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8.4.1 : Probabilité conditionnelle (exercices)


SECTION 8.4 PROBLÈME : PROBABILITÉ CONDITIONNELLE

Questions 1 - 4 : Faites ces problèmes en utilisant la formule de probabilité conditionnelle : (P(A | B)=frac{P(A cap B)}{P(B)}).

  1. Une carte est tirée d'un paquet. Trouvez la probabilité conditionnelle de (P)(une reine | une face card).
  1. Une carte est tirée d'un paquet. Trouvez la probabilité conditionnelle de (P)(une reine | un trèfle).
  1. Un dé est lancé. Trouvez la probabilité conditionnelle qu'il affiche un trois si l'on sait qu'un nombre impair a été affiché.
  1. Si (P(A)) = .3 , (P(B)) = .4, (P)((A) et (B)) = .12, trouvez :
    1. (P(A | B))
    2. (P(B | A))

Les questions 5 à 8 se réfèrent à ce qui suit : Le tableau montre la répartition des sénateurs démocrates et républicains américains par sexe dans le 114e Congrès en janvier 2015.

MÂLE (M)

FEMELLE(F)

LE TOTAL

DÉMOCRATES (D)

30

14

44

RÉPUBLICAINS(R)

48

6

54

AUTRE (T)

2

0

2

TOTAUX

80

20

100

Utilisez ce tableau pour déterminer les probabilités suivantes :

  1. (P(M | D))
  1. (P(D | M))
  1. (P(F | R))
  1. (P(R | F))

Faites les problèmes de probabilité conditionnelle suivants.

  1. Dans un collège, 20 % des étudiants suivent des cours de mathématiques finies, 30 % d'histoire et 5 % suivent à la fois des mathématiques finies et d'histoire. Si un élève est choisi au hasard, trouvez les probabilités conditionnelles suivantes.
    1. Il prend des maths finies étant donné qu'il prend l'histoire.
    2. Il prend l'histoire en supposant qu'il prend les mathématiques finies.
  1. Dans un collège, 60% des étudiants réussissent la comptabilité, 70% réussissent l'anglais et 30% réussissent ces deux cours. Si un élève est choisi au hasard, trouvez les probabilités conditionnelles suivantes.
    1. Il passe la comptabilité étant donné qu'il passe l'anglais.
    2. Il passe l'anglais en supposant qu'il passe la comptabilité.
  1. Si (P(F) = .4), (P(E | F) = .3), trouvez (P)((E) et (F)).
  1. (P(E) = .3), (P(F) = .3); (E) et (F) s'excluent mutuellement. Trouvez (P(E | F)).
  1. Si (P(E) = .6), (P)((E) et (F)) = .24, trouvez (P(F | E)).
  1. Si (P)((E) et (F)) = (.04), (P(E | F) = .1), trouvez (P(F)) .

Dans un collège, 72 % des cours comportent des examens finaux et 46 % des cours exigent des travaux de recherche. 32% des cours ont à la fois un mémoire de recherche et un examen final. Soit (F) l'événement qu'un cours a un examen final et (R) l'événement qu'un cours nécessite un travail de recherche.

  1. Trouvez la probabilité qu'un cours ait un examen final étant donné qu'il a un mémoire de recherche.
  1. Trouvez la probabilité qu'un cours ait un mémoire de recherche s'il comporte un examen final.

SECTION 8.4 ENSEMBLE DE PROBLÈME : PROBABILITÉ CONDITIONNELLE

Considérons une famille de trois enfants. Trouvez les probabilités suivantes.

