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2.3.6 : Équations polynomiales


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Utiliser la propriété Zero Product
  • Résoudre des équations quadratiques par factorisation
  • Résoudre des équations avec des fonctions polynomiales
  • Résoudre des applications modélisées par des équations polynomiales

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Résoudre : (5y−3=0).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  2. Factoriser complètement : (n^3−9n^2−22n).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  3. Si (f(x)=8x−16), trouvez (f(3)) et résolvez (f(x)=0).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].

Nous avons passé un temps considérable à apprendre à factoriser des polynômes. Nous allons maintenant examiner les équations polynomiales et les résoudre en utilisant la factorisation, si possible.

UNE équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale. le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.

ÉQUATION POLYNOMIALE

UNE équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale.

le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.

Nous avons déjà résolu les équations polynomiales de premier degré. Les équations polynomiales de degré un sont des équations linéaires de la forme (ax+b=c).

Nous allons maintenant résoudre les équations polynomiales de degré deux. Une équation polynomiale de degré deux est appelée une équation quadratique. Voici quelques exemples d'équations quadratiques :

[x^2+5x+6=0 qquad 3y^2+4y=10 qquad 64u^2−81=0 qquad n(n+1)=42 onumber]

La dernière équation ne semble pas avoir la variable au carré, mais lorsque nous simplifions l'expression de gauche, nous obtiendrons (n^2+n).

La forme générale d'une équation quadratique est (ax^2+bx+c=0), avec (a eq 0). (Si (a=0), alors (0·x^2=0) et nous nous retrouvons sans terme quadratique.)

ÉQUATION QUADRATIQUE

Une équation de la forme (ax^2+bx+c=0) est appelée une équation quadratique.

[a,b, ext{ et }c ext{ sont des nombres réels et }a eq 0 onumber]

Pour résoudre des équations quadratiques, nous avons besoin de méthodes différentes de celles que nous utilisons pour résoudre des équations linéaires. Nous examinerons une méthode ici, puis plusieurs autres dans un chapitre ultérieur.

Utiliser la propriété Zero Product

Nous allons d'abord résoudre quelques équations quadratiques en utilisant le Propriété de produit zéro. La propriété Zero Product dit que si le produit de deux quantités est zéro, alors au moins une des quantités est zéro. La seule façon d'obtenir un produit égal à zéro est de multiplier par zéro lui-même.

PROPRIÉTÉ DU PRODUIT ZÉRO

Si (a·b=0), alors (a=0) ou (b=0) ou les deux.

Nous allons maintenant utiliser la propriété Zero Product, pour résoudre un équation quadratique.

Exemple (PageIndex{1}) : Comment résoudre une équation quadratique à l'aide de la propriété Zero Product

Résoudre : ((5n−2)(6n−1)=0).

Réponse

Exemple (PageIndex{2})

Résoudre : ((3m−2)(2m+1)=0).

Réponse

(m=frac{2}{3},space m=−frac{1}{2})

Exemple (PageIndex{3})

Résoudre : ((4p+3)(4p−3)=0).

Réponse

(p=−frac{3}{4},espace p=frac{3}{4})

UTILISEZ LA PROPRIÉTÉ DU PRODUIT ZÉRO.

  1. Définissez chaque facteur égal à zéro.
  2. Résoudre les équations linéaires.
  3. Vérifier.

Résoudre des équations quadratiques par factorisation

La propriété du produit zéro fonctionne très bien pour résoudre les équations quadratiques. L'équation quadratique doit être factorisée, avec zéro isolé d'un côté. Donc, nous sommes sûrs de commencer par l'équation quadratique dans forme standard, (ax^2+bx+c=0). Ensuite, nous factorisons l'expression de gauche.

Résoudre : (2y^2=13y+45).

Réponse

Exemple (PageIndex{5})

Résoudre : (3c^2=10c−8).

Réponse

(c=2,espace c=frac{4}{3})

Exemple (PageIndex{6})

Résoudre : (2d^2−5d=3).

Réponse

(d=3,espace d=−12)

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION QUADRATIQUE PAR FACTORISATION.

  1. Écrivez l'équation quadratique sous forme standard, (ax^2+bx+c=0).
  2. Factoriser l'expression quadratique.
  3. Utilisez la propriété Zero Product.
  4. Résoudre les équations linéaires.
  5. Vérifier. Remplacez chaque solution séparément dans l'équation originale.

Avant de prendre en compte, nous devons nous assurer que le équation quadratique est dans forme standard.

Résoudre des équations quadratiques par factorisation utilisera toutes les techniques de factorisation que vous avez apprises dans ce chapitre ! Reconnaissez-vous le modèle de produit spécial dans l'exemple suivant ?

Exemple (PageIndex{7})

Résoudre : (169q^2=49).

Réponse

(egin{array} {ll} &169x^2=49 ext{Écrire l'équation quadratique sous forme standard.} &169x^2−49=0 ext{Facteur. C'est une différence de carrés. } &(13x−7)(13x+7)=0 ext{Utilisez la propriété Zero Product pour définir chaque facteur sur }0. & ext{Résoudre chaque équation.} &egin{array} { ll} 13x−7=0 &13x+7=0 13x=7 &13x=−7 x=frac{7}{13} &x=−frac{7}{13} end{array} fin{tableau})

Vérifier:

Nous vous laissons le contrôle.

Exemple (PageIndex{8})

Résoudre : (25p^2=49).

Réponse

(p=frac{7}{5},p=−frac{7}{5})

Exemple (PageIndex{9})

Résoudre : (36x^2=121).

Réponse

(x=frac{11}{6},x=−frac{11}{6})

Dans l'exemple suivant, le côté gauche de l'équation est factorisé, mais le côté droit n'est pas nul. Afin d'utiliser le Propriété de produit zéro, un côté de l'équation doit être zéro. Nous allons multiplier les facteurs, puis écrire l'équation sous forme standard.

Exemple (PageIndex{10})

Résoudre : ((3x−8)(x−1)=3x).

Réponse

(egin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x ext{Multiplier les binômes.} &3x^2−11x+8=3x ext{Écrire le quadratique équation sous forme standard.} &3x^2−14x+8=0 ext{Facteur le trinôme.} &(3x−2)(x−4)=0 egin{array} {l} ext {Utilisez la propriété Zero Product pour définir chaque facteur sur 0.} ext{Résoudre chaque équation.} end{array} &egin{array} {ll} 3x−2=0 &x−4=0 3x=2 &x=4 x=frac{2}{3} & end{array} ext{Vérifiez vos réponses.} & ext{La vérification vous est laissée.} end{array })

Exemple (PageIndex{11})

Résoudre : ((2m+1)(m+3)=12m).

Réponse

(m=1,espace m=frac{3}{2})

Exemple (PageIndex{12})

Résoudre : ((k+1)(k−1)=8).

Réponse

(k=3,espace k=−3)

Dans l'exemple suivant, lorsque nous factoriserons l'équation quadratique, nous obtiendrons trois facteurs. Cependant, le premier facteur est une constante. Nous savons que ce facteur ne peut pas être égal à 0.

Exemple (PageIndex{13})

Résoudre : (3x^2=12x+63).

Réponse

(egin{array} {ll} &3x^2=12x+63 ext{Écrire l'équation quadratique sous forme standard.} &3x^2−12x−63=0 ext{Facteur le plus grand facteur commun first.} &3(x^2−4x−21)=0 ext{Facteur le trinôme.} &3(x−7)(x+3)=0 egin{array} {l} ext {Utilisez la propriété Zero Product pour définir chaque facteur sur 0.} ext{Résoudre chaque équation.} end{array} &egin{array} {lll} 3 eq 0 &x−7=0 &x+3 =0 3 eq 0 &x=7 &x=−3 end{array} ext{Vérifiez vos réponses.} & ext{La vérification vous est laissée.} end{array})

Exemple (PageIndex{14})

Résoudre : (18a^2−30=−33a).

Réponse

(a=−frac{5}{2},a=frac{2}{3})

Exemple (PageIndex{15})

Résoudre : (123b=−6−60b^2)

Réponse

(b=−2,espace b=−frac{1}{20})

le Propriété de produit zéro s'applique également au produit de trois facteurs ou plus. Si le produit est nul, au moins un des facteurs doit être nul. Nous pouvons résoudre certaines équations de degré supérieur à deux en utilisant la propriété du produit zéro, tout comme nous avons résolu des équations quadratiques.

Exemple (PageIndex{16})

Résoudre : (9m^3+100m=60m^2)

Réponse

(egin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 ext{Mettre tous les termes d'un côté pour que l'autre soit zéro.} &9m^3−60m^2+100m =0 ext{Facteur le plus grand commun en premier.} &m(9m^2−60m+100)=0 ext{Facteur le trinôme.} &m(3m−10)^2=0 end{ array} egin{array} {l} ext{Utilisez la propriété Zero Product pour définir chaque facteur sur 0.} ext{Résoudre chaque équation.} &egin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{} m=0 &m=frac{10}{3} & {} end{array} ext{Vérifiez vos réponses.} & ext{La vérification est laissée à vous.} end{tableau})

Exemple (PageIndex{17})

Résoudre : (8x^3=24x^2−18x).

Réponse

(x=0,espace x=frac{3}{2})

Exemple (PageIndex{18})

Résoudre : (16y^2=32y^3+2y).

Réponse

(y=0,espace y=14)

Résoudre des équations avec des fonctions polynomiales

Alors que notre étude des fonctions polynomiales se poursuit, il sera souvent important de savoir quand la fonction aura une certaine valeur ou quels points se trouvent sur le graphique de la fonction. Notre travail avec le Propriété de produit zéro nous aidera à trouver ces réponses.

