Des articles

7 : Méthodes des séries entières - Mathématiques


  • 7.1 : Série de puissance
    De nombreuses fonctions peuvent être écrites en termes de séries entières. Si nous supposons qu'une solution d'une équation différentielle est écrite comme une série entière, alors peut-être pouvons-nous utiliser une méthode rappelant les coefficients indéterminés. C'est-à-dire que nous allons essayer de résoudre les coefficients de l'expansion . Avant de pouvoir effectuer ce processus, passons en revue quelques résultats et concepts sur les séries entières.
  • 7.2 : Solutions en série des EDO linéaires du second ordre
    Pour les EDO linéaires homogènes du second ordre avec des polynômes comme fonctions, il est souvent possible de résoudre les fonctions en développant des fonctions autour de points ordinaires ou spécifiques.
  • 7.3 : Les points singuliers et la méthode de Frobenius
    Alors que le comportement des EDO aux points singuliers est plus compliqué, certains points singuliers ne sont pas particulièrement difficiles à résoudre. Voyons quelques exemples avant de donner une méthode générale. Nous pouvons avoir de la chance et obtenir une solution en séries entières en utilisant la méthode de la section précédente, mais en général, nous devrons peut-être essayer d'autres choses.
  • 7.E : Méthodes des séries de puissance (Exercices)
    Il s'agit d'exercices à la maison pour accompagner la carte textuelle « Equations différentielles pour l'ingénierie » de Libl. Il s'agit d'un manuel destiné à un premier cours d'un semestre sur les équations différentielles, destiné aux élèves ingénieurs. Le prérequis pour le cours est la séquence de calcul de base.

Vignette : La fonction sinus et ses approximations de Taylor autour de (x_o=0) de 5e et 9e degré.


7 : Méthodes des séries entières - Mathématiques

Avant de commencer à trouver des solutions en série aux équations différentielles, nous devons déterminer quand nous pouvons trouver des solutions en série aux équations différentielles. Commençons donc par l'équation différentielle,

[commencerpleft( x ight)y'' + qleft( x ight)y' + rleft( x ight)y = 0labelfinir]

Cette fois, nous parlons vraiment de coefficients non constants. Jusqu'à présent, nous n'avons traité que des coefficients constants. Cependant, avec les solutions en série, nous pouvons maintenant avoir des équations différentielles à coefficients non constants. Aussi, afin de rendre les problèmes un peu plus agréables, nous ne traiterons que des coefficients polynomiaux.

Maintenant, on dit que (x=x_<0>) est un point ordinaire si fourni les deux

sont analytiques à (x=x_<0>). C'est-à-dire que ces deux quantités ont des séries de Taylor autour de (x=x_<0>). Nous n'allons traiter que des coefficients qui sont des polynômes donc cela équivaudra à dire que

Si un point n'est pas un point ordinaire, nous l'appelons un point singulier.

L'idée de base pour trouver une solution en série à une équation différentielle est de supposer que nous pouvons écrire la solution comme une série entière sous la forme,

puis essayez de déterminer ce que le (a_) doit l'être. Nous ne pourrons le faire que si le point (x=x_<0>), est un point ordinaire. On dira généralement que (eqref) est une solution en série autour de (x=x_<0>).

Commençons par un exemple très basique de cela. En fait, ce sera tellement basique que nous aurons des coefficients constants. Cela nous permettra de vérifier que nous obtenons la bonne solution.

Notez que dans ce cas (p(x)=1) et donc chaque point est un point ordinaire. Nous chercherons une solution sous la forme,

Nous devrons intégrer cela dans notre équation différentielle, nous devrons donc trouver quelques dérivées.

Rappelez-vous de la section de révision des séries de puissance sur les séries de puissance que nous pouvons les commencer à (n=0) si nous en avons besoin, mais il est presque toujours préférable de les commencer là où nous avons ici. S'il s'est avéré qu'il aurait été plus facile de les démarrer à (n=0), nous pouvons facilement corriger cela le moment venu.

Alors, branchez-les dans notre équation différentielle. Faire cela donne,

L'étape suivante consiste à tout combiner en une seule série. Pour ce faire, il faut que les deux séries commencent au même point et que l'exposant sur le (x) soit le même dans les deux séries.

Nous commencerons toujours cela en obtenant que l'exposant sur le (x) soit le même. Il est généralement préférable que l'exposant soit un (n). La deuxième série a déjà l'exposant approprié et la première série devra être décalée vers le bas de 2 afin d'obtenir l'exposant jusqu'à un (n). Si vous ne vous souvenez pas comment faire cela, jetez un coup d'œil à la première section de révision où nous avons fait plusieurs de ces types de problèmes.

Le décalage de la première série de puissance nous donne,

Notez qu'au cours du changement, nous avons également obtenu les deux séries commençant au même endroit. Cela n'arrivera pas toujours, mais quand cela arrivera, nous le prendrons. Nous pouvons maintenant additionner les deux séries. Cela donne,

En rappelant maintenant le fait de la section d'examen des séries de puissance, nous savons que si nous avons une série de puissance qui est nulle pour tout (x) (comme c'est le cas), alors tous les coefficients doivent avoir été nuls pour commencer. Cela nous donne ce qui suit,

C'est ce qu'on appelle le Relation réccurente et notez que nous avons inclus les valeurs de (n) pour lesquelles cela doit être vrai. Nous voudrons toujours inclure les valeurs de (n) pour lesquelles la relation de récurrence est vraie puisqu'elles ne commenceront pas toujours à (n) = 0 comme c'était le cas dans ce cas.

