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6.1 : Fonctions exponentielles - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Évaluer les fonctions exponentielles.
  • Trouver l'équation d'une fonction exponentielle.
  • Utilisez des formules d'intérêt composé.
  • Évaluer les fonctions exponentielles avec la base (e).

L'Inde est le deuxième pays le plus peuplé du monde avec une population d'environ (1,25) milliard de personnes en 2013. La population augmente à un taux d'environ (.2\%) chaque année. Si ce taux se maintient, la population de l'Inde dépassera la population de la Chine d'ici 2031. Lorsque les populations augmentent rapidement, nous disons souvent que la croissance est « exponentielle », ce qui signifie que quelque chose croît très rapidement. Pour un mathématicien, cependant, le terme croissance exponentielle a une signification bien précise. Dans cette section, nous examinerons fonctions exponentielles, qui modélisent ce type de croissance rapide.

Identification des fonctions exponentielles

Lors de l'exploration de la croissance linéaire, nous avons observé un taux de changement constant - un nombre constant par lequel la production a augmenté pour chaque augmentation d'une unité d'entrée. Par exemple, dans l'équation (f(x)=3x+4), la pente nous indique que la sortie augmente de (3) chaque fois que l'entrée augmente de (1). Le scénario de l'exemple de la population indienne est différent parce que nous avons un pour cent changement par unité de temps (plutôt qu'un changement constant) du nombre de personnes.

Définition d'une fonction exponentielle

Une étude a révélé que le pourcentage de la population végétalienne aux États-Unis a doublé de 2009 à 2011. En 2011, (2,5\%) de la population était végétalienne, adhérant à un régime qui ne comprend aucun produit animal— pas de viande, volaille, poisson, produits laitiers ou œufs. Si ce taux se maintient, les végétaliens représenteront (10\%) de la population américaine en 2015, (40\%) en 2019 et (80\%) en 2050.

Que signifie exactement croître de façon exponentielle? Qu'est ce que le mot double ont en commun avec pourcentage d'augmentation? Les gens jettent ces mots par erreur. Ces mots sont-ils utilisés correctement ? Les mots apparaissent certainement fréquemment dans les médias.

  • Variation en pourcentage fait référence à un changement basé sur un pour cent du montant initial.
  • Croissance exponentielle fait référence à un augmenter basé sur un taux de changement multiplicatif constant sur des incréments de temps égaux, c'est-à-dire un pour cent augmentation du montant initial au fil du temps.
  • Décroissance exponentielle fait référence à un diminuer basé sur un taux de changement multiplicatif constant sur des incréments de temps égaux, c'est-à-dire un pour cent diminution du montant initial au fil du temps.

Pour nous permettre de bien comprendre croissance exponentielle, contrastons la croissance exponentielle avec croissance linéaire. Nous allons construire deux fonctions. La première fonction est exponentielle. Nous allons commencer avec une entrée de (0), et augmenter chaque entrée de (1). Nous doublerons les sorties consécutives correspondantes. La deuxième fonction est linéaire. Nous ajouterons (2) aux sorties consécutives correspondantes (Table (PageIndex{1})).

À partir du tableau (PageIndex{1}), nous pouvons déduire que pour ces deux fonctions, la croissance exponentielle éclipse la croissance linéaire.

  • Croissance exponentielle se réfère à la valeur d'origine de la plage augmente par le même pourcentage sur des incréments égaux trouvés dans le domaine.
  • Croissance linéaire se réfère à la valeur d'origine de la plage augmente par le même quantité sur des incréments égaux trouvés dans le domaine.
Tableau (PageIndex{1})
(X)(f(x)=2^x)(g(x)=2x)
010
122
244
386
4168
53210
66412

Apparemment, la différence entre « le même pourcentage » et « le même montant » est assez importante. Pour une croissance exponentielle, sur des incréments égaux, le taux de changement multiplicatif constant a entraîné le doublement de la sortie chaque fois que l'entrée a augmenté de un. Pour la croissance linéaire, le taux de changement additif constant sur des incréments égaux a entraîné l'ajout de (2) à la sortie chaque fois que l'entrée a été augmentée de un.

La forme générale du fonction exponentielle est (f(x)=ab^x), où (a) est un nombre différent de zéro, (b) est un nombre réel positif différent de (1).

  • Si (b>1), la fonction croît à un rythme proportionnel à sa taille.
  • Si (0

Regardons la fonction (f(x)=2^x) de notre exemple. Nous allons créer une table (Table (PageIndex{2})) pour déterminer les sorties correspondantes sur un intervalle dans le domaine de (−3) à (3).

Tableau (PageIndex{2})
(X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(f(x)=2^x)

(2^{−3}=dfrac{1}{8})

(2^{−2}=dfrac{1}{4})

(2^{−1}=dfrac{1}{2})

(2^0=1)

(2^1=2)

(2^2=4)

(2^3=8)

Examinons le graphique de (f) en traçant les paires ordonnées du tableau (PageIndex{2}) puis faisons quelques observations (PageIndex{1}).

Définissons le comportement du graphe de la fonction exponentielle (f(x)=2^x) et mettons en évidence certaines de ses caractéristiques clés.

  • le domaine est ((−infty,infty)),
  • la plage est ((0,infty)),
  • comme (x ightarrow infty), (f(x) ightarrow infty),
  • comme (x ightarrow −infty), (f(x) ightarrow 0),
  • (f(x)) est toujours croissante,
  • le graphe de (f(x)) ne touchera jamais le X-axis parce que la base deux élevée à n'importe quel exposant n'a jamais le résultat de zéro.
  • (y=0) est l'asymptote horizontale.
  • les oui-intercept est (1).

Définition : fonctions exponentielles

Pour tout nombre réel (x), une fonction exponentielle est une fonction de la forme

[f(x)=ab^x]

  • (a) est un nombre réel non nul appelé valeur initiale et
  • (b) est tout nombre réel positif tel que (b≠1).
  • Le domaine de (f) est constitué de tous les nombres réels.
  • La plage de (f) est constituée de tous les nombres réels positifs si (a>0).
  • La plage de (f) est constituée de tous les nombres réels négatifs si (a<0).
  • Le oui-intercept est ((0,a)), et l'asymptote horizontale est (y=0).

Exemple (PageIndex{1}) : identification de fonctions exponentielles

Lesquelles des équations suivantes sont ne pas fonctions exponentielles ?

  • (f(x)=4^{3(x−2)})
  • (g(x)=x^3)
  • (h(x)=gauche(dfrac{1}{3}droit)^x)
  • (j(x)=(−2)^x)

Solution

Par définition, une fonction exponentielle a une constante comme base et une variable indépendante comme exposant. Ainsi, (g(x)=x^3) ne représente pas une fonction exponentielle car la base est une variable indépendante. En fait, (g(x)=x^3) est une fonction puissance.

Rappelons que la base (b) d'une fonction exponentielle est toujours une constante positive, et (b≠1). Ainsi, (j(x)={(−2)}^x) ne représente pas une fonction exponentielle car la base, (−2), est inférieure à (0).

Exercice (PageIndex{1})

Laquelle des équations suivantes représente des fonctions exponentielles ?

  • (f(x)=2x^2−3x+1)
  • (g(x)={0.875}^x)
  • (h(x)=1.75x+2)
  • (j(x)={1095.6}^{−2x})
Réponse

(g(x)={0.875}^x) et (j(x)={1095.6}^{−2x}) représentent des fonctions exponentielles.

Évaluation des fonctions exponentielles

Rappelons que la base d'une fonction exponentielle doit être un nombre réel positif autre que (1). Pourquoi limitons-nous la base bb à des valeurs positives ? Pour s'assurer que les sorties seront des nombres réels. Observez ce qui se passe si la base n'est pas positive :

  • Soit (b=−9) et (x=dfrac{1}{2}). Puis (f(x)=fleft(dfrac{1}{2} ight)={(−9)}^{dfrac{1}{2}}=sqrt{−9}) , qui n'est pas un nombre réel.

Pourquoi limitons-nous la base à des valeurs positives autres que (1) ? Parce que la base (1) donne la fonction constante. Observez ce qui se passe si la base est (1):

  • Soit (b=1). Alors (f(x)=1^x=1) pour toute valeur de (x).

Pour évaluer une fonction exponentielle de la forme (f(x)=b^x), nous substituons simplement (x) par la valeur donnée et calculons la puissance résultante. Par exemple:

Soit (f(x)=2^x). Qu'est-ce que (f(3)) ?

[egin{align*} f(x)&= 2^x f(3)&= 2^3 qquad ext{Remplacer } x=3 &= 8 qquad ext{Evaluer le puissance} end{align*}]

Pour évaluer une fonction exponentielle avec une forme autre que la forme de base, il est important de suivre l'ordre des opérations. Par exemple:

Soit (f(x)=30{(2)}^x). Qu'est-ce que (f(3)) ?

[egin{align*} f(x)&= 30{(2)}^x f(3)&= 30{(2)}^3 qquad ext{Remplacer } x=3 &= 30(8) qquad ext{Simplifier la puissance d'abord} &= 240 qquad ext{Multiplier} end{align*}]

Notez que si l'ordre des opérations n'était pas suivi, le résultat serait incorrect :

[f(3)=30{(2)}^3≠{60}^3=216 000 onumber]

Exemple (PageIndex{2}) : évaluation des fonctions exponentielles

Soit (f(x)=5{(3)}^{x+1}). Évaluez (f(2)) sans utiliser de calculatrice.

Solution

Suivez l'ordre des opérations. Assurez-vous de faire attention aux parenthèses.

[egin{align*} f(x)&= 5{(3)}^{x+1} f(2)&= 5{(3)}^{2+1} qquad ext {Remplacer } x=2 &= 5{(3)}^3 qquad ext{Ajouter les exposants} &= 5(27) qquad ext{Simplifier la puissance} &= 135 qquad ext{Multiplier} end{align*}]

Exercice (PageIndex{2})

Soit (f(x)=8{(1.2)}^{x−5}). Évaluez (f(3)) à l'aide d'une calculatrice. Arrondissez à quatre décimales.

Réponse

(5.5556)

Définir la croissance exponentielle

Parce que la sortie des fonctions exponentielles augmente très rapidement, le terme «croissance exponentielle» est souvent utilisé dans le langage courant pour décrire tout ce qui croît ou augmente rapidement. Cependant, la croissance exponentielle peut être définie plus précisément dans un sens mathématique. Si le taux de croissance est proportionnel à la quantité présente, la fonction modélise une croissance exponentielle.

Définition : croissance exponentielle

Une fonction qui modélise la croissance exponentielle croît à un taux proportionnel à la quantité présente. Pour tout nombre réel (x) et tout nombre réel positif (a) et (b) tels que (b≠1), une fonction de croissance exponentielle a la forme

[f(x)=ab^x]

  • (a) est la valeur initiale ou de départ de la fonction.
  • (b) est le facteur de croissance ou multiplicateur de croissance par unité (x).

De manière plus générale, nous avons une fonction exponentielle, dans laquelle une base constante est élevée à un exposant variable. Pour différencier les fonctions linéaires et exponentielles, considérons deux sociétés, A et B. La société A possède (100) magasins et s'agrandit en ouvrant (50) nouveaux magasins par an, sa croissance peut donc être représentée par la fonction (A(x)=100+50x). L'entreprise B a (100) magasins et se développe en augmentant le nombre de magasins de (50\%) chaque année, sa croissance peut donc être représentée par la fonction (B(x)=100{(1+0,5 )}^x).

Quelques années de croissance pour ces entreprises sont illustrées dans le tableau (PageIndex{3}).

