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34 : 17 Devoir en classe - Décompositions et élimination gaussienne


34 : 17 Devoir en classe - Décompositions et élimination gaussienne

Les compléments de Schur obéissent à la grammaire catégorielle de Lambek : une autre vue de l'élimination gaussienne et de la décomposition LU

Pendant trois décennies, les compléments de Schur ont vu des applications croissantes en algèbre linéaire, souvent en tant qu'abstractions de l'élimination gaussienne. On sait qu'ils obéissent à certaines identités non triviales, telles que Crabtree et Haynsworth's propriété de quotient. Nous avons commencé ce travail en nous demandant s'il existait une théorie pour décider de leurs propriétés en général.

La grammaire catégorielle de Lambek est un système déductif formalisé en 1958 par Lambek comme fondement mathématique d'un calcul syntaxique du langage. Nous montrons que la grammaire catégorielle donne un système déductif pour dériver les identités obéissant aux décompositions LU et UL, à l'élimination gaussienne et aux compléments de Schur.

À première vue, cela semble être un résultat étrange, reliant deux sujets sans rapport. Rétrospectivement, cependant, c'est une conséquence de la façon dont les deux utilisent les quotients. Il peut avoir des applications dans le développement de formalismes grammaticaux et d'algorithmes numériques.


Règle empirique/TLDR : Lorsque vous effectuez des calculs à l'aide de nombres à virgule flottante (tels que les types de données double, simple et flottant dans de nombreux langages de programmation courants), utilisez le pivotement partiel à moins que vous ne sachiez que vous êtes en sécurité sans lui et terminez le pivotement uniquement lorsque vous savez que vous en avez besoin.

Explication plus longue : Une matrice carrée $A$ a une factorisation $LU$ (sans pivotement) si, et seulement si, aucun zéro n'est rencontré dans la position pivot lors du calcul d'une factorisation $LU$ de $A$ . Cependant, quand les calculs utilisant des nombres à virgule flottante un pivot qui est presque zéro peut conduire à des erreurs d'arrondi dramatiques. La solution de contournement simple consiste à toujours permuter les lignes de la matrice de sorte que la plus grande entrée différente de zéro dans une colonne soit choisie comme entrée pivot. Cela garantit qu'un presque zéro n'est jamais choisi. Le pivotement complet va encore plus loin en utilisant des permutations de lignes et de colonnes pour sélectionner la plus grande entrée de toute la matrice comme entrée de pivot.

Le paragraphe ci-dessus est une image perdue et intuitive de la raison pour laquelle le pivotement est nécessaire. On peut également prouver des limites d'erreur précises en suivant soigneusement la propagation des erreurs tout au long du calcul de factorisation $LU$. Une façon de structurer cette borne d'erreur est ce que l'on appelle estimation d'erreur à rebours. Dans une estimation d'erreur à rebours pour résoudre un système linéaire d'équations $Ax = b$ , on borne la perturbation $E$ nécessaire pour rendre la solution calculée $hat$ produit en effectuant une élimination gaussienne suivie d'une substitution arrière an exact solution d'un système voisin d'équations linéaires $(A+E)hat = b$ . Une estimation d'erreur à rebours peut être très révélatrice si, par exemple, la matrice $A$ est déterminée par des mesures d'un système d'ingénierie avec une certaine tolérance d'erreur. Si les entrées de $A$ ne sont connues que $pm 1\%$ et que l'erreur inverse est inférieure à .1\%$ , alors les erreurs numériques faites lors de nos calculs sont plus petites que les erreurs de mesure et nous avons fait un bon travail. TLDR la quantité $E$ est une quantité raisonnable pour mesurer l'erreur dans une factorisation $LU$ et la résolution linéaire résultante.

Pour l'élimination gaussienne sans pivotement, l'erreur vers l'arrière peut être arbitrairement mauvaise. Heureusement, pour le pivotement partiel, l'erreur vers l'arrière $E$ peut être bornée comme $|E|_infty le 6n^3 ho |A|_infty u + mbox$ $<>^dagger$ . Ici, $|cdot|_infty$ est la matrice d'opérateurs $infty$ -norm et $u$ est l'arrondi unitaire qui quantifie la précision des calculs en virgule flottante ( $u approx 10^<-16> $ pour l'arithmétique double précision IEE). La quantité $ ho$ est connue comme le facteur de croissance pour le pivotement partiel. Alors qu'il est possible que $ ho$ soit aussi grand que $2^$ , en pratique $ ho$ croît généralement très modestement avec $n$ . $<>^dagger$ Concernant le fait que $ ho$ croît très modestement dans la plupart des applications, le légendaire analyste numérique Kahan a écrit "La croissance pivot intolérable [avec pivot partiel] est un phénomène qui n'arrive qu'aux analystes numériques qui recherchent ce phénomène." $<>^$

Néanmoins, on peut écrire des matrices pour lesquelles un pivotement partiel ne donnera pas une réponse précise en raison d'un facteur de croissance exponentiel $ ho = 2^$ . Wilkinson a montré que le facteur de croissance pour pivotement complet est beaucoup plus petit dans le pire des cas $ ho le n^ <1/2>(2cdot 3^<1/2>cdots n^<1/n-1>)^<1/2>$ . En pratique, $ ho$ pour un pivotement complet est presque toujours inférieur à 100$ . $<>^dague$

Après avoir fouillé dans les détails, vous pouvez voir qu'il s'agit d'une affaire subtile, et même dans le domaine classique de l'algèbre linéaire numérique, il y a un certain décalage entre la théorie et l'expérience. En général, l'élimination gaussienne avec pivotement partiel est très fiable. À moins que vous ne sachiez que vous pouvez vous en sortir sans pivoter (les matrices symétriques définies positives et dominantes en diagonale sont des exemples notables), il faut utiliser le pivotement partiel pour obtenir un résultat précis. (Ou compenser avec quelque chose d'intelligent. Par exemple, SuperLU utilise un "pivotement statique" où l'on fait un pivotement "au mieux" avant de commencer la factorisation $LU$ puis ne pivote pas pendant la factorisation. La perte de précision de cette approche est compensée par en utilisant quelques étapes de raffinement itératif.)

