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17.11 : Formes d'arguments valides - Mathématiques


Plutôt que de créer une table de vérité pour chaque argument, nous pouvons être en mesure de reconnaître certaines formes courantes d'arguments valides (ou invalides). Si nous pouvons déterminer qu'un argument correspond à l'une des formes courantes, nous pouvons immédiatement déclarer s'il est valide ou invalide.

La loi du détachement (Modus Ponens)

La loi du détachement s'applique lorsqu'un conditionnel et son antécédent sont donnés comme prémisses, et le conséquent est la conclusion. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow q ext{Premise :} & p ext{Conclusion :} & q end{array})

Le nom latin, modus ponens, se traduit par « mode qui affirme ».

Exemple 36

Rappelez-vous cet argument d'un exemple précédent :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si vous avez acheté du pain, alors vous êtes allé au magasin.} ext{Premise :} & ext{Vous avez acheté du pain.} ext{Conclusion :} & ext{Vous êtes allé au magasin.} end{array})

Sous forme symbolique :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & b ightarrow s ext{Premise :} & b ext{Conclusion :} & s end{array})

Cet argument a la structure décrite par la loi du détachement. (La seconde prémisse et la conclusion sont simplement les deux parties de la première prémisse détachées l'une de l'autre.) Au lieu de faire une table de vérité, nous pouvons dire que cet argument est valable en affirmant qu'il satisfait à la loi du détachement.

La loi de la contraposition (Modus Ponens)

La loi de contraposition s'applique lorsqu'un conditionnel et la négation de son conséquent sont donnés comme prémisses, et la négation de son antécédent est la conclusion. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow q ext{Premise :} & sim q ext{Conclusion :} & sim p end{array} )

Le nom latin, modus tollens, se traduit par "mode qui nie".

Notez que la deuxième prémisse et la conclusion ressemblent à la contraposée de la première prémisse, (sim q ightarrow sim p), mais elles ont été détachées. Vous pouvez considérer la loi de la contraposition comme une combinaison de la loi du détachement et du fait que la contraposée est logiquement équivalente à l'énoncé original.

Exemple 37

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si je laisse tomber mon téléphone dans la piscine, mon téléphone sera détruit.} ext{Premise :} & ext{Mon le téléphone n'est pas endommagé.} ext{Conclusion :} & ext{Je n'ai pas laissé tomber mon téléphone dans la piscine.} end{array})

Si nous laissons (d=mathrm{I}) déposer le téléphone dans le pool et (r=) le téléphone est ruiné, alors nous pouvons représenter l'argument de cette façon :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & d ightarrow r ext{Premise :} & sim r ext{Conclusion :} & sim d end{array} )

La forme de cet argument correspond à ce dont nous avons besoin pour invoquer la loi de contraposition, c'est donc un argument valide.

Essayez-le maintenant 14

Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si vous vous êtes brossé les dents avant de vous coucher, votre brosse à dents sera mouillée.} ext{Premise :} & ext{Votre brosse à dents est sec.} ext{Conclusion :} & ext{Vous ne vous êtes pas brossé les dents avant de vous coucher.} end{array})

Réponse

Soit (b=) les dents brossées et (w=) la brosse à dents est mouillée.

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & b ightarrow w ext{Premise :} & sim w ext{Conclusion :} & sim b end{array} )

Cet argument est valable par la Loi de Contraposition.

La propriété transitive (syllogisme hypothétique)

La propriété transitive a pour prémisses une série de conditionnels, où le conséquent de l'un est l'antécédent du suivant. La conclusion est un conditionnel avec le même antécédent que la première prémisse et le même conséquent que la dernière prémisse. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow q ext{Premise :} & q ightarrow r ext{Conclusion :} & p ightarrow r end{ déployer})

L'exemple précédent sur l'achat d'une chemise au centre commercial est un exemple illustrant la propriété transitive. Il décrit une réaction en chaîne : si la première chose se produit, la deuxième se produit, et si la deuxième se produit, la troisième se produit. Par conséquent, si nous voulons ignorer la deuxième chose, nous pouvons dire que si la première chose se produit, alors nous savons que la troisième chose se produira. Nous n'avons pas à mentionner la partie concernant l'achat de jeans; nous pouvons simplement dire que le premier événement conduit à l'événement final. Nous pourrions même avoir plus de deux locaux ; tant qu'ils forment une réaction en chaîne, la propriété transitive nous donnera un argument valable.

Exemple 38

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si un joueur de football commet une faute imprudente, elle recevra un carton jaune.} ext{Premise :} & ext{If Hayley reçoit un carton jaune, elle sera suspendue pour le prochain match.} ext{Conclusion :} & ext{Si Hayley commet une faute imprudente, elle sera suspendue pour le prochain match.} end{array} )

Si nous laissons (r=) commettre une faute imprudente, (y=) recevoir un carton jaune et (s=) être suspendu, alors notre argument ressemble à ceci :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & r ightarrow y ext{Premise :} & y ightarrow s ext{Conclusion :} & r ightarrow s end{ déployer})

Cet argument a la structure exacte requise pour utiliser la propriété transitive, c'est donc un argument valide.

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Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & ext{Si la vieille dame avale une mouche, elle avalera une araignée.} ext{Premise:} & ext{Si la vieille dame avale une araignée, elle avalera un oiseau.} ext{Premise:} & ext{Si vous vous êtes brossé les dents avant de vous coucher, votre brosse à dents sera mouillée.} ext{Premise:} & text{Si vous vous êtes brossé les dents avant de vous coucher, votre brosse à dents sera mouillée.} ext{Premise:} & ext{Si la vieille dame avale un oiseau, elle avalera un chat.} ext{ Prémisse :} & ext{Si la vieille dame avale un chat, elle avalera un chien.} ext{Premise :} & ext{Si la vieille dame avale un chien, elle avalera une chèvre.} ext{Premise:} & ext{Si la vieille dame avale une chèvre, elle avalera une vache.} ext{Premise:} & ext{Si la vieille dame avale une vache, elle avalera une cheval.} ext{Premise :} & ext{Si la vieille dame avale un cheval, elle mourra, bien sûr.} ext{Conclusion :} & ext{Si la vieille dame avale une mouche , elle mourra, bien sûr.} end{arra y})

Réponse

Cet argument est valable par la propriété transitive, qui peut impliquer plus de deux prémisses, tant qu'elles continuent la réaction en chaîne. Les prémisses (f ightarrow s, s ightarrow b, b ightarrow c, c ightarrow d) (d ightarrow g, g ightarrow w, w ightarrow h, h ightarrow x) peuvent être réduit à (f ightarrow x. ) (Parce que nous avions déjà utilisé (c) et (d) nous avons décidé d'utiliser (w) pour la vache et (x) pour la mort. Si le la vieille dame avale la mouche, elle finira par manger un cheval et mourir.

Syllogisme disjonctif

Dans un syllogisme disjonctif, les prémisses consistent en un ou alors déclaration et la négation de l'une des options. La conclusion est l'autre option. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p vee q ext{Premise :} & sim p ext{Conclusion :} & q end{array})

L'ordre des deux parties de la disjonction n'a pas d'importance. En d'autres termes, nous pourrions avoir les prémisses (p vee q) et (sim q,) et la conclusion (p)

Exemple 39

(egin{array} {ll} ext{Local :} & ext{Je peux soit conduire soit prendre le train.} ext{Local :} & ext{Je refuse de conduire.} ext{Conclusion :} & ext{Je prendrai le train.} end{array})

Si nous laissons (d=I) conduire et (t=I) prendre le train, alors la représentation symbolique de l'argument est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & d vee t ext{Premise :} & sim d ext{Conclusion :} & t end{array})

Cet argument est valable parce qu'il a la forme d'un syllogisme disjonctif. J'ai deux choix, et l'un d'eux ne va pas se produire, donc l'autre doit se produire.

