Des articles

2.7 : Validité des arguments et erreurs courantes - Mathématiques


2.7 : Validité des arguments et erreurs courantes - Mathématiques

Question d'implication logique et d'arguments valides

L'argument suivant est valide : $[[p lor (qlor r)]land eg q] ightarrow (plor r)$. Déterminez les lignes du tableau cruciales pour évaluer la validité de l'argument et quelles lignes peuvent être ignorées.

$ début p & q & r & eg q & qlor r & plor(qlor r) & [[p lor (qlor r)]land eg q] & plor r hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & underbrace<0>_< ext> & 1 & underbrace<1>_< ext> & 0 & underbrace<1>_< ext> fin $

Les lignes 2, 5 et 6 sont donc cruciales pour évaluer la validité de l'argument, puisque nous avons les prémisses et la conclusion $1$ dans ces lignes.

Après cet exercice, j'ai quelques questions, car le texte que j'utilise ne couvre pas vraiment ces détails.


2.7 : Arguments inductifs

  • Jason Southworth et Chris Swoyer
  • Professeur (philosophie) à Fort Hays State & University University of Oklahoma

Nous étudierons en détail les arguments inductifs dans un chapitre ultérieur, nous les considérerons donc brièvement ici. On parle d'arguments inductifs en termes de force et de faiblesse.

Un argument est inductivement fort Au cas où:

  1. Il n'est pas valable par déduction, et
  2. Si toutes ses prémisses sont vraies, alors il y a un haute probabilité que sa conclusion sera également vraie.

Le deuxième élément est le plus important. Le seul point du premier élément est de s'assurer qu'aucun argument n'est à la fois valable par déduction et inductivement fort (cela nous facilitera les choses dans les chapitres suivants).

La force inductive diffère de la validité déductive de deux manières importantes :

  1. Contrairement à la validité déductive, la force inductive vient en degrés.
  2. Dans un argument valable par déduction, la conclusion ne contient aucune information qui n'était pas déjà présente dans les prémisses. En revanche, dans un argument inductif fort, le la conclusion contient de nouvelles informations.

Un argument déductivement valide avec toutes les vraies prémisses doit avoir une vraie conclusion. En revanche, un argument inductivement fort avec de vraies prémisses fournit de bonnes raisons, mais pas concluantes, pour sa conclusion.

Puisque nous avons défini des choses telles que les arguments inductivement forts ne sont pas valables de manière déductive, nous pouvons considérer les arguments comme étant disposés le long d'un continuum de force descendante :

  1. Déductivement valide
  2. Déductivement invalide
    1. Inductivement fort
    2. Inductivement faible
    3. Sans valeur

    Général et particulier

    Il n'est pas inhabituel (en particulier si vous essayez d'apprendre la logique à l'aide de YouTube) de voir des arguments déductivement valides décrits comme allant du général au spécifique, et des arguments inductivement forts allant du spécifique au général. Ce n'est pas une bonne façon de penser aux deux sortes d'arguments, et les notions de généralité et de spécificité sont complètement hors de propos pour les deux notions. Voici un argument déductivement valable qui va de prémisses plus spécifiques à une conclusion plus générale :

    Par conséquent, tous les nombres impairs entre 2 et 6 sont premiers.

    Et voici un argument inductivement fort qui va d'une prémisse plus générale à une conclusion plus spécifique.

    Par conséquent, le prochain corbeau à observer sera noir.

    Raisons déductivement valables et inductivement fortes

    Parfois, il est plus naturel de parler de raisons que d'arguments. Un groupe de phrases fournit des raisons déductivement valables pour une conclusion juste au cas où il serait impossible que toutes soient vraies et que la conclusion soit fausse. Les raisons valables ont cette caractéristique car il n'y a aucune information dans la conclusion qui n'était pas déjà contenue dans les raisons elles-mêmes

    Raisons inductivement fortes : Un groupe de phrases fournit des raisons inductivement fortes pour une conclusion juste au cas où il est peu probable qu'elles soient toutes vraies et que la conclusion soit fausse. Si un groupe de raisons inductivement fortes pour une conclusion est vraie, alors il y a de bonnes chances que la conclusion soit également vraie, mais il y a toujours une possibilité qu'elle soit fausse. Les raisons inductivement fortes ne préservent pas toujours la vérité. Il y a un saut inductif des raisons à la conclusion. Le support inductif vient à des degrés divers plus les raisons inductives sont fortes, moins le saut inductif est risqué.


    8 règles du syllogisme

    Une argument consiste en deux ou plusieurs propositions présentées comme preuve d'une autre proposition. Dans la logique et la pensée critique, les propositions qui sont présentées comme preuves dans l'argument sont appelées les locaux, tandis que la proposition pour laquelle la preuve est offerte est appelée la conclusion. Ainsi, lorsque l'on donne un argument, on fournit un ensemble de prémisses comme raisons d'accepter sa conclusion. Il est important de noter que lorsque l'on donne un argument, l'un n'attaque pas ou ne critique pas nécessairement l'autre. De cette façon, un argument peut également être considéré comme un support du point de vue de quelqu'un.

    Types d'arguments

    Les arguments peuvent être inductifs ou déductifs. D'une part, un argument inductif est celui dans lequel il est affirmé que si les prémisses sont vraies, alors il est probable que la conclusion est vraie. Par conséquent, même si toutes les prémisses sont vraies, un argument ou un raisonnement inductif permet à la conclusion d'être fausse. Il est également important de noter que les arguments inductifs vont du spécifique (ou particulier) au général. En d'autres termes, les arguments inductifs font de larges généralisations à partir d'observations spécifiques. Considérez l'exemple ci-dessous.

    Quatre-vingt-dix pour cent des graines de mongo germent le premier jour.
    Et au jour 2, quatre-vingt-dix pour cent des graines de mongo germent.
    Par conséquent, quatre-vingt-dix pour cent des graines de mongo germent.

    Sur la base de l'exemple ci-dessus, nous pouvons également dire que les arguments inductifs sont basés sur des observations ou des expériences.

    Arguments déductifs, d'autre part, en est une dans laquelle il est affirmé que si les prémisses sont vraies, alors la conclusion est nécessairement vraie. Et contrairement aux arguments inductifs, les arguments déductifs procèdent du général au particulier. Ainsi, un argument ou un raisonnement déductif commence par une déclaration ou une hypothèse générale, puis « examine les possibilités d'arriver à une conclusion logique spécifique ».[1] Considérons l'exemple ci-dessous.

    Quiconque tue une personne est coupable d'un crime.
    Jim tue Jack.
    Par conséquent, Jim est coupable d'un crime.

    Syllogismes sont des arguments qui consistent en trois propositions qui sont tellement liées que lorsque les deux premières propositions (c'est-à-dire les prémisses) sont posées comme vraies, la troisième proposition (c'est-à-dire la conclusion) doit également être vraie. En d'autres termes, un syllogisme est un argument arrangé d'une manière spécifique de telle manière qu'il contient une prémisse majeure, une prémisse mineure et une conclusion. Considérons l'exemple classique d'un syllogisme catégorique ci-dessous.

    Tous les hommes sont mortels.
    Socrate est un homme.
    Par conséquent, Socrate est mortel.

    Comment détermine-t-on le prémisse majeure, prémisse mineure, et le conclusion?

    La prémisse majeure est la prémisse qui contient le terme majeur, tandis que la prémisse mineure est la prémisse qui contient le terme mineur. La conclusion est la troisième proposition dont le sens et la vérité sont impliqués dans les prémisses.

    Comment détermine-t-on le terme majeur, terme mineur, et le moyen terme?

