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Q,t-Kostka Polynômes


Arrière-plan

Soit (Lambda) l'algèbre des fonctions symétriques dans un alphabet fini ou infini (X = {x_1,x_2,ldots}) à coefficients dans le domaine des fonctions rationnelles (mathbb{Q} (q,t)). On notera aussi (X_n) l'alphabet fini (x_1+x_2+ldots+x_n).

Nous désignons les partitions par leurs diagrammes de Ferrer français, c'est-à-dire avec des lignes décroissantes de bas en haut. Pour une partition (mu) de longueur non supérieure à (k), notons (mu+1^k) la partition obtenue en ajoutant une colonne de longueur (k) au diagramme de (mu).

Définition des polynômes q,t-Kostka

Pour une partition (lambda), soit (P_{lambda}(x;q,t)) le polynôme de Macdonald de forme (lambda) et soit (Q_{lambda}(x ;q,t)) désignent son dual. Définissez la forme intégrale (J_{lambda}(x;q,t)) de ces polynômes de Macdonald comme [J_{lambda}(x;q,t) = h_{lambda}(q,t) P_{lambda}(x;q,t) = h'_{lambda}(q,t)Q_{lambda}(x;q,t)] avec [h_{lambda}(q, t) = prod_{s in lambda}{(1-q^{a_{lambda}(s)}t^{l_{mu}(s)+1})}, ;; ;; h'_{lambda}(q,t) = prod_{s in lambda}{1-q^{a_{lambda}(s)+1}t^{l_{mu}(s) }}] où, pour une cellule (s in lambda), (a_{lambda}(s)) et (l_{lambda}(s)) représentent respectivement le bras et la jambe de s dans (lambda), c'est-à-dire le nombre de cellules de (lambda) qui sont respectivement strictement à l'est et au nord de (s).

Macdonald a montré que [J_{mu}[X;q,t] = sum_{lambda}{S_{lambda}[X(1-t)]K_{lambdamu}(q,t) }] pour les coefficients (K_{lambdamu}(q,t)) dans (mathbb{Q}(q,t)). On a conjecturé que ces coefficients, appelés (q,t)-Kopolynômes stka, sont en fait des polynômes dans (mathbb{Z}[q,t]).

Preuve de polynomialité

Soit [H_{mu}[X;q,t] = J_{mu}[frac{X}{1-t};q,t].] Nous avons maintenant un accès direct au (q ,t)-Coefficients de Kostka car [H_{mu}[X;q,t] = sum_{lambda}{S_{lambda}[X]K_{lambda mu}(q,t) }.] Soit également [H_{mu}[X;t] = Q_{mu}[frac{X}{1-t};t] = sum_{lambda}{S_{lambda }[X]K_{lambdamu}(t)}.]

Le théorème suivant est au cœur de la preuve de Garsia et Zabrocki de la polynomialité des coefficients (q,t)-Kostka.

Théorème: Pour tout opérateur linéaire (V) agissant sur (Lambda) et (P in Lambda) poser [ ilde{V}^qP[X] = V^YP[qX+(1- q)Y]|_{Y=X}] où (V^Y) est simplement (V) agissant sur des polynômes dans les variables (Y). Ceci étant donné, si (G_k = G_k(X,t)) est un opérateur linéaire quelconque sur (Lambda) avec la propriété que [G_kH_{mu}[X;t] = H_{mu+1 ^k}[X;t]] pour tout (mu) de longueur non supérieure à (k), alors ( ilde{G_k}^q) a la propriété [ ilde{G_k }^qH_{mu}[X;q,t] = H_{mu+1^k}[X;q,t]] pour tout (mu) de longueur non supérieure à (k ). En particulier, les polynômes de Macdonald modifiés (H_{mu}[X;q,t]) peuvent être obtenus à partir de la formule de "Rodriguez" : [H_{mu}[X;q,t] = ilde {G_{mu'_1}}^q ilde{G_{mu'_2}}^q cdots ilde{G_{mu'_h}}}^q extbf{1}] où ( mu'= (mu'_1,mu'_2,ldots,mu'_h)) désigne le conjugué de (mu).

Compte tenu de ce théorème, la polynomialité des coefficients (q,t)-Kostka suit :

Définir l'opérateur "trivial" (TG_k = TG_k(X;t)) en paramétrant pour la base ({H_{mu}[X;t]}_{mu}) [TG_kH_{ mu}[X;t] = egin{cas}
H_{mu+1^k}[X;t] & mbox{if } l(mu) leq k
0 & mbox{sinon. }
end{cases} ] La matrice de Kostka-Foulkes (K(t) = |K_{lambdamu}(t)|) est la matrice de transition entre la ({H_{mu} [X;t]}_{mu}) et les fonctions de Schur. Puisque (K(t)) est unitaire avec des entrées dans (mathbb{Z}[t]), il s'ensuit que son inverse (H(t) = K(t)^{-1}) a des entrées dans (mathbb{Z}[t]). Cela implique que (TG_kS_{lambda}[X]) est une combinaison linéaire intégrale de fonctions de Schur. Puisque l'opérateur (TG_k) agit intégralement sur la base de Schur, le résultat recherché (K_{lambdamu}(q,t) in mathbb{Z}[q,t]) est une conséquence immédiate de la formule de Rodriguez dans le théorème ci-dessus avec (G = TG).

Contributeurs

  • Roger Tian (UC Davis)


Voir la vidéo: Compact formulas for Macdonald polynomials. Olya Mandelshtam. July 10, 2020 (Octobre 2021).