Exemple (PageIndex{19})

Pour la fonction (f(x)=x^2+2x−2),

trouver (x) quand (f(x)=6)
trouver deux points qui se trouvent sur le graphique de la fonction.

Réponse


(egin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x−2 ext{Remplacer }6 ext{ pour }f(x). &6=x^2+2x−2 ext{Mettre le quadratique sous forme standard.} &x^2+2x−8=0 ext{Facteur le trinôme.} &(x+4)(x−2)=0 egin{array } {l} ext{Utiliser la propriété produit zéro.} ext{Résoudre.} end{array} &egin{array} {lll} x+4=0 & ext{ou} &x−2 =0 x=−4 & ext{ou} &x=2 end{array} ext{Vérifier :} & & & & & & & & & egin{array} {lll} quad &hspace{3mm} f(x)=x^2+2x−2 &f(x)=x^2+2x−2 quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4−2 quad &f(−4)=6checkmark &f(2)=6checkmark end{array} & end{array} )

ⓑ Puisque (f(−4)=6) et (f(2)=6), les points ((−4,6)) et ((2,6)) se trouvent sur le graphique de la fonction.

Exemple (PageIndex{20})

Pour la fonction (f(x)=x^2−2x−8),

trouver (x) quand (f(x)=7)
Trouvez deux points qui se trouvent sur le graphique de la fonction.

Réponse

(x=−3) ou (x=5)
((−3,7)espace (5,7))

Exemple (PageIndex{21})

Pour la fonction (f(x)=x^2−8x+3),

trouver (x) quand (f(x)=−4)
Trouvez deux points qui se trouvent sur le graphique de la fonction.

Réponse

(x=1) ou (x=7)
((1,−4)espace (7,−4))

le Propriété de produit zéro nous aide également à déterminer où la fonction est nulle. Une valeur de (x) où la fonction est (0), est appelée un zéro de la fonction.

ZÉRO D'UNE FONCTION

Pour toute fonction (f), si (f(x)=0), alors (x) est un zéro de la fonction.

Lorsque (f(x)=0), le point ((x,0)) est un point du graphe. Ce point est un (x)-intercepter du graphique. Il est souvent important de savoir où le graphique d'une fonction croise les axes. Nous verrons quelques exemples plus tard.

Exemple (PageIndex{22})

Pour la fonction (f(x)=3x^2+10x−8), trouvez

les zéros de la fonction,
ⓑ tous les (x)-intercepts du graphe de la fonction
tous les (y)-ordonnées à l'origine du graphe de la fonction

Réponse

ⓐ Pour trouver les zéros de la fonction, nous devons trouver quand la valeur de la fonction est 0.
(egin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 ext{Remplacer }0 ext{ pour}f(x). &0=3x^2+10x−8 ext{Facteur le trinôme.} &(x+4)(3x−2)=0 egin{array} {l} ext{Utiliser la propriété du produit zéro.} ext{Résoudre.} end{array} &egin{array} {lll} x+4=0 & ext{or} &3x−2=0 x=−4 & ext{or} &x=frac{2}{ 3} end{tableau} end{tableau})

ⓑ Une (x)-intercept se produit lorsque (y=0). Puisque (f(−4)=0) et (f(frac{2}{3})=0), les points ((−4,0)) et ((frac{ 2}{3},0)) se trouvent sur le graphique. Ces points sont des (x)-intercepts de la fonction.

ⓒ Une (y)-interception se produit lorsque (x=0). Pour trouver les interceptions (y) nous devons trouver (f(0)).
(egin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 ext{Rechercher }f(0) ext{ en remplaçant }0 ext{ par }x. &f(0 )=3·0^2+10·0−8 ext{Simplifier.} &f(0)=−8 end{tableau} )
Puisque (f(0)=−8), le point ((0,−8)) se trouve sur le graphe. Ce point est l'ordonnée à l'origine (y) de la fonction.

Exemple (PageIndex{23})

Pour la fonction (f(x)=2x^2−7x+5), trouvez

les zéros de la fonction
ⓑ tous les (x)-intercepts du graphe de la fonction
ⓒ n'importe quel (y)-ordonnée à l'origine du graphe de la fonction.

Réponse

(x=1) ou (x=frac{5}{2})
((1,0),espace (frac{5}{2},0)) ⓒ ((0,5))

Exemple (PageIndex{24})

Pour la fonction (f(x)=6x^2+13x−15), trouvez

les zéros de la fonction
ⓑ tous les (x)-intercepts du graphe de la fonction
ⓒ tous les (y)-intercepts du graphe de la fonction.

Réponse

(x=−3) ou (x=frac{5}{6})
ⓑ ((−3,0),space (frac{5}{6},0)) ⓒ ((0,−15))

Résoudre des applications modélisées par des équations polynomiales

La stratégie de résolution de problèmes que nous avons utilisée précédemment pour les applications qui se traduisent en équations linéaires fonctionnera aussi bien pour les applications qui se traduisent en équations polynomiales. Nous allons copier la stratégie de résolution de problèmes ici afin que nous puissions l'utiliser comme référence.

UTILISEZ UNE STRATÉGIE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES POUR RÉSOUDRE LES PROBLÈMES DE MOTS.

  1. Lis le problème. Assurez-vous que tous les mots et les idées sont compris.
  2. Identifier ce que nous recherchons.
  3. Nom ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
  4. Traduire dans une équation. Il peut être utile de reformuler le problème en une phrase avec toutes les informations importantes. Ensuite, traduisez la phrase anglaise en une équation algébrique.
  5. Résoudre l'équation en utilisant des techniques d'algèbre appropriées.
  6. Vérifier la réponse au problème et assurez-vous qu'elle a du sens.
  7. Réponse la question avec une phrase complète.

Nous allons commencer par un problème numérique pour nous entraîner à traduire des mots en une équation polynomiale.

Exemple (PageIndex{25})

Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 323. Trouvez les entiers.

Réponse

(egin{array} {ll} extbf{Étape 1. Lire } ext{le problème.} & extbf{Étape 2. Identifier } ext{ce que nous recherchons.} & ext{ Nous recherchons deux entiers consécutifs.} extbf{Étape 3. Nom} ext{ ce que nous recherchons.} & ext{Let } n= ext{ le premier entier.} &n+2 = ext{ prochain entier impair consécutif} egin{array} {l} extbf{Étape 4. Traduisez } ext{en une équation. Reformulez le}hspace{20mm} ext{problème dans un phrase.} end{array} &egin{array} {l} ext{Le produit de deux impairs consécutifs} ext{entiers est }323. end{array} &quad n( n+2)=323 extbf{Étape 5. Résoudre } ext{l'équation.} n^2+2n=323 ext{Mettre tous les termes de côté.} &n^2+2n− 323=0 ext{Facteur le trinôme.} &(n−17)(n+19)=0 egin{array} {l} ext{Utiliser la propriété du produit zéro.} ext {Résoudre les équations.} end{array} &egin{array} {ll} n−17=0 hspace{10mm}&n+19=0 n=17 &n=−19 end{array} fin{tableau} )
Il existe deux valeurs pour (n) qui sont des solutions à ce problème. Il y a donc deux ensembles d'entiers impairs consécutifs qui fonctionneront.

(egin{array} {ll} ext{Si le premier entier est } n=17 hspace{60mm} & ext{Si le premier entier est } n=-19 ext{alors le prochain impair entier est} & ext{puis le prochain entier impair est} hspace{53mm} n+2 &hspace{53mm} n+2 hspace{51mm} 17+2 &hspace{51mm} - 19+2 hspace{55mm} 19 &hspace{55mm} -17 hspace{51mm} 17,19 &hspace{51mm} -17,-19 extbf{Étape 6. Vérifier } ext{la réponse.} & ext{Les résultats sont des entiers impairs consécutifs} & egin{array} {ll} 17,space 19 ext{ et }−19,space −17. & 17·19=323checkmark &−19(−17)=323checkmark end{array} & ext{Les deux paires d'entiers consécutifs sont des solutions.} & extbf{Étape 7.Réponse } ext{la question} & ext{Les entiers consécutifs sont }17, 19 ext{ et }−19,−17. end{tableau} )

Exemple (PageIndex{26})

Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 255. Trouvez les entiers.

Réponse

(−15,−17) et (15, 17)

Exemple (PageIndex{27})

Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 483 Trouvez les entiers.

Réponse

(−23,−21) et (21, 23)

Avez-vous été surpris par le couple d'entiers négatifs qui est l'une des solutions de l'exemple précédent ? Le produit des deux nombres entiers positifs et le produit des deux nombres entiers négatifs donnent tous deux des résultats positifs.

Dans certaines applications, des solutions négatives résulteront de l'algèbre, mais ne seront pas réalistes pour la situation.

Exemple (PageIndex{28})

Une chambre rectangulaire a une superficie de 117 pieds carrés. La longueur de la chambre est de quatre pieds de plus que la largeur. Trouvez la longueur et la largeur de la chambre.

Réponse
Étape 1. Lire le problème. Dans les problèmes impliquant
figures géométriques, un croquis peut vous aider à visualiser
la situation.
Étape 2. Identifier Qu'est-ce que tu cherches.Nous recherchons la longueur et la largeur.
Étape 3. Nom Qu'est-ce que tu cherches.Soit (w= ext{ la largeur de la chambre}).
La longueur est de quatre pieds de plus que la largeur.(w+4= ext{ la longueur du jardin})
Étape 4. Traduire dans une équation.
Répétez les informations importantes dans une phrase.La superficie de la chambre est de 117 pieds carrés.
Utilise la formule de l'aire d'un rectangle.(A=l·w)
Substituer dans les variables.(117=(w+4)w)
Étape 5. Résoudre l'équation Distribuer d'abord.(117=w^2+4w)
Obtenez zéro d'un côté.(117=w^2+4w)
Factoriser le trinôme.(0=w^2+4w−117)
Utilisez la propriété Zero Product.(0=(w^2+13)(w−9))
Résous chaque équation.(0=w+13quad 0=w−9)
Puisque (w) est la largeur de la chambre, cela ne
il est logique qu'il soit négatif. Nous éliminons cette valeur pour (w).
(annuler{w=−13}) (quad w=9)
(w=9) La largeur est de 9 pieds.
Trouvez la valeur de la longueur.(w+4)
(9+4)
13 La longueur est de 13 pieds.
Étape 6. Vérifiez la réponse.
La réponse a-t-elle du sens ?


