Des articles

3.7 : Mathématiques avec vecteurs - Mathématiques


Vous pouvez appliquer des opérations mathématiques aux éléments d'un vecteur comme vous le feriez avec un seul nombre :

> my_vector <- c(4, 5, 6)> my_vector_times_ten <- my_vector*10> my_vector_times_ten[1] 40 50 60

Vous pouvez également appliquer des opérations mathématiques sur des paires de vecteurs. Dans ce cas, chaque élément correspondant est utilisé pour l'opération.

> my_first_vector <- c(1,2,3)> my_second_vector <- c(10, 20, 20)> my_first_vector + my_second_vector[1] 11 22 23

Nous pouvons également appliquer des opérations logiques sur des vecteurs ; encore une fois, cela renverra un vecteur avec l'opération appliquée aux paires de valeurs à chaque position.

> vector_a <- c(1,2,3)> vector_b <- c(1,2,4)> vector_a == vector_b[1] VRAI VRAI FAUX

La plupart des fonctions fonctionneront avec des vecteurs comme elles le feraient avec un seul nombre. Par exemple, disons que nous voulions obtenir le sinus trignométrique pour chacun d'un ensemble de valeurs. Nous pourrions créer un vecteur et le passer aupéché()fonction, qui renverra autant de valeurs sinus qu'il y a de valeurs d'entrée :

> my_angle_values ​​<- c(0, 1, 2)> my_sin_values ​​<- sin(my_angle_values)> my_sin_values[1] 0,00 0,84 0,91k

Mathématiques de l'art vectoriel

Cette image filaire d'une tête humaine est un exemple de Image Vectorielle (SVG). Les wireframes sont utilisés comme base pour les CGI (images générées par ordinateur) dans les vidéos. Le wireframe est principalement composé de triangles.

L'art vectoriel est largement utilisé dans les industries du cinéma et des jeux. Il consiste en une combinaison de formes mathématiques de base, appelées primitives, qui sont décrits ci-dessous.

(Voir le contexte de ce sujet ici : Art vectoriel.)


3.7 : Mathématiques avec vecteurs - Mathématiques


Date Activité Titre

1er au 5 février Ch 1 : Introduction au calcul
1.1 Expressions radicales : rationaliser les dénominateurs
1.2 La pente d'une tangente
1.3 Taux de variation

8-12 février 1.4 Limite d'une fonction
1.5 Propriétés des limites
1.6 Continuité
Revue de chapitre Test

16–19 février Ch 2 : Dérivés
2.1 La fonction dérivée
2.2 Les dérivées des fonctions polynomiales
2.3 La règle du produit
Quiz

22-26 février 2.4 La règle du quotient
2.5 Les dérivées des fonctions composées
Revue de chapitre Test

1er au 5 mars Ch 3 : Dérivés et leurs applications
3.1 Dérivées d'ordre supérieur, vitesse et accélération
3.2 Minimum & maximum sur un intervalle (valeurs extrêmes)
Quiz

8-12 mars 3.3 Problèmes d'optimisation

3.4 Problèmes d'optimisation en économie et en science
Examen du chapitre Test

22-26 mars Ch 4 : Esquisse de courbes

4.1 Fonctions croissantes et décroissantes
4.2 Points critiques, maxima locaux et minima locaux
4.3 Asymptotes verticales et horizontales
Quiz

29 mars-1er avril 4.4 Concavité et points d'inflexion

4.5 Un algorithme pour l'esquisse de courbes
Revue de chapitre Test

Examens de mi-session du 6 au 12 avril

12–16 avril Ch 5 : Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques
5.1 Dérivées des fonctions exponentielles y = e^x
5.2 La dérivée de la fonction exponentielle générale y = b^x
5.3 Problèmes d'optimisation impliquant des fonctions exponentielles
Quiz

19-23 avril 5.4 Les dérivées de y = sin x & y = cos x
5.5 La dérivée de y = tan x
Revue de chapitre Test

26-30 avril Ch 6 : Introduction aux vecteurs

6.1 Une introduction aux vecteurs
6.2 Addition de vecteurs
6.3 Multiplication d'un vecteur par un scalaire
6.4 Propriétés des vecteurs
Quiz

3-7 mai 6.5 Vecteurs dans R^2 & R^3

6.6 Opérations avec vecteurs algébriques dans R^2
6.7 Opérations avec des vecteurs dans R^3
6.8 Combinaisons linéaires et ensembles couvrants
Examen du chapitre Test

10-14 mai Ch 7 : Applications des vecteurs
7.1 Vecteurs en tant que forces
7.2 Vitesse
7.3 Le produit scalaire de deux vecteurs géométriques
Quiz