Tableau (PageIndex{3})
Année, (x)Magasins, Entreprise AMagasins, Entreprise B
(0)(100+50(0)=100)(100{(1+0.5)}^0=100)
(1)(100+50(1)=150)(100{(1+0.5)}^1=150)
(2)(100+50(2)=200)(100{(1+0.5)}^2=225)
(3)(100+50(3)=250)(100{(1+0.5)}^3=337.5)
(X)(A(x)=100+50x)(B(x)=100{(1+0,5)}^x)

Les graphiques comparant le nombre de magasins pour chaque entreprise sur une période de cinq ans sont présentés dans la figure (PageIndex{2}). On voit qu'avec une croissance exponentielle, le nombre de magasins augmente beaucoup plus rapidement qu'avec une croissance linéaire.

Notez que le domaine pour les deux fonctions est ([0,infty)), et la plage pour les deux fonctions est ([100,infty)). Après l'année 1, l'entreprise B a toujours plus de magasins que l'entreprise A.

Nous allons maintenant nous intéresser à la fonction représentant le nombre de magasins pour la société (B), (B(x)=100{(1+0.5)}^x). Dans cette fonction exponentielle, (100) représente le nombre initial de magasins, (0,50) représente le taux de croissance et (1+0,5=1,5) représente le facteur de croissance. En généralisant davantage, nous pouvons écrire cette fonction sous la forme (B(x)=100{(1.5)}^x),où (100) est la valeur initiale, (1.5) est appelé le base, et (x) est appelé le exposant.

Exemple (PageIndex{3}) : évaluation d'un modèle exponentiel du monde réel

Au début de cette section, nous avons appris que la population de l'Inde était d'environ (1,25) milliard en 2013, avec un taux de croissance annuel d'environ (1,2\%). Cette situation est représentée par la fonction de croissance (P(t)=1.25{(1.012)}^t), où (t) est le nombre d'années depuis 2013. Au millième près, quelle sera la population de L'Inde en 2031 ?

Solution

Pour estimer la population en 2031, nous évaluons les modèles pour (t=18), car 2031 est (18) ans après 2013. En arrondissant au millième le plus proche,

[P(18)=1.25{(1.012)}^{18}≈1.549 onumber]

Il y aura environ (1,549) milliard de personnes en Inde en 2031.

Exercice (PageIndex{3})

La population de la Chine était d'environ (1,39) milliard en 2013, avec un taux de croissance annuel d'environ (0,6\%). Cette situation est représentée par la fonction de croissance (P(t)=1.39{(1.006)}^t), où (t) est le nombre d'années depuis 2013. Au millième près, quelle sera la population de La Chine pour l'année 2031 ? Comment cela se compare-t-il à la prédiction de population que nous avons faite pour l'Inde dans l'exemple (PageIndex{3}) ?

Réponse

Environ (1,548) milliard de personnes ; d'ici 2031, la population de l'Inde dépassera celle de la Chine d'environ (0,001) milliard, soit (1) million de personnes.

Trouver des équations de fonctions exponentielles

Dans les exemples précédents, on nous a donné une fonction exponentielle, que nous avons ensuite évaluée pour une entrée donnée. Parfois, on nous donne des informations sur une fonction exponentielle sans connaître explicitement la fonction. Nous devons utiliser l'information pour écrire d'abord la forme de la fonction, puis déterminer les constantes (a, a) et (b, b), et évaluer la fonction.

Comment : Étant donné deux points de données, écrire un modèle exponentiel

  1. Si l'un des points de données a la forme ((0,a)), alors (a) est la valeur initiale. En utilisant (a), substituez le deuxième point dans l'équation (f(x)=a{(b)}^x), et résolvez pour (b).
  2. Si aucun des points de données n'a la forme ((0,a)), remplacez les deux points en deux équations par la forme (f(x)=a{(b)}^x). Résolvez le système résultant de deux équations à deux inconnues pour trouver (a) et (b).
  3. En utilisant les (a) et (b) trouvés dans les étapes ci-dessus, écrivez la fonction exponentielle sous la forme (f(x)=a{(b)}^x).

Exemple (PageIndex{4}) : écriture d'un modèle exponentiel lorsque la valeur initiale est connue

En 2006, (80) cerfs ont été introduits dans un refuge faunique. En 2012, la population était passée à (180) cerfs. La population augmentait de façon exponentielle. Écrivez une fonction algébrique (N(t)) représentant la population ((N)) de cerfs au cours du temps (t).

Solution

Nous laissons notre variable indépendante (t) être le nombre d'années après 2006. Ainsi, les informations données dans le problème peuvent être écrites sous forme de paires entrée-sortie : (0, 80) et (6, 180). Notez qu'en choisissant notre variable d'entrée à mesurer comme années après 2006, nous nous sommes donné la valeur initiale pour la fonction, (a=80). Nous pouvons maintenant substituer le deuxième point dans l'équation (N(t)=80b^t) pour trouver (b):

[egin{align*} N(t)&= 80b^t 180&= 80b^6 qquad ext{Remplacer par le point } (6, 180) dfrac{9}{4}&= b^6 qquad ext{Diviser et écrire en termes les plus bas} b&= {left (dfrac{9}{4} ight )}^{ frac{1}{6}} qquad ext {Isoler b en utilisant les propriétés des exposants} b&environ 1,1447 qquad ext{Arrondir à 4 décimales} end{align*}]

Sauf indication contraire, n'arrondissez aucun calcul intermédiaire. Arrondissez ensuite la réponse finale à quatre places pour le reste de cette section.

Le modèle exponentiel pour la population de cerfs est (N(t)=80{(1.1447)}^t). (Notez que cette fonction exponentielle modélise la croissance à court terme. À mesure que les entrées deviennent importantes, la sortie deviendra de plus en plus grande, à tel point que le modèle peut ne pas être utile à long terme.)

Nous pouvons représenter graphiquement notre modèle pour observer la croissance de la population de cerfs dans le refuge au fil du temps. Notez que le graphe de la figure (PageIndex{3}) passe par les points initiaux indiqués dans le problème, ((0, 80)) et ((6, 180)). Nous pouvons également voir que le domaine de la fonction est ([0,infty)), et la plage de la fonction est ([80,infty)).

Exercice (PageIndex{4})

Une population de loups croît de façon exponentielle. En 2011, (129) loups ont été comptés. En 2013, la population avait atteint (236) loups. Quels sont les deux points qui peuvent être utilisés pour dériver une équation exponentielle modélisant cette situation ? Écrivez l'équation représentant la population (N) de loups au cours du temps (t).

Réponse

((0,129)) et ((2,236)); (N(t)=129{(1.3526)}^t)

Exemple (PageIndex{5}) : écriture d'un modèle exponentiel lorsque la valeur initiale n'est pas connue

Trouvez une fonction exponentielle qui passe par les points ((-2,6)) et ((2,1)).

Solution

Comme nous n'avons pas la valeur initiale, nous substituons les deux points dans une équation de la forme (f(x)=ab^x), puis résolvons le système pour (a) et (b) .

  • La substitution de ((−2,6)) donne (6=ab^{−2})
  • La substitution de ((2,1)) donne (1=ab^2)

Utilisez la première équation pour résoudre (a) en termes de (b) :

[egin{align*} 6&= ab^{-2} dfrac{6}{b^{-2}}&= a qquad ext{Diviser} a&= 6b^2 qquad ext{Utiliser les propriétés des exposants pour réécrire le dénominateur} end{align*}]

Remplacez a dans la deuxième équation et résolvez pour (b):

[egin{align*} 1&= ab^{2} 1&= 6b^2 b^2 &= 6b^4 qquad ext{Remplacer a} b&= left (dfrac{ 1}{6} ight )^{ frac{1}{4}} qquad ext{Red 4 décimales réécrivent le dénominateur} b&approx 0.6389 end{align*}]

Utilisez la valeur de (b) dans la première équation pour résoudre la valeur de (a):

[egin{align*} a&= 6b^{2} &environ 6(0,6389)^2 &environ 2,4492 end{align*}]

Ainsi, l'équation est (f(x)=2.4492{(0.6389)}^x).

Nous pouvons représenter graphiquement notre modèle pour vérifier notre travail. Notez que le graphe de la figure (PageIndex{4}) passe par les points initiaux donnés dans le problème, ((−2, 6)) et ((2, 1)). Le graphique est un exemple de fonction de décroissance exponentielle.

Exercice (PageIndex{5})

Étant donné les deux points ((1,3)) et ((2,4.5)),trouver l'équation de la fonction exponentielle qui passe par ces deux points.

Réponse

(f(x)=2{(1.5)}^x)

Q&R : Est-ce que deux points déterminent toujours une fonction exponentielle unique ?

Oui, à condition que les deux points soient tous les deux au-dessus de l'axe des x ou en dessous de l'axe des x et aient des coordonnées x différentes. Mais gardez à l'esprit que nous devons également savoir que le graphique est, en fait, une fonction exponentielle. Tous les graphiques qui semblent exponentiels ne sont pas vraiment exponentiels. Nous devons savoir que le graphique est basé sur un modèle qui montre le même pourcentage de croissance avec chaque augmentation d'unité de (x), ce qui, dans de nombreux cas du monde réel, implique du temps.

Comment : Étant donné le graphique d'une fonction exponentielle, écrire son équation

  1. Tout d'abord, identifiez deux points sur le graphique. Choisissez l'ordonnée à l'origine (y) comme l'un des deux points chaque fois que possible. Essayez de choisir des points aussi éloignés que possible pour réduire l'erreur d'arrondi.
  2. Si l'un des points de données est le (y)-intercept ((0,a)), alors (a) est la valeur initiale. En utilisant (a), remplacez le deuxième point dans l'équation (f(x)=a{(b)}^x), et résolvez pour (b)
  3. Si aucun des points de données n'a la forme ((0,a)), remplacez les deux points en deux équations par la forme (f(x)=a{(b)}^x). Résolvez le système résultant de deux équations à deux inconnues pour trouver (a) et (b).
  4. Écrivez la fonction exponentielle, (f(x)=a{(b)}^x).

Exemple (PageIndex{6}) : écriture d'une fonction exponentielle à partir de son graphe

Trouvez une équation pour la fonction exponentielle représentée graphiquement dans la figure (PageIndex{5}).

Solution

Nous pouvons choisir le (y)-interception du graphe, ((0,3)), comme premier point. Cela nous donne la valeur initiale, (a=3). Ensuite, choisissez un point sur la courbe à une certaine distance de ((0,3)) qui a des coordonnées entières. Un de ces points est ((2,12)).

[egin{align*} y&= ab^x qquad ext{Écrire la forme générale d'une équation exponentielle} y&= 3b^x qquad ext{Remplacer la valeur initiale } 3 ext{ pour } a 12&= 3b^2 qquad ext{Remplacer par 12 pour } y ext{ et } 2 ext{ pour } x 4&= b^2 qquad ext{Diviser par }3 b& = pm 2 qquad ext{Prendre la racine carrée} end{align*}]

Parce que nous nous restreignons aux valeurs positives de (b), nous utiliserons (b=2). Substituez (a) et (b) dans la forme standard pour obtenir l'équation (f(x)=3{(2)}^x).

Exercice (PageIndex{6})

Trouvez une équation pour la fonction exponentielle représentée graphiquement dans la figure (PageIndex{6}).

Réponse

(f(x)=sqrt{2}{(sqrt{2})}^x). Les réponses peuvent varier en raison d'une erreur d'arrondi. La réponse devrait être très proche de (1.4142{(1.4142)}^x).

Comment : Étant donné deux points sur la courbe d'une fonction exponentielle, utilisez une calculatrice graphique pour trouver l'équation

  1. presse [STAT].
  2. Effacer toutes les entrées existantes dans les colonnes L1 ou alors L2.
  3. Dans L1, entrer le X-coordonnées données.
  4. Dans L2, entrez le correspondant oui-coordonnées.
  5. presse [STAT] encore. Curseur droit à CALC, faites défiler jusqu'à ExpReg (régression exponentielle), et appuyez sur [ENTRER].
  6. L'écran affiche les valeurs de une et b dans l'équation exponentielle (y=a⋅b^x).