Si le pivotement partiel n'est pas assez précis, on peut passer à l'utilisation du pivotement complet à la place pour son facteur de croissance plus faible. Comme le souligne user3417, il existe d'autres façons de résoudre $Ax = b$ que d'utiliser des approches basées sur la factorisation $LU$ et celles-ci peuvent être plus rapides et plus précises que l'élimination gaussienne avec pivotement complet. Par exemple, la factorisation $QR$ s'exécute dans les opérations $O(n^3)$ et n'a pas de facteur de croissance. Il peut y avoir des cas particuliers où l'on souhaite vraiment utiliser une factorisation $LU$ : par exemple, une approche basée sur l'élimination gaussienne peut être utilisée pour construire des factorisations préservant la structure d'une matrice de type Cauchy. Dans ce cas, le pivotement complet (ou son proche cousin pivotement de la tour) peut être la meilleure approche.

$<>^dagger$ Référence Golub et Van Loan's Calculs matriciels Quatrième édition Chapitre 3.4

$<>^$ Cité dans Higham's Précision et stabilité des algorithmes numériques Deuxième édition Chapitre 9


LU signifie ‘Lower Upper’, et donc une décomposition LU d'une matrice (A) est une décomposition telle que

où (L) est triangulaire inférieur et (U) est triangulaire supérieur.

Maintenant, la décomposition LU est essentiellement une élimination gaussienne, mais nous travaillons uniquement avec la matrice (A) (par opposition à la matrice augmentée).

Voyons comment fonctionne l'élimination gaussienne (ge). Nous traiterons d'un système d'équations (3 imes 3) pour la concision, mais tout ici se généralise au cas (n imes n). Considérons l'équation suivante :

Pour simplifier, supposons que la matrice (A) la plus à gauche est non singulière. Pour résoudre le système en utilisant ge, nous commençons par la ‘matrice augmentée’ :

Nous commençons à la première entrée, (a_<11>) . Si (a_ <11> eq 0) , alors nous divisons la première ligne par (a_<11>) puis soustrayons le multiple approprié de la première ligne de chacune des autres lignes, en mettant à zéro la première entrée de toutes les rangées. (Si (a_<11>) vaut zéro, nous devons permuter les lignes. Nous n'entrerons pas dans les détails ici.) Le résultat est le suivant :

Nous répétons la procédure pour la deuxième ligne, en divisant d'abord par l'entrée de tête, puis en soustrayant le multiple approprié de la ligne résultante de chacune des troisième et première lignes, de sorte que la deuxième entrée de la ligne 1 et de la ligne 3 soit nulle. Nous pouvait continuer jusqu'à ce que la matrice de gauche soit l'identité. Dans ce cas, nous pouvons alors simplement ‘lire’ la solution : c'est-à-dire que le vecteur (x) est le vecteur colonne résultant à droite. Habituellement, il est plus efficace de s'arrêter à échelon de rang réduit forme (triangulaire supérieur, avec ceux en diagonale), puis utilisez remplacement arrière pour obtenir la réponse finale.

A noter que dans certains cas, il est nécessaire de permuter des rangées pour obtenir une forme d'échelon de rangée réduite. C'est appelé pivotement partiel. Si nous manipulons également des colonnes, cela s'appelle pivotement complet.

Il convient de mentionner que nous pouvons obtenir l'inverse d'une matrice en utilisant ge, en réduisant la matrice (A) à l'identité, avec la matrice identité comme partie augmentée.

Maintenant, tout va bien lorsque nous résolvons un système une fois, pour un résultat (b) . De nombreuses applications impliquent des solutions à plusieurs problèmes, où le côté gauche de notre équation matricielle ne change pas, mais il existe de nombreux vecteurs de résultat (b) . Dans ce cas, il est plus efficace de décomposer (UNE) .

Tout d'abord, nous commençons comme dans ge, mais nous gardons une trace des différents multiples nécessaires pour éliminer les entrées. Par exemple, considérons la matrice

Nous devons multiplier la ligne (1) par (2) et soustraire de la ligne (2) pour éliminer la première entrée de la ligne (2) , puis multiplier la ligne (1) par ( 4) et soustrayez de la ligne (3) . Au lieu de saisir des zéros dans les premières entrées des lignes (2) et (3) , nous enregistrons les multiples nécessaires à leur élimination, ainsi :

Et puis nous éliminons la deuxième entrée de la troisième ligne :

Et maintenant nous avons la décomposition :

Nous pouvons résoudre le système en résolvant deux problèmes de rétro-substitution :

Ce sont tous les deux (O(n^2)) , il est donc plus efficace de les décomposer lorsqu'il y a plusieurs résultats à résoudre.

Notez que la décomposition numpy utilise pivotement partiel (les lignes de la matrice sont permutées pour utiliser le plus grand pivot). En effet, de petits pivots peuvent entraîner une instabilité numérique. Une autre raison pour laquelle il faut utiliser les fonctions de la bibliothèque autant que possible !


Calendrier des algorithmes numériques

Ceci est un horaire provisoire pour le cours et est susceptible de changer sans préavis ailleurs. De plus, les détails des devoirs et les liens vers les conclusions de vos collègues seront publiés pour examen par les pairs, veuillez donc vous référer fréquemment au calendrier pour les détails des devoirs, les dates d'échéance et les résultats comparatifs.

Prolégomènes, enjeux machine et représentation numérique, introduction

Présentation de l'algèbre matricielle, élimination de Gauss

Outils supplémentaires pour la boîte à outils (Ils n'ont pas à être soumis séparément pour une note, mais seront utilisés pour vérifier d'autres devoirs de programmation.)

  • Multiplication matricielle pour des matrices arbitraires de taille appropriée
  • Addition matricielle pour des matrices arbitraires de taille appropriée
  • Multiplication matricielle/vecteur par un scalaire
  • Produit scalaire de vecteurs (matrices n x 1)

Trouvez la machine epsilon pour les flotteurs et les doubles (échéance 15 janvier). Voir et utiliser l'algorithme 1.3.1 à la page 9 du texte.

Créer et générer un histogramme, avec au moins 50 cases, pour une distribution aléatoire gaussienne à l'aide d'un générateur de distribution aléatoire uniforme (échéance 20 janvier). Voir et utiliser (au besoin) les équations numérotées 1.6.10a et 1.6.10b à la page 20 du texte. Vérifiez que la moyenne = 0 et l'écart type = 1 pour la distribution que vous créez. Enfin, créez une distribution dont la moyenne = 73 et dont l'écart type = 16 et vérifiez vos résultats.