Rappelons maintenant ce que nous recherchions en premier lieu. Nous voulions trouver une solution en série à l'équation différentielle. Pour ce faire, nous devions déterminer les valeurs de (a_)'s. Nous sommes presque au point où nous pouvons le faire. La relation de récurrence a deux (a_) est dedans, donc nous ne pouvons pas simplement résoudre ce problème pour (a_) et obtenez une formule qui fonctionnera pour tous les (n). Nous pouvons cependant l'utiliser pour déterminer ce que tous les (a_) sont.

Pour ce faire, nous résolvons d'abord la relation de récurrence pour le (a_) qui a le plus grand indice. Faire cela donne,

Maintenant, à ce stade, nous avons juste besoin de commencer à brancher une valeur de (n) et de voir ce qui se passe,

(n=0) ( = frac<< - >><>) (n=1) ( = frac<< - >><>)
(n=2) (commencer &= - frac<<>><> & = frac<<>><>end) (n=3) (commencer &= - frac<<>><> & = frac<<>><>end)
(n=4) (commencer & = - frac<<>><> & = frac<< - >><>end) (n=5) (commencer & = - frac<<>><> & = frac<< - >><>end)
(vdots ) (vdots )
(> = frac <<< ight)>^k>>> <droit)!>>,,,,k = 1,2, ldots ) (> = frac <<< ight)>^k>>> <droit)!>>,,,,k = 1,2, ldots )

Notez qu'à chaque étape, nous avons toujours rebranché la réponse précédente afin que lorsque l'indice était pair, nous puissions toujours écrire le (a_) en termes de (a_<0>) et quand le coefficient était impair on pouvait toujours écrire le (a_) en termes de (a_<1>). Notez également que, dans ce cas, nous avons pu trouver une formule générale pour (a_) avec des coefficients pairs et (a_) avec des coefficients impairs. Cela ne sera pas toujours possible.

Il y a encore une chose à remarquer ici. Les formules que nous avons développées étaient uniquement pour (k=1,2,ldots) cependant, dans ce cas encore, elles fonctionneront également pour (k=0). Encore une fois, c'est quelque chose qui ne fonctionnera pas toujours, mais qui fonctionne ici.

Ne vous réjouissez pas du fait que nous ne savons pas ce que sont (a_<0>) et (a_<1>). Comme vous le verrez, nous avons en fait besoin que ceux-ci soient dans le problème pour obtenir la bonne solution.

Maintenant que nous avons des formules pour le (a_) trouvons une solution. La première chose que nous allons faire est d'écrire la solution avec quelques (a_) est branché.

L'étape suivante consiste à collecter tous les termes contenant le même coefficient, puis à factoriser ce coefficient.

Dans la dernière étape, nous avons également utilisé le fait que nous connaissions la formule générale pour écrire les deux parties sous forme de séries entières. C'est aussi notre solution. Nous avons fini.

Avant de travailler sur un autre problème, examinons la solution de l'exemple précédent. Tout d'abord, nous avons commencé par dire que nous voulions une solution en série de la forme,

et nous n'avons pas compris. Nous avons obtenu une solution qui contenait deux séries de puissances différentes. De plus, chacune des solutions contenait une constante inconnue. Ce n'est pas un problème. En fait, c'est ce que nous voulons qu'il se produise. De notre travail avec des équations différentielles à coefficient constant du second ordre, nous savons que la solution de l'équation différentielle dans le dernier exemple est,

[ygauche( x droit) = cos gauche( x droit) + sin gauche( x droit)]

Les solutions aux équations différentielles du second ordre consistent en deux fonctions distinctes chacune avec une constante inconnue devant elles qui sont trouvées en appliquant toutes les conditions initiales. Ainsi, la forme de notre solution dans le dernier exemple est exactement ce que nous voulons obtenir. Rappelons également que la série de Taylor suivante,

En les rappelant, nous voyons très rapidement que ce que nous avons obtenu de la méthode de solution en série était exactement la solution que nous avons obtenue des premiers principes, à l'exception du fait que les fonctions étaient la série de Taylor pour les fonctions réelles au lieu des fonctions réelles elles-mêmes.

Travaillons maintenant un exemple avec des coefficients non constants puisque c'est là que les solutions en série sont les plus utiles.

Comme pour le premier exemple (p(x)=1) et de même pour cette équation différentielle chaque point est un point ordinaire. Maintenant, nous allons commencer celui-ci comme nous l'avons fait pour le premier exemple. Écrivons la forme de la solution et obtenons ses dérivées.

Le branchement dans l'équation différentielle donne,

Contrairement au premier exemple, nous devons d'abord déplacer tous les coefficients dans la série.

Maintenant, nous devrons décaler la première série vers le bas de 2 et la deuxième série vers le haut de 1 pour obtenir les deux séries en termes de (x^n).

Ensuite, nous devons obtenir les deux séries commençant à la même valeur de (n). La seule façon de faire cela pour ce problème est de supprimer le terme (n=0).

Nous devons maintenant mettre tous les coefficients égaux à zéro. Nous devrons cependant faire attention à cela. Le coefficient (n=0) est devant la série et les (n=1,2,3,dots) sont tous dans la série. Ainsi, un coefficient de réglage égal à zéro donne,

La résolution de la première relation ainsi que de la relation de récurrence donne,

Nous devons maintenant commencer à insérer les valeurs de (n).

(style d'affichage = frac<<>><>) (style d'affichage = frac<<>><>) (style d'affichage = frac<<>><> = 0)
(commencer &= frac<<>><> & = frac<<>><>end) (commencer & = frac<<>><> & = frac<<>><>end) (style d'affichage = frac<<>><> = 0)
( vdots ) ( vdots ) ( vdots )
(commencer> & = frac<<>> < ight)left( <3k > ight)>> k & = 1,2,3, ldots end) (commencer> & = frac<<>> < ight)left( <3k + 1 > ight)>> k & = 1,2,3, ldots end) (commencer> & = 0 k & = 0,1,2, ldots end)

Il y a deux ou trois choses à noter à propos de ces coefficients. Premièrement, chaque troisième coefficient est nul. Ensuite, les formules ici sont quelque peu désagréables et pas si faciles à voir la première fois. Enfin, ces formules ne fonctionneront pas pour (k=0) contrairement au premier exemple.