    Le terme majeur est le prédicat de la conclusion, tandis que le terme mineur est le sujet de la conclusion. Le moyen terme est le terme restant qui n'apparaît pas (et ne peut pas) apparaître dans la conclusion.

    Si nous regardons l'exemple ci-dessus, alors nous savons que le terme majeur est « mortel » car c'est le prédicat de la conclusion et le terme mineur est « Socrate » car il est le sujet de la conclusion. Le moyen terme est « homme » ou « hommes » car c'est le terme restant et qui n'apparaît pas dans la conclusion. Comme nous pouvons le voir dans l'exemple ci-dessous, le terme majeur est en rouge, le terme mineur en bleu et le terme moyen en violet.

    Règles du syllogisme

    Maintenant que nous avons présenté les concepts clés des arguments ou des syllogismes, passons à la détermination de leur validité. Les logiciens ont formulé huit (8) règles de syllogisme, mais bien sûr elles peuvent être étendues à 10 ou réduites à 6. Mais suivons ce que les logiciens utilisent couramment, c'est-à-dire les 8 règles du syllogisme. Il faut noter que toutes les 8 règles du syllogisme doivent être rencontrées ou satisfaites pour que l'argument ou le syllogisme soit valide. Si au moins une des 8 règles du syllogisme est violée, alors l'argument ou le syllogisme est invalide.

    Les 8 règles du syllogisme sont les suivantes :

    1. Il ne devrait y avoir que trois termes dans le syllogisme, à savoir : le terme majeur, le terme mineur et le terme moyen. Et le sens du moyen terme dans la première prémisse ne doit pas être changé dans la deuxième prémisse sinon, le syllogisme aura 4 termes.
    2. Les termes majeurs et mineurs ne doivent être universels dans la conclusion que s'ils sont universels dans les prémisses. En d'autres termes, si les termes majeurs et mineurs sont universels dans la conclusion, alors ils doivent également être universels dans les prémisses pour que l'argument soit valide. Par conséquent, si les termes majeurs et mineurs sont particuliers dans la conclusion, alors la règle n°2 n'est pas applicable.
    3. Le moyen terme doit être universel au moins une fois. Ou, au moins un des termes moyens doit être universel.
    4. Si les prémisses sont affirmatives, alors la conclusion doit être affirmative.
    5. Si une prémisse est affirmative et l'autre négative, alors la conclusion doit être négative.
    6. L'argument est invalide lorsque les prémisses sont toutes deux négatives. C'est parce que nous ne pouvons pas tirer une conclusion valable de deux prémisses négatives.
    7. Une prémisse au moins doit être universelle.
    8. Si une prémisse est particulière, alors la conclusion doit être particulière.

    Appliquons maintenant ces 8 règles de syllogisme aux arguments ci-dessous. Colorons les termes pour éviter toute confusion. Attribuons donc la couleur rouge pour le terme majeur , bleu pour le terme mineur et violet pour le terme moyen .

    Régner #1 des 8 règles du syllogisme : Il ne devrait y avoir que trois termes dans le syllogisme, à savoir : le terme majeur, le terme mineur et le terme moyen.

    Si nous analysons le syllogisme ci-dessus, il semblerait que le l'argument est invalide car il viole la règle n°1. Comme on peut le voir, le syllogisme ci-dessus contient 4 termes car le sens du terme moyen « étoiles » dans la première prémisse est modifié dans la deuxième prémisse. Le terme « étoiles » dans la première prémisse fait référence aux corps ou objets astronomiques, tandis que le terme « étoile » dans la deuxième prémisse fait référence aux célébrités.

    Considérons un autre exemple.

    Comme on peut le voir, le syllogisme ci-dessus ne contient que trois termes. Par conséquent, ce syllogisme est valable dans le contexte de la règle #1.

    Régner #2 des 8 règles du syllogisme : Les termes majeurs et mineurs ne doivent être universels dans la conclusion que s'ils sont universels dans les prémisses.

    Comme on le voit, le terme mineur « terroriste » dans la conclusion est universel en raison du signifiant universel « non ». Et puisque le terme mineur « terroriste » dans la deuxième prémisse est universel à cause du signifiant universel « non », alors le syllogisme ci-dessus ne viole pas la règle n° 2 dans le contexte du terme mineur. Cependant, le terme majeur « brillant » dans la conclusion est universel car la proposition est négative comme nous le savons déjà, les termes prédicats de toutes les propositions négatives sont universels. Mais si nous regardons le terme majeur de la première prémisse, il est particulier car, comme nous le savons déjà, les termes prédicats de toutes les propositions affirmatives sont particuliers. À la fin, les syllogisme au dessus est invalide car cela enfreint la règle n°2. C'est ce que les logiciens appellent le « sophisme de la majeure illicite ».

    Considérons un autre exemple.

    Étant donné que le terme principal « créatif » dans la conclusion est particulier, car il s'agit d'un terme prédicat d'une proposition affirmative, il ne viole pas la règle 2 car la règle n'est pas applicable ici. Comme on peut le voir, la règle n°2 ne s'applique qu'aux termes universels mineurs et majeurs. Mais si l'on vérifie le terme mineur « gens bizarres » dans la conclusion, on apprend qu'il est universel à cause du signifiant universel all. Étant donné que le terme mineur « gens étranges » est universel dans la conclusion, il doit donc également être universel dans la deuxième prémisse pour que ce syllogisme soit valide. Si l'on regarde le terme mineur dans la seconde prémisse, il est particulier parce que c'est un terme prédicat d'une proposition affirmative. Par conséquent, au final, le syllogisme au dessus est invalide car cela enfreint la règle n°2. C'est ce que les logiciens appellent le « sophisme du mineur illicite ».

    Considérons ci-dessous un argument valide dans le contexte de la règle #2 des 8 règles du syllogisme.

    Le syllogisme au dessus est valable dans le cadre de la règle #2 des 8 règles du syllogisme car la règle #2 n'est pas violée. Comme nous pouvons le voir, le terme mineur "Greg" dans la conclusion est particulier, la règle n°2 n'est donc pas applicable. Bien sûr, si une règle n'est pas applicable, alors elle ne peut pas être violée et si aucune règle ou loi n'est violée, alors l'argument est automatiquement valide. Maintenant, si nous regardons le terme majeur « menteur » dans la conclusion, il est universel car c'est un terme prédicat d'une proposition négative. Mais parce que le terme mineur « menteur » est également universel dans la première prémisse parce que, encore une fois, c'est un terme prédicat d'une proposition négative, alors cet argument satisfait la règle #2.

    Considérons un autre argument valable dans le contexte de la règle #2 des 8 règles du syllogisme.

    Les termes mineurs et majeurs dans la conclusion du syllogisme ci-dessus sont particuliers. Pour cette raison, la règle #2 des 8 règles du syllogisme n'est pas applicable. D'où, le syllogisme est automatiquement valide dans le cadre de la règle #2 des 8 règles du syllogisme.

    Régner #3 des 8 règles du syllogisme : Le moyen terme doit être universel au moins une fois.

    Le syllogisme au dessus est valable dans le contexte de la règle #3 des 8 règles du syllogisme parce que le moyen terme « haricots » dans la première prémisse est universel. En fait, la règle #3 des 8 règles du syllogisme demande qu'au moins un des termes moyens soit universel.

    Considérons un autre exemple.

    Comme nous pouvons le voir, les deux termes moyens de la première et de la deuxième prémisse sont particuliers. Mais parce que la règle #3 des 8 règles du syllogisme demande qu'au moins un des termes moyens soit universel, alors le syllogisme au dessus est invalide.

    Régner #4 des 8 règles du syllogisme : Si les prémisses sont affirmatives, alors la conclusion doit être affirmative.

