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12.5 : Comptage


Compte? Vous savez déjà compter ou vous ne prendriez pas un cours de mathématiques de niveau collégial, n'est-ce pas ? Eh bien oui, mais ce que nous allons vraiment étudier ici, ce sont des façons de compter efficacement. Lorsque nous arriverons aux situations de probabilité un peu plus loin dans ce chapitre, nous devrons compter quelques très de grands nombres, comme le nombre de billets de loterie potentiellement gagnants. Une façon de le faire serait d'écrire tous les ensembles de numéros possibles qui pourraient apparaître sur un billet de loterie, mais croyez-moi : vous ne voulez pas faire cela.

Comptage de base

Nous commencerons cependant par quelques sortes de problèmes de comptage plus raisonnables afin de développer les idées dont nous aurons bientôt besoin.

Exemple 21

Supposons que dans un restaurant particulier, vous ayez trois choix pour un apéritif (soupe, salade ou gressins) et cinq choix pour un plat principal (hamburger, sandwich, quiche, fajita ou pizza). Si vous êtes autorisé à choisir exactement un élément de chaque catégorie pour votre repas, combien d'options de repas différentes avez-vous ?

Solution

Solution 1: Une façon de résoudre ce problème serait de lister systématiquement chaque repas possible :

(egin{array}{lll} ext{soupe + hamburger} & ext{soupe + sandwich} & ext{soupe + quiche} ext{soupe + fajita} & ext{soupe + pizza} & ext{salade + hamburger} ext{salade + sandwich} & ext{salade + quiche} & ext{salade + fajita} ext{salade + pizza} & ext{gressins + hamburger} & ext{breadsticks + sandwich} ext{breadsticks + quiche} & ext{breadsticks + fajita} & ext{breadsticks + pizza} end{array})

En supposant que nous le fassions systématiquement et que nous n'ayons manqué aucune possibilité ni répertorié aucune possibilité plus d'une fois, la réponse serait 15. Ainsi, vous pourriez aller au restaurant 15 soirs de suite et prendre un repas différent chaque soir.

Solution 2: Une autre façon de résoudre ce problème serait de lister toutes les possibilités dans un tableau :

(egin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
hline & extbf { hamburger } & extbf { sandwich } & extbf { quiche } & extbf { fajita } & extbf { pizza }
hline extbf { soupe } & ext { Soupe + burger } & & & &
hline extbf { salade } & ext { Salade + burger } & & & &
hline extbf { pain } & e t c . & & & &
hline
end{tableau})

Dans chacune des cellules du tableau, nous pourrions lister le repas correspondant : soupe + hamburger dans le coin supérieur gauche, salade + hamburger en dessous, etc. Mais si on s'en fichait vraiment quelle les repas possibles sont, seulement combien de repas possibles, nous pourrions simplement compter le nombre de cellules et arriver à une réponse de 15, ce qui correspond à notre réponse de la première solution. (C'est toujours bien quand vous résolvez un problème de deux manières différentes et obtenez la même réponse !)

Solution 3: Nous avons déjà deux solutions parfaitement bonnes. Pourquoi avons-nous besoin d'un troisième? La première méthode n'était pas très systématique, et nous aurions pu facilement faire une omission. La deuxième méthode était meilleure, mais supposons qu'en plus de l'apéritif et du plat principal nous compliquions encore le problème en ajoutant des desserts au menu : nous avons utilisé les lignes du tableau pour les entrées et les colonnes pour les plats principaux— où iront les desserts ? Nous aurions besoin d'une troisième dimension, et puisque dessiner des tableaux 3D sur une page 2D ou un écran d'ordinateur n'est pas très facile, nous avons besoin d'un meilleur moyen au cas où nous aurions trois catégories pour choisir la forme au lieu de deux.

Donc, revenons au problème de l'exemple. Que pouvons-nous faire d'autre? Dessinons un diagramme en arbre:

C'est ce qu'on appelle un diagramme en "arbre" car à chaque étape, nous nous ramifions, comme les branches d'un arbre. Dans ce cas, nous avons d'abord dessiné cinq branches (une pour chaque plat principal), puis pour chacune de ces branches, nous avons dessiné trois autres branches (une pour chaque entrée). On compte le nombre de branches au niveau final et on obtient (surprise, surprise !) 15.

Si nous le voulions, nous pourrions à la place dessiner trois branches à la première étape pour les trois entrées, puis cinq branches (une pour chaque plat principal) à partir de chacune de ces trois branches.

OK, maintenant nous savons comment compter les possibilités à l'aide de tableaux et d'arborescences. Ces méthodes continueront à être utiles dans certains cas, mais imaginez un jeu où vous avez deux jeux de cartes (avec 52 cartes dans chaque jeu) et vous sélectionnez une carte de chaque jeu. Voudriez-vous vraiment dessiner un tableau ou un diagramme en arbre pour déterminer le nombre de résultats de ce jeu ?

Revenons à l'exemple précédent qui impliquait de sélectionner un repas parmi trois entrées et cinq plats principaux, et regardons la deuxième solution qui utilisait une table. Notez qu'une façon de compter le nombre de repas possibles consiste simplement à numéroter chacune des cellules appropriées du tableau, comme nous l'avons fait ci-dessus. Mais une autre façon de compter le nombre de cellules dans le tableau serait de multiplier le nombre de lignes (3) par le nombre de colonnes (5) pour obtenir 15. Notez que nous aurions pu arriver au même résultat sans faire de tableau du tout en multipliant simplement le nombre de choix pour l'entrée (3) par le nombre de choix pour le plat principal (5). Nous généralisons cette technique comme règle de comptage de base:

Règle de comptage de base

Si on nous demande de choisir un élément de chacune des deux catégories distinctes où il y a (m) éléments dans la première catégorie et (n) éléments dans la deuxième catégorie, alors le nombre total de choix disponibles est (m cdot n)

C'est ce qu'on appelle parfois la règle de multiplication des probabilités.

Exemple 22

Il y a 21 romans et 18 volumes de poésie sur une liste de lecture pour un cours d'anglais universitaire. De combien de manières différentes un étudiant peut-il choisir un roman et un volume de poésie à lire au cours du trimestre ?

Solution

Il y a 21 choix pour la première catégorie et 18 pour la seconde, il y a donc (21 cdot 18 = 378) possibilités.

La règle de comptage de base peut être étendue lorsqu'il y a plus de deux catégories en l'appliquant à plusieurs reprises, comme nous le voyons dans l'exemple suivant.

Exemple 23

Supposons que dans un restaurant particulier vous ayez trois choix pour une entrée (soupe, salade ou gressins), cinq choix pour un plat principal (hamburger, sandwich, quiche, fajita ou pâtes) et deux choix pour le dessert (tarte ou glace). Si vous êtes autorisé à choisir exactement un élément de chaque catégorie pour votre repas, combien d'options de repas différentes avez-vous ?

Solution

Il y a 3 choix pour une entrée, 5 pour le plat et 2 pour le dessert, donc il y a (3 cdot 5 cdot 2=30) possibilités.

Exemple 24

Un quiz se compose de 3 questions vrai ou faux. De combien de manières un élève peut-il répondre au quiz ?

Solution

Il y a 3 questions. Chaque question a 2 réponses possibles (vrai ou faux), donc le quiz peut être répondu de (2 cdot 2 cdot 2=8) différentes manières. Rappelons qu'une autre façon d'écrire (2 cdot 2 cdot 2) est (2^{3}) qui est beaucoup plus compacte.

Essayez-le maintenant 6

Supposons que dans un restaurant particulier, vous ayez huit choix pour un apéritif, onze choix pour un plat principal et cinq choix pour un dessert. Si vous êtes autorisé à choisir exactement un élément de chaque catégorie pour votre repas, combien d'options de repas différentes avez-vous ?

Répondre

(8 cdot 11 cdot 5=440) combinaisons de menus

Permutation

Dans cette section, nous allons développer un moyen encore plus rapide de résoudre certains des problèmes que nous avons déjà appris à résoudre par d'autres moyens. Commençons par quelques exemples.

