ( a_0)), et si elle est décroissante ou non- en augmentant il est borné au-dessus (par ( a_0)). Enfin, avec toute cette nouvelle terminologie, nous pouvons énoncer un théorème important.

Théorème 11.1.12

Si une suite est bornée et monotone, alors elle converge.

Nous ne le prouverons pas ; la preuve apparaît dans de nombreux livres de calcul. Ce n'est pas difficile à croire : supposons qu'une suite soit croissante et bornée, de sorte que chaque terme soit plus grand que le précédent, mais jamais plus grand qu'une valeur fixe (N). Les termes doivent alors se rapprocher de plus en plus d'une valeur comprise entre ( a_0) et (N). Il n'est pas nécessaire que ce soit (N), puisque (N) peut être une borne supérieure "trop ​​généreuse" ; la limite sera le plus petit nombre qui est au-dessus de tous les termes ( a_i).

Exemple 11.1.13

Tous les termes ( (2^i-1)/2^i) sont inférieurs à 2, et la suite est croissante. Comme nous l'avons vu, la limite de la suite est 1 ---1 est le plus petit nombre qui est plus grand que tous les termes de la suite. De même, tous les termes ((n+1)/n) sont plus grands que (1/2), et la limite est 1---1 est le plus grand nombre qui est plus petit que les termes de la séquence .

En fait, nous n'avons pas besoin de savoir qu'une suite est monotone pour appliquer ce théorème --- il suffit de savoir que la suite est « finalement » monotone, c'est-à-dire qu'à un moment donné elle devient croissante ou décroissante. Par exemple, la séquence (10), (9), (8), (15), (3), (21), (4), (3/4 ), (7/8), (15/16), (31/32,ldots) n'augmente pas, car parmi les premiers termes ce n'est pas le cas. Mais à partir du terme (3 /4) elle est croissante, donc le théorème nous dit que la suite (3/4, 7/8, 15/16, 31/32,ldots) converge. Puisque la convergence ne dépend que de ce qui se passe lorsque ( n) devient grand, ajouter quelques termes au début ne peut pas transformer une suite convergente en une suite divergente.

Exemple 11.1.14

Montrer que ({n^{1/n}}) converge.

Solution

On montre d'abord que cette suite est décroissante, c'est-à-dire que ( n^{1/n}> (n+1)^{1/(n+1)}). Considérez la fonction réelle ( f(x)=x^{1/x}) lorsque (xge1). Nous pouvons calculer la dérivée, ( f'(x)=x^{1/x}(1-ln x)/x^2), et noter que lorsque (xge 3) c'est négatif . Puisque la fonction a une pente négative, ( n^{1/n}> (n+1)^{1/(n+1)}) quand (nge 3). Puisque tous les termes de la suite sont positifs, la suite est décroissante et bornée lorsque (nge3), et donc la suite converge. (En l'occurrence, on peut calculer la limite dans ce cas, mais on sait qu'elle converge même sans connaître la limite ; voir exercice 1.)

Exemple 11.1.15

Montrer que ({n!/n^n}) converge.

Solution

Encore une fois, nous montrons que la suite est décroissante, et puisque chaque terme est positif, la suite converge. Nous ne pouvons pas prendre la dérivée cette fois, car (x!) n'a pas de sens pour (x) réel. Mais notons que si ( a_{n+1}/a_n < 1) alors ( a_{n+1} < a_n), c'est ce que nous voulons savoir. Alors on regarde

[ a_{n+1}/a_n : {a_{n+1}over a_n} = {(n+1)!over (n+1)^{n+1}}{n^nover n!}= {(n+1)!over n!}{n^nover (n+1)^{n+1}}= {n+1over n+1}left({n over n+1} ight)^n= left({nover n+1} ight)^n < 1. ]

(Encore une fois, il est possible de calculer la limite ; voir exercice 2.)


12.1 Séquences

Si nous listons les valeurs de fonction dans l'ordre comme 2, 4, 6, 8 et 10, … nous avons une séquence. Une séquence est une fonction dont le domaine est le comptage des nombres.

Séquences

UNE séquence est une fonction dont le domaine est le comptage des nombres.