Exemple (PageIndex{7}): Utilisation d'une calculatrice graphique pour trouver une fonction exponentielle

Utilisez une calculatrice graphique pour trouver l'équation exponentielle qui inclut les points ((2,24,8)) et ((5,198,4)).

Solution

Suivez les directives ci-dessus. Première pression [STAT], [ÉDITER], [1 : Modifier…], et effacer les listes L1 et L2. Ensuite, dans le L1 colonne, entrez les coordonnées (x), (2) et (5). Faites de même dans le L2 colonne pour les coordonnées (y), (24.8) et (198,4).

Maintenant, appuyez sur [STAT], [CALC], [0 : ExpReg] et appuyez sur [ENTRER]. Les valeurs (a=6.2) et (b=2) seront affichées. L'équation exponentielle est (y=6.2⋅2^x).

Exercice (PageIndex{7})

Utilisez une calculatrice graphique pour trouver l'équation exponentielle qui inclut les points ((3, 75.98)) et ((6, 481.07)).

Réponse

(y≈12⋅{1.85}^x)

Application de la formule des intérêts composés

Les instruments d'épargne dans lesquels les bénéfices sont continuellement réinvestis, tels que les fonds communs de placement et les comptes de retraite, utilisent intérêts composés. Le terme composition fait référence aux intérêts gagnés non seulement sur la valeur d'origine, mais sur la valeur accumulée du compte.

Le taux annuel en pourcentage (TAEG) d'un compte, également appelé le taux nominal, est le taux d'intérêt annuel gagné par un compte de placement. Le terme nominal est utilisé lorsque la composition se produit un certain nombre de fois autre qu'une fois par an. En effet, lorsque les intérêts sont composés plus d'une fois par an, le taux d'intérêt effectif finit par être plus grand que le taux nominal ! C'est un outil puissant pour investir.

Nous pouvons calculer l'intérêt composé en utilisant la formule d'intérêt composé, qui est une fonction exponentielle des variables temps (t), principal (P), (APR) (r) et nombre de périodes de composition dans un an (n):

[A(t)=P{gauche (1+dfrac{r}{n} ight )}^{nt} onumber]

Par exemple, observez le tableau (PageIndex{4}), qui montre le résultat de l'investissement ($1,000) à (10\%) pendant un an. Remarquez comment la valeur du compte augmente à mesure que la fréquence de composition augmente.

Tableau (PageIndex{4})
La fréquenceValeur après (1) an
Annuellement($1100)
Semestriellement($1102.50)
Trimestriel($1103.81)
Mensuel($1104.71)
du quotidien($1105.16)

Définition : Intérêt composé

Intérêts composés peut être calculé à l'aide de la formule

[A(t)=P{gauche (1+dfrac{r}{n} droit )}^{nt}]

  • (A(t)) est la valeur du compte,
  • (t) se mesure en années,
  • (P) est le montant de départ du compte, souvent appelé principal, ou plus généralement valeur actuelle,
  • (r) est le taux de pourcentage annuel (TAEG) exprimé en nombre décimal, et
  • (n) est le nombre de périodes de composition en un an.

Exemple (PageIndex{8}) : calcul de l'intérêt composé

Si nous investissons (3 000 $) dans un compte de placement qui rapporte (3\%) des intérêts composés trimestriellement, combien vaudra le compte dans (10) ans ?

Solution

Parce que nous commençons par ($3,000), (P=3000). Notre taux d'intérêt est (3\%), donc (r = 0,03). Parce que nous composons trimestriellement, nous composons (4) fois par an, donc (n=4). On veut connaître la valeur du compte en (10) ans, donc on cherche (A(10)),la valeur quand (t = 10).

[egin{align*} A(t)&= P{left (1+dfrac{r}{n} ight )}^{nt} qquad ext{Utiliser la formule des intérêts composés} A(10)&= 3000{left (1+dfrac{0.03}{4} ight )}^{(4)cdot (10)} qquad ext{Remplacer en utilisant des valeurs données} & approx $4045.05 qquad ext{Arrondir à deux décimales} end{align*}]

Le compte vaudra environ ($4.045.05) dans (10) ans.

Exercice (PageIndex{8})

Un investissement initial de ($100 000) à (12\%) d'intérêt est composé chaque semaine (utilisez (52) semaines dans une année). Que vaudra l'investissement dans (30) ans ?

Réponse

environ ($3,644,675,88)

Exemple (PageIndex{9}): Utilisation de la formule d'intérêt composé pour résoudre le principal

Un plan 529 est un plan d'épargne universitaire qui permet aux parents d'investir de l'argent pour payer les futurs frais de scolarité d'un enfant; le compte croît en franchise d'impôt. Lily souhaite créer un compte 529 pour sa nouvelle petite-fille et souhaite que le compte atteigne (40 000 $) sur (18) ans. Elle pense que le compte rapportera (6\%) composé semestriellement (deux fois par an). Au dollar près, combien Lily devra-t-elle investir dans le compte maintenant ?

Solution

Le taux d'intérêt nominal est (6\%), donc (r=0.06). Les intérêts sont composés deux fois par an, donc (k=2).

Nous voulons trouver l'investissement initial, (P), nécessaire pour que la valeur du compte vaudra ($40,000) dans (18) ans. Remplacez les valeurs données dans la formule d'intérêt composé et résolvez pour (P).

[egin{align*} A(t)&= P{left (1+dfrac{r}{n} ight )}^{nt} qquad ext{Utiliser la formule des intérêts composés} 40 000&= P{left (1+dfrac{0.06}{2} ight )}^{2(18)} qquad ext{Remplacer en utilisant des valeurs données } A, r, n, t 40 000& = P{(1.03)}^{36} qquad ext{Simplifier} dfrac{40 000}{ {(1.03)}^{36} }&= P qquad ext{Isoler } P P& approx $13 801 qquad ext{Diviser et arrondir au dollar le plus proche} end{align*}]

Lily devra investir ($13 801) pour avoir ($40 000) dans (18) ans.

Exercice (PageIndex{9})

Reportez-vous à l'exemple (PageIndex{9}). Au dollar près, combien Lily devrait-elle investir si le compte est composé trimestriellement ?

Réponse

($13,693)

Évaluation des fonctions avec la base (e)

Comme nous l'avons vu précédemment, le montant gagné sur un compte augmente à mesure que la fréquence de composition augmente. Le tableau (PageIndex{5}) montre que l'augmentation de la composition annuelle à la composition semestrielle est plus importante que l'augmentation de la composition mensuelle à la composition quotidienne. Cela pourrait nous amener à nous demander si cette tendance va se poursuivre.

Examinez la valeur de ($1) investi à (100\%) d'intérêt pour (1) an, composé à diverses fréquences, répertorié dans le tableau (PageIndex{5}).

Tableau (PageIndex{5})

La fréquence(A(t)={gauche (1+dfrac{1}{n} droit )}^n)Valeur
Annuellement({gauche (1+dfrac{1}{1} ight )}^1)($2)
Semestriellement({gauche (1+dfrac{1}{2} droit )}^2)($2.25)
Trimestriel({gauche (1+dfrac{1}{4} droit )}^4)($2.441406)
Mensuel({gauche (1+dfrac{1}{12} ight )}^{12})($2.613035)
du quotidien({gauche (1+dfrac{1}{365} ight )}^{365})($2.714567)
Horaire({gauche (1+dfrac{1}{8760} ight )}^{8760})($2.718127)
Une fois par minute({gauche (1+dfrac{1}{525600} ight )}^{525600})($2.718279)
Une fois par seconde({gauche (1+dfrac{1}{31536000} ight )}^{31536000})($2.718282)

Ces valeurs semblent approcher d'une limite à mesure que (n) augmente sans limite. En fait, à mesure que (n) devient de plus en plus grand, l'expression ({left (1+dfrac{1}{n} ight )}^n) se rapproche d'un nombre si fréquemment utilisé en mathématiques qu'il a son propre nom : la lettre (e). Cette valeur est un nombre irrationnel, ce qui signifie que son expansion décimale continue indéfiniment sans se répéter. Son approximation à six décimales est indiquée ci-dessous.

Définition : le nombre e

La lettre (e) représente le nombre irrationnel

[{gauche (1+dfrac{1}{n} ight )}^n]

comme (n) augmente sans borne

La lettre (e) est utilisée comme base pour de nombreux modèles exponentiels du monde réel. Pour travailler avec la base (e), nous utilisons l'approximation, (e≈2.718282). La constante a été nommée par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui a d'abord étudié et découvert plusieurs de ses propriétés.

Exemple (PageIndex{10}): Utilisation d'une calculatrice pour trouver les puissances de (e)

Calculez (e^{3.14}). Arrondissez à cinq décimales.

Solution

Sur une calculatrice, appuyez sur le bouton intitulé ([e^x]). La fenêtre affiche ([e {}^( ]). Tapez (3.14) puis fermez la parenthèse, ([)]). Appuyez sur Entrée]. Arrondi à (5) décimales, (e^{3.14}≈23.10387). Attention : de nombreuses calculatrices scientifiques ont un bouton « Exp », qui est utilisé pour saisir des nombres en notation scientifique. Il n'est pas utilisé pour trouver les puissances de (e).

Exercice (PageIndex{10})

Utilisez une calculatrice pour trouver (e^{−0.5}). Arrondissez à cinq décimales.

Réponse

(e^{−0.5}≈0.60653)

Enquêter sur la croissance continue

Jusqu'à présent, nous avons travaillé avec des bases rationnelles pour les fonctions exponentielles. Pour la plupart des phénomènes du monde réel, cependant, (e) est utilisé comme base pour les fonctions exponentielles. Les modèles exponentiels qui utilisent (e) comme base sont appelés modèles de croissance continue ou de décroissance. Nous voyons ces modèles dans la finance, l'informatique et la plupart des sciences, telles que la physique, la toxicologie et la dynamique des fluides.

Définition : La formule de croissance/décroissance continue

Pour tous les nombres réels (t), et tous les nombres positifs (a) et (r), la croissance ou la décroissance continue est représentée par la formule

[A(t)=ae^{rt}]

  • (a) est la valeur initiale,
  • (r) est le taux de croissance continue par unité de temps,
  • (t) est le temps écoulé.

Si (r>0), alors la formule représente une croissance continue. Si (r<0), alors la formule représente une décroissance continue.

Pour les applications commerciales, la formule de croissance continue est appelée formule de composition continue et prend la forme

[A(t)=Pe^{rt}]

  • (P) est le principal ou le montant initial investi,
  • (r) est la croissance ou le taux d'intérêt par unité de temps,
  • (t) est la période ou la durée de l'investissement.

Comment : Étant donné la valeur initiale, le taux de croissance ou de décroissance et le temps (t), résoudre une fonction de croissance ou de décroissance continue

  1. Utilisez les informations du problème pour déterminer (a), la valeur initiale de la fonction.
  2. Utilisez les informations du problème pour déterminer le taux de croissance (r).
    • Si le problème fait référence à une croissance continue, alors (r>0).
    • Si le problème fait référence à une décroissance continue, alors (r<0).
  3. Utilisez les informations du problème pour déterminer le temps (t).
  4. Remplacez les informations données dans la formule de croissance continue et résolvez (A(t)).

Exemple (PageIndex{11}) : calcul de la croissance continue

Une personne a investi ($1,000) dans un compte gagnant un nominal (10\%) par an composé en continu. Combien restait-il sur le compte au bout d'un an ?

