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3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques


Jusqu'à présent, nous avons appris à différencier une variété de fonctions, y compris les fonctions trigonométriques, inverses et implicites. Dans cette section, nous explorons les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Comme nous l'avons vu dans Introduction aux fonctions et aux graphiques, les fonctions exponentielles jouent un rôle important dans la modélisation de la croissance démographique et de la désintégration des matières radioactives. Les fonctions logarithmiques peuvent aider à redimensionner de grandes quantités et sont particulièrement utiles pour réécrire des expressions compliquées.

Dérivée de la fonction exponentielle

Tout comme lorsque nous avons trouvé les dérivées d'autres fonctions, nous pouvons trouver les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques à l'aide de formules. Au fur et à mesure que nous développons ces formules, nous devons faire certaines hypothèses de base. Les preuves de ces hypothèses dépassent le cadre de ce cours.

Tout d'abord, nous partons de l'hypothèse que la fonction (B(x)=b^x,b>0,) est définie pour tout nombre réel et est continue. Dans les cours précédents, les valeurs des fonctions exponentielles pour tous les nombres rationnels ont été définies—en commençant par la définition de (b^n), où (n) est un entier positif—comme le produit de (b) multiplié par lui-même (n) fois. Plus tard, nous avons défini (b^0=1,b^{−n}=frac{1}{b^n}), pour un entier positif (n), et (b^{s/ t}=(sqrt[t]{b})^s) pour les entiers positifs (s) et (t). Ces définitions laissent ouverte la question de la valeur de br où r est un nombre réel arbitraire. En supposant la continuité de (B(x)=b^x,b>0), nous pouvons interpréter (b^r) comme (lim_{x→r}b^x) où les valeurs de (x) comme nous prenons la limite sont rationnels. Par exemple, nous pouvons voir (4^π) comme le nombre satisfaisant

[4^3<4^π<4^4,4^{3.1}<4^π<4^{3.2},4^{3.14}<4^π<4^{3.15},]

[4^{3.141}<4^{π}<4^{3.142},4^{3.1415}<4^{π}<4^{3.1416},….]

Comme on le voit dans le tableau suivant, (4^π≈77.88.)

(X)(4^x)(X)(4^x)
(4^3)64(4^{3.141593})77.8802710486
(4^{3.1})73.5166947198(4^{3.1416})77.8810268071
(4^{3.14})77.7084726013(4^{3.142})77.9242251944
(4^{3.141})77.8162741237(4^{3.15})78.7932424541
(4^{3.1415})77.8702309526(4^{3.2})84.4485062895
(4^{3.14159})77.8799471543(4^{4})256

Approximation d'une valeur de (4^π)

On suppose aussi que pour (B(x)=b^x,b>0), la valeur (B′(0)) de la dérivée existe. Dans cette section, nous montrons qu'en faisant cette hypothèse supplémentaire, il est possible de prouver que la fonction (B(x)) est dérivable partout.

Nous faisons une dernière hypothèse : qu'il existe une valeur unique de (b>0) pour laquelle (B′(0)=1). Nous définissons e comme étant cette valeur unique, comme nous l'avons fait dans Introduction aux fonctions et aux graphes. La figure fournit des graphiques des fonctions (y=2^x,y=3^x,y=2,7^x,) et (y=2,8^x). Une estimation visuelle des pentes des lignes tangentes à ces fonctions à 0 fournit la preuve que la valeur de e se situe quelque part entre 2,7 et 2,8. La fonction (E(x)=e^x) est appelée la fonction exponentielle naturelle. Son inverse, (L(x)=log_ex=lnx) est appelé le fonction logarithmique naturelle.

Figure (PageIndex{1}) : Le graphe de (E(x)=e^x) est compris entre (y=2^x) et (y=3^x).

Pour une meilleure estimation de (e), on peut construire une table d'estimations de (B′(0)) pour des fonctions de la forme (B(x)=b^x). Avant de faire cela, rappelez-vous que

(B′(0)=lim_{x→0}frac{b^x−b^0}{x−0}=lim_{x→0}frac{b^x−1}{x}≈ frac{b^x−1}{x})

pour des valeurs de (x) très proches de zéro. Pour nos estimations, nous choisissons (x=0.00001) et (x=−0.00001)

pour obtenir le devis

(frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}

Voir le tableau suivant.

Tableau : Estimation d'une valeur de e
b(frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}b(frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}
2(0.6931452.718(1.000002
2.7(0.9932472.719(1.000259
2.71(0.9969442.72(1.000627
2.718(0.9998912.8(1.029614
2.7182(0.9999653(1.098606

Les preuves du tableau suggèrent que (2.7182

Le graphique de (E(x)=e^x) ainsi que la ligne (y=x+1) sont représentés sur la figure. Cette droite est tangente au graphe de (E(x)=e^x) en (x=0).