  1. (P)(deux garçons | le premier né est un garçon)
  1. (P)(toutes les filles | au moins une fille est née)
  1. (P)(enfants des deux sexes | le premier-né est un garçon)
  1. (P)(tous les garçons | il y a des enfants des deux sexes)

Les questions 21 à 26 se rapportent aux éléments suivants :
Le tableau montre le niveau d'éducation le plus élevé atteint pour un échantillon de résidents américains âgés de 25 ans ou plus :

(D) N'a pas terminé

Lycée

(H) Lycée

Diplômé

(C)

Certains

Université

(A) Associé

Degré

(B) Baccalauréat

Degré

(G)

Diplômé

Degré

LE TOTAL

25-44 (D)

95

228

143

81

188

61

796

45-64 (S)

83

256

136

80

150

67

772

65+ (T)

96

191

84

36

80

41

528

Total

274

675

363

197

418

169

2096

Utilisez ce tableau pour déterminer les probabilités suivantes :

  1. (P(C | T))
  1. (P(S | A))
  1. (P(C et T))
  1. (P(R | B))
  1. (P(B | R))
  1. (P(G|S))

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8.4.1 : Probabilité conditionnelle (exercices)

Souvent, nous devons tester si une hypothèse est vraie ou fausse. Par exemple, une société pharmaceutique pourrait être intéressée à savoir si un nouveau médicament est efficace pour traiter une maladie. Ici, il y a deux hypothèses. La première est que le médicament n'est pas efficace, tandis que la seconde hypothèse est que le médicament est efficace. Nous appelons ces hypothèses respectivement $H_0$ et $H_1$. Comme autre exemple, considérons un système radar qui utilise des ondes radio pour détecter les aéronefs. Le système reçoit un signal et, sur la base du signal reçu, il doit décider si un aéronef est présent ou non. Ici, il y a encore deux hypothèses opposées :

$quad$ $H_0$ : Aucun avion n'est présent.

$quad$ $H_1$ : Un avion est présent.

L'hypothèse $H_0$ est appelée la hypothèse nulle et l'hypothèse $H_1$ est appelée la hypothèse alternative. L'hypothèse nulle, $H_0$, est généralement appelée hypothèse par défaut, c'est-à-dire l'hypothèse qui est initialement supposée vraie. L'hypothèse alternative, $H_1$, est l'énoncé contradictoire à $H_0$. Sur la base des données observées, nous devons décider soit d'accepter $H_0$, soit de le rejeter, auquel cas nous disons que nous acceptons $H_1$. Ce sont des problèmes de tests d'hypothèses. Dans cette section, nous discuterons de la manière d'aborder ces problèmes d'un point de vue classique (fréquentiste). Nous commencerons par un exemple, puis fournirons un cadre général pour aborder les problèmes de test d'hypothèses. En examinant l'exemple, nous introduirons une terminologie couramment utilisée dans les tests d'hypothèses. Ne vous inquiétez pas trop de la terminologie lors de la lecture de cet exemple car nous fournirons des définitions plus précises plus tard.
Exemple
Vous avez une pièce et vous souhaitez vérifier si elle est juste ou non. Plus précisément, soit $ heta$ la probabilité de face, $ heta=P(H)$. Vous avez deux hypothèses :

$quad$ $H_0$ (l'hypothèse nulle) : La pièce est juste, c'est-à-dire $ heta= heta_0=frac<1><2>$.

$quad$ $H_1$ (l'hypothèse alternative) : La pièce n'est pas juste, c'est-à-dire $ heta eq frac<1><2>$.

    • Nous devons concevoir un test pour accepter $H_0$ ou $H_1$. Pour vérifier si la pièce est juste ou non, nous effectuons l'expérience suivante. Nous lançons la pièce 100$ fois et enregistrons le nombre de têtes. Soit $X$ le nombre de têtes que nous observons, donc egin%label<> X sim Binomial(100, heta). finir Maintenant, si $H_0$ est vrai, alors $ heta= heta_0=frac<1><2>$, donc nous nous attendons à ce que le nombre de têtes soit proche de $50$. Ainsi, intuitivement, nous pouvons dire que si nous observons près de $50$ de têtes nous devrions accepter $H_0$, sinon nous devrions le rejeter. Plus précisément, nous suggérons les critères suivants : Si $|X-50|$ est inférieur ou égal à un certain seuil, nous acceptons $H_0$. En revanche, si $|X-50|$ est supérieur au seuil, nous rejetons $H_0$ et acceptons $H_1$. Appelons ce seuil $t$.