Oui, cela a du sens.

Étape 7. Réponse la question.La largeur de la chambre est de 9 pieds et
la longueur est de 13 pieds.

Exemple (PageIndex{29})

Un panneau rectangulaire a une superficie de 30 pieds carrés. La longueur du signe est un pied de plus que la largeur. Trouvez la longueur et la largeur du signe.

Réponse

La largeur est de 5 pieds et la longueur est de 6 pieds.

Exemple (PageIndex{30})

Un patio rectangulaire a une superficie de 180 pieds carrés. La largeur du patio est de trois pieds de moins que la longueur. Trouvez la longueur et la largeur du patio.

Réponse

La longueur du patio est de 12 pieds et la largeur de 15 pieds.

Dans l'exemple suivant, nous utiliserons le théorème de Pythagore ((a^2+b^2=c^2)). Cette formule donne la relation entre les jambes et l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Nous utiliserons cette formule dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{31})

La voile d'un bateau a la forme d'un triangle rectangle, comme illustré. L'hypoténuse mesurera 17 pieds de long. La longueur d'un côté sera de 7 pieds de moins que la longueur de l'autre côté. Trouvez les longueurs des côtés de la voile.

Réponse
Étape 1. Lire le problème
Étape 2. Identifier Qu'est-ce que tu cherches.Nous recherchons les longueurs de
côtés de la voile.
Étape 3. Nom Qu'est-ce que tu cherches.
Un côté est 7 de moins que l'autre.
Soit (x= ext{ longueur d'un côté de la voile}).
(x−7= ext{ longueur de l'autre côté})
Étape 4. Traduire dans une équation. Puisqu'il s'agit d'un
triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore.
(a^2+b^2=c^2)
Substituer dans les variables.(x^2+(x−7)^2=17^2)
Étape 5. Résoudre l'équation
Simplifier.
(x^2+x^2−14x+49=289)
(2x^2−14x+49=289)
C'est une équation quadratique, donc obtenez zéro d'un côté.(2x^2−14x−240=0)
Factorisez le plus grand facteur commun.(2(x^2−7x−120)=0)
Factoriser le trinôme.(2(x−15)(x+8)=0)
Utilisez la propriété Zero Product.(2 eq 0quad x−15=0quad x+8=0)
Résoudre.(2 eq 0quad x=15quad x=−8)
Puisque (x) est un côté du triangle, (x=−8) ne
faire sens.
(2 eq 0quad x=15quad cancel{x=−8})
Trouvez la longueur de l'autre côté.
Si la longueur d'un côté est
alors la longueur de l'autre côté est



8 est la longueur de l'autre côté.
Étape 6. Vérifiez la réponse dans le problème
Ces chiffres ont-ils un sens ?

Étape 7. Réponse la questionLes côtés de la voile sont de 8, 15 et 17 pieds.

Exemple (PageIndex{32})

Justine veut mettre une terrasse dans le coin de son jardin en forme de triangle rectangle. La longueur d'un côté du pont est de 7 pieds de plus que l'autre côté. L'hypoténuse est de 13. Trouvez les longueurs des deux côtés du pont.

Réponse

5 pieds et 12 pieds

Exemple (PageIndex{33})

Un jardin de méditation a la forme d'un triangle rectangle, avec une jambe de 7 pieds. La longueur de l'hypoténuse est un de plus que la longueur de l'autre jambe. Trouvez les longueurs de l'hypoténuse et de l'autre jambe.

Réponse

24 pieds et 25 pieds

L'exemple suivant utilise la fonction qui donne la hauteur d'un objet en fonction du temps lorsqu'il est projeté à 80 pieds au-dessus du sol.

Exemple (PageIndex{34})

Dennis va lancer sa balle d'élastique vers le haut du haut d'un bâtiment du campus. Lorsqu'il lance la balle élastique à 80 pieds au-dessus du sol, la fonction (h(t)=−16t^2+64t+80) modélise la hauteur, (h), de la balle au-dessus du sol comme une fonction du temps, (t). Trouver:

les zéros de cette fonction qui nous disent quand la balle touche le sol
quand le ballon sera à 80 pieds au-dessus du sol
ⓒ la hauteur de la balle à (t=2) secondes.

Réponse

ⓐ Les zéros de cette fonction sont trouvés en résolvant (h(t)=0). Cela nous dira quand la balle touchera le sol.
(egin{array} {ll} &h(t)=0 ext{Substitue dans le polynôme pour }h(t). &−16t^2+64t+80=0 ext{Facteur le GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 ext{Facteur le trinôme.} &−16(t−5)(t+1)=0 egin{ array} {l} ext{Utiliser la propriété du produit zéro.} ext{Résoudre.} end{array} &egin{array} {ll} t−5=0 &t+1=0 t =5 &t=−1 end{tableau} end{tableau} )

Le résultat (t=5) nous indique que la balle touchera le sol 5 secondes après avoir été lancée. Comme le temps ne peut pas être négatif, le résultat (t=−1) est rejeté.

ⓑ La balle sera à 80 pieds au-dessus du sol lorsque (h(t)=80).
(egin{array} {ll} &h(t)=80 ext{Remplacer dans le polynôme }h(t). &−16t^2+64t+80=80 ext{Soustraire 80 des deux côtés.} &−16t^2+64t=0 ext{Facteur le GCF, }−16t. &−16t(t−4)=0 egin{array} {l} ext{ Utilisez la propriété Zero Product.} ext{Solve.}end{array} &egin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 t=0 &t=4 end{array } & ext{La balle sera à 80 pieds au moment où Dennis} & ext{lance la balle, puis 4 secondes plus tard, quand} & ext{la balle tombe.} end{ déployer} )

ⓒ Pour trouver la hauteur de balle à (t=2) secondes, nous trouvons (h(2)).
(egin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 ext{Pour trouver }h(2) ext{ remplacez }2 ext{ par }t. &h( 2)=−16(2)^2+64·2+80 ext{Simplifier.} &h(2)=144 & ext{Après 2 secondes, la balle sera à 144 pieds.} fin{tableau})

Exemple (PageIndex{35})

Geneviève va lancer un rocher du haut d'un sentier surplombant l'océan. Quand elle jette le rocher vers le haut à 160 pieds au-dessus de l'océan, la fonction (h(t)=−16t^2+48t+160) modélise la hauteur, (h), du rocher au-dessus de l'océan comme un fonction du temps, (t). Trouver:

les zéros de cette fonction qui nous disent quand le rocher va toucher l'océan
ⓑ quand le rocher sera à 160 pieds au-dessus de l'océan.
ⓒ la hauteur du rocher à (t=1,5) secondes.

Réponse

ⓐ 5 ⓑ 0;3 ⓒ 196

Exemple (PageIndex{36})

Calib va ​​jeter son porte-bonheur depuis son balcon sur un bateau de croisière. Quand il jette le penny vers le haut à 128 pieds au-dessus du sol, la fonction (h(t)=−16t^2+32t+128) modélise la hauteur, (h), du penny au-dessus de l'océan comme un fonction du temps, (t). Trouver:

les zéros de cette fonction qui correspond au moment où le sou va toucher l'océan
ⓑ quand le sou sera à 128 pieds au-dessus de l'océan.
ⓒ la hauteur à laquelle le penny sera à (t=1) secondes, c'est-à-dire lorsque le penny sera à son point le plus élevé.

Réponse

ⓐ 4 ⓑ 0;2 ⓒ 144

Accédez à cette ressource en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec les équations quadratiques.

  • Initiation à l'algèbre et résolution de quadratiques avec la propriété zéro

Concepts clés

  • Équation polynomiale : Une équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale. Le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.
  • Équation quadratique: Une équation de la forme (ax^2+bx+c=0) est appelée une équation quadratique.

    [a,b,c ext{ sont des nombres réels et } a eq 0 onumber]

  • Propriété de produit zéro : Si (a·b=0), alors (a=0) ou (b=0) ou les deux.
  • Comment utiliser la propriété Zero Product
    1. Définissez chaque facteur égal à zéro.
    2. Résoudre les équations linéaires.
    3. Vérifier.
  • Comment résoudre une équation quadratique par factorisation.
    1. Écrivez l'équation quadratique sous forme standard, (ax^2+bx+c=0).
    2. Factoriser l'expression quadratique.
    3. Utilisez la propriété Zero Product.
    4. Résoudre les équations linéaires.
    5. Vérifier. Remplacez chaque solution séparément dans l'équation originale.
  • Zéro d'une fonction : Pour toute fonction (f), si (f(x)=0), alors (x) est un zéro de la fonction.
  • Comment utiliser une stratégie de résolution de problèmes pour résoudre des problèmes de mots.
    1. Lis le problème. Ensuite, traduisez la phrase anglaise en une équation algébrique.
    2. Résoudre l'équation en utilisant des techniques d'algèbre appropriées.
    3. Vérifier la réponse au problème et assurez-vous qu'elle a du sens.
    4. Réponse la question avec une phrase complète.

Théorème du reste

Lorsqu'une fonction polynomiale f est divisée par x-k, le reste r est f(k).

Bon, maintenant en anglais. Si vous divisez un polynôme par un facteur linéaire, x-k, le reste est la valeur que vous obtiendriez si vous aviez branché x=k dans la fonction et évalué.

