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14.2aE : Intégrales doubles Partie 1 (Exercices) - Mathématiques


Dans les exercices 1 et 2, utilisez la règle du milieu avec (m = 4) et (n = 2) pour estimer le volume du solide délimité par la surface (z = f(x,y)), les plans verticaux (x = 1), (x = 2), (y = 1), et (y = 2), et le plan horizontal (x = 0).

1) (f(x,y) = 4x + 2y + 8xy)

Réponse:
(27)

2) (f(x,y) = 16x^2 + frac{y}{2})

Dans les exercices 3 et 4, estimez le volume du solide sous la surface (z = f(x,y)) et au-dessus de la région rectangulaire R en utilisant une somme de Riemann avec (m = n = 2) et les points d'échantillons sont les coins inférieurs gauches des sous-rectangles de la partition.

3) (f(x,y) = sin x - cos y), (R = [0, pi] imes [0, pi])

Réponse:
(0)

4) (f(x,y) = cos x + cos y), (R = [0, pi] imes [0, frac{pi}{2}])

5) Utilisez la règle du point milieu avec (m = n = 2) pour estimer (iint_R f(x,y) ,dA), où les valeurs de la fonction F sur (R = [8,10] imes [9,11]) sont donnés dans le tableau suivant.

(y)
(X)99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8
Réponse:
(21.3)

6) Les valeurs de la fonction (f) sur le rectangle (R = [0,2] imes [7,9]) sont données dans le tableau suivant. Estimez l'intégrale double (iint_R f(x,y),dA) en utilisant une somme de Riemann avec (m = n = 2). Sélectionnez les points d'échantillonnage pour être les coins supérieurs droits des sous-carrés de R.

(y_0 = 7)(y_1 = 8)(y_2 = 9)
(x_0 = 0)10.2210.219.85
(x_1 = 1)6.739.759.63
(x_2 = 2)5.627.838.21

7) La profondeur d'une piscine pour enfants de 4 pi sur 4 pi, mesurée à intervalles de 1 pi, est indiquée dans le tableau suivant.

  1. Estimez le volume d'eau dans la piscine en utilisant une somme de Riemann avec (m = n = 2). Sélectionnez les points d'échantillonnage en utilisant la règle du point médian sur (R = [0,4] imes [0,4]).
  2. Trouvez la profondeur moyenne de la piscine.
    (y)
    (X)01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52
Réponse:
une. 28 ( ext{ft}^3)
b. 1,75 pi

8) La profondeur d'un trou de 3 pi sur 3 pi dans le sol, mesurée à des intervalles de 1 pi, est indiquée dans le tableau suivant.

  1. Estimez le volume du trou en utilisant une somme de Riemann avec (m = n = 3) et les points d'échantillonnage pour être les coins supérieurs gauches des sous-carrés de (R).
  2. Trouvez la profondeur moyenne du trou.
    (y)
    (X)0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

9) Les courbes de niveau (f(x,y) = k) de la fonction (f) sont données dans le graphe suivant, où (k) est une constante.

  1. Appliquer la règle du milieu avec (m = n = 2) pour estimer l'intégrale double (iint_R f(x,y),dA), où (R = [0.2,1] imes [0, 0,8]).
  2. Estimez la valeur moyenne de la fonction (f) sur (R).

Réponse:
une. 0,112
b. (f_{moy} 0,175); ici (f(0.4,0.2) 0.1), (f(0.2,0.6) ≃− 0.2), (f(0.8,0.2) ≃ 0.6), et (f(0.8,0.6) 0,2)

10) Les courbes de niveau (f(x,y) = k) de la fonction (f) sont données dans le graphique suivant, où (k) est une constante.

  1. Appliquer la règle du milieu avec (m = n = 2) pour estimer l'intégrale double (iint_R f(x,y),dA), où (R = [0.1,0.5] imes [0.1, 0,5]).
  2. Estimer la valeur moyenne de la fonction F sur (R).

11) Le solide situé sous la surface (z = sqrt{4 - y^2}) et au-dessus de la région rectangulaire( R = [0,2] imes [0,2]) est illustré dans le graphique suivant. Évaluer l'intégrale double (iint_Rf(x,y)), où (f(x,y) = sqrt{4 - y^2}) en trouvant le volume du solide correspondant.

Réponse:
(2pi)

12) Le solide situé sous le plan (z = y + 4) et au-dessus de la région rectangulaire (R = [0,2] imes [0,4]) est illustré dans le graphique suivant. Évaluer l'intégrale double (iint_R f(x,y),dA), où (f(x,y) = y + 4), en trouvant le volume du solide correspondant.

Dans les exercices 13 à 20, calculez les intégrales en inversant l'ordre d'intégration.