17-21 mai 7.4 Le produit scalaire des vecteurs algébriques

7.5 Projections scalaires et vectorielles
7.6 Le produit vectoriel de deux vecteurs
7.7 Applications du produit scalaire et du produit croisé
Examen du chapitre Test

24-28 mai Ch 8 : Équations de droites et de plans
8.1 Equations vectorielles et paramétriques d'une droite dans R^2
8.2 Équation cartésienne d'une droite
8.3 Vecteurs, équations paramétriques et symétriques d'une droite dans R^3
Quiz

30 mai–4 juin 8.4 Équations vectorielles et paramétriques d'un plan

8.5 L'équation cartésienne d'un plan
8.6 Plans d'esquisse dans R^3
Test de chapitre

7 juin-11 juin Ch 9 : Relations entre les points, les lignes et les plans
9.1 L'intersection d'une ligne avec un plan & l'intersection de deux lignes
9.2 Systèmes d'équations
9.3 L'intersection de deux plans
Quiz

14 juin-18 juin 9.4 L'intersection de trois plans
9.5 La distance d'un point à une ligne dans R2
9.6 La distance d'un point à un plan
Test de chapitre

21 juin - Bilan cumulatif


Exemples avec des solutions

Exemple 2
Évaluez les éléments suivants et exprimez la réponse sous forme de vecteur
a) ( 2 commencer 2 -3 0 8 -9 end + 3 commencer -7 0 -4 2 1 end ) b) ( -2 gauche( egin 0 1 -1 4 -5 end - 2 commencer -1 2 7 0 -1 end ight) + 2 egin 0 -2 -2 1 -1 end )
Solution à l'exemple 2
une)
Appliquer la multiplication scalaire des vecteurs
( = egin 4 -6 0 16 -18 end + commencer -21 0 -12 6 3 fin )
Appliquer l'addition de vecteurs
( = egin -17 -6 -12 22 -15 fin )

b)
Appliquer la multiplication scalaire des vecteurs aux termes entre parenthèses
( = -2 gauche( egin 0 1 -1 4 -5 end + commencer 2 -4 -14 0 2 end ight) + 2 egin 0 -2 -2 1 -1 end )
Appliquer l'addition de vecteurs entre parenthèses
( = -2 egin 2 -3 -15 4 -3 fin + 2 commencer 0 -2 -2 1 -1 end )
Appliquer la multiplication scalaire et l'addition de vecteurs et simplifier
( = egin -4 2 26 -6 4 fin )

Exemple 3
Trouvez les vecteurs inconnus dans les équations suivantes
a) ( 2 extbf = 2 commencer 4 6 0 fin -3 commencer 0 1 0 fin ) b) ( -3 egin 1 2 -1 fin - extbf = - 2commencer -1 3 4 end )
Solution à l'exemple 3
une)
Appliquer la multiplication scalaire et l'addition de vecteurs au côté droit de l'équation
( 2 extbf = commencer 8 9 0 fin )
Multiplication scalaire des deux côtés de l'équation par ( dfrac<1> <2>)
( (dfrac<1><2>) 2 extbf = (dfrac<1><2>) egin 8 9 0 fin )
Simplifier pour obtenir
( extbf = commencer 4 9/2 0 fin )
b)
Scalaire multiplier et simplifier
( commencer -3 -6 3 fin - extbf = commencer 2 -6 -8 end )

Ajouter ( - egin -3 -6 3 fin ) aux deux côtés de l'équation

( commencer -3 -6 3 fin + (- egin -3 -6 3 fin ) - extbf = commencer 2 -6 -8 end + (- egin -3 -6 3 fin ) )
Simplifier le côté droit
( - extbf = commencer 5 0 -11 end )
Multipliez les deux membres de l'équation vectorielle ci-dessus par ( - 1 ) et simplifiez pour obtenir
( extbf = commencer - 5 0 11 fin )

Exemple 4
Trouvez les nombres réels ( r ) et ( s ) tels que
a) ( r egin 1 0 fin + s début 0 1 fin = commencer 2 -3 fin ) b) ( r egin 1 2 fin + s début 2 2 fin = commencer -1 3 end )
Solution à l'exemple 4
une)
Scalaire multiplie les vecteurs du côté gauche
( commencer r 0 fin + commencer 0 s end = commencer 2 -3 fin )
Ajouter les vecteurs du côté gauche
( commencer r s fin = commencer 2 -3 fin )
Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales donc
( r = 2 ) et ( s = - 3 )

b)
Scalaire multiplie les vecteurs du côté gauche
( commencer r 2 r fin + commencer 2 secondes 2 secondes fin = commencer -1 3 end )
Ajouter les deux vecteurs sur le côté gauche
( commencer r + 2 s 2 r + 2 s fin = commencer -1 3 end )
Utiliser l'égalité des vecteurs pour écrire
( r + 2 s = - 1 ) et ( 2 r + 2 s = 3 )
Utilisez n'importe quelle méthode pour résoudre le système ci-dessus de 2 équations à 2 inconnues pour obtenir
( r = 4 ) et ( s = -5/2 )