    $quad$ Si $|X-50|leq t$, acceptez $H_0$.

    Mais comment choisit-on le seuil $t$ ? Pour choisir $t$ correctement, nous devons énoncer quelques exigences pour notre test. Un facteur important ici est la probabilité d'erreur. Une façon de faire une erreur est de rejeter $H_0$ alors qu'en fait c'est vrai. Nous appelons cela erreur de type I. Plus précisément, il s'agit de l'événement $|X-50|>t$ lorsque $H_0$ est vrai. Ainsi, egin%label<> P( extrm)=P(|X-50|>t | H_0). finir Nous lisons ceci comme la probabilité que $|X-50|>t$ lorsque $H_0$ est vrai. (Notez que, ici, $P(|X-50|>t | H_0)$ n'est pas une probabilité conditionnelle, puisqu'en statistique classique on ne traite pas $H_0$ et $H_1$ comme des événements aléatoires. Autre notation courante est $P(|X-50|>t extrm < when >H_0 extrm< is true>)$.) Pour pouvoir décider ce que $t$ doit être, nous pouvons choisir une valeur souhaitée pour $P gros( extrmgrand)$. Par exemple, nous pourrions vouloir avoir un test pour lequel egin%étiqueter P( extrm) leq alpha=0.05 end Ici, $alpha$ est appelé le niveau d'importance. Nous pouvons choisir egin P(|X-50|>t | H_0)=alpha=0.05 hspace <20pt>(8.2) end pour atteindre le niveau de signification souhaité. Puisque nous connaissons la distribution de $X$ sous $H_0$, c'est-à-dire $X | H_0 sim Binomial(100, heta=frac<1><2>)$, nous devrions pouvoir choisir $t$ tel que l'équation 8.2 soit vérifiée. Notez que par le théorème central limite (CLT), pour de grandes valeurs de $n$, nous pouvons approximer une distribution $Binomial(n, heta)$ par une distribution normale. Plus précisément, on peut dire que pour de grandes valeurs de $n$, si $X sim Binomial(n, heta_0=frac<1><2>)$, alors egin Y=frac>=frac <5>fin est (approximativement) une variable aléatoire normale standard, $N(0,1)$. Ainsi, pour pouvoir utiliser le CLT, au lieu de regarder directement $X$, nous pouvons regarder $Y$. Notez que egin%label<> P( extrm)=P(|X-50|>t | H_0) &=Pgauche(gauche |frac<5>droit |> frac <5> igg <|> H_0 ight) &= Pleft(|Y|>frac <5> ig <|> H_0 ight). finir Pour simplifier, mettons $c=frac<5>$, nous pouvons donc résumer notre test comme suit :

    $quad$ Si $|Y|leq c$, acceptez $H_0$.

    où $Y=frac<5>$. Maintenant, nous devons décider ce que devrait être $c$. Nous devons avoir egin%label<> alpha &= Pleft(|Y|> c ight) &= 1- Pleft(-c leq Y leq c ight) &approx 2-2 Phileft(c ight) quad ig( extrmgrand). finir Ainsi, nous devons avoir egin%label<> 2-2Phi(c)=0.05 end On obtient donc egin%label<> c= Phi^<-1>(0.975)=1.96 end Ainsi, nous concluons le test suivant

    $quad$ Si $|Y|leq 1,96$, acceptez $H_0$.

    L'ensemble $A=[-1.96, 1.96]$ est appelé le région d'acceptation, car il inclut les points qui entraînent l'acceptation de $H_0$. L'ensemble $R=(-infty,-1.96) cup (1.96, infty)$ est appelé le région de rejet car il inclut les points qui correspondent au rejet de $H_0$. La figure 8.9 résume ces concepts. Figure 8.9 - Rejet d'acceptation, région de rejet et erreur de type I pour l'exemple 8.22 Notez que puisque $Y=frac<5>$, nous pouvons énoncer de manière équivalente le test comme

    $quad$ Si $|X-50|leq 9.8$, acceptez $H_0$.