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Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Alison devait rédiger un article de 10 pages ou prononcer un discours de 5 minutes.} ext{Premise :} & ext {Alison n'a pas fait de discours de 5 minutes.} ext{Conclusion :} & ext{Alison a écrit un article de 10 pages.} ​​end{array})

Réponse

Soit (p=) a écrit un article et (s=) a prononcé un discours.

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p vee s ext{Premise :} & -s ext{Conclusion :} & p end{array})

Cet argument est valable par le syllogisme disjonctif. Alison devait faire l'un ou l'autre ; elle n'a pas choisi le discours, elle a donc dû choisir le papier.

Gardez à l'esprit que, lorsque vous déterminez la validité d'un argument, vous devez supposer que les prémisses sont vraies. Si vous n'êtes pas d'accord avec l'une des prémisses, vous devez garder votre opinion personnelle en dehors de celle-ci. Votre travail consiste à prétendre que les prémisses sont vraies, puis à déterminer si elles vous obligent à accepter la conclusion. Vous pouvez attaquer les prémisses dans un tribunal ou une discussion politique, bien sûr, mais ici nous nous concentrons sur la structure des arguments, pas sur la vérité de ce qu'ils disent réellement.

Nous venons d'examiner quatre formes d'arguments valides ; il y a deux formes communes qui représentent invalide arguments, également appelés illusions.

L'erreur de la Converse

L'erreur de l'inverse apparaît lorsqu'un conditionnel et son conséquent sont donnés comme prémisses, et que l'antécédent est la conclusion. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow q ext{Premise :} & q ext{Conclusion :} & p end{array})

Notez que la deuxième prémisse et la conclusion ressemblent à l'inverse de la première prémisse, (q ightarrow p), mais elles ont été détachées. L'erreur de l'inverse essaie à tort d'affirmer que l'inverse d'une déclaration est équivalente à cette déclaration.

Exemple 40

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & ext{Si je bois du café après midi, j'ai du mal à m'endormir cette nuit-là.} ext{Premise:} & ext {J'ai eu du mal à m'endormir hier soir.} ext{Conclusion :} & ext{J'ai bu du café hier après midi.} end{array})

Si nous laissons (c=mathrm{I}) boire du café après midi et (h=mathrm{I}) avoir du mal à s'endormir, alors notre argument ressemble à ceci :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & c ightarrow h ext{Premise :} & h ext{Conclusion :} & c end{array})

Cet argument utilise un raisonnement inverse, c'est donc un argument invalide. Il peut y avoir plein d’autres raisons pour lesquelles je n’arrive pas à m’endormir : je peux m’inquiéter pour l’argent, mes voisins peuvent avoir déclenché des feux d’artifice, …

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Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si vous déclenchez cette alarme incendie, vous aurez de gros problèmes.} ext{Premise :} & ext{Vous êtes entré gros problème.} ext{Conclusion :} & ext{Vous devez avoir déclenché l'alarme incendie.} end{array})

Réponse

Soit (f=) a déclenché l'alarme incendie et (t=) a eu de gros problèmes.

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & f ightarrow t ext{Premise :} & t ext{Conclusion :} & f end{array})

L'erreur de l'inverse

L'erreur de l'inverse se produit lorsqu'un conditionnel et la négation de son antécédent sont donnés comme prémisses, et la négation du conséquent est la conclusion. La forme générale est :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow q ext{Premise :} & sim p ext{Conclusion :} & sim q end{array} )

Encore une fois, notez que la deuxième prémisse et la conclusion ressemblent à l'inverse de la première prémisse, (sim p ightarrow sim q), mais elles ont été détachées. L'erreur de l'inverse essaie à tort d'affirmer que l'inverse d'un énoncé est équivalent à cet énoncé.

Exemple 41

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & ext{Si vous écoutez les Grateful Dead, alors vous êtes un hippie.} ext{Premise:} & ext{Sky ne' t écoutez les Grateful Dead.} ext{Conclusion :} & ext{Sky n'est pas un hippie.} end{array})

Si nous laissons (g=) écouter les Grateful Dead et (h=) est un hippie, alors voici l'argument :

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & g ightarrow h ext{Premise :} & sim g ext{Conclusion :} & sim h end{array} )

Cet argument est invalide car il utilise un raisonnement inverse. La première prémisse n'implique pas que tous les hippies écoutent les Grateful Dead ; il pourrait y avoir des hippies qui écoutent Phish à la place.

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Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & ext{Si un joueur de hockey fait trébucher un adversaire, il se verra infliger une pénalité de 2 minutes.} ext{Premise:} & ext {Alexei n'a pas fait trébucher un adversaire.} ext{Conclusion :} & ext{Alexei ne se verra pas infliger une pénalité de 2 minutes.} end{array})

Réponse

Soit (t=) trébuché et (p=) a une pénalité.

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & t ightarrow p ext{Premise :} & sim t ext{Conclusion :} & sim p end{array} )

Cet argument est invalide car il a la forme du Sophisme de l'Inverse. Alexei a peut-être écopé d'une pénalité pour une infraction autre qu'un trébuchement.

Bien entendu, les arguments ne se limitent pas à ces six formes de base ; certains arguments ont plus de prémisses, ou des prémisses qui doivent être réorganisées avant de pouvoir voir ce qui se passe réellement. Il existe de nombreuses autres formes d'arguments qui ne sont pas valides. Si un argument ne semble pas correspondre au modèle de l'une de ces formes courantes, vous pouvez utiliser un diagramme de Venn ou une table de vérité à la place.

Lewis Carroll, auteur de Les aventures d'Alice au Pays des Merveilles, était professeur de mathématiques et de logique et a écrit deux livres sur la logique. Il y proposait des prémisses comme un puzzle, à relier à l'aide de syllogismes. L'exemple suivant est l'un de ces casse-tête.

Exemple 42

Résoudre le puzzle. En d'autres termes, trouvez une conclusion logique à partir de ces prémisses.

Tous les bébés sont illogiques.

Personne n'est méprisé qui peut gérer un crocodile.

Les personnes illogiques sont méprisées.

Soit (b=) est un bébé, (d=) est méprisé, (i=) est illogique, et (m=) peut gérer un crocodile.

On peut alors écrire les prémisses sous la forme :

(b ightarrow i)

(m ightarrow sim d)

(i flèche droite d)

Écrire correctement la deuxième prémisse peut être un défi ; il peut être reformulé comme "Si vous pouvez gérer un crocodile, alors vous n'êtes pas méprisé."

En utilisant la propriété transitive avec les première et troisième prémisses, nous pouvons conclure que (b ightarrow d), que tous les bébés sont méprisés. En utilisant la contraposée de la seconde prémisse, (d ightarrow sim m), on peut alors utiliser la propriété transitive avec (b ightarrow d) pour conclure que (b ightarrow sim m), que les bébés ne peuvent pas gérer les crocodiles. Bien que ce soit idiot, c'est une conclusion logique à partir des prémisses données.

Exemple 43

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & ext{Si je travaille dur, j'obtiendrai une augmentation.} ext{Premise :} & ext{Si je reçois une augmentation , je vais acheter un bateau.} ext{Conclusion :} & ext{Si je n'achète pas de bateau, je n'ai pas dû travailler dur.} end{array})

Si nous laissons (h=) travailler dur, (r=) obtenir une augmentation et (b=) acheter un bateau, alors nous pouvons représenter notre argument symboliquement :

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & h ightarrow r ext{Premise:} & r ightarrow b ext{Conclusion:} & sim b ightarrow sim h end{tableau})

En utilisant la propriété transitive avec les deux prémisses, nous pouvons conclure que (h ightarrow b), si je travaille dur, alors j'achèterai un bateau. Lorsque nous avons appris la contraposée, nous avons vu que l'instruction conditionnelle (h ightarrow b) est équivalente à (sim b ightarrow sim h). Par conséquent, la conclusion est bien un syllogisme logique dérivé des prémisses.

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Cet argument est-il valable ?

(egin{array} {ll} ext{Premise:} & ext{Si je vais à la fête, je serai vraiment fatigué demain.} ext{Premise:} & ext{Si je aller à la fête, je vais voir des amis.} ext{Conclusion :} & ext{Si je ne vois pas d'amis, je ne serai pas fatigué demain.} end{array})

Réponse

Laissez (p=) aller faire la fête, (t=) être fatigué, et (f=) voir des amis.