Exemple 25

De combien de manières différentes les lettres du mot MATH peuvent-elles être réarrangées pour former un mot de code à quatre lettres ?

Solution

Ce problème est un peu différent. Au lieu de choisir un élément de chacune des différentes catégories, nous choisissons à plusieurs reprises des éléments de la même catégorie (la catégorie est : les lettres du mot MATH) et chaque fois que nous choisissons un élément, nous ne remplace pas il, donc il y a un choix de moins à l'étape suivante : on a 4 choix pour la première lettre (disons qu'on choisit A), puis 3 choix pour la seconde (M, T et H ; disons qu'on choisit H), puis 2 choix pour la lettre suivante (M et T ; disons que nous choisissons M) et un seul choix à la dernière étape (T). Ainsi, il existe (4 cdot 3 cdot 2 cdot 1=24) façons d'épeler un code qui vaut les lettres MATH.

Dans cet exemple, nous devions calculer (n cdot(n-1) cdot(n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1). Ce calcul apparaît souvent en mathématiques et est appelé le factoriel, et est noté (n)!

Factorielle

(n !=n cdot(n-1) cdot(n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1)

Exemple 26

De combien de façons peut-on répartir cinq prix de présence différents entre cinq personnes?

Solution

Il y a 5 choix de prix pour la première personne, 4 choix pour la seconde, et ainsi de suite. Le nombre de façons dont les prix peuvent être distribués sera (5 !=5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1=120) façons.

Nous allons maintenant considérer quelques exemples légèrement différents.

Exemple 27

Un bénéfice caritatif réunit 25 personnes et trois chèques-cadeaux sont offerts en prix de présence : un chèque-cadeau d'une valeur de 100 $, le deuxième d'une valeur de 25 $ et le troisième d'une valeur de 10 $. En supposant que personne ne reçoive plus d'un prix, de combien de façons différentes les trois chèques-cadeaux peuvent-ils être attribués ?

Solution

En utilisant la règle de comptage de base, il y a 25 choix pour la personne qui reçoit le certificat ($ 100), 24 choix restants pour le certificat ($ 25) et 23 choix pour le ($ 10) certificat, il y a donc (25 cdot 24 cdot 23=13,800) façons dont les prix peuvent être décernés.

Exemple 28

Huit sprinteurs ont atteint la finale olympique du 100 mètres. De combien de manières différentes les médailles d'or, d'argent et de bronze peuvent-elles être décernées ?

Solution

En utilisant la règle de comptage de base, il y a 8 choix pour le gagnant de la médaille d'or, 7 choix restants pour l'argent et 6 pour le bronze, il y a donc (8 cdot 7 cdot 6=336) façons dont les trois médailles peuvent être attribué aux 8 coureurs.

A noter que dans ces exemples précédents, les chèques-cadeaux et les médailles olympiques ont été remis sans remplacement; c'est-à-dire qu'une fois que nous avons choisi un gagnant du premier prix de présence ou de la médaille d'or, il n'est pas admissible aux autres prix. Ainsi, à chaque étape successive de la solution, il y a un choix de moins (25, puis 24, puis 23 dans le premier exemple ; 8, puis 7, puis 6 dans le second). Comparez cela avec la situation d'un test à choix multiples, où il pourrait y avoir cinq réponses possibles - A, B, C, D ou E - pour chaque question du test.

Notez également que l'ordre de sélection était important dans chaque exemple : pour les trois prix de présence, être choisi en premier signifie que vous recevez beaucoup plus d'argent ; dans l'exemple des Jeux olympiques, arriver en premier signifie que vous obtenez la médaille d'or au lieu de l'argent ou du bronze. Dans chaque cas, si nous avions choisi les mêmes trois personnes dans un ordre différent, il aurait pu y avoir une personne différente qui aurait reçu le prix de 100 $, ou un autre médaillé d'or. (Comparez-le à la situation où nous pourrions tirer trois noms d'un chapeau pour chacun recevoir un chèque-cadeau de 10 $ ; dans ce cas, l'ordre de sélection est ne pas important puisque chacune des trois personnes reçoit le même prix. Situations où la commande est ne pas important sera discuté dans la section suivante.)

On peut généraliser la situation des deux exemples ci-dessus à n'importe quel problème sans remplacement où le l'ordre de sélection est important. Si l'on range dans l'ordre (r) éléments sur (n) possibilités (au lieu de 3 sur 25 ou 3 sur 8 comme dans les exemples précédents), le nombre d'arrangements possibles sera donné par

(n cdot(n-1) cdot(n-2) cdots(n-r+1))

Si vous ne voyez pas pourquoi ((n-r+1)) est le bon nombre à utiliser pour le dernier facteur, repensez simplement au premier exemple de cette section, où nous avons calculé (25 cdot 24 cdot 23) pour obtenir (13.800 .) Dans ce cas (n=25) et (r=3,) donc (n-r+1=25-3+1=23,) qui est exactement le bon nombre pour le facteur final.

Maintenant, pourquoi voudrions-nous utiliser cette formule compliquée alors qu'il est en fait plus facile d'utiliser la règle de comptage de base, comme nous l'avons fait dans les deux premiers exemples ? Eh bien, nous n'utiliserons pas cette formule très souvent, nous l'avons seulement développée pour pouvoir attacher une notation spéciale et une définition spéciale à cette situation où nous choisissons (r) éléments parmi (n) possibilités sans remplacement et où le l'ordre de sélection est important. Dans cette situation, nous écrivons :

Permutation

(_{n} P_{r}=n cdot(n-1) cdot(n-2) cdots(n-r+1))

On dit qu'il y a (_{n} P_{r}) permutation de taille (r) pouvant être choisi parmi (n) choix sans remplacement lorsque l'ordre compte.

Il s'avère que nous pouvons exprimer ce résultat plus simplement en utilisant des factorielles.

(_{n} P_{r}=frac{n !}{(n-r) !})

En pratique, nous utilisons généralement la technologie plutôt que des factorielles ou des multiplications répétées pour calculer les permutations.

Exemple 29

J'ai neuf tableaux et j'ai de la place pour n'en afficher que quatre à la fois sur mon mur. De combien de manières différentes pourrais-je le faire ?

Solution

Puisque nous choisissons 4 tableaux sur 9 sans remplacement où le l'ordre de sélection est important il y a(_9 P_{4}=9 cdot 8 cdot 7 cdot 6=3.024) permutations.

Exemple 30

De combien de façons un comité exécutif de quatre personnes (président, vice-président, secrétaire, trésorier) peut-il être choisi parmi un conseil d'administration de 16 membres d'un organisme à but non lucratif ?

Solution

Nous souhaitons choisir 4 personnes sur 16 sans remplacement et où l'ordre de sélection est important. La réponse est donc (_{16} P_{4}=16 cdot 15 cdot 14 cdot 13=43 680).

Essayez-le maintenant 7

Combien de mots de passe à 5 caractères peuvent être créés en utilisant les lettres A à Z

  1. si les répétitions sont autorisées
  2. si aucune répétition n'est autorisée
Répondre

Il y a 26 caractères.

  1. (26^{5}=11,881,376).
  2. ({26} mathrm{P}_{5}=26 cdot 25 cdot 24 cdot 23 cdot 22=7.893.600)

Combinaisons

Dans la section précédente, nous avons considéré la situation où nous avons choisi (r) éléments parmi (n) possibilités sans remplacement et où le l'ordre de sélection était important. Considérons maintenant une situation similaire dans laquelle l'ordre de sélection est ne pas important.

Exemple 31

25 personnes assistent à une soirée-bénéfice au cours de laquelle trois certificats-cadeaux de 50 $ sont offerts en prix de présence. En supposant que personne ne reçoive plus d'un prix, de combien de façons différentes les chèques-cadeaux peuvent-ils être attribués ?