Encore une fois, rassemblez les termes qui contiennent le même coefficient, factorisez le coefficient et écrivez les résultats sous la forme d'une nouvelle série,

Nous n'avons pas pu commencer notre série à (k=0) cette fois car le terme général n'est pas valable pour (k=0).

Maintenant, nous devons travailler un exemple dans lequel nous utilisons un autre point que (x=0). En fait, reprenons simplement l'exemple précédent et retravaillons-le pour une valeur différente de (x_<0>). Nous allons également devoir modifier un peu les instructions pour cet exemple.

Malheureusement pour nous, il n'y a rien du premier exemple qui puisse être réutilisé ici. Passer à ( = - 2) change complètement le problème. Dans ce cas, notre solution sera,

Les dérivées de la solution sont,

Branchez-les dans l'équation différentielle.

Nous rencontrons maintenant notre première vraie différence entre cet exemple et l'exemple précédent. Dans ce cas, nous ne pouvons pas simplement multiplier le (x) dans la deuxième série car pour combiner avec la série, il doit être (x+2). Par conséquent, nous devrons d'abord modifier le coefficient de la deuxième série avant de le multiplier dans la série.

Nous avons maintenant trois séries avec lesquelles travailler. Cela se produira souvent dans ce genre de problèmes. Maintenant, nous devrons décaler la première série vers le bas de 2 et la deuxième série vers le haut de 1 pour obtenir les exposants communs à toutes les séries.

Afin de combiner les séries, nous devrons supprimer les termes (n=0) de la première et de la troisième série.

La fixation de coefficients égaux à zéro donne,

Nous devons maintenant résoudre ces deux problèmes. Dans le premier cas, il existe deux options, nous pouvons résoudre pour (a_<2>) ou nous pouvons résoudre pour (a_<0>). Par habitude, je vais résoudre pour (a_<0>). Dans la relation de récurrence, nous allons résoudre le terme avec le plus grand indice comme dans les exemples précédents.

Notez que dans cet exemple, nous n'aurons pas tous les trois termes abandonnés comme nous l'avons fait dans l'exemple précédent.

À ce stade, nous reconnaîtrons également que les instructions pour ce problème sont également différentes. Nous n'allons pas obtenir une formule générale pour le (a_) est cette fois, nous devrons donc nous contenter d'obtenir les deux premiers termes pour chaque partie de la solution. C'est souvent le cas pour les solutions en série. Obtenir des formules générales pour le (a_) est l'exception plutôt que la règle dans ce genre de problèmes.

Pour obtenir les quatre premiers termes, nous allons simplement commencer à insérer des termes jusqu'à ce que nous ayons le nombre requis de termes. Notez que nous allons déjà commencer par un (a_<0>) et un (a_<1>) des deux premiers termes de la solution, nous n'aurons donc besoin que de trois autres termes avec un (a_< 0>) en eux et trois autres termes avec un (a_<1>) en eux.

Nous avons deux (a_<0>) et un (a_<1>).

Nous avons trois (a_<0>) et deux (a_<1>).

Nous avons quatre (a_<0>) et trois (a_<1>). Nous avons tous les (a_<0>) dont nous avons besoin, mais il nous en faut encore un de plus (a_<1>). Donc, nous devrons faire un autre terme à quoi cela ressemble.

Nous avons cinq (a_<0>) et quatre (a_<1>). Nous avons tous les termes dont nous avons besoin.

Maintenant, tout ce que nous devons faire est de nous connecter à notre solution.

Enfin, rassemblez tous les termes avec le même coefficient et factorisez le coefficient pour obtenir,

C'est la solution à ce problème en ce qui nous concerne. Notez que cette solution ne ressemble en rien à la solution de l'exemple précédent. C'est la même équation différentielle mais changer (x_<0>) a complètement changé la solution.

Travaillons un dernier problème.

[gauche( <+ 1> ight)y'' - 4xy' + 6y = 0]

Nous avons enfin une équation différentielle qui n'a pas de coefficient constant pour la dérivée seconde.

[pgauche( x droit) = + 1hspace<0.25in>pleft( 0 ight) = 1 e 0]

Alors ( = 0) est un point ordinaire pour cette équation différentielle. Nous avons d'abord besoin de la solution et de ses dérivées,

Branchez-les dans l'équation différentielle.

Maintenant, divisez le premier terme en deux afin que nous puissions multiplier le coefficient dans la série et multiplier également les coefficients des deuxième et troisième séries.

Nous n'aurons besoin que de décaler la deuxième série de deux pour obtenir tous les exposants les mêmes dans toutes les séries.

À ce stade, nous pourrions supprimer certains termes pour obtenir toutes les séries commençant à (n=2), mais c'est en fait plus de travail que nécessaire. Notons plutôt que nous pourrions commencer la troisième série à (n=0) si nous le voulions car ce terme est juste zéro. De même, les termes de la première série sont nuls pour (n=1) et (n=0) et nous pourrions donc commencer cette série à (n=0). Si nous faisons cela, toutes les séries commenceront maintenant à (n=0) et nous pouvons les additionner sans supprimer les termes d'aucune série.

Définissez maintenant des coefficients égaux à zéro.

Maintenant, nous insérons les valeurs de (n).

Or, à partir de ce point, tous les coefficients sont nuls. Dans ce cas, les deux séries de la solution se termineront. Cela n'arrivera pas toujours, et souvent un seul d'entre eux se terminera.


