Des articles

1.3 : Volume par coques cylindriques - Mathématiques


Coquilles cylindriques

Envisagez de faire pivoter la région entre la courbe

[y = x^2, onumber]

la ligne

[x = 2, onumber]

et l'axe des x autour de l'axe des y.

Si au lieu de prendre une section transversale perpendiculaire à l'axe des y, nous prenons une section transversale perpendiculaire à l'axe des x et la faisons tourner autour de l'axe des y, nous obtenons un cylindre. Rappelons que l'aire d'un cylindre est donnée par :

[ A = 2pi r h onumber]

où (r) est le rayon du cylindre et (h) est la hauteur du cylindre. Nous pouvons voir que le rayon est la coordonnée x du point sur la courbe et la hauteur est la coordonnée y de la courbe. D'où

[A(x) = 2pi xy = 2pi x(x^2). pas de numéro]

Le volume est donc donné par

[ egin{align*} ext{Volume} &= 2pi int_{0}^{1} x^3 dx &= dfrac{pi}{2}. end{align*} ]

Exemple 1

Trouver le volume de révolution de la région délimitée par les courbes

  • (y = x^2 + 2)
  • (y = x + 4)
  • et l'axe des y

autour de l'axe des y.

Solution

Nous dessinons l'image avec une section transversale perpendiculaire à l'axe des x.

Le rayon du cylindre est (x) et la hauteur est la différence des coordonnées (y) :

[h = (x + 4) - (x^2 + 2). pas de numéro]

Nous résolvons pour (b).

[egin{align*} (x+4)&=(x^2+2) x^2-x-2&=0 (x-2)(x+1)&=0 end {aligner*} ]

Donc (b = 2). Le volume est donc égal à

[egin{align*} 2 pi int_{0}^{2} ig[ (x+4) -(x^2+2) ig] dx &= 2 pi int_{0} ^{2}(x^2+2x-x^3) dx &= 2 pi left(dfrac{x^3}{3}+x^2-dfrac{x^4}{4 } ight]_{0}^{2} &= 2 pi Big( dfrac{8}{3}+4 -4 Big) &= dfrac{16 pi}{3 }. end{align*} ]

Des exercices

  1. (y=x^2-3x+2), (y=0 ) autour de l'axe des y
  2. (y=x^2-7x+6), (y=0 ) autour de l'axe des y
  3. (x=1-y^2 ), (x=0 ) (premier quadrant) autour de l'axe des x
  4. (y=xsqrt{1+x^3}), (y=0), (x=2 ) sur l'axe des y
  5. ((x-1)^2+y^2=1) sur l'axe des y
  6. (x^2+(y-1)^2=1) sur l'axe des x
  7. (y=x^2-2x+1), (y=1) à propos de la ligne (x=3)

Utilisez des coques cylindriques pour trouver le volume du solide généré lorsque la région délimitée par des courbes = 4 −

Parfois, trouver le volume d'un solide de révolution en utilisant la méthode du disque ou de la rondelle est difficile, voire impossible.

Par exemple, considérons le solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par la ligne

Solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par la courbe cubique y=x^2-x^3 autour de l'axe des y.

La section transversale du solide de révolution est une rondelle. Cependant, pour utiliser la méthode de la rondelle, nous devons convertir la fonction

Dans de tels cas, nous pouvons utiliser la méthode différente pour trouver le volume appelée méthode des coques cylindriques. Cette méthode considère le solide comme une série de coques cylindriques concentriques enveloppant l'axe de révolution.

Avec les méthodes du disque ou de la rondelle, nous intégrons le long de l'axe de coordonnées parallèle aux axes de révolution. Avec la méthode des coques, nous intégrons le long de l'axe de coordonnées perpendiculaire à l'axe de révolution.


1.3 : Description de la déformation dans le système de coordonnées cylindriques

  • Contribution de Tomasz Wierzbicki
  • Professeur (génie mécanique) au Massachusetts Institute of Technology
  • Provenant du MIT OpenCourseWare

Dans cette section, les relations déformation-déplacement seront dérivées dans le système de coordonnées cylindriques ((r, heta, z)).

Le système de coordonnées polaires est un cas particulier avec (z = 0). Les composantes du vecteur déplacement sont (, u_z>). Il existe deux manières de dériver les équations cinématiques. La déformation étant un tenseur, on peut appliquer la règle de transformation d'une coordonnée à l'autre. Cette approche est suivie par exemple aux pages 125-128 du livre sur &ldquoA First Course in Continuum Mechanics&rdquo par Y.C. Fung. Ou, l'expression pour chaque composant du tenseur de déformation peut être dérivée de la géométrie. Cette dernière approche est adoptée ici. Les composantes diagonales (normales) (epsilon_), (epsilon_< heta heta>) et (epsilon_) représentent le changement de longueur d'un élément infinitésimal. Les composantes non diagonales (cisaillement) décrivent le changement d'angle.