    Le syllogisme au dessus est valable car il satisfait à la règle n°4 des 8 règles du syllogisme. Comme nous pouvons le voir, les deux prémisses sont affirmatives et la conclusion est affirmative.

    Considérons un autre exemple.

    Le syllogisme au dessus est invalide car il ne satisfait pas à la règle #4 des 8 règles du syllogisme. Comme nous pouvons le voir, les deux prémisses sont affirmatives, mais la conclusion est négative.

    Régner #5 des 8 règles du syllogisme : Si une prémisse est affirmative et l'autre négative, alors la conclusion doit être négative.

    Le syllogisme au dessus est valable dans le cadre de la règle #5 des 8 règles du syllogisme. Comme nous pouvons le voir, la première prémisse est affirmative, la deuxième prémisse est négative et la conclusion est négative.

    Le syllogisme au dessus est invalide dans le cadre de la règle #5 des 8 règles du syllogisme. Comme on peut le voir, la première prémisse est affirmative, la deuxième prémisse est négative, mais la conclusion est affirmative. Par conséquent, il viole la règle #5 des 8 règles du syllogisme.

    Régner #6 des 8 règles du syllogisme : L'argument est invalide lorsque les prémisses sont toutes deux négatives.

    Évidemment, ce qui précède le syllogisme est invalide car les deux prémisses sont négatives.

    Régner #7 des 8 règles du syllogisme : Une prémisse au moins doit être universelle.

    Ce qui précède le syllogisme est valable dans le cadre de la règle #7 des 8 règles du syllogisme car elle qualifie la règle. Comme nous pouvons le voir, la première prémisse est universelle.

    Régner #8 des 8 règles du syllogisme : Si une prémisse est particulière, alors la conclusion doit être particulière.

    La première prémisse du syllogisme ci-dessus est particulière, et la conclusion est particulière aussi. Par conséquent, ce sl'yllogisme est valable dans le cadre de la règle #8 des 8 règles du syllogisme.


    Comment utiliser les tables de vérité pour analyser les arguments

    1. Symboliser chaque prémisse et la conclusion.

    2. Faites une table de vérité qui a une colonne pour chaque prémisse et une colonne pour la conclusion.

    3. Si la table de vérité a une ligne où la colonne de conclusion est FALSE alors que chaque colonne de prémisse est VRAI, alors l'argument est INVALID. Sinon, l'argument est VALIDE.

    Principe fondamental de l'argumentation

    Un argument est INVALIDE si et seulement s'il est logiquement possible que la conclusion soit fausse même si chaque prémisse est supposée vraie.

    Exemple 1

    Utilisez une table de vérité pour tester la validité de l'argument suivant.

    Si vous investissez dans la Gomermatic Corporation, vous devenez riche.
    Vous n'avez pas investi dans la Gomermatic Corporation.
    Par conséquent, vous n'êtes pas devenu riche.

    Exemple 2

    Utilisez une table de vérité pour tester la validité de l'argument suivant.

    Si vous êtes un chien de chasse, alors vous hurlez à la lune.
    Tu ne hurles pas à la lune.
    Par conséquent, vous n'êtes pas un chien de chasse.

    Exemple 3

    Utilisez une table de vérité pour tester la validité de l'argument suivant.

    Si j'entre dans la tanière des caniches, alors je porterai mon aiguillon électrique à caniche ou ma boîte de macis.
    Je porte mon aiguillon électrique pour caniche mais pas ma boîte de macis.
    Par conséquent, je vais entrer dans la tanière des caniches.

    Exemple 4

    Testez la validité de l'argument suivant.

    J'achèterai une chèvre neuve ou une Yugo d'occasion.
    Si j'achète à la fois une chèvre neuve et une Yugo d'occasion, j'aurai besoin d'un prêt.
    J'ai acheté une Yugo d'occasion et je n'ai pas besoin de prêt.
    Par conséquent, je n'ai pas acheté de nouvelle chèvre.

    Exemple 5

    Testez la validité de l'argument suivant.

    Socrate a une nouvelle toge ou il n'a pas gaspillé 30 drachmes.
    Platon a une livre de fromage feta ou un litre d'huile d'olive.
    Socrate a gaspillé 30 drachmes et Platon n'a pas une livre de feta.
    Par conséquent, Socrate a une nouvelle toge et Platon a un litre d'huile d'olive.


    2.7 : Validité des arguments et erreurs courantes - Mathématiques

    Contenu
    1. Erreurs informelles
    2. Déductif ou inductif ?
    3. Détecter les erreurs dans les arguments inductifs
    4. Validité et invalidité dans les arguments déductifs
    5. Contester des arguments valides et solides
    6. Faible critique : erreurs courantes dans la réponse aux arguments
    7. La valeur de la critique interne
    8. La valeur de connaître les points de vue alternatifs

    Pour certains étudiants, il s'agira surtout d'un bilan et d'un rappel. (Les rappels ne peuvent être bénéfiques que s'ils affectent l'action !)

    La meilleure façon d'apprendre à évaluer les arguments est probablement de suivre un cours de logique et, pendant le cours, de s'appliquer à acquérir les compétences comme si votre vie allait en dépendre. (S'il est vrai que la vie non examinée ne vaut pas la peine d'être vécue, alors quelque chose de plus important que la simple vie en dépend, à savoir le bien-être de votre esprit !)

    Puisqu'il est impossible qu'une brève page Web remplace un cours de logique, tout ce que je peux faire ici est de faire des suggestions, donner des rappels et peut-être suggérer des lectures supplémentaires.

    Une fois que vous avez décomposé l'argument le plus complexe que vous souhaitez évaluer en ses arguments "simples" (voir Argument Analysis (2006 Version)), vous pouvez poser certaines questions pointues sur les arguments "simples" qui constituent le plus complexe.

    Erreurs informelles

    Parfois, vous pouvez découvrir l'une des nombreuses erreurs informelles qui se produisent si souvent qu'elles ont reçu des noms et sont discutées dans la plupart des manuels d'introduction à la logique et dans les chapitres sur la logique des manuels d'introduction à la philosophie. Ceux-ci entrent dans quelques catégories principales, telles que les erreurs de pertinence (telles que le mouvement en marche, l'appel illégitime à l'autorité, Ad Hominem, l'appel illégitime à la pitié, etc.) et les erreurs d'ambiguïté (équivoque, amphibole, composition, division).

    Les meilleurs philosophes sont conscients de ces types d'erreurs et font un effort particulier pour les éviter. De telles erreurs se produisent plus souvent dans l'argumentation informelle, dans le débat politique et dans la publicité. (Cela ne signifie pas que les philosophes y sont entièrement immunisés.)

    Déductif ou Inductif ?

    Vous devrez probablement décider si l'auteur souhaite que l'argument soit un argument déductif ou inductif. L'auteur entend-il que les prémisses impliquent la conclusion avec nécessité ? (Si oui, traitez l'argument comme déductif.) Ou l'auteur a-t-il l'intention que les prémisses rendent la conclusion probable ? (Si oui, traitez l'argument comme inductif.)

    Arguments inductifs

    Si l'argument est un argument inductif, la question générale que vous devriez vous poser est de savoir si les prémisses, en supposant leur vérité, donnent le degré de soutien probable à la conclusion que l'auteur semble prétendre ? (Les prémisses pourraient donner un peu de soutien à la conclusion, mais pas autant que l'auteur veut nous le faire croire.)

    Si l'argument inductif est un argument causal, faites attention aux erreurs courantes du raisonnement causal, telles que Après ceci donc à cause de cela .