Figure (PageIndex{2}) : La tangente à (E(x)=e^x) en (x=0) a une pente 1.

Maintenant que nous avons exposé nos hypothèses de base, nous commençons notre enquête en explorant la dérivée de (B(x)=b^x,b>0). Rappelons que nous avons supposé que (B′(0)) existe. En appliquant la définition de la limite à la dérivée, nous concluons que

(B′(0)=lim_{h→0}frac{b^{0+h}−b^0}{h}=lim_{h→0}frac{b^h−1}{h }).

En se référant à (B′(x)), on obtient ce qui suit.

(B′(x)=lim_{h→0}frac{b^{x+h}−b^x}{h}) Appliquer la définition limite de la dérivée.

(=lim_{h→0}frac{b^xb^h−b^x}{h}) Notez quebx+h=bxbh.

(=lim_{h→0}frac{b^x(b^h−1)}{h}) Factor outbx.

(=b^xlim_{h→0}frac{b^h−1}{h}) Appliquer une propriété de limites.

(=b^xB′(0)) Utilisez (B′(0)=lim_{h→0}frac{b^{0+h}−b^0}{h}=lim_{h→ 0}frac{b^h−1}{h}).

On voit qu'en partant de l'hypothèse que (B(x)=b^x) est dérivable en (0,B(x)) est non seulement dérivable partout, mais sa dérivée est

(B′(x)=b^xB′(0).)

Pour (E(x)=e^x,E′(0)=1.) On a donc (E′(x)=e^x). (La valeur de (B′(0)) pour une fonction arbitraire de la forme (B(x)=b^x,b>0,) sera dérivée plus tard.)

Dérivée de la fonction exponentielle naturelle

Soit (E(x)=e^x) la fonction exponentielle naturelle. Puis

(E′(x)=e^x.)

En général,

(frac{d}{dx}(e^{g(x)})=e^{g(x)}g′(x)).

Exemple (PageIndex{1}) : Dérivée d'une fonction exponentielle

Trouvez la dérivée de (f(x)=e^{tan(2x)}).

Solution:

En utilisant la formule dérivée et la règle de la chaîne,

(f′(x)=e^{tan(2x)}frac{d}{dx}(tan(2x))=e^{tan(2x)}sec^2(2x)⋅2).

Exemple (PageIndex{2}) : combinaison de règles de différenciation

Trouvez la dérivée de (y=frac{e^{x^2}}{x}).

Solution

Utilisez la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, la règle du quotient et la règle de la chaîne.

(y′=frac{(e^{x^2}⋅2)x⋅x−1⋅e^{x^2}}{x^2}) Appliquer la règle du quotient.

(=frac{e^{x^2}(2x^2−1)}{x^2}) Simplifiez.

Exercice (PageIndex{1})

Trouvez la dérivée de (h(x)=xe^{2x}).

Indice

N'oubliez pas d'utiliser la règle du produit.

Répondre

(h′(x)=e^{2x}+2xe^{2x})

Exemple (PageIndex{3}): Application de la fonction exponentielle naturelle

Une colonie de moustiques a une population initiale de 1000. Après (t) jours, la population est donnée par (A(t)=1000e^{0.3t}). Montrer que le rapport du taux de variation de la population, (A′(t)), à la population, (A(t)) est constant.

Solution

Trouvez d'abord (A′(t)). En utilisant la règle de la chaîne, nous avons (A′(t)=300e^{0.3t}.) Ainsi, le rapport du taux de variation de la population à la population est donné par

(A′(t)=frac{300e^{0.3t}}{1000e^{0.3t}}=0.3.)

Le rapport du taux de variation de la population à la population est la constante 0,3.

Exercice (PageIndex{2})

Si (A(t)=1000e^{0.3t}) décrit la population de moustiques après (t) jours, comme dans l'exemple précédent, quel est le taux de changement de (A(t)) après 4 jours?

Indice

Trouvez (A′(4)).

Répondre

(996)

Dérivée de la fonction logarithmique

Maintenant que nous avons la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver la dérivée de son inverse, la fonction logarithmique naturelle.

Définition : la dérivée de la fonction logarithmique naturelle

Si (x>0) et (y=lnx),alors

(frac{dy}{dx}=frac{1}{x}).

Plus généralement, soit (g(x)) une fonction dérivable. Pour toutes les valeurs de (x) pour lesquelles (g′(x)>0), la dérivée de (h(x)=ln(g(x))) est donnée par

(h′(x)=frac{1}{g(x)}g′(x).)

