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Défi Réponse 35


Le prix du cadeau

Solution envoyée par le visiteur Renato Santos:

Que le prix du cadeau soit exprimé sous la forme d'un nombre à quatre chiffres, en négligeant les cents, comme abcd (c.-à-d. $ Abcd, 00), où le est 1 ou 0 (pour $ abcd, 00 pour être inférieur ou égal à 1 200 $) et b, c et d, bien sûr, sont compris entre 0 et 9. Lisez le contraire, le prix du cadeau serait dcba, qui devrait être valeur de neuf cadeaux.

Pour assimiler ces informations, nous devons prendre en compte la notation décimale positionnelle, c'est-à-dire que abcd signifie mille, b centaines, c dizaines et d unités, ou 1000a + 100b + 10c + d. De même, dcba signifie 1000d + 100c + 10b + a. Cela ressemble à ceci:

1000d + 100c + 10b + a = 9 (1000a + 100b + 10c + d)
ou
1000d + 100c + 10b + a = 9000a + 900b + 90c + 9d

Résolution:
(1000-9) d + (100-90) c + (10-900) b + (1-9000) a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0

Notez que 991 et 10 n'ont aucun facteur en commun, et donc dans ce cas nous ne pouvons pas réduire les coefficients de l'équation. Nous avons ici une seule équation avec quatre inconnues. Une stratégie consisterait à remplacer les valeurs provisoires par a, b, c et d.

On peut cependant, comme Diophantus, utiliser désormais l'algorithme de fraction continue:

Nous avons laissé isoler le terme avec le coefficient le plus bas:

10c = 8999a + 890b - 991d

Nous divisons toute l'équation par le coefficient:

c = (8999/10) a + (890/10) b - (991/10) d

Séparer les parties entières des fractions,

c = 899a + (9/10) a + 89b - 99d - (1/10) d
ou
c = 899a + 89b - 99d + (1/10) (9a - d)

Puisque a, b et c doivent être des entiers, (1/10) (9a-d) doit également l'être. Bien entendu, cela ne se produira que si (9a-d) est un multiple de 10.

Cependant, comme a, b, c et d représentent les chiffres de la valeur actuelle, ils doivent être compris entre 0 et 9. Avec cette restriction, (9a-d) ne peut être que le multiple trivial de 10, c'est-à-dire 0.

Il ressemble à 9a - d = 0
ou
d = 9a

En retournant ce résultat à l'équation précédente, nous obtenons
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10) (9a - 9a)
ou
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b

Puisque c est compris entre 0 et 9 et que les coefficients de a et b sont positifs, il s'ensuit que b doit être égal à 0 pour que c ne dépasse pas 9.
c = 8a

Souvenons-nous également que a est 1 ou 0.

Mais a = 0 donne le cas trivial a = 0, b = 0, c = 0 et d = 0, c'est-à-dire le prix $ 0000.00 et, correctement, 9 x 0000 $ 00 = 0000 $ 00.

On a alors a = 1 qui donne c = 8 et, pour revenir à l'équation précédente, d = 9a => d = 9.

Ainsi, nous obtenons finalement le prix du cadeau ($ abcd, 00) à 1089,00 $, ce qui, inversé, donne 9801 $ = 9 x 1089 $, comme souhaité.

RÉPONSE: Le cadeau coûte 1089 $

Solution envoyée par le visiteur Paulo Martins Magalhães:

Si le montant mis de côté pour le cadeau était de 1 200 $, nous devons supposer que le prix était d'environ 1 000 $.

Nous recherchions donc un nombre à 4 chiffres, 1 étant le premier. Le dernier chiffre ne peut être que 9, car ce n'est qu'alors que nous pourrons inverser le nombre et obtenir 9 fois le premier.

Ainsi, nous savons que le nombre est 1ab9.

Trouver a et b est relativement facile, car le nombre est un multiple de 9, car son inverse est le même (car c'est un nombre valant neuf fois le prix du présent). Nous avons donc le numéro 1ab9. Pour qu'un tel nombre soit un multiple de 9, la somme a + b doit être 8. Les paires a et b qui satisfont à cette condition sont les suivantes: 0 et 8; 1 et 7; 2 et 6; 3 et 5; 4 et 4; 5 et 3; 6 et 2; 7 et 1 et enfin 8 et 0.

En testant la première paire, ce qui semble plus logique car le prix est inférieur à 1 200 $, on obtient 1 089 $, qui est le prix du cadeau. (1089 X 9 = 9801).

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