(egin{array} {ll} ext{Premise :} & p ightarrow t ext{Premise :} & p ightarrow f ext{Conclusion :} & -f ightarrow sim t end{tableau})

On pourrait essayer de réécrire la seconde prémisse en utilisant la contraposée pour énoncer (sim f ightarrow sim p), mais cela ne nous permet pas de former un syllogisme. Si je ne vois pas d'amis, alors je ne suis pas allé à la fête, mais cela ne suffit pas pour prétendre que je ne serai pas fatigué demain. Peut-être que je suis resté éveillé toute la nuit à regarder des films.

Un diagramme de Venn peut aider, si nous le mettons en place correctement. Le cercle « fête » doit être entièrement contenu dans l'intersection des autres cercles. Nous savons que je suis quelque part en dehors du cercle des « amis », mais nous ne pouvons pas déterminer si je suis dans le cercle « fatigué ». Tout ce que nous savons avec certitude, c'est que je ne suis pas allé à la fête.


17.11 : Formes d'arguments valides - Mathématiques

L'argumentation, que ce soit en philosophie ou ailleurs, peut souvent être analysée ou "décomposée" en une série de mouvements. Alors que parfois vous rencontrerez un "coup" qui sort de l'ordinaire, une grande partie de l'argumentation se réduit à un ensemble raisonnablement petit de coups standard. Bien que ce ne soit pas le lieu pour vous fournir un répertoire exhaustif de tels mouvements, je vais en énumérer et en discuter plusieurs que vous découvrirez au fur et à mesure que vous explorerez les arguments. Chacun de ces mouvements peut être exprimé sous une forme d'argument valide. Toute instance de substitution de l'une de ces formes d'arguments sera telle que si les prémisses sont vraies, la conclusion sera également vraie. C'est-à-dire que chacun de ces mouvements préserve la vérité. Il n'y a pas de modèle global dans ma sélection de ces formes. J'en ai simplement choisi ceux qui me paraissent courants dans l'argumentation philosophique.

La première forme que je souhaite introduire s'appelle "modus ponens", mais ne vous laissez pas décourager par le latin. C'est très simple :

Si p, ensuite q.
p.
q.
 
Exemple:
 
S'il n'y a pas de Dieu, alors la vie n'a pas de sens.
Il n'y a pas de Dieu.
La vie n'a pas de sens.

Les prémisses peuvent être vraies ou non, et en tout cas au moins la première prémisse nécessite une clarification, mais l'argument est valide. C'est-à-dire que si les prémisses sont vraies, la conclusion doit également être vraie.

Aucun philosophe n'offrirait cela comme l'ensemble de ce qui doit être dit sur cette question, mais cet exemple de modus ponens pourrait fournir un résumé pratique de la position philosophique de quelqu'un sur cette question et un point de départ pour une exploration et une critique plus approfondies.

Modus tollens est une autre forme d'argument de base qui a une déclaration conditionnelle comme prémisse clé.

Si p, ensuite q.
Ce n'est pas le cas que q.
Ce n'est pas le cas que p.
 
Exemple:
 
Si un Dieu tout puissant et tout miséricordieux existe, alors il n'y a pas de mal dans le monde.
Ce n'est pas vrai qu'il n'y a pas de mal dans le monde.
Ce n'est pas le cas qu'un Dieu tout puissant et tout miséricordieux existe.

Encore une fois, la première prémisse, au moins, est vivement débattue. Mais l'argument est valable : si les prémisses sont vraies, la conclusion l'est aussi.

Syllogisme hypothétique pur :

Le syllogisme hypothétique pur est ainsi appelé parce qu'il se compose de deux prémisses et d'une conclusion (et est donc par définition un syllogisme) et, contrairement aux deux formes précédentes, ses deux prémisses (et sa conclusion) sont conditionnelles termes "hypothétiques" - dans un sens technique du terme).

Si p, alors q.
Si q, alors r.
Si p, alors r.
 
Exemple:
 
Si toutes les actions sont causalement déterminées, alors aucune action n'est gratuite.
Si aucune action n'est gratuite, alors personne n'est responsable de ce qu'il fait.
Si toutes les actions sont causalement déterminées, alors personne n'est responsable de tout ce qu'ils font.

Encore une fois, les prémisses nécessitent à la fois une clarification et une défense et ce n'est qu'un aperçu général (ou peut-être une partie) d'un argument qui pourrait être avancé. Mais cela est valable.

(Pour un autre exemple d'argument sous la forme syllogisme purement hypothétique voir "Identifier et formuler des arguments.")

La forme suivante, appelée « syllogisme disjonctif », fonctionne par élimination des possibilités. S'il n'y a que deux possibilités et que l'une est exclue, l'autre doit être réelle.

Soit p ou alors q.
Ce n'est pas le cas que p.
q.
 
Exemple:
 
Soit mon idée de Dieu est générée à partir de mon propre esprit, soit il existe quelque chose qui est autre que mon esprit.
Ce n'est pas le cas que mon idée de Dieu est générée à partir de mon propre esprit.
Il existe quelque chose qui est autre que mon esprit.

C'est un fragment du célèbre argument de Descartes dans la Troisième Méditation selon lequel il n'est pas seul dans l'univers.

Passons maintenant à des formes d'arguments légèrement plus complexes. Le premier est appelé « dilemme constructif ». Cela implique de multiples possibilités (énumérées dans la première prémisse), mais celles-ci n'ont pas besoin d'être désagréable possibilités (comme le nom « dilemme » pourrait le suggérer).

Soit p ou alors q.
Si p, ensuite r.
Si q, ensuite s.
Soit r ou alors s.
 
Exemple:
 
Soit le mal dans l'univers est contraire au dessein de Dieu, soit le mal dans l'univers est conforme au dessein de Dieu.
Si le mal dans l'univers est contraire au dessein de Dieu, alors Dieu n'est pas tout puissant. Si le mal dans l'univers est conforme au dessein de Dieu, alors Dieu n'est pas tout miséricordieux.
Soit Dieu n'est pas tout puissant, soit Dieu n'est pas tout miséricordieux.

Je pourrais souligner que dans les applications de cette forme d'argument, et d'autres formes d'argument qui dépendent d'une disjonction (une déclaration "ou") comme l'une des prémisses, un cas particulier peut se produire dans lequel la disjonction est entre "p" et " il n'est pas vrai que p." Une telle prémisse, parce qu'elle est nécessairement vraie, n'a pas besoin d'être énoncée (bien qu'elle soit parfois rendue explicite afin de rendre le schéma de l'argumentation plus clair).

« Simple dilemme » est le nom que je donne à un cas particulier de dilemme constructif lorsque « r » et « s » désignent la même proposition (représentée ici par « r. »).

Soit p ou alors q.
Si p, ensuite r.
Si q, ensuite r.
r.
 
Exemple:
 
Soit Dieu n'est pas tout puissant, soit Dieu n'est pas tout miséricordieux.
Si Dieu n'est pas tout-puissant, alors Dieu, tel que décrit par les théologiens, n'existe pas.
Si Dieu n'est pas tout miséricordieux, alors Dieu, tel que décrit par les théologiens, n'existe pas.
Dieu, tel que décrit par les théologiens, n'existe pas.

Le dilemme simple diffère du dilemme constructif en ce que ce dernier, contrairement au premier, a toujours une disjonction (un énoncé "ou", rappelez-vous) comme conclusion. Pour cet exemple, j'ai utilisé la conclusion disjonctive de l'argument précédent pour servir de prémisse à cet argument. Ceci est une illustration de la façon dont ces formes d'arguments peuvent être enchaînées pour produire un argument plus complexe. Encore une fois, tout ce qui est affirmé ici est que si toutes les prémisses sont vraies dans chaque argument, la conclusion doit également être vraie.

(Pour un autre exemple d'argument sous la forme dilemme simple voir "Identifier et formuler des arguments.")