Maintenant, reliez cela à ce que nous venons de dire ci-dessus. Si le reste est nul, alors vous avez réussi à factoriser le polynôme. Si le reste lors de la division par (x-k) est zéro, alors la fonction évaluée à x=k est zéro et vous avez trouvé un zéro ou la racine du polynôme. De plus, vous avez maintenant un polynôme factorisé (le quotient) qui est un degré de moins que le polynôme d'origine. Si le quotient est réduit à un facteur quadratique ou linéaire, alors vous pouvez résoudre et trouver les autres solutions.


Contenu

Le terme « équation algébrique » date de l'époque où le principal problème de l'algèbre était de résoudre des équations polynomiales univariées. Ce problème a été complètement résolu au cours du 19ème siècle voir le théorème fondamental de l'algèbre, le théorème d'Abel-Ruffini et la théorie de Galois.

Depuis lors, la portée de l'algèbre s'est considérablement élargie. Il comprend notamment l'étude des équations faisant intervenir des racines n ièmes et, plus généralement, des expressions algébriques. Cela rend le terme équation algébrique ambigu en dehors du contexte de l'ancien problème. Donc le terme équation polynomiale est généralement préféré lorsque cette ambiguïté peut survenir, en particulier lorsque l'on considère des équations multivariées.

L'étude des équations algébriques est probablement aussi ancienne que les mathématiques : les mathématiciens babyloniens, dès 2000 av.

Les équations algébriques univariées sur les rationnels (c'est-à-dire avec des coefficients rationnels) ont une très longue histoire. Les anciens mathématiciens voulaient les solutions sous forme d'expressions radicales, comme x = 1 + 5 2 >><2>>> pour la solution positive de x 2 − x − 1 = 0 -x-1=0> . Les anciens Égyptiens savaient comment résoudre les équations de degré 2 de cette manière. Le mathématicien indien Brahmagupta (597-668 après JC) a explicitement décrit la formule quadratique dans son traité Brāhmasphuṭasiddhānta publié en 628 après JC, mais écrit en mots au lieu de symboles. Au IXe siècle, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi et d'autres mathématiciens islamiques ont dérivé la formule quadratique, la solution générale des équations de degré 2, et ont reconnu l'importance du discriminant. A la Renaissance en 1545, Gerolamo Cardano publia la solution de Scipione del Ferro et Niccolò Fontana Tartaglia pour les équations de degré 3 et celle de Lodovico Ferrari pour les équations de degré 4. Enfin Niels Henrik Abel prouva, en 1824, que les équations de degré 5 et supérieur n'ont pas de solutions générales utilisant des radicaux. La théorie de Galois, du nom d'Évariste Galois, a montré que certaines équations d'au moins le degré 5 n'ont même pas de solution idiosyncratique en radicaux, et a donné des critères pour décider si une équation est en fait résoluble en utilisant des radicaux.

Les équations algébriques sont à la base d'un certain nombre de domaines des mathématiques modernes : La théorie algébrique des nombres est l'étude des équations algébriques (univariées) sur les rationnels (c'est-à-dire avec des coefficients rationnels). La théorie de Galois a été introduite par Évariste Galois pour spécifier des critères permettant de décider si une équation algébrique peut être résolue en termes de radicaux. En théorie des champs, une extension algébrique est une extension telle que chaque élément est une racine d'une équation algébrique sur le corps de base. La théorie transcendantale des nombres est l'étude des nombres réels qui ne sont pas des solutions d'une équation algébrique sur les rationnels. Une équation diophantienne est une équation polynomiale (généralement multivariée) à coefficients entiers dont on s'intéresse aux solutions entières. La géométrie algébrique est l'étude des solutions dans un champ algébriquement clos d'équations polynomiales multivariées.

Une équation polynomiale sur les rationnels peut toujours être convertie en une équation équivalente dans laquelle les coefficients sont des nombres entiers. Par exemple, en multipliant par 42 = 2, 3, 7 et en regroupant ses termes dans le premier membre, l'équation polynomiale mentionnée précédemment y 4 + xy 2 = x 3 3 − xy 2 + y 2 − 1 7 +<2>>=><3>>-xy^<2>+y^<2>-<7>>> devient

Parce que le sinus, l'exponentiation et 1/T ne sont pas des fonctions polynomiales,

est ne pas une équation polynomiale dans les quatre variables X, oui, z, et T sur les nombres rationnels. Cependant, c'est une équation polynomiale à trois variables X, oui, et z sur le corps des fonctions élémentaires dans la variable T.

Polynômes Modifier

Étant donné une équation en x inconnu

avec des coefficients dans un corps K , on peut dire de façon équivalente que les solutions de (E) dans K sont les racines dans K du polynôme

On peut montrer qu'un polynôme de degré n dans un corps a au plus n racines. L'équation (E) a donc au plus n solutions.

Si K' est une extension de champ de K , on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans K et les solutions de (E) dans K sont aussi solutions dans K' (l'inverse n'est pas vrai en général). Il est toujours possible de trouver une extension de champ de K appelée champ de rupture du polynôme P , dans laquelle (E) a au moins une solution.

Existence de solutions aux équations réelles et complexes Modifier

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que le champ des nombres complexes est clos algébriquement, c'est-à-dire que toutes les équations polynomiales à coefficients complexes et de degré au moins un ont une solution.

Il s'ensuit que toutes les équations polynomiales de degré 1 ou plus avec des coefficients réels ont un complexe Solution. Par contre, une équation telle que x 2 + 1 = 0 +1=0> n'a pas de solution dans R > (les solutions sont les unités imaginaires i et –i ).

Alors que les vraies solutions d'équations réelles sont intuitives (ce sont les coordonnées x des points où la courbe oui = P(X) coupe l'axe des x), l'existence de solutions complexes à des équations réelles peut être surprenante et moins facile à visualiser.

Cependant, un polynôme monique de degré impair doit nécessairement avoir une racine réelle. La fonction polynomiale associée dans x est continue, et elle se rapproche de − ∞ à mesure que x se rapproche de − ∞ et + ∞ à mesure que x se rapproche + ∞ < style d'affichage +infty >. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il doit donc prendre la valeur zéro à un certain x réel, qui est alors une solution de l'équation polynomiale.

Connexion à la théorie de Galois Modifier

Il existe des formules donnant les solutions de polynômes réels ou complexes de degré inférieur ou égal à quatre en fonction de leurs coefficients. Abel a montré qu'il n'est pas possible de trouver une telle formule en général (en utilisant seulement les quatre opérations arithmétiques et en prenant des racines) pour les équations de degré cinq ou plus. La théorie de Galois fournit un critère qui permet de déterminer si la solution d'une équation polynomiale donnée peut être exprimée en utilisant des radicaux.

Approche Modifier

La solution explicite d'une équation réelle ou complexe de degré 1 est triviale. Résoudre une équation de degré supérieur n revient à factoriser le polynôme associé, c'est-à-dire à réécrire (E) sous la forme

Cette approche s'applique plus généralement si les coefficients et les solutions appartiennent à un domaine intégral.

Techniques générales Modifier

Affacturage Modifier

Si une équation P(X) = 0 de degré n a une racine rationnelle α , le polynôme associé peut être factorisé pour donner la forme P(X) = (X – )Q(X) (en divisant P(X) par X – α ou en écrivant P(X) – P(α) comme combinaison linéaire de termes de la forme Xk – α k , et en factorisant X – α . Résoudre P(X) = 0 se réduit donc à résoudre le degré m – 1 équation Q(X) = 0 . Voir par exemple le cas m = 3 .

Suppression du terme sous-dominant Modifier

Pour résoudre une équation de degré n ,

une étape préliminaire courante consiste à éliminer le terme degré n - 1 : en définissant x = y − a n − 1 n a n ><>>>> , l'équation (E) devient

Leonhard Euler a développé cette technique pour le cas m = 3 mais c'est aussi applicable au cas m = 4 , par exemple.

Équations quadratiques Modifier

Pour résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 + b x + c = 0 +bx+c=0> on calcule le discriminant Δ défini par Δ = b 2 − 4 a c -4ac> .

Si le polynôme a des coefficients réels, il a :

Équations cubiques Modifier

La méthode la plus connue pour résoudre des équations cubiques, en écrivant les racines en termes de radicaux, est la formule de Cardano.

Équations quartiques Modifier

Pour des discussions détaillées sur certaines méthodes de solution, voir :

    (méthode générale, non garantie de réussite) (méthode générale, non garantie de réussite) (solutions pour le degré 4) (solutions pour le degré 4) (solutions pour le degré 4) (solutions pour le degré 2 ou 4)

Certaines équations cubiques et quartiques peuvent être résolues en utilisant la trigonométrie ou des fonctions hyperboliques.

Équations de degré supérieur Modifier

Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont montré indépendamment qu'en général un polynôme de degré 5 ou plus n'est pas résoluble à l'aide de radicaux. Certaines équations particulières ont des solutions, telles que celles associées aux polynômes cyclotomiques de degrés 5 et 17.

Charles Hermite, quant à lui, a montré que les polynômes de degré 5 peuvent être résolus à l'aide de fonctions elliptiques.


6.6 Diviser des polynômes

Dans la dernière section, vous avez appris à diviser un monôme par un monôme. Au fur et à mesure que vous continuez à développer votre connaissance des polynômes, la procédure suivante consiste à diviser un polynôme de deux termes ou plus par un monôme.

La méthode que nous utiliserons pour diviser un polynôme par un monôme est basée sur les propriétés de l'addition de fractions. Nous allons donc commencer par un exemple pour revoir l'addition de fractions.

Maintenant, nous allons procéder à l'envers pour diviser une seule fraction en fractions distinctes.