1.4 Équation vectorielle d'un plan

Une façon de définir un plan est lorsque vous avez un point et un vecteur qui sont perpendiculaires au plan. Ce vecteur est généralement appelé normal au plan. La normale pointe dans la direction au-dessus du plan.

Un exemple de calcul de la normale d'un plan est lorsque nous connaissons trois points non linéaires sur le plan.

(A) = le premier point du plan
(B) = le deuxième point du plan
(C) = le troisième point du plan

(mathbf) = un vecteur position du point (A)
(mathbf) = un vecteur position du point (B)
(mathbf) = un vecteur position du point (C)

On peut trouver le vecteur normal (mathbf) comme suit :

Figure (18) : Vecteurs et plans

Nous pouvons également dériver l'équation scalaire du plan en utilisant le produit scalaire vectoriel :

Ensuite, nous pouvons développer ce qui précède :

La résolution du produit scalaire donne l'équation scalaire générale d'un plan :

(a * (x - x_0) + b * (y - y_0) + c * (z - z_0) = 0)


Aperçu des mathématiques

Vous pouvez voir une matrice simplement comme une généralisation d'un vecteur, où nous organisons des nombres à la fois en lignes et en colonnes. Gardons le nombre de lignes et de colonnes arbitraires, en laissant $m$ le nombre de lignes et $n$ le nombre de colonnes. Nous appelons une telle matrice une matrice $m imes n$ et l'écrivons comme egin A= gauche[ egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_<1n> a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_<2n> vdots & vdots & ddots & vdots une_ & a_ & ldots & a_ finir droite]. finir Par exemple, une matrice à 3 $ imes 2$ est egin B= gauche[ egin 4 & -3 7 & 9 -5& 0 end ight], end et une matrice de $4 imes 7$ est egin C= gauche[ egin 9 & -9 & -8 & 1 & 4 & -3 & -3 7 & -1 & 7 & -3 & -5& -2& 9 11 & 1 & 8 & -5& -5 & 0 & - 2 9 & -2 & -8 & -1 & 3 & 10 & 0 end droite]. finir

La disposition d'une matrice en lignes et en colonnes ne se limite pas à la rendre jolie. La structure d'une matrice permet de définir une opération fondamentale sur les matrices : la multiplication. Cette multiplication forme la base de l'algèbre linéaire. En particulier, cette multiplication matricielle permet aux matrices de représenter des transformations linéaires (ou fonctions linéaires) qui transforment des vecteurs en d'autres vecteurs. (Un exemple simple d'une transformation linéaire est la rotation d'un vecteur.) D'autres utilisations des matrices impliquent le calcul de leur déterminant.

Des vecteurs comme matrices

Le concept de matrices est si puissant que, dans de nombreux cas, nous nous simplifions la vie en considérant un vecteur comme un type spécial de matrice. En comparant un vecteur tel que $vc=(1,5,3)$ à une matrice, il semble d'abord que la différence entre les vecteurs et les matrices est que les vecteurs n'ont qu'une seule ligne alors que les matrices ont plusieurs lignes. Cependant, il y a une torsion importante (littéralement) qui n'est pas apparente lors de l'écriture de vecteurs sous la forme $vc=(1,5,3)$ . Lorsque nous considérons les vecteurs comme des matrices, nous les considérons en fait comme une version pivotée de la forme standard, en écrivant un vecteur $n$-dimensionnel comme une matrice colonne $n imes 1$ egin vc = gauche[ egin x_1 x_2 x_3 vdots x_n end droite]. finir On appelle souvent $vc$ un vecteur colonne $n imes 1$ et utilisez les termes &ldquocolonne vecteur&rdquo et &ldquocolonne matrice&rdquo de manière synonyme. Le vecteur $vc=(1,5,3)$ écrit comme un vecteur colonne $3 imes 1$ serait egin vc = gauche[ egin 1 5 3 fin droite]. finir


Images de mathématiques

Heureux étudiants apprenant les mathématiques au collège ou à l'école isolé illustration plate.