Solution

Étant donné que la valeur du compte augmente, il s'agit d'un problème aggravant continu avec un taux de croissance (r=0,10). L'investissement initial était ($1,000), donc (P=1000). Nous utilisons la formule de composition continue pour trouver la valeur après (t=1) an :

[egin{align*} A(t)&= Pe^{rt} qquad ext{Utilisez la formule de composition continue} &= 1000{(e)}^{0.1} qquad ext{Substitute valeurs connues pour } P, r, t &approx 1105,17 qquad ext{Utilisez une calculatrice pour approximer} end{align*}]

Le compte vaut ($1,105,17) après un an.

Exercice (PageIndex{11})

Une personne investit ($100 000) à un intérêt nominal (12\%) par an composé en continu. Quelle sera la valeur de l'investissement dans (30) ans ?

Réponse

($3,659,823.44)

Exemple (PageIndex{12}) : calcul de la décroissance continue

(Radon-222) se désintègre à un taux continu de (17,3\%) par jour. À combien (100 mg) de (Radon-222) se désintégrera-t-il en (3) jours ?

Solution

Puisque la substance se décompose, le taux, (17,3\%), est négatif. Donc, (r = -0,173). La quantité initiale de (Radon-222) était de (100) mg, donc (a=100). Nous utilisons la formule de décroissance continue pour trouver la valeur après (t=3) jours :

[egin{align*} A(t)&= ae^{rt} qquad ext{Utiliser la formule de croissance continue} &= 100e6{-0,173(3)} qquad ext{Remplacer les valeurs connues for } a, r, t &approx 59.5115 qquad ext{Utilisez une calculatrice pour approximer} end{align*}]

Donc (59.5115) mg de (Radon-222) restera.

Exercice (PageIndex{12})

En utilisant les données de l'exemple (PageIndex{12}), combien de (Radon-222) restera-t-il après un an ?

Réponse

(3.77E-26) (Il s'agit de la notation de la calculatrice pour le nombre écrit (3.77×10^{−26}) ​​en notation scientifique. Bien que la sortie d'une fonction exponentielle ne soit jamais nulle, ce nombre est si proche à zéro qu'à toutes fins pratiques, nous pouvons accepter zéro comme réponse.)

Médias

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec des fonctions exponentielles.

  • Fonction de croissance exponentielle
  • Intérêts composés

Équations clés

définition de la fonction exponentielle(f(x)=b^x), où (b>0), (b≠1)
définition de la croissance exponentielle(f(x)=ab^x), où (a>0), (b>0), (b≠1)
formule d'intérêt composé

(A(t)=P{(1+dfrac{r}{n})}^{nt}),

où (A(t)) est la valeur du compte à l'instant (t)

(t) est le nombre d'années

(P) est l'investissement initial, souvent appelé capital

(r) est le taux annuel en pourcentage (TAEG), ou taux nominal

(n) est le nombre de périodes de composition en un an

formule de croissance continue(A(t)=ae^{rt}), où (t) est le nombre de périodes unitaires de croissance (a) est la quantité de départ (dans la formule de composition continue, a est remplacé par (P), le principal) (e) est la constante mathématique, (e≈2.718282)

Concepts clés

  • Une fonction exponentielle est définie comme une fonction avec une constante positive autre que (1) élevée à un exposant variable. Voir Exemple.
  • Une fonction est évaluée en résolvant à une valeur spécifique. Voir Exemple et Exemple.
  • Un modèle exponentiel peut être trouvé lorsque le taux de croissance et la valeur initiale sont connus. Voir Exemple.
  • Un modèle exponentiel peut être trouvé lorsque les deux points de données du modèle sont connus. Voir Exemple.
  • Un modèle exponentiel peut être trouvé en utilisant deux points de données du graphique du modèle. Voir Exemple.
  • Un modèle exponentiel peut être trouvé en utilisant deux points de données du graphique et une calculatrice. Voir Exemple.
  • La valeur d'un compte à tout moment (t) peut être calculée à l'aide de la formule des intérêts composés lorsque le principal, le taux d'intérêt annuel et les périodes de composition sont connus. Voir Exemple.
  • L'investissement initial d'un compte peut être trouvé en utilisant la formule d'intérêt composé lorsque la valeur du compte, le taux d'intérêt annuel, les périodes de composition et la durée de vie du compte sont connus. Voir Exemple.
  • Le nombre (e) est une constante mathématique souvent utilisée comme base des modèles de croissance et de décroissance exponentielle du monde réel. Son approximation décimale est (e≈2.718282).
  • Les calculatrices scientifiques et graphiques ont la clé ([ex]) ou ([exp(x)]) pour calculer les puissances de (e). Voir l'exemple.
  • Les modèles de croissance continue ou de décroissance sont des modèles exponentiels qui utilisent (e) comme base. Des modèles de croissance et de décroissance continues peuvent être trouvés lorsque la valeur initiale et le taux de croissance ou de décroissance sont connus. Voir Exemple et Exemple.

Introduction aux fonctions exponentielles et logarithmiques

Concentrez-vous sur un centimètre carré de votre peau. Regarder de plus près. Plus près encore. Si vous pouviez regarder d'assez près, vous verriez des centaines de milliers d'organismes microscopiques. Ce sont des bactéries, et elles ne sont pas seulement sur votre peau, mais dans votre bouche, votre nez et même vos intestins. En fait, les cellules bactériennes de votre corps sont à tout moment plus nombreuses que vos propres cellules. Mais ce n'est pas une raison pour se sentir mal dans sa peau. Alors que certaines bactéries peuvent causer des maladies, beaucoup sont saines et même essentielles à l'organisme.

Les bactéries se reproduisent généralement par un processus appelé fission binaire, au cours duquel une cellule bactérienne se divise en deux. Lorsque les conditions sont réunies, les bactéries peuvent se reproduire très rapidement. Contrairement aux humains et à d'autres organismes complexes, le temps requis pour former une nouvelle génération de bactéries est souvent une question de minutes ou d'heures, plutôt que de jours ou d'années. 16

Par souci de simplicité, supposons que nous commencions par une culture d'une cellule bactérienne qui peut se diviser toutes les heures. Le tableau 1 montre le nombre de cellules bactériennes à la fin de chaque heure suivante. Nous voyons qu'une seule cellule bactérienne conduit à plus d'un millier de cellules bactériennes en seulement dix heures ! Et si on extrapolait le tableau à vingt-quatre heures, on en aurait plus de 16 millions !

Heure 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bactéries 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Dans ce chapitre, nous explorerons les fonctions exponentielles, qui peuvent être utilisées, entre autres, pour modéliser des modèles de croissance tels que ceux trouvés dans les bactéries. Nous étudierons également les fonctions logarithmiques, qui sont étroitement liées aux fonctions exponentielles. Les deux types de fonctions ont de nombreuses applications dans le monde réel lorsqu'il s'agit de modéliser et d'interpréter des données.


Les différences consécutives dans le tableau A sont constantes (9-6 = 12-9 = 15-12 = 3 $), indiquant une fonction linéaire. Les quotients consécutifs du tableau B sont constants ($frac<14> <7>=frac<28> <14>=frac<56><28>=2$) indiquant une fonction exponentielle. De même, le quotient constant pour le tableau D est 1/2. Ni les différences consécutives ni les quotients ne sont constants dans le tableau C, et ses paires ordonnées sont liées par l'équation $y=x^2+5$. Ainsi, le tableau A doit être étiqueté "linéaire", les tableaux B et D, "exponentiels", et le tableau C, "quadratique".

Les tableaux suivants montrent les valeurs des fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles à différentes valeurs
de $x$. Indiquez à quel type de fonction correspond chaque table. Justifier votre choix.


6.1 La fonction exponentielle et son inverse

Nous démarrons donc une nouvelle unité ! Cette année ne sera pas très différente de ce que vous avez appris en 11e année. Maintenant, vous apprendrez cela plus tard, mais en guise d'introduction - la principale différence entre ce que vous apprendrez cette année et l'année dernière est la suivante :

Fonctions exponentielles 11e année :

Résolution de x lorsque vous avez deux fonctions exponentielles avec la même base

27=3 x
3 3 =3 x (forme générale de : a x =a x )

Puisque nous avons maintenant la même base, nous ne pouvons maintenant traiter que les exposants.

y=b x nous sommes capables de résoudre pour x

Fonctions exponentielles de 12e année :

Et si nous devions résoudre pour a x = b x ? Cette année, nous allons apprendre à résoudre des équations éponentielles qui ont des bases différentes.

ou dans cette unité puisque nous traiterons de fonctions inverses

x=b y est l'inverse de y=b x mais comment allons-nous résoudre pour y dans l'équation exponentielle inverse ?

Juste une chose à laquelle vous devez penser :)


Maintenant pour le résumé de ce que nous avons appris aujourd'hui en classe. Comme nous commençons tout juste une nouvelle unité, nous connaissons déjà la plupart des calculs.

Tout d'abord, nous savons que les fonctions exponentielles peuvent être représentées dans un

Forme d'équation: La forme générale (ou forme "nue" comme décrit par burchat) est : y=b x

Tableau des valeurs: Maintenant, la principale caractéristique dont vous devez vous souvenir à propos de la table de valeurs est que votre rapport des premières différences = la valeur de base

Graphique: En ne regardant qu'une représentation graphique, nous ne sommes pas sûrs à 100 % si elle est exponentielle et avons donc besoin de plus d'informations. c'est à dire. une table de valeurs pour calculer le rapport des 1ères différences.

Calcul du taux de variation pour les fonctions exponentielles

Maintenant, le calcul de l'IROC (taux de changement instantané) pour le graphique exponentiel est exactement le même que nous l'avons fait auparavant.

1) Choisissez une valeur x qui est le plus proche du point pour lequel vous allez faire l'IROC
2) Faire un tableau composé des valeurs x choisies et de leurs valeurs y correspondantes (vous le faites en substituant vos valeurs x choisies dans l'équation d'origine, votre réponse sera votre valeur y)
3) En utilisant les informations du tableau que vous avez créé, vous calculerez les deux pentes de deux sécantes qui seront utilisées pour déterminer le taux de changement instantané. Vous allez alors calculer l'AROC (taux de variation moyen). Sélectionnez deux points (la valeur x et la valeur y correspondante), comme ce que vous avez appris en 9e année : y2-y1 partout x2-X1 N'oubliez pas que la communication est importante !! votre formulaire devrait ressembler à ceci :


N'oubliez pas de choisir au moins 2 points car plus les sécantes approchent du point qui nous intéresse, plus notre IROC sera précis.
4) Enfin, choisissez l'AROC qui est le sécante la plus proche du point qui nous intéresse, ce sera votre IROC. Cette sécante sera le résultat du calcul de la paire la plus proche. Par exemple, si vous êtes intéressé par le point x=0. Votre valeur x la plus proche serait probablement de 1,999 ou 0,001 (ce n'est qu'un exemple, vous pouvez toujours ajouter plus de décimales si vous souhaitez être plus précis, mais après avoir sélectionné 3 décimales, vous devriez être sur la bonne voie).

Rappelez-vous vos fonctions inverses !

Pour cette unité, nous examinerons non seulement la fonction exponentielle, mais nous examinerons également sa fonction inverse.

Quelques points très très très importants dont vous devez vous souvenir :

1) Le graphique de la fonction inverse est un réflexion du graphique de la fonction dans la ligne y=x.
2) Pour trouver l'équation de la fonction inverse : changez le x&y puis résolvez pour y.
3) La règle de mappage qui se rapporte au tableau des valeurs de l'inverse est donnée en basculant simplement les valeurs x&y : (x,y) --> (y,x)

Pour le moment, nous appellerons l'inverse de notre fonction exponentielle (y=bx), f -1 x. Nous apprendrons la forme/le terme approprié pour cela dans la leçon de demain (nous apprendrons alors la beauté de la bûche !)