Nous énoncerons ici la propriété d'addition de fractions telle que vous l'avez apprise et à l'envers.

Addition de fractions

On utilise la forme de gauche pour additionner des fractions et on utilise la forme de droite pour diviser un polynôme par un monôme.

Nous utilisons cette forme d'addition de fractions pour diviser des polynômes par des monômes.

Division d'un polynôme par un monôme

Pour diviser un polynôme par un monôme, divisez chaque terme du polynôme par le monôme .

Exemple 6.77

Trouvez le quotient : 7 y 2 + 21 7 . 7 ans 2 + 21 7 .

Solution

Trouvez le quotient : 8 z 2 + 24 4 . 8 z 2 + 24 4 .

Trouvez le quotient : 18 z 2 − 27 9 . 18 z 2 − 27 9 .

Rappelez-vous que la division peut être représentée comme une fraction. Lorsqu'on vous demande de diviser un polynôme par un monôme et qu'il n'est pas déjà sous forme de fraction, écrivez une fraction avec le polynôme au numérateur et le monôme au dénominateur.

Exemple 6.78

Trouvez le quotient : ( 18 x 3 − 36 x 2 ) ÷ 6 x . ( 18 x 3 − 36 x 2 ) 6 x .

Solution

Trouvez le quotient : ( 27 b 3 − 33 b 2 ) ÷ 3 b . ( 27 b 3 − 33 b 2 ) 3 b .

Trouvez le quotient : ( 25 y 3 − 55 y 2 ) ÷ 5 y . ( 25 ans 3 − 55 ans 2 ) ÷ 5 ans .

Lorsque nous divisons par un négatif, nous devons être très prudents avec les signes.

Exemple 6.79

Trouvez le quotient : 12 d 2 − 16 d −4 . 12 jours 2 − 16 jours −4 .

Solution

Trouvez le quotient : 25 y 2 − 15 y −5 . 25 ans 2 − 15 ans −5 .

Trouvez le quotient : 42 b 2 − 18 b −6 . 42b 2 − 18 b −6 .

Exemple 6.80

Trouvez le quotient : 105 y 5 + 75 y 3 5 y 2 . 105 ans 5 + 75 ans 3 5 ans 2 .

Solution

Trouvez le quotient : 60 j 7 + 24 j 5 4 j 3 . 60 jours 7 + 24 jours 5 4 jours 3 .

Trouvez le quotient : 216 p 7 − 48 p 5 6 p 3 . 216 p 7 − 48 p 5 6 p 3 .

Exemple 6.81

Trouvez le quotient : ( 15 x 3 y − 35 x y 2 ) ÷ ( -5 x y ) . ( 15 x 3 y − 35 x y 2 ) ( -5 x y ) .

Solution

Trouvez le quotient : ( 32 a 2 b − 16 a b 2 ) ÷ ( −8 a b ) . ( 32 a 2 b − 16 a b 2 ) ( -8 a b ) .

Trouvez le quotient : ( −48 a 8 b 4 − 36 a 6 b 5 ) ÷ ( −6 a 3 b 3 ) . ( -48 a 8 b 4 - 36 a 6 b 5 ) ÷ ( -6 a 3 b 3 ) .

Exemple 6.82

Trouvez le quotient : 36 x 3 y 2 + 27 x 2 y 2 − 9 x 2 y 3 9 x 2 y . 36 x 3 ans 2 + 27 x 2 ans 2 − 9 x 2 ans 3 9 x 2 ans .

Solution

Trouvez le quotient : 40 x 3 y 2 + 24 x 2 y 2 − 16 x 2 y 3 8 x 2 y . 40 x 3 ans 2 + 24 x 2 ans 2 − 16 x 2 ans 3 8 x 2 ans .

Trouvez le quotient : 35 a 4 b 2 + 14 a 4 b 3 − 42 a 2 b 4 7 a 2 b 2 . 35 a 4 b 2 + 14 a 4 b 3 − 42 a 2 b 4 7 a 2 b 2 .

Exemple 6.83

Trouvez le quotient : 10 x 2 + 5 x − 20 5 x . 10 x 2 + 5 x − 20 5 x .

Solution

Trouvez le quotient : 18 c 2 + 6 c − 9 6 c . 18 c 2 + 6 c − 9 6 c .

Trouvez le quotient : 10 d 2 − 5 d − 2 5 d . 10 jours 2 - 5 jours - 2 5 jours .

Diviser un polynôme par un binôme

Pour diviser un polynôme par un binôme , nous suivons une procédure très similaire à la division longue de nombres. Regardons donc attentivement les étapes que nous prenons lorsque nous divisons un nombre à 3 chiffres, 875, par un nombre à 2 chiffres, 25.

Nous écrivons la division longue
Nous divisons les deux premiers chiffres, 87, par 25.
On multiplie 3 fois 25 et on écrit le produit sous le 87.
Soustrayons maintenant 75 de 87.
Ensuite, nous abaissons le troisième chiffre du dividende, 5.
Répétez le processus, en divisant 25 en 125.

On vérifie la division en multipliant le quotient par le diviseur.

Si nous avons fait la division correctement, le produit devrait être égal au dividende.

Nous allons maintenant diviser un trinôme par un binôme. En lisant l'exemple, notez à quel point les étapes sont similaires à l'exemple numérique ci-dessus.

Exemple 6.84

Trouvez le quotient : ( x 2 + 9 x + 20 ) ÷ ( x + 5 ) . ( x 2 + 9 x + 20 ) ( x + 5 ) .

Solution

Écrivez-le sous la forme d'un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Diviser X 2 par X. Il peut être utile de vous demander : « De quoi ai-je besoin pour multiplier X par pour obtenir X 2 ?"
Mettez la réponse, X, dans le quotient sur le X terme.
Multiplier X fois X + 5. Alignez les termes similaires sous le dividende.
Soustraire X 2 + 5X de X 2 + 9X.

Ensuite, faites tomber le dernier terme, 20.
Diviser 4X par X. Il peut être utile de vous demander : « De quoi ai-je besoin pour
multiplier X par pour obtenir 4X?"
Mettez la réponse, 4, dans le quotient sur le terme constant.
Multiplier 4 fois X + 5.
Soustraire 4X + 20 de 4X + 20.
Vérifier:
Multipliez le quotient par le diviseur.
(X + 4)(X + 5)
Vous devriez toucher le dividende.
X 2 + 9X + 20✓

Trouvez le quotient : ( y 2 + 10 y + 21 ) ÷ ( y + 3 ) . ( y 2 + 10 y + 21 ) ( y + 3 ) .

Trouvez le quotient : ( m 2 + 9 m + 20 ) ÷ ( m + 4 ) . ( m 2 + 9 m + 20 ) ( m + 4 ) .

Lorsque le diviseur a un signe de soustraction, nous devons être très prudents lorsque nous multiplions le quotient partiel puis soustrayons. Il peut être plus sûr de montrer que nous modifions les signes et que nous ajoutons ensuite.

Exemple 6.85

Trouvez le quotient : ( 2 x 2 − 5 x − 3 ) ÷ ( x − 3 ) . ( 2 x 2 − 5 x − 3 ) ( x − 3 ) .

Solution

Écrivez-le sous la forme d'un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Diviser 2X 2 par X.
Mettez la réponse, 2X, dans le quotient sur le X terme.
Multiplier 2X fois X − 3. Alignez les termes similaires sous le dividende.
Soustraire 2X 2 − 6X à partir de 2X 2 − 5X.
Changez les signes puis ajoutez.
Faites ensuite tomber le dernier terme.
Diviser X par X.
Mettez la réponse, 1, dans le quotient sur le terme constant.
Multiplier 1 fois X − 3.
Soustraire X − 3 de X − 3 en changeant les signes et en ajoutant.
Pour vérifier, multipliez (X − 3)(2X + 1).
Le résultat devrait être 2X 2 − 5X − 3.

Trouvez le quotient : ( 2 x 2 − 3 x − 20 ) ÷ ( x − 4 ) . ( 2 x 2 − 3 x − 20 ) ( x − 4 ) .

Trouvez le quotient : ( 3 x 2 − 16 x − 12 ) ÷ ( x − 6 ) . ( 3 x 2 − 16 x − 12 ) ( x − 6 ) .

Lorsque nous avons divisé 875 par 25, nous n'avions pas de reste. Mais parfois, la division des nombres laisse un reste. Il en est de même lorsque nous divisons des polynômes. Dans l'exemple 6.86, nous aurons une division qui laisse un reste. Nous écrivons le reste sous forme de fraction avec le diviseur comme dénominateur.

Exemple 6.86

Trouvez le quotient : ( x 3 − x 2 + x + 4 ) ÷ ( x + 1 ) . ( x 3 − x 2 + x + 4 ) ( x + 1 ) .

Solution

Écrivez-le sous la forme d'un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Diviser X 3 par X.
Mettez la réponse, X 2 , dans le quotient sur le X 2 mandat.
Multiplier X 2 fois X + 1. Alignez les termes similaires sous le dividende.
Soustraire X 3 + X 2 de X 3 − X 2 en changeant les signes et en ajoutant.
Ensuite, faites tomber le prochain terme.
Diviser -2X 2 par X.
Mettez la réponse, -2X, dans le quotient sur le X terme.
Multiplier -2X fois X + 1. Alignez les termes similaires sous le dividende.
Soustraire -2X 2 − 2X à partir de -2X 2 + X en changeant les signes et en ajoutant.
Ensuite, abaissez le dernier terme.
Diviser 3X par X.
Mettez la réponse, 3, dans le quotient sur le terme constant.
Multiplier 3 fois X + 1. Alignez les termes similaires sous le dividende.
Soustraire 3X + 3 de 3X + 4 en changeant les signes et en ajoutant.
Écrivez le reste sous forme de fraction avec le diviseur comme dénominateur.
Pour vérifier, multipliez ( x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 3 + 1 x + 1 ) . ( x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 3 + 1 x + 1 ) .
Le résultat devrait être x 3 − x 2 + x + 4 x 3 − x 2 + x + 4 .

