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P.4E : Exercices - Exposants Rationnels - Mathématiques


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Bibliothèques/Algèbre/Livre:_Intermediate_Algebra_(OpenStax_Marecek)/08:_Roots_and_Radicals/8.4E:_Simplify_Rational_Exponents

A : notation radicale à exponentielle

Exercice (PageIndex{A} [5pt]): notation radicale à exponentielle

Exprimez en utilisant des exposants rationnels.

  1. (sqrt{10} [5pt])
  2. (sqrt{6} [5pt])
  3. (sqrt [ 3 ] { 3 } [5pt])
  4. (sqrt [ 4 ] { 5 } [5pt])
  1. (sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } } [5pt])
  2. (sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 3 } } [5pt])
  3. (sqrt [ 3 ] { 49 } [5pt])
  4. (sqrt [ 3 ] { 9 } [5pt])
  1. (sqrt [ 5 ] { x } [5pt])
  2. (sqrt [ 6 ] { x } [5pt])
  3. (sqrt [ 6 ] { x ^ { 7 } } [5pt])
  4. (sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } } [5pt])
  1. (dfrac { 1 } { sqrt { x } } [5pt])
  2. (dfrac { 1 } { sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } [5pt])
Réponses 1-13 :
1. (10 ^ { 1 / 2 } [5pt])
3. (3 ^ { 1 / 3 } [5pt])
5. (5 ^ { 2 / 3 } [5pt])
7. (7 ^ { 2 / 3 } [5pt])
9. (x ^ { 1 / 5 } [5pt])
11. (x ^ { 7 / 6 } [5pt])
13. (x ^ { - 1 / 2 } [5pt])
( grande étoile )

B : Exponentielle à la notation radicale.

Exercice (PageIndex{B} [5pt]) : notation exponentielle à radicale

Exprimer sous forme radicale.

  1. (10 ^ { 1 / 2 } [5pt])
  2. (11 ^ { 1 / 3 } [5pt])
  3. (7 ^ { 2 / 3 } [5pt])
  1. (2 ^ { 3 / 5 } [5pt])
  2. (x ^ { 3 / 4 } [5pt])
  3. (x ^ { 5 / 6 } [5pt])
  1. (x ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  2. (x ^ { - 3 / 4 } [5pt])
  3. (left( frac { 1 } { x } ight) ^ { - 1 / 3 } [5pt])
  1. (left( frac { 1 } { x } ight) ^ { - 3 / 5 } [5pt])
  2. (( 2 x + 1 ) ^ { 2 / 3 } [5pt])
  3. (( 5 x - 1 ) ^ { 1 / 2 } [5pt])
Réponses 15-25 :
15. (sqrt { 10 } [5pt])
17. (sqrt [ 3 ] { 49 } [5pt])
19. (sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } [5pt])
21. (dfrac { 1 } { sqrt { x } } [5pt])
23. (sqrt [ 3 ] { x } [5pt])
25. (sqrt [ 3 ] { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } [5pt])
( grande étoile )

C : forme exponentielle à radicale ; puis Simplifier.

Exercice (PageIndex{C} [5pt]) : Exponentielle à la Forme Radicale puis Simplifier

Écrivez comme un radical et ensuite simplifiez.

  1. (64 ^ { 1 / 2 } [5pt])
  2. (49 ^ { 1 / 2 } [5pt])
  3. (left( frac { 1 } { 4 } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  4. (left( frac { 4 } { 9 } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  5. (4 ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  6. (9 ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  7. (left( frac { 1 } { 4 } ight) ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  8. (left( frac { 1 } { 16 } ight) ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  9. (8 ^ { 1 / 3 } [5pt])
  1. (125 ^ { 1 / 3 } [5pt])
  2. (left( frac { 1 } { 27 } ight) ^ { 1 / 3 } [5pt])
  3. (left( frac { 8 } { 125 } ight) ^ { 1 / 3 } [5pt])
  4. (( - 27 ) ^ { 1 / 3 } [5pt])
  5. (( - 64 ) ^ { 1 / 3 } [5pt])
  6. (16 ^ { 1 / 4 } [5pt])
  7. (625 ^ { 1 / 4 } [5pt])
  8. (81 ^ { - 1 / 4 } [5pt])
  9. (16 ^ { - 1 / 4 } [5pt])
  1. (100 000 ^ { 1 / 5 } [5pt])
  2. (( - 32 ) ^ { 1 / 5 } [5pt])
  3. (left( frac { 1 } { 32 } ight) ^ { 1 / 5 } [5pt])
  4. (left( frac { 1 } { 243 } ight) ^ { 1 / 5 } [5pt])
  5. (9 ^ { 3 / 2 } [5pt])
  6. (4 ^ { 3 / 2 } [5pt])
  7. (8 ^ { 5 / 3 } [5pt])
  8. (27 ^ { 2 / 3 } [5pt])
  1. (16 ^ { 3 / 2 } [5pt])
  2. (32 ^ { 2 / 5 } [5pt])
  3. (left( frac { 1 } { 16 } ight) ^ { 3 / 4 } [5pt])
  4. (left( frac { 1 } { 81 } ight) ^ { 3 / 4 } [5pt])
  5. (( - 27 ) ^ { 2 / 3 } [5pt])
  6. (( - 27 ) ^ { 4 / 3 } [5pt])
  7. (( - 32 ) ^ { 3 / 5 } [5pt])
  8. (( - 32 ) ^ { 4 / 5 } [5pt])
Réponses : 27-59
27. (8)
29. (dfrac{1}{2} [5pt])
31. (dfrac{1}{2} [5pt])
33. (2 [5pt])
35. (2)
37. (8 [5pt])
39. (-3 [5pt])
41. (2 [5pt])
43. (dfrac{1}{3} [5pt])
45. (8 [5pt])
47. (dfrac{1}{2} [5pt])
49. (27 [5pt])
51. (32)
53. (64 [5pt])
55. (dfrac{1}{8} [5pt])
57. (9 [5pt])
59. (-8)
( grande étoile )

D : Opérations exponentielles. DES PRODUITS

Exercice (PageIndex{D} [5pt]) : Opérations exponentielles

Effectuez les opérations et simplifiez. Laissez les réponses sous forme exponentielle.