    $quad$ Si le nombre de têtes observé est en $<41,42, cdots, 59 >$, accepter $H_0$.

    $quad$ Si le nombre de têtes observé est en $ <0,1, cdots, 40>cup <60,61, cdots, 100>$, rejeter $H_0$ (accepter $H_1$ ).


    6.3 Plus d'exemples

    Imaginez qu'une urne contient des billes de trois couleurs différentes : 20 sont rouges, 30 sont bleues et 40 sont vertes. Je tire une bille au hasard. Quelle est (p(R given eg B)) , la probabilité qu'il soit rouge étant donné que ce n'est pas bleu ? [ commencer p(R given eg B) &= frac &= frac< p( eg B)> &= frac<20/90><60/90> &= 1/3. finir ] Ce calcul repose sur le fait que (R wedge eg B) est logiquement équivalent à (R) . Une bille rouge n'est automatiquement pas bleue, donc (R) est vrai dans exactement les mêmes circonstances que (R wedge eg B) . La règle d'équivalence nous dit donc (p(R wedge eg B) = p(R)) .

    Supposons qu'une université compte 10 000 étudiants. Chacun étudie dans l'une des quatre grandes rubriques : sciences humaines, sciences sociales, STIM ou professionnelle. Dans chacune de ces catégories, le nombre d'élèves avec une note moyenne de A, B, C ou D est indiqué dans le tableau suivant. Quelle est la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard ait une moyenne de A, étant donné qu'il étudie soit les sciences humaines, soit les sciences sociales ?

    Sciences humaines Sciences sociales TIGE Professionnel
    UNE 200 600 400 900
    B 500 800 1600 900
    C 250 400 1500 750
    50 200 500 450

    [ commencer p(A donné H vee S) &= frac &= frac<800/10 000 ><3 000/10 000> &= 4/15. finir ] Qu'en est-il de la probabilité inverse, qu'un étudiant étudie soit les sciences humaines, soit les sciences sociales étant donné qu'il a une moyenne de A ? [ commencer p(H vee S donné A) &= frac &= frac<800/10 000><2 100 /10 000> &= 8/21. finir ] Remarquez comment nous obtenons un nombre différent maintenant.


    8.3 Modèle d'oligopole dynamique

    • Dans l'application de l'estimation du jeu dynamique au modèle d'oligopole dynamique, nous considérons souvent conjointement les décisions d'entrée et de sortie et les décisions d'investissement des entreprises.
    • Les décisions d'entrée et de sortie sont les décisions discrètes et la décision d'investissement est les contrôles continus.
    • Les modèles formels et leur caractérisation se trouvent dans Ericson & Pakes (1995) et Ulrich Doraszelski & Satterthwaite (2010) .
    • Igami & Sugaya (2018) ’, l’article auquel il est fait référence dans l’introduction, entre dans cette catégorie.

    8.3.1 Ryan (2012)

    • Ryan (2012) est l'une des premières applications.
    • En 1990, le congrès américain a adopté des amendements à la Clean Air Act, ajoutant de nouvelles catégories d'émissions réglementées (SO_2) et (NO_x) et obligeant les usines à se soumettre à un processus de certification environnementale.
    • Quel est le coût de cette réglementation pour l'économie?
    • L'analyse des coûts est généralement une estimation technique des dépenses en équipements de contrôle et de surveillance nécessaires pour mettre une usine en conformité avec la nouvelle réglementation.
    • Cependant, la réglementation modifie à la fois le coût irrécupérable d'entrée et le coût d'investissement. Si le coût irrécupérable est plus élevé, moins l'entreprise sera active sur le marché, ce qui renforce le pouvoir de marché des entreprises actives.
    • Cela affecte la structure du marché d'équilibre.
    • L'analyse des coûts basée sur l'ingénierie ne tient pas compte de cette importante perte de bien-être due aux changements dans la structure du marché.
    • Cet article quantifie le coût du bien-être sur la base d'un modèle empirique d'oligopole dynamique.