Exercices 11.9

Exemple 11.9.1 Trouvez une représentation en série pour $ln 2$. (réponse)

Exemple 11.9.2 Trouvez une représentation en séries entières pour $ds 1/(1-x)^2$. (réponse)

Exemple 11.9.3 Trouvez une représentation en séries entières pour $ds 2/(1-x)^3$. (réponse)

Exemple 11.9.4 Trouvez une représentation en séries entières pour $ds 1/(1-x)^3$. Quel est le rayon de convergence ? (réponse)

Exemple 11.9.5 Trouvez une représentation en séries entières pour $dsintln(1-x),dx$. (réponse)


7 : Méthodes des séries entières - Mathématiques

Maintenant que nous savons comment représenter la fonction sous forme de séries entières, nous pouvons maintenant parler d'au moins quelques applications des séries.

Il existe en fait de nombreuses applications des séries, malheureusement la plupart d'entre elles dépassent le cadre de ce cours. Une application des séries entières (avec l'utilisation occasionnelle des séries de Taylor) est dans le domaine des équations différentielles ordinaires lors de la recherche de solutions en série aux équations différentielles. Si vous souhaitez voir comment cela fonctionne, vous pouvez consulter ce chapitre de mes notes sur les équations différentielles.

Une autre application des séries se pose dans l'étude des équations aux dérivées partielles. L'une des méthodes les plus couramment utilisées dans ce domaine utilise les séries de Fourier.

De nombreuses applications des séries, en particulier celles dans les domaines des équations différentielles, reposent sur le fait que les fonctions peuvent être représentées comme une série. Dans ces applications, il est très difficile, voire impossible, de trouver la fonction elle-même. Cependant, il existe des méthodes pour déterminer la représentation en série de la fonction inconnue.

Bien que les applications des équations différentielles dépassent le cadre de ce cours, il existe certaines applications d'un paramètre de calcul que nous pouvons examiner.

Pour ce faire, nous devrons d'abord trouver une série de Taylor sur(x = 0) pour l'intégrande. Ce n'est cependant pas très difficile. Nous avons déjà une série de Taylor pour le sinus à propos de (x = 0), nous allons donc l'utiliser comme suit,

Nous pouvons maintenant résoudre le problème.

Ainsi, bien que nous ne puissions pas intégrer cette fonction en termes de fonctions connues, nous pouvons proposer une représentation en série de l'intégrale.

Cette idée de dériver une représentation en série d'une fonction au lieu d'essayer de trouver la fonction elle-même est utilisée assez souvent dans plusieurs domaines. En fait, il y a des domaines où c'est l'une des idées principales utilisées et sans cette idée, il serait très difficile d'accomplir quoi que ce soit dans ces domaines.

Une autre application des séries n'est pas vraiment une application des séries infinies. Il s'agit plutôt d'une application de sommes partielles. En fait, nous avons déjà vu cette application en cours d'utilisation une fois dans ce chapitre. Dans l'estimation de la valeur d'une série, nous avons utilisé une somme partielle pour estimer la valeur d'une série. Nous pouvons faire la même chose avec les séries entières et les représentations en série des fonctions. La principale différence est que nous allons maintenant utiliser la somme partielle pour approximer une fonction au lieu d'une valeur unique.

Nous examinerons les séries de Taylor pour nos exemples, mais nous pourrions tout aussi bien utiliser n'importe quelle représentation en série ici. Rappelons que le Polynôme de Taylor au nième degré de (fleft( x ight)) est donné par,

Jetons un coup d'œil à un exemple de cela.

Voici la formule générale des polynômes de Taylor pour le cosinus.

Les trois polynômes de Taylor que nous avons sont alors,

Voici le graphique de ces trois polynômes de Taylor ainsi que le graphique du cosinus.

Comme nous pouvons le voir sur ce graphique, à mesure que nous augmentons le degré du polynôme de Taylor, il commence à ressembler de plus en plus à la fonction elle-même. En fait, au moment où nous arrivons à (left( x ight)) la seule différence est juste aux extrémités. Plus le degré du polynôme de Taylor est élevé, mieux il se rapproche de la fonction.

De plus, plus l'intervalle est grand, plus le polynôme de Taylor de degré élevé dont nous avons besoin pour obtenir une bonne approximation pour l'ensemble de l'intervalle.

Avant de continuer, écrivons quelques autres polynômes de Taylor de l'exemple précédent. Notez que parce que la série de Taylor pour le cosinus ne contient aucun terme avec des puissances impaires sur (x), nous obtenons les polynômes de Taylor suivants.

Ceux-ci sont identiques à ceux utilisés dans l'exemple. Parfois, cela se produira même si ce n'était pas vraiment le but de cela. Il s'agit de noter que le polynôme de Taylor au nième degré peut en fait avoir un degré inférieur à (n). Il ne sera jamais supérieur à (n), mais il peut être inférieur à (n).

Le dernier exemple de cette section n'est pas vraiment une application de série et appartenait probablement à la section précédente. Cependant, la section précédente devenait trop longue, l'exemple se trouve donc dans cette section. Ceci est un exemple de la façon de multiplier des séries ensemble et bien qu'il ne s'agisse pas d'une application de séries, c'est quelque chose qui doit être fait à l'occasion dans les applications. Donc, en ce sens, il appartient à cette section.

Avant de commencer, reconnaissons que le moyen le plus simple de résoudre ce problème est de simplement calculer les 3-4 premières dérivées, de les évaluer à (x = 0), de brancher la formule et nous aurons terminé. Cependant, comme nous l'avons noté avant cet exemple, nous voulons utiliser cet exemple pour illustrer comment nous multiplions les séries.

Nous utiliserons le fait que nous avons la série Taylor pour chacun d'entre eux afin que nous puissions les utiliser dans ce problème.