Preuve

Si (x>0) et (y=lnx), alors (e^y=x.) Différencier les deux membres de cette équation donne l'équation

(e^yfrac{dy}{dx}=1.)

La résolution de (frac{dy}{dx}) donne

(frac{dy}{dx}=frac{1}{e^y}).

Enfin, nous substituons (x=e^y) pour obtenir

(frac{dy}{dx}=frac{1}{x}).

Nous pouvons également dériver ce résultat en appliquant le théorème de la fonction inverse, comme suit. Puisque (y=g(x)=lnx)

est l'inverse de (f(x)=e^x), en appliquant le théorème de la fonction inverse on a

(frac{dy}{dx}=frac{1}{f′(g(x))}=frac{1}{e^{lnx}}=frac{1}{x}) .

En utilisant ce résultat et en appliquant la règle de la chaîne à (h(x)=ln(g(x))) donne

(h′(x)=frac{1}{g(x)}g′(x)).

Le graphique de (y=lnx) et sa dérivée (frac{dy}{dx}=frac{1}{x}) sont représentés sur la figure.

Figure (PageIndex{3}) : La fonction (y=lnx) est croissante sur ((0,+∞)). Sa dérivée (y'=frac{1}{x}) est supérieure à zéro sur ((0,+∞))

Exemple (PageIndex{4}):Prendre une dérivée d'un logarithme naturel

Trouvez la dérivée de (f(x)=ln(x^3+3x−4)).

Solution

Utilisez l'équation directement.

(f′(x)=frac{1}{x^3+3x−4}⋅(3x^2+3)) Utilisez (g(x)=x^3+3x−4) dans (h′(x)=frac{1}{g(x)}g′(x)).

(=frac{3x^2+3}{x^3+3x−4}) Réécrire.

Exemple (PageIndex{5}):Utilisation des propriétés des logarithmes dans une dérivée

Trouvez la dérivée de (f(x)=ln(frac{x^2sinx}{2x+1})).

Solution

A première vue, prendre cette dérivée apparaît assez compliquée. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes avant de trouver la dérivée, nous pouvons rendre le problème beaucoup plus simple.

(f(x)=ln(frac{x^2sinx}{2x+1})=2lnx+ln(sinx)−ln(2x+1)) Appliquer les propriétés des logarithmes.

(f′(x)=frac{2}{x}+cotx−frac{2}{2x+1}) Appliquer la règle de somme et (h′(x)=frac{1}{g (x)}g′(x)).

Exercice (PageIndex{3})

Différencier : (f(x)=ln(3x+2)^5).

Indice

Utilisez une propriété de logarithmes pour simplifier avant de prendre la dérivée.

Répondre

(f′(x)=frac{15}{3x+2})

Maintenant que nous pouvons différencier la fonction logarithmique naturelle, nous pouvons utiliser ce résultat pour trouver les dérivées de (y=log_bx) et (y=b^x) pour (b>0,b≠1).

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques générales

Soit (b>0,b≠1,) et soit (g(x)) une fonction dérivable.

je. Si, (y=log_bx), alors

(frac{dy}{dx}=frac{1}{xlnb}).

Plus généralement, si (h(x)=log_b(g(x))), alors pour toutes les valeurs de x pour lesquelles (g(x)>0),

(h′(x)=frac{g′(x)}{g(x)lnb}).

ii. Si (y=b^x,) alors

(frac{dy}{dx}=b^xlnb).

Plus généralement, si (h(x)=b^{g(x)},) alors

(h′(x)=b^{g(x)}g''(x)lnb)

Preuve

Si (y=log_bx,) alors (b^y=x.) Il s'ensuit que (ln(b^y)=lnx). Ainsi (ylnb=lnx). En résolvant (y), nous avons (y=frac{lnx}{lnb}). En différenciant et en gardant à l'esprit que (lnb) est une constante, nous voyons que

(frac{dy}{dx}=frac{1}{xlnb}).

La dérivée dans l'équation découle maintenant de la règle de la chaîne.

Si (y=b^x). puis (lny=xlnb.) En utilisant la différentiation implicite, en gardant à l'esprit que (lnb) est constant, il s'ensuit que (frac{1}{y}frac{dy}{dx}=lnb ). En résolvant (frac{dy}{dx}) et en substituant (y=b^x), nous voyons que

(frac{dy}{dx}=ylnb=b^xlnb).

La dérivée plus générale (Équation) découle de la règle de la chaîne.

Exemple (PageIndex{6}):Application de formules dérivées

Trouvez la dérivée de (h(x)=frac{3^x}{3^x+2}).

Solution

Utilisez la règle du quotient et la note.

(h′(x)=frac{3^xln3(3^x+2)−3^xln3(3^x)}{(3^x+2)^2}) Appliquer la règle du quotient.