13) (displaystyle int_{-1}^1left(int_{-2}^2 (2x + 3y + 5),dx ight) space dy)

Réponse:
(40)

14) (displaystyle int_0^2left(int_0^1 (x + 2e^y + 3),dx ight) space dy)

15) (displaystyle int_1^{27}left(int_1^2 (sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y}),dy ight) space dx)

Réponse:
(frac{81}{2} + 39sqrt[3]{2})

16) (displaystyle int_1^{16}left(int_1^8 (sqrt[4]{x} + 2sqrt[3]{y}),dy ight) space dx)

17) (displaystyle int_{ln 2}^{ln 3}left(int_0^1 e^{x+y},dy ight) space dx)

Réponse:
(e - 1)

18) (displaystyle int_0^2left(int_0^1 3^{x+y},dy ight) space dx)

19) (displaystyle int_1^6left(int_2^9 frac{sqrt{y}}{y^2},dy ight) space dx)

Réponse:
(15 - frac{10sqrt{2}}{9})

20) (displaystyle int_1^9 left(int_4^2 frac{sqrt{x}}{y^2},dy ight),dx)

Dans les exercices 21 à 34, évaluez les intégrales itérées en choisissant l'ordre d'intégration.

21) (displaystyle int_0^{pi} int_0^{pi/2} sin(2x)cos(3y),dx space dy)

Réponse:
(0)

22) (displaystyle int_{pi/12}^{pi/8}int_{pi/4}^{pi/3} [cot x + an(2y)],dx space dy)

23) (displaystyle int_1^e int_1^e left[frac{1}{x}sin(ln x) + frac{1}{y}cos (ln y) ight ] ,dx space dy)

Réponse:
((e − 1)(1 + sin 1 − cos 1))

24) (displaystyle int_1^e int_1^e frac{sin(ln x)cos (ln y)}{xy} ,dx space dy)

25) (displaystyle int_1^2 int_1^2 left(frac{ln y}{x} + frac{x}{2y + 1} ight),dy space dx)

Réponse:
(frac{3}{4}ln left(frac{5}{3} ight) + 2b space ln^2 2 - ln 2)

26) (displaystyle int_1^e int_1^2 x^2 ln(x),dy space dx)

27) (displaystyle int_1^{sqrt{3}} int_1^2 y space arctan left(frac{1}{x} ight) ,dy space dx)

Réponse:
(frac{1}{8}[(2sqrt{3} - 3) pi + 6 space ln 2])

28) (displaystyle int_0^1 int_0^{1/2} (arcsin x + arcsin y),dy space dx)

29) (displaystyle int_0^1 int_0^2 xe^{x+4y},dy space dx)

Réponse:
(frac{1}{4}e^4 (e^4 - 1))

30) (displaystyle int_1^2 int_0^1 xe^{x-y},dy space dx)

31) (displaystyle int_1^e int_1^e left(frac{ln y}{sqrt{y}} + frac{ln x}{sqrt{x}} ight) ,dy espace dx)

Réponse:
(4(e - 1)(2 - sqrt{e}))

32) (displaystyle int_1^e int_1^e left(frac{x space ln y}{sqrt{y}} + frac{y space ln x}{sqrt{x }} ight),dy space dx)

33) (displaystyle int_0^1 int_1^2 left(frac{x}{x^2 + y^2} ight),dy space dx)

Réponse:
(-frac{pi}{4} + ln left(frac{5}{4} ight) - frac{1}{2} ln 2 + arctan 2)

34) (displaystyle int_0^1 int_1^2 frac{y}{x + y^2},dy space dx)

Dans les exercices 35 à 38, trouvez la valeur moyenne de la fonction sur les rectangles donnés.

35)(f(x,y) = −x +2y), (R = [0,1] imes [0,1])

Réponse:
(frac{1}{2})

36) (f(x,y) = x^4 + 2y^3), (R = [1,2] fois [2,3])

37) (f(x,y) = sinh x + sinh y), (R = [0,1] imes [0,2])

Réponse:
(frac{1}{2}(2 space cosh 1 + cosh 2 - 3)).

38) (f(x,y) = arctan(xy)), (R = [0,1] imes [0,1])

39) Soient (f) et (g) deux fonctions continues telles que (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) pour tout (x ∈ [a,b]) et (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) pour tout( y [c,d]). Montrer que l'inégalité suivante est vraie :

[m_1m_2(b-a)(c-d) leq int_a^b int_c^d f(x) g(y),dy dx leq M_1M_2 (b-a)(c-d).]

Dans les exercices 40 à 43, utilisez la propriété v. des intégrales doubles et la réponse de l'exercice précédent pour montrer que les inégalités suivantes sont vraies.

40) (frac{1}{e^2} leq iint_R e^{-x^2 - y^2} space dA leq 1), où (R = [0,1] fois [0,1])

41) (frac{pi^2}{144} leq iint_R sin x cos y space dA leq frac{pi^2}{48}), où (R = gauche[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight] imes left[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight ])

42) (0 leq iint_R e^{-y}space cos x space dA leq frac{pi}{2}), où (R = left[0, frac{ pi}{2} ight] imes left[0, frac{pi}{2} ight])

43) (0 leq iint_R (ln x)(ln y) ,dA leq (e - 1)^2), où (R = [1, e] imes [1, e ] )

44) Soient (f) et (g) deux fonctions continues telles que (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) pour tout (x ∈ [a,b]) et (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) pour tout (y ∈ [c,d]). Montrer que l'inégalité suivante est vraie :

[(m_1 + m_2) (b - a)(c - d) leq int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)| space dy space dx leq (M_1 + M_2)(b - a)(c - d)]

Dans les exercices 45 à 48, utilisez la propriété v. des intégrales doubles et la réponse de l'exercice précédent pour montrer que les inégalités suivantes sont vraies.

