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5.5 : Conditions initiales/aux limites plus complexes


Il n'est pas toujours possible sur séparation de variables de séparer les conditions initiales ou aux limites dans une condition sur l'une des deux fonctions. Nous pouvons soit mapper le problème en des problèmes plus simples en utilisant la superposition de conditions aux limites, une méthode décrite ci-dessous, soit nous pouvons transporter des constantes d'intégration supplémentaires.

Permettez-moi de donner un exemple de ces procédures. Considérez une corde vibrante attachée à deux paliers à air, glissant le long de tiges distantes de 4 m. Il vous est demandé de trouver le déplacement pour tous les temps, si le déplacement initial, c'est-à-dire à (t=0)s est d'un mètre et la vitesse initiale est (x/t_0~ m m/s).

L'équation différentielle et ses conditions aux limites s'écrivent facilement,

[egin{aligned} dfrac{partial^2}{partial x^2} u &= frac{1}{c^2} dfrac{partial^2}{partial t^2} u , onumber dfrac{partial}{partial x} u(0,t) &= dfrac{partial}{partial x} u(4,t) = 0, ;t>0 , onumber u(x,0) & = 1, onumber dfrac{partial}{partial t} u(x,0) & = x /t_0.end{aligned}]

Exercice (PageIndex{1})

Que se passe-t-il si j'ajoute deux solutions (v) et (w) de l'équation différentielle qui satisfont les mêmes BC que ci-dessus mais des IC différents,

[egin{aligned} v(x,0) =0 &,& dfrac{partial}{partial t} v(x,0) = x /t_0, onumber w(x,0) =1 &,& dfrac{partial}{partial t} w(x,0) = 0?end{aligned}]

Réponse

(u)=(v+w), nous pouvons ajouter les BC.

Si nous séparons les variables, (u(x,t) = X(x)T(t)), nous trouvons que nous obtenons des conditions aux limites faciles pour (X(x)), [X'(0) =X'(4) = 0,] mais nous n'avons pas cette chance pour ((t)). Comme précédemment, nous résolvons l'équation aux valeurs propres pour (X), et trouvons des solutions pour (lambda_n=frac{n^2pi^2}{16}), (n=0,1,.. .), et (X_n=cos(frac{npi}{4}x)). Comme nous n'avons pas de conditions aux limites pour (T(t)), nous devons prendre la solution complète,

[egin{aligned} T_0(t) &= A_0 + B_0 t, onumber T_n(t) &= A_n cos frac{npi}{4} ct + B_n sin frac{n pi}{4} ct,end{aligned}] et donc [u(x,t) = dfrac{1}{2}(A_0 + B_0 t ) + sum_{n=1}^ infty left(A_n cos frac{npi}{4} ct + B_n sin frac{npi}{4} ct ight) cos frac{npi}{4}x. ]

Imposer maintenant les conditions initiales

  • [u(x,0) = 1 = dfrac{1}{2} A_0 + sum_{n=1}^infty A_n cos frac{npi}{4}x,] ce qui implique (A_0=2), (A_n=0, n>0).
  • [dfrac{partial}{partial t} u(x,0) = x/t_0 = dfrac{1}{2} B_0 + sum_{n=1}^infty frac{npi c}{4} B_n cos frac{npi}{4}x.] C'est la sinusoïde de Fourier de (x), que nous avons rencontrée auparavant, et qui conduit aux coefficients (B_0 =4) et (B_n= -frac{64}{n^3pi^3c}) si (n) est impair et nul sinon.

Donc finalement [u(x,t) = (1+2t) -frac{64}{pi^3} sum_{n~ m impair} frac{1}{n^3} sin frac{npi ct}{4 } cos frac{npi x}{4}.]


Dans cette étude, les modèles spatio-temporels des futurs changements de température et de précipitations au-dessus de la Chine sont explorés avec le modèle climatique régional PRECIS à deux résolutions horizontales (25 km et 50 km). Les données de température (CN05.1) et de précipitation (APHRODITE) basées sur des jauges sont utilisées pour valider les performances de PRECIS. Les résultats montrent que PRECIS a de meilleures performances dans la reproduction de la climatologie actuelle dans la distribution spatiale et le cycle annuel que son MCG moteur, en particulier pendant certains mois froids et les régions de haute latitude, bien que la simulation soit pire en matière de précipitations sur le plateau tibétain très froid Chine. Par rapport à l'observation, la différence entre les simulations à des résolutions de 50 km (R50) et 25 km (R25) est très faible. La température et les précipitations annuelles prévues augmenteront progressivement avec le temps dans la plupart des régions de la Chine, en particulier à la fin de ce siècle. Les résultats de R25 montrent que la température moyenne sur la Chine augmentera de

1,3(1,5)°C au début du siècle, 2,7(3,5)°C au milieu du siècle et 3,5(5,9)°C à la fin du siècle selon RCP4.5(8.5), qui sont toutes inférieures aux valeurs de son conduire GCM. La plupart des modèles prévoient que la température augmentera davantage pendant les mois froids (c'est-à-dire de janvier à mars), tandis que la région du sud-est affichera des changements plus faibles par rapport aux autres sous-régions. De plus, la Chine recevra plus de précipitations de la tendance globale, mais l'amplitude accrue entre les différents scénarios et modèles de concentration est évidemment différente. Les projections du R25 montrent plus de précipitations que le R50 et leur GCM moteur. Par exemple, les précipitations moyennes annuelles augmenteront de

22(37) % pour R25 à la fin de ce siècle sur l'ensemble de la Chine sous RCP4.5(8.5). Les cycles annuels des précipitations dans les sous-régions montrent également une variation distincte. Les changements sont plus faibles en octobre ou novembre que les autres mois pour les régions du sud-est et du centre, tandis que le pourcentage de changement est plus important dans le nord-ouest, ce qui atténuera la pression de la pénurie d'eau dans cette région aride de la Chine.


Introduction

De nombreuses approches pour résoudre numériquement les problèmes d'écoulement visqueux incompressible peuvent être trouvées dans la littérature. La plupart des publications utilisent des méthodes de domaine telles que les différences finies, les éléments finis ou les volumes finis (voir par exemple [1]). Un exemple classique pour tester les méthodes numériques publiées est l'écoulement forcé dans une cavité et des solutions très précises sont disponibles pour comparaison. Dans [2] par exemple, un maillage aux différences finies extrêmement fin est utilisé pour la solution. Nous utiliserons ces solutions pour comparer nos résultats plus tard.

Ici, nous utilisons la méthode des éléments de frontière (BEM). L'avantage de cette méthode est que pour les problèmes linéaires, les inconnues n'existent que sur la frontière et que les solutions à l'intérieur du domaine satisfont exactement aux équations différentielles régissant. Pour les problèmes non linéaires, tels que celui discuté ici, des intégrales de volume surviennent et doivent être traitées et cela sera discuté plus en détail plus tard.