Nous n'allons pas multiplier complètement ces séries. Nous allons faire assez de multiplication pour obtenir une réponse. L'énoncé du problème dit que nous voulons que les trois premiers non nul termes. Ce bit différent de zéro est important car il est possible que certains des termes soient nuls. Si aucun des termes n'est nul, cela signifierait que les trois premiers termes non nuls seraient le terme constant, le terme (x) et () terme. Cependant, parce que certains peuvent être nuls, supposons que si nous obtenons tous les termes jusqu'à () nous aurons assez pour obtenir la réponse. Si nous nous sommes trompés, ce sera très facile à corriger, alors ne vous inquiétez pas.

Maintenant, écrivons les premiers termes de chaque série et nous nous arrêterons à la x 4 terme dans chacun.

Notez que nous devons reconnaître que ces séries ne s'arrêtent pas. C'est le but du "( + cdots )" à la fin de chacun. Juste une seconde cependant, supposons que chacun d'eux s'arrête et se demande comment nous pourrions multiplier chacun d'eux. Si tel était le cas, nous prendrions chaque terme du second et multiplierions par chaque terme du premier. En d'autres termes, nous multiplierions d'abord chaque terme de la deuxième série par 1, puis chaque terme de la deuxième série par (x), puis par () etc.

En arrêtant chaque série à () nous avons maintenant garanti que nous obtiendrons tous les termes qui ont un exposant de 4 ou moins. Vous voyez pourquoi ?

Chacun des termes que nous avons négligé d'écrire a un exposant d'au moins 5 et ainsi multiplier par 1 ou toute puissance de (x) donnera un terme avec un exposant qui est au minimum 5. Par conséquent, aucun des les termes négligés contribueront aux termes avec un exposant de 4 ou moins et n'étaient donc pas nécessaires.

Commençons donc le processus de multiplication.

Maintenant, collectez des termes similaires en ignorant tout avec un exposant de 5 ou plus, car nous n'aurons pas tous ces termes et nous n'en voulons pas non plus. Faire cela donne,

On y va. Il semble que nous ayons trop deviné et que nous nous sommes retrouvés avec quatre termes différents de zéro, mais ce n'est pas grave. Si nous avions sous deviné et qu'il s'est avéré que nous avions besoin de termes avec () en eux, tout ce que nous aurions besoin de faire à ce stade est de revenir en arrière et d'ajouter ces termes à la série d'origine et de faire quelques multiplications rapides. En d'autres termes, il n'y a aucune raison de refaire complètement tout le travail.


Méthodes de résolution de problèmes mathématiques

Le solveur mathématique basé sur l'IA de SnapXam vous permet de résoudre des problèmes mathématiques complexes, avec des explications détaillées étape par étape. Certains problèmes de mathématiques peuvent être résolus à l'aide de plusieurs méthodes (y compris la méthode de votre professeur).

Pour ces problèmes, nous vous permettons de choisir votre méthode de résolution préférée. Nous comprenons que résoudre un problème mathématique en utilisant la bonne méthode est presque aussi important que d'obtenir la bonne réponse. Ceci est particulièrement important lors de l'apprentissage de nouveaux concepts, car la même réponse à un problème peut être obtenue en utilisant différentes méthodes ou techniques.

Dans cet article, nous présentons les différentes méthodes de résolution actuellement prises en charge par notre solveur mathématique.


Conversion intégrale de la série de puissance

Une méthode que l'intégration de séries entières peut être utilisée est que les fonctions ne sont pas reconnaissables à partir des transformations typiques de séries entières. Un exemple peut être le suivant :

Pour F(x) = ln(2-x), Trouver une série équivalente

Au début, la fonction logarithme naturel n'est pas mentionnée dans une liste d'équivalences de séries entières. Au lieu de cela, on peut voir que si F(x) avait trouvé son dérivé, une fonction de série de puissance commune émerge et peut être travaillé avec.

Étape 1: Trouver la dérivée première de la fonction donnée et réécrire F(x) sous une forme intégrale.

Étape 2: Reconnaître un modèle de fonction qui peut être directement remplacé par une série entière commune.

Étape 3: Résoudre l'intégrale et organiser les termes.

Où C est une valeur constante qui varie en fonction d'une valeur choisie pour x qui est branchée.


7 : Méthodes des séries entières - Mathématiques

Dans ce chapitre, nous examinerons les séquences et les séries (infinies). En fait, ce chapitre traitera presque exclusivement des séries. Cependant, nous devons également comprendre certaines des bases des séquences afin de traiter correctement les séries. Nous allons donc passer un peu de temps sur les séquences également.

Les séries font partie de ces sujets que de nombreux étudiants ne trouvent pas très utiles. Pour être honnête, de nombreux étudiants ne verront jamais de séries en dehors de leur cours de calcul. Cependant, les séries jouent un rôle important dans le domaine des équations différentielles ordinaires et sans séries, de grandes parties du domaine des équations aux dérivées partielles ne seraient pas possibles.

En d'autres termes, les séries sont un sujet important même si vous ne verrez jamais aucune des applications. La plupart des applications dépassent le cadre de la plupart des cours de calcul et ont tendance à se produire dans des cours que de nombreux étudiants ne suivent pas. Donc, en parcourant ce matériel, gardez à l'esprit qu'ils ont des applications même si nous n'en couvrirons pas vraiment beaucoup dans cette classe.

Voici une liste des sujets de ce chapitre.

Séquences - Dans cette section, nous définissons exactement ce que nous entendons par séquence dans un cours de mathématiques et donnons la notation de base que nous utiliserons avec eux. Nous nous concentrerons sur la terminologie de base, les limites des séquences et la convergence des séquences dans cette section. Nous donnerons également de nombreux faits et propriétés de base dont nous aurons besoin lorsque nous travaillerons avec des séquences.