Mettre en œuvre les méthodes d'élimination de Gauss-Jordan et de Gauss (Algorithmes 2.2.1 et 2.3.1)

Inverses matricielles, déterminants, décomposition LU, nombre de conditions, systèmes mal conditionnés.

Étendre la méthode d'élimination de Gauss-Jordan et de Gauss pour trouver les inverses matriciels (algorithme 2.2.2) et adapter l'algorithme 2.3.1 pour trouver les déterminants matriciels (algorithme 2.3.2). Remarque : Nous nous préparons à appliquer des méthodes matricielles à un problème d'inclinaison d'image.


Notes de cours

Semaines 9-10 (29 février - 11 mars)

  • Géométrie LP
  • Analyse de sensibilité
  • La géométrie de la programmation linéaire
  • Analyse de sensibilité
  • Analyse de sensibilité : exemple de Concrete Products Corp
  • Produits en béton 2 (Solutions)
  • Exemple de ferme familiale
  • Discuter des modèles 11-20
  • Dualité géométrique
  • Problèmes de sensibilité

Semaine 8 (22-26 février)

  • Théorie de la dualité
  • Géométrie LP
  • L'algorithme double simplex
  • La géométrie de la programmation linéaire
  • L'algorithme double simplex
  • Faire des modèles 16-20
  • Commentaires du correcteur sur le Quiz 4: La moyenne était de 60 / 80 points. À la question 1, beaucoup de gens ont confondu la différence entre un tableau sans limite et un tableau dégénéré. Il y avait beaucoup d'erreurs dans la question 2 (l'algorithme du simplexe à deux phases). Je vous recommande de vérifier vos calculs pendant que vous travaillez. De plus, cela nécessite probablement moins d'opérations si vous ne transportez pas la "ligne z" dans la phase I.

Semaine 7 (16-19 février)

  • 11/9 : Théorie de la dualité
  • 17/11 : Le théorème fondamental de la programmation linéaire, de la dualité forte et du relâchement complémentaire
  • relâchement complémentaire
  • Pratique supplémentaire sur la méthode simplex : problèmes 3.1,3.2,3.9,3.10 de ce polycopié .

Semaine 6 (8 au 12 février)

  • Section 3 : L'algorithme Simplex fonctionne-t-il ?
  • Section 4 : Théorie de la dualité
  • 2/8 : L'algorithme du simplexe fonctionne-t-il ?
  • 2/10 : L'algorithme du simplexe à deux phases
  • 2/12 : Le théorème fondamental des LPs, dualité forte, relâchement complémentaire
  • Faites les modèles 11-15. En classe le mercredi 17/02
  • Algorithme simplex à deux phases

Semaine 5 (1er au 5 février)

  • Section 3 : L'algorithme Simplex fonctionne-t-il ?
  • Commentaires du correcteur sur le Quiz 3:
  • 2/1,3 : L'algorithme du simplexe fonctionne-t-il ?
  • Répétez les problèmes de "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" en utilisant la maultiplication à gauche avec des matrices d'élimination gaussiennes. Apprenez à lire la solution optimale du dual à partir du tableau optimal du primal. À chaque étape de la méthode, apprenez à lire la solution réalisable de base actuelle et la valeur de la fonction objectif.

Semaine 4 (25-29 janvier)

  • Section 2 : L'algorithme du simplexe
  • Matrices, structures en blocs et élimination gaussienne
  • 1/25 : L'algorithme du simplex, I : Les bases (fin)
  • 1/27 : L'algorithme du simplex II : langage, notation et algèbre linéaire
  • 1/29 : Modèles
  • Faites les modèles 6-10 à partir du lien "Modèles" ci-dessus.
  • Répétez les problèmes de "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" en utilisant la méthode du tableau.

Semaine 3 (19 janvier-22 janvier)

  • Lire des notes de cours
    • Section 2 : L'algorithme du simplex (sections 1.1-1.2)
    • LP sous forme standard
    • L'algorithme du simplex I : les bases
    • Transformation des LPs en forme standard
    • Algorithme simplex pour les disques avec origine faisable (méthode du dictionnaire) (à suivre la semaine prochaine)

    Semaine 2 (11-15 janvier)

    • Lire des notes de cours
      • Section 1 : Présentation
      • 1/11 : Introduction à la programmation linéaire
      • 1/13,15 : Modélisation LP
      • Faites les modèles 1 à 5 à partir du lien "Modèles" ci-dessus.

      Semaine 1 (4-8 janvier)

      • Commentaires du correcteur sur le Quiz 1 : Dans l'ensemble, les gens ont bien fait, mais la question 4 était délicate --- personne n'a bien compris. J'ai enlevé un point pour la question 2b s'ils ont transposé la matrice et ont commencé à réduire les lignes, plutôt que d'utiliser la forme d'échelon qu'ils ont déjà calculée. J'ai également enlevé un point pour la question 3b s'ils disaient quelque chose comme « la matrice n'a pas d'inverse parce qu'elle est singulière » parce que c'était simplement reformuler ce qu'ils étaient censés justifier. La note moyenne était de 7,9 / 13 points.
      • Lire des notes de cours
        • Révision d'algèbre linéaire (comprend des exemples de problèmes de quiz à la fin)
        • Matrices, structures en blocs et élimination gaussienne
        • Section 1 : Introduction (sections 1.1,1.2)
        • 1/4 : Cours 1 : Revue d'algèbre linéaire
        • 1/6,8 : Cours 2 : Introduction à la programmation linéaire
        • Solutions graphiques aux LP en 2 dimensions
        • Problème 1.1 (a), (b)
        • Problème 1.4
        • Problème 1.6
        • Problème 1.8
        • Problème 2.4.1
        • Problème 2.4.4
        • Problème 2.4.6
        • Modélisation : Mélange de céréales, Ordonnancement des postes de péage, Problème de bureau de poste
        • Conversion de LPs en forme standard : Problèmes 2 et 3 dans ce document (fichier pdf)
        • Résoudre les LP graphiquement : les deux problèmes dans ce document (fichier pdf)
        • Vous pouvez essayer les problèmes dans les notes de P. Tseng (remises en classe).
        • Vous pouvez également essayer les problèmes restants du chapitre 1 dans Chvatal

