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12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques


12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques

La position de tout point dans un système de coordonnées cylindriques s'écrit sous la forme

[ <f r>= r hat <f r>+ z hat <f z>]
où (hat <f r>= (cos heta, sin heta, 0)). Notez que (hat heta) n'est pas nécessaire dans la spécification de (<f r>) car ( heta), et (hat <f r>= (cos heta , sin heta, 0)) changent si nécessaire pour décrire la position. Cependant, il apparaîtra dans les équations de vitesse et d'accélération parce que

En résumé, les identités utilisées ici incluent

Revenir à l'équation de position et différencier par rapport au temps donne la vitesse.

[ <f v>quad = quad (r hat <f r>+ z hat<f z>) quad = quad ( dot r , hat <f r>+ r omega hat<oldsymbol< heta>> + dot z , hat<f z>) ]
Cela pourrait aussi s'écrire comme

[ <f v>= (v_r , hat <f r>+ v_ heta hat<oldsymbol< heta>> + v_z , hat<f z>) ]
où (v_r = dot r, v_ heta = r , omega,) et (v_z = dot z).

Différencier à nouveau pour obtenir de l'accélération.

Le terme (- r , omega^2 , hat<f r>) est l'accélération centripète. Puisque ( omega = v_ heta / r ), le terme peut aussi être écrit comme (- (v^2_ heta / r) , hat <f r>).

Le terme (2 dot r omega , hat<oldsymbol< heta>>) est l'accélération de Coriolis. Il peut également être écrit sous la forme (2 , v_r , omega , hat<oldsymbol< heta>>) ou même sous la forme ( (2 , v_r , v_ heta / r ) hat <oldsymbol< heta>>), qui met l'accent sur le produit de (v_r) et (v_ heta) dans le terme.

Accélérations centripètes dans le pneu

L'accélération centripète d'un pneu roulant à 70 mph est remarquablement élevée. 70 mph est 31,3 m/s, et c'est (v_ heta). Pour un pneu d'un rayon de 0,3 m, l'accélération centripète est

Exemple d'accélération cylindrique

Cet exemple utilise la fonction (r=[17-cos(4 heta)]/16), avec ( heta = t), et calcule les composantes d'accélération.

[ commencer ddot r & = & cos(4 heta) end ]
Le vecteur d'accélération est donc

2e exemple d'accélération cylindrique

Une barre tourne à une vitesse, (omega). Un collier commence à (R_o) et est en train d'être jeté sans frottement. L'accélération radiale est donc nulle. Par conséquent

[ a_r = ddot r - r , omega^2 = 0 ]
Il s'agit d'une équation différentielle du 2ème ordre, dont la solution est

[ r = A e^ + B , e^ <-omega , t>]
Supposons que les conditions initiales soient (r(0) = R_o) et (dot r(0) = 0). Cela mène à

[ A = B = ]
Donc la solution est

[ r = R_o cosh(omega , t) ]
Rappelez-vous, cela donne une accélération radiale nette nulle pour le cas où (omega = constant).

Rappelons que l'accélération circonférentielle est

[ a_ heta = r , alpha + 2 dot r omega ]

(alpha) vaut zéro car (omega) est une constante. (point r) est

[ dot r = R_o , omega sinh(omega , t) ]
et tout cela se combine pour donner

[ a_ heta = 2 R_o , omega^2 sinh(omega , t) ]
qui est une grande accélération circonférentielle due entièrement à l'effet Coriolis, même si (omega) est constant.


12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques

Pour le mouvement plan, de nombreux problèmes sont mieux résolus en utilisant les coordonnées polaires, r et &theta. Cela nécessite le développement d'équations de position, de vitesse et d'accélération basées sur, r et &theta.