Trouvez le quotient : ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 6 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 6 ) ( x + 2 ) .

Trouvez le quotient : ( 2 x 3 + 8 x 2 + x − 8 ) ÷ ( x + 1 ) . ( 2 x 3 + 8 x 2 + x − 8 ) ( x + 1 ) .

Revenez sur les dividendes de l'exemple 6.84, de l'exemple 6.85 et de l'exemple 6.86. Les termes ont été écrits dans l'ordre décroissant des degrés, et il n'y avait pas de degrés manquants. Le dividende de l'exemple 6.87 sera x 4 − x 2 + 5 x − 2 x 4 − x 2 + 5 x − 2 . Il manque un terme x 3 x 3. Nous ajouterons 0 x 3 0 x 3 comme espace réservé.

Exemple 6.87

Trouvez le quotient : ( x 4 − x 2 + 5 x − 2 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 4 − x 2 + 5 x − 2 ) ( x + 2 ) .

Solution

Écrivez-le sous la forme d'un problème de division longue. Assurez-vous que le dividende est sous forme standard avec des espaces réservés pour les termes manquants.
Diviser X 4 par X.
Mettez la réponse, X 3 , dans le quotient sur le X 3 terme.
Multiplier X 3 fois X + 2. Alignez les termes similaires.
Soustraire puis réduire le terme suivant.
Diviser -2X 3 par X.
Mettez la réponse, -2X 2 , dans le quotient sur le X 2 mandat.
Multiplier -2X 2 fois X + 1. Alignez les termes similaires.
Soustraire et réduire le terme suivant.
Diviser 3X 2 par X.
Mettez la réponse, 3X, dans le quotient sur le X terme.
Multiplier 3X fois X + 1. Alignez les termes similaires.
Soustraire et réduire le terme suivant.
Diviser −X par X.
Mettez la réponse, -1, dans le quotient sur le terme constant.
Multiplier -1 fois X + 1. Alignez les termes similaires.
Changez les signes, ajoutez.
Pour vérifier, multipliez ( x + 2 ) ( x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 ) ( x + 2 ) ( x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 ) .
Le résultat devrait être x 4 − x 2 + 5 x − 2 x 4 − x 2 + 5 x − 2 .

Trouvez le quotient : ( x 3 + 3 x + 14 ) ÷ ( x + 2 ) . ( x 3 + 3 x + 14 ) ( x + 2 ) .

Trouvez le quotient : ( x 4 − 3 x 3 − 1000 ) ÷ ( x + 5 ) . ( x 4 − 3 x 3 − 1000 ) ( x + 5 ) .

Exemple 6.88

Trouvez le quotient : ( 8 a 3 + 27 ) ÷ ( 2 a + 3 ) . ( 8 a 3 + 27 ) ( 2 a + 3 ) .

Solution

Cette fois, nous allons montrer la division en une seule étape. Nous devons ajouter deux espaces réservés afin de diviser.

Pour vérifier, multipliez ( 2 a + 3 ) ( 4 a 2 − 6 a + 9 ) ( 2 a + 3 ) ( 4 a 2 − 6 a + 9 ) .

Le résultat devrait être 8 a 3 + 27 8 a 3 + 27 .

Trouvez le quotient : ( x 3 − 64 ) ÷ ( x − 4 ) . ( x 3 − 64 ) ( x − 4 ) .

Trouvez le quotient : ( 125 x 3 − 8 ) ÷ ( 5 x − 2 ) . ( 125 x 3 − 8 ) ( 5 x − 2 ) .

Médias

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Section 6.6 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Dans les exercices suivants, divisez chaque polynôme par le monôme.

( 63 a 2 b 3 + 72 a b 4 ) ÷ ( 9 a b ) ( 63 a 2 b 3 + 72 a b 4 ) ÷ ( 9 a b )

( 45 x 3 y 4 + 60 x y 2 ) ÷ ( 5 x y ) ( 45 x 3 y 4 + 60 x y 2 ) ÷ ( 5 x y )

52 p 5 q 4 + 36 p 4 q 3 − 64 p 3 q 2 4 p 2 q 52 p 5 q 4 + 36 p 4 q 3 − 64 p 3 q 2 4 p 2 q

49 c 2 d 2 − 70 c 3 d 3 − 35 c 2 d 4 7 c d 2 49 c 2 d 2 − 70 c 3 d 3 − 35 c 2 d 4 7 c d 2

66 x 3 ans 2 − 110 x 2 ans 3 − 44 x 4 ans 3 11 x 2 ans 2 66 x 3 ans 2 − 110 x 2 ans 3 − 44 x 4 ans 3 11 x 2 ans 2

72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2 72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2

36 p 3 + 18 p 2 − 12 p 6 p 2 36 p 3 + 18 p 2 − 12 p 6 p 2

63 a 3 − 108 a 2 + 99 a 9 a 2 63 a 3 − 108 a 2 + 99 a 9 a 2

Diviser un polynôme par un binôme

Dans les exercices suivants, divisez chaque polynôme par le binôme.

Mathématiques de tous les jours

Coût moyen Pictures Plus produit des albums numériques. Le coût moyen de l'entreprise (en dollars) pour faire x x albums est donné par l'expression 7 x + 500 x 7 x + 500 x .

  1. Trouvez le quotient en divisant le numérateur par le dénominateur.
  2. ⓑ Quel sera le coût moyen (en dollars) pour produire 20 albums ?

Poignées de main Lors d'une réunion d'entreprise, chaque employé serre la main de tous les autres employés. Le nombre de poignées de main est donné par l'expression n 2 − n 2 n 2 − n 2 , où n n représente le nombre d'employés. Combien de poignées de main y aura-t-il s'il y a 10 employés à la réunion ?

Exercices d'écriture

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour devenir confiant pour tous les objectifs ?

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    • Auteurs : Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre: Elementary Algebra 2e
    • Date de parution : 22 avr. 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-6-divide-polynomials

    © 22 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    MathHelp.com

    Habituellement, la seule partie difficile de l'évaluation est de garder une trace des signes "moins". Je vous recommande fortement d'utiliser généreusement les parenthèses, surtout lorsque vous débutez.

    Évaluer une 2 b pour une = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , et ré = 4 .

    Pour trouver ma réponse, je viens de brancher les valeurs données en faisant attention à utiliser des parenthèses, notamment autour des signes "moins". Surtout quand je débute, dessiner d'abord les parenthèses peut être utile :

    Notez comment l'utilisation de parenthèses m'a aidé à garder une trace du signe "moins" sur la valeur de une . C'était important, car sinon j'aurais pu ne mettre au carré que le 2 , pour finir avec &ndash4 , ce qui aurait été faux.

    Soit dit en passant, il s'est avéré que nous n'avions pas besoin des valeurs pour les variables c et . Lorsque l'on vous donne un grand ensemble d'expressions à évaluer, vous devez vous attendre à ce qu'il y ait souvent l'une ou l'autre des variables qui ne seront incluses dans aucun exercice particulier de l'ensemble.

    Évaluer une &ndash CD pour une = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , et ré = 4 .

    Dans cet exercice, ils m'ont donné des informations supplémentaires. Il n'y a pas b dans l'expression qu'ils veulent que j'évalue, je peux donc ignorer cette valeur dans mon travail :

    Évaluer (b + ré) 2 pour une = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , et ré = 4 .

    Je dois faire attention à ne pas essayer de "distribuer" l'exposant entre parenthèses. Les exposants ne se répartissent PAS sur l'addition ! Je ne devrais jamais essayer de dire ça (b + ) 2 est le même que b 2 + 2 . Ce n'est pas la même chose! Je dois évaluer l'expression telle qu'elle se présente :

    Évaluer b 2 + ré 2 pour une = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , et ré = 4 .

    Dans cette expression, la quadrature est sur chacune des variables individuellement.

    Notez que cette dernière réponse ci-dessus ne correspond pas à la réponse à l'évaluation précédente. Cela démontre directement le fait que les exposants ne se distribuent pas sur l'addition de la même manière que la multiplication.

    Vous devez vous attendre à au moins un exercice similaire aux deux précédents lors du prochain test, ainsi que lors de l'examen final. Cette tendance à essayer de distribuer un exposant (plutôt qu'une multiplication) sur l'addition est une erreur courante des étudiants, et votre instructeur voudra certainement vous le rappeler fréquemment ! &mdash de la différence entre le carré d'une somme et la somme de deux carrés. Ne les mélangez pas !

    Évaluer avant JC 3 &ndash un d pour une = &ndash2 , b = 3 , c = &ndash4 , et ré = 4 .

    Dans cet exercice, je dois utiliser les valeurs des quatre variables. Mais je dois faire attention à mon placement, car cette expression n'utilise pas les variables par ordre alphabétique.

    Le type d'"expression" le plus courant que vous devrez probablement évaluer sera les polynômes. Pour évaluer un polynôme, vous prenez ce polynôme et vous branchez pour la variable (généralement X ) quel que soit le numéro qu'ils vous ont donné.

    Évaluer X 4 + 3X 3 &ndash X 2 + 6 pour X = &ndash3 .

    C'est mon premier polynôme à évaluer, donc je vais recommencer avec des parenthèses vides, me montrant où la valeur de la variable doit être placée.

    Évaluer 3X 2 &ndash 12X + 4 pour X = &ndash2 .

    Je suis content de m'être entraîné à utiliser des parenthèses pour rendre mes substitutions claires. Dans ce cas, ces parenthèses m'aideront à garder une trace des signes "moins".