L'équation différentielle régissant l'écoulement visqueux incompressible permanent peut être développée à partir des lois régissant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement et prendre les formes différentielles suivantes : ∂ uj ∂ xj = 0 μ ∂ 2 ui ∂ xj ∂ xj − ∂ p ∂ xi − ρ uj ∂ ui ∂ xj = 0 où xi est la coordonnée eulérienne, ui est le vecteur vitesse, p est la pression, ρ la masse volumique et μ la viscosité.

L'exigence pour le BEM est l'existence de solutions fondamentales des équations différentielles. Ces solutions ne peuvent être trouvées pour les équations non linéaires (1) que si l'on considère les termes non linéaires comme des forces corporelles. On réécrit les équations sous la forme : ∂ u j ∂ x j = 0 μ ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j − ∂ p ∂ x i + f i = 0 avec f i = − ρ u j ∂ u i ∂ x j

Les solutions fondamentales des équations. (2) peut maintenant être obtenu pour un domaine infini en substituant la fonction Dirac-Delta à la force du corps.

On définit les contraintes fluides comme : σ i j = μ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i et les tractions résultantes sur la frontière S : t i = σ i j n j − p n i où n i est le vecteur unitaire normal à la frontière. En utilisant le théorème réciproque, l'équation intégrale suivante est obtenue (pour une dérivation complète se référer à [3]) : cij ( y ) u ̇ j ( y ) = ∫ SU ij ( y , x ) tj ( x ) − T ij ( y , x ) u j ( x ) d S ( x ) + ∫ V 0 U ij ( y , x ̄ ) fj ( x ̄ ) d V 0 ( x ̄ ) où cij ( y ) est un terme libre intégral, en fonction de la forme de la frontière et u ̇ i est la perturbation de la vitesse, c'est-à-dire que la vitesse totale peut être écrite comme : ui ( x ) = u ̇ i ( x ) + ui 0 ( x ) avec ui 0 est la vitesse du flux libre et U ij ( y , x ) et T ij ( y , x ) sont des solutions fondamentales pour la vitesse et la traction au point x dues à une source au point y répertoriée en annexe.

Dans l'éq. (6) f j apparaît qui implique des dérivées de vitesses. Comme cela a été montré dans [4], ces dérivées peuvent être calculées en utilisant des différences finies ou en prenant des dérivées d'une approximation du champ de vitesse. Dans les deux cas, un travail de calcul supplémentaire doit être effectué et des erreurs sont introduites.

Alternativement, l'exigence de calculer les dérivées peut être éliminée en appliquant le théorème de divergence à l'intégrale de volume dans l'équation. (6) comme expliqué dans [5] résultant en : cij ( y ) u j ( y ) = ∫ SU ij ( y , x ) tj ( x ) − T ij ( y , x ) u ̇ j ( x ) d S − ∫ S 0 U ij ( y , x ) tj 0 ( x ) d S 0 + V 0 U ij , k ( y , x ̄ ) bjk 0 ( x ̄ ) d V 0 où U ij , k ( y , x ) est une solution fondamentale dérivée et : bik 0 ( x ̄ ) = ρ uk ( x ̄ ) u ̇ i ( x ̄ ) ti 0 ( x ) = bik 0 ( x ) nk ( x ) C'est l'approche utilisée ici.

Les premiers travaux sur la résolution des problèmes d'écoulement visqueux à l'aide du BEM sont apparus par exemple dans [5]. Comme avec la plupart des méthodes publiées, des cellules internes ont été utilisées pour l'évaluation des intégrales de volume. Les cellules sont fondamentalement comme des éléments finis avec la subtile différence qu'elles ne sont utilisées que pour évaluer les intégrales et non pour estimer les champs résultants (des solutions fondamentales, qui satisfont l'équation différentielle linéaire, sont utilisées pour les approximer à l'intérieur du domaine). Dans [5] Éq. (8) a été utilisé et donc le calcul des dérivées des vitesses a été évité.

Pour surmonter le besoin d'une discrétisation volumique, des approches telles que la double réciprocité BEM [6] ou l'utilisation de fonctions de base radiales [7] ont été proposées. Cependant, les fonctions de base radiale ne peuvent pas être utilisées pour des problèmes de domaine infini et une comparaison de ces méthodes à l'approche basée sur les cellules trouvée dans [8] recommande cette dernière pour la précision et la robustesse.

En résolvant le problème de l'écoulement forcé dans la cavité, il a été constaté qu'un schéma d'intégration très précis et un maillage fin de cellules devaient être utilisés pour obtenir de bons résultats. Pour des nombres de Reynolds plus élevés, il était nécessaire d'utiliser une méthode classique de Newton-Raphson, où le côté gauche est mis à jour à chaque étape d'itération, pour obtenir des résultats qui convergent vers la bonne solution. Les résultats pour les nombres de Reynolds jusqu'à 1000 sont présentés, mais les détails sur la façon dont l'opérateur tangent a été déterminé sont manquants. L'application du BEM aux problèmes d'écoulement de fluide a également été discutée dans les manuels (voir par exemple [9]).

Dans [10] et [11] la même approche que dans [5] est utilisée et la méthode est étendue à trois dimensions. Les auteurs expliquent comment l'opérateur tangent pour Newton-Raphson complet peut être obtenu, mais les résultats pour le problème d'écoulement forcé dans la cavité ne sont présentés que pour les nombres de Reynolds jusqu'à 100. Une solution du problème avec le BEM peut également être trouvée dans [4] . Ici Éq. (6) est utilisé et les dérivées des vitesses sont calculées soit en utilisant des différences finies, soit en prenant les dérivées des fonctions de base qui approchent la solution à l'intérieur des cellules. Une méthode de Newton-Raphson modifiée avec relaxation est utilisée et de bons résultats sont obtenus pour les nombres de Reynolds jusqu'à 1000.

L'analyse isogéométrique [12] a gagné en popularité au cours de la dernière décennie. La nouveauté de notre approche est qu'au lieu des polynômes de Lagrange, qui sont utilisés dans les travaux publiés cités, des fonctions de base NURBS sont utilisées pour décrire la géométrie et la variation des inconnues. L'utilisation de ces fonctions signifie que moins de paramètres sont nécessaires pour décrire avec précision des géométries complexes. L'utilisation de NURBS pour approximer les valeurs à la frontière offre également une plus grande flexibilité en ce qui concerne les options de raffinement. La méthode d'approximation de champ indépendante de la géométrie, qui a déjà été utilisée avec succès dans [13] et [14], signifie que l'approximation de l'inconnue est complètement découplée de la définition de la géométrie. Une autre nouveauté est qu'au lieu des cellules, une méthode de mappage qui a été introduite pour la première fois en 2-D dans [15] et étendue à 3-D dans [16], est utilisée, abolissant l'exigence de générer un maillage de cellules. Enfin, une comparaison entre les méthodes de Newton-Raphson modifiée et complète est présentée ici pour la première fois.