Syllogisme catégorique Barbara :

Cette prochaine forme d'argument est probablement celle que tout le monde connaît.

Tous les As sont des B.
Tous les B sont des C.
Tous les As sont Cs.
 
Exemple:
 
Tous les êtres humains sont des choses faites de matière.
Toutes les choses faites de matière sont des choses qui finissent par se désintégrer.
Tous les êtres humains sont des choses qui finissent par se désintégrer.

Cette forme d'argumentation a été explorée en profondeur par Aristote. On l'appelle un syllogisme parce que, comme certaines de nos formes d'argumentation précédentes, il a deux prémisses et une conclusion. Cela s'appelle un catégorique syllogisme parce que chaque énoncé de l'argument est ce que la philosophie (et les logiciens traditionnels) appellent un énoncé « catégorique ». Il existe quatre types d'énoncés catégoriques, nommés avec les voyelles "A", "E", "I" et "O". Les lettres nomment les formes de déclaration suivantes :

Aristote et ses disciples ont formulé des règles pour déterminer la validité des syllogismes construits à partir de ces énoncés catégoriques. Incidemment, chaque argument valide a reçu un nom (pour le rendre plus facile à retenir). Celui-ci s'appelait "Barbara", en partie parce que les trois voyelles dans "Barbara" indiquent que le syllogisme est construit à partir de trois propositions "A".

Tout A est un B.
c est un A.
c est un B.
 
Exemple:
 
Chaque action est un événement déterminé.
Ma pensée selon laquelle chaque action est un événement déterminé est (elle-même) une action.
Ma pensée que chaque action est un événement déterminé est (elle-même) un événement déterminé.

Le nom de cette forme d'argument que j'ai inventé, mais c'est un mouvement courant et important dans les arguments. Souvent des revendications universelles sont faites, des revendications qui disent que toute chose d'une sorte particulière a telle ou telle caractéristiques. Un mouvement fréquent et souvent essentiel dans un argument est donc de faire porter ces revendications universelles sur des cas spécifiques, ce que permet cette forme d'argument.


Arguments valides et invalides

Lorsque nous donnons des arguments, les raisons ou les prémisses que nous donnons doivent étayer la conclusion. Ou en d'autres termes, nous devons savoir que la conclusion est vraie. La façon dont nous pouvons voir si la conclusion est vraie est de vérifier si l'argument est valide. Si l'argument est invalide, alors nous ne pouvons pas connaître la conclusion.

Un argument est valide lorsque si toutes les prémisses sont vraies, alors la conclusion doit également être vraie. Il ne peut y avoir aucune circonstance où toutes les prémisses sont vraies, mais la conclusion s'avère être fausse. Il convient de noter que lors du test de validité d'un argument, nous n'avons pas besoin de savoir si les prémisses sont réellement vraies (cela vient plus tard!), nous avons seulement besoin de savoir si les prémisses sont vraies, alors la conclusion doit être vraie aussi.

Considérons l'argument mentionné dans le premier article expliquant les arguments :

  • Tous les humains finiront par mourir
  • Je suis un humain
  • Donc,
  • Je finirai par mourir

Cet argument est valable. C'est valable parce qu'il n'y a aucune circonstance possible où s'il est vrai que je suis humain, et s'il est également vrai que tous les humains finiront par mourir, il y aura un cas où je ne finirai pas par mourir. Si je prétendais être quelque chose d'immortel, comme un ange, alors la prémisse "Je suis un humain" serait fausse. Si je prétendais que j'avais un gène spécial qui m'empêchait de mourir, alors la prémisse « Tous les humains finiront par mourir » serait fausse.

Il existe une autre façon de voir si un argument est valide, qui consiste à mettre l'argument sous une forme logique. La forme logique est lorsque nous supprimons le langage utilisé des choses possédant certaines propriétés sous forme standard et remplaçons par une lettre pour représenter ce que dit la propriété similaire à l'algèbre mais avec le langage. Ce serait l'argument précédent sous forme logique :

X représente la propriété d'être humain. Y représente la propriété de mourir éventuellement. Ici, on peut voir plus clairement que si toutes les choses qui sont x sont aussi y, alors si cette chose est un x, elle doit aussi être un y.

Puisque nous pouvons examiner la logique de l'argument seul pour tester la validité, un argument peut avoir des prémisses manifestement fausses, voire une fausse conclusion, tout en restant valide. Jetez un œil à cet argument :

  • Tous les vampires sont des skateboards
  • Je suis un vampire
  • Donc,
  • je suis un skate

De toute évidence, aucune des prémisses n'est vraie et la conclusion n'est pas vraie non plus. Néanmoins, l'argument est valide car il a la même forme logique que l'argument précédent.

Maintenant que nous savons comment savoir si un argument est valide, nous pouvons également voir comment il peut être invalide, c'est-à-dire en montrant comment même si toutes les prémisses sont vraies, la conclusion pourrait être fausse. Considérez le premier argument dit légèrement différemment :

  • Tous les humains finiront par mourir
  • je finirai par mourir
  • Donc,
  • Je suis un humain

Les deux prémisses sont vraies et la conclusion est vraie, mais l'argument est en fait invalide. C'est parce qu'il y a des choses autres que les humains qui finiront par mourir, comme les animaux et les plantes. Et c'est ainsi que vous pouvez démontrer l'invalidité d'un argument, ce qu'on appelle un contre-exemple. La forme logique peut également aider, qui serait :

Comme on peut le voir, tout ce que nous pouvons en dire, c'est que toutes les choses qui sont x sont aussi y, pas que toutes les choses y sont x. Donc, cela ne rend pas la conclusion x nécessairement vraie. Testez-vous sur les arguments ci-dessous pour voir s'ils sont valides ou invalides :

1 : Tous les motards sont des criminels. Ce type est un criminel. Donc, il doit être un motard.

2: Le chien de l'autre côté de la rue est méchant. Ainsi, certains chiens sont vicieux. (En philosophie ‘quelques’ signifie ‘au moins un’)

3: Je ne peux pas trouver mon téléphone. Par conséquent, il doit avoir été volé!

4: Seuls les chats peuvent faire du vélo. Les humains ne sont pas des chats. Par conséquent, les humains ne peuvent pas faire du vélo.

Si vous souhaitez poser des questions, demander des éclaircissements, soulever des objections ou vérifier comment vous avez répondu aux questions du test, veuillez les écrire dans la section commentaires et j'essaierai de répondre dès que possible.

Je recommande fortement d'acheter le livre "Comprendre les arguments" de Walter Sinnott-Armstrong et Robert Fogelin, qui est disponible à l'achat dans le lien ci-dessous. Si vous achetez le livre via ce lien, vous aidez à soutenir cette page Web. Merci.


Si . . . ensuite? Une introduction à la logique.

Si nous laissons p être 'Il pleut dans le sud-est', laissez q être « une augmentation des pluies aide généralement les cultures à produire un rendement plus élevé » et r be 'les récoltes en Californie produiront plus' alors l'argument résultant n'est pas valide (vérifiez pour vous assurer que vous voyez un moyen possible d'avoir toutes les vraies prémisses et une fausse conclusion).

D'autre part, si l'on laisse p être « Si les voyageurs arrivent toujours à destination excités mais fatigués, le fuseau horaire central a une heure de retard sur le fuseau horaire de l'Est », q être « les voyageurs arrivent toujours à destination excités mais fatigués » et r être « le fuseau horaire central a une heure de retard sur le fuseau horaire de l'Est », alors nous avons exactement le même argument que celui donné dans Exemple 3.0.1, et est donc un argument valide. Cet exemple nous dit que certaines formes d'arguments peuvent entraîner des arguments qui ne sont pas valides ou des arguments qui sont valides selon les propositions utilisé pour remplacer les lettres utilisées dans la forme d'argument. Ce résultat est impossible pour les formes d'arguments valides. Formes d'arguments valides toujours produire des arguments valides indépendamment des propositions choisies pour remplacer les lettres variables utilisées dans la forme argumentative.