    Si l'argument inductif essaie de raisonner à partir d'un fait, supposé être un effet de quelque chose d'autre, jusqu'à sa prétendue cause, nous sommes probablement confrontés à un type d'argument connu sous le nom de L'argument pour la meilleure explication. Mais ce qui semble être une explication d'un fait (ou quelque chose qui est censé être un fait à des fins d'évaluation) peut expliquer le fait sans être la meilleure explication disponible. S'il y a de meilleures explications, l'argument particulier de l'effet à la cause peut être faible.

    Si l'argument inductif tire une conclusion générale à partir de prémisses concernant des détails, faites attention au sophisme de la généralisation hâtive.

    Un autre style d'argument inductif est l'argument de l'analogie : les arguments analogiques peuvent être faibles de diverses manières. (Voir un texte logique pour plus de détails.)

    Arguments déductifs

    Vérifiez la validité. Un argument déductif est valable au cas où si les prémisses étaient vraies, alors la conclusion doit être vraie. Sinon, l'argument déductif est invalide.

    Validité formelle. Parfois, la validité d'un argument résulte de sa forme logique : par exemple, les syllogismes catégoriques qui ont la forme suivante sont valides : tous les M sont P
    Tous les S sont M
    :.Tous les S sont P

    Sous la forme symbolique des syllogismes catégoriques, les lettres représentent des « catégories » ou des descriptions générales (généralement désignées par des noms ou des phrases nominales). Ainsi, "S" pourrait signifier les humains, "M" pourrait signifier les mammifères et "P" les êtres mortels.

    Si p, alors q
    p
    :.q

    Dans la forme symbolique de ces syllogismes, les lettres représentent des déclarations (également appelées « propositions »). Ainsi, « p » et « q » pourraient signifier « il pleut » et « le sol est mouillé », respectivement.

    Les formes déductives suivantes sont deux des nombreuses formes invalides :

    Tous les P sont M
    Tous les S sont M
    :.Tous les S sont P

    Si p, alors q
    q
    :.p

    Un argument valide est un argument déductif dont la vérité des prémisses nécessiterait la vérité de la conclusion. Un argument fort est un argument inductif dont la véracité des prémisses donnerait autant d'appui probable à la conclusion que le prétend l'auteur.

    De tels arguments peuvent encore être erronés si leurs prémisses sont fausses. Ainsi, ils peuvent être contestés par de bons arguments qui démontrent la fausseté d'une ou plusieurs de leurs prémisses.

    On peut parfois construire des arguments inductifs pour des conclusions à l'effet qu'une prémisse dans l'argument d'une autre personne est fausse. (Ce type de raisonnement se produit dans la recherche historique ou scientifique, le journalisme d'investigation, le travail de détective, l'argumentation juridique, le raisonnement moral et le plaidoyer politique.)

    Si la prémisse est une déclaration générale de la forme "Tous les S sont P" ou "Aucun S n'est P" (ou diverses formes parallèles telles que "Quand S se produit, P se produit" ou "Chaque fois que S se produit, P ne se produit pas" ), vous pouvez le réfuter en découvrant un contre-exemple. "Tous les S sont P", par exemple, est réfuté par la découverte d'un S qui n'est pas un P.

    Si la prémisse est conçue comme une définition, et basée sur le sens ordinaire du terme, vous pouvez contester la définition en produisant un contre-exemple . (« Un célibataire est un mâle adulte non marié » est réfuté en mentionnant un chat mâle, que nous n'appellerions jamais littéralement un célibataire. Mais ce contre-exemple serait inefficace contre « Un célibataire est un mâle humain adulte non marié. »)

    1. Refus non étayé de la conclusion.

    2. Faites appel à une simple opinion ou à un sentiment.

    3. Déni de conclusion étayé par un motif dont la signification pour la position de l'auteur critiqué n'est pas examinée.

    La critique interne ne cherche pas à réfuter directement la conclusion de l'auteur. Cela montre plutôt que, du point de vue de l'auteur elle-même, elle aurait dû ou aurait pu tirer une conclusion différente. Peut-être utilise-t-elle une hypothèse non énoncée qui est fausse ou peut-être fausse et, si une hypothèse vraie ou plus probablement vraie lui était substituée, la conclusion de l'auteur ne suivrait pas et une conclusion différente pourrait être prouvée.

    La critique interne n'exclut pas de développer un argument alternatif, avec plusieurs prémisses nouvelles (constituant une théorie rivale), dont la conclusion contredit la conclusion de l'auteur critiqué. La critique interne peut préparer le terrain pour le développement d'une nouvelle théorie rivale, ou si la théorie rivale existe déjà, pour l'appréciation des forces de cette théorie.

    Les philosophes et les étudiants en philosophie d'aujourd'hui n'ont pas à réinventer la roue lorsqu'ils sont confrontés à des positions superficiellement convaincantes mais imparfaites. (Un point parallèle peut être fait pour les raisonneurs moraux et les étudiants en éthique d'aujourd'hui.) Ces positions existent probablement depuis un certain temps et ont attiré des critiques antérieures. En évaluant un argument, il est utile de connaître les penseurs qui l'ont évalué de manière critique dans sa première incarnation. On peut souvent utiliser les idées des critiques antérieurs, ou les adapter pour une utilisation aujourd'hui. (L'exemple qui suit concerne un débat métaphysique et épistémologique.)

    Par exemple, dans son dialogue Le Phédon Platon essaie de montrer que l'âme est séparable du corps. Il entend prouver plus tard qu'il est immortel. Il argumente en faveur de sa conclusion à partir des prémisses que (1) nous avons des notions générales (disons, d'égalité et de beauté)

    (2) nous n'aurions pas pu les obtenir de l'expérience sensorielle

    (3) la seule expérience que nous ayons eue depuis que nous sommes dans notre corps actuel est l'expérience sensorielle

    (4) pour toute notion que nous avons, soit nous l'avons obtenue à partir de l'expérience sensorielle, soit indépendamment de l'expérience sensorielle lorsque nous étions libres de notre corps.

    L'exemple de la réponse d'Aristote à Platon illustre également l'importance de la créativité philosophique. À l'époque où Platon soutenait que l'âme existait dans un état hors du corps avant cette vie, il ne semblait pas avoir parmi ses outils philosophiques la théorie générale des formes à l'intérieur de la matière à partir de laquelle quelque chose comme des copies intelligibles pourrait être abstraite et " stockées", pour ainsi dire, comme des notions mentales. Apparemment, Aristote lui-même a créé cet outil conceptuel, en partie en réponse à son mécontentement à l'égard des aspects de la philosophie de Platon. Grâce à Aristote, nous pouvons montrer comment les humains acquièrent des notions générales même si leur âme n'a jamais existé dans un état antérieur hors du corps. Nous montrons simultanément que l'argument (attribué à Platon) ci-dessus pour la séparabilité de l'âme ne repose pas sur des prémisses à l'abri d'une sérieuse contestation.


    2.7 : Validité des arguments et erreurs courantes - Mathématiques

    Les sujets traités ici sont des erreurs que les étudiants commettent souvent en faisant de l'algèbre, et pas seulement des erreurs généralement commises dans un cours d'algèbre. J'ai vu chacune de ces erreurs commises par des élèves de tous les niveaux de cours, des cours d'algèbre aux cours de mathématiques de niveau supérieur ! En fait, quelques-uns des exemples de cette section proviendront en réalité du calcul.

    Si vous n'avez pas fait de calcul, vous pouvez ignorer ces exemples. Dans tous les cas où j'ai donné des exemples, j'ai essayé d'inclure des exemples d'un cours d'algèbre ainsi que l'exemple d'occasion de cours de niveau supérieur comme le calcul.