  1. (5 ^ { 3 / 2 } cdot 5 ^ { 1 / 2 } [5pt])
  2. (3 ^ { 2 / 3 } cdot 3 ^ { 7 / 3 } [5pt])
  3. (5 ^ { 1 / 2 } cdot 5 ^ { 1 / 3 } [5pt])
  4. (2 ^ { 1 / 6 } cdot 2 ^ { 3 / 4 } [5pt])
  5. (y ^ { 1 / 4 } cdot y ^ { 2 / 5 } [5pt])
  6. (x ^ { 1 / 2 } cdot x ^ { 1 / 4 } [5pt])
  7. ((u^{12}v^{18})^{ frac{1}{6}} [5pt]) ​​​​​​
  8. ((r^{9}s^{12})^{ frac{1}{3}} [5pt])
  9. (left( 8 ^ { 1 / 2 } ight) ^ { 2 / 3 } [5pt])
  10. (left( 3 ^ { 6 } ight) ^ { 2 / 3 } [5pt])
  1. (gauche( x ^ { 2 / 3 } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  2. (gauche( y ^ { 3 / 4 } ight) ^ { 4 / 5 } [5pt])
  3. (left( y ^ { 8 } ight) ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  4. (left( y ^ { 6 } ight) ^ { - 2 / 3 } [5pt])
  5. (left( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  6. (left( 9 x ^ { 6 } y ^ { 2 } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  7. (left( 2 x ^ { 1 / 3 } y ^ { 2 / 3 } ight) ^ { 3 } [5pt])
  8. (left( 8 x ^ { 3 / 2 } y ^ { 1 / 2 } ight) ^ { 2 } [5pt])
  9. (left( 36 x ^ { 4 } y ^ { 2 } ight) ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  10. (left( 8 x ^ { 3 } y ^ { 6 } z ^ { - 3 } ight) ^ { - 1 / 3 } [5pt])
  1. (left(27 q^{ frac{3}{2}} ight)^{ frac{4}{3}} [5pt])
  2. (left(64 s^{ frac{3}{7}} ight)^{ frac{1}{6}} [5pt])
  3. (gauche(a^{ frac{1}{3}} b^{ frac{2}{3}} ight)^{ frac{3}{2}} [5pt])
  4. (left(m^{ frac{4}{3}} n^{ frac{1}{2}} ight)^{ frac{3}{4}} [5pt])
  5. (left(16 u^{ frac{1}{3}} ight)^{ frac{3}{4}} [5pt])
  1. (gauche(625 n^{ frac{8}{3}}droite)^{ frac{3}{4}} [5pt])
  2. (left(4 p^{ frac{1}{3}} q^{ frac{1}{2}} ight)^{ frac{3}{2}} [5pt] )
  3. (left(9 x^{ frac{2}{5}} y^{ frac{3}{5}} ight)^{ frac{5}{2}} [5pt] )
  4. (left( 16 x ^ { 2 } y ^ { - 1 / 3 } z ^ { 2 / 3 } ight) ^ { - 3 / 2 } [5pt])
  5. (left( 81 x ^ { 8 } y ^ { - 4 / 3 } z ^ { - 4 } ight) ^ { - 3 / 4 } [5pt])
  6. (left( 100 a ^ { - 2 / 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 3 / 2 } ight) ^ { - 1 / 2 } [5pt])
  7. (left( 125 a ^ { 9 } b ^ { - 3 / 4 } c ^ { - 1 } ight) ^ { - 1 / 3 } [5pt])
Réponses 61-91

61. (25 [5pt])
63. (5 ^ { 5 / 6 } [5pt])
65. (y ^ { 13 / 20 } [5pt])
67.(u^{2}v^{3} [5pt])

69. (2 [5pt])
71. (x ^ { 1 / 3 } [5pt])
73. (dfrac { 1 } { y ^ { 4 } } [5pt])
75. (2 x y ^ { 2 } [5pt])
77. (8 x y ^ { 2 } [5pt])
79. (dfrac { 1 } { 6 x ^ { 2 } y } [5pt])
81. (81 q^{2} [5pt])
83. (a^{ frac{1}{2}} b)
85. (8 u^{ frac{1}{4}} [5pt])
87. (8 p^{ frac{1}{2}} q^{ frac{3}{4}} [5pt])
89. (dfrac { y ^ { 1 / 2 } } { 64 x ^ { 3 } z } [5pt])
91. (dfrac { a ^ { 1 / 3 } b ^ { 3 / 4 } } { 10 b ^ { 2 } } [5pt])
( grande étoile )

D : Opérations exponentielles. QUOTIENTS

Exercice (PageIndex{D} [5pt]) : Opérations exponentielles

Effectuez les opérations et simplifiez. Laissez les réponses sous forme exponentielle.