45) (frac{2}{e} leq iint_R (e^{-x^2} + e^{-y^2}) ,dA leq 2), où (R = [ 0,1] x [0,1])

46) (frac{pi^2}{36}iint_R (sin x + cos y),dA leq frac{pi^2 sqrt{3}}{36}), où (R = [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}] imes [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}] )

47) (frac{pi}{2}e^{-pi/2} leq iint_R (cos x + e^{-y}),dA leq pi), où (R = [0, frac{pi}{2}] imes [0, frac{pi}{2}])

48) (frac{1}{e} leq iint_R (e^{-y} - ln x) ,dA leq 2), où (R = [0, 1] imes [ 0, 1])

Dans les exercices 49 à 50, la fonction (f) est donnée en termes d'intégrales doubles.

  1. Déterminer la forme explicite de la fonction (f).
  2. Trouvez le volume du solide sous la surface (z = f(x,y)) et au-dessus de la région (R).
  3. Trouvez la valeur moyenne de la fonction (f) sur (R).
  4. Utilisez un système de calcul formel (CAS) pour tracer (z = f(x,y)) et (z = f_{ave}) dans le même système de coordonnées.

49) [T] (f(x,y) = int_0^y int_0^x (xs + yt) ds space dt), où ((x,y) in R = [0,1] imes [0 ,1])

Réponse:

une. (f(x,y) = frac{1}{2} xy (x^2 + y^2));
b. (V = int_0^1 int_0^1 f(x,y),dx space dy = frac{1}{8});
c. (f_{ave} = frac{1}{8});

ré.

50) [T] (f(x,y) = int_0^x int_0^y [cos(s) + cos(t)] , dt space ds), où ((x,y) in R = [0,3] fois [0,3])

51) Montrer que si (f) et (g) sont continues sur ([a,b]) et ([c,d]), respectivement, alors

(displaystyle int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)| dy space dx = (d - c) int_a^b f(x),dx)

(displaystyle + int_a^b int_c^dg(y),dy space dx = (b - a) int_c^dg(y),dy + int_c^d int_a^bf(x) ,dx space dy).

52) Montrer que (displaystyle int_a^b int_c^d yf(x) + xg(y),dy space dx = frac{1}{2} (d^2 - c^2) left(int_a^bf(x),dx ight) + frac{1}{2} (b^2 - a^2) left(int_c^dg(y),dy ight) ).

53) [T] Considérons la fonction (f(x,y) = e^{-x^2-y^2}), où ((x,y) in R = [−1,1] imes [−1 ,1]).

  1. Utilisez la règle du milieu avec (m = n = 2,4,..., 10) pour estimer l'intégrale double (I = iint_R e^{-x^2 - y^2} dA). Arrondissez vos réponses au centième près.
  2. Pour (m = n = 2), trouvez la valeur moyenne de F sur la région R. Arrondissez votre réponse au centième près.
  3. Utilisez un CAS pour représenter graphiquement dans le même système de coordonnées le solide dont le volume est donné par (iint_R e^{-x^2-y^2} dA) et le plan (z = f_{ave}).
Réponse:

une. Pour (m = n = 2), (I = 4e^{-0,5} environ 2,43)
b. (f_{ave} = e^{-0,5} simeq 0,61);

c.

54) [T] Considérons la fonction (f(x,y) = sin (x^2) space cos (y^2)), où ((x,y in R = [−1,1] imes [-1,1]).

  1. Utilisez la règle du milieu avec (m = n = 2,4,..., 10) pour estimer l'intégrale double (I = iint_R sin (x^2) cos (y^2) space dA ). Arrondissez vos réponses au centième près.
  2. Pour (m = n = 2), trouvez la valeur moyenne de (f) sur la région R. Arrondissez votre réponse au centième près.
  3. Utilisez un CAS pour représenter graphiquement dans le même système de coordonnées le solide dont le volume est donné par (iint_R sin(x^2) cos(y^2) space dA) et le plan (z = f_{ave }).

Dans les exercices 55 à 56, les fonctions (f_n) sont données, où (n geq 1) est un nombre naturel.

  1. Trouver le volume des solides (S_n) sous les surfaces (z = f_n(x,y)) et au-dessus de la région (R).
  2. Déterminer la limite des volumes des solides (S_n) lorsque (n) augmente sans borne.

55) (f(x,y) = x^n + y^n + xy, space (x,y) in R = [0,1] imes [0,1])

Réponse:
une. (frac{2}{n + 1} + frac{1}{4})
b. (frac{1}{4})

56) (f(x,y) = frac{1}{x^n} + frac{1}{y^n}, space (x,y) in R = [1,2] fois [1,2])

57) Montrer que la valeur moyenne d'une fonction (f) sur une région rectangulaire (R = [a,b] imes [c,d]) est (f_{ave} approx frac{1 }{mn} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)),où ((x_{ij}^* ,y_{ij}^*)) sont les points échantillons de la partition de (R), où (1 leq i leq m) et (1 leq j leq n).