Avant que la vitesse et l'accélération puissent être déterminées en coordonnées polaires, la position doit être définie. Contrairement aux coordonnées rectilignes (x,y,z), les coordonnées polaires se déplacent avec le point et peuvent changer avec le temps. Même si la coordonnée r se déplace, le vecteur de position r, est mesuré dans la direction r, donnant

r = r er
Rapidité

Semblable à d'autres systèmes de coordonnées, la vitesse peut être déterminée en prenant une dérivée temporelle de la position,

Puisque le système de coordonnées se déplace, la dérivée temporelle du vecteur unitaire, er, n'est pas nul. En utilisant une dérivation similaire à celle trouvée dans la théorie des systèmes de coordonnées n-t, les expressions des dérivées des vecteurs radiaux unitaires et transversaux unitaires peuvent être déterminées comme,

La dérivée de la e&thêta le vecteur unitaire comprend un signe négatif car il change vers l'intérieur au fur et à mesure qu'il se déplace (vers l'intérieur est une direction r négative). La règle de la chaîne peut alors être utilisée pour exprimer la dérivée temporelle du vecteur radial unitaire comme

La substitution des relations ci-dessus dans l'équation de vitesse donne

Accélération
Une dérivée temporelle de la vitesse donnera une expression pour l'accélération,

La règle de la chaîne peut être utilisée pour exprimer la dérivée temporelle du vecteur transversal unitaire comme

En substituant ceci dans l'équation précédente, et en réarrangeant, donne l'accélération en termes de composantes radiales et transversales,

Il est important de noter que les directions r et &theta ont plusieurs termes. L'accélération dans la direction r et &theta n'est pas seulement d 2 r/dt 2 et d 2 &theta/dt 2 , respectivement, puisque les coordonnées se déplacent.


M. Kennedy : un autre passionné de mathématiques

En se référant au diagramme ci-dessus, le vecteur unitaire polaire ( hat < r >) a la relation suivante avec les vecteurs unitaires rectangulaires ( hat < i >) et ( hat < j >)

$ chapeau = left(cos heta ight) hat + left( sin heta ight ) hat $

Le vecteur unitaire polaire ( hat < heta >) est toujours perpendiculaire à ( hat < r >). D'après le diagramme ci-dessus, ( hat < heta >) a la relation suivante avec les vecteurs unitaires rectangulaires ( hat < i >) et ( hat < j >)

$ hat < heta>= left( -sin heta ight) hat + left( cos heta ight) hat $

En coordonnées polaires, la position d'un objet ( R ) distance de l'origine telle que représentée dans le diagramme ci-dessus est modélisée
$ mathbf = R hat $

La vitesse et l'accélération en coordonnées polaires sont dérivées en différenciant le vecteur de position.

Différencier les rendements ( hat < r >)

$ frac>

= gauche(-frac
sin heta ight) hat + gauche( frac
cos heta ight ) hat = frac
left[ left( -sin heta ight) hat + left( cos heta ight) hat droit] $
$ frac>
= frac
hat < heta>$

ce qui implique que la vitesse est

Différencier la vitesse donne l'accélération.

$ frac>

= gauche(-frac
cos heta ight) hat + gauche( – frac
sin heta ight ) hat = -frac
left[ left( cos heta ight) hat + left( sin heta ight) hat droit] $
$ frac>
= -frac
chapeau $


Mouvement curviligne plan - Coordonnées polaires

le système de coordonnées polaires est défini par les coordonnées r et θ . Tout comme les axes de coordonnées n-t, les axes r et θ sont attachés et se déplacent avec la particule.

  • Positionner: ( r ) Le vecteur qui commence à l'origine du système de coordonnées x-y et pointe vers la particule.

Rapidité

Les axes r-θ sont fixés au corps. Cela signifie qu'ils sont attachés et se déplacent avec la particule. Nous savons que la vitesse est le taux de changement de position dans le temps, comme indiqué ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, l'équation de vitesse contient la dérivée temporelle d'un vecteur de directions unitaire. La dérivée temporelle d'un vecteur directionnel unitaire dans un système de coordonnées fixes n'est généralement pas nulle.

v = d r /dt = d(r e r )/dt = (dr/dt) e r + r(d e r /dt)

En utilisant les valeurs de la dérivée temporelle des vecteurs directeurs unitaires, nous obtenons l'équation de vitesse de coordonnées polaires suivante.