Voici quelques points qui vous seront utiles dans ce chapitre :

1) Le taux de variation de la fonction exponentielle et de leur fonction inverse est le même ! (comme prouvé dans l'activité de la feuille de travail aujourd'hui)
2) Dans la fonction exponentielle, il y aura un asymptote horizontale et dans la fonction inverse, il y aura un asymptote verticale
3) Les transformations pour ces fonctions sont très similaires à la façon dont nous avons traité les transformations dans le passé (étirement/compression vertical, étirement/compression horizontal, translations verticales et horizontales)
4) CONSEIL ! Soyez très attentif à vos transformations car celles-ci peuvent affecter votre asymptote! Par exemple, une translation verticale vers le haut ou vers le bas appliquée sur le graphique exponentiel peut modifier votre asymptote horizontale. Faites également très attention à votre y-interception, cela peut aussi changer en fonction de vos transformations.


Dans l'unité 6, Exposants et fonctions exponentielles, les élèves comparent les fonctions linéaires et exponentielles de manière innovante pour révéler de nouvelles informations et applications de chacune. Ils étendent également leur compréhension des propriétés des exposants à partir de la huitième année pour inclure les exposants rationnels et les radicaux.

Dans le sujet A, les élèves rappellent les propriétés des exposants et des opérations qui permettent d'écrire plus simplement des expressions d'apparence complexe. Les élèves sont brièvement présentés aux polynômes et ils additionnent, soustraient et multipliaient des polynômes à l'aide de propriétés. Les élèves apprennent à écrire des expressions exponentielles rationnelles à partir de radicaux, et vice versa, et ils perfectionnent leurs compétences en simplifiant et en calculant avec les deux formes.

Dans le sujet B, les élèves sont initiés aux séquences, en particulier les séquences arithmétiques et géométriques. Ils écrivent des formules récursives et explicites pour les deux types de séquences, en se concentrant sur la précision de leur notation et de leur langage. En identifiant la différence ou le rapport commun et en examinant des tableaux et des graphiques de séquences, les élèves établissent des liens entre le taux de croissance d'une séquence et s'il est linéaire ou exponentiel.

Dans le sujet C, les élèves établissent des liens plus explicites entre les taux de changement croissants ou décroissants et les fonctions exponentielles. Ils représentent graphiquement des fonctions exponentielles et des transformations de fonctions exponentielles, et écrivent des équations pour ces fonctions en utilisant les principales caractéristiques des graphiques. Les élèves examinent plusieurs applications réelles de la croissance et de la décroissance exponentielles, en particulier le concept d'intérêt composé.

Rythme : 24 jours d'enseignement (22 leçons, 1 jour flexible, 1 jour d'évaluation)


4.2 : Lequel pousse le plus vite ? (15 minutes)

Activité

Cette activité invite les élèves à comparer des quantités qui croissent de façon exponentielle et quadratique en écrivant des équations et en créant des tableaux de valeurs. Avant de commencer à travailler, on leur demande de faire une estimation du nombre de carrés dans chaque régularité à l'étape 5 et à l'étape 10. Faire une estimation raisonnable et comparer une valeur calculée à sa propre estimation est souvent un aspect important pour donner un sens aux problèmes (MP1 ). Plus loin dans les tableaux, les élèves remarquent que la sortie de la fonction exponentielle finit par dépasser celle de la fonction quadratique. Dans l'activité suivante, ils réfléchiront davantage à la question de savoir si c'est toujours le cas.

Si les élèves choisissent d'utiliser une feuille de calcul ou une technologie graphique, ils s'entraînent à choisir les outils appropriés de manière stratégique (MP5).

Lancer

Affichez l'image des régularités à la vue de tous et demandez aux élèves de lire la description de la croissance des régularités. Demandez aux élèves de prédire quelle régularité aura le plus de petits carrés à l'étape 5.

Ensuite, demandez aux élèves de prédire quelle régularité aura le plus de petits carrés à l'étape 10. Sondez la classe pour recueillir leurs prédictions. Affichez le nombre d'élèves qui pensent que la régularité A aura plus de petits carrés et le nombre qui pense que la régularité B aura plus de petits carrés.

Disposez les élèves en groupes de 2. Si le temps est limité, demandez aux partenaires de répondre chacun aux questions d'une régularité, puis de travailler ensemble pour comparer les régularités et faire des observations.

Certains élèves peuvent choisir d'utiliser un tableur pour étudier la régularité, puis d'utiliser la technologie graphique pour tracer les données. D'autres voudront peut-être utiliser une calculatrice pour calculer les facteurs de croissance. Fournissez un accès à des appareils pouvant exécuter un tableur, une technologie graphique ou une calculatrice scientifique.

  • Dans le motif A, la longueur et la largeur du rectangle augmentent d'un petit carré de chaque étape à l'autre.
  • Dans le motif B, le nombre de petits carrés double d'une étape à l'autre.
  • Dans chaque motif, le nombre de petits carrés est fonction du nombre de pas, (n) .

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  1. Écrivez une équation pour représenter le nombre de petits carrés à l'étape (n) dans la régularité A.
  2. La fonction est-elle linéaire, quadratique ou exponentielle ?
  3. Compléter le tableau:
    (n) , numéro d'étape(f(n)) , nombre de petits carrés
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
  1. Écrivez une équation pour représenter le nombre de petits carrés à l'étape (n) dans la régularité B.
  2. La fonction est-elle linéaire, quadratique ou exponentielle ?
  3. Compléter le tableau:
    (n) , numéro d'étape(g(n)) , nombre de petits carrés
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

Comment les deux modèles se compareraient-ils s'ils continuaient de croître ? Faites 1 à 2 observations.

Réponse de l'étudiant

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Idées fausses anticipées

Certains élèves peuvent écrire l'équation de la régularité B sous la forme (g(n)=2n) . Faites remarquer que le modèle B est doubler le nombre de petits carrés. L'étape 3 aurait 4 petits carrés. Invitez les élèves à tester leur équation lorsque (n=3) pour voir si elle donne le résultat correct. (g(3)=2(3)=6) pas 4, donc une fonction linéaire ne fonctionne pas. Puisque le motif B double, la fonction est exponentielle et non linéaire. Un motif linéaire tel que (2n) ajouterait 2 petits carrés à chaque étape plutôt que de doubler le nombre de petits carrés.

Synthèse d'activité

Sélectionnez les élèves pour partager leurs équations et afficher leurs tableaux à la vue de tous. Invitez d'autres personnes à partager leurs observations sur les valeurs des tableaux.

Pour aider les élèves à comprendre pourquoi la valeur de la fonction exponentielle dépasse celle de la fonction quadratique, envisagez de montrer des tableaux qui contrastent les valeurs de sortie de (f) et (g) et de modifier chacun avec une troisième colonne qui montre leurs facteurs de croissance comme (n) augmente de 1.

(n) , numéro d'étape (f(n)) , nombre de carrés facteur de croissance (à 2 places)
0 0
1 1 indéfini
2 4 (frac41=4)
3 9 (frac94=2.25)
4 16 (frac<16><9>=1.78)
5 25 (frac<25><16>=1.56)
6 36 (frac<36><25>=1.44)
7 49 (frac<49><36>=1.36)
8 64 (frac<64><49>=1.31)
(n) , numéro d'étape (g(n)) , nombre de carrés facteur de croissance
0 1
1 2 (frac21=2)
2 4 (frac42=2)
3 8 (frac84=2)
4 16 (frac<16><8>=2)
5 32 (frac<32><16>=2)
6 64 (frac<64><32>=2)
7 128 (frac<128><64>=2)
8 256 (frac<256><128>=2)

Soulignez le fait qu'une caractéristique fondamentale d'une fonction exponentielle est qu'elle change par des facteurs égaux sur des intervalles égaux. Dans cette fonction exponentielle, la sortie augmente d'un facteur 2 à chaque pas.

Dans la fonction quadratique, nous pouvons voir que la sortie change d'un facteur 4, puis (2frac14) , puis (1frac79) , et ainsi de suite. Même s'il a commencé à croître plus rapidement que la fonction exponentielle, le facteur de croissance de la fonction quadratique diminue à chaque étape et tombe en dessous de 2 après quelques étapes. En attendant, le facteur de croissance de la fonction exponentielle reste à 2.

Agrandir l'image

Pensez également à montrer les graphiques représentant les deux fonctions pour aider les élèves à visualiser les données dans les tableaux. Ce graphique montre les tracés des sorties de (f) et (g) aux entrées de nombres entiers.

Discutez de la façon dont les graphiques représentant les fonctions quadratiques et exponentielles se courbent vers le haut. Les deux sont très proches pour les petites valeurs de (x) . Cependant, à mesure que (x) continue de croître, les valeurs de (g) deviennent beaucoup plus grandes que celles de (f) et continuent d'augmenter plus rapidement.


Ressources associées

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LE PROFESSEUR : Très bien, commençons donc le sixième cours. On parle aujourd'hui d'exponentielles et de logarithmes. Et ce sont les dernières fonctions que je dois vous présenter, les dernières fonctions standard dont nous avons besoin pour nous connecter au calcul, que vous avez apprises. Et elles sont certainement aussi fondamentales, sinon plus, que les fonctions trigonométriques.

Donc tout d'abord, nous allons commencer par un nombre, a, qui est positif, que l'on appelle généralement une base. Et puis nous avons ces propriétés que a à la puissance 0 est toujours 1. C'est comme ça que nous commençons. Et a^1 est a. Et bien sûr a^2, sans surprise, est a fois a, etc. Et la règle générale est que a^(x_1 + x_2) est a^(x_1) fois a^(x_2). C'est donc la règle de base des exposants, et avec ces deux propriétés initiales, qui définit la fonction exponentielle. Et puis il y a une propriété supplémentaire, qui en est déduite, qui est la composition des fonctions exponentielles, c'est-à-dire que vous prenez a à la puissance x_1, à la puissance x_2. Ensuite, cela s'avère être un x_1 fois x_2. C'est donc une propriété supplémentaire que nous prendrons pour acquise, que vous avez apprise au lycée.

Maintenant, afin de comprendre quelles sont toutes les valeurs de a^x, nous devons d'abord nous rappeler que si vous prenez une puissance rationnelle, c'est le rapport de deux puissances entières de a. Ce sera un^m, et ensuite nous devrons prendre la racine nième de cela. C'est donc la définition. Et puis, lorsque vous définissez a^x, donc a^x est défini pour tout x en le remplissant.Je vais donc utiliser cette expression entre guillemets, "remplir" par continuité. C'est vraiment ce que fait votre calculatrice lorsqu'elle vous donne a à la puissance x, car vous ne pouvez même pas saisir la racine carrée de x. Il n'existe pas vraiment sur votre calculatrice. Il y a une expansion décimale. Il prend donc l'expansion décimale à une certaine longueur et crache un nombre qui est assez proche de la bonne réponse. Mais en effet, en théorie, il y a un a à la puissance racine carrée de 2, même si la racine carrée de 2 est irrationnelle. Et il y a un au pi et ainsi de suite.

Très bien, c'est donc la fonction exponentielle, et dessinons-en une. Nous allons donc essayer, disons y = 2^x ici. Et je ne vais pas tracer un graphique aussi minutieux, mais traçons simplement le point le plus important, qui est le point (0,1). C'est 2^0, qui est 1. Et puis peut-être qu'on remontera ici jusqu'à -1 ici. Et 2 au -1 est ce point ici. C'est (-1, 1/2), la réciproque. Et ici, nous avons 1, et donc ça va jusqu'à 2. Et puis les exponentielles sont remarquablement rapides. C'est donc hors du tableau ce qui se passe ensuite à 2. C'est déjà au-dessus de ma fourchette ici, mais le graphique ressemble à ceci. Très bien. Maintenant, je viens de remplir visuellement, au moins, graphiquement tous les autres points. Vous devez imaginer tous ces nombres rationnels, et ainsi de suite. Donc ce point ici aurait été (1, 2). Et ainsi de suite.