        Aperçu : Semaine 2 (12-16 janvier)

        Devoirs de lecture : Chapitre 2 de Chvatal

        • méthode simplex Top dix algorithmes du 20ème siècle, voir aussi cette page web
        • variables d'écart et de décision, dictionnaire, solution réalisable de base
        • variables de base, variables non fondamentales, entrée de variable, sortie de variable
        • test de rapport minimum, rangée de pivot, pivotement
        • plusieurs optimaux
        • L'algorithme du simplexe
        • Comment reconnaître si un LP a des optima multiples ou un optimum unique.
        • Comment écrire toutes les solutions optimales à un LP lorsqu'il existe plusieurs optima.
        • Problème 2.1 (a)
        • Problème 2.1 (c) - résolvez également ce problème graphiquement et vérifiez que vous obtenez la même solution optimale.
        • Problème 2.2
        • Problème 2.3.6
        • Résoudre en utilisant la méthode du simplex (de J. Burke) fichier pdf
        • Vous pouvez essayer les problèmes des notes de P. Tseng (distribuées en classe) - en particulier essayer tous les problèmes des sections 2.3, 2.4 et 2.5.
        • Regardez tous les exemples dans le chapitre 2 de Chvatal et 2.1 (b).

        Aperçu : Semaine 3 (19-23 janvier)

        Devoirs de lecture : Chapitre 3 de Chvatal (initialisation) et Géométrie de la méthode du simplexe

        • hyperplan, chemins de bord
        • problème auxiliaire, dictionnaire faisable/infaisable, Phase I et Phase II
        • sommet dégénéré, règle du plus grand coefficient, décrochage, LP non bornés
        • La géométrie de l'algorithme du simplexe.
        • Étant donné la région réalisable, comment reconstruire le dictionnaire à un sommet donné de la région réalisable.
        • Phase I de la méthode simplex pour décider si un LP est infaisable ou non. Si le LP est faisable, comment obtenir un premier dictionnaire faisable.
        • Comment savoir si le sommet actuel est dégénéré.
        • Comment savoir si la méthode simplex cale.
        • Comment savoir si le LP est illimité.

        (Problèmes de géométrie) Tous les problèmes à partir de cette fiche : fichier pdf

        • Problème 3.9 (a)
        • Fichier pdf de la méthode simplex à deux phases (de J. Burke)
        • Problème 2 de la feuille de problèmes de géométrie dans les devoirs.
        • Problème Chvatal 3.9 (c)

        Aperçu : Semaine 4 (26-30 janvier)

        Devoirs de lecture : Chapitre 3 du livre de Chvatal

        • cyclisme, pivot dégénéré, sommet dégénéré, méthode de perturbation
        • règles de pivot, règle du plus petit indice, règle de la plus grande augmentation
        • sommet dégénéré, règle du plus grand coefficient, décrochage, LP non bornés
        • Comment savoir si le sommet actuel est dégénéré.
        • Comment savoir si la méthode simplex cale.
        • Comment savoir si le LP est illimité.
        • Comment détecter le cyclisme et la géométrie derrière le cyclisme.
        • Preuve qu'une base fixe est associée à un dictionnaire unique.
        • Comment empêcher le cyclisme - La règle de Bland et la méthode de la perturbation.
        • Le théorème fondamental de la programmation linéaire (énoncé et preuve).
        • La complexité de l'algorithme du simplexe et des exemples de Klee-Minty.
        • Problème 3.1
        • Problème 3.2
        • Problème 3.9 (b)
        • Problème 3.10
        • Problème 4.1 (b), (c) - vous pouvez le faire graphiquement

        Aperçu : Semaine 5 (du 2 au 6 février)

        Devoirs de lecture : Chapitre 4 du livre de Chvatal

        • règles de pivot, règle du plus petit indice, règle de la plus grande augmentation
        • La complexité de l'algorithme du simplexe et des exemples de Klee-Minty.

        34 : 17 Devoir en classe - Décompositions et élimination gaussienne

        A rendre mercredi 3 février

        Lire les sections 1.1 et 1.2

        Travaillez à travers Faites une visite guidée de Maple sous le menu d'aide de Maple
        Révisez l'Introduction à l'érable du Dr Becker : solutions mw pdf

        Parcourez au moins le guide du didacticiel de démarrage rapide de Maple sous Maple Training Materials.

        A rendre le lundi 8 février

        Lire les sections 1.1 et 1.2
        pp. 14-15 # 1b (utiliser le théorème de la valeur intermédiaire), 3b (utiliser le théorème de la valeur intermédiaire), 8, 10, (solutions pour 8 et 10 mw pdf), noté 7abc (peut utiliser Maple) (Solution mw pdf)

        A rendre mercredi 10 février

        Lire la section 1.3
        pp. 20-22 # 1bd, 3d, 4g (réponse=.284), 7a, 11, noté 2d (Solution)

        Dû le vendredi 12 février

        Lire la section 1.2
        Projet 1 : p.14 #12ab (sauf utilisation Maple)(Solution mw pdf)

        Pour le refaire pour toute personne ayant moins de 20/20 comme note, faites le même problème avec la fonction f(x)=ln(x 4 +3) (Solution mw pdf)

        A rendre le lundi 15 février

        Lire la section 1.4
        pp. 28-29 # 1d, 3, 7, 10ac (Solutions - les solutions sont numérotées différemment des problèmes, mais elles sont ici), 11abd (Solutions - les solutions sont numérotées différemment des problèmes, mais elles sont ici), noté :

        X1 : Trouver le taux de convergence de limn-->∞ n/(n 3 +2) = 0. (Solution)
        X2 : Trouver le taux de convergence de limh-->0 e h =1. (Solution)

        Pour le refaire :

        XX1 : Trouver le taux de convergence de limn-->∞ 6n 2 /(3n 5 +5) = 0. (Solution)
        XX2 : Trouver le taux de convergence de limh-->0 (1+e h )=2. (Solution)

        À remettre le mercredi 17 février

        Projet 2 :

        Dans les anciennes tables de trig qui étaient utilisées avant que les calculatrices ne soient largement utilisées, les tables n'allaient que de 0 degrés à 45 degrés et toutes les valeurs de trig de sin à csc pouvaient être obtenues à partir d'elles. Utilisez un polynôme de Taylor pour créer une table de sins de 0 à 45 degrés avec une précision de quatre chiffres et imprimez les résultats tous les 5 degrés. N'oubliez pas de changer les degrés en radians pour votre travail. Commencez par trouver le degré d'un polynôme de Taylor qui rapproche le sin de 0 à Pi/4 avec une erreur inférieure à 0,00005. Vous pouvez utiliser votre calculatrice pour vérifier l'exactitude de vos résultats, mais assurez-vous de montrer les étapes nécessaires du processus.