Solution

En utilisant la règle de comptage de base, il y a 25 choix pour la première personne, 24 choix restants pour la deuxième personne et 23 pour la troisième, donc il y a (25 cdot 24 cdot 23=13,800) façons de choisir trois personnes. Supposons un instant qu'Abe soit choisi en premier, Bea en second et Cindy en troisième ; c'est l'un des 13 800 résultats possibles. Une autre façon d'attribuer les prix serait de choisir Abe en premier, Cindy en deuxième et Bea en troisième; c'est un autre des 13 800 résultats possibles. Mais dans tous les cas, Abe, Bea et Cindy reçoivent chacun 50 $, donc peu importe l'ordre dans lequel nous les sélectionnons. Dans combien d'ordres différents Abe, Bea et Cindy peuvent-ils être sélectionnés ? Il s'avère qu'il y en a 6 :

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Comment être sûr de les avoir tous comptés ? Nous ne choisissons vraiment que 3 personnes sur 3, il y a donc (3 cdot 2 cdot 1=6) façons de le faire ; nous n'avons pas vraiment besoin de tous les lister, nous pouvons juste utiliser des permutations !

Ainsi, sur les 13 800 façons de sélectionner 3 personnes sur 25, six d'entre elles impliquent Abe, Bea et Cindy. Le même argument fonctionne pour tout autre groupe de trois personnes (par exemple Abe, Bea et David ou Frank, Gloria et Hildy) donc chaque groupe de trois personnes est compté six fois. Ainsi, le chiffre de 13 800 est six fois trop élevé. Le nombre de groupes distincts de trois personnes sera (frac{13,800}{6} = 2300).

On peut généraliser la situation de cet exemple ci-dessus à tout problème de choix d'une collection d'articles sans remplacement où le l'ordre de sélection est ne pas important. Si on choisit (r) items parmi (n) possibilités (au lieu de 3 sur 25 comme dans les exemples précédents), le nombre de choix possibles sera donné par , et on pourra utiliser cette formule pour le calcul . Cependant cette situation se présente si fréquemment que nous attachons une notation spéciale et une définition spéciale à cette situation où nous choisissons (r) éléments parmi (n) possibilités sans remplacement où le l'ordre de sélection est ne pas important.

Combinaisons

La loi des gaz parfaits est facile à retenir et à appliquer pour résoudre des problèmes, tant que vous obtenez la valeurs appropriées un

(_{n} C_{r}=frac{_n P_{r}}{r P_{r}})

On dit qu'il y a (_{n} C_{r}) combinaisons de taille (r) pouvant être choisi parmi (n) choix sans remplacementl'ordre n'a pas d'importance.

On peut aussi écrire la formule des combinaisons en termes de factorielles :

(_{n} C_{r}=frac{n !}{(n-r) ! r !})

Exemple 32

Un groupe de quatre étudiants doit être choisi parmi une classe de 35 membres pour représenter la classe au conseil étudiant. De combien de manières cela peut-il être fait ?

Solution

Puisque nous choisissons 4 personnes sur 35 sans remplacement où le l'ordre de sélection est ne pas important il y a = (_{35} C_{4}=frac{35 cdot 34 cdot 33 cdot 32}{4 cdot 3 cdot 2 cdot 1}=52 360) combinaisons.

Essayez-le maintenant 8

Le Comité des crédits du Sénat des États-Unis se compose de 29 membres; la sous-commission de la défense de la commission des crédits est composée de 19 membres. Sans tenir compte de l'affiliation à un parti ou de tout siège spécial au sous-comité, combien de sous-comités différents de 19 membres peuvent être choisis parmi les 29 sénateurs de la commission des crédits ?

Répondre

L'ordre n'a pas d'importance. (_{29} mathrm{C}_{19}=20 030 010) sous-comités possibles

Dans le problème Try it Now précédent, nous avons supposé que les 19 membres du Sous-comité de la défense avaient été choisis sans tenir compte de leur affiliation à un parti. En réalité, cela n'arriverait jamais : si les républicains sont majoritaires, ils ne laisseraient jamais une majorité de démocrates siéger (et donc contrôler) un sous-comité. (La même chose serait bien sûr vraie si les démocrates contrôlaient.) Considérons donc à nouveau le problème, sous une forme légèrement plus compliquée :

Exemple 33

Le comité des crédits du Sénat américain se compose de 29 membres, 15 républicains et 14 démocrates. Le sous-comité de la défense se compose de 19 membres, 10 républicains et 9 démocrates. De combien de manières différentes les membres de la Sous-commission de la défense peuvent-ils être choisis parmi les 29 sénateurs de la Commission des crédits ?

Solution

Dans ce cas, nous devons choisir 10 des 15 républicains et 9 des 14 démocrates. Il y a (_{15} C_{10}=3003) façons de choisir les 10 républicains et (_{14} C_{9}=2002) façons de choisir les 9 démocrates. Mais maintenant quoi ? Comment finir le problème ?

Supposons que nous ayons répertorié tous les groupes républicains possibles de 10 membres sur 3003 feuillets de papier rouge et tous les groupes démocrates possibles de 9 membres sur 2002 feuillets de papier bleu. De combien de façons pouvons-nous choisir un feuillet rouge et un feuillet bleu ? C'est un travail pour la règle de comptage de base ! Nous faisons simplement un choix de la première catégorie et un choix de la deuxième catégorie, tout comme dans les problèmes de menu de restaurant de tout à l'heure.

Il doit y avoir (3003 cdot 2002=6,012,006) modalités possibles de sélection des membres du Sous-comité de la Défense.

Probabilité utilisant des permutations et des combinaisons

Nous pouvons utiliser des permutations et des combinaisons pour nous aider à répondre à des questions de probabilité plus complexes

Exemple 34

Un code PIN à 4 chiffres est sélectionné. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de chiffres répétés ?

Solution

Il y a (10 ext { valeurs possibles pour chaque chiffre du PIN (à savoir : } 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),) donc il y a (10 cdot 10 cdot 10 cdot 10=10^{4}=10000) nombre total de codes PIN possibles.

Pour ne pas avoir de chiffres répétés, les quatre chiffres devraient être différents, ce qui revient à sélectionner sans remplacement. Nous pourrions soit calculer 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7, soit remarquer que c'est la même chose que la permutation (_{10} P_{4}=5040).

La probabilité de ne pas répéter les chiffres est le nombre de codes PIN à 4 chiffres sans chiffres répétés divisé par le nombre total de codes PIN à 4 chiffres. Cette probabilité est (frac{_{10} P_{4}}{10^{4}}=frac{5040}{10000}=0,504)

Exemple 35

Dans la loterie d'un certain état, 48 boules numérotées de 1 à 48 sont placées dans une machine et six d'entre elles sont tirées au hasard. Si les six numéros tirés correspondent aux numéros qu'un joueur avait choisis, le joueur gagne 1 000 000 $. Dans cette loterie, l'ordre dans lequel les numéros sont tirés n'a pas d'importance. Calculez la probabilité que vous gagniez le prix d'un million de dollars si vous achetez un seul billet de loterie.

Solution

Afin de calculer la probabilité, nous devons compter le nombre total de façons dont six numéros peuvent être tirés, et le nombre de façons dont les six numéros sur le ticket du joueur pourraient correspondre aux six numéros tirés de la machine. Puisqu'il n'y a aucune stipulation que les numéros soient dans un ordre particulier, le nombre de résultats possibles du tirage au sort est (_{48} C_{6}=12.271.512). Parmi ces résultats possibles, un seul correspondrait aux six numéros du ticket du joueur, donc la probabilité de gagner le grand prix est :

(frac{_6 C_{6}}{_{48} C_{6}}=frac{1}{12271512} environ 0,0000000815)

Exemple 36

Dans la loterie d'État de l'exemple précédent, si cinq des six numéros tirés correspondent aux numéros qu'un joueur a choisis, le joueur remporte un deuxième prix de 1 000 $. Calculez la probabilité que vous gagniez le deuxième prix si vous achetez un seul billet de loterie.