  1. (dfrac { 5 ^ { 11 / 3 } } { 5 ^ { 2 / 3 } } [5pt])
  2. (dfrac { 2 ^ { 9 / 2 } } { 2 ^ { 1 / 2 } } [5pt])
  3. (dfrac { 2 un ^ { 2 / 3 } } { un ^ { 1 / 6 } } [5pt])
  4. (dfrac { 3 b ^ { 1 / 2 } } { b ^ { 1 / 3 } } [5pt])
  5. (dfrac{r^{ frac{5}{2}} cdot r^{- frac{1}{2}}}{r^{- frac{3}{2}}} [5pt])
  6. (dfrac{a^{ frac{3}{4}} cdot a^{- frac{1}{4}}}{a^{- frac{10}{4}}} [5pt])
  7. (dfrac{c^{ frac{5}{3}} cdot c^{- frac{1}{3}}}{c^{- frac{2}{3}}} [5pt])
  1. (dfrac{m^{ frac{7}{4}} cdot m^{- frac{5}{4}}}{m^{- frac{2}{4}}} [5pt])
  2. (left( dfrac { un ^ { 3 / 4 } } { un ^ { 1 / 2 } } ight) ^ { 4 / 3 } [5pt])
  3. (left( dfrac { b ^ { 4 / 5 } } { b ^ { 1 / 10 } } ight) ^ { 10 / 3 } [5pt])
  4. (left( dfrac { 4 x ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 4 } } ight) ^ { 1 / 2 } [5pt])
  5. (left( dfrac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } ight) ^ { 1 / 3 } [5pt])
  6. (dfrac { y ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 1 / 6 } } [5pt])
  7. (dfrac { x ^ { 2 / 5 } x ^ { 1 / 2 } } { x ^ { 1 / 10 } } [5pt])
  1. (dfrac { x y } { x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 3 } } [5pt])
  2. (dfrac { x ^ { 5 / 4 } y } { x y ^ { 2 / 5 } } [5pt])
  3. (dfrac { 49 a ^ {5/7 } b ^ { 3 / 2 } } { 7 a ^ { 3 /7 } b ^ { 1 / 4 } } [5pt])
  4. (dfrac { 16 a ^ { 5 / 6 } b ^ { 5 / 4 } } { 8 a ^ { 1 / 2 } b ^ { 2 / 3 } } [5pt])
  5. (left(dfrac{36 s^{ frac{1}{5}} t^{- frac{3}{2}}}{s^{- frac{9}{5}} t ^{ frac{1}{2}}} ight)^{ frac{1}{2}} [5pt])
  6. (gauche(dfrac{27 b^{ frac{2}{3}} c^{- frac{5}{2}}}{b^{- frac{7}{3}} c ^{ frac{1}{2}}} ight)^{ frac{1}{3}} [5pt])
  1. (gauche(dfrac{8 x^{ frac{5}{3}} y^{- frac{1}{2}}}{27 x^{- frac{4}{3}} y^{ frac{5}{2}}} ight)^{ frac{1}{3}} [5pt])
  2. (gauche(dfrac{16 m^{ frac{1}{5}} n^{ frac{3}{2}}}{81 m^{ frac{9}{5}} n^ {- frac{1}{2}}} ight)^{ frac{1}{4}} [5pt])
  3. (dfrac { left( 9 x ^ { 2 / 3 } y ^ { 6 } ight) ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 1 / 2 } y } [5pt])
  4. (dfrac { left( 125 x ^ { 3 } y ^ { 3 / 5 } ight) ^ { 2 / 3 } } { x y ^ { 1 / 3 } } [5pt])
  5. (dfrac { left( 27 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 3 / 2 } ight) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 2 } } [5pt])
  6. (dfrac { left( 25 a ^ { 2 / 3 } b ^ { 4 / 3 } ight) ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 3 } } [5pt])
Réponses 101-125
101. (125 [5pt])
103. (2 un ^ { 1 / 2 } [5pt])
105.9a. (r^{frac{7}{2}} [5pt])
107.1a. (c^{2} [5pt])
109. (a ^ { 1 / 3 } [5pt])
111. (dfrac { 2 x ^ { 1 / 3 } } { y ^ { 2 } } [5pt])
113. (y)
115. (x ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } [5pt])
117. (7 a ^ { 2/7 } b ^ { 5 / 4 } [5pt])
119. (dfrac{6 s}{t} [5pt])
121. (dfrac{2x}{3y} [5pt])
123. (27 x ^ { 1 / 2 } y ^ { 8 } [5pt])
125. (9 b ^ { 1 / 2 } [5pt])
( grande étoile )

E : Opérations de forme radicale à exponentielle.

Exercice (PageIndex{E} [5pt]): Opérations de forme radicale à exponentielle

Réécrivez sous forme exponentielle puis effectuez les opérations.

  1. (sqrt [ 3 ] { 9 } cdot sqrt [ 5 ] { 3 } [5pt])
  2. (sqrt { 5 } cdot sqrt [ 5 ] { 25 } [5pt])
  3. (sqrt { x } cdot sqrt [ 3 ] { x } [5pt])
  4. (sqrt { y } cdot sqrt [ 4 ] { y } [5pt])
  5. (sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } cdot sqrt [ 4 ] { x } [5pt])
  6. (sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } cdot sqrt [ 3 ] { x } [5pt])
  7. (dfrac { sqrt [ 3 ] { 100 } } { sqrt { 10 } } [5pt])
  1. (dfrac { sqrt [ 5 ] { 16 } } { sqrt [ 3 ] { 4 } } [5pt])
  2. (dfrac { sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } { sqrt { a } } [5pt])
  3. (dfrac { sqrt [ 5 ] { b ^ { 4 } } } { sqrt [ 3 ] { b } } [5pt])
  4. (dfrac { sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } } [5pt])
  5. (dfrac { sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } } { sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } [5pt])
  1. (sqrt { sqrt [ 5 ] { 16 } } [5pt])
  2. (sqrt { sqrt [ 3 ] { 9 } } [5pt])
  3. (sqrt [ 3 ] { sqrt [ 5 ] { 2 } } [5pt])
  4. (sqrt [ 3 ] { sqrt [ 5 ] { 5 } } [5pt])
  5. (sqrt [ 3 ] { sqrt { 7 } } [5pt])
  6. (sqrt [ 3 ] { sqrt { 3 } } [5pt])
Réponses 131-147 :
131. (sqrt [ 15 ] { 3 ^ { 13 } } [5pt])
133. (sqrt [ 6 ] { x ^ { 5 } } [5pt])
135. (sqrt [ 12 ] { x ^ { 11 } } [5pt])
137. (sqrt [ 6 ] { 10 } [5pt])
139. (sqrt [ 6 ] { un } [5pt])
141. (sqrt [ 15 ] { x } [5pt])
143. (sqrt [ 5 ] { 4 } [5pt])
145. (sqrt [ 15 ] { 2 } [5pt])
147. (sqrt [ 6 ] { 7 } [5pt])
( grande étoile )

.


Nombres rationnels

La plupart des nombres que nous utilisons dans la vie quotidienne sont des nombres rationnels.