        Solutions : mw pdf

        Projet 2 refaire :

        Créez une table de fonction exponentielle augmentant par dixièmes de 0 à 1. Nous voulons que ces valeurs soient précises à 4 décimales après arrondi, c'est-à-dire à moins de 0,00005 des valeurs exactes. Nous le faisons en utilisant un polynôme de Taylor sur x0=0 pour approximer la fonction exponentielle. Cependant, nous devons d'abord trouver le degré du polynôme de Taylor qui nous donnera la précision souhaitée. Pour ce faire, nous trouvons d'abord une limite supérieure pour l'erreur pour un polynôme de Taylor du nième degré. Gardez à l'esprit que exp(x) est sa propre dérivée, que exp(x) est croissante et que exp(1)<3.

        Solutions : mw pdf

        A rendre le lundi 22 février

        Lire les sections 2.1 et 2.2
        pp. 38 # 3c (à la main)(Solution), 5b (Solution : mw pdf), 7 (Solution : mw pdf), 11 (Solution), notée 9 (Solution : mw pdf), 12 (à la main)(Solution )

        A rendre le mercredi 24 février

        Lire la section 2.3
        pp. 43-44 # 1a (à la main), 3d (à la main), 13b (Solution : mw pdf), 15 (16 en 3e), noté 2a (à la main) (Solution), 4b (juste sur [1, 2]) (Solution : mw pdf)

        A remettre le vendredi 26 février

        Lire les sections 2.3 et 2.4
        pp. 43-44 # 1b (à la main), 5a (à la main), 13a, noté 2b (à la main) (Solution)
        pp. 49-50 # 3a (à la main), 7b, 17, noté 16a (Solutions : mw pdf)

        À remettre le mercredi 3 mars

        Lire la section 2.5
        p. 54 # 1d (à la main), 5a(i-ii) (à la main)(Solution), 7a (notez que l'exposant est -2 n , pas -2n) (Solution), noté 6a (à la main)(Solution) , X (Utilisez la méthode de Stephensen pour approximer la racine dans [2,3] pour 2+sin xx=0 à 10 -5 près - dans les étapes non-Stephensen, utilisez le point fixe avec x=2+sin x)(Solution : mw pdf),

        Lire la section 2.6
        pp. 58-59 # 2a (utiliser newton et horner algorithmes si nécessaire, pouvez vérifier votre travail en utilisant POLY sur une calculatrice), 4b, 12 (Set Digits:=20, evalf l'expression sur p.59, puis utilisez newton pour voir à quel point Fibinacci était bon), noté 2d (Solution : mw pdf), 4c (Solution : mw pdf)

        À remettre le mercredi 10 mars

        Lire la section 3.2
        pp. 73-75 # 1a(ii) (à la main-assurez-vous d'être en mode radian-valeurs cos arrondies à 6 chiffres décimaux) (Solution), 2a(ii) (Solution), 3a (Maple) (Solution mw pdf ), 7a (Érable) (Solution mw pdf), noté 10 (Érable - ne pas utiliser de chiffres :=4) (Solution : mw pdf)
        Remarque : Pour utiliser le logarithme commun en base 10 dans Maple, disons pour trouver le journal en base 10 sur 85, procédez comme suit :
        >evalf(log10(85))

        Lire la section 3.3
        pp. 81-82 # 1a (faire le degré 2 seulement avec les trois premiers points à la main), noté 6 [Regardez la sortie Maple suivante : mw pdf. Que devez-vous ajouter ou modifier pour obtenir divisé_diff dans cloub pour fonctionner correctement.] (Solution : mw pdf), 12

        Lire la section 3.4
        pp. 86-87 # 1c (à la main - comparer la réponse avec la fonction de #2c), noté 4a (suggérer Maple) (Solution : mw pdf)

        À remettre le mercredi 17 mars

        Lire les sections 3.5
        pp. 97-99 (PROJET) # 5c, 11(sauf let a=2)(Solution), notée 12 (Solution), "Rechercher une spline cubique libre à la main pour les points [0,1], [1,2] , et [2,-1]" (Solution)

        Lire la section 4.2
        pp. 114-15 # 1g, 3c, 5a, 11, 13a, noté 4c, 6a (Solution : mw pdf)

        À remettre le mercredi 24 mars

        Lire la section 4.3
        pp. 122-24 # 1g, 2g, 3g, 5, noté 4, 8 (Solutions : mw pdf)

        Lire la section 4.4
        pp. 130-32 # 1a, 3b, classé 2f, 4a (Solutions : mw pdf)

        Lire la section 4.5
        pp. 137-38 # 1a, 3c, classé 2b (Solution : mw pdf)

        À remettre le mercredi 31 mars

        Lire la section 4.6
        pp. 143-45 # 1b, 3c, classé 3b (Solution : mw pdf)

        A rendre mercredi 7 avril

        Lire la section 5.2
        pp. 182-83 # 1d (montrez simplement que l'IVP a une solution unique et trouvez la solution), 8 (montrez simplement que l'IVP a une solution unique et trouvez la solution), noté 1c (montrez simplement que l'IVP a une solution unique et trouver la solution) (Solution : mw pdf)

        (Projet facultatif - 10 points de crédit supplémentaires ajoutés à la note du projet) Rédigez une procédure gaussienne qui implémente la quadrature gaussienne. Pour les paramètres vous aurez besoin de la fonction f (type algébrique), de la borne inférieure d'intégration a (type numérique), de la borne supérieure d'intégration b (type numérique), du degré du polynôme de Legendre n à utiliser (type posint), et la variable de retour S (type nom). L'instruction with(orthopoly) peut être située dans le corps de la procédure. Toutes les instructions dont vous avez besoin se trouvent dans les feuilles de travail gaussian.mw et gaussian.pdf. La seule sortie doit être la valeur de l'intégrale. Testez votre procédure sur le problème 3a à la page 138. (Solutions : mw pdf)