Solution

Comme ci-dessus, le nombre de résultats possibles du tirage au sort est (_{48} C_{6}=12.271.512). Afin de gagner le deuxième prix, cinq des six numéros sur le billet doivent correspondre à cinq des six numéros gagnants; en d'autres termes, nous devons avoir choisi cinq des six numéros gagnants et un des 42 numéros perdants. Le nombre de façons de choisir 5 des 6 numéros gagnants est donné par (_{6} C_{5}=6) et le nombre de façons de choisir 1 des 42 numéros perdants est donné par (_ {42} C_{1}=42). Ainsi, le nombre de résultats favorables est alors donné par la règle de comptage de base : (_{6} C_{5} cdot_{42} C_{1}=6 cdot 42=252). Donc, la probabilité de gagner le deuxième prix est.

(frac{gauche(_{6} C_{5}droite)gauche(_{42} C_{1}droite)}{_{48} C_{6}}=frac{252} {12271512} environ 0,0000205)

Essayez-le maintenant 9

Une question à choix multiples sur un quiz d'économie contient 10 questions avec cinq réponses possibles chacune. Calculez la probabilité de deviner les réponses au hasard et d'obtenir 9 questions correctes.

Répondre

Il existe (5^{10}=9 765 625) différentes manières de répondre à l'examen. Il y a 10 emplacements possibles pour la question manquée, et dans chacun de ces emplacements, il y a 4 mauvaises réponses, il y a donc 40 façons de répondre au test avec une mauvaise réponse.

(mathrm{P}(9 ext { réponses correctes })=frac{40}{5^{10}} environ 0,0000041) chance

Exemple 37

Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d'un jeu et d'obtenir exactement un As.

Solution

Dans de nombreux jeux de cartes (comme le poker), l'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance (puisque le joueur peut réarranger les cartes de sa main comme il l'entend) ; dans les problèmes qui suivent, nous supposerons que c'est le cas, sauf indication contraire. Ainsi, nous utilisons des combinaisons pour calculer le nombre possible de mains de 5 cartes, (_{52} C_{5}). Ce nombre ira dans le dénominateur de notre formule de probabilité, puisqu'il s'agit du nombre de résultats possibles.

Pour le numérateur, nous avons besoin du nombre de façons de piocher un As et quatre autres cartes (aucune d'elles) du jeu. Puisqu'il y a quatre As et que nous voulons exactement un d'entre eux, il y aura (_4 C_{1}) façons de sélectionner un As ; puisqu'il y a 48 non-As et que nous en voulons 4, il y aura (_{48} C_{4})) façons de sélectionner les quatre non-As. Maintenant, nous utilisons la règle de comptage de base pour calculer qu'il y aura (_{4} C_{1} cdot _{48} C_{4}) façons de choisir un as et quatre non-as.

En mettant tout cela ensemble, nous avons

(P( ext {un As} )=frac{left(_{4} C_{1} ight)left(_{48} C_{4} ight)}{_{52} C_ {5}}=frac{778320}{2598960} environ 0,299)

Exemple 38

Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d'un jeu et d'obtenir exactement deux As.

Solution

La solution est similaire à l'exemple précédent, sauf que maintenant nous choisissons 2 As sur 4 et 3 non-As sur 48 ; le dénominateur reste le même :

(P( ext {deux As})=frac{left(_{4} C_{2} ight)left(_{48} C_{3} ight)}{_{52} C_ {5}}=frac{103776}{2598960} environ 0,0399)

Il est utile de noter que ces problèmes de cartes sont remarquablement similaires aux problèmes de loterie discutés précédemment.

Essayez-le maintenant 10

Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d'un jeu de cartes et d'obtenir trois As et deux Rois.

Répondre

P( ext {trois As et deux Rois})=frac{left(_{4} C_{3} ight)left(_{4} C_{2} ight)}{_{52} C_{5}}=frac{24}{2598960} environ 0,0000092

Problème d'anniversaire

Prenons une pause pour examiner un problème célèbre de la théorie des probabilités :

Supposons que vous ayez une salle pleine de 30 personnes. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un anniversaire commun ?

Essayez de deviner la réponse au problème ci-dessus. Votre estimation était-elle assez faible, comme environ 10 % ? Cela semble être la réponse intuitive ((frac{30}{365}), peut-être ?). Voyons si nous devons écouter notre intuition. Commençons cependant par un problème plus simple.

Exemple 39

Supposons que trois personnes soient dans une pièce. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un anniversaire commun entre ces trois personnes ?

Solution

Il existe de nombreuses façons d'avoir au moins un anniversaire partagé. Heureusement, il existe un moyen plus simple. Nous nous demandons « Quelle est l'alternative à avoir au moins un anniversaire partagé ? » Dans ce cas, l'alternative est qu'il existe non anniversaires partagés. En d'autres termes, l'alternative à « au moins un » est d'avoir rien. En d'autres termes, puisqu'il s'agit d'un événement complémentaire,

(P( ext {au moins un})=1-P( ext {aucun}))

Nous commencerons donc par calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'anniversaire partagé. Imaginons que vous soyez l'une de ces trois personnes. Votre anniversaire peut être n'importe quoi sans conflit, il y a donc 365 choix sur 365 pour votre anniversaire. Quelle est la probabilité que la deuxième personne ne partage pas votre anniversaire ? Il y a 365 jours dans l'année (ignorons les années bissextiles) et en supprimant votre anniversaire de la discorde, il y a 364 choix qui garantiront que vous ne partagez pas d'anniversaire avec cette personne, donc la probabilité que la deuxième personne ne partage pas votre anniversaire est (frac{364}{365}). Passons maintenant à la troisième personne. Quelle est la probabilité que cette troisième personne n'ait pas le même anniversaire que vous ou la deuxième personne ? Il y a 363 jours qui ne dupliqueront pas votre anniversaire ou celui de la deuxième personne, donc la probabilité que la troisième personne ne partage pas d'anniversaire avec les deux premières est (frac{363}{365}).

Nous voulons que la deuxième personne ne partage pas un anniversaire avec vous et la troisième personne de ne pas partager un anniversaire avec les deux premières personnes, nous utilisons donc la règle de multiplication :

(P( ext {pas d'anniversaire partagé})=frac{365}{365} cdot frac{364}{365} cdot frac{363}{365} approx 0.9918)

puis soustraire de 1 pour obtenir

(P( ext {anniversaire partagé})=1-P( ext {pas d'anniversaire partagé})=1-0,9918=0,0082).

C'est un nombre assez petit, il est donc peut-être logique que la réponse à notre problème d'origine soit petite. Agrandissons un peu notre groupe.

Exemple 40

Supposons que cinq personnes se trouvent dans une pièce. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un anniversaire partagé entre ces cinq personnes ?

Solution

Poursuivant le modèle de l'exemple précédent, la réponse devrait être

(P( ext {anniversaire partagé})=1-frac{365}{365} cdot frac{364}{365} cdot frac{363}{365} cdot frac{362}{ 365} cdot frac{361}{365} environ 0,0271)

Notez que nous pourrions réécrire cela de manière plus compacte comme

(P( ext {anniversaire partagé})=1-frac{_{365}P_5}{365^{5}} environ 0,0271)

ce qui facilite un peu la saisie dans une calculatrice ou un ordinateur, et qui suggère une belle formule alors que nous continuons à élargir la population de notre groupe.

Exemple 41

Supposons que 30 personnes soient dans une pièce. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un anniversaire commun parmi ces 30 personnes ?

Solution

Ici on peut calculer

(P( ext { anniversaire partagé })=1-frac{_{365}P_{30}}{365^{30}} approx 0.706)

ce qui nous donne le résultat surprenant que lorsque vous êtes dans une salle avec 30 personnes il y a 70% de chance qu'il y ait au moins un anniversaire partagé !