Cela conduit à la définition suivante.

Définition: Laisser p, q, r, etc. représentent des propositions. Une forme d'argument invalide est un argument donné en termes de p, q, r, de sorte que l'argument résultant peut être invalide ou peut être valide en fonction des propositions utilisées pour remplacer les variables p, q, r, etc.

Notez que la définition d'une forme d'argument invalide n'est que la négation de la définition de la "forme d'argument valide". La surprise se produit lorsque nous nions la phrase, "… l'argument résultant est toujours valable pour tout choix de propositions pour p, q, r etc." où la négation de "toujours" est "au moins un n'est pas", ce qui, avec l'observation ci-dessus, conduit à la définition donnée.

Il existe de nombreuses formes d'arguments invalides. Cependant, certains formulaires invalides sont très similaires aux formulaires valides et une telle similitude a historiquement induit en erreur certains à penser que le formulaire résultant était réellement valide. Ces formes sont traditionnellement appelées sophismes déductifs formels, mais pour ce texte, nous utiliserons le terme plus descriptif « forme d'argument pseudo-valide » pour souligner leur similitude avec les formes d'argument valides.

Ici, nous donnons une petite liste de formes d'arguments pseudo-valides, en les comparant aux formes d'arguments valides données à gauche.


Arguments déductifs et inductifs

Lors de l'évaluation de la qualité d'un argument, nous demandons dans quelle mesure ses prémisses soutiennent sa conclusion. Plus précisément, nous demandons si l'argument est soit déductivement valide ou alors inductivement fort.

UNE argumentation déductive est un argument qui est destiné par l'argumentateur à être valide par déduction, c'est-à-dire à fournir une garantie de la véracité de la conclusion à condition que les prémisses de l'argument soient vraies. This point can be expressed also by saying that, in a deductive argument, the premises are intended to provide such strong support for the conclusion that, if the premises are true, then it would be impossible for the conclusion to be false. An argument in which the premises do succeed in guaranteeing the conclusion is called a (deductively) valid argument. If a valid argument has true premises, then the argument is said also to be sound. All arguments are either valid or invalid, and either sound or unsound there is no middle ground, such as being somewhat valid.

Here is a valid deductive argument:

It’s sunny in Singapore. If it’s sunny in Singapore, then he won’t be carrying an umbrella. So, he won’t be carrying an umbrella.

The conclusion follows the word “So”. The two premises of this argument would, if true, guarantee the truth of the conclusion. However, we have been given no information that would enable us to decide whether the two premises are both true, so we cannot assess whether the argument is deductively sound. It is one or the other, but we do not know which. If it turns out that the argument has a false premise and so is unsound, this won’t change the fact that it is valid.

Here is a mildly strong inductive argument:

Every time I’ve walked by that dog, it hasn’t tried to bite me. So, the next time I walk by that dog it won’t try to bite me.

Une inductive argument is an argument that is intended by the arguer to be strong enough that, if the premises were to be true, then it would be unlikely that the conclusion is false. So, an inductive argument’s success or strength is a matter of degree, unlike with deductive arguments. There is no standard term for a successful inductive argument, but this article uses the term “strong.” Inductive arguments that are not strong are said to be weak there is no sharp line between strong and weak. The argument about the dog biting me would be stronger if we couldn’t think of any relevant conditions for why the next time will be different than previous times. The argument also will be stronger the more times there were when I did walk by the dog. The argument will be weaker the fewer times I have walked by the dog. It will be weaker if relevant conditions about the past time will be different next time, such as that in the past the dog has been behind a closed gate, but next time the gate will be open.

An inductive argument can be affected by acquiring new premises (evidence), but a deductive argument cannot be. For example, this is a reasonably strong inductive argument:

Today, John said he likes Romona.
So, John likes Romona today.

but its strength is changed radically when we add this premise:

John told Felipé today that he didn’t really like Romona.

The distinction between deductive and inductive argumentation was first noticed by the Aristotle (384-322 B.C.E.) in ancient Greece. The difference between deductive and inductive arguments does not lie in the words used within the arguments, but rather in the intentions of the arguer. It comes from the relationship the arguer takes there to be between the premises and the conclusion. If the arguer believes that the truth of the premises definitely establishes the truth of the conclusion, then the argument is deductive. If the arguer believes that the truth of the premises provides only good reasons to believe the conclusion is probably true, then the argument is inductive. If we who are assessing the quality of the argument have no information about the intentions of the arguer, then we check for both. That is, we assess the argument to see whether it is deductively valid and whether it is inductively strong.

The concept of deductive validity can be given alternative definitions to help you grasp the concept. Below are five different definitions of the same concept. It is common to drop the word deductive from the term deductively valid:

  1. An argument is valid if the premises can’t all be true without the conclusion also being true.
  2. An argument is valid if the truth of all its premises forces the conclusion to be true.
  3. An argument is valid if it would be inconsistent for all its premises to be true and its conclusion to be false.
  4. An argument is valid if its conclusion follows with certainty from its premises.
  5. An argument is valid if it has no counterexample, that is, a possible situation that makes all the premises true and the conclusion false.

Some analysts prefer to distinguish inductive arguments from “conductive” arguments the latter are arguments giving explicit reasons for and against a conclusion, and requiring the evaluator of the argument to weigh these competing considerations, that is, to consider the pros and cons. This article considers conductive arguments to be a kind of inductive argument.

The noun “deduction” refers to the process of advancing or establishing a deductive argument, or going through a process of reasoning that can be reconstructed as a deductive argument. “Induction” refers to the process of advancing an inductive argument, or making use of reasoning that can be reconstructed as an inductive argument.

Although inductive strength is a matter of degree, deductive validity and deductive soundness are not. In this sense, deductive reasoning is much more cut and dried than inductive reasoning. Nevertheless, inductive strength is not a matter of personal preference it is a matter of whether the premise ought to promote a higher degree of belief in the conclusion.

Because deductive arguments are those in which the truth of the conclusion is thought to be completely guaranteed and not just made probable by the truth of the premises, if the argument is a sound one, then we say the conclusion is “contained within” the premises that is, the conclusion does not go beyond what the premises implicitly require. Think of sound deductive arguments as squeezing the conclusion out of the premises within which it is hidden. For this reason, deductive arguments usually turn crucially upon definitions and rules of mathematics and formal logic.

Consider how the rules of formal logic apply to this deductive argument:

John is ill. If John is ill, then he won’t be able to attend our meeting today. Therefore, John won’t be able to attend our meeting today.

That argument is valid due to its formal or logical structure. To see why, notice that if the word ‘ill’ were replaced with ‘happy’, the argument would still be valid because it would retain its special logical structure (called modus ponens by logicians). Here is the form of any argument having the structure of modus ponens:

The capital letters should be thought of as variables that can be replaced with declarative sentences, or statements, or propositions, namely items that are true or false. The investigation of logical forms that involve whole sentences and not their subjects and verbs and other parts is called Propositional Logic.

The question of whether all, or merely most, valid deductive arguments are valid because of their logical structure is still controversial in the field of the philosophy of logic, but that question will not be explored further in this article.

Inductive arguments can take very wide-ranging forms. Some have the form of making a claim about a population or set based only on information from a sample of that population, a subset. Other inductive arguments draw conclusions by appeal to evidence, or authority, or causal relationships. There are other forms.

Here is a somewhat strong inductive argument having the form of an argument based on authority:

The police said John committed the murder. So, John committed the murder.

Here is an inductive argument based on evidence:

The witness said John committed the murder. So, John committed the murder.

Here is a stronger inductive argument based on better evidence:

Two independent witnesses claimed John committed the murder. John’s fingerprints are on the murder weapon. John confessed to the crime. So, John committed the murder.