Une séquence peut également être vue comme une liste ordonnée de nombres et chaque nombre de la liste est un terme. Une suite peut avoir un nombre infini de termes ou un nombre fini de termes. Notre séquence a trois points (ellipses) à la fin qui indiquent que la liste ne se termine jamais. Si le domaine est l'ensemble de tous les nombres de comptage, alors la séquence est une séquence infinie . Son domaine est tous les nombres de comptage et il existe un nombre infini de nombres de comptage.

Si nous limitons le domaine à un nombre fini de nombres de comptage, alors la séquence est une séquence finie . Si nous n'utilisons que les quatre premiers nombres de comptage, 1, 2, 3, 4 notre séquence serait la séquence finie,

Terme général d'une séquence

Le terme général de la séquence se trouve à partir de la formule pour écrire le mème terme de la suite. Le mème terme de la suite, unem, est le terme dans le mème position où m est une valeur dans le domaine.

Lorsqu'on nous donne le terme général de la suite, nous pouvons trouver les termes en remplaçant m en comptant les nombres dans l'ordre. Pour un n = 2 n , un n = 2 n ,

Pour trouver les valeurs d'une séquence, on substitue les nombres de comptage dans l'ordre au terme général de la séquence.

Exemple 12.1

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 4 n − 3 . un n = 4 n − 3 .

Solution

Nous substituons les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 dans la formule, a n = 4 n − 3 , a n = 4 n − 3 , dans l'ordre.

Les cinq premiers termes de la séquence sont 1, 5, 9, 13 et 17.

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 3 n − 4 . un n = 3 n − 4 .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 2 n − 5 . un n = 2 n − 5 .

Pour certaines séquences, la variable est un exposant.

Exemple 12.2

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 2 n + 1 . un n = 2 n + 1 .

Solution

Nous substituons les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 dans la formule, a n = 2 n + 1 , a n = 2 n + 1 , dans l'ordre.

Les cinq premiers termes de la suite sont 3, 5, 9, 17 et 33.

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 3 n + 4 . un n = 3 n + 4 .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 2 n − 5 . un n = 2 n − 5 .

Les termes de l'exemple suivant alterneront des signes en raison des puissances de -1 . -1 .

Exemple 12.3

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = ( −1 ) n n 3 . a n = ( -1 ) n n 3 .

Solution

Nous substituons les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 dans la formule, a n = ( −1 ) n n 3 , a n = ( −1 ) n n 3 , dans l'ordre.

Les cinq premiers termes de la séquence sont -1 , 8 , -27 , 64 , -1 , 8 , -27 , 64 et -125 . −125 .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = ( −1 ) n n 2 . a n = ( -1 ) n n 2 .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = ( −1 ) n + 1 n 3 . a n = ( -1 ) n + 1 n 3 .

Trouver une formule pour le terme général (me terme) d'une séquence

Parfois, nous avons quelques termes d'une séquence et il serait utile de connaître le terme général ou mème terme. Pour trouver le terme général, nous recherchons des modèles dans les termes. Souvent, les modèles impliquent des multiples ou des pouvoirs. Nous recherchons également un modèle dans les signes des termes.

Exemple 12.4

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Solution

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les nombres sont tous des multiples de 4.
Le terme général de la suite est a n = 4 n . un n = 4 n .

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Exemple 12.5

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Solution

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les nombres sont des puissances de 2. Les signes sont
en alternance, avec même n n négatif.
Le terme général de la suite est a n = ( −1 ) n + 1 2 n . un n = ( -1 ) n + 1 2 n .

Trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués

Exemple 12.6

Trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont indiqués.

Solution

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les numérateurs sont tous 1.
Les dénominateurs sont des puissances de 3. Le terme général de la suite est a n = 1 3 n . un n = 1 3 n .

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , … 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , …

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

1 1 , 1 4 , 1 9 , 1 16 , 1 25 , … 1 1 , 1 4 , 1 9 , 1 16 , 1 25 , …

Utiliser la notation factorielle

Les séquences ont souvent des termes qui sont des produits d'entiers consécutifs. Nous indiquons ces produits avec une notation spéciale appelée notation factorielle. Par exemple, 5 ! 5 ! , lire 5 factorielle, signifie 5 · 4 · 3 · 2 · 1 . 5 · 4 · 3 · 2 · 1 . Le point d'exclamation n'est pas ici une ponctuation, il indique la notation factorielle.