58) Utilisez la règle du milieu avec (m = n) pour montrer que la valeur moyenne d'une fonction (f) sur une région rectangulaire (R = [a,b] imes [c,d]) est approximé par

[f_{ave} approx frac{1}{n^2} sum_{i,j =1}^nf left(frac{1}{2} (x_{i=1} + x_i) , space frac{1}{2} (y_{j=1} + y_j) ight).]

59) Une carte isotherme est une carte reliant des points ayant la même température à un moment donné pour une période de temps donnée. Utilisez l'exercice précédent et appliquez la règle du point médian avec (m = n = 2) pour trouver la température moyenne sur la région donnée dans la figure suivante.

Réponse:
(56.5^{circ}) F; ici (f(x_1^*,y_1^*) = 71, space f(x_2^*, y_1^*) = 72, space f(x_2^*,y_1^*) = 40, space f( x_2^*,y_2^*) = 43), où (x_i^*) et (y_j^*) sont les milieux des sous-intervalles des partitions de ([a,b]) et ([c,d]), respectivement.

Ensemble de problèmes 7

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14.2aE : Intégrales doubles Partie 1 (Exercices) - Mathématiques

14. Utilisez une intégrale double pour déterminer le volume de la région délimitée par (z = 6 - 5) et les plans (y = 2x), (y = 2),(x = 0) et le (xy)-plan.

Afficher toutes les étapes Masquer toutes les étapes

Commençons par faire un croquis du solide avec lequel nous travaillons. Si vous n'êtes pas doué pour visualiser ces types de solides dans votre tête, ces graphiques peuvent être inestimables pour vous aider à configurer l'intégrale.

La surface est esquissée avec un jeu d'axes traditionnel et un jeu d'axes « cadre en boîte ». Parfois, il est plus facile de voir ce qui se passe avec la surface lorsque les deux croquis sont présents.

La surface supérieure (la surface orange) est le graphique de (z = 6 - 5). Le plan bleu est le graphe de (y = 2) qui n'est rien de plus que le plan parallèle au plan (xz) en (y = 2). Le plan rouge est le graphique de (y = 2x) et c'est simplement le plan qui est perpendiculaire au plan (xy) et passe par la ligne (y = 2x) dans le (xy )-avion. La surface donnée par (x = 0) est simplement le (yz)-plan (c'est à dire l'arrière du solide) et n'est pas représenté et le plan (xy) est le bas de la surface et n'est pas non plus représenté dans l'esquisse.

Dans cette section, la seule méthode dont nous disposons pour déterminer le volume d'un solide est de trouver le volume sous une surface. Dans ce cas, il est clair que nous recherchons la surface sous (z = 6 - 5) et est au-dessus de la région (D) dans le plan (xy) défini par l'endroit où les trois autres plans l'intersectent. En d'autres termes, la région (D) est la région dans le plan (xy) qui est délimitée par (y = 2), (y = 2x) et (x = 0) .

L'intégrale du volume est alors :

où (D) est esquissé ci-dessous.

Cette intégrale peut être intégrée dans n'importe quel ordre, intégrons donc d'abord par rapport à (y) pour éviter les fractions dans les limites (ce que nous obtiendrions avec un si nous intégrions d'abord par rapport à (x)). Voici les limites de notre intégrale.

[commencer0 le x le 1 2x le y le 2end]

L'intégrale du volume est alors :

Il ne nous reste plus qu'à évaluer l'intégrale. Voici l'intégration (y).

Notez qu'en faisant l'intégration (y), nous avons reconnu que l'intégrande entier ne contenait aucun (y) et pouvait donc être considéré comme une constante et serait donc simplement multiplié par (y). Nous aurions également pu faire chaque terme individuellement, mais parfois il est tout aussi facile voire plus facile de faire ce que nous avons fait ici. Bien sûr, nous avons ensuite dû multiplier l'intégrande pour l'étape suivante, mais ce n'était pas trop mal.


14.2aE : Intégrales doubles Partie 1 (Exercices) - Mathématiques

13. Utilisez une double intégrale pour déterminer le volume de la région qui se trouve entre le plan (xy) et(fleft( ight) = 2 + cos left( <> ight)) et est au-dessus du triangle de sommets (left( <0,0> ight)), (left( <6,0> ight)) et (left( <6,2>droit)).

Afficher toutes les étapes Masquer toutes les étapes

Faisons d'abord un croquis de la fonction et du triangle qui se trouve en dessous.

La surface est esquissée avec un jeu d'axes traditionnel et un jeu d'axes « cadre en boîte ». Parfois, il est plus facile de voir ce qui se passe avec la surface lorsque les deux croquis sont présents.

Le triangle verdâtre sous la surface est le triangle référencé dans l'énoncé du problème.

Maintenant, le volume que nous recherchons est donné par l'intégrale suivante,

où (D) est le triangle référencé dans l'énoncé du problème.