Si vous aimez parier et si vous parvenez à convaincre 30 personnes de révéler leur anniversaire, vous pourrez peut-être gagner de l'argent en pariant avec un ami qu'il y aura au moins deux personnes ayant le même anniversaire dans la salle à chaque fois que vous chambre de 30 personnes ou plus. (Bien sûr, vous devrez vous assurer que votre ami n'a pas étudié les probabilités !) Vous ne seriez pas assuré de gagner, mais vous devriez gagner plus de la moitié du temps.

C'est l'un des nombreux résultats de la théorie des probabilités qui est contre-intuitif ; c'est-à-dire que cela va à l'encontre de notre instinct. Si vous ne croyez toujours pas aux calculs, vous pouvez effectuer une simulation. Pour que vous n'ayez pas à faire le tour des groupes de 30 personnes, quelqu'un a gentiment développé une applet Java pour que vous puissiez faire une simulation informatique. Allez sur cette page Web : http://statweb.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, et une fois l'applet chargée, sélectionnez 30 anniversaires, puis continuez à cliquer sur Démarrer et réinitialiser. Si vous gardez une trace du nombre de fois où il y a un anniversaire répété, vous devriez obtenir un anniversaire répété environ 7 fois sur 10 lorsque vous exécutez la simulation.

Essayez-le maintenant 11

Supposons que 10 personnes soient dans une pièce. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un anniversaire commun parmi ces 10 personnes ?

Répondre

(P( ext {anniversaire partagé})=1-frac{_{365}P_{10}}{365^{10}} environ 0,117)


Un nombre d'éosinophiles peut aider à diagnostiquer quelques conditions. Vous pourriez avoir un nombre élevé avec les éléments suivants :

  • Syndrome hyperéosinophile aigu, une maladie rare qui ressemble à la leucémie et peut mettre la vie en danger
  • Un trouble allergique comme l'asthme ou le rhume des foins
  • Conditions auto-immunes
  • Une infection causée par un parasite ou un champignon
  • Une réaction à certains médicaments
  • Asthme
  • Les premiers stades de la maladie de Cushing, une maladie rare qui peut survenir si vous avez trop d'une hormone appelée cortisol dans votre sang
  • Eczéma (peau irritée et enflammée)
  • Leucémie et autres troubles sanguins

12.5 : Comptage

Cette section décrit les limites du nombre de colonnes dans les tableaux et la taille des lignes individuelles.

Limites de nombre de colonnes

MySQL a une limite stricte de 4096 colonnes par table, mais le maximum effectif peut être inférieur pour une table donnée. La limite exacte de la colonne dépend de plusieurs facteurs :

La taille de ligne maximale d'un tableau limite le nombre (et éventuellement la taille) de colonnes car la longueur totale de toutes les colonnes ne peut pas dépasser cette taille. Voir Limites de taille de ligne.

Les exigences de stockage des colonnes individuelles limitent le nombre de colonnes qui correspondent à une taille de ligne maximale donnée. Les exigences de stockage pour certains types de données dépendent de facteurs tels que le moteur de stockage, le format de stockage et le jeu de caractères. Voir Exigences de stockage des types de données.

Les moteurs de stockage peuvent imposer des restrictions supplémentaires qui limitent le nombre de colonnes de table. Par exemple, InnoDB a une limite de 1017 colonnes par table. Voir Limites InnoDB. Pour plus d'informations sur les autres moteurs de stockage, consultez Moteurs de stockage alternatifs.

Chaque table a un fichier .frm qui contient la définition de la table. La définition affecte le contenu de ce fichier d'une manière qui peut affecter le nombre de colonnes autorisées dans la table. Voir Section 12.6, « Limites imposées par la structure de fichier .frm ».

Limites de taille de ligne

La taille de ligne maximale d'une table donnée est déterminée par plusieurs facteurs :

The internal representation of a MySQL table has a maximum row size limit of 65,535 bytes, even if the storage engine is capable of supporting larger rows. BLOB and TEXT columns only contribute 9 to 12 bytes toward the row size limit because their contents are stored separately from the rest of the row.

The maximum row size for an InnoDB table, which applies to data stored locally within a database page, is slightly less than half a page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings. For example, the maximum row size is slightly less than 8KB for the default 16KB InnoDB page size. For 64KB pages, the maximum row size is slightly less than 16KB. See InnoDB Limits.

If a row containing variable-length columns exceeds the InnoDB maximum row size, InnoDB selects variable-length columns for external off-page storage until the row fits within the InnoDB row size limit. The amount of data stored locally for variable-length columns that are stored off-page differs by row format. For more information, see InnoDB Row Formats.

Different storage formats use different amounts of page header and trailer data, which affects the amount of storage available for rows.

For information about InnoDB row formats, see InnoDB Row Formats.

For information about MyISAM storage formats, see MyISAM Table Storage Formats.

Row Size Limit Examples

The MySQL maximum row size limit of 65,535 bytes is demonstrated in the following InnoDB and MyISAM examples. The limit is enforced regardless of storage engine, even though the storage engine may be capable of supporting larger rows.

In the following MyISAM example, changing a column to TEXT avoids the 65,535-byte row size limit and permits the operation to succeed because BLOB and TEXT columns only contribute 9 to 12 bytes toward the row size.

The operation succeeds for an InnoDB table because changing a column to TEXT avoids the MySQL 65,535-byte row size limit, and InnoDB off-page storage of variable-length columns avoids the InnoDB row size limit.

Storage for variable-length columns includes length bytes, which are counted toward the row size. For example, a VARCHAR(255) CHARACTER SET utf8mb3 column takes two bytes to store the length of the value, so each value can take up to 767 bytes.

The statement to create table t1 succeeds because the columns require 32,765 + 2 bytes and 32,766 + 2 bytes, which falls within the maximum row size of 65,535 bytes:

The statement to create table t2 fails because, although the column length is within the maximum length of 65,535 bytes, two additional bytes are required to record the length, which causes the row size to exceed 65,535 bytes:

Reducing the column length to 65,533 or less permits the statement to succeed.

For MyISAM tables, NULL columns require additional space in the row to record whether their values are NULL . Each NULL column takes one bit extra, rounded up to the nearest byte.

The statement to create table t3 fails because MyISAM requires space for NULL columns in addition to the space required for variable-length column length bytes, causing the row size to exceed 65,535 bytes:

For information about InnoDB NULL column storage, see InnoDB Row Formats.

InnoDB restricts row size (for data stored locally within the database page) to slightly less than half a database page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings, and to slightly less than 16KB for 64KB pages.

The statement to create table t4 fails because the defined columns exceed the row size limit for a 16KB InnoDB page.


'Why This Kolaveri Di?' 12.5 Crore Views And Counting For Dhanush's Viral Hit

'Why This Kolaveri Di?' has been viewed over 12.5 crore times on YouTube since November 16, 2011

Chennai: Actor Dhanush's viral hit 'Why This Kolaveri Di?' may be six-years-old but it has garnered 12.5 crore views on YouTube, a top official of the online visual content provider said today.

"A lot of our signature success started from 'Why This Kolaveri Di?' six years back. It has received 12.5 crore views and that number is still growing," Ajay Vidyasagar, Regional Director-Google Asia Pacific, told reporters here.

Dhanush's viral single 'Why This Kolaveri Di?' (which can be roughly translated to 'Why this rage?') was an instant hit on social media.

"This piece of creativity keeps winning again and again due to fans," Mr Vidyasagar said, adding that the video had inspired many to come up with their own versions of the song too.

Quoting statistics, he said India had witnessed a surge in YouTube viewership in the past few years, even as rural and small towns made a significant contribution. From being a "metro phenomenon" about five years ago, YouTube is now being used by consumers even in many remote villages of the country, he said.

"Film engagement" on the visual platform stood "neck to neck with Hollywood" and teasers and trailers of recent Tamil hits like 'Kabali' and "Baahubali' received 34 million and 22 million hits respectively, Mr Vidyasagar added.

Online hits of many Indian movies even exceeded the viewership of Hollywood films, he said.