(=frac{2⋅3^xln3}{(3x+2)^2}) Simplifiez.

Exemple (PageIndex{7}) : Recherche de la pente d'une ligne tangente

Trouvez la pente de la droite tangente au graphique de (y=log_2(3x+1)) à (x=1).

Solution

Pour trouver la pente, il faut évaluer (frac{dy}{dx}) à (x=1). En utilisant l'équation, nous voyons que

(frac{dy}{dx}=frac{3}{ln2(3x+1)}).

En évaluant la dérivée à (x=1), on voit que la tangente a une pente

(frac{dy}{dx}∣_{x=1}=frac{3}{4ln2}=frac{3}{ln16}).

Exercice (PageIndex{4})

Trouvez la pente de la droite tangente à (y=3^x) en (x=2.)

Indice

Évaluer la dérivée à (x=2.)

Répondre

(9ln(3))

Différenciation logarithmique

A ce stade, on peut prendre des dérivées de fonctions de la forme (y=(g(x))^n) pour certaines valeurs de (n), ainsi que des fonctions de la forme (y=b^ {g(x)}), où (b>0) et (b≠1). Malheureusement, nous ne connaissons toujours pas les dérivées de fonctions telles que (y=x^x) ou (y=x^π). Ces fonctions nécessitent une technique appelée différenciation logarithmique, ce qui permet de différencier toute fonction de la forme (h(x)=g(x)^{f(x)}). Il peut également être utilisé pour convertir un problème de différenciation très complexe en un problème plus simple, comme trouver la dérivée de (y=frac{xsqrt{2x+1}}{e^xsin^3x}). Nous décrivons cette technique dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.

Stratégie de résolution de problèmes : utilisation de la différenciation logarithmique

  1. Pour différencier (y=h(x)) en utilisant la différenciation logarithmique, prenez le logarithme népérien des deux côtés de l'équation pour obtenir (lny=ln(h(x)).)
  2. Utilisez les propriétés des logarithmes pour développer (ln(h(x))) autant que possible.
  3. Différencier les deux côtés de l'équation. Sur la gauche nous aurons (frac{1}{y}frac{dy}{dx}).
  4. Multipliez les deux membres de l'équation par (y) pour obtenir (frac{dy}{dx}).
  5. Remplacez (y) par (h(x)).

Exemple (PageIndex{8}) : Utilisation de la différenciation logarithmique

Trouvez la dérivée de (y=(2x^4+1)^{tanx}).

Solution

Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver cette dérivée.

(lny=ln(2x^4+1)^{tanx}) Étape 1. Prenez le logarithme népérien des deux côtés.

(lny=tanxln(2x^4+1)) Étape 2. Développez en utilisant les propriétés des logarithmes.

(frac{1}{y}frac{dy}{dx}=sec^2xln(2x^4+1)+frac{8x^3}{2x^4+1}⋅tanx) Étape 3 Différencier les deux côtés. Utilisez la règle du produit à droite.

(frac{dy}{dx}=y⋅(sec^2xln(2x4+1)+frac{8x^3}{2x^4+1}⋅tanx)) Étape 4. Multipliez pary des deux côtés.

(frac{dy}{dx}=(2x^4+1)^{tanx}(sec^2xln(2x^4+1)+frac{8x^3}{2x^4+1}⋅tanx )) Étape 5. Remplacez (y=(2x^4+1)^{tanx}).

Exemple (PageIndex{9}) : extension de la règle de puissance

Trouvez la dérivée de (y=frac{xsqrt{2x+1}}{e^xsin^3x}).

Solution

Ce problème utilise réellement les propriétés des logarithmes et les règles de différenciation données dans ce chapitre.

(lny=lnfrac{xsqrt{2x+1}}{e^xsin^3x})Étape 1. Prenez le logarithme naturel des deux côtés.
(lny=lnx+frac{1}{2}ln(2x+1)−xlne−3lnsinx)Étape 2. Développez en utilisant les propriétés des logarithmes.
(frac{1}{y}frac{dy}{dx}=frac{1}{x}+frac{1}{2x+1}−1−3frac{cosx}{sinx} )Étape 3. Différencier les deux côtés.
(frac{dy}{dx}=y(frac{1}{x}+frac{1}{2x+1}−1−3cotx))Étape 4. Multipliez par (y) des deux côtés.
(frac{dy}{dx}=frac{xsqrt{2x+1}}{e^xsin^3x}(frac{1}{x}+frac{1}{2x+1} −1−3cotx))Étape 5. Remplacez (y=frac{xsqrt{2x+1}}{e^xsin^3x}.)

Exercice (PageIndex{5})

Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de (y=x^x).

Indice

Suivez la stratégie de résolution de problèmes.