Ainsi, afin d'évaluer l'intégrale, nous aurons besoin d'une esquisse de (D) afin que nous puissions déterminer un ordre d'intégration ainsi que des limites pour les intégrales.

La région (D) peut être facilement décrite pour n'importe quel ordre d'intégration. Cependant, il devrait être assez clair que l'intégrale ne peut pas être intégrée par rapport à (x) en premier et donc nous devrons d'abord intégrer par rapport à (y).

Voici les limites de l'intégrale avec cet ordre.

[commencer 0 le x le 6 0 le y le displaystyle frac<1><3>xend]

L'intégrale du volume est alors :

Il ne nous reste plus qu'à évaluer l'intégrale. Voici l'intégration (y).

Enfin, l'intégration (x) et donc le volume est,

[V = gauche. <3> + frac<1><6>sin left( <> ight),> ight)> ight|_0^6 = equire box[2pt,border:1px solide noir]<<12 + frac<1><6>sin left( <36> ight) = 11.8347>>]

N'oubliez pas de régler votre calculatrice sur radians si vous convertissez en décimales !


Quelles règles dois-je suivre ?

Il y a des règles à retenir. Tout d'abord, la fonction. f(x). doit être continue pendant l'intervalle en question. Cela signifie qu'entre . une. et . b. le graphique de la fonction ne peut pas avoir de coupures (où elle n'existe pas), de trous (où elle n'existe pas en un seul point) ou de sauts (où la fonction existe à deux valeurs .y. séparées pour un seul .x. -valeur). Deuxièmement, l'intervalle doit être fermé, ce qui signifie que les deux limites doivent être constantes (nombres réels uniquement, pas d'infini autorisé).

Lorsqu'il s'agit de résoudre un problème à l'aide de la partie 1 du théorème fondamental, nous pouvons utiliser le tableau ci-dessous pour nous aider à comprendre comment le faire.


Mathématiques H53 : Calcul multivariable spécialisé

Heures de bureau de l'instructeur: Heures normales de bureau : 16h30-17h30 le mardi et 2-3h30 le jeudi. Vérifiez Bcourses "Syllabus" pour Zoom ID. N'hésitez pas à m'envoyer des questions ou à demander des heures de bureau alternatives.

Examen final: Consultez le calendrier des examens finaux de l'UC Berkeley

Conditions préalables: Maths 1B ou équivalent.

Texte: Les principaux textes de ce cours sont Calcul vectoriel par Michael Corral ([Co]) et Notes sur le calcul multivariable par Caïn et Hérode ([CH]). Les étudiants doivent se sentir libres de consulter d'autres livres pour des exercices supplémentaires et/ou des présentations alternatives du matériel. Wikipédia propose également de nombreux articles intéressants sur les sujets abordés. Les étudiants doivent lire les sections pertinentes des notes, car les cours sont destinés à compléter les notes, pas à les remplacer, et nous avons beaucoup de matériel à couvrir.

Classement: Votre note de devoirs (hw) sera la moyenne de tous les devoirs, la plus basse étant abandonnée. Votre note d'examen (examens) sera calculée sur la base du maximum des trois schémas suivants : (0,2)MT1 + (0,2)MT2 + (0,4)F (0,2)MT1 + (0,6)F (0,2)MT2 + (0,6) F. Enfin, votre note totale sera calculée comme le maximum de : (0,2)hw + (0,8)examens, (0,3)hw + (0,7)examens.

Site Internet: Pour l'instant, le seul site web est cette page, http://math.berkeley.edu/

dcorwin/mathh53s21.html. J'utiliserai bcourses pour des solutions et d'autres informations non publiques, telles que des extraits de livres, des examens et mon numéro de téléphone.

  • Les devoirs seront attribués régulièrement (voir le syllabus) et dus à 23h sur Gradescope. J'accorde des prolongations dans des circonstances raisonnables, mais vous devez me parler le plus tôt possible. Plus vous attendez, moins je serai flexible.
  • Vous pouvez travailler ensemble pour résoudre les problèmes de devoirs, mais vous devez rédiger vos solutions dans vos propres mots afin de recevoir un crédit. En particulier, veuillez ne pas copier les réponses d'Internet ou des manuels de solutions. Étant donné que l'un des principaux objectifs des devoirs est de vous préparer aux examens, je vous encourage à examiner chaque problème honnêtement par vous-même (disons, au moins trente minutes) avant d'en discuter avec les autres. Une autre pratique utile est que si vous êtes bloqué sur un problème, venez aux heures de bureau et demandez un indice. Plus vous comprendrez par vous-même, meilleure sera votre compréhension de la matière, et mieux vous réussirez à la fois aux examens et dans vos futurs efforts qui pourraient nécessiter l'algèbre abstraite.
  • Vous pouvez citer tous les résultats des notes, sauf indication contraire.
  • Les attentes et procédures habituelles en matière d'intégrité académique à l'UC Berkeley s'appliquent. La tricherie à un examen entraînera une note d'échec et sera signalée au Bureau de la conduite des étudiants de l'Université. S'il te plaît, ne me fais pas subir ça.
  • Veuillez me faire savoir le plus tôt possible si vous avez besoin de mesures d'adaptation liées au programme pour étudiants handicapés (DSP). Je suis plus qu'heureux de prendre des dispositions, mais cela aide vraiment si vous me le dites plus tôt que tard.
  • Conformément aux directives de l'université, il est de votre responsabilité d'informer l'instructeur par écrit avant la fin de la deuxième semaine de cours (31 janvier) de tout conflit d'horaire dû à l'observance religieuse ou aux activités parascolaires, et de proposer une résolution pour ces conflits.