    Je suis convaincu que bon nombre des erreurs indiquées ici sont causées par des personnes paresseuses ou pressées et ne faisant pas attention à ce qu'elles font. En ralentissant, en faisant attention à ce que vous faites et en faisant attention à une notation correcte, vous pouvez éviter la grande majorité de ces erreurs !

    Division par zéro

    Tout le monde sait que (frac<0> <2>= 0) le problème est que beaucoup trop de gens disent aussi que (frac<2> <0>= 0) ou (frac<2> <0>= 2) ! N'oubliez pas que la division par zéro n'est pas définie ! Vous ne pouvez tout simplement pas diviser par zéro, alors ne le faites pas !

    Voici un très bon exemple des types de dégâts qui peuvent survenir lorsque vous divisez par zéro. Voyez si vous pouvez trouver l'erreur que j'ai faite dans le travail ci-dessous.

    1. (a = b) Nous commencerons par supposer que cela est vrai.
    2. (ab = ) Multipliez les deux côtés par une.
    3. (un B - = - ) Soustraire () des deux côtés.
    4. (bgauche( ight) = left( droite gauche( ight)) Factoriser les deux côtés.
    5. (b = a + b) Divisez les deux côtés par (a - b).
    6. (b = 2b) Rappelons que nous avons commencé en supposant (a = b).
    7. (1 = 2) Divisez les deux côtés par b.

    Nous avons donc réussi à prouver que 1 = 2 ! Maintenant, nous savons que ce n'est pas vrai si clairement que nous avons fait une erreur quelque part. Pouvez-vous voir où l'erreur a été commise?

    L'erreur était à l'étape 5. Rappelez-vous que nous avons commencé avec l'hypothèse (a = b). Cependant, si cela est vrai alors nous avons (a - b = 0) ! Donc, à l'étape 5, nous divisons vraiment par zéro !

    Cette simple erreur nous a conduit à quelque chose que nous savions être faux, cependant, dans la plupart des cas, votre réponse ne sera évidemment pas fausse. Il ne sera pas toujours clair que vous divisez par zéro, comme ce fut le cas dans cet exemple. Vous devez être à l'affût de ce genre de chose.

    N'oubliez pas que vous NE POUVEZ PAS diviser par zéro !

    Parenthèse mauvaise/perdue/supposée

    C'est probablement l'erreur que je trouve la plus frustrante. Il y a quelques erreurs que les gens commettent couramment ici.

    La première erreur est que les gens deviennent paresseux et décident que les parenthèses ne sont pas nécessaires à certaines étapes ou qu'ils peuvent se rappeler que les parenthèses sont censées être là. Bien sûr, le problème ici est qu'ils ont souvent tendance à les oublier à l'étape suivante !

    L'autre erreur est que les étudiants ne comprennent parfois pas à quel point les parenthèses sont vraiment importantes. Cela se voit souvent dans les erreurs commises dans l'exponentiation, comme le montrent mes premiers exemples.

    Notez la différence très importante entre ces deux ! Lorsque vous traitez avec des exposants, rappelez-vous que seule la quantité immédiatement à gauche de l'exposant obtient l'exposant. Ainsi, dans le cas incorrect, le X est la quantité immédiatement à gauche de l'exposant, donc nous ne cadrons que le X alors que le 4 n'est pas au carré. Dans le cas correct, la parenthèse est immédiatement à gauche de l'exposant, ce qui signifie que tout ce qui se trouve à l'intérieur de la parenthèse doit être au carré !

    Les parenthèses sont nécessaires dans ce cas pour s'assurer que nous cadrons le tout, pas seulement le X, alors ne les oubliez pas !

    Celui-ci est similaire au précédent, mais a une subtilité qui pose des problèmes à l'occasion. Rappelez-vous que seule la quantité à gauche de l'exposant obtient l'exposant. Donc, dans le cas incorrect, SEUL le 3 est à gauche de l'exposant et donc SEUL le 3 est au carré !

    Beaucoup de gens savent que techniquement, ils sont censés être au carré -3, mais ils deviennent paresseux et n'écrivent pas la parenthèse en partant du principe qu'ils se souviendront d'eux lorsque le moment sera venu de l'évaluer. However, it’s amazing how many of these folks promptly forget about the parenthesis and write down -9 anyway!

    Be careful and note the difference between the two! In the first case I put parenthesis around then (4x - 5) and in the second I didn’t. Since we are subtracting a polynomial we need to make sure we subtract the WHOLE polynomial! The only way to make sure we do that correctly is to put parenthesis around it.

    Again, this is one of those errors that people do know that technically the parenthesis should be there, but they don’t put them in and promptly forget that they were there and do the subtraction incorrectly.

    This comes back to same mistake in the first two. If only the quantity to the left of the exponent gets the exponent. So, the incorrect case is really (7<2>>> = 7sqrt x ) and this is clearly NOT the original root.

    Note the use of the parenthesis. The problem states that it is -3 times the WHOLE integral not just the first term of the integral (as is done in the incorrect example).

    Improper Distribution

    Be careful when using the distribution property! There two main errors that I run across on a regular basis.

    Make sure that you distribute the 4 all the way through the parenthesis! Too often people just multiply the first term by the 4 and ignore the second term. This is especially true when the second term is just a number. For some reason, if the second term contains variables students will remember to do the distribution correctly more often than not.

    Remember that exponentiation must be performed BEFORE you distribute any coefficients through the parenthesis!

    Additive Assumptions

    I didn’t know what else to call this, but it’s an error that many students make. Here’s the assumption. Since (2left( ight) = 2x + 2y) then everything works like this. However, here is a whole list in which this doesn’t work.

    [ ight)^2> e + ] [sqrt e sqrt x + sqrt y ] [frac<1><> e frac<1> + frac<1>] [cos left( ight) e cos x + cos y]

    It’s not hard to convince yourself that any of these aren’t true. Just pick a couple of numbers and plug them in! For instance,

    You will find the occasional set of numbers for which one of these rules will work, but they don’t work for almost any randomly chosen pair of numbers.

    Note that there are far more examples where this additive assumption doesn’t work than what I’ve listed here. I simply wrote down the ones that I see most often. Also, a couple of those that I listed could be made more general. For instance,

    Canceling Errors

    These errors fall into two categories. Simplifying rational expressions and solving equations. Let’s look at simplifying rational expressions first.

    Notice that in order to cancel the (x) out of the denominator I first factored an (x) out of the numerator. You can only cancel something if it is multiplied by the WHOLE numerator and denominator, or if IS the whole numerator or denominator (as in the case of the denominator in our example).

    Contrast this with the next example which contains a very common error that students make.

    Far too many students try to simplify this as,

    In other words, they cancel the (x) in the denominator against only one of the (x)’s in the numerator (c'est à dire. cancel the (x) only from the first term or only from the second term). THIS CAN’T BE DONE. In order to do this canceling you MUST have an (x) in both terms.

    To convince yourself that this kind of canceling isn’t true consider the following number example.

    This can easily be done just be doing the arithmetic as follows

    However, let’s do an incorrect cancel similar to the previous example. We’ll first cancel the two in the denominator into the eight in the numerator. This is NOT CORRECT, but it mirrors the canceling that was incorrectly done in the previous example. This gives,

    Clearly these two aren’t the same! So you need to be careful with canceling!

    Now, let’s take a quick look at canceling errors involved in solving equations.

    Too many students get used to just canceling (i.e. simplifying) things to make their life easier. So, the biggest mistake in solving this kind of equation is to cancel an (x) from both sides to get,

    [2x = 1 hspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>x = frac<1><2>]

    While, (x = frac<1><2>) is a solution, there is another solution that we’ve missed. Can you see what it is? Take a look at the next example to see what it is.