Répondre

Solution : (frac{dy}{dx}=x^x(1+lnx))

Exercice (PageIndex{6})

Trouvez la dérivée de (y=(tanx)^π).

Indice

Utilisez le résultat de l'exemple.

Répondre

(y′=π(tanx)^{π−1}sec^2x)

Concepts clés

  • Partant de l'hypothèse que la fonction exponentielle (y=b^x,b>0) est continue partout et dérivable en 0, cette fonction est dérivable partout et il existe une formule pour sa dérivée.
  • Nous pouvons utiliser une formule pour trouver la dérivée de (y=lnx), et la relation (log_bx=frac{lnx}{lnb}) nous permet d'étendre nos formules de différenciation pour inclure des logarithmes avec des bases arbitraires.
  • La différenciation logarithmique permet de différencier des fonctions de la forme (y=g(x)^{f(x)}) ou des fonctions très complexes en prenant le logarithme népérien des deux côtés et en exploitant les propriétés des logarithmes avant de différencier.

Équations clés

  • Dérivée de la fonction exponentielle naturelle

(frac{d}{dx}(e^{g(x)})=e^{g(x)}g′(x))

  • Dérivée de la fonction logarithmique naturelle

(frac{d}{dx}(lng(x))=frac{1}{g(x)}g′(x))

  • Dérivée de la fonction exponentielle générale

(frac{d}{dx}(b^{g(x)})=b^{g(x)}g′(x)lnb)

  • Dérivée de la fonction logarithmique générale

(frac{d}{dx}(log_bg(x))=frac{g′(x)}{g(x)lnb})

Glossaire

différenciation logarithmique
est une technique qui nous permet de différencier une fonction en prenant d'abord le logarithme népérien des deux côtés d'une équation, en appliquant les propriétés des logarithmes pour simplifier l'équation et en différenciant implicitement

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

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Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques calculées.

La dérivée du logarithme naturel

Nous n'avons pas encore de formule de raccourci pour la dérivée du logarithme népérien, commençons donc par la définition. Ensemble .

C'est-à-dire que la limite à l'intérieur du logarithme est un peu au-delà de ce que nous pouvons gérer en ce moment, donc à moins que nous puissions proposer une stratégie différente, nous sommes bloqués.

Que sait-on de ce logarithme ? Nous savons que la fonction logarithme naturel est l'inverse de la fonction exponentielle. Autrement dit, puisque nous essayons de trouver la dérivée de , cela signifie que nous essayons de trouver . Plutôt que de travailler avec la version logarithmique de , essayons de travailler avec sa version exponentielle . Commençons par prendre la dérivée des deux côtés. Le côté droit est facile, mais qu'en est-il du côté gauche ? Si nous pensons simplement à une fonction de , alors le côté gauche est l'exponentielle avec le remplacé par une fonction. C'est un problème de règle de chaîne, quand nous pensons avoir une fonction extérieure et une fonction intérieure. Par règle de chaîne, . Mettons tout cela ensemble.

Nous remarquons une fois de plus que , donc . Cela donne notre formule dérivée.

La dérivée des exponentielles et des logarithmes avec d'autres bases

Nous avons trouvé des formules dérivées pour la fonction exponentielle naturelle et la fonction logarithme naturel , mais nous n'avons pas encore exploré d'autres bases. Ce sera notre objectif pour le reste de la section.

Pour les exponentielles, nous nous souvenons que n'importe quel nombre peut être écrit sous la forme d'une valeur spécifique de . Pour déterminer le , nous résolvons l'équation ainsi . C'est-à-dire, .

Pour trouver, nous trouvons , que nous connaissons par Chain Rule.

Réécriture au fur et à mesure que nous trouvons notre formule dérivée.

Pour traiter les logarithmes d'autres bases, on s'appuie sur la formule de changement de base :

Cette formule nous permet de remplacer un logarithme avec une base par un logarithme avec la base que nous voulons. Il y a une base que nous aimons plus que les autres, la base . Ça signifie .


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Objectifs

  • Trouver la dérivée des fonctions logarithmiques.
  • Utiliser la différenciation logarithmique pour déterminer la dérivée d'une fonction.

Résumé

Nous avons énoncé une règle pour les dérivées des fonctions exponentielles dans le même esprit que la règle pour les fonctions puissance : pour tout nombre réel positif (a ext<,>) si (f(x) = a^x ext< ,>) puis (f'(x) = a^x ln(a) ext<.>)

Pour une fonction exponentielle (f(x) = a^x) ((a gt 1) ext<,>) le graphique de (f'(x)) semble être une version à l'échelle de la fonction d'origine. En particulier, une analyse minutieuse du graphe de(f(x) = 2^x ext<,>) suggère que (frac[2^x] = 2^x ln(2) ext<,>) qui est un cas particulier de la règle que nous avons énoncée dans la section 2.1.