    Évaluer oui = 4X &ndash 3 à X = &ndash1 .

    Ceci est différent. Ils m'ont donné une équation à deux variables, mais m'ont donné une valeur pour une seule des variables. Je suppose qu'ils veulent que je me connecte pour X et calculer la valeur résultante pour oui .

    Alors ma réponse est l'équation:

    Remarque : Dans ce dernier exercice ci-dessus, nous avons inséré une valeur pour l'une des variables et simplifié pour trouver la valeur de l'autre variable. De plus, la partie sur laquelle nous nous connections avait été définie comme un nom, oui . Pour cette raison, nous n'évaluions pas seulement une expression, nous évaluions en fait une fonction polynomiale. Le résultat de notre plug-n-chug signifie que le point (X, oui) = (&ndash1, &ndash7) est sur la ligne oui = 4X &ndash 3 c'est-à-dire que ce point est sur le graphique de la fonction polynomiale.

    Vous pouvez utiliser le widget Mathway ci-dessous pour vous entraîner à évaluer des expressions pour des valeurs de variables données. Essayez l'exercice entré ou saisissez votre propre exercice. Cliquez ensuite sur le bouton pour comparer votre réponse à celle de Mathway. (Ou passez à la page suivante de cette leçon.)

    (Cliquez sur "Appuyer pour afficher les étapes" pour accéder directement au site Mathway pour une mise à niveau payante.)


    Trouver les racines des fonctions

    Rappelons que tout polynôme à une variable est une fonction et peut s'écrire sous la forme,

    f ( x ) = un n x n + un n − 1 x n − 1 + + un 1 x + un 0

    Une racine Une valeur dans le domaine d'une fonction qui se traduit par zéro. d'une fonction est une valeur dans le domaine qui donne zéro. En d'autres termes, les racines apparaissent lorsque la fonction est égale à zéro, f ( x ) = 0 .

    Exemple 8

    Trouvez les racines : f ( x ) = ( x + 2 ) 2 − 4 .

    Pour trouver des racines, nous définissons la fonction égale à zéro et résolvons.

    f ( x ) = 0 ( x + 2 ) 2 − 4 = 0 x 2 + 4 x + 4 − 4 = 0 x 2 + 4 x = 0 x ( x + 4 ) = 0

    Ensuite, définissez chaque facteur égal à zéro et résolvez.

    Nous pouvons montrer que ces X- les valeurs sont des racines en évaluant.

    f ( 0 ) = ( 0 + 2 ) 2 − 4 f ( − 4 ) = ( − 4 + 2 ) 2 − 4 = 4 − 4 = ( − 2 ) 2 − 4 = 0 ✓ = 4 − 4 = 0 ✓

    Réponse : Les racines sont 0 et -4.

    Si nous représentons graphiquement la fonction dans l'exemple précédent, nous verrons que les racines correspondent à la X-interceptions de la fonction. Ici, la fonction f est une parabole de base décalée de 2 unités vers la gauche et de 4 unités vers le bas.

    Exemple 9

    Trouvez les racines : f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 .

    Pour trouver des racines, nous définissons la fonction égale à zéro et résolvons.

    f ( x ) = 0 x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 4 ) = 0 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) = 0

    Ensuite, définissez chaque facteur égal à zéro et résolvez.

    x + 1 = 0 ou x − 1 = 0 ou x + 2 = 0 ou x − 2 = 0 x = − 1 x = 1 x = − 2 x = 2

    Réponse : Les racines sont -1, 1, -2 et 2.

    Représenter graphiquement la fonction précédente n'entre pas dans le cadre de ce cours. Cependant, le graphique est fourni ci-dessous :

    Notez que le degré du polynôme est 4 et nous avons obtenu quatre racines. En général, pour toute fonction polynomiale avec une variable de degré m, le théorème fondamental de l'algèbre Garantit qu'il y aura autant (ou moins) de racines à une fonction polynomiale avec une variable que son degré. garanties m de vraies racines ou moins. Nous avons vu que de nombreux polynômes ne sont pas factorisés. Cela n'implique pas que les fonctions impliquant ces polynômes non factorisés n'ont pas de racines réelles. En fait, de nombreuses fonctions polynomiales qui ne factorisent pas ont de vraies solutions. Nous apprendrons comment trouver ces types de racines en poursuivant notre étude de l'algèbre.

    Exemple 10

    Trouvez les racines : f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 .

    Pour trouver des racines, nous définissons la fonction égale à zéro et résolvons.

    f ( x ) = 0 − x 2 + 10 x − 25 = 0 − ( x 2 − 10 x + 25 ) = 0 − ( x − 5 ) ( x − 5 ) = 0

    Ensuite, définissez chaque facteur variable égal à zéro et résolvez.

    x − 5 = 0 ou x − 5 = 0 = 5 x = 5

    Une solution répétée deux fois est appelée racine double. Une racine répétée deux fois. . Dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution.

    L'exemple précédent montre qu'une fonction de degré 2 peut avoir une racine. De l'étape de factorisation, nous voyons que la fonction peut être écrite

    Sous cette forme, on peut voir une réflexion sur la X-axe et un décalage vers la droite 5 unités. Le sommet est le X-intercept, illustrant le fait qu'il n'y a qu'une seule racine.

    Essaye ça! Trouvez les racines de f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − x − 3 .

    Exemple 11

    En supposant des conditions de route sèche et des temps de réaction moyens, la distance d'arrêt de sécurité en pieds est donnée par d ( x ) = 1 20 x 2 + x , où X représente la vitesse de la voiture en miles par heure. Déterminez la vitesse de sécurité de la voiture si vous prévoyez de vous arrêter dans 40 pieds.

    On nous demande de trouver la vitesse X où la distance d'arrêt de sécurité d ( x ) = 40 pieds.

    d ( x ) = 40 1 20 x 2 + x = 40

    A résoudre pour X, réécrivez l'équation résultante sous forme standard. Dans ce cas, nous allons d'abord multiplier les deux côtés par 20 pour effacer la fraction.

    20 ( 1 20 x 2 + x ) = 20 ( 40 ) x 2 + 20 x = 800 x 2 + 20 x − 800 = 0

    Facteur suivant, puis définissez chaque facteur égal à zéro.

    x 2 + 20 x − 800 = 0 ( x + 40 ) ( x − 20 ) = 0 x + 40 = 0 ou x − 20 = 0 x = − 40 x = 20

    La réponse négative n'a pas de sens dans le contexte de ce problème. Considérez x = 20 miles par heure comme la seule solution.


    Représentation graphique des fonctions polynomiales

    Pour représenter graphiquement une fonction polynomiale :
    1. Trouvez le X-interceptions.
    2. Faire un tableau de valeurs autour du X-interceptions.
    3. Tracez les points.
    4. Tracez une courbe lisse à travers les points en vous assurant que le comportement final est correct.

    Exemple 8 : Représentation graphique d'une fonction polynomiale

    Graphique F(X) = −X 3 + 4X.

    Solution

    Trouvez le X-intercepte en définissant la fonction égale à zéro et en factorisant.

    0 = −X(X − 2)(X + 2)

    X = 0 ou X − 2 = 0 ou X + 2 = 0

    X = 0 ou X = 2 ou X = −2

    Le X-les interceptions sont (−2, 0), (0, 0) et (2, 0). Faire un tableau de valeurs autour du X-interceptions.

    X &moins4 &moins3 &moins2 &moins1 0 1 2 3 4
    oui 48 15 0 −3 0 3 0 −15 −48

    Tracez les points et tracez une courbe lisse. Le coefficient directeur est négatif (−1) et le degré est impair (3), donc le comportement final doit monter vers la gauche et descendre vers la droite.

    Figure 8: F(X) = −X 3 + 4X

    Essayez-le 5
    Réponse

    Accédez à ces ressources en ligne pour des instructions et des exercices supplémentaires avec les fonctions de puissance et polynomiales.

    Fonctions polynomiales :

    Laisser m être un entier non négatif. A est une fonction qui s'écrit sous la forme

    F(X) = unemxn + &ctpoint + une2X 2 + une1X + une0

    • Chaque uneje est un et peut être n'importe quel nombre réel.
    • unem ≠ 0.
    • Chaque produit unejeXje est un d'une fonction polynomiale.
    Terminologie des fonctions polynomiales
    • : Les termes sont écrits de l'exposant le plus élevé au plus faible sur la variable.
    • : exposant le plus élevé de la variable.
    • : Coefficient du terme contenant l'exposant le plus élevé de la variable.
    Graphiques de polynômes
    1. Le oui-l'interception est le point où le graphique croise le oui-axis et peut être trouvé en remplaçant X = 0.
    2. Le X-les points à l'origine sont des points où le graphique croise le X-axis et peut être trouvé en rendant la fonction égale à zéro et en résolvant pour X.
      • Il y a au plus le même nombre de X-intercepte comme degré de la fonction.
      • Le X-les interceptions révèlent plusieurs autres choses sur la fonction.
        1. Si F(k) = 0, alors k est un zéro de F.
        2. Si k est un zéro, alors c'est une solution de F(X) = 0.
        3. Si k est un zéro, alors (Xk) est un facteur de F.
        4. Si k est un vrai zéro, alors (k, 0) est un X-intercepter.
        • Si le graphique croise le X-axis, alors le zéro et le facteur apparaissent un nombre impair de fois.
        • Si le graphique touche le X-axe sans le traverser, alors le zéro et le facteur se produisent un nombre pair de fois.
        • Le nombre de fois où le zéro et le facteur se produisent s'appelle le zéro. La multiplicité totale doit être égale au degré de la fonction.
        Pour représenter graphiquement une fonction polynomiale :
        1. Trouvez le X-interceptions.
        2. Faire un tableau de valeurs autour du X-interceptions.
        3. Tracez les points.
        4. Tracez une courbe lisse à travers les points en vous assurant que le comportement final est correct.