Ressources supplémentaires (seront sur Bcourses si nécessaire):

  • Calcul : premiers transcendantaux par James Stewart, noté [S]
  • Calcul Tome II par Tom Apostol, noté [A]
  • div grad curl et tout ça par H. M. Schey, noté [dgcaat]
  • Intégrales de droites et théorème de Green par Jeremy Orloff, noté [O]

Aperçu du cours: Vous trouverez ci-dessous l'horaire approximatif des cours. Selon l'avancement du cours, il peut être sujet à des modifications mineures au cours du semestre.


Pratiquer l'examen final

C'est l'un des plus de 2400 cours sur OCW. Explorez les matériaux de ce cours dans les pages liées le long de la gauche.

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Test : Intégrales doubles et triples - 2

La valeur de dxdy est


[modifier la commande]

Le volume d'un objet exprimé en coordonnées sphériques est donné par

Q. La valeur de l'intégrale est

Considérez la région triangulaire ombrée P montrée sur la figure. Quel est xy dxdy ?

La forme d'interception de l'équation est


où, a est l'interception x et b est l'interception y.
Donc, étant donné, l'équation est
implique x+2y=2
implique x=2(1 - y)
La limite de x est de 0 à 2(1 - y ) et la limite de y est de 0 à 1.
Donc,

= 1/6

Changer l'ordre d'intégration dans l'intégrale double mène à, alors la valeur de q est

Étant donné, je =
L'équation de la ligne est x = Ay La valeur de départ de x est zéro et la valeur finale de x est 8 mais nous voulons le résultat de la première intégration en termes de y, afin que nous puissions intégrer le résultat par rapport à y pour obtenir le résultat final résultat. Ainsi, les limites sont de 0 à 4y.
Et la limite d'intégration pour y est de 0 à 2.

Alors,

Donc, r=0, s=2, p=0, q=4y

dxdy sur le quadrant positif du cercle x 2 + y 2 = 1 est donné par

Laisser
Passage aux coordonnées polaires soit x=r cos&theta, y=r sin&theta


Donc,
= 1/14

Le volume du cylindre x 2 + y 2 = a 2 borné en dessous par z = 0 et borné au dessus par z = h est donné par

L'équation du cylindre est
x 2 + y 2 = a 2
L'équation de surface CDE est z = h
Ainsi, le volume requis est


Soit x = un péché &theta
implique dx = un cos&theta d&theta
Alors, tome V

dxdydz est égal à


14.2aE : Intégrales doubles Partie 1 (Exercices) - Mathématiques

Description de la conférence

Cette conférence vidéo, qui fait partie de la série Vidéos de calcul : intégration par Prof. , n'a pas actuellement de description détaillée et de titre de conférence vidéo. Si vous avez regardé cette conférence et savez de quoi il s'agit, en particulier de quels sujets mathématiques sont discutés, veuillez nous aider en commentant cette vidéo avec votre suggestion la description et Titre. Un grand merci de,