Voici d'autres exemples :

Numéro En tant que fraction Rationnel?
5 5/1 Oui
1.75 7/4 Oui
.001 1/1000 Oui
&moins0.1 &moins1/10 Oui
0.111. 1/9 Oui
&radique2
(racine carrée de 2)
? NON !

Oups! La racine carrée de 2 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une simple fraction ! Et il y a beaucoup plus de tels nombres, et parce qu'ils sont pas rationnel ils sont appelés Irrationnels.

Un autre célèbre irrationnel le nombre est Pi ( &pi ):


Activités résolues

Nous appliquons la définition de l'exponentiation, en multipliant la base par elle-même autant de fois que l'exposant l'indique :

Si l'exposant est négatif, nous exprimons d'abord la puissance sous forme de fraction. L'exposant sera le dénominateur, nous appliquons donc la règle de l'exposant négatif, en faisant des exposants positifs.

Quand on a un pouvoir d'un pouvoir. On applique la règle qui consiste à multiplier les deux exposants et on obtient une puissance avec un exposant négatif. On continue de la même manière que le point précédent.

Nous avons le quotient de deux puissances. Parce que la base est la même, la règle dit que nous soustrayons les exposants (le numérateur moins le dénominateur). On obtient un exposant négatif.

On a la multiplication des puissances au numérateur, mais on ne peut pas la résoudre car il y a des bases différentes (2 et 3). Au dénominateur nous avons une puissance de base 6 (3,2).

En écrivant la puissance au dénominateur comme la multiplication des puissances des bases 3 et 2, on a alors les mêmes bases au numérateur et au dénominateur et on peut maintenant appliquer les règles.

Tout d'abord, nous pouvons éliminer le signe négatif sur l'exposant de la première puissance en écrivant la fraction inverse. De cette façon, nous aurons une division des pouvoirs avec la même base.

Nous appliquons les règles d'exponentiation à chacun d'eux pour simplifier l'expression. Nous transformons les bases en d'autres (à l'aide de pouvoirs) pour obtenir des bases en commun.

Le plus gros problème dans cette expression est le nombre de bases différentes dont disposent les pouvoirs. Ce que nous allons faire, c'est décomposer les bases en facteurs premiers. Remarquerez que 10 = 2·5 et 60 = 6·10 = 2·3·2·5. Après cela, nous n'avons plus qu'à multiplier ou diviser les pouvoirs.

Nous appliquons les propriétés d'exponentiation, mais d'abord entre parenthèses pour commencer à les éliminer.

Exercice 10

Nous avons un exposant élevé, mais nous n'avons pas à nous en préoccuper. Le point important de cet exercice est que la base du pouvoir, qui est toute la parenthèse, est une soustraction et nous n'avons pas de règles pour la résoudre. Pour cette raison, nous devons faire le travail entre parenthèses jusqu'à ce que nous puissions appliquer les règles que nous avons.

Exercice 11

On écrit la base 18 comme un produit de facteurs premiers et on la regroupe en puissances : 18 = 3·6 = 3·2·3.

Exercice 12

Nous avons beaucoup d'exposants. Nous appliquons la règle au premier, qui est la puissance d'une multiplication. Il faut bien identifier les facteurs de multiplication pour appliquer les règles sans se tromper. Après, nous continuerons avec les autres exposants.

Exercice 13

On élimine le premier exposant, -1, ce qui revient à écrire l'inverse de la base. Nous avons aussi des bases différentes, mais nous savons déjà comment résoudre ce problème : écrire les bases comme produits de facteurs premiers et regrouper en puissances. Nous nous souvenons que le symbole ":" est une division, de la même manière que "/".

Exercice 14

La difficulté dans ce problème réside dans les paramètres, ou ce qui est la même chose, les lettres. Nous travaillons avec eux de la même manière qu'avec les nombres (les paramètres représentent des nombres après tout).

Exercice 15

Bien qu'il s'agisse simplement d'un problème d'écriture, nous représenterons les divisions ":" sous la forme de fractions "/".


College Algebra (7e édition) Modifier l'édition

Exposants rationnels Exprimez le radical comme une puissance avec un exposant rationnel.

(une)

(b)

Pour tout exposant rationnel en termes les plus bas, où est un entier et , nous définissons

Si est pair, alors nous exigeons que

Si et sont deux entiers positifs, on a

les facteurs

les facteurs les facteurs les facteurs

groupe de facteurs

Le cas dont ou alors peut être prouvé en utilisant la définition des exposants négatifs.


Section P.3 : Exposants entiers et notation scientifique

La connaissance des règles suivantes est essentielle pour notre travail avec les exposants et les bases.

Dans le tableau, les bases a et b sont des nombres réels et les exposants m et n sont des nombres entiers.

1. aman amn32 # 35 325  37

Pour multiplier deux puissances du même nombre, additionnez les exposants.

Pour diviser deux puissances du même nombre, soustrayez les exposants.

Pour élever une puissance à une nouvelle puissance, multipliez les exposants.

Pour élever un produit à une puissance, élevez chaque facteur à la puissance.

Pour élever un quotient à une puissance, élevez à la fois le numérateur et le dénominateur

Pour élever une fraction à une puissance négative, inversez la fraction et changez

o déplacer un nombre élevé à une puissance du numérateur au dénominateur

ou du dénominateur au numérateur, changer le signe de l'exposant.

Preuve de la loi 3 Si m et n sont des entiers positifs, on a

1a # un # . . . # a2 1a # a # . . . # a2 . . . 1a # un # . . . # a2

Les cas pour lesquels m 0 ou n  0 peuvent être prouvés en utilisant la définition de

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20 CHAPITRE P ■ Prérequis

Preuve de la loi 4 Si n est un entier positif, on a

1ab2 n 1ab2 1ab2 . . . 1ab2 1a # un # . . . # a2 # 1b # b # . . . # b2  a n b n

Ici, nous avons utilisé à plusieurs reprises les propriétés commutatives et associatives. Si n 0,

La loi 4 peut être prouvée en utilisant la définition des exposants négatifs.