Expérience et vérification des antécédents

Vérification des antécédents Contrôle d'expérience Vérifiez si le Dr Long traite votre état ou votre procédure Conditions et procédures du Dr Long : Douleur abdominale Thyroïde anormale Abcès ou kyste Drainage ou aspiration Abcès ou incision liquidienne et drainage Tendinite d'Achille Acné Kératose actinique Bronchite aiguë Thrombose veineuse profonde aiguë (TVP) Laryngite aiguë Pharyngite aiguë Sinusite aiguë Infection aiguë des voies respiratoires supérieures Thrombose d'embolie veineuse aiguë TDAH et/ou AJOUTER Administratif Physique Directives anticipées Planification de fin de vie Tous les maux de tête (y compris la migraine) Tous les types d'intoxication alimentaire Conjonctivite allergique Rhinite allergique Douleur anale ou rectale Anaphylaxie Anémie Allergies animales Entorses et foulures de la cheville Anosmie Anxiété Arthrite Arthrite du coude Asthme Statut post-ménopausique asymptomatique Ataxie Athérosclérose Vaginite atrophique Mal au dos Balanoposthite Escarres Syndrome de douleur chronique bénigne Infection de la vessie Blépharite Sang dans l'urine (hématurie) Ébullition Bronchiectasie Bronchite Bronchospasme Ecchymose au visage, au cuir chevelu ou au cou Oignon Bursite Troubles du métabolisme du calcium Candidose de la peau et des ongles Coordination des soins pour les conditions et procédures complexes Syndrome du canal carpien Maladie coeliaque Cellulite Douleur de poitrine Syndrome douloureux de la paroi thoracique Thrombose veineuse profonde chronique (TVP) Syndrome de fatigue chronique Douleur chronique au cou La douleur chronique Pharyngite chronique Prostatite chronique Sinusite chronique Douleur coccygienne Herpès labial Confusion Constipation Dermatite de contact MPOC (maladie pulmonaire obstructive chronique) Toux Thrombose veineuse profonde (TVP) Déshydratation Dermatite Diabète Consultation sur le diabète Diabète sucré, secondaire Diabète de type 1 Diabète de type 2 Diabète avec manifestations rénales Polyneuropathie diabétique La diarrhée Difficulté à marcher Désordres digestifs Diverticulite intestinale Diverticulose intestinale Vertiges Yeux secs Peau sèche Dysenterie Dyslipidémie Dysphagie Dysthymie (dépression chronique) Dysthymie et cyclothymie (troubles de l'humeur) Mal d'oreille Accumulation de cérumen Électrocardiogramme (ECG) Emphysème Hypertrophie de la prostate (HBP) Entérite Essophagite Tremblement essentiel Hypercholestérolémie familiale Test de sang occulte fécal pour le cancer colorectal Fièvre Fibromyalgie Intoxication alimentaire Infection fongique des ongles Anormalité de la démarche Kyste ganglionnaire Syndrome de ballonnement gazeux Gastrite Reflux gastro-œsophagien (RGO) Gastroparésie L'herpès génital Verrues génitales Évaluation gériatrique Infections à la gonorrhée Goutte Chute de cheveux Orteil en marteau Mal de tête Cardiopathie Palpitations cardiaques Les hémorroïdes Hépatite B Hépatite C Hernie Infection à l'herpès simplex Zona sans complication Entorse de la hanche Urticaire Hypercalcémie Hyperkaliémie Hyperlipidémie Hypertension Hypoglycémie Hypogonadisme Hypokaliémie Hypotension Hypotension (hors maternelle) Hypothyroïdie Administration de la vaccination Grippe (Grippe) Insomnie La cystite interstitielle Intertrigo Troubles du métabolisme du fer Syndrome du côlon irritable La peau qui gratte Douleur articulaire Infection rénale Infection rénale, aiguë Entorse du genou Laryngite Épicondylite latérale et médiale (Tennis et Golf Elbow) Ulcères des jambes et des pieds Crampe des membres Douleur aux membres Gonflement des membres Gonflement des membres causé par une surcharge liquidienne Troubles lipidiques Perte de goût Lombalgie Faible niveau d'oxygène dans le sang Troubles du métabolisme du magnésium Malaise et fatigue mastodynie Troubles de la ménopause et de la postménopause Migraine Troubles du métabolisme minéral Grains de beauté (lésions cutanées bénignes) Mal des transports Spasme musculaire Faiblesse musculaire Infection des ongles et du lit des ongles Rhinopharyngite La nausée Entorse au cou (y compris le coup du lapin) Vessie neurogène Miction nocturne (nycturie) Gastro-entérite et colite non infectieuses Saignement de nez Obésité Arthrose Arthrose de la cheville et du pied Arthrose de la main ou du poignet Arthrose des mains Arthrose de la hanche Arthrose de la hanche et de la cuisse Arthrose du genou Arthrose de l'épaule Arthrose de la colonne vertébrale Ostéopénie Ostéoporose Otite moyenne Infection de l'oreille externe Vessie hyperactive en surpoids Miction douloureuse (dysurie) Frottis Pap Syndrome de douleur fémoro-patellaire ou douleur au genou Ulcère peptique Maladie péricardique Périménopause Troubles des nerfs périphériques Pharyngite Phlébite et thrombophlébite Conjonctivite (conjonctivite) Fasciite plantaire Pneumonie Allergie au pollen Polymyalgie rhumatismale (PMR) Polyneuropathie Polyurie Sécrétions post-nasales Prostatite Protéinurie Aspiration de ponction Purpura Radiculopathie (non due à un déplacement du disque) Éruption Maladie de Raynaud Essophagite par reflux Le syndrome des jambes sans repos Teigne Rosacée Calculs et inflammation des glandes salivaires Gale Sciatique (pas due au déplacement du disque) Maladies sexuellement transmissibles (MST) Zona Essoufflement Tendinite de l'épaule et ténosynovite Bradycardie sinusale Tachycardie sinusale Sinusite Ulcère de la peau Apnée du sommeil Crampe aux jambes liée au sommeil Troubles de la parole, du langage et de l'apprentissage Entorses et foulures (y compris déchirure musculaire) Orgelet Oreille de nageur Grippe porcine Ménopause symptomatique Maux de tête de tension Dysfonctionnement testiculaire Mal de gorge Goitre thyroïdien Acouphène Trouble lié à l'usage du tabac Torticolis Attaque ischémique transitoire (AIT) Tremblement Hésitation urinaire Incontinence urinaire Pierres urinaires Infection des voies urinaires (UTI) Vaccination Vaginite et/ou vaginose Fièvre de la vallée Insuffisance veineuse vertige Entérite virale Hépatite virale Infection virale Carence en vitamine B Carence en vitamine B12 Carence en vitamine D Verrues Examen de bien-être respiration sifflante Entorse ou foulure du poignet Les infections à levures

Courbes du spectre pour un problème de Sturm-Liouville discret avec une condition aux limites intégrale

Cet article présente de nouveaux résultats sur le spectre sur plan complexe pour le problème discret de Sturm-Liouville avec une condition aux limites non locale de type intégral dépendant de trois paramètres : γ, ξ1 et ξ2. La condition intégrale est approchée par la règle trapézoïdale. La dépendance vis-à-vis du paramètre est étudiée en utilisant la méthode de la fonction caractéristique et en analysant les courbes du spectre qui donne une vue qualitative du spectre pour des ξ1 = m1 / m et ξ2 = m2 / m, où m est le paramètre de discrétisation. Certaines propriétés des courbes spectrales sont formulées et illustrées par des figures pour divers ξ1 et ξ2.