En savoir plus sur les séquences – Dans cette section, nous continuerons à examiner les séquences. On va déterminer si une suite dans une suite croissante ou une suite décroissante et donc s'il s'agit d'une suite monotone. Nous déterminerons également qu'une séquence est bornée ci-dessous, bornée ci-dessus et/ou bornée.

Séries – Les bases – Dans cette section, nous définirons formellement une série infinie. Nous donnerons également de nombreux faits, propriétés et moyens de base que nous pouvons utiliser pour manipuler une série. Nous discuterons également brièvement de la façon de déterminer si une série infinie convergera ou divergera (une discussion plus approfondie de ce sujet aura lieu dans la section suivante).

Convergence/Divergence des séries – Dans cette section, nous discuterons plus en détail de la convergence et de la divergence des séries infinies. Nous allons illustrer comment les sommes partielles sont utilisées pour déterminer si une série infinie converge ou diverge. Nous donnerons également le test de divergence pour les séries dans cette section.

Séries spéciales - Dans cette section, nous examinerons trois séries qui apparaissent régulièrement ou qui ont de belles propriétés dont nous souhaitons discuter. Nous examinerons les séries géométriques, les séries télescopiques et les séries harmoniques.

Test intégral - Dans cette section, nous discuterons de l'utilisation du test intégral pour déterminer si une série infinie converge ou diverge. Le Test Intégral peut être utilisé sur une série infinie à condition que les termes de la série soient positifs et décroissants. Une preuve du test intégral est également donnée.

Test de comparaison/Test de comparaison limite - Dans cette section, nous discuterons de l'utilisation du test de comparaison et des tests de comparaison limite pour déterminer si une série infinie converge ou diverge. Pour utiliser l'un ou l'autre des tests, les termes de la série infinie doivent être positifs. Des preuves pour les deux tests sont également données.

Test des séries alternées - Dans cette section, nous discuterons de l'utilisation du test des séries alternées pour déterminer si une série infinie converge ou diverge. Le test des séries alternées ne peut être utilisé que si les termes de la série alternent en signe. Une preuve du test des séries alternées est également donnée.

Convergence absolue - Dans cette section, nous aurons une brève discussion sur la convergence absolue et la convergence conditionnelle et leur relation avec la convergence des séries infinies.

Test de ratio - Dans cette section, nous discuterons de l'utilisation du test de ratio pour déterminer si une série infinie converge de manière absolue ou diverge. Le test de ratio peut être utilisé sur n'importe quelle série, mais ne donnera malheureusement pas toujours une réponse concluante quant à savoir si une série convergera absolument ou divergera. Une preuve du test de ratio est également donnée.

Test de racine - Dans cette section, nous discuterons de l'utilisation du test de racine pour déterminer si une série infinie converge absolument ou diverge. Le test de racine peut être utilisé sur n'importe quelle série, mais ne donnera malheureusement pas toujours une réponse concluante quant à savoir si une série convergera absolument ou divergera. Une preuve du test racine est également donnée.

Stratégie pour les séries - Dans cette section, nous donnons un ensemble général de directives pour déterminer quel test utiliser pour déterminer si une série infinie convergera ou divergera. Notez également qu'il n'y a pas vraiment un ensemble de directives qui fonctionnera toujours et que vous devez donc toujours être flexible en suivant cet ensemble de directives. Un résumé de tous les différents tests, ainsi que les conditions qui doivent être remplies pour les utiliser, dont nous avons parlé dans ce chapitre sont également donnés dans cette section.

Estimation de la valeur d'une série - Dans cette section, nous verrons comment le test intégral, le test de comparaison, le test de série alternée et le test de ratio peuvent, à l'occasion, être utilisés pour estimer la valeur d'une série infinie.

Séries entières – Dans cette section, nous donnerons la définition des séries entières ainsi que la définition du rayon de convergence et de l'intervalle de convergence pour une série entière. Nous illustrerons également comment le test de ratio et le test de racine peuvent être utilisés pour déterminer le rayon et l'intervalle de convergence pour une série entière.

Séries et fonctions de puissance - Dans cette section, nous discutons de la façon dont la formule d'une série géométrique convergente peut être utilisée pour représenter certaines fonctions sous forme de séries de puissance. Pour utiliser la formule Séries géométriques, la fonction doit pouvoir être mise sous une forme spécifique, ce qui est souvent impossible. Cependant, l'utilisation de cette formule illustre rapidement comment les fonctions peuvent être représentées comme une série entière. We also discuss differentiation and integration of power series.

Taylor Series – In this section we will discuss how to find the Taylor/Maclaurin Series for a function. This will work for a much wider variety of function than the method discussed in the previous section at the expense of some often unpleasant work. We also derive some well known formulas for Taylor series of (<f e>^) , (cos(x)) and (sin(x)) around (x=0).

Applications of Series – In this section we will take a quick look at a couple of applications of series. We will illustrate how we can find a series representation for indefinite integrals that cannot be evaluated by any other method. We will also see how we can use the first few terms of a power series to approximate a function.

Binomial Series – In this section we will give the Binomial Theorem and illustrate how it can be used to quickly expand terms in the form ( left(a+b ight)^) when (n) is an integer. In addition, when (n) is not an integer an extension to the Binomial Theorem can be used to give a power series representation of the term.


7: Power series methods - Mathematics

Recall that we were able to analyze all geometric series "simultaneously'' to discover that $sum_^infty kx^n = ,$ if $|x| Definition 11.8.1 A power series has the form $dssum_^infty a_nx^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.

Example 11.8.2 $dssum_^infty $ is a power series. We can investigate convergence using the ratio test: $ lim_ <|x|^over n+1> =lim_ |x| =|x|. $ Thus when $|x| 1$ it diverges, leaving only two values in doubt. When $x=1$ the series is the harmonic series and diverges when $x=-1$ it is the alternating harmonic series (actually the negative of the usual alternating harmonic series) and converges. Thus, we may think of $dssum_^infty $ as a function from the interval $[-1,1)$ to the real numbers.