        Algèbre

        Utilisez le théorème des racines rationnelles pour énumérer toutes les racines rationnelles possibles de l'équation. X^3+2x-9=0. Utilisez le théorème des racines rationnelles pour énumérer toutes les racines rationnelles possibles de l'équation. 3X^3+9x-6=0. Une fonction polynomiale P(x) avec

        Trouvez une équation quadratique avec des coefficients intégraux ayant des racines 1/2 et -5/2.

        Algèbre

        si une équation quadratique à coefficients réels a un discriminant de 10, alors quel type de racines a-t-elle ? A-2 racines réelles et rationnelles B-2 racines réelles et irrationnelles C-1 racines réelles et irrationnelles D-2 racines imaginaires

        Une boîte à bijoux est conçue de telle sorte que sa longueur soit le double de sa largeur et sa profondeur soit 2 pouces de moins que sa largeur. Le volume de la boîte est de 64 pouces cubes. Utilisez la division synthétique pour trouver les racines de l'équation polynomiale. Sommes

        Une fonction polynomiale avec des coefficients rationnels a les zéros suivants. Trouvez tous les zéros supplémentaires. 2, -2 + ã10

        Algèbre

        Trouvez une équation quadratique à coefficients entiers dont les racines sont 2 et 7.

        Algèbre

        Exposant radical et rationnel trouver des racines racines carrées de 12a^3/25=6a^3 -3-racines carrées 18/-6=-1 vérifier pour moi, il trouve les racines du problème.

        Trouvez le discriminant de l'équation quadratique f(x) = 5x^2 - 2x + 7 et décrivez la nature des racines. discriminant est 144, un vrai discriminant racine est -136, deux racines complexes

        Polynômes

        Pouvez-vous trouver le polynôme du quatrième degré avec des coefficients entiers qui a donné des racines pour 2i et 4-i

        Algèbre

        Quelqu'un peut-il me dire comment il a obtenu la réponse ? Trouvez une équation polynomiale à coefficients réels qui a les racines données. 4i, sqrt5 ma réponse : x^4-22x^2+80=0 bonne réponse : x^4+11x^2-80=0

        Étant donné que l'équation x(x-2p)=q(x-p) a des racines réelles pour toutes les valeurs réelles de p et q. Si q=3, trouvez une valeur non nulle pour p afin que les racines soient rationnelles.

        Pré-calcul

        Énumérez les racines rationnelles possibles de chaque équation. Déterminez ensuite les racines rationnelles. 6x^4+35x^3-x^2-7x-1 La réponse à la fin du livre est : -1/3 et 1/2 Je sais que je suis censé utiliser la règle des signes de Descartes. Je l'ai trouvé


        MathHelp.com

        Excellent! Alors X = 1 est l'un des zéros. En essayant X = &ndash1 , j'obtiens :

        1 & tiret 9 + 11 + 22 & tiret 9 + 11 + 21 = 48

        D'accord pour que l'un ne soit pas un zéro. Mais, pour réduire mon polynôme d'un facteur correspondant à ce zéro, je vais faire ma première division synthétique :

        Donc mon polynôme réduit est l'équation :

        C'est tellement méchant. je vais essayer l'astuce avec X = 1 à nouveau, juste au cas où il s'agirait d'une racine deux fois :

        Agréable! Bon, voici ma deuxième division synthétique :

        Bien. Ma nouvelle équation polynomiale est maintenant :

        Tous les coefficients sont positifs, donc +1 ne peut pas être à nouveau un zéro. C'est maintenant l'heure du test des racines rationnelles :

        Hum. J'ai déjà gratté ±1 directement. Parce que tous les coefficients sont positifs, alors je sais que +3, +7 et +21 sont également sortis. Je préfère rester petit, si je peux, alors je vais essayer &ndash3 ensuite :

        Alors maintenant, mon équation polynoniale est:

        À partir de ce polynôme réduit, je peux voir que je peux rayer &ndash21 et &ndash3 de la liste des racines possibles, ils ne fonctionneront clairement pas dans ce polynôme réduit. Donc je suppose qu'il me reste &ndash7 :

        Et maintenant j'en suis à un quadratique, que je peux facilement résoudre :

        Parce qu'il y a un moins à l'intérieur du radical, je sais que les solutions de ce quadratique sont des nombres complexes, il n'a pas de vrais zéros. Puisqu'ils ont demandé uniquement les racines à valeur réelle du polynôme d'origine, je peux ignorer ces deux derniers zéros. Alors ma réponse est :

        Je n'ai pas vérifié le graphique lorsque j'ai fait ce qui précède, mais cela confirme ma réponse :

        Les interceptions à X = &ndash7 et à X = &ndash3 sont clairs. L'interception à X = 1 est clairement répété, en raison de la façon dont la courbe rebondit sur le X -axe à ce stade, et revient comme il est venu.

        Remarque : le graphique de ce polynôme est si raide par endroits qu'il a parfois disparu dans mon logiciel de graphique. J'ai dû jouer avec les valeurs des axes et la taille de la fenêtre pour que toute la courbe s'affiche. Lorsque vous utilisez votre calculatrice, ne vous contentez pas de l'écran par défaut pour les graphiques, jouez avec les valeurs des axes jusqu'à ce que vous obteniez une image utile.

        Facteur complètement : 2X 5 &ndash 3X 4 & tiret 9X 3 + 3X 2 &ndash 11X + 6

        Ils m'ont donné une expression plutôt qu'une équation, et m'ont dit de factoriser. Je vais donc trouver des facteurs plutôt que X -values, et je devrai garder une trace de tout ce que je retire, du début à la fin.

        Il n'y a pas de facteur commun à tous les termes, il n'y a donc rien à retirer pour le moment. Je vais vérifier les zéros de l'équation polynomiale associée (en définissant l'expression d'origine égale à zéro) et voir ce que je peux trouver. Ensuite, je vais convertir les zéros en facteurs et les extraire.

        Tout d'abord, je vais essayer le raccourci habituel avec ±1 le positif en premier :

        Pas de joie. Je vais essayer le négatif maintenant :

        C'est encore pire. D'accord, je vais maintenant utiliser le test des racines rationnelles pour créer une liste de valeurs peut-être-solution :

        Je sais déjà que je peux ignorer ±1 . La règle des signes de Descartes me dit qu'il y aura quatre, deux ou zéro racines positives et une racine négative (définie). Je vais donc commencer par les entiers négatifs :

        Bon j'ai trouvé ça X = &ndash2 est une racine, ce qui signifie que X + 2 est un facteur. De plus, j'ai réduit l'expression qui doit encore être factorisée à :

        Le terme constant est 3 , donc je sais que ±2 ne peut pas être une solution à ce qui reste, pas plus que ±6 . De plus, j'ai déjà trouvé le zéro négatif. Cela me laisse donc :

        J'essaie d'éviter les fractions, donc je vais essayer la dernière possibilité entière :

        La dernière ligne ci-dessus est un polynôme à quatre termes qui semble pouvoir être factorisé par paires :

        Le facteur quadratique est la somme des carrés, il n'est donc pas factorisable. Cela signifie que j'ai terminé et que ma factorisation complète est :

        La méthode pour répondre aux deux exercices ci-dessus est la méthode que j'ai apprise, à l'époque où les dinosaures régnaient sur le monde et où les calculatrices étaient fabriquées avec des peaux d'ours et des couteaux en pierre. C'est probablement au moins similaire à la méthode que vous avez vue dans votre livre, et votre instructeur s'attend probablement à ce que vous montriez un travail dans le sens de ce que j'ai fait ci-dessus.

        Cependant, si vous avez une calculatrice graphique (et presque tout le monde en a, de nos jours), vous pouvez éviter de perdre autant de temps sur des valeurs de peut-être-solution qui s'avèrent ne pas fonctionner.

        Trouver tous les zéros de oui = 8X 5 &ndash 58X 4 + 137X 3 &ndash 118X 2 + 33X + 18

        Avant de faire quoi que ce soit d'autre, je vais faire un graphique rapide :

        En regardant le graphique, je sais vérifier X = 3 deux fois :

        Le polynôme d'origine était de degré cinq. J'ai trouvé un zéro de multiplicité deux, ce qui laisse au plus trois zéros supplémentaires. En regardant le polynôme représenté par la dernière ligne ci-dessus, le test des racines rationnelles indique que tous les zéros "nice"s restants seront parmi ceux-ci :

        De toute évidence, il n'y a pas d'autres zéros positifs. Du côté négatif, le graphique suggère que la seule valeur restante que je devrais probablement vérifier est :

        Maintenant, je peux voir qu'il y a un facteur commun de quatre qui peut être divisé et écarté, me laissant avec :

        Ils m'ont demandé tous les zéros, pas seulement tous ceux à valeur réelle, je dois donc inclure ces deux racines qui n'apparaissent pas sur le graphique. Cependant, en vérifiant d'abord le graphique, j'ai pu gagner beaucoup de temps pour arriver à ma réponse :

        Il existe une variante de ces exercices, où ils fournissent un ou plusieurs facteurs (d'une expression) ou des zéros (d'une équation ou d'une fonction), et ils veulent que vous trouviez le reste d'entre eux. J'ai des exemples de la façon dont cela fonctionne dans la dernière page de la leçon sur la division synthétique. Les différents exercices sont souvent un peu plus compliqués et, pour y répondre, vous devez avoir une compréhension plus approfondie de la façon dont la formule quadratique génère des solutions par paires, en raison du " ± ". Sinon, ils fonctionnent à peu près de la même manière.


        Voir la vidéo: Class - 9th, Ex -, Q 4 POLYNOMIALS Maths NCERT CBSE (Octobre 2021).