Dans ce qui suit, on trouve une formule pour la dérivée de (g(x) = ln(x) ext<.>) Pour ce faire, on profite du fait que l'on connaît la dérivée de l'exponentielle naturelle fonction, l'inverse de (g ext<.>) En particulier, on sait qu'écrire (g(x) = ln(x)) équivaut à écrire (e^ = x ext<.>) Maintenant, nous différencions les deux côtés de cette équation et observons que

Le côté droit est simplement (1 ext<>) en appliquant la règle de la chaîne au côté gauche, nous trouvons que

Ensuite, nous résolvons (g'(x) ext<,>) pour obtenir

Enfin, rappelons que (g(x) = ln(x) ext<,>) donc (e^ = e^ = x ext<,>) et donc

Pour tous les nombres réels positifs (x ext<,>) (frac[ln(x)] = frac<1> exte<.>)


3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Jusqu'à présent, nous avons appris à différencier une variété de fonctions, y compris les fonctions trigonométriques, inverses et implicites. Dans cette section, nous explorons les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Comme nous l'avons vu dans Introduction aux fonctions et aux graphiques, les fonctions exponentielles jouent un rôle important dans la modélisation de la croissance démographique et de la décroissance des matières radioactives. Les fonctions logarithmiques peuvent aider à redimensionner de grandes quantités et sont particulièrement utiles pour réécrire des expressions compliquées.

Dérivée de la fonction exponentielle

Tout comme lorsque nous avons trouvé les dérivées d'autres fonctions, nous pouvons trouver les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques à l'aide de formules. Au fur et à mesure que nous développons ces formules, nous devons faire certaines hypothèses de base. Les preuves de ces hypothèses dépassent le cadre de ce cours.

Tout d'abord, nous partons de l'hypothèse que la fonction est défini pour tout nombre réel et est continu. Dans les cours précédents, les valeurs des fonctions exponentielles pour tous les nombres rationnels ont été définies, en commençant par la définition de est un entier positif, comme le produit de multiplié par lui-même fois. Plus tard, nous avons défini pour un entier positif et pour les entiers positifs et Ces définitions laissent ouverte la question de la valeur de est un nombre réel arbitraire. En assumant le continuité de nous pouvons interpréter comme où les valeurs de comme nous prenons la limite sont rationnels. Par exemple, nous pouvons visualiser comme le nombre satisfaisant

Comme on le voit dans le tableau suivant,

Approximation d'une valeur de
64 77.8802710486
73.5166947198 77.8810268071
77.7084726013 77.9242251944
77.8162741237 78.7932424541
77.8702309526 84.4485062895
77.8799471543 256

On suppose aussi que pour la valeur de la dérivée existe. Dans cette section, nous montrons qu'en faisant cette hypothèse supplémentaire, il est possible de prouver que la fonction est différentiable partout.

Nous faisons une dernière hypothèse : qu'il existe une valeur unique de Pour qui Nous définissons être cette valeur unique, comme nous l'avons fait dans Introduction aux fonctions et aux graphiques. (Figure) fournit des graphiques des fonctions et Une estimation visuelle des pentes des lignes tangentes à ces fonctions à 0 fournit la preuve que la valeur de e se situe quelque part entre 2,7 et 2,8. La fonction est appelée fonction exponentielle naturelle. Son inverse, est appelée fonction logarithmique naturelle.

Le graphique de est entre et

Pour une meilleure estimation de nous pouvons construire un tableau d'estimations de pour les fonctions de la forme Avant de faire cela, rappelez-vous que

pour les valeurs de très proche de zéro. Pour nos devis, nous choisissons et pour obtenir le devis

Estimer une valeur de

Les preuves du tableau suggèrent que

Le graphique de avec la ligne sont montrés dans (Figure). Cette droite est tangente au graphique de à

La ligne tangente à à a la pente 1.

Maintenant que nous avons exposé nos hypothèses de base, nous commençons notre enquête en explorant la dérivée de Rappelons que nous avons supposé que existe. En appliquant la définition de la limite à la dérivée, nous concluons que

Changer en on obtient ce qui suit.

Nous voyons que sur la base de l'hypothèse que est différentiable à est non seulement dérivable partout, mais sa dérivée est

Pour Ainsi, nous avons (La valeur de pour une fonction arbitraire de la forme sera dérivé plus tard.)

Laisser être la fonction exponentielle naturelle. Puis

Trouver la dérivée de

En utilisant la formule dérivée et la règle de la chaîne,

Trouver la dérivée de

Utilisez la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, la règle du quotient et la règle de la chaîne.