    8.3.2 Réglage

    • Il existe plusieurs marchés régionaux du ciment aux États-Unis.
    • Chaque marché est décrit par (overline imes 1) vecteur d'état (s_t) , où (s_) est la capacité de la (i) ième entreprise au temps (t) , et (overline) est un nombre maximal d'entreprises actives imposé de manière exogène.
    • (s_ = 0) signifie que l'entreprise est inactive.

    8.3.3 Moment du jeu

    • Entreprises en place ( (s_ > 0) ) reçoit un prélèvement privé de la distribution des valeurs de rebut.
    • Les entreprises en place décident de se retirer.
    • Les entrants potentiels reçoivent un tirage privé des coûts d'investissement et d'entrée, tandis que les entreprises en place reçoivent un tirage privé des coûts d'investissement et de désinvestissement.
    • Toutes les entreprises prennent simultanément des décisions d'entrée et d'investissement.
    • Les entreprises en place se font concurrence sur le marché des produits.
    • L'entrée, la sortie et l'investissement des entreprises sont réalisés.
    • L'économie passe à la période suivante.

    8.3.4 Fonction de demande

    • Sur chaque marché (m) , les entreprises sont confrontées à une élasticité constante des courbes de demande : [egin ln Q_m(alpha) = alpha_ <0m>+ alpha_1 ln P_m, end] où (Q_m) est la quantité globale du marché, (P_m) est le prix, (alpha_<0m>) est l'interception spécifique au marché et (alpha_1) est l'élasticité de la demande.

    8.3.5 Fonction de coût de production

    • Le coût de sortie, (q_i) , est donné par : [egin C_i(q_i delta) = delta_0 + delta_1 q_1 + delta_2 1(q_i - epsilon s_i)^2, end] où (q_i) est la production de l'entreprise (i) , (delta_0) est le coût fixe de production, (delta_1) est le coût variable linéaire, et le dernier terme est un coût quadratique qui n'a d'importance que lorsque la production est suffisamment proche de la capacité.

    8.3.6 Coût d'investissement

    [commencer commencer Gamma(x_i gamma) &= 1(gamma_ + gamma_2 x_i + gamma_3 x_i^2) & + 1(gamma_ + gamma_ <5>x_i + gamma_6 x_i^2), end finir] où (x_i) est l'investissement de l'entreprise (i) , et les coûts fixes d'investissement et de désinvestissement (gamma_) et (gamma_) sont tirés des distributions (F_) et (G_) . - Soit (mu_gamma^+) et (sigma_gamma^+) la moyenne et l'écart type de (F_gamma) et (mu_gamma^-) et (sigma_gamma^-) soit la moyenne et l'écart type de (G_gamma) .

    8.3.7 Frais d'entrée et de sortie

    • Si la firme est un nouvel entrant, elle tire le coût d'entrée (-kappa_i) de (F_kappa) .
    • SI l'entreprise est un opérateur historique, elle tire les valeurs de rebut (phi_i) de (F_phi) .
    • Le coût d'entrée et de sortie est alors :

    8.3.8 Fonction de profit de période

    • En conséquence, la fonction de profit de période de l'entreprise (i) est : [egin pi_i(s, a alpha, delta, gamma_i, kappa_i, phi_i) = ilde_i(s alpha, delta) - Gamma(x_i gamma_i) + Phi_i(a_i kappa_i, phi_i). finir]
    • Soit ( heta) résumer le paramètre concernant le profit de la période.

    8.3.9 Transition

    • La transition est déterministe.
    • L'investissement modifie la capacité (s_i) .
    • Lorsqu'une entreprise sort, la capacité passe à 0.
    • Lorsqu'une entreprise entre, la capacité passe au niveau d'investissement initial.

    8.3.10 Équilibre

    • Soit (epsilon_i) les informations privées de l'entreprise sur le coût d'entrée, de sortie, d'investissement et de désinvestissement.
    • La stratégie markovienne de chaque entreprise (sigma_i(s, epsilon_i)) est une cartographie des états et des chocs aux actions.