Figure (PageIndex<1>) : Système de coordonnées rectangulaire et cylindrique. Figure (PageIndex<2>) : Changement de longueur dans le sens radial.

La déformation radiale est uniquement due à la présence du gradient de déplacement dans la direction (r)

La déformation circonférentielle a deux composantes

Le premier composant est le changement de longueur dû au déplacement radial, et le second composant est le changement de longueur dû au déplacement circonférentiel.

À partir de la figure ((PageIndex<3>)) les composants (epsilon_< heta heta>^<(1)>) et (epsilon_< heta heta>^<(2)> ) sont calculés comme

Figure (PageIndex<3>) : Deux modes de déformation responsables de la déformation circonférentielle (cerceau).

La composante circonférentielle totale (cercle) du tenseur de déformation est

Les composantes de déformation dans la direction (z) sont les mêmes que dans le système de coordonnées rectangulaires

La déformation de cisaillement (epsilon_) décrit un changement dans l'angle droit.

Figure (PageIndex<4>) : Construction qui explique le changement d'angle dû au déplacement radial et circonférentiel.

D'après la figure ((PageIndex<4>)) la déformation de cisaillement sur le () l'avion est

Sur le () plan, le (epsilon_) le cisaillement se développe à partir des gradients respectifs, voir la figure ((PageIndex<5>)).

Figure (PageIndex<5>): Les changements d'angles sont () avion.

A partir de la construction de la figure ((PageIndex<4>)), le composant (epsilon_) est

Enfin, une image similaire est valable sur la (tangente) () avion

Figure (PageIndex<6>) : Visualisation de la composante de déformation (epsilon_< heta z>).

La composante (epsilon_< heta z>) du tenseur de déformation est la moitié du changement d'angle, c'est-à-dire

Pour résumer la dérivation, les six composantes du tenseur de déformation infinitésimal dans le système de coordonnées cylindriques sont

Des simplifications considérables sont obtenues dans le cas de l'axial (symétrie de rotation pour laquelle (u_ < heta>= 0) et (frac [,] = 0)

L'application des relations géométriques ci-dessus pour le chargement axisymétrique de plaques circulaires et de coques cylindriques sera donnée dans les chapitres suivants.


Méthode des volumes par coques cylindriques


Considérons le problème de trouver le volume du solide obtenu en tournant autour de l'axe (x) ou parallèlement à l'axe (x) la région, où l'idée centrale de la méthode des coques cylindriques pour trouver des volumes. Si nous découpons perpendiculairement à l'axe (y), nous obtenons un cylindre. Mais pour calculer le rayon intérieur et le rayon extérieur de la rondelle, il faudrait résoudre l'équation cubique pour (x) en termes de (y). La méthode des coques cylindriques est utilisée pour trouver le volume dans ce cas, qui est plus facile à utiliser dans un tel cas. Nous pouvons voir une coque cylindrique avec un rayon intérieur, un rayon extérieur et une hauteur. Son volume est calculé en soustrayant le volume du cylindre intérieur du volume du cylindre extérieur.

Exemple concret de recherche d'un volume par la méthode des coques cylindriques

Le diagramme montre le graphique de (displaystyle f(x) = frac <1 + x^2>).

La zone délimitée par (y = f(x) ), la ligne (x = 1) et l'axe (x) est tournée autour de la ligne (x=1) pour former un volume solide . Utilisez la méthode des coques cylindriques pour trouver le volume du solide.

(commencer displaystyle equire
delta V &= pi Big[(1-x + delta x)^2 – (1-x)^2 Big] imes y
&= pi Grand[(1-x)^2 + 2(1-x) delta x +(delta x)^2 -(1-x)^2 Grand] imes y
&= pi Big[2(1-x) delta x Big] imes frac <1+x^2>&couleur (delta x)^2 environ 0
&= 2 pi Grand[ frac <1 + x^2>Grand] delta x
&= 2 pi Big[ frac<1 – (1+x^2) + x> <1 + x^2>Big] delta x
&= 2 pi Big[ frac<1> <1+x^2>– 1 + frac <1+x^2>Grand] delta x
V &= 2 pi int_<0>^ <1>Big[ frac<1> <1+x^2>– 1 + frac <1+x^2>Grand] dx
&= 2 pi Big[ an^ <-1>x – x + frac<1><2>log_e (1 + x^2) Big]_<0>^ <1>
&= 2 pi Gros(frac <4>– 1 + frac<1> <2>log_e <2>Gros)
finir \ )


Trancher les sphères

La semaine dernière, nous avons vu comment calculer l'aire d'un cercle à partir des premiers principes. Et les sphères ?