Écolière pointant vers le tableau noir

Ensemble de bannières de sciences mathématiques

Collection de numéros de dessins animés avec des personnages

Chiffres mathématiques colorés et vue de dessus de la tache bleue

Fond de tableau mathématique

Écolière souriant au tableau en classe

Mot pour les mathématiques du temps 4 avec des enfants heureux

Illustration du concept de mathématiques

Présentation numérique futuriste liée aux mathématiques par femme en chemise noire


  • Editeur &rlm : &lrm Dover Publications Edition réimprimée (1 juin 1975)
  • Langue &rlm : &lrm Anglais
  • Broché &rlm : &lrm 144 pages
  • ISBN-10 &rlm : &lrm 0486604896
  • ISBN-13 &rlm : &lrm 978-0486604893
  • Poids de l'article &rlm : &lrm 7,2 onces
  • Dimensions &rlm : &lrm 5,6 x 0,4 x 8,1 pouces

Meilleurs avis aux États-Unis

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Dans l'ensemble, je dois dire que c'est un livre très bien écrit. Il couvre un sujet important avec une très bonne explication. Cependant, je ne pense pas qu'il remplisse une fonction nécessaire. J'ai acheté ce livre en tant qu'étudiant ingénieur en 4e année avec des années d'expérience avec les vecteurs des cours de mathématiques, de sciences et d'ingénierie. Ce que j'ai trouvé, c'est que ce livre est a) bien trop élémentaire pour être utile à toute personne ayant une expérience significative avec les vecteurs, et b) trop technique pour être utile à toute personne n'ayant aucune expérience avec les vecteurs. Pensez à un artiste expérimenté qui lit un livre sur l'utilisation d'un pinceau.

Il est peu probable qu'un professeur de mathématiques ou de sciences au secondaire utilise ce livre pour expliquer les vecteurs aux élèves. Bien que les explications de l'auteur soient complètes et simples, la notation est trop technique pour ce niveau. Cependant, si, comme moi, vous pensiez acheter ce livre en espérant approfondir votre compréhension des mathématiques des vecteurs, vous serez probablement déçu. Ceci est une liste presque complète des sujets des 5 premiers des 6 chapitres :

Définition des vecteurs, loi du parallélogramme, algèbre vectorielle de base (+, -, =), produit scalaire (point), produit vectoriel (croisé), et un certain nombre d'applications des vecteurs (cinématique, forces et moments, mouvement angulaire, etc.)

Il introduit également les tenseurs dans le dernier chapitre, mais, selon les propres mots de l'auteur : "Ceci étant un livre sur les vecteurs, nous n'avons présenté que le compte le plus sommaire des tenseurs. "

Si vous voulez un livre sur les vecteurs pour l'exhaustivité d'une bibliothèque personnelle, c'est un bon livre. Mais si vous voulez juste les informations, vous savez probablement plus de 90% de ce qu'il y a dans ce livre si vous êtes le genre de personne qui lit les livres de mathématiques de Douvres ou vient de la science/de l'ingénierie.

Je déteste devoir donner trois étoiles à ce livre, parce que je l'ai aimé un peu. J'étais vraiment déchiré sur l'opportunité de lui donner trois ou quatre étoiles. Le problème est que je n'ai tout simplement pas tiré assez du livre, et je pense que seules des personnes très spécifiques en tireraient assez. Une liste rapide de personnes qui devraient lire ceci : un lycéen ou un étudiant de premier cycle qui souhaite un rapide examen des vecteurs avant de suivre un cours de calcul, toute personne détenant un doctorat. (ou D.A. ou M.A.T., etc.) en mathématiques, et les philosophes des mathématiques. Cela ressemble à une étrange liste de personnes, et c'est le cas, c'est pourquoi je pense que les personnes qui bénéficieront du livre sont trop peu nombreuses. C’est plus une conséquence de la construction et du contenu du livre que de l’idée du livre.

Tout d'abord, le livre est écrit pour être très gratifiant sur le plan conceptuel : la notion de ce qu'est réellement un vecteur, étant donné la difficulté à le définir et étant donné les notions souvent contradictoires qui apparaissent dans les définitions. Le livre vise à mettre cette question au premier plan. C'est ce qui le rend agréable pour les philosophes, et je pense que chaque doctorat. en mathématiques devrait avoir cette perspective précieuse lors de l'enseignement. Cet aspect n'est qu'un peu bon pour les étudiants qui souhaitent en savoir plus sur les vecteurs. Habituellement, la façon dont fonctionnent ce genre de projets conceptuels est que vous apprenez quelque chose et que vous le désapprenez ensuite en faisant une distinction que ce qui a été appris ne peut pas gérer. C'est la philosophie et cela permet des définitions et des relations plus grandes et plus précises dans le futur.