*La recherche a été partiellement financée par le Conseil de la recherche de Lituanie (subvention n° MIP-047/2014).

Veuillez lire l'avis de droit d'auteur dans la politique du journal.

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Intégration numérique implicite de critères de rendement multisurfaces non lisses dans l'espace de contrainte principal

Les modèles de plasticité utilisant plusieurs surfaces d'élasticité sont fréquemment rencontrés dans la théorie de la plasticité et la pratique de l'ingénierie. Les surfaces de rendement multiples peuvent ou non se croiser de manière lisse, ce dernier cas étant un sur-ensemble du premier, généralement rencontré plus souvent dans les problèmes d'ingénierie et couvert dans ce travail. Des membres éminents de cette classe de modèles de plasticité peuvent être trouvés dans un large éventail d'applications en mécanique des sols, mécanique des roches, mécanique des dommages, plasticité des métaux, modélisation du béton ou dans la modélisation de matériaux fragiles ou cohésifs/frictionnels.

Alors que l'importance de ces modèles est largement reconnue, les difficultés résultant des singularités induites par les intersections non lisses des surfaces d'écoulement, introduisent de sévères complexités algorithmiques et numériques qui nécessitent généralement un traitement spécifique de chaque modèle. Trois problèmes principaux peuvent être identifiés, provenant principalement de l'application de l'hypothèse de normalité, à savoir que (une) le domaine élastique est sous-différentiel par rapport au vecteur de contrainte aux intersections des surfaces d'élasticité, (b) de graves erreurs numériques sont présentes au voisinage des intersections car les dérivées des surfaces d'écoulement ne sont pas toujours définies dans ces zones et (c) l'ensemble des surfaces d'écoulement considérées comme ultimement actives n'est pas connu a priori.

Les objectifs de cet article sont (une) fournir une revue complète de la littérature connexe et un aperçu complet des techniques de résolution proposées par différents chercheurs, (b) présenter la formulation et proposer le traitement algorithmique du problème des modèles de plasticité multisurfaces non lisses et enfin (c) pour donner des détails de mise en œuvre pour certains des modèles de plasticité multisurfaces non lisses les plus largement utilisés.

L'algorithme proposé est basé sur une représentation spectrale des contraintes et des déformations pour le cas de la plasticité de déformation infinitésimale et la reformulation du schéma de retour de correspondance dans les directions principales des contraintes. La détermination de l'ensemble des surfaces de rendement qui resteront finalement actives est identifiée en impliquant une application systématique des conditions de Karush-Kuhn-Tucker, fournissant ainsi une implémentation agnostique de surface.

Quatre exemples représentatifs de modèles de plasticité multisurfaces non lisses sont largement présentés et examinés dans le cadre de l'algorithme proposé. Il s'agit des critères de rendement de Tresca, de Mohr-Coulomb, de Hoek-Brown et de Drucker-Prager (dans le cas où il est accompagné d'une surface de type coupure de tension), qui sont tous bien établis dans la littérature connexe et pratique de l'ingénierie.

L'efficacité, la robustesse et la précision de l'algorithme proposé sont démontrées à travers une série d'exemples numériques avec d'excellents résultats.


Centrale solaire photovoltaïque au Brésil

25 juin (Renewables Now) - La société brésilienne d'énergie renouvelable Ibitu Energia mettra en œuvre un complexe solaire de 613 MW dans l'État de Piaui, avec un investissement initial de 2,5 milliards BRL (508,7 millions USD / 426,3 millions EUR).

Le projet photovoltaïque (PV) a été présenté lors d'une réunion avec le gouvernement local qui s'est tenue jeudi.

Baptisée Caldeirao Grande 2, l'usine sera construite en trois étapes dans la commune de Caldeirao Grande. Le projet créera 3 600 emplois directs et indirects sur une période de trois ans.

Selon le gouverneur Wellington Dias, le gouvernement s'efforce de rationaliser le processus d'autorisation pour permettre à Ibitu Energia de commencer les travaux de construction en novembre de cette année.

L'achèvement de la dernière étape est prévu pour 2024.

À l'heure actuelle, le portefeuille d'énergies renouvelables d'Ibitu Energia se compose de cinq complexes éoliens et de trois centrales hydroélectriques (HPP) d'une capacité combinée de 832,2 MW. La firme étudie également le développement de nouveaux projets de production éolienne, solaire ou hybride pouvant atteindre plus de 1,2 GW.


Notes sur Diffy Qs : équations différentielles pour les ingénieurs

Considérons une corde de guitare de longueur (L ext<.>) Nous avons étudié cette configuration dans la section 4.7. Soit (x) la position sur la chaîne, (t) le temps et (y) le déplacement de la chaîne. Voir la figure 5.3.

Graphique 5.3. Corde vibrante.

Le problème est régi par l'équation des ondes

Nous avons trouvé que la solution est de la forme

où (A_n) et (B_n) sont déterminés par les conditions initiales. Les fréquences naturelles du système sont les fréquences (angulaires) (frac) pour les entiers (n geq 1 ext<.>)

Mais ce sont des vibrations libres. Que faire s'il y a une force externe agissant sur la corde. Supposons disons des vibrations de l'air (bruit), par exemple d'une deuxième corde. Ou peut-être un moteur à réaction. Pour plus de simplicité, supposez un son pur et agréable et supposez que la force est uniforme à chaque position sur la corde. Disons (F(t) = F_0 cos (omega t)) comme force par unité de masse. Ensuite, notre équation d'onde devient (rappelez-vous que la force est la masse multipliée par l'accélération)

avec les mêmes conditions aux limites bien sûr.

Nous voulons trouver ici la solution qui satisfait l'équation ci-dessus et

C'est-à-dire que la chaîne est initialement au repos. On trouve d'abord une solution particulière (y_p) de (5.7) qui satisfait (y(0,t) = y(L,t) = 0 ext<.>) On définit les fonctions (f) et (g) comme

On trouve alors la solution (y_c) de (5.6). Si on additionne les deux solutions, on trouve que (y = y_c + y_p) résout (5.7) avec les conditions initiales.

Exercice 5.3.1.

Vérifier que (y = y_c + y_p) résout (5.7) et les conditions latérales (5.8).

Donc le gros problème ici est de trouver la solution particulière (y_p ext<.>) Nous regardons l'équation et nous faisons une supposition éclairée

ou (-omega^2 X = a^2 X'' + F_0) après annulation du cosinus. On sait trouver une solution générale à cette équation (c'est une équation à coefficients constants non homogène). La solution générale est

Les conditions de point final impliquent (X(0) = X(L) = 0 ext<.>) Donc

La solution particulière (y_p) que nous recherchons est

Exercice 5.3.2 .