        Lire la section 5.2
        pp. 182-83 # 1c (à la main), 3b, 9a(bi) (Solutions : mw pdf), noté 8a(bi) (Solutions : mw pdf)

        À remettre le mercredi 14 avril

        Lire la section 5.2
        pp. 182-83 # 5c (Solutions : mw pdf), 9e (Solutions : mw pdf), noté 8e (Solutions : mw pdf)

        Dû lundi, avrilil 19

        Lire la section 5.4
        p. 198 # 3b (utilisez simplement la méthode Adams-Bashforth Four-Step) (Solutions: mw pdf), 4b (Solutions: mw pdf), noté 3c (utilisez simplement la méthode Adams-Bashforth Four-Step -Utilisez la solution pour le DE donnée dans le texte) (Solutions : mw pdf), 4c (Solutions : mw pdf)

        À remettre le mercredi 21 avril

        Lire les sections 5.5 et 5.6
        p.203 #3b (Solution : mw pdf), noté 4d (Solution : mw pdf)
        pp. 213-14 # 3c (si vous n'utilisez pas NA, utilisez abserr=Float(1,-4) - ignorez hmax et hmin) (Solutions: mw pdf), noté 4b ((si n'utilisez pas NA, , utilisez abserr=Float (1,-6) - ignorer hmax et hmin) (Solutions : mw pdf)

        Lire la section 5.7
        pp. 221-22 # 1b (Solution : mw pdf), 2c (Solution : mw pdf), notée 6 (Solutions : mw pdf) (utiliser rk4 pour tous les problèmes avec h=0.1 pour #6)

        Lire la section 5.8
        p. 227 # 1a (avec la méthode rk4) (Solution : mw pdf), 1b (méthode rosenbrock) (Solution : mw pdf), notée 1d (avec la méthode lsode[backfull]) (Solution : mw pdf)

        À remettre le mercredi 28 avril

        Lire la section 6.2
        pp. 238-240 # 1acg (juste graphiquement à la main - comme dans la classe d'algèbre), 3f (Élimination de Gaussam à la main), noté 4d (Élimination de Gauss avec Maple, set Digits:=7) (Solution: mw pdf)

        Lire la section 6.3
        p. 246-47 # 7d (définir les chiffres : = 3, arrondi à 3 chiffres), 8d (définir les chiffres : = 3, arrondi à 3 chiffres), noté 5d (utiliser le pivotement complet avec les chiffres : = 10) (Solution : mw pdf)

        Lire la section 6.4
        pp. 256-60 # 2de (plus trouver les déterminants de chacun à la main), noté 4b (Solution : mw pdf)

        Lire la section 6.5
        pp. 265-66 # 1a, 3bc, noté 5a (ignorez l'instruction en 2a qui jeii = 1 pour tout i.) (Solution : mw pdf)

        Lire la section 7.2
        pp. 284-85 # 1ac, 3bc, 5a, classé 2b (Solution : mw pdf)

        Lire la section 7.3
        pp. 291-92 # 1ag, 5ag, gradué 2h (Solution : mw pdf)


        34 : 17 Devoir en classe - Décompositions et élimination gaussienne

        Heures de bureau : MW : 15h30-16h30 et sur rendez-vous (il suffit de me parler après les cours ou de m'envoyer un e-mail)

        Bureau : APM 5256, tél. (858) 534-2734

        Assistants pédagogiques : Jeremy Greene (email : [email protected]) heures de bureau : MW10-11:30 APM 6434 et Michael Kelly (email : [email protected]) heures de bureau : F10-12 APM 6333

        Calcul de la note : la note est calculée à partir de vos notes finales (50 %), 2 à mi-parcours2 (20 % chacune) et des devoirs (10 %). Note de passage pour la finale requise pour réussir le cours! Je ferai une finale d'entraînement disponible avant la vraie finale.

        Milieu de cours : 20/10 et 17/11 en classe

        Des textes

        Programme : Il s'agit d'un deuxième cours d'algèbre linéaire axé sur les aspects et applications informatiques, tout en présentant les concepts géométriques. Nous commençons par une revue rapide des méthodes de base pour résoudre les systèmes d'équations linéaires et les sous-espaces et concepts géométriques associés. Les applications couvriront les graphiques et les réseaux, les problèmes des moindres carrés, la transformée de Fourier rapide, les équations aux différences et différentielles et leurs solutions numériques. Le cours ira plus loin qu'un premier cours de factorisation des matrices. La diagonalisation produit des factorisations de la plupart des matrices carrées mais en général nous avons la triangularisation et la forme normale de Jordan. L'élimination gaussienne et l'orthogonalisation de Gram-Schmidt produisent des factorisations, mais une plus utile est la décomposition en valeurs singulières, qui peut en particulier être utilisée pour construire un pseudo-inverse lorsqu'il n'y a pas d'inverse pour résoudre les problèmes des moindres carrés.

        Programme détaillé provisoire (peut changer, c'est-à-dire que nous pouvons aller un peu plus vite ou plus lentement qu'indiqué) :

        Semaine 1 (jusqu'au 01/10) : 1.1-7, 2.1 Matrices et fonctions d'élimination gaussiennes, espaces vectoriels et sous-espaces
        Semaine 2 : 2.2-5 résolution Ax=b, indépendance linéaire, base et dimension
        Semaine 3 : 2.4-6 Les quatre sous-espaces fondamentaux, graphes et réseaux, transformations linéaires
        Semaine 4 : 3.1-3.4 Vecteurs et sous-espaces orthogonaux, projections, moindres carrés, matrices orthogonales, Gram-Schmidt,
        Semaine 5 : 3.5 : Transformée de Fourier rapide, 4.1-4 Déterminants
        Semaine 6 :
        Semaine 7 :
        Semaine 8 :
        Semaine 9 :
        Semaine 10 :

        Les devoirs doivent être rendus au plus tard à la date indiquée, généralement un mercredi à 17 heures ou avant. Une boîte aux lettres au 6e étage de l'APM devrait être disponible, mais vérifiez d'abord auprès des TA au cours de la première semaine. Aucun devoir ne doit être rendu le mercredi lorsqu'un semestre est prévu. Cependant, certains devoirs peuvent également faire partie du matériel demandé pour la mi-session. Il est très important que vous résolviez les problèmes de devoirs, car la plupart des problèmes d'examen seront des variantes de problèmes de devoirs.