- L'équipe CosmoLearning

Index des cours

  1. Notation de sommation
  2. L'intégrale définie : comprendre la définition
  3. Approximation d'une intégrale définie à l'aide de rectangles
  4. Règle trapézoïdale pour approximer une intégrale définie
  5. La règle de Simpson pour approximer une intégrale définie
  6. Règle de Simpson et bornes d'erreur
  7. Calcul d'une intégrale définie à l'aide de sommes de Riemann (partie 1)
  8. Calcul d'une intégrale définie à l'aide de sommes de Riemann (partie 2)
  9. Formules d'intégration de base
  10. Exemples de primitives de base : Indéfini Intégral
  11. Plus de problèmes d'intégration de base
  12. Exemple d'intégrale définie de base
  13. Indéfinie intégrale : substitution en U
  14. Intégral défini : substitution en U
  15. Plus d'intégration à l'aide de la substitution en U (partie 1)
  16. Plus d'intégration à l'aide de la substitution en U (partie 2)
  17. Intégration impliquant des fonctions trigonométriques inverses
  18. Intégration par parties : Indéfinie intégrale
  19. Intégration par parties : intégrale définie
  20. Exemples d'intégraux indéfinis/définis
  21. Intégration par parties : en utilisant deux fois l'IBP
  22. Intégration par parties : un exemple « en boucle »
  23. Intégrales trigonométriques : Partie 1 sur 6
  24. Intégrales trigonométriques : Partie 2 sur 6
  25. Intégrales trigonométriques : Partie 3 sur 6
  26. Intégrales trigonométriques : Partie 4 sur 6
  27. Intégrales trigonométriques : Partie 5 sur 6
  28. Intégrales trigonométriques : Partie 6 sur 6
  29. Substitution trigonométrique (partie 1)
  30. Substitution trigonométrique (Partie 2)
  31. Substitution trigonométrique (Partie 3)
  32. Substitution trigonométrique (partie 4)
  33. Substitution trigonométrique (partie 5)
  34. Fractions partielles : décomposition d'une fonction rationnelle
  35. Fractions partielles : coefficients d'une décomposition en fractions partielles
  36. Fractions partielles : problème
  37. Fractions partielles : problème d'utilisation d'une substitution rationalisante
  38. Calcul d'intégrales doubles sur des régions rectangulaires
  39. Calcul d'intégrales doubles sur des régions générales
  40. Inverser l'ordre de l'intégration (partie 1)
  41. Inverser l'ordre de l'intégration (Partie 2)
  42. Recherche de zones en coordonnées polaires
  43. Intégrale double utilisant des coordonnées polaires (partie 1)
  44. Intégrale double utilisant les coordonnées polaires (partie 2)
  45. Intégrale double utilisant les coordonnées polaires (partie 3)
  46. Triples intégrales
  47. Intégrales triples en coordonnées sphériques
  48. Intégrales de ligne
  49. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre
  50. Recherche des centroïdes/centres de masse (partie 1)
  51. Recherche des centroïdes/centres de masse (partie 2)
  52. Intégrales incorrects : introduction
  53. Intégrales impropres : utiliser la règle de L'Hospitals
  54. Intégrales impropres : infini dans la limite supérieure et inférieure
  55. Intégrales incorrects : discontinuité infinie à un point de terminaison
  56. Intégrales impropres : discontinuité infinie au milieu de l'intervalle
  57. Volumes de révolution : méthode du disque/de la rondelle et des régions de rotation autour d'une ligne horizontale
  58. Volumes de révolution : méthode du disque/de la rondelle et des régions de rotation autour d'une ligne verticale
  59. Volumes of Revolution : méthode disque/laveuse (suite)
  60. Problèmes de travail : trouver le travail pour vider un réservoir plein d'eau

Description du cours


Dans ce cours, l'instructeur de calcul Patrick donne 60 conférences vidéo sur le calcul intégral. Certains des sujets abordés sont : les intégrales indéfinies, les intégrales définies, les intégrales trigonométriques, la substitution trigonométrique, les fractions partielles, les intégrales doubles, les intégrales triples, les coordonnées polaires, les coordonnées sphériques, les intégrales linéaires, les centroïdes/centres de masse, les intégrales incorrectes, les volumes de révolution, Travail, et bien d'autres.


14.2aE : Intégrales doubles Partie 1 (Exercices) - Mathématiques

Dans cette section, nous allons étudier la relation entre certains types d'intégrales linéaires (sur des chemins fermés) et les intégrales doubles.

Commençons par une simple (rappelons que cela signifie qu'elle ne se croise pas) courbe fermée (C) et soit (D) la région entourée par la courbe. Voici un croquis d'une telle courbe et région.

Tout d'abord, notez que parce que la courbe est simple et fermée, il n'y a pas de trous dans la région (D). Notez également qu'une direction a été mise sur la courbe. On utilisera ici la convention que la courbe (C) a un orientation positive s'il est tracé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une autre façon de penser à une orientation positive (qui couvrira des courbes beaucoup plus générales comme nous le verrons plus tard) est que lorsque nous parcourons le chemin suivant l'orientation positive, la région (D) doit toujours être à gauche.

Étant donné des courbes/régions telles que celle-ci, nous avons le théorème suivant.

Théorème de Green

Soit (C) une courbe fermée, simple et orientée positivement et soit (D) la région délimitée par la courbe. Si (P) et (Q) ont des dérivées partielles continues du premier ordre sur (D) alors,

Avant de travailler sur quelques exemples, il y a quelques notations alternatives que nous devons reconnaître. Lorsque l'on travaille avec une ligne intégrale dans laquelle le chemin satisfait la condition du théorème de Green, nous désignerons souvent l'intégrale de ligne comme,

Ces deux notations supposent que (C) satisfait les conditions du théorème de Green, alors soyez prudent lorsque vous les utilisez.

De plus, parfois la courbe (C) n'est pas considérée comme une courbe séparée mais plutôt comme la limite d'une région (D) et dans ces cas, vous pouvez voir (C) noté (partial D ).

Travaillons quelques exemples.

Essayons d'abord (C) et (D) pour ce cas pour nous assurer que les conditions du théorème de Green sont remplies pour (C) et nous aurons besoin de l'esquisse de (D) pour évaluer la double intégrale .

Ainsi, la courbe satisfait les conditions du théorème de Green et nous pouvons voir que les inégalités suivantes définiront la région enfermée.

[0 le x le 1hspace<0.5in>0 le y le 2x]

On peut identifier (P) et (Q) à partir de l'intégrale de droite. Les voici.