Nous pourrions à nouveau résoudre pour la solution de résonance si nous le voulions, mais c'est, dans le bon sens, la limite des solutions lorsque (omega) se rapproche d'une fréquence de résonance. Dans la vraie vie, la résonance pure ne se produit de toute façon jamais.

Le calcul ci-dessus explique pourquoi une corde commence à vibrer si la corde identique est pincée à proximité. En l'absence de friction, cette vibration deviendrait de plus en plus forte au fil du temps. D'un autre côté, il est peu probable que vous obteniez des vibrations importantes si la fréquence de forçage n'est pas proche d'une fréquence de résonance, même si vous avez un moteur à réaction fonctionnant à proximité de la corde. C'est-à-dire que l'amplitude ne continue pas d'augmenter à moins que vous ne vous syntoniez sur la bonne fréquence.

Des phénomènes de résonance similaires se produisent lorsque vous cassez un verre de vin à l'aide de la voix humaine (oui, c'est possible, mais pas facile 1 ) si vous frappez juste la bonne fréquence. N'oubliez pas qu'un verre a un son beaucoup plus pur, c'est-à-dire qu'il ressemble plus à un vibraphone, il y a donc beaucoup moins de fréquences de résonance à frapper.

Lorsque la fonction de forçage est plus compliquée, vous la décomposez en termes de série de Fourier et appliquez le résultat ci-dessus. Vous devrez peut-être également résoudre le problème ci-dessus si la fonction de forçage est un sinus plutôt qu'un cosinus, mais si vous y réfléchissez, la solution est presque la même.

Exemple 5.3.1.

Faisons le calcul pour des valeurs spécifiques. Supposons (F_0 = 1) et (omega = 1) et (L=1) et (a=1 ext<.>) Alors

et après avoir différencié en (t) on voit que (g(x) = -frac(x,0) = 0 ext<.>)

Par conséquent, pour trouver (y_c) nous devons résoudre le problème

La formule que nous utilisons pour définir (y(x,0)) n'est pas étrange, il ne s'agit donc pas simplement de brancher l'expression pour (y(x,0)) à la formule d'Alembert directement! Vous devez définir (F) comme étant l'extension impaire et 2-périodique de (y(x,0) ext<.>) Alors notre solution est

Il n'est pas difficile de calculer des valeurs spécifiques pour une extension périodique impaire d'une fonction et donc (5.10) est une merveilleuse solution au problème. Par exemple, il est très facile de le faire par ordinateur, contrairement à une solution en série. Un graphique est donné à la figure 5.4.

Graphique 5.4. Tracé de (y(x,t) = frac <2>+ left( cos (x) - frac sin (x) -1 ight) cos (t) ext<. >)

Sous-section 5.3.2 Oscillations de température souterraine

Soit (u(x,t)) la température à un certain endroit à la profondeur (x) du sous-sol au temps (t ext<.>) Voir Figure 5.5.

Graphique 5.5. Température souterraine.

La température (u) satisfait l'équation de la chaleur (u_t = ku_ ext<,>) où (k) est la diffusivité du sol. Nous connaissons la température à la surface (u(0,t)) à partir des relevés météorologiques. Supposons pour simplifier que

où (T_0) est la température moyenne annuelle, et (t=0) est le milieu de l'été (vous pouvez mettre un signe négatif au-dessus pour le faire au milieu de l'hiver si vous le souhaitez). (A_0) donne la variation typique pour l'année. C'est-à-dire que la température la plus chaude est (T_0 + A_0) et la plus froide est (T_0 - A_0 ext<.>) Pour simplifier, nous supposons que (T_0 = 0 ext<.>) La fréquence (omega) est choisi en fonction des unités de (t ext<,>) de telle sorte que lorsque (t=unit[1] ext<,>) puis (omega t = 2 pi ext<.>) Par exemple si (t) est en années, alors (omega = 2pi ext<.> )

Il semble raisonnable que la température à la profondeur (x) oscille également avec la même fréquence. C'est en fait la solution périodique stationnaire, une solution indépendante des conditions initiales. On cherche donc une solution de la forme

Nous employons ici l'exponentielle complexe pour rendre les calculs plus simples. Supposons que nous ayons une fonction à valeurs complexes

On cherche un (h) tel que (operatorname h = u ext<.>) Pour trouver un (h ext<,>) dont la partie réelle satisfait (5.11), on cherche un (h) tel que

Exercice 5.3.3 .

Supposons que (h) satisfait (5.12). Utilisez la formule d'Euler pour l'exponentielle complexe pour vérifier que (u = operatorname h) satisfait (5.11).

où (alpha = pm sqrt> ext<.>) Notez que (pm sqrt = pm frac<1+i>>) afin que vous puissiez simplifier en (alpha = pm (1+i)sqrt<2k>> text<.>) La solution générale est donc

Nous supposons qu'un (X(x)) qui résout le problème doit être borné comme (x o infty) puisque (u(x,t)) devrait être borné (nous ne nous soucions pas de la noyau de terre !). Si vous utilisez la formule d'Euler pour développer les exponentielles complexes, notez que le deuxième terme est non borné (si (B ot = 0)), tandis que le premier terme est toujours borné. D'où (B=0 ext<.>)

Exercice 5.3.4 .

De plus, (X(0) = A_0) puisque (h(0,t) = A_0 e^ ext<.>) Donc (A=A_0 ext<.>) Cela signifie que

Nous devons obtenir la partie réelle de (h ext<,>) donc nous appliquons la formule d'Euler pour obtenir

Notez que la phase est différente à différentes profondeurs. A la profondeur (x) la phase est retardée de (x sqrt<2k>> ext<.>) Par exemple en unités cgs (centimètres-grammes-secondes) nous avons (k=0,005) (valeur typique pour le sol), (omega = frac<2pi>< ext> = frac<2pi> <31,557,341>approx 1,99 imes <10>^<-7> ext<.>) Ensuite si on calcule où le déphasage (x sqrt<2k>> = pi) on trouve la profondeur en centimètres où les saisons s'inversent. C'est-à-dire que nous obtenons la profondeur à laquelle l'été est le plus froid et l'hiver le plus chaud. Nous obtenons environ 700 centimètres, soit environ 23 pieds sous terre.

Attention à ne pas sauter aux conclusions. Les variations de température diminuent rapidement à mesure que vous creusez plus profondément. L'amplitude des variations de température est (A_0 e^<-sqrt<2k>> x> ext<.>) Cette fonction décroît très rapidement à mesure que (x) (la profondeur) augmente. Reprenons des paramètres typiques comme ci-dessus. Nous supposons également que notre oscillation de température de surface est (pm <15>^circ) Celsius, c'est-à-dire (A_0 = 15 ext<.>) Alors la variation de température maximale à 700 centimètres n'est que de ( pm <0.66>^circ) Celsius.