This last argument, if its premises are known to be true, is no doubt good enough for a jury to convict John, but none of these three arguments about John committing the murder is strong enough to be called “valid,” at least not in the technical sense of deductively valid. However, some lawyers will tell their juries that these are valid arguments, so we critical thinkers need to be on the alert as to how people around us are using the term “valid.” You have to be alert to what they mean rather than what they say. From the barest clues, the English detective Sherlock Holmes cleverly “deduced” who murdered whom, but actually he made only an educated guess. Strictly speaking, he produced an inductive argument and not a deductive one. Charles Darwin, who discovered the process of evolution, is famous for his “deduction” that circular atolls in the oceans are actually coral growths on the top of barely submerged volcanoes, but he really performed an induction, not a deduction.

It is worth noting that some dictionaries and texts define “deduction” as reasoning from the general to specific and define “induction” as reasoning from the specific to the general. However, there are many inductive arguments that do not have that form, for example, “I saw her kiss him, vraiment kiss him, so I’m sure she’s having an affair.”

The mathematical proof technique called “mathematical induction” is deductive and not inductive. Proofs that make use of mathematical induction typically take the following form:

Property P is true of the natural number 0.
For all natural numbers m, if P holds of m then P also holds of m + 1.
Therefore, P is true of tous natural numbers.

When such a proof is given by a mathematician, and when all the premises are true, then the conclusion follows necessarily. Therefore, such an inductive argument is deductive. It is deductively sound, too.

Because the difference between inductive and deductive arguments involves the strength of evidence which the author believes the premises provide for the conclusion, inductive and deductive arguments differ with regard to the standards of evaluation that are applicable to them. The difference does not have to do with the content or subject matter of the argument, nor with the presence or absence of any particular word. Indeed, the same utterance may be used to present either a deductive or an inductive argument, depending on what the person advancing it believes. Consider as an example:

Dom Perignon is a champagne, so it must be made in France.

It might be clear from context that the speaker believes that having been made in the Champagne area of France is part of the defining feature of “champagne” and so the conclusion follows from the premise by definition. If it is the intention of the speaker that the evidence is of this sort, then the argument is deductive. However, it may be that no such thought is in the speaker’s mind. He or she may merely believe that nearly all champagne is made in France, and may be reasoning probabilistically. If this is his or her intention, then the argument is inductive.

As noted, the distinction between deductive and inductive has to do with the strength of the justification that the arguer intends that the premises provide for the conclusion. Another complication in our discussion of deduction and induction is that the arguer might intend the premises to justify the conclusion when in fact the premises provide no justification at all. Here is an example:

All odd numbers are integers.
All even numbers are integers.
Therefore, all odd numbers are even numbers.

This argument is invalid because the premises provide no support whatsoever for the conclusion. However, if this argument were ever seriously advanced, we must assume that the author would believe that the truth of the premises guarantees the truth of the conclusion. Therefore, this argument is still deductive. It is not inductive.

Given the way the terms “deductive argument” and “inductive argument” are defined here, an argument is always one or the other and never both, but in deciding which one of the two it is, it is common to ask whether it meets both the deductive standards and inductive standards. Given a set of premises and their intended conclusion, we analysts will ask whether it is deductively valid, and, if so, whether it is also deductively sound. If it is not deductively valid, then we may go on to assess whether it is inductively strong.

We are very likely to use the information that the argument is not deductively valid to ask ourselves what premises, if they were to be assumed, would make the argument be valid. Then we might ask whether these premises were implicit and intended originally. Similarly, we might ask what premises are needed to improve the strength of an inductive argument, and we might ask whether these premises were intended all along. If so, then we change our mind about what argument existed was back in the original passage. So, the application of deductive and inductive standards is used in the process of extracting the argument from the passage within which it is embedded. The process goes like this: Extract the argument from the passage assess it with deductive and inductive standards perhaps revise the decision about which argument existed in the original passage then reassess this new argument using our deductive and inductive standards.

Implicit premises and implicit features of explicit premises can play important roles in argument evaluation. Suppose we want to know whether Julius Caesar did conquer Rome. In response, some historian might point out that it could be concluded with certainty from these two pieces of information:

The general of the Roman Legions of Gaul crossed the Rubicon River and conquered Rome.

Caesar was the general of the Roman Legions in Gaul at that time.

That would produce a valid argument. But now notice that, if “at that time” were missing from the second piece of information, then the argument would not be valid. Here is why. Maybe Caesar was the general at one time, but Tiberius was the general at the time of the river crossing and Rome conquering. If the phrase “at that time” were missing, you the analyst have to worry about how likely it is that the phrase was intended. So, you are faced with two arguments, one valid and one invalid, and you don’t know which is the intended argument.

Author Information

IEP Staff
The IEP is actively seeking an author who will write a more elaborate replacement article.


17.11: Forms of Valid Arguments - Mathematics

In logic, an argument is valid if and only if it takes a form that makes it impossible for the premises to be true and the conclusion nevertheless to be false. It is not required for a valid argument to have premises that are actually true, but to have premises that, if they were true, would guarantee the truth of the argument’s conclusion. A formula is valid if and only if it is true under every interpretation, and an argument form (or schema) is valid if and only if every argument of that logical form is valid.

The concept of interpretation, which is central to this explanation, can be intuitively understood as a generalization of the variable assignment in propositional logicunderstand: Only by the assignment of the proposition variables of a propositional formula can the formula as a whole attribute a truth value. In more complex logics also assignments must be made to the formal components of a formula, which determine the truth value of the overall formula. In predicate logic, for example, the definition of a universe and an assignment of predicate symbols to predicates (on this universe) and of function symbols to functions (on this universe) takes place. Only by referring to a set of objects in a considered world can it be ascertained whether a formula can be fulfilled and whether it may always be fulfilled, that is, universally valid.

The following table lists some closely related terms and synonyms. The columns and are in an equivalence relationship, e.g. B. is just then universally valid, if is unsatisfiable.

Synonyms condition
universal tautological (in propositional logic) All interpretations meet the formula. unattainable
satisfiable consistent, consistent There is an interpretation that satisfies the formula. falsifiable
falsifiable refutable There is an interpretation that disproves the formula. satisfiable
unattainable inconsistent, contradictory No interpretation fulfills the formula. universal

Arguments
An argument is valid if and only if the truth of its premises entails the truth of its conclusion and each step, sub-argument, or logical operation in the argument is valid. Under such conditions it would be self-contradictory to affirm the premises and deny the conclusion. The corresponding conditional of a valid argument is a logical truth and the negation of its corresponding conditional is a contradiction. The conclusion is a logical consequence of its premises.

An argument that is not valid is said to be “invalid”.

An example of a valid argument is given by the following well-known syllogism:

All men are mortal.
Socrates is a man.
Therefore, Socrates is mortal.

What makes this a valid argument is not that it has true premises and a true conclusion, but the logical necessity of the conclusion, given the two premises. The argument would be just as valid were the premises and conclusion false. The following argument is of the same logical form but with false premises and a false conclusion, and it is equally valid:

All cups are green.
Socrates is a cup.
Therefore, Socrates is green.

No matter how the universe might be constructed, it could never be the case[why?] that these arguments should turn out to have simultaneously true premises but a false conclusion. The above arguments may be contrasted with the following invalid one:

All men are immortal.
Socrates is a man.
Therefore, Socrates is mortal.

In this case, the conclusion contradicts the deductive logic of the preceding premises, rather than deriving from it. Therefore, the argument is logically ‘invalid’, even though the conclusion could be considered ‘true’ in general terms. The premise ‘All men are immortal’ would likewise be deemed false outside of the framework of classical logic. However, within that system ‘true’ and ‘false’ essentially function more like mathematical states such as binary 1s and 0s than the philosophical concepts normally associated with those terms.

A standard view is that whether an argument is valid is a matter of the argument’s logical form. Many techniques are employed by logicians to represent an argument’s logical form. A simple example, applied to two of the above illustrations, is the following: Let the letters ‘P’, ‘Q’, and ‘S’ stand, respectively, for the set of men, the set of mortals, and Socrates. Using these symbols, the first argument may be abbreviated as:

All P are Q.
S is a P.
Therefore, S is a Q.

Similarly, the second argument becomes:

All P are not Q.
S is a P.
Therefore, S is a Q.
An argument is termed formally valid if it has structural self-consistency, i.e. if when the operands between premises are all true, the derived conclusion is always also true. In the third example, the initial premises cannot logically result in the conclusion and is therefore categorized as an invalid argument.