12.5: Counting

Red blood cells (RBCs), also called erythrocytes, are cells that circulate in the blood and carry oxygen throughout the body. The RBC count totals the number of red blood cells that are present in your sample of blood. It is one test among several that is included in a complete blood count (CBC) and is often used in the general evaluation of a person's health.

Blood is made up of a few different types of cells suspended in fluid called plasma. In addition to RBCs, there are white blood cells (WBCs) and platelets. These cells are produced in the bone marrow and are released into the bloodstream as they mature. RBCs typically make up about 40% of the blood volume. RBCs contain hemoglobin, a protein that binds to oxygen and enables RBCs to carry oxygen from the lungs to the tissues and organs of the body. RBCs also help transport a small portion of carbon dioxide, a waste product of cell metabolism, from those tissues and organs back to the lungs, where it is expelled.

The typical lifespan of an RBC is 120 days. Thus the bone marrow must continually produce new RBCs to replace those that age and degrade or are lost through bleeding. A number of conditions can affect RBC production and some conditions may result in significant bleeding. Other disorders may affect the lifespan of RBCs in circulation, especially if the RBCs are deformed due to an inherited or acquired defect or abnormality. These conditions may lead to a rise or drop in the RBC count. Changes in the RBC count usually mirror changes in other RBC tests, including the hematocrit and hemoglobin level.

  • If RBCs are lost or destroyed faster than they can be replaced, if bone marrow production is disrupted, or if the RBCs produced do not function normally, or do not contain enough hemoglobin, then you may develop anemia, which affects the amount of oxygen reaching tissues.
  • If too many RBCs are produced and released, then you can develop polycythemia. This can cause thicker blood, decreased blood flow and related problems, such as headache, dizziness, problems with vision, and even excessive clotting or heart attack.

A red blood cell (RBC) count is typically ordered as part of a complete blood count (CBC) and may be used as part of a health checkup to screen for a variety of conditions. This test may also be used to help diagnose and/or monitor a number of diseases that affect the production or lifespan of red blood cells.

An RBC count is ordered as a part of the complete blood count (CBC), often as part of a routine physical or as part of a pre-surgical workup. A CBC may be ordered when you have signs and symptoms suggesting a disease that might affect red blood cell production. Some common signs and symptoms associated with anemia that generally lead to a healthcare practitioner ordering a CBC are:

Some signs and symptoms that may appear with a high RBC count include:

A CBC may also be performed on a regular basis to monitor people who have been diagnosed with conditions such as:

Since an RBC count is performed as part of a complete blood count (CBC), results from other components are taken into consideration. A rise or drop in the RBC count must be interpreted in conjunction with other tests, such as hemoglobin, hematocrit, reticulocyte count, and/or red blood cell indices.

The following table summarizes what results may mean.

Men: 4.5-5.9 x 10 6 /microliter

Women: 4.1-5.1 x 10 6 microliter

    or chronic bleeding
  • RBC destruction (e.g., hemolytic anemia, etc.)
  • Nutritional deficiency (e.g., iron deficiency, vitamin B12 or folate deficiency) or damage
  • Chronic inflammatory disease

from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed.
McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

Note: Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs
SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

Some causes of a low RBC count (anemia) include:

  • Trauma that leads to loss of blood
  • Conditions that cause red blood cells to be destroyed, such as hemolytic anemia caused by autoimmunity or defects in the red cell itself the defects could be a hemoglobinopathy (e.g., sickle cell anemia), thalassemia, an abnormality in the RBC membrane (e.g., hereditary spherocytosis), or enzyme defect (e.g., G6PD deficiency).
  • Sudden (acute) or chronic bleeding from the digestive tract (e.g., ulcers, polyps, colon cancer) or other sites, such as the bladder or uterus (in women, heavy menstrual bleeding, for example)
  • Nutritional deficiency such as iron deficiency or vitamin B12 or folate deficiency
  • Bone marrow damage (e.g., toxin, radiation or chemotherapy, infection, drugs) such as leukemia, multiple myeloma, myelodysplastic syndrome, or lymphoma or other cancers that spread to the bone marrow
  • Chronic inflammatory disease or condition
  • Kidney failure—severe and chronic kidney diseases lead to decreased production of erythropoietin, a hormone produced by the kidneys that promotes RBC production by the bone marrow.

Some causes of a high RBC count (polycythemia) include:

    —as the volume of fluid in the blood drops, the count of RBCs per volume of fluid artificially rises. —if someone is unable to breathe in and absorb sufficient oxygen, the body tries to compensate by producing more red blood cells. —with this condition, the heart is not able to pump blood efficiently, resulting in a decreased amount of oxygen getting to tissues. The body tries to compensate by producing more red blood cells.
  • Kidney tumor that produces excess erythropoietin
  • Smoking
  • Genetic causes (altered oxygen sensing, abnormality in hemoglobin oxygen release)
  • Polycythemia vera—a rare disease in which the body produces too many RBCs

Your RBC count is interpreted by your healthcare practitioner within the context of other tests that you have had done as well as other factors, such as your medical history. A single result that is slightly high or low may or may not have medical significance. There are several reasons why a test result may differ on different days and why it may fall outside a designated reference range.

  • Biological variability (different results in the same person at different times): If you have the same test done on several different occasions, there's a good chance that one result will fall outside a reference range even though you are in good health. For biological reasons, your values can vary from day to day.
  • Individual variability (differences in results between different people): References ranges are usually established by collecting results from a large population and determining from the data an expected average result and expected differences from that average (standard deviation). There are individuals who are healthy but whose tests results, which are normal for them, do not always fall within the expected range of the overall population.

A test value that falls outside of the established reference range supplied by the laboratory may mean nothing significant. Generally, this is the case when the test value is only slightly higher or lower than the reference range and this is why a healthcare practitioner may repeat a test on you and why they may look at results from prior times when you had the same test performed.

However, a result outside the range may indicate a problem and warrant further investigation. Your healthcare provider will consider your medical history, physical exam, and other relevant factors to determine whether a result that falls outside of the reference range means something significant for you. For more, read the articles on Reference Ranges and What They Mean.

An RBC count can be used to detect a problem with red blood cell production and/or lifespan, but it cannot determine the underlying cause. In addition to the full CBC, some other tests may be performed at the same time or as follow up to help establish a diagnosis. Examples include:

    —a laboratory professional examines the blood under the microscope to confirm results of a CBC and/or to look abnormal blood cells —determines the number of young (immature) red blood cells —iron is important in the production of red blood cells —these vitamins are also important for red blood cell production
  • In more severe conditions, a bone marrow aspiration and biopsy—usually done by a pathologist to help detect abnormalities in the bone marrow and determine the cause of low or high blood cell counts or abnormal blood cells

First, a healthcare practitioner must determine the cause of someone's abnormal RBC count so the appropriate treatment can be prescribed. For some anemias, treatment may include a dietary supplement or a change in diet to include nutritional foods. In some instances, it may only require a change in the person's current medication. For more severe cases, treatment may involve transfusion with blood from a donor. For some, prescribing a drug to stimulate red cell production in the bone marrow may be required, especially for people who have received chemotherapy or radiation treatments.

Maybe. Some healthcare practitioners' offices are equipped with laboratory instruments and staffed by trained laboratorians who are able to perform this test.

Yes, to the extent that if you eat a well-balanced diet, you can prevent anemia due to a lack of iron, vitamin B12, or folate in the foods you eat. Sometimes use of a supplement is recommended if you are at risk of a vitamin deficiency. However, the most common cause of vitamin B12 deficiency is malabsorption, and the most common cause of iron deficiency is bleeding. These conditions and other RBC problems that are caused by diseases other than nutritional deficiencies will not be corrected by diet.

Fatigue and weakness may indicate a low or high RBC count. Fainting, pallor, shortness of breath, dizziness, and/or altered mental status can also indicate a low RBC count. Disturbed vision, headache, and flushing may be present with increased numbers of RBCs.

A recent blood transfusion can affect results of an RBC count.

Alteration of the number of RBCs is often temporary and can be easily corrected and/or returned to normal levels by treating and resolving the underlying condition.