On vous demande de prouver les lois 2, 5, 6 et 7 dans les exercices 58 et 59.

Exemple 3 ■ Utilisation des lois des exposants

Essayez maintenant les exercices 19 et 21

Exemple 4 ■ Simplification d'expressions avec des exposants

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3 (b) a b a

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3

1 2a 3b 2 2 333a 3 1 b 4 2 3 4

1 2a 3b 2 2 1 27a 3b 12 2

Essayez maintenant les exercices 25 et 29

Regrouper les facteurs avec la même base

Regrouper les facteurs avec la même base

Lors de la simplification d'une expression, vous constaterez que de nombreuses méthodes différentes conduiront

au même résultat, vous devriez vous sentir libre d'utiliser l'une des règles des exposants pour arriver à

votre propre méthode. Dans l'exemple suivant, nous voyons comment simplifier des expressions avec des exposants négatifs.

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SECTION P.3 ■ Exposants entiers et notation scientifique 21

Mathématiques dans le monde moderne

Exemple 5 ■ Simplification d'expressions avec des exposants négatifs

Bien que nous ignorions souvent son

présence, les mathématiques imprègnent presque

tous les aspects de la vie dans le monde moderne.

Avec l'avènement de la technologie moderne,

les mathématiques jouent un rôle de plus en plus important dans

nos vies. Aujourd'hui tu étais probablement réveillé

activé par un réveil numérique, envoyé un texte,

surfé sur Internet, regardé la TVHD ou un

vidéo en streaming, écouté de la musique sur

votre téléphone portable, conduit une voiture numériquement

injection de carburant contrôlée, puis s'est endormi

dans une pièce dont la température est con

contrôlé par un thermostat numérique. Dans chacun de

ces activités les mathématiques sont cruciales

impliqué. En général, une propriété telle que

l'intensité ou la fréquence du son, la

niveau d'oxygène dans les émissions d'échappement de

une voiture, les couleurs d'une image ou le tem

la température dans votre chambre est transformée

en séquences de nombres par sophisti

algorithmes mathématiques catés. Ces

données numériques, qui consistent généralement en

plusieurs millions de bits (les chiffres 0 et 1),

sont ensuite transmis et réinterprétés.

Traiter d'aussi énormes quantités de données

n'était pas possible jusqu'à l'invention de

ordinateurs, machines dont le processus logique

Les esses ont été inventés par des mathématiciens.

Les apports des mathématiques dans

le monde moderne ne se limite pas à la technologie

avancées technologiques. Les processus logiques de

les mathématiques sont maintenant utilisées pour analyser com

problèmes complexes dans les domaines social, politique et

sciences de la vie d'une manière nouvelle et surprenante.

Les progrès des mathématiques continuent d'être

fait, certains des plus excitants de ces

juste au cours de la dernière décennie.

Dans d'autres Mathématiques dans le Moderne

monde, nous décrirons plus en détail comment

les mathématiques nous affectent tous dans tous nos

Éliminez les exposants négatifs et simplifiez chaque expression.

ous utilisons la loi 7, qui permet de déplacer un nombre élevé à une puissance de la

numérateur au dénominateur (ou vice versa) en changeant le signe de l'exposant.


Exposants fractionnaires

Ceci est considéré comme cohérent avec la règle de puissance pour n = 2/3.

Faisons une généralisation de cet exemple. Tout nombre rationnel n peut être exprimé comme p/q pour certains entiers p et q non nul. Alors, pour y = x n ,

C'est exactement ce que nous obtiendrions si nous supposions que la même règle de puissance est valable pour les exposants fractionnaires que pour les exposants entiers. Notez que nous n'avons pas eu besoin de supposer quoi que ce soit sur les signes de p ou q , à part le fait que q ne peut pas être nul. Par conséquent, notre règle de puissance peut maintenant être appliquée en toute sécurité à tous les exposants rationnels.

La définition de la dérivée peut également être utilisée, mais comme le montrent les deux exemples suivants, l'utilisation directe de la définition est souvent beaucoup plus lourde que la règle de puissance améliorée.

Prenons le cas assez simple

De la définition de la dérivée,

en accord avec la règle de puissance pour n = 1/2. Pour n = &ndash1/2, la définition de la dérivée donne

et une manipulation algébrique similaire conduit à

encore une fois en accord avec la règle de puissance.

Pour voir comment des cas plus compliqués pourraient être traités, rappelez-vous l'exemple ci-dessus,

De la définition de la dérivée,

une fois de plus en accord avec la Règle du Pouvoir. Cet exemple devrait clairement montrer que pour les exposants fractionnaires, l'utilisation de la règle de puissance est bien plus pratique que le recours à la définition de la dérivée.


P.4E : Exercices - Exposants Rationnels - Mathématiques

où a est une constante positive non égale à 1 et est le logarithme naturel (base e ) de a . Ces formules conduisent immédiatement aux intégrales indéfinies suivantes :

En résolvant les problèmes suivants, souvenez-vous de ces trois règles générales d'intégration :

où n est une constante différente de -1,

où k est une constante quelconque, et

où k est une constante non nulle, apparaît si souvent dans l'ensemble de problèmes suivant, nous allons maintenant trouver une formule pour cela en utilisant la substitution u afin que nous n'ayons pas à faire ce processus simple à chaque fois. Commencez par laisser

Maintenant, remplacez le problème d'origine, en remplaçant toutes les formes de x et en obtenant

Nous avons maintenant la variante suivante de la formule 1.) :

Les règles suivantes, souvent oubliées, mal utilisées et impopulaires pour les exposants seront également utiles :

Cliquez ICI pour voir une solution détaillée au problème 1.

Cliquez ICI pour voir une solution détaillée au problème 2.

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Cliquez ICI pour revenir à la liste originale des différents types de problèmes de calcul.

Vos commentaires et suggestions sont les bienvenus. Veuillez envoyer toute correspondance par e-mail à Duane Kouba en cliquant sur l'adresse suivante :


Ressources mathématiques PCC SLC

La plupart des comptes d'épargne qui accumulent des intérêts accumulent les intérêts de manière composée. L'exemple le plus simple d'intérêt composé est un dépôt unique qui accumule des intérêts sur le solde courant à la fin de chaque année. Supposons que vous déposez 100 $ dans un compte qui applique un intérêt de 4 % au solde actuel à la fin de chaque année. Ce processus est illustré à la figure 9.9.1.