Valid formula
A formula of a formal language is a valid formula if and only if it is true under every possible interpretation of the language. In propositional logic, they are tautologies.

These arguments are valid because they both have the form of a disjunctive syllogism, which is a valid argument scheme:

p o q
No p
Therefore, q
To determine the validity of a specific argument, then, it is enough to determine the validity of its argument scheme, and this can be achieved by semantic means or by syntactic means.

Semantic method
In the semantic method, an argument scheme is said to be valid when it is impossible for the premises to be true and the conclusion false. To determine if this is the case, the truth of the premises is assumed, and by applying the definitions of truth, one tries to deduce the truth from the conclusion. Or also, the premises are supposed to be true and the conclusion false, and by applying the definitions of truth, an attempt is made to deduce a contradiction (reduction to the absurd).

In propositional logic, an alternative method is to transform an argument into its corresponding formula, and build a truth table. If the formula turns out to be a logical truth, then the argument is valid. This is because the deduction theorem and its converse are valid, but also because the propositional logic is decidable, and therefore always admits of an algorithmic procedure to determine whether any formula is a logical truth or not.

Syntactic Method
In the syntactic method, an argument scheme is said to be valid when there is a deduction of the conclusion from the premises of the argument and the axioms of the system, using only the allowed inference rules.

In a natural deduction system, it is like the set of axioms is empty, an argument scheme will be valid when there is a deduction of the conclusion from the premises, using only the allowed rules of length.

Statements
A statement can be called valid, i.e. logical truth, if it is true in all interpretations.

Soundness
Validity of deduction is not affected by the truth of the premise or the truth of the conclusion. The following deduction is perfectly valid:

All animals live on Mars.
All humans are animals.
Therefore, all humans live on Mars.

The problem with the argument is that it is not sound. In order for a deductive argument to be sound, the deduction must be valid and all the premises true.

Satisfiability
Model theory analyzes formulae with respect to particular classes of interpretation in suitable mathematical structures. On this reading, formula is valid if all such interpretations make it true. An inference is valid if all interpretations that validate the premises validate the conclusion. This is known as semantic validity.

Preservation
In truth-preserving validity, the interpretation under which all variables are assigned a truth value of ‘true’ produces a truth value of ‘true’.

In a false-preserving validity, the interpretation under which all variables are assigned a truth value of ‘false’ produces a truth value of ‘false’.


An Example [ edit ]

Consider the following argument:

P1: If it is raining, the road will be wet.
P2: It is raining.
C: Therefore, the road is wet.

In symbolic logic this can be expressed in the following way:

P1: If X, then Y
P2: X
C: Therefore, Y

Where 'X' is "it is raining" and 'Y' is "the road is wet", with the first two statements being the premises and the final statement the conclusion.

Logical Validity considers only the structure of the argument, not whether the argument is actually true. In the above argument, it is valid, because the structure of the argument is true. Another argument which has the same structure is the following:

P1: If there is creation there must be a creator.
P2: There is creation.
C: Therefore, there is a creator.

The above argument is logically valid, again, meaning that the argument is true based only on its structure. However, the argument is not sound, meaning that its premise ("If there is creation there must be a creator," and if you're a solipsist you can argue with "There is creation.") is not true, or is debatable.

Inversely, dismissing any otherwise-truthful proposition as false simply based on the invalidity of how it is argued is committing the fallacy fallacy. This is because there are cases where true conclusions can come out from false premises.

If an argument is valid it can be the following: False premises with true conclusion, false premises with false conclusion, and true.


17.11: Forms of Valid Arguments - Mathematics

shows the validity of the argument form. disjunctive addition: p , p q . conjunctive addition: p , q , p q . conjunctive simplification: p q , p disjunctive syllogism: p q, q , p hypothetical syllogism: p q , q r , p r division into cases: p q , p r , q r, r rule of contradiction: p contradiction, p The validity of the above argument forms can all be easily verified via truth tables. In fact the case of ''division into cases'' has been proven in example 2. These rules may not mathematically look very familiar. But it is most likely that everyone has used them all, individually or jointly, at some stage subconsciously.

    Show that the following argument form
    p q , q r , p s t , r , q u s , t(*)
    is valid by breaking it into a list of known elementary valid argument forms or rules.

Solution In the following we shall give the ''reverse route'' for the proof of the above argument form. Basically we shall start with the conclusion t (marked by below), then go downwards towards other ''required'' intermediate propositions by making use of the known premises. The final proof of the argument form will be essentially in the reverse order of the ''reverse route''. The main idea is to try to lead from the conclusion to eventually reach only the premises.

From the above diagram we see that we could derive the conclusion t in the order of

Solution The ''dumbest'' way is to try to determine for each proposition (symbol) if it is true or not. This way one could be wasting a lot of time unnecessarily but this often ensures one gets closer and closer to the solution of the problem.

In the argument form in examples 5-6, we have 6 basic propositions p , q , r , s , t and u . We will now proceed to determine (in the order dictated by the actual circumstances) whether each of these 6 propositions is true or not. (i) r is given as a premise, so the truth value of proposition r is already determined ( r is false). (ii) q r, r, q , so the truth value of q is determined ( q is false). (iii) p q, q, p , so the truth value of p is determined ( p is true). (iv) q, q u s, u s . (v) u s, u , so u is determined ( u is true). (vi) u s, s , so s is determined ( s is true). (vii) p, s, p s . (viii) p s, p s t, t , so the truth value of t is determined ( t is true).

We have by now established the truth value of all the concerned basic propositions p,q,r,s,t,u . We can now proceed to determine if the conclusion t of the original argument form is true or not. In this case, it is obvious because we have already shown t is true. So the argument form (*) in example 5 is valid. Notice that step (v) is completely unnecessary. But we probably wouldn't know it at that time.

Solution Let (1)--(4) to be given later on be 4 statements. The 1st two, (1) and (2) below, are true due to the detective's work. (1): Only one of the statements S A , S B , S C , S D . is true (2): One of A, B, C and D killed E .

From the (content of the) statements S A and S C we know (3): S A S D is true because if S A is true, then B killed E which implies C didn't kill E due to (2), implying S D is also true.

and from (1) (4): S A S B S C S D is true.

We note all the statements on the sequence apart from the first two (a) and (b) are obtained from their previous statements or form the valid argument forms. However the first 2 statements (a) and (b) are both true hence the conclusion in (f) is also true. A statement sequence of this type is sometimes called a proof sequence with the last entry called a theorem . The whole sequence is called the proof of the theorem.

Alternatively sequence (a)--(f) can also be regarded as a valid argument form in which a special feature is that the truth of the first 2 statements will ensure that all the premises there are true.

From (3) and (4) and (a)--(f) we conclude S A S A is true. Hence S A must be false from the rule of contradiction (if S A were true then S A would be true, implying S A is false: contradiction).


Syllogism: Definition, Meaning, Questions, Tricks, Rules and More

A syllogism is an inference drawn in which one proposition (the conclusion) follows of necessity from two others (known as premises). It is important to assume the statements given to be true and then move forward with the questions.

Syllogism: Meaning and sample questions

Syllogisms consist of three things: major & minor (the premises) and a conclusion, which follows logically from the major and the minor and is derived from the given statements.

  • A major is a general principle.
  • A minor is a specific statement.
  • Logically, the conclusion follows from applying the major to the minor.

Exemple 1

If all humans (B’s) are smart (A), major

And all Indians (c’s) are humans (B’s), (minor)

Then all Indians (c’s) are smart (A) conclusion

Exemple 2

Men lie (general principle)

Ram is a man (specific statement)

Ram will lie (Application of major to minor)

Syllogism: Parts of the definition and meaning

Major premise: The first premise in the syllogism

Minor Premise: The second premise in the syllogism

Major term: The category mentioned in both the minor premise and the conclusion. The second term is the conclusion

Minor term: the category mentioned in both premises but not the conclusion. It is what links major term and minor term together in the syllogism.