During pregnancy, body fluids tend to accumulate, thus decreasing the RBC count in relation to fluid volume.

Living at high altitudes causes an increase in RBC count this is the body's response to the decreased oxygen available at these heights.

Women tend to have slightly lower RBC counts than men.

You may be able to find your test results on your laboratory's website or patient portal. However, you are currently at Lab Tests Online. You may have been directed here by your lab's website in order to provide you with background information about the test(s) you had performed. You will need to return to your lab's website or portal, or contact your healthcare practitioner in order to obtain your test results.

Lab Tests Online is an award-winning patient education website offering information on laboratory tests. The content on the site, which has been reviewed by laboratory scientists and other medical professionals, provides general explanations of what results might mean for each test listed on the site, such as what a high or low value might suggest to your healthcare practitioner about your health or medical condition.

The reference ranges for your tests can be found on your laboratory report. They are typically found to the right of your results.

If you do not have your lab report, consult your healthcare provider or the laboratory that performed the test(s) to obtain the reference range.

Laboratory test results are not meaningful by themselves. Their meaning comes from comparison to reference ranges. Reference ranges are the values expected for a healthy person. They are sometimes called "normal" values. By comparing your test results with reference values, you and your healthcare provider can see if any of your test results fall outside the range of expected values. Values that are outside expected ranges can provide clues to help identify possible conditions or diseases.

While accuracy of laboratory testing has significantly evolved over the past few decades, some lab-to-lab variability can occur due to differences in testing equipment, chemical reagents, and techniques. This is a reason why so few reference ranges are provided on this site. It is important to know that you must use the range supplied by the laboratory that performed your test to evaluate whether your results are "within normal limits."

For more information, please read the article Reference Ranges and What They Mean.

The reference ranges 1 provided here represent a theoretical guideline that should not be used to interpret your test results. Some variation is likely between these numbers and the reference range reported by the lab that ran your test. Please consult your healthcare provider.

Age Conventional Units 2 SI Units 3
0-18 years Not available due to wide variability. See child's lab report for reference range.
Adult male 4.5-5.9 x 10 6 /microliter 4.5-5.9 x 10 12 /L
Adult female 4.1-5.1 x 10 6 microliter 4.1-5.1 x 10 12 /L

1 from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

2 Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs

3 SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

LOINC Observation Identifiers Names and Codes (LOINC®) is the international standard for identifying health measurements, observations, and documents. It provides a common language to unambiguously identify things you can measure or observe that enables the exchange and aggregation of clinical results for care delivery, outcomes management, and research. Learn More.

Listed in the table below are the LOINC with links to the LOINC detail pages. Please note when you click on the hyperlinked code, you are leaving Lab Tests Online and accessing Loinc.org.

LOINC LOINC Display Name
26453-1 RBC (Bld) [#/Vol]
789-8 RBC Auto (Bld) [#/Vol]
790-6 RBC Manual cnt (Bld) [#/Vol]

On This Site

Elsewhere On The Web

Sources Used in Current Review

Wintrobe's Clinical Hematology. 12th ed. Greer J, Foerster J, Rodgers G, Paraskevas F, Glader B, Arber D, Means R, eds. Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins: 2009, Section 2: The Erythrocyte.

Harmening, D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis, Fifth Edition, F.A. Davis Company, Philadelphia, 2009, Chapter 3.

Sources Used in Previous Reviews

Thomas, Clayton L., Editor (1997). Taber's Cyclopedic Medical Dictionary. F.A. Davis Company, Philadelphia, PA [18th Edition].

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (2001). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 5th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO.

Hillman RS and Finch CA. Red Cell Manual (1974). FA Davis, Philadelphia. Pp. 23-51.

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (© 2007). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 8th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp. 797-799.

Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 21st ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Saunders Elsevier: 2007, Chap 31.

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(June 17, 2011) Conrad M. Anemia. Medscape Reference article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed Sep 2011.

(August 26, 2011) Harper J. Pediatric Megaloblastic Anemia. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/959918-overview. Accessed Sep 2011.

(June 8, 2011) Artz A. Anemia in Elderly Persons. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/1339998-overview. Accessed Sep 2011.

(February 9, 2010) Dugdale D. RBC Count. MedlinePlus Medical Encyclopedia. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed Sep 2011.

Riley R, et.al. Automated Hematologic Evaluation. Medical College of Virginia, Virginia Commonwealth University. Available online at http://www.pathology.vcu.edu/education/PathLab/pages/hematopath/pbs.html#Anchor-Automated-47857. Accessed Sep 2011.

Kasper DL, Braunwald E, Fauci AS, Hauser SL, Longo DL, Jameson JL eds, (2005). Harrison's Principles of Internal Medicine, 16th Edition, McGraw Hill, Pp 329-336.

Pagana K, Pagana T. Mosby's Manual of Diagnostic and Laboratory Tests. 3rd Edition, St. Louis: Mosby Elsevier 2006, Pp 447-448.

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Pagana, K. D., Pagana, T. J., and Pagana, T. N. (© 2015). Mosby's Diagnostic & Laboratory Test Reference 12th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp 785-791.


How to Prepare for the Test

Most of the time, adults do not need to take special steps before this test. Tell your provider the medicines you are taking, including the ones without a prescription. Some drugs may change the test results.

Medicines that may cause you to have an increase in eosinophils include:

  • Amphetamines (appetite suppressants)
  • Certain laxatives containing psyllium
  • Certain antibiotics
  • Interferon
  • Tranquilizers

BREAKING: Judge orders Pennsylvania to stop counting certain late ballots

By Calvin Freiburger
By Calvin Freiburger

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November 12, 2020 (LifeSiteNews) &mdash Pennsylvania Secretary of the Commonwealth Kathy Boockvar &ldquolacked statutory authority&rdquo to direct state election officials to count mail-in ballots even if they did not receive proof of identification by November 9, President Judge Mary Hannah Leavitt of Pennsylvania ruled Thursday in a victory for the Trump campaign&rsquos legal campaign to prevent the state from being certified for Democrat nominee Joe Biden.

The U.S. Supreme Court ruled before the election that election officials in Pennsylvania (as well as North Carolina) could accept absentee ballots for up to three days after the election, though the court also ruled several days later that all ballots that would arrive beyond the legal deadline be segregated and counted separately, in response to a lawsuit by state Republicans to stop a last-minute rule change by Boockvar that allowed the ballots to be counted and co-mingled with ballots that had arrived on time.

But on Thursday, Leavitt ruled that the Secretary of the Commonwealth &ldquolacked statutory authority to issue the November 1, 2020, guidance to Respondents County Boards of Elections insofar as that guidance purported to change the deadline [. ] for certain electors to verify proof of identification.&rdquo

&ldquoAccordingly, the Court hereby ORDERS that Respondents County Boards of Elections are enjoined from counting any ballots that have been segregated&rdquo pursuant to the court&rsquos previous order on the matter.

WCSI notes that the order represents a victory for the Trump campaign, which needs Pennsylvania&rsquos 20 electoral votes to stand even a chance of securing a second term. Boockvar said Tuesday that the state received approximately 10,000 ballots after the polls closed, and was still in the process of counting 94,000 provisional ballots that had been given to voters on election day. Biden currently holds a 53,978 lead over Trump in the state.


Hemoglobin Level Chart

Normal Hemoglobin Count Ranges Widely Accepted by Physicians
Children
Birth: 13.5 to 24.0 g/dl (mean 16.5 g/dl)
<1 mth: 10.0 to 20.0 g/dl (mean 13.9 g/dl)
1-2 mths: 10.0 to 18.0 g/dl (mean 11.2 g/dl)
2-6 mths: 9.5 to 14.0 g/dl (mean 12.6 g/dl)
0.5 to 2 yrs: 10.5 to 13.5 g/dl (mean 12.0 g/dl)
2 to 6 yrs: 11.5 to 13.5 g/dl (mean 12.5 g/dl)
6-12 yrs: 11.5 to 15.5 g/dl (mean 13.5)
Females
Age 12-18 yrs: 12.0 to 16.0 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Age >18 yrs: 12.1 to 15.1 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Males
12-18 yrs: 13.0 to 16.0 g/dl (mean 14.5 g/dl)
>18 yrs: 13.6 to 17.7 g/dl (mean 15.5 g/dl)

Low Hemoglobin Count

A slightly low hemoglobin count isn't always a sign of illness, it may be normal for some people. Women who are pregnant commonly have low hemoglobin counts. A low hemoglobin level count is generally defined as less than 13.5 grams of hemoglobin per deciliter (135 grams per liter) of blood for men and less than 12 grams per deciliter (120 grams per liter) for women. In children, the definition varies with age and sex.

