Des articles

2.S : Séquences (Résumé)


Enquêter!

Chaque jour, votre réserve de grains d'espresso enrobés de chocolat magique double (chacun se divise en deux), mais vous en mangez ensuite 5. Vous en avez 10 au début du jour 0.

  1. Écrivez les premiers termes de la suite. Donnez ensuite une définition récursive de la séquence et expliquez comment vous savez qu'elle est correcte.
  2. Prouvez, par induction, que le dernier chiffre du nombre de haricots que vous avez le (n)ème jour est toujours un 5 pour tout (n ge 1 ext{.})
  3. Trouver une formule fermée pour le (n)ième terme de la suite et prouver qu'elle est correcte par récurrence.

Dans ce chapitre, nous avons exploré les séquences et l'induction mathématique. Lorsque nous avons de nombreux cas (peut-être une infinité de cas), il est souvent plus facile de décrire un cas particulier en disant comment il se rapporte à d'autres cas, au lieu de le décrire de manière absolue. Pour les séquences, nous pouvons décrire le (n)ième terme de la séquence en disant comment il est lié au précédent terme. Lorsque l'on montre qu'une déclaration impliquant la variable (n) est vraie pour toutes les valeurs de (n ext{,}), nous pouvons décrire pourquoi le cas pour (n = k) est vrai sur la base de pourquoi le cas pour (n = k-1) est vrai.

Bien qu'il soit souvent plus facile de penser aux problèmes de manière récursive que d'y penser de manière absolue (au moins une fois que vous vous êtes habitué à penser de cette manière), notre objectif ultime est d'aller au-delà de cette description récursive. Pour les séquences, nous voulons trouver formules fermées pour le (n)ième terme de la suite. Pour les preuves, nous voulons savoir que la déclaration est réellement vraie pour un (n) particulier (pas seulement en supposant que la déclaration est vraie pour la valeur précédente de (n)). Dans ce chapitre, nous avons vu quelques méthodes pour passer des descriptions récursives aux descriptions absolues.

  • Si les termes d'une séquence augmentent d'une différence constante ou d'un rapport constant (ce sont tous deux des descriptions récursives), alors les séquences sont respectivement arithmétiques ou géométriques, et nous avons des formules fermées pour chacune d'elles basées sur les termes initiaux et la différence commune ou rapport.
  • Si les termes d'une suite augmentent à un taux polynomial (c'est-à-dire si les différences entre les termes forment une suite avec une formule polynomiale fermée), alors la suite est elle-même donnée par une formule polynomiale fermée (de degré un de plus que la suite de différences).
  • Si les termes d'une séquence augmentent à un taux exponentiel, alors nous nous attendons à ce que la formule fermée de la séquence soit exponentielle. Ces séquences ont souvent des formules récursives relativement agréables, et le technique de racine caractéristique permet de trouver la formule fermée de ces suites.
  • Si nous voulons prouver qu'une déclaration est vraie pour toutes les valeurs de (n) (supérieures à une première petite valeur), et nous pouvons décrire pourquoi la déclaration étant vraie pour (n = k) implique que la déclaration est vraie pour (n = k+1 ext{,}) alors le principe d'induction mathématique nous donne que la déclaration est vraie pour toutes les valeurs de (n) (supérieures au cas de base).

Tout au long du chapitre, nous avons essayé de comprendre Pourquoi ces faits énumérés ci-dessus sont vrais. C'est en partie ce que les preuves, par induction ou non, tentent d'accomplir : elles expliquent pourquoi les vérités mathématiques sont en fait des vérités. Au fur et à mesure que nous développons notre capacité à raisonner sur les mathématiques, c'est une bonne idée de s'assurer que les méthodes de notre raisonnement sont solides. La branche des mathématiques qui s'occupe de décider si le raisonnement est bon ou non est logique mathématique, le sujet du chapitre suivant.

Revue de chapitre

1

Rechercher (3 + 7 + 11+ cdots + 427 ext{.})

Répondre

(frac{430cdot 107}{2} = 23005 ext{.})


Voir la vidéo: 1. Q light controller plus Getting started with QLC+. Fixtures and functions (Octobre 2021).