Accélération

L'accélération est le taux de changement de vitesse dans le temps, comme indiqué ci-dessous. A nouveau, les dérivées des vecteurs directeurs unitaires ne sont généralement pas nulles.

En utilisant les expressions ci-dessus pour les dérivées temporelles des vecteurs directeurs unitaires, nous obtenons l'équation de vitesse de coordonnées polaires suivante.


2 réponses 2

Considérez l'image ci-dessous.

En coordonnées cartésiennes $hat r=cos hetahat i+sin hetahat j,$ et $hat heta=-sin hetahat i+cos hetahat j.$ Donc $ frac=hat heta$

Nous utiliserons un point supérieur pour la 1ère dérivée par rapport à $:t:$, par exemple

Maintenant, laissez un système de coordonnées $:left(x,y ight):$ dans le plan comme dans la figure ci-dessus et $:mathbf,mathbf:$ les vecteurs de base unitaires le long de l'axe $:Ox,Oy:$ respectivement. Le vecteur de position $mathbfleft(t ight)$ de la particule peut s'exprimer comme suit : egin mathbfleft(t ight)= left[r cos heta left(t ight) ight]mathbf+left[r sin heta left(t ight) ight]mathbf ag <03>end

Notez que toutes les quantités comme vecteur de position $:mathbf:$, vecteur vitesse $:mathbf:$, angle $: heta:$ et comme on le voit ci-dessous les vecteurs unitaires $:mathbf_,mathbf_< heta>:$ sont des fonctions du temps et il est donc pratique d'omettre $:t:$.

Donc (03) donne egin mathbf= rgauche[gauche(cos heta ight)mathbf+ gauche(sin heta ight)mathbf ight]= rmathbf_ ag <04>end où par définition egin mathbf_ equiv left(cos heta ight)mathbf+ gauche(sin heta ight)mathbf ag <05>end est un vecteur unitaire le long de $:mathbf :$, comme dans la figure. Le vecteur vitesse est egin mathbf=dfrac<>>

= dot>=pointmathbf_+rpoint>_=pointmathbf_+rdot< heta>left[left(-sin heta ight)mathbf+ gauche(cos heta ight)mathbf ight]=dotmathbf_+ rdot< heta>mathbf_ < heta> ag <06>end où par définition egin mathbf_ < heta>equiv left(-sin heta ight)mathbf+ gauche(cos heta ight)mathbf ag <07>end est un vecteur unitaire normal à $:mathbf :$, comme dans la figure.


12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques

Coordonnées polaires (radiales/transversales)

Ce système de coordonnées est pratique à utiliser lorsque la distance et la direction d'une particule sont mesurées par rapport à un point fixe ou lorsqu'une particule est fixée ou se déplace le long d'un bras rotatif.

Les coordonnées sont choisies de telle sorte que :

er est un vecteur unitaire pointant radialement vers l'extérieur depuis l'origine vers la particule, et e est un vecteur unitaire pointant perpendiculairement à la ligne radiale dans le sens croissant .

er = cos je + péché j
e = -péché je + car j

Par conséquent, la position de la particule en coordonnées polaires est donnée par

la vitesse de la particule est donnée par

et l'accélération est donnée par

Encore une fois, la vitesse sera toujours tangente à la trajectoire et l'accélération aura généralement des composantes à la fois normales et tangentes à la trajectoire.


Matériel de cours

Vous trouverez ci-dessous des copies vierges des plans de cours que vous trouverez dans mes vidéos de cours. Certains élèves me disent qu'ils aiment les imprimer ou les télécharger pour les aider à prendre des notes. Une fois que nous aurons terminé de passer un sujet, je publierai également une copie manuscrite remplie de mes notes sur cette page.

