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Réponse au défi 18


Polka Dots sur la droite

Il s'agit d'un problème mathématique de l'Olympiade. Si les boules de 1999 sont de la même couleur, la succession des nombres augmente ou diminue. Chaque numéro n'apparaît qu'une seule fois et il y en a 1999 (il n'y a donc pas exactement 3 chiffres qui se répètent un nombre impair de fois (1 est impair), donc il y a des boules des deux couleurs.

Étant donné une distribution des billes qui a dans une certaine position une balle bleue Un et dans la position suivante une boule rouge Rs'il y a le marbres bleus à gauche de Un et r boules rouges sur votre droite donc il y a le + 1 boules bleues à gauche de R et r - 1 boules rouges sur votre droite. Le numéro écrit ci-dessous Un é non = le + r et le numéro inscrit sous R é le + 1 + r - 1 = n.

Si nous changeons de place Un et R, et nous n'avons déplacé aucune autre balle, dans la nouvelle distribution il y a le marbres bleus à gauche de R et r - 1 boules rouges à droite, à gauche de Un il y a le boules bleues et à votre droite r - 1 boules rouges. Les chiffres écrits ci-dessous R et Un sont a + r - 1= n - 1 et a + r - 1 = non - 1. Les chiffres écrits sous les autres boules ne changent pas.

Donc, après l'échange, le nombre non répète deux fois moins et le nombre non - 1 se répète deux fois de plus. Les nombres qui se répètent un nombre impair de fois seront les mêmes dans les deux configurations.

Par conséquent, étudiez simplement la configuration dans laquelle toutes les boules rouges sont consécutives à partir de la première, et toutes les bleues sont consécutives à partir du dernier rouge.

Soit a, b les quantités de boules rouges et bleues respectivement; puis a + b = 1999. Sous la première boule (elle est rouge) se trouve le nombre a - 1, la suivante, a - 2, puis a - 3, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il y ait 0 dans la dernière boule rouge (en position a ). Donc, sous la première balle bleue, il y a 0, dans le second 1 et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, qui a b - 1 en dessous.

Si a <b, les nombres 0, 1, 2,…, a - 1 apparaissent deux fois (quantité paire) et les nombres a, a + 1, a + 2,…, b - 1 apparaissent une fois (quantité impaire) . S'il y a exactement 3 nombres qui apparaissent un nombre impair de fois, ce sont a, a + 1 et a + 2 = b - 1. Par conséquent, a + b = 2a + 3, donc a = 998, et les trois nombres répéter un nombre impair de fois sont 998, 999 et 1000.

Si a> b, les trois nombres qui apparaissent un nombre impair de fois sont b, b +1 et b + 2 = a - 1, où a + b = 2b + 3 et les trois nombres sont à nouveau 998, 999 et 1000 .

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