Année Solde de départ ($) Intérêts gagnés ($) Solde de clôture ($)
(1) (100.00) (0.04(100.00)=4.00) (104.00)
(2) (104.00) (0.04(104.00)=4.16) (108.16)
(3) (108.16) (0.04(108.16)=4.33) (112.49)
(4) (112.49) (0.04(112.49)=4.50) (116.99)
Graphique 9.9.1. 4% d'intérêt composé annuellement

Si nous laissons (x) représenter le solde au début de n'importe quelle année, alors le solde à la fin de cette année est donné par la formule dérivée ci-dessous.

Dans la figure 9.9.2, la formule s'applique depuis plusieurs années.

Année Solde d'ouverture Solde de clôture
(1) (100) (1.04(100))
(2) (1.04(100)) (1.04 cdot 1.04(100)=1.04^2(100))
(3) (1.04^2(100)) (1.04 cdot 1.04^2(100)=1.04^3(100))
(4) (1.04^3(100)) (1.04 cdot 1.04^3(100)=1.04^4(100))
Graphique 9.9.2. 4% d'intérêt composé annuellement

Il est facile de voir que si nous laissons (B(t)) représenter le solde du compte après que le compte a généré des intérêts pendant (t) ans, alors

Pour la plupart des comptes d'épargne, les intérêts sont appliqués plus d'une fois par an. Supposons, par exemple, que dans le compte ci-dessus, au lieu des intérêts de 4 % appliqués à la fin de chaque année, des intérêts de 1 % sont appliqués à la fin de chaque trimestre (31 mars 30 juin, 30 septembre et 31 décembre). Ce scénario est illustré à la figure 9.9.3.

Trimestre Solde de départ ($) Intérêts gagnés ($) Solde de clôture ($)
(1) (100.00) (0.01(100.00)=1.00) (101.00)
(2) (101.00) (0.01(101.00)=1.01) (102.01)
(3) (102.01) (0.01(102.01)=1.02) (103.03)
(4) (103.03) (0.01(103.03)=1.03) (104.06)
Graphique 9.9.3. 4 % d'intérêts composés trimestriellement

Nous pouvons voir qu'au bout d'un an (fin du quatrième trimestre), le montant des intérêts gagnés n'était pas de 4 %, mais était plutôt de 4,06 %. L'intérêt annuel avant l'effet composé est appelé . Le taux d'intérêt après l'effet composé est appelé . Dans notre scénario actuel, 1% d'intérêt est appliqué quatre fois par an, donc le solde à la fin de (t) ans est donné par la formule

Nous pouvons analyser davantage la formule d'une manière qui communique comment le taux d'intérêt de 1% a été dérivé.

De la dernière formule, nous pouvons déduire une formule générale pour le solde d'un compte après avoir composé les intérêts pendant (t) années.

(P) est l'investissement initial dans le compte

(r) est le taux d'intérêt nominal

(n) est le nombre de fois que l'intérêt est composé chaque année

(t) est le nombre d'années pendant lesquelles les intérêts ont été gagnés

Exemple 9.9.4 .

Supposons que Giacomo investisse 100 $ dans un compte d'épargne avec un taux d'intérêt nominal de 4 %. Déterminez le taux d'intérêt effectif sur le compte si l'intérêt est composé de chacune des façons suivantes.

Étant donné que l'investissement est de 100 $, nous pouvons déterminer les taux effectifs en appliquant la formule des intérêts composés à chaque scénario pendant un an. Le montant de la croissance du compte au bout d'un an sera numériquement équivalent au taux d'intérêt effectif. Tous les calculs ci-dessous ont été arrondis au cent le plus proche.

Le taux effectif sur le compte est de 4,07 %.

Le taux effectif sur le compte est de 4,08 %.

Taux d'intérêt continus et nombre e.

Supposons que vous ouvriez un compte d'épargne avec un taux d'intérêt nominal de 4%. (Bonne chance.) Comme l'illustre la figure 9.9.5, le taux d'intérêt effectif augmente à mesure que le nombre d'événements composés par an augmente.

Nombre d'événements composés par an Taux d'intérêt effectif
(1) 4%
(4) 4.06%
(12) 4.07%
(52) 4.08%
Graphique 9.9.5. Taux d'intérêt effectif lorsque le taux d'intérêt nominal est de 4 %

Supposons maintenant que le nombre d'événements composés par an continue d'augmenter : mille fois par an, un million de fois par an, un milliard de fois par an ! Plus les intérêts sont composés par an, plus le compte se rapproche d'avoir les intérêts composés à un . Nous pourrions utiliser notre formule de taux d'intérêt établie avec (n=1 000 000) pour obtenir une très bonne estimation du taux d'intérêt continu effectif, mais il existe une autre option. Avant de proposer l'autre option, nous devons manipuler notre formule d'intérêt existante sous une autre forme.

Dans la dernière expression, (x=frac ext<,>) de sorte que le nombre d'événements de composition augmente, la valeur de (x ext<.>) augmente également

Dans la figure 9.9.6, nous voyons l'effet que l'augmentation de la valeur de (x) a sur la valeur de (left(1+frac<1> ight)^x ext<.>) Plus la valeur de (x ext<,>) est grande plus l'expression (left(1+frac<1> est proche) ight)^x) atteint .

(X) (gauche(1+frac<1>droit)^x)
(10) (2.59374)
(100) (2.70481)
(1,000) (2.71692)
(10,000) (2.71815)
(100,000) (2.71827)
(1,000,000) (2.71828)
Graphique 9.9.6. Les valeurs de (left(1+frac<1>droit)^x)

Le nombre (e) est également appelé . La valeur de (e) est arrondie au millionième le plus proche ci-dessous.