Notation factorielle

Si m est un entier positif, alors n ! n ! est

Exemple 12.7

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 1 n ! un n = 1 n ! .

Solution

Nous substituons les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 dans la formule, a n = 1 n ! , un n = 1 n ! , en ordre.

Les cinq premiers termes de la suite sont 1 , 1 2 , 1 6 , 1 24 , 1 120 . 1 , 1 2 , 1 6 , 1 24 , 1 120 .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 2 n ! . un n = 2 n ! .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = 3 n ! . un n = 3 n ! .

Lorsqu'il y a une fraction avec des factorielles au numérateur et au dénominateur, nous alignons les facteurs verticalement pour faciliter nos calculs.

Exemple 12.8

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! . un n = ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! .

Solution

Nous substituons les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 dans la formule, a n = ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! , un n = ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! , en ordre.

Les cinq premiers termes de la suite sont 2, 6, 12, 20 et 30.

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = ( n − 1 ) ! (n+1) ! . un n = ( n − 1 ) ! (n+1) ! .

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est a n = n ! (n+1) ! . un n = n ! (n+1) ! .

Trouver la somme partielle

Parfois, dans les applications, plutôt que de simplement lister les termes, il est important pour nous d'ajouter les termes d'une séquence. Plutôt que de simplement connecter les termes avec des signes plus, nous pouvons utiliser la notation de sommation .

Notation de sommation

La somme du premier m termes d'une suite dont me terme est un n un n s'écrit en notation sommative comme :

Le je est l'indice de sommation et le 1 nous dit par où commencer et le m nous dit où finir.

Lorsque nous ajoutons un nombre fini de termes, nous appelons la somme une somme partielle .

Exemple 12.9

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ i = 1 5 2 i . i = 1 5 2 i .

Solution

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ i = 1 5 3 i . i = 1 5 3 i .

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ i = 1 5 4 i . i = 1 5 4 i .

L'indice ne doit pas toujours être je nous pouvons utiliser n'importe quelle lettre, mais je et k sont couramment utilisés. L'index ne doit pas non plus commencer par 1 : il peut commencer et se terminer par n'importe quel entier positif.

Exemple 12.10

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ k = 0 3 1 k ! . k = 0 3 1k ! .

Solution

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ k = 0 3 2 k ! . k = 0 3 2k ! .

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : ∑ k = 0 3 3 k ! . k = 0 3 3 k ! .

Utiliser la notation de somme pour écrire une somme

Dans les deux derniers exemples, nous sommes passés de la notation de sommation à l'écriture de la somme. Maintenant, nous allons commencer par une somme et la changer en notation de sommation. Ceci est très similaire à la recherche du terme général d'une séquence. Nous devrons examiner les termes et trouver un modèle. Souvent, les modèles impliquent des multiples ou des pouvoirs.

Exemple 12.11

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 . 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 .

Solution

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 . 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 .

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 . 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 .

Lorsque les termes d'une somme ont des coefficients négatifs, nous devons soigneusement analyser la configuration des signes.

Exemple 12.12

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : −1 + 8 − 27 + 64 − 125 . -1 + 8 - 27 + 64 - 125 .

Solution

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les signes des termes alternent,
et les termes impairs sont négatifs.
Les nombres sont les cubes du
compter les nombres de un à cinq.
La somme écrite en notation sommative est
− 1 + 8 − 27 + 64 − 125 = n = 1 5 ( − 1 ) n ⋅ n 3 − 1 + 8 − 27 + 64 − 125 = ∑ n = 1 5 ( − 1 ) n ⋅ n 3

Écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation : 1 − 4 + 9 − 16 + 25 . 1 − 4 + 9 − 16 + 25 .

Écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation : −2 + 4 − 6 + 8 − 10 . −2 + 4 − 6 + 8 − 10 .