    Here’s the correct way to solve this equation. First get everything on one side then factor!

    From this we can see that either,

    [x = 0 hspace <0.5in>mbox hspace <0.5in>2x - 1 = 0]

    In the second case we get the (x = frac<1><2>) we got in the first attempt, but from the first case we also get (x = 0) that we didn’t get in the first attempt. Clearly (x = 0) will work in the equation and so is a solution!

    We missed the (x = 0) in the first attempt because we tried to make our life easier by “simplifying” the equation before solving. While some simplification is a good and necessary thing, you should NEVER divide out a term as we did in the first attempt when solving. If you do this, you WILL lose solutions.

    Proper Use of Square Root

    There seems to be a very large misconception about the use of square roots out there. Students seem to be under the misconception that

    This is not correct however. Square roots are ALWAYS positive or zero! So the correct value is

    This is the ONLY value of the square root! If we want the -4 then we do the following

    [ - sqrt <16>= - left( > ight) = - left( 4 ight) = - 4]

    Notice that I used parenthesis only to make the point on just how the minus sign was appearing! In general, the middle two steps are omitted. So, if we want the negative value we have to actually put in the minus sign!

    I suppose that this misconception arises because they are also asked to solve things like ( = 16). Clearly the answer to this is (x = pm ,4) and often they will solve by “taking the square root” of both sides. There is a missing step however. Here is the proper solution technique for this problem.

    Note that the ( pm ) shows up in the second step before we actually find the value of the square root! It doesn’t show up as part of taking the square root.

    I feel that I need to point out that many instructors (including myself on occasion) don’t help matters in that they will often omit the second step and by doing so seem to imply that the ( pm ) is showing up because of the square root.

    So, remember that square roots ALWAYS return a positive answer or zero. If you want a negative you’ll need to put it in a minus sign BEFORE you take the square root.

    Ambiguous Fractions

    This is more a notational issue than an algebra issue. I decided to put it here because too many students come out of algebra classes without understanding this point. There are really three kinds of “bad” notation that people often use with fractions that can lead to errors in work.

    The first is using a “/” to denote a fraction, for instance 2/3. In this case there really isn’t a problem with using a “/”, but what about 2/3(x)? This can be either of the two following fractions.

    It is not clear from 2/3(x) which of these two it should be! You, as the student, may know which one of the two that you intended it to be, but a grader won’t. Also, while you may know which of the two you intended it to be when you wrote it down, will you still know which of the two it is when you go back to look at the problem when you study?

    You should only use a “/” for fractions when it will be clear and obvious to everyone, not just you, how the fraction should be interpreted.

    The next notational problem I see fairly regularly is people writing,

    It is not clear from this if the (x) belongs in the denominator or the fraction or not. Students often write fractions like this and usually they mean that the (x) shouldn’t be in the denominator. The problem is on a quick glance it often looks like it should be in the denominator and the student just didn’t draw the fraction bar over far enough.

    If you intend for the (x) to be in the denominator then write it as such that way, (frac<2><<3x>>), c'est à dire. make sure that you draw the fraction bar over the WHOLE denominator. If you don’t intend for it to be in the denominator then don’t leave any doubt! Write it as (frac<2><3>x).

    The final notational problem that I see comes back to using a “/” to denote a fraction, but is really a parenthesis problem. This involves fractions like

    Often students who use “/” to denote fractions will write this is fraction as

    These students know that they are writing down the original fraction. However, almost anyone else will see the following

    This is definitely NOT the original fraction. So, if you MUST use “/” to denote fractions use parenthesis to make it clear what is the numerator and what is the denominator. So, you should write it as


    Introduction

    This topic brings out the important part of categorical syllogism, which helps to determine the validity of arguments. In this blog post, we have tried to cover the basic concepts of Venn Diagrams along with the steps of validating the arguments with the help of rules /sets of arguments.

    The standard dictionary meaning of the argument is “Discussion where there is disagreement”.

    In other words, we can say if the conclusion of an argument is guaranteed, the argument is valid and if it’s not guaranteed the argument is invalid.

    Saying that an argument is valid does not mean that the conclusion is true: We verify the situation by an example. Consider two premises 1. All doctors are men, 2. My mother is a doctor. Then the valid argument “My mother is a man” is not a true conclusion.

    Saying that an argument is invalid does not mean that the conclusion is false. We verify the situation also by an example. Consider two premises 1. All professional wrestlers are actors, 2. The Rock is an actor. Then the invalid argument “the Rock is a professional wrestler”, may not be false.

    We will verify valid and invalid arguments and conclusions with Venn diagram.

    What are Venn diagrams?

    A Venn diagram uses overlapping circles or other shapes to illustrate the logical relationships between two or more sets of items. Often, they serve to graphically organize things, highlighting how the items are similar and different.

    Venn diagrams are named after British logician John Venn.

    Venn diagrams, also called Set diagrams or Logic diagrams, are widely used in mathematics, statistics, logic, teaching, linguistics, computer science and business. Many people first encounter them in school as they study math in set theory syllabus.

    Venn diagram use cases

    1. Math: Venn diagrams are commonly used in school to teach basic math concepts such as sets, unions and intersections.
    2. Statistics and probability: Statistics experts use Venn diagrams to predict the likelihood of certain occurrences. This ties in with the field of predictive analytics. Different data sets can be compared to find degrees of commonality and differences.
    3. Logic: Venn diagrams are used to determine the validity of particular arguments and conclusions. In deductive reasoning, if the premises are true and the argument form is correct, then the conclusion must be true.

    Deductive Logic and Validity

    Let’s first understand the concept of the validity of deductive arguments.

    Deductive arguments are arguments wherein the conclusion is necessarily true (assuming true premises and a valid form).

    In other words, it is impossible to have a situation where:

    (1) the premises of the argument are true, and

    (2) the form of the argument is valid, and

    (3) the conclusion is false.

    The reason for this is very simple: the conclusion of a deductive argument does not contain any new information –it is already contained (in some implicit form) in the premises itself.

    An example of an argument using deductive arguments:

    1. All men are mortal. (First premise)
    2. Socrates is a man. (Second premise)
    3. Therefore, Socrates is mortal. (Conclusion)

    The first premise states that all objects classified as “men” have the attribute “mortal.” The second premise states that “Socrates” is classified as a “man” – a member of the set “men.” The conclusion then states that “Socrates” must be “mortal” because he inherits this attribute from his classification as a “man.”

    Further, we can see from the above that the concept of validity is very important for deductive arguments. The conclusion is guaranteed to be true only if the form of the argument is valid and the premises are true.

    Also, NOTE: validity and invalidity apply only to deductive arguments. Inductive arguments are neither valid nor invalid.

    Testing Validity Using Venn’s Diagrams

    So, what is validity? Questions of validity are purely formal. In testing for validity, we are not in any way concerned with the actual content of an argument. We are only concerned with its form –the way in which the premises are supposed to provide support for the conclusion.

    This is usually performed with the help of abstraction step to the replacement of particular content with variables (In Most Cases Alphabets such as A, B, C, D…) and arrange them in the same specific form.

    Let’s talk above example again –

    1. All men are mortal. (First premise)
    1. Socrates is a man. (Second premise)
    2. Therefore, Socrates is mortal. (Conclusion)

    Note the content of argument we are talking about – > Men = (A), Mortal = (B) and Socrates = (C).

    Now arranging the variable in the same form: –

    Once we have the argument translated into the variable form we are going to ask a simple question: given that the premises are true, does the conclusion necessarily follow?