Vous n'avez pas besoin de creuser très profondément pour obtenir un « réfrigérateur » efficace avec une température presque constante. C'est pourquoi les vins sont conservés dans une cave dont vous avez besoin d'une température constante. Le différentiel de température pourrait également être utilisé pour l'énergie. Une maison pourrait être chauffée ou refroidie en profitant du fait ci-dessus. Même sans noyau de terre, vous pouvez chauffer une maison en hiver et la refroidir en été. Le noyau terrestre augmente la température au fur et à mesure que vous creusez, même si vous devez creuser un peu profondément pour sentir une différence. Nous n'en avons pas tenu compte ci-dessus.

Sous-section 5.3.3 Exercices

Exercice 5.3.5 .

Supposons que la fonction de forçage pour la corde vibrante est (F_0 sin (omega t) ext<.>) Dérivez la solution particulière (y_p ext<.>)

Exercice 5.3.6 .

Prenez la corde vibrante forcée. Supposons que (L=1 ext<,>) (a=1 ext<.>) Supposons que la fonction de forçage soit l'onde carrée qui vaut 1 sur l'intervalle (0 < x < 1) et (-1) sur l'intervalle (-1 < x< 0 ext<.>) Trouvez la solution particulière. Astuce : vous pouvez utiliser le résultat de l'exercice 5.3.5.

Exercice 5.3.7 .

Les unités sont cgs (centimètres-grammes-secondes). Pour (k=0.005 ext<,>) (omega = 1.991 imes <10>^<-7> ext<,>) (A_0 = 20 ext<.>) Trouvez le profondeur à laquelle la variation de température est la moitié ((pm 10) degrés) de ce qu'elle est à la surface.

Exercice 5.3.8 .

Déduire la solution pour l'oscillation de la température souterraine sans supposer que (T_0 = 0 ext<.>)

Exercice 5.3.101 .

Prenez la corde vibrante forcée. Supposons que (L=1 ext<,>) (a=1 ext<.>) Supposons que la fonction de forçage soit une dent de scie, soit (lvert x vert -frac<1> <2>) sur (-1 < x < 1) étendu périodiquement. Trouvez la solution particulière.

Exercice 5.3.102 .

Les unités sont cgs (centimètres-grammes-secondes). Pour (k=0.01 ext<,>) (omega = 1.991 imes <10>^<-7> ext<,>) (A_0 = 25 ext<.>) Trouvez le profondeur à laquelle l'été est à nouveau le point le plus chaud.


Notes sur Diffy Qs : équations différentielles pour les ingénieurs

La série de fonctions propres peut provenir même d'équations d'ordre supérieur. Considérons une poutre élastique (disons en acier). Nous étudierons les vibrations transversales de la poutre. Autrement dit, supposons que la poutre se trouve le long de l'axe (x) et que (y(x,t)) mesure le déplacement du point (x) sur la poutre au temps (t ext< .>) Voir la figure 5.2.

Graphique 5.2. Vibrations transversales d'une poutre.

L'équation qui régit cette configuration est

for some constant (a > 0 ext<,>) let us not worry about the physics 1 .

Suppose the beam is of length 1 simply supported (hinged) at the ends. The beam is displaced by some function (f(x)) at time (t=0) and then let go (initial velocity is 0). Then (y) satisfies:

Again we try (y(x,t) = X(x)T(t)) and plug in to get (a^4 X^<(4)>T + XT'' = 0) or

The boundary conditions (y(0,t) = y_(0,t) = 0) and (y(1,t) = y_(1,t) = 0) imply

and the initial homogeneous condition (y_t(x,0) = 0) implies

As usual, we leave the nonhomogeneous (y(x,0) = f(x)) for later.

Considering the equation for (T ext<,>) that is, (T'' + lambda a^4 T = 0 ext<,>) and physical intuition leads us to the fact that if (lambda) is an eigenvalue then (lambda > 0 ext<.>) This is because we expect vibration and not exponential growth nor decay in the (t) direction (there is no friction in our model for instance). So there are no negative eigenvalues. Similarly (lambda = 0) is not an eigenvalue.

Let (omega = sqrt[4] ext<,>) that is (omega^4 = lambda ext<,>) so that we do not need to write the fourth root all the time. Notice (omega > 0 ext<.>) The equation (X^ <(4)>- omega^4 X = 0) has the general solution is

Now (0 = X(0) = A+B+D ext<,>) (0 = X''(0) = omega^2 (A + B - D) ext<.>) Hence, (D = 0) and (A+B = 0 ext<,>) or (B = - A ext<.>) So we have

Also (0 = X(1) = A (e^ - e^<-omega>) + C sin omega ext<,>) and (0 = X''(1) = A omega^2 (e^ - e^<-omega>) - C omega^2 sin omega ext<.>) This means that (C sin omega = 0) and (A (e^ - e^<-omega>) = 2 A sinh omega = 0 ext<.>) If (omega > 0 ext<,>) then (sinh omega ot= 0) and so (A = 0 ext<.>) This means that (C ot=0) otherwise (lambda) is not an eigenvalue. Also (omega) must be an integer multiple of (pi ext<.>) Hence (omega = n pi) and (n geq 1) (as (omega > 0)). We can take (C=1 ext<.>) So the eigenvalues are (lambda_n = n^4 pi^4) and corresponding eigenfunctions are (sin (n pi x) ext<.>)

Now (T'' + n^4 pi^4 a^4 T = 0 ext<.>) The general solution is (T(t) = A sin (n^2 pi^2 a^2 t) + B cos (n^2 pi^2 a^2 t) ext<.>) But (T'(0) = 0) and hence we must have (A=0 ext<.>) We can take (B=1) to make (T(0) = 1) for convenience. So our solutions are (T_n(t) = cos (n^2 pi^2 a^2 t) ext<.>)

As eigenfunctions are just sines again, we decompose the function (f(x)) on (0 < x < 1) using the sine series. We find numbers (b_n) such that for (0 < x < 1) we have

The point is that (X_nT_n) is a solution that satisfies all the homogeneous conditions (that is, all conditions except the initial position). And since (T_n(0) = 1 ext<,>) we have

The natural (angular) frequencies of the system are (n^2 pi^2 a^2 ext<.>) These frequencies are all integer multiples of the fundamental frequency (pi^2 a^2 ext<,>) so we get a nice musical note. The exact frequencies and their amplitude are what musicians call the timbre of the note (outside of music it is called the spectrum).

The timbre of a beam is different than for a vibrating string where we get “more” of the lower frequencies since we get all integer multiples, (1,2,3,4,5,ldots ext<.>) For a steel beam we get only the square multiples (1,4,9,16,25,ldots ext<.>) That is why when you hit a steel beam you hear a very pure sound. The sound of a xylophone or vibraphone is, therefore, very different from a guitar or piano.

Example 5.2.1 .

Let us assume that (f(x) = frac<10> ext<.>) On (0 < x < 1) we have (you know how to do this by now)

odd>>>^infty frac<4> <5pi^3 n^3>sin (n pi x) . finir

Hence, the solution to (5.5) with the given initial position (f(x)) is

odd>>>^infty frac<4> <5pi^3 n^3>sin (n pi x) cos ( n^2 pi^2 a^2 t ) . finir

There are other boundary conditions than just hinged ends. There are three basic possibilities: hinged, free, or fixed. Let us consider the end at (x=0 ext<.>) For the other end, it is the same idea. If the end is hinged, ensuite

If the end is free, that is, it is just floating in air, then

And finally, if the end is clamped ou alors fixed, for example it is welded to a wall, then

Subsection 5.2.1 Exercises

Exercise 5.2.2 .