Ainsi, en utilisant le théorème de Green, l'intégrale de ligne devient,

D'accord, un cercle satisfera aux conditions du théorème de Green puisqu'il est fermé et simple et qu'il n'y a donc pas vraiment de raison de l'esquisser.

Identifions d'abord (P) et (Q) à partir de l'intégrale de ligne.

Attention au signe moins sur (Q) !

Maintenant, en utilisant le théorème de Green sur la ligne intégrale donne,

où (D) est un disque de rayon 2 centré à l'origine.

Puisque (D) est un disque, il semble que la meilleure façon de faire cette intégrale soit d'utiliser des coordonnées polaires. Voici l'évaluation de l'intégrale.

Ainsi, le théorème de Green, comme indiqué, ne fonctionnera pas sur les régions qui ont des trous. Cependant, de nombreuses régions ont des trous. Voyons donc comment nous pouvons gérer ce genre de régions.

Commençons par la région suivante. Même si cette région n'a pas de trous, les arguments que nous allons aborder seront similaires à ceux dont nous aurions besoin pour les régions avec des trous, sauf qu'il sera un peu plus facile à gérer et écrire.

La région (D) sera ( asse ) et rappelons que le symbole ( cup ) s'appelle l'union et signifie que (D) se compose à la fois de (>) et (). La limite de (>) est ( asse ) tandis que la frontière de () est ( cup left( < - > ight)) et notez que ces deux limites sont orientées positivement. Lorsque nous traversons chaque frontière, la région correspondante est toujours à gauche. Enfin, notez également que nous pouvons penser à la frontière entière, (C), comme,

[C = gauche( < asse > ight) cup left( <cup left( < - > ight)> ight) = asse ]

puisque les deux () et ( - ) s'annuleront mutuellement.

Commençons maintenant par l'intégrale double suivante et utilisons une propriété de base des intégrales doubles pour la décomposer.

Ensuite, utilisez le théorème de Green sur chacun d'entre eux et utilisez à nouveau le fait que nous pouvons diviser les intégrales de ligne en intégrales de ligne distinctes pour chaque partie de la frontière.

Ensuite, nous utiliserons le fait que,

Rappelons que changer l'orientation d'une courbe avec des intégrales linéaires par rapport à (x) et/ou (y) changera simplement le signe de l'intégrale. En utilisant ce fait, nous obtenons,

Enfin, rassemblons les intégrales de droite et nous obtenons,

Alors, qu'avons-nous appris de cela? Si vous y pensez, c'était juste beaucoup de travail et tout ce que nous en avons tiré était le résultat du théorème de Green que nous savions déjà être vrai. What this exercise has shown us is that if we break a region up as we did above then the portion of the line integral on the pieces of the curve that are in the middle of the region (each of which are in the opposite direction) will cancel out. This idea will help us in dealing with regions that have holes in them.

To see this let’s look at a ring.

Notice that both of the curves are oriented positively since the region (D) is on the left side as we traverse the curve in the indicated direction. Note as well that the curve () seems to violate the original definition of positive orientation. We originally said that a curve had a positive orientation if it was traversed in a counter-clockwise direction. However, this was only for regions that do not have holes. For the boundary of the hole this definition won’t work and we need to resort to the second definition that we gave above.

Now, since this region has a hole in it we will apparently not be able to use Green’s Theorem on any line integral with the curve (C = cup ). However, if we cut the disk in half and rename all the various portions of the curves we get the following sketch.

The boundary of the upper portion ((>))of the disk is ( cup cup cup ) and the boundary on the lower portion (())of the disk is ( cup cup left( < - > ight) cup left( < - > ight)). Also notice that we can use Green’s Theorem on each of these new regions since they don’t have any holes in them. This means that we can do the following,

Now, we can break up the line integrals into line integrals on each piece of the boundary. Also recall from the work above that boundaries that have the same curve, but opposite direction will cancel. Doing this gives,

But at this point we can add the line integrals back up as follows,

The end result of all of this is that we could have just used Green’s Theorem on the disk from the start even though there is a hole in it. This will be true in general for regions that have holes in them.

Let’s take a look at an example.

Notice that this is the same line integral as we looked at in the second example and only the curve has changed. In this case the region (D) will now be the region between these two circles and that will only change the limits in the double integral so we’ll not put in some of the details here.

Here is the work for this integral.

We will close out this section with an interesting application of Green’s Theorem. Recall that we can determine the area of a region (D) with the following double integral.

Let’s think of this double integral as the result of using Green’s Theorem. In other words, let’s assume that

and see if we can get some functions (P) and (Q) that will satisfy this.

There are many functions that will satisfy this. Here are some of the more common functions.

Then, if we use Green’s Theorem in reverse we see that the area of the region (D) can also be computed by evaluating any of the following line integrals.

where (C) is the boundary of the region (D).

Let’s take a quick look at an example of this.

We can use either of the integrals above, but the third one is probably the easiest. Alors,

where (C) is the circle of radius (a). So, to do this we’ll need a parameterization of (C). This is,

[x = acos thspace<0.25in>y = asin thspace<0.25in>0 le t le 2pi ]