    If you have categorical syllogisms, then you test this question by using Venn Diagrams. If you have compound statements using logical operators, then you use Truth Tables. We are going to look only at Venn Diagrams here, but the basic principle is the same: assuming that the premises are true, does the conclusion necessarily follow?

    Venn Diagrams types and Validity

    In most of the examination, the question asked from this topic will be based on 2 or 3 term arguments.

    As there are some severe limitations to their usefulness as the number of terms grows. First, while it is possible to construct a 16 region Venn-type diagram for a 4 term argument, and even a 32 region diagram for a 5 term argument, those diagrams are almost impossible to read or use. What is more, it is impossible to construct a 64 region diagram for a 6 term argument–there is no way to get exactly the right 64 regions in a 2-dimensional diagram

    You must remember the old school formula –

    n ( A ∪ B) = n(A ) + n ( B ) – n ( A∩ B)
    n (A ∪ B ∪ C) = n(A ) + n ( B ) + n (C) – n ( A ∩ B) – n ( B ∩ C) – n ( C ∩ A) + n (A ∩ B ∩ C )

    To test the validity of a categorical syllogism, one can use the method of Venn diagrams. Since a categorical syllogism has three terms, we need a Venn diagram using three intersecting circles, one representing each of the three terms in a categorical syllogism.

    A three-term diagram has eight regions (the number of regions being 2n where n is the number of terms).

    So far in the NET Examination, we have seen question-based on CATEGORICAL SYLLOGISM so we will restrict our details for solving the Categorical Syllogism based question only.

    Covering the entire concept of Syllogism is beyond the scope of this article and we would see only important concepts such as –

    1. Four (and only four) basic categorical claims.
    2. Diagramming Categorical Syllogisms (DCS) & Some rules of translation along with shading an area
    3. And Finally Validate the argument.
    Four Types of basic categorical claims.
    1. Universal Affirmative. – Example- all humans are animals (This is not reversible relationship)
    2. Universal Negative. – Example- No A Are B (Note that this is reversible:e. No B Are A is also true)
    3. Particular Affirmative. Example- Some humans are rational)
    4. Particular Negative. Example – Some humans are not reptilian

    Diagramming Categorical Syllogisms (DCS).

    Heads up! You can use various online available tool to create Venn diagram

    Canva’s Venn diagram maker is the easiest way to make a Venn diagram online. Start by choosing a template – they’ve got hundreds of Venn diagram examples to choose from. With a suite of easy to use design tools, you have complete control over the way it looks.

    First, translate the argument into a categorical structure. This involves identifying the categories that are being related to one another, and the manner of relation (Universal Affirmation, Universal Negation, Particular Affirmation, and Particular Negation).

    Step 2 –
    Replace categories with variables.[See example above]

    Then, after step two, we are ready for the process of diagramming. The process of diagramming is again very simple. We use overlapping circles to represent the various categories and their interrelation. Since all categorical syllogisms will have three (and only three) categories, there will always be three circles.

    Shading and Putting and X

    Shading is only used when dealing with All and No claims (Universal affirmation and negation), putting an X is used only when dealing with Some are and some are not claims (Particular affirmation and negation).

    In step three we shade the area where all the ALL or NO claims found in the argument, note that you should always start with ALL and NO claims.

    In step four we put ‘X’ in the area where the ‘Some’ or ‘Some are NOT’ claims found in the argument, note that you should always start with ALL and NO claims.

    Now, you check for validity. Note, that you only diagram the premises. After having diagramed the premises, the conclusion should be evident. If it is not evident, if you have to do more work to make the conclusion evident, then the argument is clearly invalid.

    So, Determining Validity with Venn Diagrams works through

    If the conclusion is true in the diagram, the syllogism is valid if not, not.

    Solved Example

    1. People who shave their legs don’t wear ties.
    2. All cyclists shave their legs.
    3. Therefore, no cyclist wears a tie.

    Let’s put them in Standard form and replace with variables

    1. No leg shavers are tie wearers. – No L Are T
    2. All cyclists are leg shavers. – All C are L
    3. Therefore, no cyclists are tie wearers. – Therefore No C are T

    If both our premises are universal, as in this argument, we can diagram either premise first. So let’s diagram the minor premise:

    Now we look to see if the content of the conclusion is already there

    But we see that the shaded region here was shaded automatically when we diagrammed the premises. So the argument is valid.

    Heads up! There is another type of question-based on the formula of Sets and Venn Diagrams were asked previously so its worth to add here.

    Question: A school has 63 students studying Physics, Chemistry and Biology. 33 study Physics, 25 studies Chemistry and 26 Biology. 10 study both Physics and Chemistry, 9 study Biology and Chemistry, while 8 study both Physics and Biology. Equal numbers study all three subjects as those who learn none of the three. How many students study all three subjects?

    From the given problem above, it is a Venn Diagram Problem because it involves the intersection or mutual items of the sets. Consider the figure below

    Venn diagram problem
    P only=33-18-x
    B only =26-17-x
    C only =25-19-x
    15-x+9-x+6-x+8+10+9+x=63
    -2x=63
    X=-3
    Which means you have to work with 3 in the middle


    2.7: Validity of arguments and common errors - Mathematics

    We’ve called this section Intervals of Validity because all of the examples will involve them. However, there is a lot more to this section. We will see a couple of theorems that will tell us when we can solve a differential equation. We will also see some of the differences between linear and nonlinear differential equations.

    First let's take a look at a theorem about linear first order differential equations. This is a very important theorem although we’re not going to really use it for its most important aspect.

    Théorème 1

    Consider the following IVP.

    [y' + pleft( t ight)y = gleft( t ight)hspace<0.25in>yleft( <> ight) = ]

    If (p(t)) and (g(t)) are continuous functions on an open interval (alpha < t < eta ) and the interval contains (t_), then there is a unique solution to the IVP on that interval.

    So, just what does this theorem tell us? First, it tells us that for nice enough linear first order differential equations solutions are guaranteed to exist and more importantly the solution will be unique. We may not be able to find the solution but do know that it exists and that there will only be one of them. This is the very important aspect of this theorem. Knowing that a differential equation has a unique solution is sometimes more important than actually having the solution itself!

    Next, if the interval in the theorem is the largest possible interval on which (p(t)) and (g(t)) are continuous then the interval is the interval of validity for the solution. This means, that for linear first order differential equations, we won't need to actually solve the differential equation in order to find the interval of validity. Notice as well that the interval of validity will depend only partially on the initial condition. The interval must contain (t_), but the value of (y_), has no effect on the interval of validity.

    Let’s take a look at an example.

    First, in order to use the theorem to find the interval of validity we must write the differential equation in the proper form given in the theorem. So we will need to divide out by the coefficient of the derivative.

    Next, we need to identify where the two functions are not continuous. This will allow us to find all possible intervals of validity for the differential equation. So, (p(t)) will be discontinuous at (t = pm ,3) since these points will give a division by zero. Likewise, (g(t)) will also be discontinuous at (t = pm ,3) as well as (t = 5) since at this point we will have the natural logarithm of zero. Note that in this case we won't have to worry about natural log of negative numbers because of the absolute values.

    Now, with these points in hand we can break up the real number line into four intervals where both (p(t)) and (g(t)) will be continuous. These four intervals are,

    [ - infty < t < - 3hspace <0.25in>- 3 < t < 3hspace<0.25in>3 < t < 5hspace<0.25in>5 < t < infty ]

    The endpoints of each of the intervals are points where at least one of the two functions is discontinuous. This will guarantee that both functions are continuous everywhere in each interval.

    Finally, let's identify the actual interval of validity for the initial value problem. The actual interval of validity is the interval that will contain (t_ = 4). So, the interval of validity for the initial value problem is.