Trouver la dérivée de

N'oubliez pas d'utiliser la règle du produit.

Une colonie de moustiques a une population initiale de 1000. Après jours, la population est donnée par Montrer que le rapport du taux de variation de la population, à la population, est constant.

Première trouvaille En utilisant la règle de la chaîne, on a Ainsi, le rapport entre le taux de variation de la population et la population est donné par

Le rapport du taux de variation de la population à la population est la constante 0,3.

Si décrit la population de moustiques après jours, comme dans l'exemple précédent, quel est le taux de variation de après 4 jours ?

Trouve

Dérivée de la fonction logarithmique

Maintenant que nous avons la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver la dérivée de son inverse, la fonction logarithmique naturelle.

Si et ensuite

Plus généralement, laissez être une fonction différentiable. Pour toutes les valeurs de Pour qui la dérivée de est donné par

Preuve

Si et ensuite En différenciant les deux côtés de cette équation, on obtient l'équation

Résoudre pour rendements

Enfin, on remplace obtenir

Nous pouvons également dériver ce résultat en appliquant le théorème de la fonction inverse, comme suit. Depuis est l'inverse de en appliquant le théorème de la fonction inverse on a

En utilisant ce résultat et en appliquant la règle de la chaîne à rendements

Le graphique de et sa dérivée sont montrés dans (Figure).

augmente sur Son dérivé est supérieur à zéro sur

Trouver la dérivée de

Trouver la dérivée de

A première vue, prendre cette dérivée apparaît assez compliquée. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes avant de trouver la dérivée, nous pouvons rendre le problème beaucoup plus simple.

Différencier:

Utilisez une propriété de logarithmes pour simplifier avant de prendre la dérivée.

Maintenant que nous pouvons différencier la fonction logarithmique naturelle, nous pouvons utiliser ce résultat pour trouver les dérivées de et pour

Laisser et laissez être une fonction différentiable.

    Si, ensuite

Plus généralement, si alors pour toutes les valeurs de X Pour qui

Plus généralement, si ensuite

Preuve

Si ensuite Il s'ensuit que Ainsi Résoudre pour on a Différencier et garder à l'esprit que est une constante, on voit que

La dérivée dans (Figure) découle maintenant de la règle de la chaîne.

Si ensuite En utilisant la différenciation implicite, en gardant à l'esprit que est constante, il s'ensuit que Résoudre pour et en remplaçant on voit ça

La dérivée plus générale ((Figure)) découle de la règle de la chaîne.

Trouver la dérivée de

Utilisez la règle du quotient et (Figure).

Trouver la pente de la droite tangente au graphique de à

Pour trouver la pente, il faut évaluer à En utilisant (Figure), nous voyons que

En évaluant la dérivée à on voit que la tangente a une pente

Trouver la pente de la droite tangente à à

Évaluer la dérivée à

Différenciation logarithmique

À ce stade, nous pouvons prendre des dérivées de fonctions de la forme pour certaines valeurs de ainsi que les fonctions de la forme et Malheureusement, nous ne connaissons toujours pas les dérivées de fonctions telles que ou alors Ces fonctions nécessitent une technique appelée différenciation logarithmique , qui nous permet de différencier n'importe quelle fonction de la forme Il peut également être utilisé pour convertir un problème de différenciation très complexe en un problème plus simple, comme trouver la dérivée de Nous décrivons cette technique dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.

  1. À différencier en utilisant la différenciation logarithmique, prendre le logarithme népérien des deux côtés de l'équation pour obtenir
  2. Utiliser les propriétés des logarithmes pour développer autant que possible.
  3. Différencier les deux côtés de l'équation. A gauche nous aurons
  4. Multipliez les deux membres de l'équation par résoudre pour
  5. Remplacer par

Trouver la dérivée de

Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver cette dérivée.

Trouver la dérivée de

Ce problème utilise réellement les propriétés des logarithmes et les règles de différenciation données dans ce chapitre.

Trouver la dérivée de est un nombre réel arbitraire.

Le processus est le même que dans (Figure), mais avec moins de complications.

Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de

Suivez la stratégie de résolution de problèmes.

Trouver la dérivée de

Concepts clés

  • En partant de l'hypothèse que la fonction exponentielle est continue partout et dérivable en 0, cette fonction est dérivable partout et il existe une formule pour sa dérivée.
  • On peut utiliser une formule pour trouver la dérivée de et la relation nous permet d'étendre nos formules de différenciation pour inclure des logarithmes avec des bases arbitraires.
  • La différenciation logarithmique permet de différencier des fonctions de la forme ou des fonctions très complexes en prenant le logarithme népérien des deux côtés et en exploitant les propriétés des logarithmes avant de les différencier.