Médias

Accédez à cette ressource en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec des séquences.

Section 12.1 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Écrire les premiers termes d'une séquence

Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est donné.

Trouver une formule pour le terme général (me terme) d'une séquence

Dans les exercices suivants, trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont indiqués.

1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1,024 , … 1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1,024 , …

1 1 , 1 8 , 1 27 , 1 64 , 1 125 , … 1 1 , 1 8 , 1 27 , 1 64 , 1 125 , …

− 1 2 , − 2 3 , − 3 4 , − 4 5 , − 5 6 , … − 1 2 , − 2 3 , − 3 4 , − 4 5 , − 5 6 , …

−2 , − 3 2 , − 4 3 , − 5 4 , − 6 5 , … −2 , − 3 2 , − 4 3 , − 5 4 , − 6 5 , …

− 5 2 , − 5 4 , − 5 8 , − 5 16 , − 5 32 , … − 5 2 , − 5 4 , − 5 8 , − 5 16 , − 5 32 , …

4 , 1 2 , 4 27 , 4 64 , 4 125 , … 4 , 1 2 , 4 27 , 4 64 , 4 125 , …

Utiliser la notation factorielle

Dans les exercices suivants, en utilisant la notation factorielle, écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est donné.

Trouver la somme partielle

Dans les exercices suivants, développez la somme partielle et trouvez sa valeur.

Utiliser la notation de somme pour écrire une somme

Dans les exercices suivants, écris chaque somme en utilisant la notation de sommation.

1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125

14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26

9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

Exercices d'écriture

Explique avec tes propres mots comment écrire les termes d'une suite quand tu connais la formule. Montrez un exemple pour illustrer votre explication.

Quels termes de la suite sont négatifs lorsque le m le e terme de la suite est a n = ( −1 ) n ( n + 2 ) ? un n = ( -1 ) n ( n + 2 ) ?

Expliquez ce que signifie chaque partie de la notation ∑ k = 1 12 2 k ∑ k = 1 12 2 k.

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Si la plupart de vos chèques étaient :

… en toute confiance. Toutes nos félicitations! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Être spécifique.

… avec un peu d'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de s'assurer que vous avez une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées?

… non - je ne comprends pas ! Ceci est un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement ou vous serez rapidement débordé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour vous apporter l'aide dont vous avez besoin.

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    • Auteurs : Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Intermediate Algebra 2e
    • Date de parution : 6 mai 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-1-sequences

    © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    11.3 Affectation d'une séquence de documents

    Avant de pouvoir affecter une séquence à la numérotation des documents, vous devez définir quels documents doivent être numérotés.

    La définition d'une séquence est différente de l'affectation d'une séquence à une série de documents.

    La définition d'une séquence détermine si le numéro d'un document est généré automatiquement ou saisi manuellement par l'utilisateur.

    L'affectation d'une séquence, c'est-à-dire les documents auxquels une séquence est affectée, est définie dans le formulaire Affectations de séquence.


    3 réponses 3

    La relation est que $frac17=frac<11 imes13><1001>$, $frac1<11>=frac<7 imes13><1001>$ et $frac1<13>=frac<7 imes11><1001>$, et le schéma consistant à ajouter trois chiffres aux trois chiffres suivants pour obtenir 999$ fonctionne pour toute fraction $frac<1001>$ (à part ceux qui sont des entiers, comme $frac<1001><1001>$ ou $frac<2002><1001>$) et pour aucun autre nombre.

    Voyons ce qui se multiplie tout nombre de 1001 $ le fait. On a 1001$=(1000+1)x=1000x+x $ Donc multiplier un nombre $x$ par 1001$ revient à prendre deux exemplaires de $x$, multiplier l'un d'eux par 1000$ (ce qui a pour effet de déplacer tous les chiffres de $x$ de trois places vers la gauche), puis additionnez-les.