    8.3.11 Fonction de valeur pour les titulaires

    • La fonction de valeur pour une entreprise avec (s_i > 0) au moment de la décision de sortie sous le profil de stratégie (sigma) est :

    [commencer commencer &V_i(s sigma(s), heta, epsilon_i) &= ilde_i(s heta) + maxBigg_max_ Bigg[ - gamma_ - gamma_ <2>x_i^* - gamma_3 x_i^ <*2>+ eta int mathbb_ V_i(s' sigma(s'), heta, epsilon_i) dP(s_i + x^*, s'_<-i> s, sigma(s))Bigg] , &max_ Bigg[- gamma_ - gamma_5 x_i^* - gamma_6 x_i^ <*2>+ eta int mathbb_ V_i(s' sigma(s'), heta, epsilon_i) dP(s_i + x^*, s'_<-i> s, sigma(s)) Bigg] Bigg>, end finir] où chaque terme de la couverture représente la valeur de la sortie, du séjour et de l'investissement, et du séjour et du désinvestissement. - A ce moment, le titulaire n'observe que (phi_i) , bien que cela soit un peu déroutant car la fonction valeur est écrite en fonction de (epsilon_i) .

    8.3.12 Fonction de valeur pour les participants

    • La fonction de valeur pour une entreprise avec (s_i = 0) au moment de la décision d'entrée sous le profil de stratégie (sigma) au moment de l'entrée et les décisions d'investissement sont :

    [commencer commencer &V_i(s sigma(s), heta, epsilon_i) &=maxBigg <0, &max_Bigg[ - gamma_ <1i>- gamma_2 x_i^* - gamma_3 x_i^2 + eta int mathbb_ V_i(s' sigma(s'), heta, epsilon_i) dP(s_i + x_i^*, s'_<-i> s, sigma(s))Bigg] - kappa_iBigg>. finir finir]

    8.3.13 Équilibre parfait de Markov

    • Le profil de stratégie (sigma^*) est un équilibre parfait de Markov si : [egin V_i(s sigma_i^*(s), sigma_<-i>^*(s), heta, epsilon_i) ge V_i(s sigma_i'(s), sigma_<-i>^* (s), heta, epsilon_i), forall sigma_i', end] pour tous les (s, epsilon_i) et (i) .
    • Pour appliquer l'approche CCP, nous devons d'abord supposer que le même équilibre se joue sur les marchés.
    • Cette hypothèse n'est pas anodine comme nous l'avons vu dans la section précédente.
    • Il est également important de noter que nous devons fixer les attentes concernant le régime de réglementation par les entreprises.
    • Nous supposons que les entreprises supposent que l'environnement réglementaire est permanent.

    8.3.14 Estimation de la demande et des coûts de production

    • Pour estimer la fonction de demande, Ryan utilise comme variables instrumentales des facteurs de déplacement des coûts du côté de l'offre : prix du charbon, prix du gaz, tarifs de l'électricité et taux de salaire.
    • Compte tenu de la fonction de demande, Ryan estime la fonction de coût à partir du FOC pour la concurrence en quantité.
    • Vous devriez déjà savoir comment faire cela.

    8.3.15 Estimation de la fonction de politique d'investissement

    • Avec des coûts fixes d'investissement et de désinvestissement, la fonction de politique d'investissement suit une règle dite ((s, S)), dans laquelle les entreprises n'investissent que lorsque la capacité actuelle est inférieure à une certaine limite inférieure et ne désinvestissent que lorsque la capacité actuelle est au-dessus d'une certaine limite supérieure.
    • Les bornes inférieure et supérieure, et le niveau d'ajustement sont choisis optimaux en fonction de l'état.