A bit of thought reveals that the ratio test applied to a power series will always have the same nice form. In general, we will compute $ lim_ <|a_||x|^over |a_n||x|^n> =lim_ |x|<|a_|over |a_n|> = |x|lim_ <|a_|over |a_n|> =L|x|, $ assuming that $ds lim |a_|/|a_n|$ exists. Then the series converges if $L|x| 1/L$. Only the two values $x=pm1/L$ require further investigation. Thus the series will definitely define a function on the interval $(-1/L,1/L)$, and perhaps will extend to one or both endpoints as well. Two special cases deserve mention: if $L=0$ the limit is $ no matter what value $x$ takes, so the series converges for all $x$ and the function is defined for all real numbers. If $L=infty$, then no matter what value $x$ takes the limit is infinite and the series converges only when $x=0$. The value $1/L$ is called the radius of convergence of the series, and the interval on which the series converges is the interval of convergence .

Consider again the geometric series, $sum_^infty x^n=<1over 1-x>.$ Whatever benefits there might be in using the series form of this function are only available to us when $x$ is between $-1$ and $1$. Frequently we can address this shortcoming by modifying the power series slightly. Consider this series: $ sum_^infty <(x+2)^nover 3^n>= sum_^infty left( ight)^n=<1over 1->= <3over 1-x>, $ because this is just a geometric series with $x$ replaced by $(x+2)/3$. Multiplying both sides by $1/3$ gives $sum_^infty <(x+2)^nover 3^>=<1over 1-x>,$ the same function as before. For what values of $x$ does this series converge? Since it is a geometric series, we know that it converges when $eqalign< |x+2|/3& Definition 11.8.3 A power series centered at $a$ has the form $dssum_^infty a_n(x-a)^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.


7: Power series methods - Mathematics

In this section we will introduce the topic that we will be discussing for the rest of this chapter. That topic is infinite series. So just what is an infinite series? Well, let’s start with a sequence (left< <> ight>_^infty ) (note the (n = 1) is for convenience, it can be anything) and define the following,

The () are called partial sums and notice that they will form a sequence, (left< <> ight>_^infty ). Also recall that the (Sigma ) is used to represent this summation and called a variety of names. The most common names are : series notation, summation notation, et sigma notation.

You should have seen this notation, at least briefly, back when you saw the definition of a definite integral in Calculus I. If you need a quick refresher on summation notation see the review of summation notation in the Calculus I notes.

Now back to series. We want to take a look at the limit of the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ). To make the notation go a little easier we’ll define,

We will call (sumlimits_^infty <> ) an infinite series and note that the series “starts” at (i = 1) because that is where our original sequence, (left< <> ight>_^infty ), started. Had our original sequence started at 2 then our infinite series would also have started at 2. The infinite series will start at the same value that the sequence of terms (as opposed to the sequence of partial sums) starts.

It is important to note that (sumlimits_^infty <> ) is really nothing more than a convenient notation for (mathop limits_ sumlimits_^n <> ) so we do not need to keep writing the limit down. We do, however, always need to remind ourselves that we really do have a limit there!

If the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ), is convergent and its limit is finite then we also call the infinite series, (sumlimits_^infty <> )convergent and if the sequence of partial sums is divergent then the infinite series is also called divergent.

Note that sometimes it is convenient to write the infinite series as,

We do have to be careful with this however. This implies that an infinite series is just an infinite sum of terms and as we’ll see in the next section this is not really true for many series.

In the next section we’re going to be discussing in greater detail the value of an infinite series, provided it has one of course as well as the ideas of convergence and divergence.

This section is going to be devoted mostly to notational issues as well as making sure we can do some basic manipulations with infinite series so we are ready for them when we need to be able to deal with them in later sections.

First, we should note that in most of this chapter we will refer to infinite series as simply series. If we ever need to work with both infinite and finite series we’ll be more careful with terminology, but in most sections we’ll be dealing exclusively with infinite series and so we’ll just call them series.

Now, in (sumlimits_^infty <> ) the (i) is called the index of summation ou juste index for short and note that the letter we use to represent the index does not matter. So for example the following series are all the same. The only difference is the letter we’ve used for the index.

It is important to again note that the index will start at whatever value the sequence of series terms starts at and this can literally be anything. So far we’ve used (n = 0) and (n = 1) but the index could have started anywhere. In fact, we will usually use (sum <> ) to represent an infinite series in which the starting point for the index is not important. When we drop the initial value of the index we’ll also drop the infinity from the top so don’t forget that it is still technically there.

We will be dropping the initial value of the index in quite a few facts and theorems that we’ll be seeing throughout this chapter. In these facts/theorems the starting point of the series will not affect the result and so to simplify the notation and to avoid giving the impression that the starting point is important we will drop the index from the notation. Do not forget however, that there is a starting point and that this will be an infinite series.

Note however, that if we do put an initial value of the index on a series in a fact/theorem it is there because it really does need to be there.

Now that some of the notational issues are out of the way we need to start thinking about various ways that we can manipulate series.

We’ll start this off with basic arithmetic with infinite series as we’ll need to be able to do that on occasion. We have the following properties.

Propriétés

If (sum <> ) and (sum <> ) are both convergent series then,

  1. (displaystyle sum <>> ), where (c) is any number, is also convergent and [sum <>> = csum <> ]
  2. (displaystyle sumlimits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> ) is also convergent and, [sumlimits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> = sumlimits_^infty pm > ight)> ]

The first property is simply telling us that we can always factor a multiplicative constant out of an infinite series and again recall that if we don’t put in an initial value of the index that the series can start at any value. Also recall that in these cases we won’t put an infinity at the top either.