    Maintenant, la particularité des nombres $frac n<1001>$ (encore une fois, à part ceux qui sont déjà des entiers) c'est que ce sont les seuls nombres qui ne sont pas des entiers, mais en les multipliant par 1001$ fait du eux des entiers. Si nous utilisons l'interprétation ci-dessus de multiplier par 1001$, la seule façon qui peut arriver est si après avoir fait l'addition, nous nous retrouvons avec quelque chose avec la partie décimale $.999999ldots$ (vous pouvez essayer de trouver des exemples qui le rendent $.000000ldots$, mais vous ne réussirez pas). Cela signifie exactement que les trois chiffres du développement décimal de $frac n<1001>$, plus les trois chiffres suivants doivent totaliser 999$.

    (Ils pourraient, en théorie, additionner jusqu'à 1998$, et laisser les 1$ être reportés dans la prochaine série de trois, mais puisque $1998=999+999$, cela signifie que nous devrions déjà commencer avec $.999999ldots$ , ce qui signifie que nous avons un nombre entier. Et nous ne les considérons pas.)


    SéquenceAvecQualités ¶

    Les séquences obtenues à partir de dispositifs de séquençage à haut débit (ci-après également appelées « lectures ») sont généralement accompagnées de scores de qualité d'appel de base, qui indiquent à quel point le logiciel était sûr que la bonne base a été appelée. La classe SequenceWithQualities représente de telles lectures.

    SequenceWithQualities est une classe fille de Sequence et hérite de toutes ses fonctionnalités.

    classer HTSeq. SéquenceAvecQualités ( seq, nom qualstr, qualscale="phred" ) ¶

    Un SequenceWithQualities peut être instancié en tant que Sequence , mais maintenant avec un troisième argument, la chaîne de qualité :

    La chaîne de qualité est interprétée comme une chaîne de valeurs Phred codée par Sanger, telle que définie dans la spécification du format FASTQ, c'est-à-dire que chaque lettre de la chaîne de qualité correspond à une base de la séquence et si la valeur 33 est soustraite des caractères de qualité Valeur ASCII , le score Phred est obtenu.

    Les scores Phred se trouvent alors dans le slot qual :

    Si la chaîne de qualité suit la spécification Solexa FASTQ, la valeur à soustraire n'est pas 33 mais 64. Si vous passez une chaîne de qualité dans ce format, définissez qualscale="solexa" .

    Avant la version 1.3, le logiciel SolexaPipeline utilisait un autre style de chaîne de qualité d'encodage. Si vous souhaitez utiliser celui-ci, spécifiez qualscale="solexa-old"

    Comme pour les objets Sequence, il existe des attributs name , seq et descr .

    De plus, nous avons maintenant les attributs qual et qualstr , déjà mentionnés ci-dessus.

    SéquenceAvecQualité. qualité

    qual est un tableau numpy de type de données entier, avec autant d'éléments qu'il y a de bases. Chaque élément est un score Phred. Une partition Phred S est défini comme signifiant que l'appelant de base estime la probabilité p de l'appel de base étant erroné car p = -log10 ( S/10 ).

    Notez que qual est toujours la probabilité, même si l'ancien format de chaîne de qualité solexa a été utilisé, qui code les cotes p ( 1 - p ), c'est-à-dire que dans ce cas, les cotes sont converties en probabilités.

    SéquenceAvecQualité. qualstr ¶

    La chaîne de qualité selon l'encodage Sanger Phred. Dans le cas où la qualité a été donnée à l'origine au format solexa ou ancien solexa, elle est convertie :

    SéquenceAvecQualité. write_to_fastq_file ( fasta_file ) ¶

    Pour écrire des objets SequenceWithQualities dans un fichier FASTQ, ouvrez un fichier texte pour l'écriture, puis appelez write_to_fastq_file pour chaque séquence, en fournissant le descripteur de fichier ouvert comme seul argument, et fermez le fichier :

    Notez que les lectures seront toujours écrites avec des chaînes de qualité en codage Sanger.

    Pour lire à partir d'un fichier FASTQ, consultez la classe FastqReader .

    Semblable à Sequence.add_bases_to_count_array() , cette méthode compte les valeurs de qualité existantes stratifiées par position. Cela permet ensuite de calculer des qualités moyennes ainsi que des histogrammes.