        Avis de non-responsabilité : je vais essayer d'obtenir le devoir sur le net à temps. En raison du temps et d'autres limitations, cela peut ne pas toujours être possible. Le fait qu'il n'y ait pas de devoir affiché pour une date particulière ne signifie donc PAS nécessairement qu'aucun devoir n'est dû.

        pour le 29/09 : Sec. 1.2 : 3, 10, art. 1.3 : 3 (erreur d'impression : équation 2 --> équation 1, équation 3 --> équation 2), 18, 31, Sec. 1.4 : 6, 10, 30. 32

        pour 10/6 : Sec. 1.5 : 1, 4, 15, Sec. 1.6:4,6,22,35,50, Sec. 1.7 : 3,6, Sec. 2.1 : 3, 7abcf, 8, 25, 26,

        pour le 13/10 : Sec. 2.2 : 5, 8, 10, 24, 25, Sec : 2.3 :2,10, 12,13,20,26,30, Sec. 2.4 : 2,5,8,27,28,

        pour le 27/10 : Sec 2.5 : 6, 8, Sec. 2.6 : 6, 7, 8, 9, 16, 18, 22, 33, art. 3.1 : 2, 7, 11, 14, 16, 19, 22, 32, 37, 44, 51, art. 3.2 : 14, 17, 19, 21,

        pour le 11/3 : Sec. 3.3 : 4,6,12, 17, 22, 27, art. 3.4 : 13, 15, 16, 21, 23, (30 supprimés), Sec. 3.5 : 11,14,

        pour le 11/10 : Sec. 4.2 : 2,7,10,12,14,18,28, art. 4.3:3,5,28,43, Sec. 4.4 : 5, 10, 14, 18,

        pour le 17/11 : ne doit pas être rendu, mais pertinent pour la mi-session. Les solutions seront affichées ci-dessous : Sec. 5.1 : 5, 7, 14, 25, 27, art. 5.2 : 4, 5, 7, 8, 15, 21, 29, 30, 34, 40,

        pour le 24/11 : Sec. 5.3 : 2, 8, 10, 12, 15, 25, 28, art. 5.4 : 1, 2, 3, 5, 8, 9,

        pour 12/1 : Sec. 5.5 : 16,17,18,36,38, 41,44,46, art. 5.6 : 3, 8, 11, 13, 17 (utilisez 5R à la page 296), 25, 31, 41, 44,

        pour la finale (ne doit pas être rendu, mais les solutions pertinentes pour les solutions finales seront publiées plus tard) : Sec 6.2 : 2,4,8,23,27,29,30, Sec 6.3:2,3,5,10,15, 19,

        Solutions à mi-parcours : Les AT ont parcouru le mi-parcours par sections. Nous ne publierons donc pas de solutions pour les mi-parcours. Cependant, j'indiquerai ci-dessous en quoi les problèmes du deuxième semestre sont similaires aux problèmes de devoirs, pour lesquels vous pouvez rechercher les solutions, ou je donne d'autres indications sur la façon de les faire.

        Le problème 1(a) était comme le problème 7 de la section 2.6, mais plus facile, et pour (b) vous n'aviez qu'à mettre la matrice au carré.

        Le problème 2(a) était Gram-Schmidt (solution : (1,2,2,0) et (0,2,-2,1)), le problème 2(b) était comme le problème 16 de la section 3.1 par exemple, vous can solve it by calculating the null space of the 2 by 4 matrix with rows (1,2,2,0) and (1,4,0,1). Problem 2(c) is just the projection u of x onto S, which is u = (1,10/3, 2/3, 2/3)^T, and for 2(d) we have u as in 2(c) and v = x - u .

        In Problem 3 you calculate the determinant by putting it into echelon form (solution: 1), and for (b) det(2C)=8 det(C).

        Problem 4(a),(b) was like Problem 14 of Section 5.1. To review: B has rank 1, and hence the null space has dimension 3, and we have had several problems where one calculates a basis for a nullspace. For a rank 1 matrix, any column vector is an eigenvector. In our case, B can be written as B=vv^T, where v^T=(1,-1,1,-1). Then you see that Bv=vv^Tv=4v. For 4(c) you just have to know that the columns of S consist of a basis of eigenvectors of B, which have been calculated in parts (a) and (b), and that the diagonal entries of Lambda are the eigenvalues of B, i.e. 4,0,0,0 to solve part (d) (here we assume that the first column of S is the eigenvector for 4, and the following three column vectors are a basis for the null space of B).

        Final: We will have the same rules for the final as for the midterm. One cheat sheet, no calculators, books or other tools. Please bring bluebook/paper. I will post solutions for homework problems below. The new problems start with posting 8, part of which was already made available for the second midterm. Here is also a practice final given by another professor, with solutions. Please read below how my final may differ from that practice final, and for further tips.

        Office hours for exam week: Jeremy: TW 9-12 (APM 6434), Hans Wenzl: MT 3-4+ (i.e. I'll stay beyond 4 if there are students around) (APM 5256)

        More remarks: The practice final has two problems concerning calculating determinants, and two problems concerning solving linear equations and fundamental subspaces. Probably, our final will contain somewhat fewer problems of that type. Also, we have not covered material for question 8(c). Instead, some of the following problems may be on the exam:

        - Calculate SVD for a given matrix

        - Matrix of a linear transformation

        - Exponential or large power of a matrix solution of system of differential equation

        - Properties of positive definite matrices, of symmetric matrices, Hermitian matrices

        Midterm: The second midterm takes place in class on Wednesday, 11/17. The material goes primarily over the assignments for 10/27 until 11/17. Previous material will only be relevant if it is needed in connection with problems of these later sections. You are allowed to use one hand-written cheat sheet, but no books or calculators. Below is a practice midterm with solutions (but only look at the solutions after you have tried the problems in serious. You can also find solutions for homework problems below that.


        Columbia University UN2010 Section 003 Linear algebra, Spring 2017

        Our teaching assistants hold their office hours in the Help Room in Math 406. The Help Room is open Monday-Thursday 9am-6pm and Friday 9am-4pm. You can go there any time during open hours to get help with the material (not just from our TAs).