Pour calculer le volume d'une sphère, montrons qu'un hémisphère (de rayon (r)) a le même volume que le vase montré dans la figure ci-dessous, formé en sculptant un cône du cylindre circulaire avec le rayon et la hauteur (r). Pourquoi cette forme ? Voici pourquoi : si l'on coupe ces deux solides à n'importe quelle hauteur (h) (entre 0 et (r)), les aires des deux tranches correspondent. En effet, la tranche, généralement appelée la Coupe transversale—de la sphère est un cercle de rayon (sqrt), qui a l'aire (pi(r^2-h^2)). De même, la section transversale du vase est un cercle de rayon (r) avec un cercle de rayon (h) découpé, donc son aire est (pi r^2-pi h^2), comme revendiqué.

Lorsqu'ils sont tranchés par un plan horizontal à n'importe quelle hauteur (h), l'hémisphère et le vase ont des sections transversales égales. (Montré ici pour (h = 0.4cdot r).) Par le principe de Cavalieri, cela implique qu'ils ont des volumes égaux.

Si nous imaginons l'hémisphère et le vase comme étant faits de beaucoup de minuscules grains de sable, alors nous venons de montrer, intuitivement, que les deux solides ont le même nombre de grains de sable dans chaque couche. Il devrait donc y avoir le même nombre de grains au total, c'est-à-dire que les volumes devraient correspondre. Cette intuition est tout à fait juste :

Principe de Cavalieri: deux formes quelconques qui ont des sections transversales horizontales correspondantes ont également le même volume.

Les volumes sont donc bien égaux, et il ne reste plus qu'à calculer le volume du vase. Mais nous pouvons le faire ! Rappelons que le cône a un volume (frac<1> <3>( ext) ( exte) = frac<1><3>pi r^3) (mieux encore, prouvez-le aussi ! Astuce : utilisez à nouveau le principe de Cavalieri pour comparer à une pyramide triangulaire). De même, le cylindre a un volume (( ext) ( exte) = pi r^3), donc le vase (et l'hémisphère) ont un volume (pi r^3 – frac<1> <3>pi r^3 = frac<2><3 >pi r^3). Le volume de la sphère entière est donc (frac<4><3>pi r^3). Succès!

La visualisation suivante illustre ce que nous avons montré, à savoir $ ext + exte = exte.$ Les “grains de sable” dans l'hémisphère sont déplacés horizontalement par le cône de poignardage, et à la fin nous avons rempli exactement le cylindre.

Enfoncer un cône dans un hémisphère fait de « particules et de « particules » se déplaçant horizontalement remplit exactement un cylindre.


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Solids of Revolution et la méthode Shell

Brièvement, un solide de révolution est le solide formé en faisant tourner une région plane autour d'un axe fixe.

Nous avons défini les solides de révolution dans un article précédent, AP Calculus Review: Disk and Washer Methods. Donc, vous voudrez peut-être lire avant de continuer.

Des coquillages, des coquillages et plus encore des coquillages…

Supposons que vous ayez besoin de trouver le volume d'un solide de révolution. Nous devons d'abord décider comment trancher le solide. Si tu voulais trancher perpendiculaire à l'axe de révolution, alors vous obtiendriez des dalles qui ressemblent à de minces cylindres (disques) ou des cylindres sans cercles (rondelles). Cependant, le Méthode Shell nécessite un autre type de tranchage.

Imaginez que votre solide soit fait de pâte à biscuits. Et vous avez un ensemble d'emporte-pièces circulaires de différentes tailles. En commençant par le plus petit emporte-pièce et en progressant vers les plus grands, découpons la pâte en anneaux concentriques.

En veillant à trancher dans le même sens que l'axe de révolution, vous obtiendrez une touffe de coquilles, ou des objets cylindriques creux minces.

Approximation du volume

Examinons maintenant de plus près une seule coque.