    8.3.16 Estimation de la fonction de politique d'investissement

    • Soit (s_^*) être le niveau cible de capacité, qui est paramétré comme : [egin ln s_^* = lambda_1' bs(s_) + lambda_2' bs Bigg(sum_ s_ Bigg) + u_^*, fin] où (bs(cdot)) est des b-splines cubiques par morceaux de dimension finie.
    • Les bornes supérieure et inférieure sont paramétrées comme :

    [commencer commencer &surligne_ = s_^* + expBigg(lambda_3' bs_1(s_) + lambda_4' bs_2Bigg(sum_ s_ Bigg) + overline_^b Bigg), &souligné_ = s_^* - expBigg(lambda_3' bs_1(s_) + lambda_4' bs_2Bigg(sum_ s_ Bigg) + souligné_^b Bigg). finir finir]

    8.3.17 Fonctions de politique d'entrée et de sortie

    • La probabilité d'entrée est paramétrée comme : [egin mathbb

      = PhiBigg(psi_1 + psi_2Bigg(sum_Bigg) + psi_3 1(t > 1990) Bigg), end] et la probabilité de sortie est paramétrée comme : [egin mathbb

      = PhiBigg(psi_4 + psi_5 s_ + psi_6 Bigg(sum_Bigg) + psi_7 1(t > 1990) Bigg), end] où (Psi) est la fonction de distribution cumulative de la variable aléatoire normale standard.

    8.3.18 Estimation BBL

    • Maintenant, en comparant la fonction de valeur sous les politiques identifiées avec les fonctions de valeur sous les politiques alternatives, on peut estimer les paramètres structurels.
    • Des politiques alternatives peuvent être obtenues en perturbant les bornes supérieure et inférieure et le niveau cible d'investissement et les seuils d'entrée et de sortie autour des politiques d'équilibre.
    • Combien perturber est une question pratique.
    • Ensuite, Ryan trouve des paramètres structurels qui minimisent la fonction objectif BBL.

    8.3.19 Résultats de l'estimation des paramètres structurels

    8.3.20 Simulation contrefactuelle

    • Pour évaluer le coût de bien-être de l'amendement, Ryan résout le modèle sous deux ensembles de paramètres : les paramètres réels et les paramètres avant la régulation.
    • Dans la simulation, nous pouvons définir n'importe quel état initial.
    • Ryan considère deux types d'état initial :
      • Aucune entreprise en place et 4 entrants potentiels.
      • Deux entreprises en place et deux entrants potentiels.

      8.3.21 Résultats de simulation contrefactuelle

      8.3.22 Résultats d'estimation de simulation contrefactuelle


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      8.4.1 : Probabilité conditionnelle (exercices)

      Le premier trimestre d'une séquence annuelle de la théorie des probabilités. Les sujets principaux sont l'indépendance, les lemmes de Borel-Cantelli, les lois faibles et fortes des grands nombres, la convergence faible, les fonctions caractéristiques, les théorèmes centraux limites et des éléments de la théorie de la mesure, de l'intégration et des espaces métriques.

      Le quartier d'hiver (Stat310B) traite des marches aléatoires, de l'espérance conditionnelle, des martingales à temps discret, de la théorie du renouvellement et des applications aux chaînes de Markov.

      Le trimestre de printemps (Stat310C) se concentre sur les martingales en temps continu, le mouvement brownien et l'introduction au calcul stochastique.

      La séquence Stat310 est principalement destinée aux doctorants.

      Le cours Math136/Stat219 , (Tu/Th 4:15-5:45, 200-002, voir Fall 2007/8), couvre rigoureusement le matériel similaire à Stat310A et Stat310B, mettant l'accent sur les applications aux processus stochastiques, au lieu de détailler les preuves de les théorèmes clés (difficiles).

      Prérequis : Les étudiants doivent être à l'aise avec les probabilités au moins au niveau de Stat116 et avec une analyse réelle au moins au niveau de la note A en Math171 (ou en Math136/Stat219). Pour tester vos compétences, complétez le quiz ( PDF ), en 20 minutes et comparez avec la solution affichée ( PDF ). Auditer Math205A jusqu'à la fin octobre est fortement recommandé pour ceux qui n'ont pas été préalablement familiarisés avec la théorie de la mesure.