D'un point de vue pédagogique, j'aime la mise en place du texte, mais cela ne fonctionne pas bien à cause de la mise en page particulière. Le livre est composé de textes explicatifs avec des exercices continus, provoquant une intermittence dans le matériel explicatif. Certains peuvent aimer cela, mais je trouve horriblement contre-productif de n'avoir qu'un seul concept expliqué, puis de passer aux questions. Au lieu de cela, une série d'exercices qui guident l'apprentissage avant le texte (comme la « méthode de découverte » de Bogart) ou un texte substantiel suivi d'exercices, ce qui est typique des textes mathématiques, serviraient beaucoup mieux le lecteur. Je me demande aussi à quel point les choses ont été bien expliquées dans le texte. Étant compétent avec les tenseurs, je n'étais pas sûr de ce que Banesh disait immédiatement dans quelques cas. Cela a augmenté certaines inquiétudes que j'avais à propos des morceaux de texte précédents, où je me suis demandé si quelqu'un qui lisait ceci pour la première fois et qui découvrait les vecteurs comprendrait l'essentiel. J'en suis venu à la conclusion que de très bons lecteurs de mathématiques le feraient, mais que ce serait utile à moins de la moitié de ces lecteurs. Après tout, les lecteurs exceptionnels de mathématiques n'ont probablement pas besoin de ce genre d'introduction. Cela me fait penser qu'environ 20% de tous les étudiants entrant dans leur premier cours calc tireraient assez de ce livre. D'autres, encore, pourraient le trouver utile.

Ma pensée générale sur ce livre est que quelqu'un doit prendre l'idée et faire un autre livre qui concentre mieux la pensée du livre. La géométrie affine, à mon avis, doit absolument être ajoutée. Je ne reproche pas à Hoffmann de ne pas l'avoir inclus, car si peu de personnes travaillant avec des vecteurs ont trouvé la valeur de cela. Cependant, il semble que ce serait un excellent ajout au livre, étant donné que l'un de ses commentaires de clôture est provocateur, concernant le fait qu'il n'a pas introduit de tenseur métrique (et la géométrie affine n'implique pas de mesure de longueur ).

C'est un bon livre avec une bonne idée, mais je n'en ai pas tiré assez.


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Conclusion

L'enseignement des mathématiques devrait moins consister à intégrer des nombres dans des formules et devrait amener les élèves à étudier des phénomènes à travers une activité. Cette applet d'atterrissage par vent de travers vise à faire exactement cela. Les élèves apprennent les concepts (à travers une activité légère) avant de s'inquiéter de l'algèbre.

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    Dans ce bulletin : 1. Maths dans l'applet des vecteurs d'atterrissage par vent de travers 2. GeoGebra 5 maintenant avec.Voici une application de polynômes à une situation réelle - à quelle vitesse peut un avion.Les champs de vecteurs nous permettent de cartographier des vecteurs qui varient dans un espace.Les vecteurs sont bien plus que de simples forces et vitesses. .Voici un générateur d'éolienne plus efficace et plus esthétique. .

Publié dans la catégorie Mathématiques - 27 nov. 2014 [Permalien]

2 Commentaires sur “Math dans l'applet de vecteurs d'atterrissage par vent de travers”

Bonjour, application très intéressante à l'avion qui pourrait également être appliquée/adaptée aux bateaux/navires influencés par le vent et le courant ? En tant qu'ancien pilote professionnel, j'apprécie bien les mathématiques nécessaires pour décrire l'action de largage de l'avion au vent, en particulier dans des vents de travers plus forts au décollage, en montée et à l'atterrissage, et en particulier les vents proches des limites de vent de travers du train d'atterrissage. . Je suppose que les calculs fonctionneraient également lorsque l'avion est établi en rapprochement ou en éloignement sur une radiale VOR, ce qui permet très facilement au pilote d'atteindre un cap stable/précis et de lire l'angle de dérive appliqué à l'avion en raison de la composante de vent de travers qui prévaut. . Bien que je comprenne très bien les concepts impliqués, je ne suis pas assez intelligent pour suivre les mathématiques jusqu'au bout. Félicitations à la personne qui a fait ça !
Bien cordialement, Roger

Merci pour vos gentils commentaires. J'ai un PPL (licence de pilote privé) d'où mon intérêt à utiliser les atterrissages par vent de travers pour cette application !


Voir la vidéo: MAA4 kertaus (Octobre 2021).