REMARQUE : Veuillez ignorer les dates d'échéance des devoirs sur une page de ces plans, à la place, sortez toujours du calendrier des cours et des dates d'échéance sur Webassign.

12.1 Plan du cours - 12.1 Notes : Introduction à la 3D, aux axes, aux plans de coordonnées, à la distance et aux sphères.
12.2 Plan de cours - 12.2 Notes : Introduction aux vecteurs : addition, magnitude, multiplication scalaire, vecteur unitaire Puis Introduction aux produits scalaires.
12.3 Plan de cours - 12.3 Notes : Produits scalaires : définition, grands théorèmes/faits, orthogonalité, angle entre vecteurs, projections, puis introduction au produit croisé.
12.4 Plan de la conférence - 12.4 Notes : Produits croisés : définition, calcul/vérification, faits marquants, règles de la main droite, aire de parallélogramme. Puis introduction aux lignes.
12.5 Plan du cours - 12.5 Notes 1 : Lignes et plans en 3D.
12.5 Notes 2 : Lignes et plans en 3D - Comment aborder les problèmes.
12.6 Résumé : Introduction aux Surfaces en 3D, traces, puis 7 noms importants : Cylindres, Paraboloïdes (Deux Types : Elliptiques ou Hyperboliques), Hyperboloïdes (Deux Types : Une Feuille ou Deux Feuilles), Cônes, Sphères/Ellipsoïdes. Il faut savoir identifier toutes ces formes et savoir généralement à quoi elles ressemblent.
Ch. 12 - Fiche d'information rapide
Examen 1 Présentation, révision et conseils d'étude
EXAMEN 1 - sur le chapitre 12.

13.1 Plan de cours - 13.1 Notes : Introduction aux courbes vectorielles : comment visualiser (surface de mouvement), penser en termes de points ou de vecteurs de position.
13.2 Plan de cours - 13.2 Notes : Calcul sur des courbes vectorielles : vecteur tangent/dérivé, tangente unitaire, ligne tangente, intégrale/anti-dérivée.
13.3 Plan du cours - 13.3 Notes : Mesure sur des courbes 3D : Unité Tangente, Unité Principale Normale, Longueur de l'Arc, Courbure.
13.4 Plan de cours - 13.4 Notes : Accélération et vitesse en 3D : Antidertivatif pour passer de l'accélération à la vitesse à la position, les composantes tangente et normale de l'accélération.
Ch. Fiche d'information 12 & 13 - Outils vectoriels et calcul vectoriel sur courbes 3D
EXAMEN 2 - sur le chapitre 13.

14.1/3 Plan de cours - 14.1/3 Notes : Introduction au domaine des surfaces 3D et des dérivées partielles, traces, courbes de niveau, carte de contour, dérivées partielles et interprétation.
14.3/4 Plan de cours - 14.3/4 Notes : En savoir plus sur les dérivées partielles ainsi que sur les plans tangents et l'approximation linéaire
14.4/7 Plan de cours - 14.7 Notes 1 : Discussion des points critiques et Max/Min locaux
14.7 Aperçu de la conférence 2 - 14.7 Notes 2 : Discussion sur Global Max/Min (limites d'une région)
Ch. 14 Revue complète
EXAMEN 3 - sur le chapitre 14.

15.1 Plan du cours - 15.1 Notes : Introduction aux intégrales doubles.
15.2 Plan du cours - 15.2 Notes : Intégrales doubles sur des régions générales, ordre inverse, mise en place, évaluation.
10.3 Plan de cours - 10.3 Notes : Coordonnées polaires (un outil dont nous avons besoin pour travailler avec des régions circulaires).
15.3 Plan de cours - 15.3 Notes : Intégrales doubles sur les régions polaires, comment intégrer au-dessus des régions circulaires !
15.4 Plan de cours - 15.4 Notes : Centre de masse
Examen 4 Faits - Ch. 15 avis
EXAMEN 4 - sur le chapitre 15.