Suppose you have a beam of length 5 with free ends. Let (y) be the transverse deviation of the beam at position (x) on the beam ((0 < x < 5)). You know that the constants are such that this satisfies the equation (y_ + 4 y_ = 0 ext<.>) Suppose you know that the initial shape of the beam is the graph of (x(5-x) ext<,>) and the initial velocity is uniformly equal to 2 (same for each (x)) in the positive (y) direction. Set up the equation together with the boundary and initial conditions. Just set up, do not solve.

Exercise 5.2.3 .

Suppose you have a beam of length 5 with one end free and one end fixed (the fixed end is at (x=5)). Let (u) be the longitudinal deviation of the beam at position (x) on the beam ((0 < x < 5)). You know that the constants are such that this satisfies the equation (u_ = 4 u_ ext<.>) Suppose you know that the initial displacement of the beam is (frac<50> ext<,>) and the initial velocity is (frac<-(x-5)><100>) in the positive (u) direction. Set up the equation together with the boundary and initial conditions. Just set up, do not solve.

Exercise 5.2.4 .

Suppose the beam is (L) units long, everything else kept the same as in (5.5). What is the equation and the series solution?

Exercise 5.2.5 .

That is, you have also an initial velocity. Find a series solution. Hint: Use the same idea as we did for the wave equation.

Exercise 5.2.101 .

Suppose you have a beam of length 1 with hinged ends. Let (y) be the transverse deviation of the beam at position (x) on the beam ((0 < x < 1)). You know that the constants are such that this satisfies the equation (y_ + 4 y_ = 0 ext<.>) Suppose you know that the initial shape of the beam is the graph of (sin (pi x) ext<,>) and the initial velocity is 0. Solve for (y ext<.>)

Exercise 5.2.102 .

Suppose you have a beam of length 10 with two fixed ends. Let (y) be the transverse deviation of the beam at position (x) on the beam ((0 < x < 10)). You know that the constants are such that this satisfies the equation (y_ + 9 y_ = 0 ext<.>) Suppose you know that the initial shape of the beam is the graph of (sin(pi x) ext<,>) and the initial velocity is uniformly equal to (x(10-x) ext<.>) Set up the equation together with the boundary and initial conditions. Just set up, do not solve.

(9 y_ + y_ = 0 quad (0 < x < 10, t > 0) ext<,>) (y(0,t) = y_(0,t) = 0 ext<,>) (y(10,t) = y_(10,t) = 0 ext<,>) (y(x,0) = sin(pi x), quad y_(x,0) = x(10-x) ext<.>)


Discussion

By manipulating the location of prosodic boundary and semantic bias of “V+N1+de+N2” phrases, this study adopted the eye tracker to investigate the effect of prosodic boundary on ambiguity resolution in the two types of “V+N1+de+N2” ambiguous phrases, one being the narrative-noun biased structure and the other being the balanced ambiguous structure. We found that prosodic boundary had an influence on any related regions. Specifically, readers parsed ambiguous structures easier and faster when the prosodic boundaries occurred after �” than when they occurred after “V.” When the prosodic boundary was positioned after �,” the meaning conveyed by the ambiguous structure was compatible with the contexts, consequently promoting the processing of the ambiguous structure. In contrast, when the prosodic boundary was positioned after “V,” the meaning conveyed by the ambiguous structure was incompatible with the contexts, resulting in the increase of difficulty in processing. In this case, the reader spent more time reading and made more regressions, indicating they needed to integrate more cognitive sources to parse the sentence. With respect to time course of prosodic processing, we found prosodic boundary only influenced parsing at the later stage of sentence integration. More importantly, we found that the interaction between prosodic boundary and semantic bias occurred at the late stage of sentence processing.

This experiment found the main effect of prosodic boundary on FFD and GD, which reflect early reading time measures. However, it is highly possible that these increases in fixation duration were not triggered by prosodic information because the extracted prosodic information was employed only after the subjects fully completed processing the whole ambiguous structure, which was obviously out of the range of maximal visual angle field. Therefore, a conceivable explanation for the increase of FFD and GD could possibly be influenced by parafoveal preview information. According to previous research, readers can get information from 2° to 5° of visual angle field from fixation (Schotter et al., 2012). The blank space adopted as a prosodic boundary marker in this experiment was in the visual range of parafoveal information, therefore, this low-level visual clue can be obtained by the reader. When the prosodic boundary was placed after “V,” the blank space caused region 1 and the subsequent “V” to be processed as one chunk. Additionally, since the classifier phrase in Chinese commonly functions as the modifier of a noun rather than of a verb, Region 1 and the “V” combination is semantically incongruent which certainly increases the processing difficulty, thus leading to a noticeable increase of fixation in Region 1.

To further explore whether prosodic boundary played a role at the early processing stage, the processing data in Region 2 and Region 3 were analyzed. If prosodic boundary played a role at the earlier stage of sentence processing, we would expect to see an increase in the processing difficulty of FFD and GD or FPRT in these two regions. However, we found no significant differences on these two measures in Region 2 and Region 3, indicating the prosodic boundary played no role at the early stage of temporary ambiguous sentence processing. This result was inconsistent with previous studies which claimed the effect of prosody on ambiguous sentences during the early stage of reading (Traxler, 2009 Luo et al., 2015 Kentner and Vasishth, 2016), but consistent with some previous eye movement studies that reported no effect on FPRT (Kentner, 2012 Breen and Clifton, 2013). In particular, the findings were consistent with Yu and Yan (2015) which did not find the early effect of prosodic boundary on ambiguity resolution in the non-preferred context. Since the current study situated the “V+N1+de+N2 ambiguous structures” in the modifier-noun context, which in fact was the non-preferred context for narrative-object biased ambiguous construction, the non-preferred context might to some extent restrict the prosodic effect. Therefore, the current study also suggested that the effect of prosodic boundary at the early stage relies on the biased context.

Additionally, the fact that no prosodic effect was found at the early processing stage can be directly contributed to the characteristics of “V+N1+de+N2” ambiguous structure. The “V+N1+de+N2” structure involves complex phrasal ambiguity, and normally only consists of four words. In order to determine whether the prosodic boundary plays a role in disambiguation of this kind of structure, the subjects need to process the whole structure completely. Indeed, the subjects took a longer time reading because they were repeatedly parsing the ambiguous structure in an effort to determine the meaning. Therefore, it is almost impossible to find the prosodic boundary effect at the early stages of processing. The time differences found in the FPRT best illustrated this point.

The effect of prosodic boundary at the late stage of processing is undisputed. We observed the effect of prosodic boundary on TFD, which could reflect late stages in the comprehension process, in both Region 1 and Region 2.