Tant que l'épaisseur est suffisamment petite, le volume de la coque peut être approximé par la formule :

Notez que le volume est simplement la circonférence (2&pir) fois la hauteur (h) fois l'épaisseur (w). En fait, vous pouvez penser à découper la coque sur sa hauteur et à la "dérouler" pour produire une fine dalle rectangulaire. Ensuite, le volume est simplement longueur &fois la taille &fois largeur comme dans tout solide rectangulaire.

Supposons maintenant que nous ayons un solide de révolution avec la région génératrice étant l'aire sous une fonction oui = F(X) entre X = une et X = b. Et supposons que le oui-axe comme son axe de symétrie. (C'est le cas le plus simple).

F(X) = X 2 + 1, entre 2 et 6, s'articulait autour du oui-axis, générant un solide de révolution en utilisant la méthode shell” width=�″ height=�″ wp-image-12021″ />

Imaginez ce qui arrive à une mince bande verticale de la région alors qu'elle tourne autour du oui-axe. Parce que l'axe est également vertical, la bande va balayer une coque cylindrique. De plus, nous avons les informations suivantes sur chaque shell :

  • Son rayon est r = X (distance d'un point typique au ouiaxe).
  • La hauteur est h = oui = F(X).
  • Son épaisseur est un petit changement dans X, que nous appelons &DeltaX ou alors dx.

Par conséquent, le volume approximatif d'une coque typique est :

L'intégration

Mais rappelez-vous, ce n'est qu'une seule coque. Le solide se compose de coquilles qui ont été tranchées à diverses positions Xk le long de la X-axe. Nous devons donc les additionner pour obtenir le volume approximatif de l'ensemble du solide.

Enfin, après avoir pris la limite comme m &rarr &infin (de sorte que nous ayons une infinité de coquilles pour remplir le solide), nous obtenons la formule exacte.

Exemple 1

Trouvez le volume du solide généré en faisant tourner la région sous F(X) = X 2 + 1, où 2 &le X &le 6, autour du oui-axe.

Solution

Il peut être utile d'esquisser une figure. Heureusement, c'est exactement ce qui est illustré dans la figure ci-dessus.

Identifiez d'abord les dimensions d'une coque typique.

De plus, nous utilisons une = 2 et b = 6 car nous avons 2 &le X &le 6.

Configurez maintenant l'intégrale de la méthode Shell et évaluez pour trouver le volume.

Ainsi, le volume est égal à 672&pi unités cubes.


Souvenez-vous qu'un cylindre oblique est un cylindre qui "se penche" - où le centre supérieur n'est pas au-dessus du point central de base. Dans la figure ci-dessus, cochez « autoriser l'oblique » et faites glisser le point orange supérieur sur le côté pour voir un cylindre oblique.

Il s'avère que la formule de volume fonctionne de la même manière pour ceux-ci. Vous devez cependant utiliser la hauteur perpendiculaire dans la formule. Il s'agit de la ligne verticale à gauche dans la figure ci-dessus. Pour illustrer cela, cochez « Geler la hauteur ». Lorsque vous faites glisser le haut du cylindre vers la gauche et la droite, observez le calcul du volume et notez que le volume ne change jamais.


Volume de preuve de dérivation de cône

Pour dériver le volume d'une formule de cône, la méthode la plus simple consiste à utiliser le calcul d'intégration. Le principe mathématique est de trancher de petits disques, ombrés en jaune, d'épaisseur delta y et de rayon x. Si nous devions trancher plusieurs disques de la même épaisseur et additionner leur volume, nous devrions obtenir un volume approximatif du cône.

La dérivation commence généralement en prenant un tel disque d'épaisseur delta y, à une distance y du sommet d'un cône circulaire droit. Le rayon du disque est x, cependant, il y aura une petite erreur, ombrée en rouge, due à l'épaisseur delta y. Au fur et à mesure que l'épaisseur se réduit à zéro, l'erreur diminue également.

Triangles proportionnels: Comme vous pouvez le voir, il y a deux triangles rectangles ombrés en jaune. Leurs côtés sont proportionnels, ce qui est utile pour construire les expressions ci-dessous.

Puisque les côtés sont proportionnels, nous pouvons les écrire comme ceci. Rien d'étonnant ou de compliqué ne se passe ici, comme vous pouvez le voir. Une explication plus détaillée n'est pas nécessaire, car la clé est de remarquer les triangles proportionnels.

Ici, je réorganise simplement l'expression pour donner x, qui est le rayon du disque. A ce stade, vous avez peut-être compris que cette expression sera utile dans une autre formule pour calculer le volume d'un disque.