        Textbook Otto Bretscher Linear algebra with applications, Fifth edition. Cheaper 4th edition is fine too, except for the homework problems, which come from the 5th edition. If you buy the fourth edition, you'll need to get the correct problems from a friend who has the 5th edition

        Syllabus: Our goal is to cover chapters 1 through 8 of the textbook, with few omissions. The topics are: systems of linear equations and Gaussian elimination, matrices, linear transformations, subspaces, linear spaces, orthogonality and the Gram-Schmidt, determinants, eigenvalues, eigenvectors, symmetric matrices.

        Homework: Homework consists in reading the textbook sections before class according to the schedule of lectures and writing down (and turning in) the solutions of problems. The homework problems will be assigned on Tuesdays in Class, due Tuesday the next week before class. Drop the homework off to the hw box with my name on it on the 4th floor of the Math building Two lowest homework scores will be dropped. Graded homework can be picked up from a tray on the 6th floor (up the stairs, turn left and through the door, the table with hw trays is to your left half the hall way). LATE HOMEWORK WON'T BE ACCEPTED. The numerical grade for the course will be the following linear combination:
        15% homework, 25% each midterm, 35% final.

        Homework Assignment

        Devoir 1, due Tuesday January 24th. Solve in Section 1.1: # 6, 18, 24, 37, 44 and in Section 1.2: # 2, 4, 9, 11, 18.


        Homework 2, due Tuesday January 31st. Solve in Section 1.2: # 29, 37, 67, in Section 1.3: # 2. 8, 9, 24, 50 and in Section 2.1: # 6, 8.


        Homework 3, due Tuesday February 7th. Solve in Section 2.2: # 14, 32, 39, in Section 2.3: # 7, 20, 47, 60 and in Section 2.4: # 4, 30, 84.


        Homework 4, due Tuesday February 28th. Solve in Section 3.1: # 7, 20, 34, 46, 50 in Section 3.2: # 3, 14, 15, 37, 41.


        Homework 5, due March 7th. Solve in Section 3.2: # 46, 52, 57 in Section 3.3: # 16, 27, 33, 36, 39, 62, 69.


        Homework 6, due March 21st. Solve in Section 3.4: # 45, 60, 82, in Section 4.1: # 29, 49, 59, in Section 4.2: # 7, 53, 65, 70, in Section 4.3: # 38, 62.


        Homework 7, due April 4th. Solve in Section 5.1: # 12, 14, 16, 23, 31 and in Section 5.2: # 29, 35, 38, 44.


        Homework 8, due April 11th. Solve in Section 5.3: # 30, 38, 42, 67 and in Section 5.5: # 5, 10, 16, 20.


        Homework 9, due April 18th. Solve in Section 6.1: # 10, 15, 28, 50 and in Section 6.2: # 5, 23, 31, 43, 45, 54.


        Homework 10, due April 25th. Solve in Section 6.3: # 10, 11, 38, 39, in Section 7.1 : # 13, 44, 53, 64 and in section 7.2 # 2, 22, 33, 45.


        34: 17 In-Class Assignment - Decompositions and Gaussian Elimination

        The Final Course Average will come from 3 sources: Graded Quizzes, Midterm Exams, and the Comprehensive Final Exam. All individual scores on graded work will be converted to percentage scores. Then these percentage scores will be used to calculate your Final Course Average using the following criteria:

        • Graded Quiz Average contributes 15%.
        • Midterm Exam Average contributes 65%.
        • Comprehensive Final Exam contributes 20%.

        You may take each of the Graded Quizzes one time before the deadline date and time that appear to the right of the quiz link in the Quiz and Test System for that quiz.

          • Graded Quizzes in Math 1114 are accessible from any location.
          • You will have scores for 17 Graded Quizzes this semester.
          • Your scores on Graded Quizzes will count in your final course average. See the Deadlines section below for details Only the highest 12 Graded Quiz scores will be used to calculate your ending Quiz % Average at the end of the semester. See the Deadlines section below for details.

          For more details about Graded Quizzes and how to study for your quizzes, go to the Quizzes page.

          Proctored Exams:

          • Midterm Exams:
            • Each Midterm Exam consists of 18 problems in multiple-choice format covering the same material as the corresponding Practice Problems.
            • You may take each midterm exam one time before the deadline date and time that appear to the right of the exam link in the Quiz and Test System for that exam.
            • Midterm Exams are only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.
            • All 4 of your Midterm Exams will count in your Midterm Exam Average. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), when calculating your ending Midterm Exam Average at the end of the semester, the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam percentage score is higher. See the Deadlines section below for details.

            • The Final Exam consists of 25 problems in multiple-choice format covering all the course content.
            • You may take the Final Exam one time before the deadline.
            • The Final Exam is only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.

            For more details about Proctored Exams, including Honor System and calculator policies, go to the Proctored Exams page.

            Deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will be strictly enforced. You can find your deadline for graded work by logging into the Quiz and Test System and viewing the "Must Be Started By" date and time that appear to the right of the link for each graded quiz or exam. As implied by the "Must Be Started By" statement, the deadline is the latest day and time that you can begin your graded work. Unless there are documented extenuating circumstances (see *NOTE* below), deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will not be extended.

              Midterm Exams:

            A missed exam will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam is higher.

            A missed quiz will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), your Graded Quiz Average will be calculated using the percentage scores from your highest 12 Graded Quiz scores.

            *NOTE* For extenuating circumstances, you must contact Schiffert Health Center or Student Advocacy in 109 Eggleston Hall to provide documentation to your college. You are expected to work ahead so that you do not miss a deadline due to a one or two day illness or other unforeseen circumstance that fails to satisfy Schiffert or Student Advocacy requirements for documentation. Failure to meet this expectation is not a valid reason for a deadline extension.

            The Undergraduate Honor Code pledge that each member of the university community agrees to abide by states:

            "As a Hokie, I will conduct myself with honor and integrity at all times. I will not lie, cheat, or steal, nor will I accept the actions of those who do."

            Students enrolled in this course are responsible for abiding by the Honor Code. A student who has doubts about how the Honor Code applies to any assignment is responsible for obtaining specific guidance from the course instructor before submitting the assignment for evaluation. Ignorance of the rules does not exclude any member of the University community from the requirements and expectations of the Honor Code.


            Voir la vidéo: Yhtälöparin ratkaiseminen Geogebralla (Octobre 2021).