The second property says that if we add/subtract series all we really need to do is add/subtract the series terms. Note as well that in order to add/subtract series we need to make sure that both have the same initial value of the index and the new series will also start at this value.

Before we move on to a different topic let’s discuss multiplication of series briefly. We’ll start both series at (n = 0) for a later formula and then note that,

To convince yourself that this isn’t true consider the following product of two finite sums.

Yeah, it was just the multiplication of two polynomials. Each is a finite sum and so it makes the point. In doing the multiplication we didn’t just multiply the constant terms, then the (x) terms, etc. Instead we had to distribute the 2 through the second polynomial, then distribute the (x) through the second polynomial and finally combine like terms.

Multiplying infinite series (even though we said we can’t think of an infinite series as an infinite sum) needs to be done in the same manner. With multiplication we’re really asking us to do the following,

To do this multiplication we would have to distribute the () through the second term, distribute the () through, etc then combine like terms. This is pretty much impossible since both series have an infinite set of terms in them, however the following formula can be used to determine the product of two series.

We also can’t say a lot about the convergence of the product. Even if both of the original series are convergent it is possible for the product to be divergent. The reality is that multiplication of series is a somewhat difficult process and in general is avoided if possible. We will take a brief look at it towards the end of the chapter when we’ve got more work under our belt and we run across a situation where it might actually be what we want to do. Until then, don’t worry about multiplying series.

The next topic that we need to discuss in this section is that of index shift. To be honest this is not a topic that we’ll see all that often in this course. In fact, we’ll use it once in the next section and then not use it again in all likelihood. Despite the fact that we won’t use it much in this course doesn’t mean however that it isn’t used often in other classes where you might run across series. So, we will cover it briefly here so that you can say you’ve seen it.

The basic idea behind index shifts is to start a series at a different value for whatever the reason (and yes, there are legitimate reasons for doing that).

Consider the following series,

Suppose that for some reason we wanted to start this series at (n = 0), but we didn’t want to change the value of the series. This means that we can’t just change the (n = 2) to (n = 0) as this would add in two new terms to the series and thus change its value.

Performing an index shift is a fairly simple process to do. We’ll start by defining a new index, say (i), as follows,

Now, when (n = 2), we will get (i = 0). Notice as well that if (n = infty ) then (i = infty - 2 = infty ), so only the lower limit will change here. Next, we can solve this for (n) to get,

We can now completely rewrite the series in terms of the index (i) instead of the index (n) simply by plugging in our equation for (n) in terms of (i).

To finish the problem out we’ll recall that the letter we used for the index doesn’t matter and so we’ll change the final (i) back into an (n) to get,

To convince yourselves that these really are the same summation let’s write out the first couple of terms for each of them,

So, sure enough the two series do have exactly the same terms.

There is actually an easier way to do an index shift. The method given above is the technically correct way of doing an index shift. However, notice in the above example we decreased the initial value of the index by 2 and all the (n)’s in the series terms increased by 2 as well.

This will always work in this manner. If we decrease the initial value of the index by a set amount then all the other (n)’s in the series term will increase by the same amount. Likewise, if we increase the initial value of the index by a set amount, then all the (n)’s in the series term will decrease by the same amount.

Let’s do a couple of examples using this shorthand method for doing index shifts.

  1. Write (displaystyle sumlimits_^infty <><>>> ) as a series that starts at (n = 0).
  2. Write (displaystyle sumlimits_^infty >><<1 - <3^>>>> ) as a series that starts at (n = 3).

In this case we need to decrease the initial value by 1 and so the (n)’s (okay the single (n)) in the term must increase by 1 as well.

For this problem we want to increase the initial value by 2 and so all the (n)’s in the series term must decrease by 2.

The final topic in this section is again a topic that we’ll not be seeing all that often in this class, although we will be seeing it more often than the index shifts. This final topic is really more about alternate ways to write series when the situation requires it.

Let’s start with the following series and note that the (n = 1) starting point is only for convenience since we need to start the series somewhere.

Notice that if we ignore the first term the remaining terms will also be a series that will start at (n = 2) instead of (n = 1) So, we can rewrite the original series as follows,

In this example we say that we’ve stripped out the first term.

We could have stripped out more terms if we wanted to. In the following series we’ve stripped out the first two terms and the first four terms respectively.

Being able to strip out terms will, on occasion, simplify our work or allow us to reuse a prior result so it’s an important idea to remember.

Notice that in the second example above we could have also denoted the four terms that we stripped out as a finite series as follows,

This is a convenient notation when we are stripping out a large number of terms or if we need to strip out an undetermined number of terms. In general, we can write a series as follows,

We’ll leave this section with an important warning about terminology. Don’t get sequences and series confused! A sequence is a list of numbers written in a specific order while an infinite series is a limit of a sequence of finite series and hence, if it exists will be a single value.

So, once again, a sequence is a list of numbers while a series is a single number, provided it makes sense to even compute the series. Students will often confuse the two and try to use facts pertaining to one on the other. However, since they are different beasts this just won’t work. There will be problems where we are using both sequences and series so we’ll always have to remember that they are different.


Too long for comment: In power-series form, the ODE is

Notice the degree of the leading terms in each sum are $ , $1$ , and $ . Removing the first term from the first and third sums, then consolidating the remaining sums gives

(your error occurs at some point during the above steps)

Hint: Compute the derivative on the left hand side. Some terms will vanish and you'll end up with the original ODE.

and so on, which suggests a pattern for the even-indexed coefficients,

Then a solution to the ODE would be

You can do a similar analysis to describe the odd-indexed coefficients. Starting with a fixed $a_1$ , we have

and there is another solution

From here I imagine you are supposed to find closed forms for these power series. The even-indexed series you should recognize right away. The second requires a bit of massaging to get something that looks familiar.


Voir la vidéo: Calcul de développement en série entière (Octobre 2021).