      • Durrett, Probabilité : théorie et exemples, 3e édition (Ch. 1 - 2)
      • Williams, Probabilité avec Martingales (Ch. 1 -- 8, 16 -- 18).
      • Billingsley, Probability and Measure, 3e édition (Ch. 1 - 5).
      • Grimmett et Stirzaker, Probability and Random Processes, 3e édition (Ch. 1--5, 7).
      • Varadhan, Probability Theory, télécharger les notes de cours (Ch. 1 -- 3.6).

      Réunion : Hewlett 102, MW 12h50-2h05.

      Sections dirigées par TA : Hewlett 102, F 1:15-2:05 (Holger Hoefling).

      Instructeur : Amir Dembo, Sequoia 129, W 2:30-4:15 ou e-mail amir à math.stanford.edu

      TA1 [Final Q3] : Holger Hoefling, Sequoia 229, Ma 2:00-3:00, W 10:00-11:00 ou envoyez un e-mail à hhoeflin à stanford.edu

      TA2 [Final Q2] : Alex Deng, Sequoia 208, M 4:30-5:30, F 2:30-3:30 ou e-mail alexdeng à stanford.edu (par exemple, pour des questions sur la notation de HW1, HW3, HW5, HW7, HW9).

      TA3 [Final Q1] : Hua Zhou, Sequoia 234 (pas d'heures de bureau), e-mail hwachou à stanford.edu (pour les questions sur la notation de HW2, HW4, HW6, HW8, HW9).

      Notes : Jugement basé sur les notes des examens finaux (50 %) et à mi-parcours (25 %) et un effort constant de devoirs (25 %). Au moins 50% requis pour le grade CR.

      Mi-session (solution PDF) Vendredi 11/2, 370-370, 15h45-17h15, matériel fermé. Syllabus : Chapitre 1 et Sections 2.1-2.2 du texte. Pratique à mi-parcours (PDF), (voir solution PDF).

      Finale : lundi 12/10, 260-113, 8h15-11h45, seule une copie des notes de cours est autorisée. Programme : Chapitres 1-3 des notes de cours. Pratique finale avec solution (PDF)


      Probabilité conditionnelle de Y étant donné X (les deux variables aléatoires)

      Une boîte contient 5 boules blanches et 5 boules noires. 3 boules sont tirées au hasard, une par une, sans remise. Les variables aléatoires suivantes sont définies :

      $ début &commencer X = commencer 0, & exte 1, & exte finir finir &commencer Y = exte finir finir$ Trouvez la probabilité conditionnelle de $Y$ étant donné $X$ .

      $ extbf$ à ce sujet : donc tout d'abord, je vérifie les valeurs possibles que les deux variables aléatoires peuvent prendre. Pour $X$ c'est clair, et pour $Y$ ses valeurs possibles sont sur l'ensemble $<0,1,2,3>$ .

      Maintenant, je veux utiliser le fait que : $ ext

      (Y=x|X=x)=frac< exte

      (X=x,Y=y)>< exte

      (X=x)>$ , pour $x=0,1$ et $y=0,1,2,3$ pour calculer ce qu'on me demande.

      Donc, $ exte

      (X=x)=5/10=.5$ pour $x=1$ ou $x=0$ . Après avoir fait cela, je veux comprendre $ ext

      (X=x,Y=y)$ pour chaque valeur possible des deux $x,y$ . Je pense que mon exemple d'espace ressemble à ceci $Omega = ext < < (w,w,w),(w,w,b),(w,b,w),(b,w,w), (b,b,b),(b,b,w),(b,w,b),(w,b,b) >>$ où b représente le marbre noir, et w pour le marbre blanc et leurs positions me dit l'ordre dans lequel ils ont été extraits.

      Puisqu'il n'y a pas de remplacement, il n'y a pas d'indépendance et je ne peux pas faire $ ext= exte$ et je doute que la réponse soit $frac<1><8>$ car si je changeais les conditions initiales en un million de billes blanches, mon modèle resterait essentiellement le même, mais il est clair que la probabilité de tirer 3 billes blanches augmenterait considérablement.


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