Très bien? Donc ce n'est pas trop loin. Alors maintenant, quel est notre objectif ? Eh bien, évidemment, nous voulons faire du calcul ici. Donc notre objectif, ici, pour l'instant - et ça va prendre du temps. Nous devons y réfléchir assez fort. Il faut calculer quelle est cette dérivée.

Très bien, alors nous allons commencer. Et la façon dont nous commençons est simplement de brancher la définition de la dérivée. La dérivée est la limite lorsque le delta x va à 0 de a au x plus delta x, moins a au x, divisé par delta x. C'est donc ça. Et maintenant, la seule étape que nous pouvons vraiment effectuer ici pour rendre cela un peu plus simple consiste à utiliser cette toute première règle que nous avons ici. Que l'exponentielle de la somme est le produit des exponentielles. Nous avons donc ici, a^x . Donc, ce que je veux utiliser, c'est juste la propriété que a^(x + delta x) = a^x a^(delta x). Et si je fais cela, je vois que je peux factoriser un facteur commun dans le numérateur, qui est a^x. Nous écrirons donc cela comme la limite lorsque le delta x passe à 0, de a au x fois ce rapport, maintenant a au delta x, moins 1, divisé par delta x.

Jusqu'ici tout va bien? Nous sommes en fait presque à de sérieux progrès ici. Il y a donc une autre étape conceptuelle importante que nous devons comprendre. Et c'est relativement simple. En fait, nous l'avons déjà fait auparavant. Nous l'avons fait avec des sinus et des cosinus. La prochaine chose que je veux vous signaler est que vous avez l'habitude de considérer x comme étant la variable. Et en effet, déjà nous discutions de x comme étant la variable et a comme étant fixe. Mais pour les besoins de cette limite, il y a une variable différente qui bouge. x est fixe et delta x est la chose qui bouge. Cela signifie donc que ce facteur ici, qui est un facteur commun, est constant. Et nous pouvons simplement le prendre en compte hors de la limite. Cela n'affecte pas du tout la limite. Une constante multipliée par une limite est la même que si nous multiplions avant ou après avoir pris la limite. Je vais donc simplement en tenir compte. C'est donc ma prochaine étape ici. a^x, et puis j'ai la limite delta x va à 0 de a au delta x moins 1, divisé par delta x.

Très bien? Et donc ce que j'ai ici, c'est donc par définition la dérivée. Voici donc d/dx de a^x, et il est égal à cette expression ici. Maintenant, je veux regarder cette expression, et voir ce qu'elle nous dit, parce qu'elle nous en dit autant que nous pouvons aller aussi loin, sans quelque... Alors d'abord regardons simplement ce que cela dit. Donc, ce qu'il dit, c'est que la dérivée de a^x est a^x fois quelque chose que nous ne connaissons pas encore. Et je vais appeler ça quelque chose, ce numéro mystère, M(a). Je vais donc faire l'étiquette, M(a) est égal à la limite car delta x va à 0 de a au delta x moins 1 divisé par delta x. Très bien? C'est donc une définition. Ce nombre mystérieux M(a) a donc également une interprétation géométrique. Alors permettez-moi de décrire cela. Il a une interprétation géométrique, et c'est un nombre très, très important. Voyons donc ce que c'est. Alors tout d'abord, réécrivons l'expression dans la boîte, en utilisant le raccourci pour ce nombre. Donc, si je le réécris simplement, cela dit que d/dx de a^x est égal à ce facteur, qui est M(a), fois a^x. Donc la dérivée de l'exponentielle est ce nombre mystérieux fois a^x.

Nous avons donc presque résolu le problème de trouver la dérivée de a^x. Nous n'avons qu'à trouver ce seul nombre, M(a), et nous obtenons le reste. Permettez-moi donc de souligner deux autres choses à propos de ce nombre, M(a). Donc tout d'abord, si je branche x = 0, ça va être d/dx de a^x , à x = 0. D'après cette formule, c'est M(a) fois a^0, ce qui bien sûr M( une). Alors qu'est-ce que M(a) ? M(a) est la dérivée de cette fonction en 0. Donc M(a) est la pente de a^x en x = 0, du graphique. Le graphique de a^x à 0.

Encore une fois ici, si vous regardez la photo. Je vais tracer la ligne tangente ici, qui est celle-ci ici. Et cette chose a une pente, ce que nous appelons M(2). Donc, si je représente graphiquement la fonction y = 2^x, j'obtiendrai une certaine pente ici. Si je le représente graphiquement avec une base différente, je pourrais obtenir une autre pente. Et ce que nous avons obtenu jusqu'à présent, c'est le phénomène suivant : si nous connaissons ce chiffre, si nous connaissons la pente à cet endroit, nous pourrons trouver la formule de la pente partout ailleurs. C'est en fait exactement la même chose que nous avons faite pour les sinus et les cosinus. Nous connaissions la pente du sinus et la fonction cosinus à x = 0. La fonction sinus avait une pente 1. La fonction cosinus avait une pente 0. Et puis à partir des formules de somme, eh bien c'est exactement ce genre de chose ici, à partir des formules de somme . Cette formule de somme, en fait, est plus facile que celles pour les sinus et les cosinus. A partir des formules de somme, nous avons calculé quelle était la pente partout. Nous suivons donc la même procédure qu'avant. Mais à ce stade, nous sommes bloqués. Nous sommes coincés, parce que cette fois en utilisant les radians, cette idée très intelligente des radians en géométrie, nous avons pu déterminer quelle est la pente. Alors qu'ici, on n'est pas si sûr de ce qu'est M(2), par exemple. Nous ne savons pas encore.

Donc, la question fondamentale que nous devons traiter en ce moment est qu'est-ce que M(a) ? C'est ce qu'il nous reste. Et, le fait curieux est que la chose intelligente à faire est de poser la question. Nous allons donc suivre ici un itinéraire très circulaire. C'est détourné, pas circulaire. Circulaire est un gros mot en maths. Cela signifie qu'une chose dépend d'une autre, et cela dépend d'elle, et peut-être que les deux ont tort. Moyens détournés, nous allons emprunter un itinéraire détourné. Et nous allons découvrir que même si nous refusons de répondre à cette question tout de suite, nous finirons par réussir à y répondre. Très bien? Alors, comment allons-nous poser la question? Ce que nous allons dire à la place, c'est que nous allons définir une base mystère, ou nombre e, comme le nombre unique, de sorte que M(e) = 1. C'est l'astuce que nous allons utiliser. Nous ne savons pas encore ce qu'est e, mais nous allons simplement supposer que nous l'avons.

Maintenant, je vais vous montrer un tas de conséquences de cela, et je dois aussi vous persuader que cela existe réellement. Alors d'abord, laissez-moi vous expliquer quelle est la première conséquence. Tout d'abord, si M(e) est 1, alors si vous regardez cette formule ici et que vous l'écrivez pour e, vous avez quelque chose qui est une formule très utilisable. d/dx de e^x est juste e^x. Très bien, c'est donc une formule incroyablement importante qui est la plus fondamentale. C'est le seul dont vous devez vous souvenir de ce que nous avons fait. Alors peut-être que j'aurais dû le surligner en plusieurs couleurs ici. C'est une grosse affaire. Très heureux.

Et encore une fois, permettez-moi de souligner que c'est également celui qui à x = 0 a une pente 1. C'est ainsi que nous l'avons défini, d'accord ? Donc, si vous branchez x = 0 ici sur le côté droit, vous avez 1. Pente 1 à x = 0. Alors c'est génial. Sauf bien sûr, puisque nous ne savons pas ce qu'est e, c'est un peu risqué.

Donc, à côté avant même d'expliquer ce qu'est e. En fait, nous ne verrons ce qu'est vraiment e qu'à la toute fin de cette conférence. Mais je dois vous persuader pourquoi e existe. Nous devons avoir une explication pour expliquer pourquoi nous savons qu'il y a un tel nombre. Bon, alors tout d'abord, permettez-moi de commencer par celle que nous sommes censés connaître, qui est la fonction 2^x. Nous l'appellerons f(x) est 2^x. Très bien? C'est donc la première chose. Et rappelez-vous que la propriété qu'il avait était que f'(0) était M(2). C'était la dérivée de cette fonction, la pente à x = 0 du graphique. De la ligne tangente, c'est.

Alors maintenant, ce que nous allons considérer est n'importe quel type d'étirement. Nous allons étirer cette fonction d'un facteur k. N'importe quel nombre k. Donc ce que nous allons considérer est f(kx). Si vous faites cela, c'est la même chose que 2^(kx). Droite? Mais maintenant, si j'utilise la deuxième loi des exposants que j'ai là-bas, c'est la même chose que 2 au k à la puissance x, ce qui est la même chose qu'une base b^x, où b est égal à... écris ça ici. b est 2^k. Droite. Donc quoi qu'il en soit, si j'ai une base différente qui s'exprime en termes de 2, de la forme 2^k, alors cette nouvelle fonction est décrite par cette fonction f(kx), l'étirement.

Alors que se passe-t-il lorsque vous étirez une fonction ? C'est la même chose que de réduire l'axe des x. Ainsi, lorsque k devient plus grand, ce point correspondant ici serait ici, et donc ce point correspondant serait ici. Donc vous rétrécissez cette image, et la pente ici s'incline. Ainsi, à mesure que nous augmentons k, la pente devient de plus en plus raide. Voyons cela explicitement, numériquement, ici. Explicitement, numériquement, si je prends ici la dérivée. Donc la dérivée par rapport à x de b^x, c'est la règle de la chaîne, non ? C'est la dérivée par rapport à x de f(kx), qui est quoi ? C'est k fois f'(kx). Et donc si nous le faisons à 0, nous obtenons juste k fois f'(0), qui est k fois ce M(2).

Alors, comment se fait-il exactement que nous préparions la bonne base b? Donc b = e quand k = 1 sur ce nombre. En d'autres termes, nous pouvons choisir toutes les pentes possibles que nous voulons. Cela a juste pour effet de multiplier la pente par un facteur. Et on peut décaler la pente à 0 comme on veut, et on va le faire pour que la pente corresponde exactement à 1, celle que l'on veut. Nous ne savons toujours pas ce qu'est k. Nous ne savons toujours pas ce qu'est e. Mais au moins, nous savons qu'il est là quelque part.

Étudiant : Comment savez-vous que c'est f(kx) ?

PROFESSEUR : Comment puis-je savoir ? Eh bien, f(x) vaut 2^x. Si f(x) est 2^x, alors la formule pour f(kx) est la suivante. J'ai décidé ce qu'est f(x), donc il y a donc une formule pour f(kx). Et de plus, par la règle de la chaîne, il y a une formule pour le dérivé. Et c'est k fois la dérivée de f. Encore une fois, la mise à l'échelle fait cela. Soit dit en passant, nous avons fait exactement la même chose avec la fonction sinus et cosinus. Si vous pensez à la fonction sinus ici, laissez-moi vous rappeler ici, ce qui se passe avec la règle de la chaîne, vous obtenez k fois le cosinus k t ici. Donc le fait que nous ayons magnifiquement configuré les choses avec des radians que cette chose est, mais nous pourrions changer l'échelle en n'importe quoi, comme les degrés, par le facteur k approprié. Et puis il y aurait ce changement de facteur d'échelle des formules dérivées. Bien sûr, celui avec des radians est le plus facile, parce que le facteur est 1. Celui avec des degrés est horrible, parce que le facteur est un nombre fou comme 180 sur pi, ou quelque chose comme ça. D'accord, il se passe donc quelque chose ici qui est exactement le même que ce genre de redimensionnement.

