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Réponse au défi 189


Quatrième puissance plus quatre

Faisons quelques modifications à l'expression n4 + 4, pour le mettre sous forme de produit.

Nous commencerons par inclure les termes + 4n2 et -4n2, ce qui ne modifie pas le résultat de l'expression, car la somme des deux est nulle. De là, nous pouvons appliquer les règles de factorisation.

non4 + 4 = non4 + 4n2 + 4 - 4n2
= (n2 + 2)2 - (2n)2 différence de deux carrés
= ((n2 + 2) + 2n) ((n2 + 2) - 2n)
= (n2 + 2n + 2) (n2 - 2n + 2)

Nous arrivons ensuite à un produit, qui ne peut aboutir à un nombre premier que si l'un des facteurs est égal à 1.

Le premier facteur ne remplit pas cette condition, car on comprend clairement que n2 + 2n + 2> 1, pour n supérieur ou égal à 1.

Par conséquent, nous devons avoir le deuxième facteur égal à 1, c'est-à-dire:
non2 - 2n + 2 = 1
non2 - 2n + 1 = 0 (en soustrayant 1 des deux côtés)
(n - 1)2 = 0 => n = 1

Lorsque n = 1, nous avons un nombre premier, car n4 + 4 = 5. Par conséquent, c'est la seule valeur de n pour laquelle n4 + 4 est cousin.

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