Dérivées De Fonctions Exponentielles Et Logarithmiques Problèmes Pratiques Pdf

Publié le samedi 29 mai 2021 à 08:31:15. Feuille de travail. Par Andréa Rose.

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3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Logarithmique et exponentielle

Problème : laissez et

(je)

(ii)

(iii)

(iv)

Nous explorerons les graphiques de nos nouvelles fonctions, et explorerons les changements dans les domaines et les plages.

On considère d'abord les graphiques de et .

On voit tout de suite que et .

Nous remarquons que semble rester à droite de l'axe des y, et semble rester au-dessus de l'axe des x.

Une petite réflexion révèle qu'en fait cela doit être le cas puisque pour tous , Ceci est dû au fait que , et donc toute puissance de doit également être supérieur à zéro.

Maintenant pour , il faut d'abord noter comment et sont liés. Quand on parle de , nous demandons simplement quelle puissance de est égal à . C'est quand

, Qu'est-ce que ?

Par example, puisque implique que Cela explique pourquoi est toujours à droite de l'axe des y, puisque pour tous . D'où, n'est pas défini pour .

On dit que le domaine de , noté et la gamme de , noté

De même, et .

À présent, , aimer , est toujours à droite de l'axe des y.

Bien évidemment si , puisque n'est pas défini pour .

D'où, et .

Nous non plus que se situe entre les graphiques de et , mais cela a du sens car nous ajoutons simplement les deux fonctions respectives pour former .

Considérez maintenant .

Encore une fois, nous voyons que et .

Mais cette fois, la croissance de dépasse finalement . Juste une petite réflexion, nous comprenons pourquoi cela doit être le cas, puisque pour tous , et si .

Qu'en est-il de

Eh bien, comme prévu et .

Que peut-on deviner et , où .

Ce temps et .

Remarquer: semble être très similaire au graphique . Eh bien, il suffit de noter que , et donc , la fonction identité.

Dans ce cas, on dit que et , et donc .

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Randolph H.S. AP Calcul AB '09

Ch 5 Sect 1 45-69 cotes (solutions dans le livre électronique)

Vidéo : Ch5 Sect 1 45-49 impair
Vidéo : Ch5 Sect 1 49(suite)-51 impair
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Ch 5 Sect 5 41-59 cotes (solutions dans le livre électronique)

Vidéo : Ch5 Sect 5 41-47 impair
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Ch 5 Sect 8 41-59 cotes (solutions dans le livre électronique)


Annexe : Dérivés partiels

Disons que notre fonction dépend de deux entrées :

La dérivée de f peut être vue du point de vue de x (comment f change-t-il avec x ?) ou du point de vue de y (comment f change-t-il avec y ?). C'est la même idée : nous avons deux perspectives « indépendantes » que nous combinons pour le comportement global (c'est comme combiner le point de vue de deux solipsistes, qui pensent être les seuls « vrais » de l'univers).

Si x et y dépendent de la même variable (comme t, temps), nous pouvons écrire ce qui suit :

C'est un peu la règle de la chaîne -- nous combinons deux perspectives, et pour chaque perspective, nous plongeons dans sa cause profonde (le temps).

Si x et y sont par ailleurs indépendants, nous représentons la dérivée le long de chaque axe dans un vecteur :

C'est le dégradé, une façon de représenter "A partir de ce point, si vous voyagez dans la direction x ou y, voici comment vous allez changer". Nous avons combiné nos "points de vue" à une dimension pour comprendre l'ensemble du système 2D. Ouah.


Noter: For a complex example of expanding a logarithmic expression using the laws of logarithms, see question #1 in the Additional Examples section at the bottom of the page. For an example of solving a logarithmic expression, see question #2 in the Additional Examples section.

UNE natural logarithm, denoted ln rather than log, is a logarithm with base e. The irrational number e is equal to 2.718281828459. This number has important applications in calculus and the true meaning of it will be explained in the Derivatives of Logarithmic Functions section. For now, it can be taken as a special number that is approximately equal to 2.718.

The notation for natural logarithms is a bit different than the notation for regular logarithms. The natural logarithm is equal to the logarithm with the base e.

One special property of natural logarithms is that ln e = 1. This property is easily seen, since the logarithmic form of ln e is loge e, which is always equal to 1 for any variable.

The definition of natural logarithms follows from the definition of regular logarithms, where

The cancellation equations for natural logarithms also follow from the property for regular logarithms.

The laws of logarithms can also be applied to natural logarithms by letting the base a equal e. The laws of natural logarithms are shown below. For any x,y > 0 and any real number r,


Voir la vidéo: Dérivés des fonctions exponentielles - Les fonctions exponentielles et logarithmiques (Octobre 2021).