Donc, jusqu'à présent, nous n'avons qu'une seule formule qui est un gardien ici. Celui-ci. Nous avons une formule préliminaire que nous n'avons pas encore complètement expliquée qui a une petite ligne ondulée là. Et nous devons assembler toutes ces choses. Bon, maintenant pour les assembler, je dois vous présenter le log naturel. Ainsi, le logarithme naturel est noté de cette façon, ln(x). Alors peut-être que je vais l'appeler un nouveau nom de lettre, nous l'appellerons w = ln x ici. Mais si on inversait les choses, si on partait d'une fonction y = e^x , la propriété qu'elle aurait c'est que c'est la fonction inverse de e^x. Il a donc la propriété que le log de y est égal à x. Droite? Cela définit donc le journal.

Maintenant, le logarithme a un tas de propriétés et elles proviennent en principe des propriétés exponentielles. Vous vous en souvenez. Et je vais juste vous les rappeler. Donc, le principal que je veux juste vous rappeler est que le logarithme de x_1 * x_2 est égal au logarithme de x_1 plus le logarithme de x_2. Et peut-être que quelques autres méritent d'être rappelés. La première est que le logarithme de 1 est 0. La seconde est que le logarithme de e est 1. D'accord ? Ceux-ci correspondent donc aux relations inverses ici. Si je branche ici, x = 0 et x = 1. Si je branche x = 0 et x = 1, j'obtiens les nombres correspondants ici : y = 1 et y = e. Et peut-être que cela vaudrait la peine de tracer l'image une fois pour renforcer cela. Alors ici, je vais les mettre sur le même graphique. Si vous avez ici e^x ici. Cela ressemble à ceci. Ensuite le logarithme que je mettrai peut-être dans une couleur différente. Donc, cela se croise à ce point très important ici, (0,1). Et maintenant, pour comprendre quelle est la fonction inverse, je dois faire le tour de la diagonale x = y. C'est donc cette forme ici, descendant comme ça. Et voici le point (1, 0). Donc (1, 0) correspond ici à cette identité. Mais le log de 1 est 0.

Et remarquez, c'est donc ln x, le graphique de ln x. Et notez qu'il n'est défini que pour x positif, ce qui correspond au fait que e^x est toujours positif. Donc, en d'autres termes, cette courbe blanche n'est qu'au-dessus de cet axe, et l'orange est à droite ici. Il n'est défini que pour x positif.

Oh, une autre chose que je devrais mentionner, c'est que la pente ici est de 1. Et donc la pente là-bas sera également 1. Maintenant, ce que nous sommes autorisés à faire relativement facilement, parce que nous avons les outils pour le faire, c'est de calculer la dérivée du logarithme. Donc, pour trouver la dérivée d'un log, nous allons utiliser la différentiation implicite. C'est ainsi que nous trouvons la dérivée de toute fonction inverse. Alors rappelez-vous que la façon dont cela fonctionne est que si vous connaissez la dérivée de la fonction, vous pouvez trouver la dérivée de la fonction inverse. Et le mécanisme est le suivant : vous écrivez ici w = ln x. Voici la fonction. Nous essayons de trouver la dérivée de w. Mais maintenant nous ne savons pas comment différencier cette équation, mais si nous l'exposons, alors c'est la même chose que e^w = x. Parce que laissons ça ici. e^(ln x) = x. Maintenant, nous pouvons différencier cela. Faisons donc la différenciation ici. Nous avons d/dx e^w est égal à d/dx x, qui est 1. Et alors ceci, par la règle de la chaîne, est d/dw de e^w fois dw/dx. Le produit de ces deux facteurs. C'est égal à 1. Et maintenant ce type, le seul petit type que nous connaissons et pouvons utiliser, c'est ce type là. C'est donc e^w fois dw/dx, ce qui est 1.

Et finalement, dw/dx = 1 / e^w . Mais qu'est-ce que c'est ? C'est x. C'est donc 1/x. Donc ce que nous avons découvert, et maintenant je peux mettre un autre gars vert ici, c'est que cela est égal à 1/x. Alors d'accord, nous avons maintenant deux formules d'accompagnement ici. Le taux de variation de ln x est de 1/x. Et le taux de variation de e^x est lui-même, est e^x. Et il est temps de revenir au problème avec lequel nous avions un peu de mal, qui n'est pas très explicite, c'est-à-dire ce M(a) fois x. Nous voulons maintenant différencier a^x en général, pas seulement e^x .

Alors essayons de résoudre ce problème, et je veux l'expliquer de plusieurs manières, vous devrez donc vous en souvenir, car je vais l'effacer. Mais ce que j'aimerais que vous fassiez, c'est que maintenant je veux vous apprendre à différencier fondamentalement n'importe quelle exponentielle. Alors maintenant, pour différencier toute exponentielle. Il existe deux méthodes. C'est pratiquement la même méthode. Ils ont la même quantité d'arithmétique. Vous les verrez tous les deux, et ils ont la même valeur. Nous allons donc simplement les décrire. Première méthode que je vais illustrer sur la fonction a^x. Nous sommes donc intéressés à différencier cette chose, exactement ce problème que je n'ai pas encore résolu. D'accord?

Alors voilà. Et voici la procédure. La procédure consiste à écrire, donc la méthode consiste à utiliser la base e, ou à convertir en base e. Alors, comment convertissez-vous en base e ? Eh bien, vous écrivez a^x comme e à une certaine puissance. Alors de quel pouvoir s'agit-il ? C'est e à la puissance ln a, à la puissance x. Et c'est juste e^(x ln a). Nous avons donc effectué notre conversion en base e. L'exponentielle de quelque chose. Alors maintenant, je vais effectuer la différenciation. Donc d/dx de a^x est égal à d/dx de e^(x ln a).

Et maintenant, c'est une étape qui provoque une grande confusion lorsque vous la voyez pour la première fois. Et il faut s'y habituer, car c'est facile, pas difficile. D'accord? Le taux de changement de ceci par rapport à x est, permettez-moi de le faire par analogie ici. Parce que disons que j'avais e^ (3x) et que je le différenciais. La règle de la chaîne dirait que c'est juste 3, le taux de changement de 3x par rapport à x fois e^(3x). Le taux de variation de e en u par rapport à u. C'est donc la règle de la chaîne ordinaire. Et ce que nous faisons ici, c'est exactement la même chose, parce que ln a, aussi effrayant que cela puisse paraître, avec les trois lettres là, n'est qu'un nombre fixe. Ça ne bouge pas. C'est une constante. Ainsi, la constante accélère simplement le taux de changement par ce facteur, ce que fait la règle de la chaîne.

Ceci est donc égal à ln a fois e^(x ln a). Même affaire ici avec un remplaçant 3. C'est donc quelque chose auquel vous devez vous habituer à temps pour l'examen, par exemple, parce que vous allez en faire un million. Alors habituez-vous-y. Voici donc la formule. Par contre, cette expression ici était la même que a^x. Donc une autre façon d'écrire ça, et je vais mettre ça dans une boîte, mais en fait je ne m'en souviens jamais particulièrement. Je le re-dérive juste à chaque fois, c'est que la dérivée de a^x est égale à (ln a) a^x . Maintenant, je vais me débarrasser de ce qu'il y a en dessous. C'est donc une autre formule.

Voilà donc la formule que j'ai essentiellement finie ici. Et remarquez, quel est le nombre magique ? Le nombre magique est le logarithme naturel de a. C'est ce que c'était. Nous ne savions pas ce que c'était à l'avance. C'est ce que c'est. C'est le logarithme naturel de a. Permettez-moi de vous souligner à nouveau quelque chose à propos de ce qui se passe ici, qui a à voir avec le changement d'échelle. Ainsi, par exemple, la dérivée par rapport à x de 2^x est (ln 2) 2^x.La dérivée par rapport à x, ce sont les deux bases les plus évidentes que vous pourriez vouloir utiliser, est ln 10 fois 10^x . Donc, l'une des choses qui sont naturelles à propos du logarithme népérien est que même si nous insistions sur le fait que nous devons utiliser la base 2, ou que nous devons utiliser la base 10, nous serions toujours coincés avec les logarithmes naturels. Ils viennent naturellement. Ce sont ceux qui sont indépendants de notre construction humaine de base 2 et de base 10. Le logarithme népérien est celui qui revient sans référence. Et nous mentionnerons quelques autres façons dont c'est naturel plus tard.

Alors je vous ai parlé de cette première méthode, maintenant je veux vous parler d'une deuxième méthode ici. La seconde est donc appelée différenciation logarithmique. Alors, comment ça marche? Eh bien, parfois vous avez du mal à différencier une fonction, et il est plus facile de différencier son logarithme. Cela peut sembler étrange, mais en fait nous donnerons plusieurs exemples où c'est clairement le cas, que le logarithme est plus facile à différencier que la fonction. Il se pourrait donc que ce soit une quantité plus facile à comprendre. Nous voulons donc le relier à la fonction u. Je vais donc l'écrire d'une manière légèrement différente. Écrivons-le en termes de nombres premiers ici. Donc, l'identité de base est à nouveau la règle de la chaîne, et la dérivée du logarithme, eh bien, je vais peut-être l'écrire de cette façon en premier. Ce serait donc d ln u / du, fois d/dx u. Ce sont les deux facteurs. Et c'est la même chose, alors rappelez-vous quelle est la dérivée du logarithme. C'est 1/u. Donc ici j'ai un 1/u, et ici j'ai un du/dx. Je vais donc encoder cela sur le tableau suivant ici, qui est en quelque sorte la formule principale dont vous devez toujours vous souvenir, à savoir que (ln u)' = u' / u. C'est celui qu'il faut retenir ici.

PROFESSEUR : La question est de savoir comment ai-je obtenu cette étape ici ? C'est donc la règle de la chaîne. Le taux de variation de ln u par rapport à x est le taux de variation de ln u par rapport à u, multiplié par le taux de variation de u par rapport à x. C'est la règle de la chaîne.

Alors maintenant, j'ai déterminé cette identité ici, et maintenant montrons comment il gère ce cas, d/dx a^x. Faisons celui-ci. Donc, pour obtenir celui-là, je prendrais u = a^x . Et maintenant, jetons un coup d'œil à ce qu'est ln u. ln u = x ln a. Maintenant, je prétends que c'est assez facile à différencier. Encore une fois, cela peut sembler difficile, mais c'est en fait assez facile. Alors peut-être que quelqu'un peut hasarder une supposition. Quelle est la dérivée de x ln a ? C'est juste dans un. C'est donc la même chose dont je parlais avant, c'est-à-dire que si vous avez 3x, et que vous prenez sa dérivée par rapport à x ici, c'est juste 3. C'est le genre de chose que vous avez. Encore une fois, ne vous laissez pas décourager par cet énorme morceau de ferraille ici. C'est une constante. Alors encore une fois, gardez cela à l'esprit. Cela revient régulièrement dans ce genre de question.

Donc il y a notre formule, que la dérivée logarithmique est la suivante. Mais réécrivons simplement cela. C'est la même chose que u' / u, qui est (ln u)' = ln a, non ? C'est donc notre formule de différenciation. Alors ici, nous vous avons. u' est égal à u fois ln a, si je multiplie par u. Et c'est ce que nous voulions. C'est-à-dire que d/dx a^x est égal à ln a (je vais inverser l'ordre des deux, ce qui est habituel) fois a^x.