Comme mentionné précédemment, à mesure que le nombre d'événements de composition annuels augmente, la valeur de (x ext<.>) augmente également. À mesure que la valeur de (x) augmente, la valeur de l'expression (left( 1+frac<1> ight)^x) se rapproche de plus en plus du nombre (e ext<.>) Utilisons ce fait pour trouver notre .

(P) est le montant initial de l'investissement

(r) est le taux d'intérêt nominal

(t) est le nombre d'années pendant lesquelles les intérêts sont gagnés

Exemple 9.9.7 .

Déterminez le taux effectif sur un compte avec un taux d'intérêt nominal de 6 % qui se compose continuellement.

Voyons quel est l'effet sur un an de ce scénario sur un dépôt initial de 100 $ (arrondi au cent le plus proche).

Parce que sur un an 100 $ ont augmenté de 6,08 $, le taux d'intérêt effectif est de 6,18 %.

La fonction logarithme naturel.

La fonction logarithme avec une base de (e) est appelée . La fonction est symbolisée par (ln(x)) qui est lu à haute voix comme "le log(arithme) naturel de (x ext<.>)" Pour réitérer,

La fonction logarithme népérien est extrêmement importante en calcul. À ce niveau, il remplit essentiellement deux fonctions. C'est une clé sur n'importe quelle calculatrice scientifique ou graphique, elle peut donc être utilisée lors de l'application du changement de formule de base. Il est également utilisé lors de la résolution d'équations exponentielles où la base de la ou des expressions exponentielles est le nombre (e ext<.>) Avant de voir plusieurs exemples, faisons une observation basée sur la propriété logarithmique (log_b( b^n)=n exte<.>)

Exemple 9.9.8 .

Soojin a un compte d'épargne qui compose les intérêts en permanence. Le taux d'intérêt effectif sur le compte de Soojin est de 2,84 %. Quel est le taux d'intérêt nominal du compte ?

Si Soojin investit 100 $ pendant un an, son solde à la fin d'un an est de 102,84 $. On peut déterminer le taux d'intérêt nominal, (r ext<,>) en résolvant l'équation

Nous pourrions utiliser un logarithme de n'importe quelle base pour résoudre l'équation. Cependant, comme notre technologie a tendance à n'avoir que des clés pour les logarithmes de base (10) et de base (e ext<,>), nous avons tendance à n'utiliser que ces deux bases. Étant donné que la base de l'expression exponentielle dans l'équation que nous résolvons est (e ext<,>), il semble naturel que (e) soit la base que nous utiliserons toujours. N'oubliez pas qu'au lieu d'écrire (log_e(x)) nous écrivons (ln(x) ext<.>)

Le taux d'intérêt nominal sur le compte de Soojin est de 2,8%.

Exemple 9.9.9 .

Déterminez la solution de l'équation (7e^<10-3x>+4=12 ext<.>) Arrondissez la valeur finale au millième près.

Nous voulons isoler l'expression exponentielle avant de prendre le logarithme népérien des deux côtés.

Exemple 9.9.10 .

Utilisez la fonction de logarithme népérien pour déterminer la valeur de (log_9(74) ext<.>) Arrondissez la valeur au millième le plus proche.

Avant d'appliquer la formule de changement de base, remarquons que

et parce que (9^2=81 ext<,>) nous nous attendons à ce que la valeur de (log_9(74)) soit un peu inférieure à (2 ext<.>) estimer la valeur.

Exemple 9.9.11 .

La plupart des conditions météorologiques telles que nous les connaissons ici sur Terre se produisent à moins de neuf milles de la surface de la Terre. Supposons qu'il y ait une gigantesque (nous prenons une très grande) feuille de papier quadrillé disposée perpendiculairement à la surface de la Terre. Supposons qu'un système d'axes (xy) est dessiné sur le papier millimétré avec une unité de pouces à la fois sur l'axe (x) et l'axe (y). Supposons en outre que l'origine du système d'axes se trouve à la surface de la Terre. Supposons que nous ayons représenté graphiquement la fonction (y=e^x) sur cette fantastique feuille de papier millimétré. De quelle distance aurions-nous besoin pour parcourir l'axe (x) avant que la coordonnée (y) ne s'échappe de la zone météorologique de la Terre ?

On nous demande essentiellement la valeur de (x) lorsque la coordonnée (y) sur le graphique de (y=e^x) est à neuf milles au-dessus de l'axe (x). Nous devrons convertir les unités de miles en unités de pouces avant de pouvoir prendre cette décision.

Nous pouvons déterminer la réponse à la question en résolvant l'équation (e^x=570,240 ext<.>) Faisons-le.

Ainsi, au moment où nous avons parcouru un peu plus d'un pied (12 pouces) dans la direction (x), la coordonnée (y) sur le graphique de (y=e^x) est déjà neuf milles au-dessus de la surface de la Terre.

Exercices Exercices

Résolvez chaque équation pour (x ext<.>) Dans chaque cas, arrondissez la ou les solutions au millième près.

La solution approximative de l'équation donnée est 2,265.

Je vais résoudre cette équation deux fois car il existe deux stratégies de résolution extrêmement différentes mais réussies qui peuvent être appliquées à l'équation.

Quelle que soit la façon dont vous la découpez, la solution approximative de l'équation donnée est de 0,902.

Les deux valeurs sont dans le domaine des trois expressions logarithmiques de l'équation d'origine, les solutions approximatives sont donc 5,915 et 2,085.

(6.076) is not in the domain of the expression (ln(6-x) ext<,>) so the given equation has no solution.

Solve each compound interest problem.

Lucy has a savings account which accrues interest at a continuous rate. The nominal rate on the account is 3.25%. Lucy made a one-time deposit of $5,000. How much was in the account 7.5 years after Lucy made her deposit? What is the effective annual interest rate for the account?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

This gives us the following (rounded to the nearest cent).

So the balance of Lucy's account after 7.5 years is $6,380.16. We can determine the effective rate for Lucy's account if we track what happens to $100 in one year.

Because $100 grew to $103.56 in one year, the effective annual interest rate on the account is 3.56%.