Ici, j'utilise la formule standard pour calculer le volume d'un disque. Le volume d'un disque est le même que le volume d'un cylindre de faible hauteur. Dans ce cas le disque a un rayon x et une hauteur delta y. Delta y est juste une autre façon de dire qu'il s'agit d'une très petite distance.

La substitution de l'équation trouvée précédemment pour le rayon dans l'équation standard pour le volume d'un disque nous donne cette expression.

Ici, nous venons de développer le terme de puissance, avec une algèbre simple.

A ce stade, le principe d'intégration consiste à ajouter le volume des disques pour nous donner le volume du cône. Le symbole de sommation signifie simplement que si nous ajoutons le volume de tous ces disques entre y = zéro et y = h, nous devrions alors obtenir une valeur approximative du volume d'un cône. C'est encore une valeur approximative en raison de l'erreur causée par l'épaisseur du disque delta y. Le diagramme animé ci-dessus montre cela en montrant de nombreux disques tranchés à divers points le long de l'axe des y.

Au fur et à mesure que delta y approche de zéro, l'erreur fait de même, et donc nous remplaçons le delta y par dy et effectuons une opération d'intégration définie. Tout ce que nous avons fait est de remplacer le symbole de sommation par l'opérateur intégral. Je laisse normalement PI derrière l'intégrale car c'est un terme constant tout au long de l'expression et le garde à l'écart. Ici, nous intégrons par rapport à y bien sûr.

Après avoir intégré y, le résultat est entre les grands crochets. Cela rend les mathématiciens intelligents, mais cela signifie simplement que vous effectuerez deux fois la même opération. Une fois avec y = h, puis à nouveau avec y = 0.

Voici les deux termes développés et entre leurs propres crochets. Lorsque vous calculez le volume par intégration, vous soustrayez toujours le contenu des secondes parenthèses avec le contenu de la première.

Le contenu de la deuxième parenthèse devient nul car y = 0 et tout y est multiplié par zéro. De plus, h² annule h³ en laissant un h de réserve.

En supprimant tous les termes inutiles et en simplifiant, cela se résume à ce terme familier pour le volume. C'est la preuve la plus simple que M. Smith m'a apprise vers 1986 au Carshalton College. Il était le meilleur professeur que j'aie jamais eu.


FEUILLE DE TRAVAIL VOLUME DE FORMES 3D AVEC RÉPONSES

(1)  Un puits de 14 m de profondeur avec un diamètre intérieur de 10 m est creusé et la terre prélevée est uniformément répartie tout autour du puits pour former un remblai de 5 m de largeur. Trouvez la hauteur du remblai.           Solution

(2)  Un verre cylindrique d'un diamètre de 20 cm contient de l'eau sur une hauteur de 9 cm. Un petit cylindre métallique de rayon 5 cm et de hauteur 4 cm y est immergé complètement. Calculer la montée de l'eau dans le verre ?          Solution

(3)  Si la circonférence d'un morceau de bois conique est de 484 cm alors trouvez son volume lorsque sa hauteur est de 105 cm.          Solution

(4)   Un conteneur conique est entièrement rempli d'essence. Le rayon est de 10 m et la hauteur est de 15 m. Si le bidon peut libérer l'essence par son fond à raison de 25 cu. mètre par minute, en combien de minutes le conteneur sera vidé. Arrondissez votre réponse à la minute près.          Solution

(5)  Un triangle rectangle dont les côtés mesurent 6 cm, 8 cm et 10 cm tourne autour des côtés contenant l'angle droit de deux manières. Trouvez la différence de volumes des deux solides ainsi formés.           Solution

(6)  Les volumes de deux cônes de même rayon de base sont de 3600 cm 3  et de 5040 cm 3 . Trouvez le rapport des hauteurs.           Solution

(7)   Si le rapport des rayons de deux sphères est de 4 : 7, trouvez le rapport de leurs volumes.           Solution

(8)  Une sphère solide et un hémisphère solide ont une surface totale égale. Montrez que le rapport de leur volume estਃ  √ 3 : 4 .           Solution

(9)  Les surfaces extérieures et intérieures d'une coque en cuivre sphérique sont respectivement de 576 π c m 2 ਎t  324 π ਌m 2  . Trouvez le volume de matériau requis pour fabriquer la coque.           Solution

(10)  Un conteneur ouvert au sommet se présente sous la forme d'un tronc de cône d'une hauteur de 16 cm dont les rayons de ses extrémités inférieure et supérieure sont respectivement de 8 cm et 20 cm. Trouvez le coût du lait qui peut remplir complètement un récipient à raison de  ₹ 40 par litre.           Solution

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