Figure: the figure of a categorical syllogism is the position of its major, minor and middle terms. There are four figures. The major and minor terms have standard positions in the conclusion which are the same for all figures.

Each figure is distinguished by the placement of the middle term.

Position of the middle term

FigureMajor PremiseMinor Premise
FirstSubjectPredicate
SecondPredicatePredicate
ThirdSubjectSubject
FourthPredicateSubject

Fallacy: A mistake in reasoning which makes an argument invalid.

Syllogism: Classification into four figures

some animals are not mammals

some animals are not whales

No snake lives in Himalaya.

Some reptiles don not live in Himalaya

Some bows are wood objects

All wood objects are organic

What changes here is the position of M, the middle term

Syllogisms: Rules to construct syllogism in four figures

  1. There are only three terms in a syllogism (by definition)
  2. The middle term is not in the conclusion (by definition)
  3. The quantity of a term cannot be greater in the conclusion. Nothing can be added in order to derive a logical conclusion.
  4. The middle term must be universally quantified in at least one premise-you cannot deduct anything from particular observations
  5. At least one premise must be affirmative.
  6. If one premise is negative, the conclusion is negative
  7. If both premises are affirmative, the conclusion is affirmative
  8. At least one premise must be universal
  9. If one premise is particular, the conclusion is particular

Syllogism: Logical fallacies that occur include

Fallacy of four terms

Fallacy means a mistake in the reasoning which makes the argument invalid. The fallacy of four terms is a logical fallacy that occurs when a three-part syllogism has four terms as we have established that the syllogism will only have three things.

Valid syllogisms always take the form: Major premise (connects the minor premise and the conclusion)

For example

Minor Premise That thing is a fish

Conclusion: that thing has gills

The three terms are: that thing, fish and gills

Using four terms invalidates the syllogism

For example-

Major Premise: All fish have gills

Minor Premise: a toad is a fish

Conclusion: Mogambo has gills

In the above example, it should be clear that there are four terms and therefore the major premise does not actually connect the minor premise and the conclusion. When premises are not connected to the conclusion it is called a d non sequitur

Such examples may seem ridiculous but the nature of human language makes it possible to hide premises and the exact number of terms may not always be clear in casual writing and speech.

Equivocation is a common sub fallacy where two terms use the same word or phrase but with different definitions giving a false appearance of a valid syllogism:

For example –

Major premise: nothing is better than chicken wings

Minor Premise: A potato is better than nothing

Conclusion A potato is better than chicken wings

Fallacy Occurring in categorical syllogism: These type of propositions can be categorized on the basis of the following things – their quality, their quantity and their distributive qualities.

The Qualities referred here are of two types- the affirmative and the negative. They refer to whether the proposition affirms or denies the inclusion of a subject to the class of the predicate.

Whereas a quantity refers to the number of subjects in one class which are included in the other class. The first quantifier is universal all. This means every subject of one class has membership in the predicated class.

The other quantifier is called particular. It is an indefinite number which could mean two, twenty-two or perhaps, all, but always at least one. From quality and quantity there are four types of categorical propositions designed:

Al four types have different distribution properties. Distribution refers to what can be inferred from the proposition.

All cows are mammals. All cows are indeed mammals but it would be false to say that all mammals are cows. Here we have to understand that although all x is said to be y but it’s nowhere mentioned that the entire y is x too.

The second proposition does distribute in a bidirectional way between the subjects and predicate. From categorical proposition: no deer are mammals, we can infer that no mammals are deer. Both terms in I proposition are undisturbed.

For example, some Indians are conservatives. Neither term in this proposition can be entirely distributed to the other term. Form this proposition it is not possible to say that all Indians are conservatives or that all conservatives are Indians in this third proposition only the predicate term is distributed.

Now that we can differentiate between the various types of categorical propositions, we can easily identify the mood of the syllogism. To do so, simply identify the types of propositions in the first premise, the second premise and the conclusion then state them in that order. In the categorical syllogism

This type of propositions is a universal affirmative. Next to be discussed is the figure of a categorical syllogism. However, in order to comprehend the figure, one must be able to identify the three different types of terms: major term, minor term and the middle term.

The term occurring as the predicate of the conclusion is the major term the minor term is the term that occurs as the subject of the conclusion C is the minor term. Finally, by process of elimination, it can be deduced that the middle term is the term which does not occur in the conclusion but instead once in each premise.

Accordingly, A is the middle term, the figure of a categorical syllogism can be known by identifying the four possible arrangements of the middle term. The figures are represented numerically 1-4:

  1. The middle term occupies the subject of the first premise and three predicates of the second premise
  2. The middle term occupies the predicate of both the first and second premise
  3. The middle term occupies the subject of both the first and second premise
  4. The middle term occupies the predicate of the first premise and the subject of the second premise

Validity

A valid syllogism is one where the conclusion logically follows from its premises. To emphasise the difference between a valid argument and a sound argument, all premises and conclusions are randomly generated, such that many will be false.

The validity of an argument does not depend upon whether its premises or conclusions are true. It merely depends on the formal relations between the premises and conclusion. A valid syllogism can have false premises or false conclusions.

An argument is sound when it valid and has true premises. Validity is only part of what it takes to make an argument sound. Very few of the randomly generated syllogisms will be sound but a fair number will be valid.

Syllogism: Six Rules to test Validity

The last method is to memorise six rules using the information presented thus far.

  1. Categorical syllogisms must contain exactly three terms, no more no less (avoid Fallacy of four terms), beware of synonyms and antonyms because they can create the illusion of invalidity, but can sometimes be rectified by substituting the interchangeable terms for one choice
  2. If either premise is negative then the conclusion must be negative (Affirmative conclusion from a negative premise)
  3. Both promises cannot be negative
  4. Any term distributed in the conclusion must be distributed in either premise
  5. The middle term must be distributed once and only once.
  6. You cannot draw a particular conclusion with two universal premises.

List of possible syllogisms

The rules are so specific that only 256 infinite number of possible arguments structures qualify as a categorical syllogism. Not all categorical syllogisms are good arguments though only 16 of 256 forms are valid. Invalid arguments we recall true premises guarantee a true conclusion.


Reasoning - Statement and Arguments

Statement and arguments are those types of problems where your decision making power and analytical power are being exercised. A given statement will have two possible arguments. The reader needs to decide which argument is much stronger enough to support the main statement. There may be a case where neither or both the statements may be strong. Sometimes even anyone of the argument can be strong. Let’s take an example to understand it in a much better way.

Statement &minus Does so many plans are required for the development of India?

I. Yes, proper planning is required to achieve everything.

II. No, much time and money will be wasted over here.

UNE - Only argument I is strong.

B - Only argument II is strong.

C - Either I or II is strong.

D - Neither I nor II is strong.

E - Both I and II are strong.

Explication &minus Nothing can be achieved through proper planning. It is wise to spend much time and money on planning rather to repent after implementing some plan. So argument I is strong but argument II is not strong enough.

There are generally two types of arguments.

Strong Argument

These are the types of arguments that strongly support the given statement and give some logical base.

Statement &minus Should only articles of well-established authors be published?

I. Yes, paper will be saved through this.

II. No, new authors will not get any chance.

Explication &minus Here if we will make comparison between two arguments, we can see that argument II is much stronger because it states the need of chance that new authors to prove themselves.

Weak Arguments

These arguments are either illogical or do not have any strong point to support the given statement. Let’s take an example to understand it in a much better way.

Statement &minus Should prestigious people who commit a crime by mistake should be treated differently?

I. Yes, because they did the crime unintentionally.

II. Non, tout le monde est égal devant la loi.

Explication &moins Clairement, si nous essayons de trouver l'énoncé faible parmi ces deux, nous choisirons le 1er argument. Parce que nous savons que le crime est le crime et que tout le monde doit être traité selon ses actes, quelle que soit sa tenue vestimentaire.


Voir la vidéo: Logical Arguments - Modus Ponens u0026 Modus Tollens (Octobre 2021).