Diseases and conditions that cause your body to produce fewer red blood cells include:

  • Cancer
  • Cirrhosis
  • Leukemia
  • Lead poisoning
  • Aplastic anemia
  • Multiple myeloma
  • Certain medications
  • Iron deficiency anemia
  • Chronic kidney disease
  • Non-Hodgkin's lymphoma
  • Vitamin deficiency anemia
  • Myelodysplastic syndromes
  • Hypothyroidism (under-active thyroid)
  • Hodgkin's lymphoma (Hodgkin's disease)
  • Blood Loss from Bleeding (Internal or External)

Iron Levels

Iron is a mineral that's essential for making healthy red blood cells and hemoglobin. Low iron levels can cause you to feel tired, and extremely low iron levels may cause damage to organs. A low blood count can be caused by not eating enough iron-rich foods, donating blood too frequently, chronic illness, or other invisible causes. The daily requirement of iron can often be achieved by taking iron supplements. Ferrous sulfate 325 mg, taken orally once a day, and by eating foods high in iron. Foods high in vitamin C also are recommended because vitamin C helps your body absorb iron. Food with high iron levels include:

  • Bean Sprouts
  • Beets
  • Broccoli
  • Brussel Sprouts
  • Cabbage
  • Chicken
  • Corn
  • Fish
  • Green Beans
  • Greens, all kinds
  • Kale
  • Lamb
  • Lean beef
  • Lima Beans
  • Liver
  • Mussels
  • Pork
  • Potatoes
  • Shellfish
  • Peas
  • Tofu
  • Tomatoes
  • Turkey
  • Veal

High Hemoglobin Level

High hemoglobin level is mainly due to low oxygen levels in the blood (hypoxia), present over a long period of time. Reasons for a high hemoglobin level include:

  • Burns
  • Dehydration
  • Severe COPD
  • Heavy smoking
  • Polycythemia vera
  • Excessive vomiting
  • Living at a high altitude
  • Extreme physical exercise
  • Failure of the right side of the heart
  • Birth defects of the heart, present at birth.
  • Scarring or thickening of the lungs (pulmonary fibrosis) and other severe lung disorders
  • Rare bone marrow diseases that lead to an abnormal increase in the number of blood cells (polycythemia vera)

Hemoglobin A1c Test

  • For people without diabetes, the normal range for the hemoglobin A1c test is between 4% and 5.6%.
  • Hemoglobin A1c levels between 5.7% and 6.4% indicate increased risk of diabetes.
  • Levels of 6.5% or higher indicate diabetes.

The goal for people with diabetes is a hemoglobin A1c less than 7%. The higher the hemoglobin A1c, the higher the risks of developing complications related to diabetes.

Hemoglobin Level Image Charts for Printing

Chart 1


Printable Human Hemoglobin Level Chart.

Chart 2


Alternative Version: Hemoglobin Level Chart shows ideal range for females, males, and younger children.

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5 years and counting: Ex-treasure hunter still stuck in federal prison

COLUMBUS, Ohio (AP) — A former deep-sea treasure hunter is about to mark his fifth year in jail for refusing to disclose the whereabouts of 500 missing coins made from gold found in an historic shipwreck.

Research scientist Tommy Thompson isn’t incarcerated for breaking the law. Instead, he’s being held in contempt of court for an unusually long stretch — well past the normal maximum limit of an 18-month internment in cases of witnesses refusing to cooperate.

But nothing is usual about Thompson’s case, which dates to his discovery of the S.S. Central America, known as the Ship of Gold, in 1988. The gold rush-era ship sank in a hurricane off South Carolina in 1857 with thousands of pounds of gold aboard, contributing to an economic panic.

Despite an investors lawsuit and a federal court order, Thompson still won’t cooperate with authorities trying to find those coins, according to court records, federal prosecutors and the judge who found Thompson in contempt.

“He creates a patent for a submarine, but he can’t remember where he put the loot,” federal Judge Algenon Marbley said during a 2017 hearing.

Thompson’s legal troubles stem from the 161 investors who paid Thompson $12.7 million to find the ship, never saw any proceeds and finally sued.

Back in 2012, a different federal judge ordered Thompson to appear in court to disclose the coins’ whereabouts. Instead, Thompson fled to Florida where he lived with his longtime female companion at a hotel where he was living near Boca Raton. U.S. marshals tracked him down and arrested him in early 2015.

Thompson pleaded guilty for his failure to appear and was sentenced to two years in prison and a $250,000 fine. Thompson’s criminal sentence has been delayed until the issue of the gold coins is resolved.

That April 2015 plea deal required Thompson to answer questions in closed-door sessions about the whereabouts of the coins, which the government says are worth $2 million to $4 million. Importantly, he must also “assist” interested parties in finding the coins under that deal.

Thompson refused several times, and on Dec. 15, 2015, Marbley found Thompson in contempt of court and ordered him to stay in jail — and pay a $1,000 daily fine — until he responds.

In late October of this year, Thompson appeared by video for his latest hearing.

“Mr. Thompson, are you ready to answer the seminal question in this case as to the whereabouts of the gold?” Marbley said.

“Your honor, I don’t know if we’ve gone over this road before or not, but I don’t know the whereabouts of the gold,” Thompson responded. “I feel like I don’t have the keys to my freedom.”

And with that, Thompson settled back into his current situation: housed in a federal prison in Milan, Michigan, he’s now spent more than 1,700 days in jail and owes nearly $1.8 million in fines — and counting. Thompson’s attorney declined to comment.

Thompson, 68, has said he suffers from a rare form of chronic fatigue syndrome that has created problems with short-term memory.

He’s previously said, without providing details, that the coins were turned over to a trust in Belize.

The government contends Thompson is refusing to cooperate and that there’s no connection between his ailment and his ability to explain where the coins are.

A federal law addresses individuals like Thompson, known as “recalcitrant witnesses.”

The law holds that 18 months is generally the limit for jail time for contempt of court orders. But a federal appeals court last year rejected Thompson’s argument that that law applies to him.

Thompson hasn’t just refused to answer questions, the court ruled: He’s also violated the requirement that he “assist” the parties by refusing to execute a limited power of attorney to allow that Belizean trust to be examined, as required under his plea deal.

“The order isn’t intended to solely seek information, it’s to seek information for the purposes of recovering these unique assets,” said law professor and legal analyst Andrew Geronimo, director of Case Western University’s First Amendment Clinic.

Earlier this year, Marbley denied Thompson’s request for release over concerns he’s at risk for contracting the coronavirus behind bars. Marbley said Thompson didn’t present proper evidence for his risk level, and also noted he remains a flight risk.


1. Adel K, Raizman J, Chen Y, et al: Complex biological profile of hematologic markers across pediatric, adult, and geriatric ages: establishment of robust pediatric and adult reference intervals on the basis of the Canadian Health Measures Survey. Clin Chem 201561:8

2. CLSI. Defining, Establishing, and Verifying Reference Intervals in the Clinical Laboratory Approved Guideline, Third Edition. CLSI document EP28-A3c. Wayne, PA, Clinical and Laboratory Standards Institute, 2008

3. Soldin J, Brugnara C, Wong EC: Pediatric Reference Intervals. Fifth Edition. AACC Press. Washington, DC, 2005. ISBN 1-594250-32-4


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