We also found the effect of prosodic boundary on REGP and RPD on Region 2, strongly suggesting that when the meaning of the ambiguous structure guided by prosodic boundary is incongruent with the upstream context, more regressions toward the preceding regions were needed, which reflect the reader’s attempt to integrate the current information into the previous context (Bader, 1998 Frazier and Clifton, 1998 Liversedge et al., 1998 Boland and Blodgett, 2001).

One of the aims of this study was to explore the interaction between semantic bias and prosodic boundary. Of particular interest was examining whether semantic bias of ambiguous structures influence the effect of prosodic boundary. The study found no interaction between semantic bias and prosodic boundary at the early stage of processing. However, a noticeable interaction between these two was observed on TFD, which is an indicator of a relatively late effect on processing (Inhoff, 1984 Rayner, 2009), suggesting that prosodic effect is only influenced by semantic bias at the late stage where information integration is on-going. It is noteworthy that the effect of prosodic boundary was exhibited only in the narrative-noun biased ambiguous structures and not in the balanced ambiguous structure. In narrative-noun biased ambiguous structure, the prosody boundary presented the same effect in Region 1 and Region 2 pointing to the guiding function of implicit prosody in parsing. Prosodic boundary positioned after “V” was in line with the semantic bias of narrative-noun ambiguous structure motivating quick interpretation of narrative-noun meaning. However, the quickly obtained meaning was in conflict with the non-preferred modifier-noun context, which increased the difficulty in processing. As opposed to biased ambiguous structures, the balanced ambiguous structure has no semantic bias. The location of prosodic boundary, either after “V” or after �,” activated the meaning of balanced structure not as greatly as it did in its narrative-noun biased counterparts which explains why prosodic boundary effect was found only in narrative-noun biased structure.

In the present study, we explored the role of prosodic boundary on ambiguity resolution during silent reading. Our findings were consistent with Li et al. (2010) and Yu (2011). Yu (2011) found that pause duration of prosodic boundary, as the most important prosodic clue of disambiguation, can dissolve “V+N1+de+N2” ambiguous structure. Li et al. (2010) used ERP to investigate the prosodic boundary effect during on-line syntactic processing. When the prosodic boundaries were incongruent with the syntactic interpretation, a left-anterior distributed LAN effect or a combined LAN and N400 effect was elicited, suggesting that prosodic information can be used in parsing the syntactic structure and can be immediately integrated with the ongoing discourse context in comprehending the spoken discourse. The current study also found that implicit prosody had a dominating effect on ambiguity resolution in “V+N1+de+N2” structures during silent reading. According to IPH, it is likely that prosody plays the same role in silent reading as it does in reading aloud. The current study shows that implict prosody plays an important role in parsing the ambiguous sturcture in silent reading just as overt prosody plays a crucial role in reading aloud (Fodor, 2002). Our study provided clear evidence that supports the IPH.

We examined the role of prosodic boundary in dissolving the ambiguity in the Chinese “V+N1+de+N2” structure which to date has been rarely studied. The “V+N1+de+N2” structure possesses different meaning and syntactic structure according to the different location of prosodic boundary. This ambiguous structure is quite different from ambiguous sentences in some western languages, where the modifier commonly occurs after the constituent it modified. While ambiguous structures differ in some aspects in different languages, the effect of implicit prosody on syntactic ambiguity resolution was found to be universal. This study provides evidence for the universal influence of IPH on syntactic parsing in silent reading of the “V+N1+de+N2” ambiguous structure in Chinese which has rarely been tested.


2. Materials and Methods

In this work, a bio-inspired control architecture is implemented for the quadruped configuration of Fable robot (Pacheco et al., 2014), simulated on the Neurorobotics Platform (Falotico et al., 2017).

Figure 1 shows the system which consists of two parts: the controller, which is a simplified model of the CNS, comprising the CPG and the cerebellar circuit, and a simulated model of a quadruped robot, the Fable robot (Pacheco et al., 2014).

Figure 1. Bio-inspired control system design and implementation. The main modules of the architectures are a CPG-inspired trajectory planner, whose characteristic parameters have been chosen by a Covariance Matrix Adaptation Evolutionary Strategy (CMA-ES) (Hansen, 2006) approach and a Proportional “Integral” Derivative (PID) feedback controller which can cooperate with a cerebellar-inspired adaptive controller (Ojeda et al., 2017).

The robot has two degrees of freedom (DoF) for each leg (Figure 2A), but only one is actuated (the hip joint), while keeping the other fixed (Figure 2B) in order to reduce the number of parameters and simplifying the evolutionary process. This simplification does not pose a problem, as locomotion patterns can still be achieved by only using the hip joints.

Figure 2. The Fable Robot in the Neurorobotics Platform (NRP). The robot has 4 legs (A) and 2 revolute joints per leg (B) which rotate around 2 perpendicular axes (C) (Pacheco et al., 2014 Falotico et al., 2017).

2.1. Central Pattern Generator (CPG)

In quadruped biological systems, simple locomotion can be generated as a low-level brain function, in the spinal cord, in the form of CPG. The term central indicates that there is no need for peripheral sensory feedback to generate the rhythms. From a control point of view, the CPG has also very interesting properties such as distributed control and modulation of locomotion by simple high-level commands (Ijspeert, 2008).

In our system, this biological neural function is mathematically modeled as a network of coupled non-linear oscillators and they are represented as the gray box in Figure 1 (Gay et al., 2013). These oscillators are then used to plan the angular excursion in time of the hip joints of a quadruped robot (Figure 2). The benefits of using these oscillators lie in the fact that they are controlled by a low number of parameters that specifically affect certain aspects of the locomotion pattern. For instance, one of the most relevant parameters is the duty cycle ( in Equation 4) which controls the shape of a skewed sine wave modulating the protraction-retraction of the hip joint of the robot as shown in the systems of equations 1-4.

The CPG module is the main block involved in the evolutionary procedure (Sect. 2.3) and it is implemented in open-loop in the control architecture.

The initial parameters and the boundaries of the oscillators (Table 1), employed as a CPG, are selected to be a general starting point for the optimization algorithm. In defining the variables of the CPG oscillators, a difference between the front and hind legs is made to better characterize the morphology of the robot and to follow the default specifications of the work by Gay et al. (2013). These variables are the deterministic specifications which induce a certain type of locomotion for the Fable robot. Indeed, the locomotion patterns represent the phenotype for the evolutionary process, which means that they are the observable characteristics resulting from the interaction of the genotype of the robot with the environment. Equally, the CPG parameters (Table 1) represent the genotype which is evolved and mutated through multiple generations, whose expression are de facto the locomotion patterns (phenotype). In fact, to not steer the evolution toward a limited area in the space of the possible genetic outcomes, the generalizability and unbiasedness of the starting values of the genotype are fundamental.

Table 1. Distinctive parameters of the coupled oscillators which define the four joint trajectories for the robot.

The selected parameters are listed in Table 1, where their initial values, boundaries and final optimal results are presented.

Here below, the equations of the unit oscillators model for the jee robotic hip, with ϕ = ϕje(mod 2π):