    Voici un exemple d'utilisation :

    La valeur counts[i,j] est alors le nombre de lectures pour lesquelles la base à la position i a les scores de qualité j . Selon la norme Fastq, les scores de qualité vont de 0 à 40, le tableau est donc initialisé pour avoir 41 colonnes.

    SéquenceAvecQualités. trim_left_end_with_quals ( modèle, max_mm_qual = 5 ) ¶ SequenceWithQualities. trim_right_end_with_quals ( modèle, max_mm_qual = 5 ) ¶

    Ces méthodes fonctionnent comme Sequence.trim_left_end() et Sequence.trim_right_end() (qui sont, bien sûr, également disponibles pour les objets SequenceWithQualities). La différence est que pour les méthodes de rognage _with_quals, la quantité maximale de non-concordance autorisée est spécifiée comme la valeur maximale que la somme des scores de qualité des bases non concordantes peut prendre.

    FAIRE: Ajouter un exemple


    11.2 Définition des catégories de séquences de documents

    Les catégories de séquence de documents organisent les documents en groupes logiques.

    Une catégorie de séquence de documents est l'une des règles que vous utilisez pour définir les documents auxquels une séquence affecte des numéros.

    Vous pouvez numéroter séparément chaque catégorie de séquence de documents en attribuant une séquence différente à chaque catégorie.

    Une catégorie de séquence de documents identifie la table de base de données qui stocke les documents résultant des transactions saisies par vos utilisateurs. Lorsque vous affectez une séquence à une catégorie, la séquence numérote les documents qui sont stockés dans une table particulière.


    Bienvenue

    La Liste mondiale des oiseaux de la COI est une ressource en libre accès de la communauté internationale des ornithologues. Notre objectif principal est de faciliter la communication mondiale en ornithologie et conservation basée sur une classification évolutive à jour des oiseaux du monde et un ensemble de noms anglais qui suivent des directives explicites pour l'orthographe et la construction.

    Pour se tenir au courant de l'industrie actuelle des révisions taxonomiques, l'équipe éditoriale et les conseillers du CIO mettent à jour la liste en ligne chaque janvier et juin/juillet. Les mises à jour incluent des changements de noms ou de classification recommandés, des ajouts d'espèces nouvellement décrites, des corrections de nomenclature et des mises à jour de la taxonomie des espèces.

    La liste mondiale des oiseaux du CIO complète trois autres principales listes mondiales d'oiseaux qui diffèrent légèrement par leurs objectifs principaux et leur philosophie taxonomique, à savoir la liste de contrôle Clements des oiseaux du monde, la liste de contrôle complète Howard & Moore des oiseaux du monde, 4 e édition , et HBW Alive/Bird Life International.

    L'alignement et la consolidation améliorés de ces travaux taxonomiques indépendants sont en cours de manière informelle et ont fait l'objet d'une vigoureuse table ronde lors du Congrès ornithologique international de 2018 à Vancouver, en Colombie-Britannique. Il y avait un large soutien pour la consolidation et l'amélioration de l'alignement des listes de contrôle mondiales des oiseaux. Mise à jour ( 31/07/2020).


    Larson Algebra 2 Solutions Chapitre 11 Séquences et Série Exercice 11.1

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    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 40E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 41E


    Clinical features, isolation, and complete genome sequence of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 from the first two patients in Vietnam

    In January 2020, we identified two severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 (SARS-CoV-2)-infected patients in a familial cluster with one person coming from Wuhan, China. The complete genome sequences of two SARS-CoV-2 strains isolated from these patients were identical and 99.98% similar to strains isolated in Wuhan. This is genetically suggestive of human-to-human transmission of SARS-CoV-2 and indicates Wuhan as the most plausible origin of the early outbreak in Vietnam. The younger patient had a mild upper respiratory illness and a brief viral shedding, whereas the elderly with multi-morbidity had pneumonia, prolonged viral shedding, and residual lung damage. The evidence of nonsynonymous substitutions in the ORF1ab region of the viral sequence warrants further studies.

    Mots clés: COVID-19 SARS-CoV-2 Vero complete genome sequencing coronavirus respiratory infections.


    Voir la vidéo: Converging and Diverging Sequences Using Limits - Practice Problems (Octobre 2021).