    In this last example we need to be careful to not jump to the conclusion that the other three intervals cannot be intervals of validity. By changing the initial condition, in particular the value of (t_), we can make any of the four intervals the interval of validity.

    The first theorem required a linear differential equation. There is a similar theorem for non-linear first order differential equations. This theorem is not as useful for finding intervals of validity as the first theorem was so we won’t be doing all that much with it.

    Théorème 2

    Consider the following IVP.

    If (f(t,y)) and (frac<><>) are continuous functions in some rectangle (alpha < t < eta ), (gamma < y < delta ) containing the point ((t_, y_)) then there is a unique solution to the IVP in some interval (t_– h < t < t_ + h) that is contained in (alpha < t < eta ).

    That’s it. Unlike the first theorem, this one cannot really be used to find an interval of validity. So, we will know that a unique solution exists if the conditions of the theorem are met, but we will actually need the solution in order to determine its interval of validity. Note as well that for non-linear differential equations it appears that the value of (y_<0>) may affect the interval of validity.

    Here is an example of the problems that can arise when the conditions of this theorem aren’t met.

    First, notice that this differential equation does NOT satisfy the conditions of the theorem.

    So, the function is continuous on any interval, but the derivative is not continuous at (y = 0) and so will not be continuous at any interval containing (y = 0). In order to use the theorem both must be continuous on an interval that contains (y_ = 0) and this is problem for us since we do have (y_ = 0).

    Now, let’s actually work the problem. This differential equation is separable and is fairly simple to solve.

    Applying the initial condition gives (c = 0) and so the solution is.

    So, we’ve got two possible solutions here, both of which satisfy the differential equation and the initial condition. There is also a third solution to the IVP. (y(t) = 0) is also a solution to the differential equation and satisfies the initial condition.

    In this last example we had a very simple IVP and it only violated one of the conditions of the theorem, yet it had three different solutions. All the examples we’ve worked in the previous sections satisfied the conditions of this theorem and had a single unique solution to the IVP. This example is a useful reminder of the fact that, in the field of differential equations, things don’t always behave nicely. It’s easy to forget this as most of the problems that are worked in a differential equations class are nice and behave in a nice, predictable manner.

    Let’s work one final example that will illustrate one of the differences between linear and non-linear differential equations.

    Before proceeding in this problem, we should note that the differential equation is non-linear and meets both conditions of the Theorem 2 and so there will be a unique solution to the IVP for each possible value of (y_).

    Also, note that the problem asks for any dependence of the interval of validity on the value of (y_). This immediately illustrates a difference between linear and non-linear differential equations. Intervals of validity for linear differential equations do not depend on the value of (y_). Intervals of validity for non-linear differential can depend on the value of (y_) as we pointed out after the second theorem.

    So, let’s solve the IVP and get some intervals of validity.

    First note that if (y_ = 0) then (y(t) = 0) is the solution and this has an interval of validity of

    So, for the rest of the problem let's assume that ( e 0). Now, the differential equation is separable so let's solve it and get a general solution.

    Applying the initial condition gives

    Now that we have a solution to the initial value problem we can start finding intervals of validity. From the solution we can see that the only problem that we’ll have is division by zero at

    This leads to two possible intervals of validity.

    That actual interval of validity will be the interval that contains (t_ = 0). This however, depends on the value of (y_). If (y_ < 0 ) then (frac<1><<>> < 0) and so the second interval will contain (t_ = 0). Likewise, if (y_ > 0) then (frac<1><<>> > 0) and in this case the first interval will contain (t_ = 0).

    This leads to the following possible intervals of validity, depending on the value of (y_).

    On a side note, notice that the solution, in its final form, will also work if (y_ = 0).

    So, what did this example show us about the difference between linear and non-linear differential equations?

    First, as pointed out in the solution to the example, intervals of validity for non-linear differential equations can depend on the value of (y_), whereas intervals of validity for linear differential equations don’t.

    Second, intervals of validity for linear differential equations can be found from the differential equation with no knowledge of the solution. This is definitely not the case with non-linear differential equations. It would be very difficult to see how any of these intervals in the last example could be found from the differential equation. Knowledge of the solution was required in order for us to find the interval of validity.


    Logical Fallacies in Common Language

    In the previous discussion, we saw that logical arguments can be invalid when the premises are not true, when the premises are not sufficient to guarantee the conclusion, or when there are invalid chains in logic. There are a number of other ways in which arguments can be invalid, a sampling of which are given here.

    Ad hominem

    An ad hominem argument attacks the person making the argument, ignoring the argument itself.

    Exemple

    “Jane says that whales aren’t fish, but she’s only in the second grade, so she can’t be right.”

    Here the argument is attacking Jane, not the validity of her claim, so this is an ad hominem argument.

    Exemple

    “Jane says that whales aren’t fish, but everyone knows that they’re really mammals—she’s so stupid.”

    Essayez-le

    Appeal to ignorance

    This type of argument assumes something is true because it hasn’t been proven false.

    Exemple

    “Nobody has proven that photo isn’t Bigfoot, so it must be Bigfoot.”

    Appeal to authority

    These arguments attempt to use the authority of a person to prove a claim. While often authority can provide strength to an argument, problems can occur when the person’s opinion is not shared by other experts, or when the authority is irrelevant to the claim.

    Essayez-le

    Exemple

    “A diet high in bacon can be healthy – Doctor Atkins said so.”

    Exemple

    “Jennifer Hudson lost weight with Weight Watchers, so their program must work.”

    Here, there is an appeal to the authority of a celebrity. While her experience does provide evidence, it provides no more than any other person’s experience would.

    Appeal to Consequence

    An appeal to consequence concludes that a premise is true or false based on whether the consequences are desirable or not.

    Exemple

    “Humans will travel faster than light: faster-than-light travel would be beneficial for space travel.”

    Essayez-le

    False dilemma

    A false dilemma argument falsely frames an argument as an “either or” choice, without allowing for additional options.

    Exemple

    “Either those lights in the sky were an airplane or aliens. There are no airplanes scheduled for tonight, so it must be aliens.”

    This argument ignores the possibility that the lights could be something other than an airplane or aliens.

    Essayez-le

    Circular reasoning

    Circular reasoning is an argument that relies on the conclusion being true for the premise to be true.

    Exemple

    “I shouldn’t have gotten a C in that class I’m an A student!”

    In this argument, the student is claiming that because they’re an A student, though shouldn’t have gotten a C. But because they got a C, they’re not an A student.

    Essayez-le

    Straw man

    A straw man argument involves misrepresenting the argument in a less favorable way to make it easier to attack.

    Exemple

    “Senator Jones has proposed reducing military funding by 10%. Apparently he wants to leave us defenseless against attacks by terrorists”

    Here the arguer has represented a 10% funding cut as equivalent to leaving us defenseless, making it easier to attack.

    Post hoc (post hoc ergo propter hoc)

    A post hoc argument claims that because two things happened sequentially, then the first must have caused the second.

    Exemple

    “Today I wore a red shirt, and my football team won! I need to wear a red shirt everytime they play to make sure they keep winning.”

    Essayez-le

    Correlation implies causation

    Similar to post hoc, but without the requirement of sequence, this fallacy assumes that just because two things are related one must have caused the other. Often there is a third variable not considered.

    Exemple

    “Months with high ice cream sales also have a high rate of deaths by drowning. Therefore ice cream must be causing people to drown.”

    This argument is implying a causal relation, when really both are more likely dependent on the weather that ice cream and drowning are both more likely during warm summer months.


    Voir la vidéo: Maths Ep 33 Arguments and validity (Octobre 2021).