C'est ainsi que fonctionne la différenciation logarithmique. C'est la même arithmétique que la méthode précédente, mais nous n'avons pas à convertir en base e. Nous gardons simplement une trace des exposants et faisons une différenciation sur les exposants, et multiplions à la fin.

D'accord, je vais donc faire deux exemples plus délicats, qui illustrent la différenciation logarithmique. Encore une fois, cela pourrait être fait aussi bien en utilisant la base e, mais je ne le ferai pas. La première et la deuxième méthode fonctionnent toujours toutes les deux.

Voici donc un deuxième exemple : encore une fois, c'est un problème lorsque vous avez des exposants mobiles. Mais cette fois, nous allons compliquer les choses en ayant à la fois un exposant mobile et une base mobile. Nous avons donc une fonction u, qui est, eh bien, je vais peut-être l'appeler v, puisque nous avions déjà une fonction u, qui est x^x. Une fonction à la recherche vraiment compliquée ici. Encore une fois, vous pouvez gérer cela en convertissant en base e, méthode un. Mais nous allons faire la version de différenciation logarithmique, d'accord ? Je prends donc les bûches des deux côtés. Et maintenant je le différencie. Et maintenant, quand je différencie cela ici, je dois utiliser la règle du produit. Cette fois, au lieu d'avoir ln a, une constante, j'ai ici une variable. J'ai donc deux facteurs. J'ai ln x quand je différencie par rapport à x. Lorsque je différencie par rapport à ce facteur ici, j'obtiens x fois la dérivée de cela, qui est 1/x. Alors, voici ma formule. Presque fini. J'ai donc ici v'/v. Je vais multiplier ces deux choses ensemble. Je vais le mettre de l'autre côté, car je ne veux pas le confondre avec ln(x+1), la quantité. Et maintenant j'ai presque fini. J'ai v' = v (1 + ln x), et c'est juste d/dx x^x = x^x (1 + ln x). C'est ça. Ces deux méthodes fonctionnent donc toujours pour les exposants mobiles. Donc, la prochaine chose que j'aimerais faire est un autre exemple assez délicat. Et celui-ci n'est pas à proprement parler dans le calcul. Bien que nous allons utiliser les outils que nous venons de décrire pour le réaliser, en fait, il utilisera un peu de calcul à la toute fin. Et ce que je vais faire, c'est évaluer la limite lorsque n tend vers l'infini de (1 + 1/n)^n.

Alors maintenant, la raison pour laquelle je veux en discuter, c'est qu'il s'avère avoir une réponse très intéressante. Et c'est un problème que vous pouvez aborder exactement par cette méthode. Et la raison en est qu'il a un exposant mobile. L'exposant n ici change. Et donc si vous voulez garder une trace de cela, un bon moyen de le faire est d'utiliser des logarithmes. Donc, afin de déterminer cette limite, nous allons en prendre le journal et déterminer quelle est la limite du journal, au lieu du journal de la limite. Ce sera la même chose.

Nous allons donc prendre le logarithme naturel de cette quantité ici, et c'est n ln(1 + 1/n). Et maintenant je vais réécrire cela sous une forme qui le rendra plus reconnaissable, donc ce que j'aimerais faire c'est que je vais écrire n, ou peut-être devrais-je le dire de cette façon : delta x est égal à 1/n. Donc, si n va à l'infini, alors ce delta x va aller à 0. C'est donc un territoire plus familier pour nous dans cette classe, de toute façon. Alors réécrivons-le. Donc ici, nous avons 1 sur delta x. Et puis cela est multiplié par ln(1 + delta x). Donc n est l'inverse de delta x. Maintenant, je veux changer cela d'une manière très, très mineure. Je vais en soustraire 0. C'est donc la même chose. Donc, ce que je vais faire, c'est en soustraire ln 1. C'est juste égal à 0. Ce n'est donc pas un problème, et je vais mettre des parenthèses autour.

Maintenant, vous êtes censé reconnaître, tout d'un coup, dans quel modèle cela s'inscrit. C'est la chose que nous devons calculer pour calculer la dérivée de la fonction log. C'est donc, dans la limite où delta x tend vers 0, égal à la dérivée de ln x. Où? Eh bien, le point de base est x=1. C'est là que nous l'évaluons. C'est le x_0. C'est la valeur de base. C'est donc le quotient différentiel. C'est exactement ce que c'est. Et donc, par définition, cela tend à la limite ici.

Mais nous savons quelle est la dérivée de la fonction log. La dérivée de la fonction log est 1/x. Cette limite est donc de 1. Nous l'avons donc. Nous avons la limite. Et maintenant, nous devons juste travailler en arrière pour comprendre quelle est cette limite que nous avons ici. Alors faisons-le. Voyons donc ici. Le log s'approchait de 1. Donc la limite lorsque n tend vers l'infini de (1 + 1/n)^n. Désolé, le journal de ceci. Oui, écrivons-le de cette façon. C'est la même chose, aussi, la chose que nous savons est le journal de ceci. 1 plus 1 sur n jusqu'au n. Et va à l'infini. C'est celui que nous venons de comprendre. Mais maintenant, cette chose est l'exponentielle de cela. Donc c'est vraiment e à ce pouvoir ici. Donc ce type est le même que la limite du journal de la limite de la chose, qui est le même que le journal de la limite. La limite du journal et le journal de la limite sont les mêmes. log lim est égal à lim log.

Bon, alors je prends le logarithme, puis je vais prendre l'exponentielle. Cela annule ce que je faisais avant. Et donc cette limite est juste 1, donc c'est e^1. Et donc la limite que nous voulons ici est égale à e. Je prétends donc qu'avec cette étape, nous avons finalement bouclé la boucle. Parce que nous avons une manière numérique honnête de calculer e. La première. Il y en a beaucoup. Mais celui-ci est une manière numérique parfaitement honnête de calculer e. On avait ce truc. Nous ne savions pas exactement ce que c'était. C'était ce M(e), il y avait M(a), le logarithme, et ainsi de suite. Nous avons tous ces trucs. Mais nous devons vraiment déterminer ce qu'est ce nombre e. Et cela nous dit que si vous prenez par exemple 1 plus 1 sur 100 à la puissance 100, ce sera une très bonne approximation, parfaitement décente de toute façon, de e.

C'est donc une approximation numérique, c'est tout ce que nous pouvons faire avec ce genre de nombre irrationnel. Et donc cela boucle la boucle, et nous avons maintenant une famille cohérente de fonctions, qui sont en fait bien définies et pour lesquelles nous avons des méthodes pratiques à calculer.


Base différente

Si les bases sont différentes, il existe encore des techniques pour résoudre ces équations exponentielles. Si les bases sont des puissances d'une base commune, il suffit de convertir une ou les deux bases en base commune et de procéder en utilisant le cas "Same Base".

Résoudre 4 3 x = 8 x − 1 . 4^ =8^. 4 3 x = 8 x − 1 .

On voit que si 4 et 8 sont des bases différentes, ce sont toutes deux des puissances d'une base commune, à savoir 2. On va procéder en réécrivant 4 et 8 en fonction de leur base commune :

4 3 x = 8 x − 1 ( 2 2 ) 3 x = ( 2 3 ) x − 1 2 6 x = 2 3 x − 3 6 x = 3 x − 3 x = − 1. egin 4^ <3x>&= 8^ grand(2^2grand)^ <3x>&=grand (2^3grand)^ 2^ <6x>&= 2^ <3x-3> 6x&=3x-3 x&= -1. _carré fin 4 3 x ( 2 2 ) 3 x 2 6 x 6 x x ​ = 8 x − 1 = ( 2 3 ) x − 1 = 2 3 x − 3 = 3 x − 3 = − 1 . □ ​ ​

Malheureusement, il ne sera pas toujours possible de convertir vers une base commune comme nous l'avons fait dans les exemples ci-dessus.


Qu'est-ce que la croissance exponentielle dans la vie réelle ?

Il existe de nombreux exemples concrets de croissance exponentielle. Par exemple, supposons que la population de la Floride était de 16 millions en 2000. Ensuite, chaque année, la population a augmenté de 2 %. C'est un exemple de croissance exponentielle.

Notez que le taux de croissance est de 2 % ou 0,02 et qu'il est constant. Ceci est important car le taux de croissance ne peut pas changer.

Trouvons la fonction exponentielle.

Année 2001 ou 1 an après : 

16 000 000 + 16 000 000 x 0,02  = 16 000 000 (1 + 0,02 )

16 000 000 + 16 000 000 x 0,02  = 16 000 000 (1,02)     

16 000 000 + 16 000 000 x 0,02  = 16 000 000 (1,02) 1

Année 2002 ou 2 ans après :

16 000 000 (1,02) + 16 000 000 (1,02) x 0,02 = 16 000 000 (1,02) [1 + 0,02]

16 000 000 (1,02) + 16 000 000 (1,02) x 0,02 = 16 000 000 (1,02) (1,02)

16 000 000 (1,02) + 16 000 000 (1,02) x 0,02 = 16 000 000 (1,02) 2

En suivant ce modèle, supposons que

  • x est le nombre d'années depuis 2000
  • 16 000 000 est le montant de départ
  • 1,02 est le taux ou le facteur de croissance

En comparant cette fonction exponentielle avec y = ab x , nous voyons que a = 16 000 000 et b = 1,02.

Règle générale pour modéliser la croissance exponentielle

La croissance exponentielle peut être modélisée avec la fonction

a est le montant de départ lorsque x  = 0

b est la base, le taux ou le facteur de croissance et c'est une constante et il est supérieur à 1 .


La TI-89 possède de nombreuses fonctionnalités pour modéliser les données, notamment la régression exponentielle.

Vous remarquerez peut-être que les données diminuent fortement, donc une fonction exponentielle décroissante force être un bon ajustement. Étape 1: Faites un nuage de points. Regardez la première minute de cette vidéo si vous ne savez pas comment en créer une. Cette étape confirme que les données correspondent à peu près à un modèle exponentiel. Si vos données ne correspondent pas au modèle, arrêtez-vous ici. Vous pourriez (théoriquement) continuer, mais votre modèle sera pratiquement inutile. Trouvez un autre modèle qui correspond mieux à vos données.

Étape 2: Appuyez sur APPS, puis faites défiler jusqu'à Data/Matrix Editor (à l'aide des touches du curseur). Appuyez sur Entrée.

Étape 3: Appuyez sur 1 “Curent”.

Étape 4: Appuyez sur F5 “Calc”. Un nouvel écran s'ouvrira.

Étape 5 : Déplacez le curseur sur “Type de calcul”, puis appuyez sur la touche curseur de droite et choisissez 𔄜:ExpReg”.

Étape 6 : Entrez votre emplacement de valeurs x dans la boîte “x”. Par exemple, si vos valeurs x sont dans la liste a1, tapez “a1.”

Étape 7 : Entrez l'emplacement de vos valeurs y dans la boîte “y”.

Étape 8 : Déplacez le curseur sur le Mémoriser ReqEQligne. Appuyez sur la touche curseur droite, puis déplacez le curseur sur y1(x). Appuyez sur Entrée.

C'est tout ! Une fenêtre apparaîtra avec une et b . Ceux-ci entrent dans l'équation de régression y = ab x . La même équation s'affichera également dans la ligne y1= de l'écran Y=.

Si vous avez entré les données dans l'exemple ci-dessus, vous devriez obtenir une solution de y = 490,631792*,726657 x .

Pointe: les valeurs Y doivent être supérieures à zéro pour que la régression fonctionne correctement.
Vous avez perdu votre guide ? Vous pouvez en télécharger un nouveau sur le site Web de TI. Le Titanium Guidebook se trouve sur cette page.


Voir la vidéo: Cours - Terminale L - Mathématiques: Fonction Exponentielle. M. Mbow (Octobre 2021).