TN 1 Plan de cours - TN 1 Notes : lignes tangentes et introduction aux bornes d'erreur
TN 2-3 Plan de cours - TN 2-3 Notes : polynômes de Taylor d'ordre supérieur et inégalité de Taylor
Plan de cours TN 4 - Notes TN 4 : Série Taylor
Plan de cours TN 5 - Notes TN 5 : Manipuler la série Taylor
Fiche d'information sur les notes de Taylor
EXAMEN 5 - sur les polynômes/séries de Tayloy


12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques

C'est bien, mais nous voulons généralement que la vitesse soit exprimée dans les directions r et θ, plutôt que les coordonnées x et y. Pour passer à la nouvelle base orthonormée, prenez le produit scalaire du vecteur vitesse ci-dessus avec le vecteur radial unitaire et le vecteur tangent unitaire. Ces vecteurs sont respectivement cos(θ),sin(θ) et -sin(θ),cos(θ). Après avoir pris des produits scalaires, la vitesse, mesurée le long de r et θ, est r′ et r×θ′. La vitesse radiale est le changement de r et la vitesse tangentielle est le changement de θ fois r. Lorsque la particule est loin de l'origine, un petit changement de θ fait une grande différence.

Différencier à nouveau, en utilisant la règle de la chaîne, pour obtenir l'accélération. Ajoutez à cela les vecteurs unitaires radiaux et tangentiels, comme nous l'avons fait avec la vitesse. Je vous épargne l'algèbre. L'accélération à partir de l'origine est r′′-r×θ′ 2 . Le premier terme est l'accélération radiale et le second est l'accélération centripitale. Si la particule trace un cercle parfait, le second terme donne l'accélération nécessaire pour maintenir la particule sur son orbite.

L'accélération dans la direction tangentielle est rθ′′+2r′θ′. Le premier terme est l'accélération angulaire amplifiée par la distance radiale, et le second terme est la force de Coriolis. Il faut une force supplémentaire pour faire tourner une patineuse au même rythme, alors qu'elle étend ses bras. Ses mains, se déplaçant vers l'extérieur, représentent le r′×θ′.


12.6 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires - Mathématiques

Dans la section Mouvement curviligne : Coordonnées rectilignes, il a été montré que la vitesse est toujours tangente à la trajectoire du mouvement, et que l'accélération ne l'est généralement pas.

Si la composante d'accélération le long de la trajectoire du mouvement est connue, le mouvement en termes de composantes normales et tangentielles peut être analysé.

Considérons un point P se déplaçant le long d'une trajectoire courbe.

Le vecteur de position r spécifie la position de P par rapport au point de référence O, et s mesure la position de P le long du chemin par rapport au point de référence O'. Le vecteur tangent unitaire, et, est tangente à la trajectoire au point P.

Rapidité

Vitesse d'une particule dans un plan

La vitesse du point le long de la trajectoire se trouve en prenant la dérivée de la position,

Comme la vitesse est tangente à la trajectoire, elle peut être exprimée en termes de et,

v = ds/dt et = v et
Accélération


Relation entre la normale
et direction tangente


Relation entre et et em


Définition du rayon de courbure

Semblable aux coordonnées rectilignes, l'accélération est obtenue en différenciant la vitesse (deux parties) comme

une = dv/dt = dv/dt et + vdet/dt

Comme l'accélération n'est pas, en général, tangente à la trajectoire, il est utile de l'exprimer en termes de composantes qui sont normales et tangentes à la trajectoire. Pour ce faire, la dérivée temporelle du vecteur tangent unitaire, et, sera trouvé.

Laisser et(t) être le vecteur tangent unitaire à l'instant t, et et(t + &Deltat) le vecteur tangent unitaire au temps t + &Deltat. Si et(t) et et(t + &Deltat) sont tirés de la même origine, ils forment deux rayons de longueur 1 sur le cercle unité. L'ampleur de &Deltaet est donné par l'équation


Voir la vidéo: la vitesse en coordonnées polaires (Octobre 2021).