Abdul has inherited $50,000 tax free. Abdul plans to save this money for retirement in thirty years. He would like the balance at that time to be at least $1,000,000. What is the minimum average continuous rate of growth the savings must achieve to meet Abdul's goal?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

We need to solve the equation (1,000,000=50,000e^<(r cdot 30)>) for (r ext<.>) Let's do it.

For Abdul to reach his savings goal, the account will have to grow at a continuous annual interest rate of 10%.

Keenan has a bond that has a nominal annual interest rate of 4.25%. The bond accrues interest at the end of every quarter. What is the effective annual interest rate on Keenan's bond?.

The formula for this exercise is

We are told that the nominal annual interest rate, (r ext<,>) is (0.0425 ext<.>) We are told that the number of compounding events per year, (n ext<,>) is (4 ext<.>) We can determine the effective annual interest rate by making a virtual deposit, (P ext<,>) of $100.00 and seeing what the balance is after (1) year ((t)). The following calculation is rounded to the nearest cent.

Since $100.00 earns $4.32 interest in one year, we can deduce that the effective annual interest rate is 4.32%.

Jolene has a super sweet savings account that has an effective annual interest rate of 6.715%. The account compounds interest on a daily basis. Determine the nominal interest rate on Jolene's super sweet savings account. Use 365 for the number of days in a year.

The formula for this exercise is

The only value that we are given directly is (n ext<,>) the number of compounding events in a year (365). From the effective annual interest rate we can tell that $100.00 would grow to $106.715 over the course of one year. Let's let (P=100 ext<,>) (t=1 ext<,>) and (R(1)=106.715 ext<.>) We can then solve for the nominal interest rate, (r ext<.>)

The nominal annual interest rate on Jolene's account is 6.5%

When Earth's moon is directly above you, it is approximately 239,000 miles away from you. Suppose that our fantastical grid system perpendicular to the Earth was able to reach that high. How far would we have to travel out the (x)-axis before the (y)-coordinate on a graph of (y=e^x) would reach the moon? Recall that the origin of the grid is on the Earth's surface and that the unit on each axis is inches.

We are basically being asked for the value of the (x) when the (y)-coordinate on the graph of (y=e^x) is 239,000 miles above the (x)-axis. We'll need to convert the unit miles to a unit of inches before we'll be able to make that determination.

That's a lot of inches! We can determine the answer to the question by solving the equation (e^x=15,143,040,000 ext<.>) Let's do it.

So by the time we've traveled a little less than two feet (24 inches) in the (x)-direction the (y) coordinate on the graph of (y=e^x) is already to the moon! Extreme indeed.


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1.3 Radicals and Rational Exponents

Une quincaillerie vend des échelles de 16 pieds et des échelles de 24 pieds. Une fenêtre est située à 12 pieds au-dessus du sol. Une échelle doit être achetée qui atteindra la fenêtre à partir d'un point au sol à 5 ​​pieds du bâtiment. To find out the length of ladder needed, we can draw a right triangle as shown in Figure 1, and use the Pythagorean Theorem.

Now, we need to find out the length that, when squared, is 169, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Évaluation des racines carrées

Racine carrée principale

Fait 25 = ± 5 ? 25 = ± 5 ?

Exemple 1

Évaluation des racines carrées

Solution

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

To simplify a square root, we rewrite it such that there are no perfect squares in the radicand. There are several properties of square roots that allow us to simplify complicated radical expressions. The first rule we will look at is the product rule for simplifying square roots, which allows us to separate the square root of a product of two numbers into the product of two separate rational expressions. For instance, we can rewrite 15 15 as 3 ⋅ 5 . 3 ⋅ 5 . We can also use the product rule to express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.

The Product Rule for Simplifying Square Roots

Comment

Given a square root radical expression, use the product rule to simplify it.

  1. Factor any perfect squares from the radicand.
  2. Write the radical expression as a product of radical expressions.
  3. Simplifier.

Exemple 2

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Solution


  1. 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify . 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify .

  2. 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify .

Comment

Given the product of multiple radical expressions, use the product rule to combine them into one radical expression.

  1. Express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.
  2. Simplifier.

Exemple 3

Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Simplify the radical expression.
12 ⋅ 3 12 ⋅ 3

Solution

12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6 12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Just as we can rewrite the square root of a product as a product of square roots, so too can we rewrite the square root of a quotient as a quotient of square roots, using the quotient rule for simplifying square roots. It can be helpful to separate the numerator and denominator of a fraction under a radical so that we can take their square roots separately. We can rewrite 5 2 5 2 as 5 2 . 5 2 .

The Quotient Rule for Simplifying Square Roots

Comment

Given a radical expression, use the quotient rule to simplify it.

  1. Write the radical expression as the quotient of two radical expressions.
  2. Simplify the numerator and denominator.

Exemple 4

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Solution

5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator . 5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator .

Exemple 5

Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Simplify the radical expression.

Solution

234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root . 234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root .

Simplify 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 . 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 .

Adding and Subtracting Square Roots

Comment

Given a radical expression requiring addition or subtraction of square roots, simplify.

Exemple 6

Adding Square Roots

Solution

Exemple 7

Subtracting Square Roots

Subtract 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c . 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c .

Solution

Rewrite each term so they have equal radicands.

Now the terms have the same radicand so we can subtract.

Rationalizing Denominators

When an expression involving square root radicals is written in simplest form, it will not contain a radical in the denominator. We can remove radicals from the denominators of fractions using a process called rationalizing the denominator.

We know that multiplying by 1 does not change the value of an expression. We use this property of multiplication to change expressions that contain radicals in the denominator. To remove radicals from the denominators of fractions, multiply by the form of 1 that will eliminate the radical.

For a denominator containing a single term, multiply by the radical in the denominator over itself. In other words, if the denominator is b c , b c , multiply by c c . c c .

For a denominator containing the sum or difference of a rational and an irrational term, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the radical portion of the denominator. If the denominator is a + b c , a + b c , then the conjugate is a − b c . a − b c .

Comment

Given an expression with a single square root radical term in the denominator, rationalize the denominator.