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2.5 : Dérivées - Mathématiques


La définition de la dérivée complexe d'une fonction complexe est similaire à celle d'une dérivée réelle d'une fonction réelle : Pour une fonction (f(z)) la dérivée (f) en (z_0) est définie comme

[f'(z_0) = lim_{z à z_0} dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}]

A condition, bien sûr, que la limite existe. Si la limite existe on dit que (f) est analytique en (z_0) ou (f) est dérivable en (z_0).

Rappelles toi: La limite doit exister et être la même quelle que soit votre approche de (z_0) !

Si (f) est analytique en tous les points d'une région ouverte (A) alors on dit que (f) est analytique sur (A).

Comme d'habitude avec les dérivés, il existe plusieurs notations alternatives. Par exemple, si (w = f(z)) on peut écrire

[f'(z_0) = dfrac{dw}{dz} lvert_{z_0} = lim_{z o z_0} dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = lim_{Delta o 0} dfrac{Delta w}{Delta z}]

Exemple (PageIndex{1})

Trouvez la dérivée de (f(z) = z^2).

Solution

Nous l'avons fait ci-dessus dans l'exemple 2.2.1. Jetez un oeil à cela maintenant. Bien sûr, (f'(z) = 2z).

Exemple (PageIndex{2})

Show (f(z) = overline{z}) n'est dérivable en aucun point (z).

Solution

Nous l'avons fait ci-dessus dans l'exemple 2.2.2. Jetez un oeil à cela maintenant.

Défier. Utilisez des coordonnées polaires pour montrer que la limite dans l'exemple précédent peut être n'importe quelle valeur avec le module 1 en fonction de l'angle auquel (z) se rapproche de (z_0).

Règles dérivées

Ce ne serait pas très amusant de calculer chaque dérivée en utilisant des limites. Heureusement, nous avons les mêmes formules de différenciation que pour les fonctions à valeur réelle. Autrement dit, en supposant que (f) et (g) soient dérivables, nous avons :

  • Règle de somme : [dfrac{d}{dz} (f(z) + g(z)) = f' + g']
  • Règle de produit : [dfrac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f'g + fg']
  • Règle du quotient : [dfrac{d}{dz} (f(z)/g(z)) = dfrac{f'g - fg'}{g^2}]
  • Règle de chaîne : [dfrac{d}{dz} g(f(z)) = g'(f(z)) f'(z)]
  • Règle inverse : [dfrac{df^{-1} (z)}{dz} = dfrac{1}{f' (f^{-1} (z))}]

Pour vous donner une idée de ces arguments, nous allons prouver la règle du produit.

[egin{array} {rcl} {dfrac{d}{dz} (f(z) g(z))} & = & {lim_{z o z_0} dfrac{f(z) g (z) - f(z_0) g(z_0)}{z - z_0}} {} & = & {lim_{z o z_0} dfrac{(f(z) - f(z_0)) g (z) + f(z_0) (g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} {} & = & {lim_{z o z_0} dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} g(z) + f(z_0) dfrac{(g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} {} & = & {f' (z_0) g(z_0) + f(z_0) g'(z_0)} end{tableau}]

Voici un fait important que vous auriez deviné. Nous le prouverons dans la section suivante.

Théorème (PageIndex{1})

Si (f(z)) est défini et différentiable sur un disque ouvert et (f'(z) = 0) sur le disque alors (f(z)) est constant.


Dérivés d'ordre supérieur

Supposons que $SsubsetR^n$ est ouvert. Si $f:S o R$ est une fonction de la classe $C^1$, il peut arriver que les dérivées partielles de $f$ soient elles-mêmes différenciables, de sorte que l'on peut définir $ frac< partiel x_j>(fracf) $ pour tout $i,j = 1,ldots, n$. Ceux-ci sont dérivées partielles du second ordre de $f$. Ils sont notés de diverses manières, y compris $ %frac(fracf), quad frac< partial x_j partial x_i>, quad f_, quad partial_jpartial_i f,quad partial_ f $ et plus. Si $i=j$ alors on peut aussi écrire $ frac, quad f_, quad partial_i^2 f,quad partial_ f, ldots $ Une dérivée partielle du second ordre $frac $ est dite mixte si $i e j$ et pur autrement.

Définition 1. On dit que $f$ est $C^2$ (ou parfois de classe $C^2$ ) dans $S$ si les dérivées partielles du second ordre existent et sont continues partout dans $S$.

Théorème 1. Supposons que $S$ soit un sous-ensemble ouvert de $R^n$. Si $f:S o R$ est $C^2$,

pour tout $i,j=1,ldots, n$, partout dans $S$.

Pour simplifier la notation, nous allons le prouver pour une fonction de variables $2$. Ceci implique le cas général, puisque lorsque l'on calcule $frac$ ou $frac $ à un point particulier, toutes les variables sauf $x_i$ et $x_j$ sont gelées, de sorte que $f$ peut être considéré (pour ce calcul) en fonction de $x_i$ et $x_j$ seuls.

Étant donné $fx = (x,y) in SsubsetR^2$, nous allons montrer que eginétiqueter lim_ fraction 1 ig[ f(x+h, y+h) -f(x, y+h) - f(x+h, y) +f(x, y) ig] = frac (x,y) end et que la même limite est également égale $frac (x,y)$. Cela prouvera à la fois le théorème et nous dira ce que signifient les dérivées partielles mixtes du second ordre.

Fixez temporairement $hin R$ tel que $B(2h , fx)subset S$, et soit $ phi(s) := f(x+h, s) -f(x, s). $ Ensuite, en utilisant le théorème de la valeur moyenne en dimension 1$ à deux reprises, commencer f(x+h, y+h) -&f(x, y+h) - f(x+h, y) +f(x, y) & onumber &= phi(y+h) - phi(y)& onumber &= hphi'(y+ heta_1 h)& mbox heta_1in (0,1) %,mbox < par le 1d MVT> onumber &= h Big[ frac(x+h, y+ heta_1 h ) - frac(x, y+ heta_1 h) Big] onumber &= h Big[ hig( frac (frac(x+ heta_2 h, y+ heta_1 h)ig) Big] & mbox heta_2in (0,1) %,mbox < par le 1d MVT> onumber &= h^2 frac(x+ heta_2 h , y+ heta_1 h). onuméro end Puisque cela vaut pour tout $h$ suffisamment petit (avec $ heta_1$ et $ heta_2$ dépendant de $h$, mais toujours dans l'intervalle $(0,1)$) et $(x+ heta_2 h, y+ theta_1 h) o (x,y)$ comme $h o 0$, cela implique eqref. Par contre, en passant par le même argument, mais avec les rôles des $x$ et $y$ inversés, on trouve que la limite dans eqref est également égal à $frac (x,y)$. Ceci termine la preuve. $quadBoîte$

Exemple 1. Il peut arriver qu'une fonction $f$ ait des dérivées partielles du second ordre en tout point, mais qu'en certains points, $frac e frac< partial^2 f>$.

Nous ne nous inquiéterons pas beaucoup de cela, car dans cette classe, nous rencontrerons principalement des fonctions de classe $C^2$ (ou mieux). Mais si vous êtes intéressé par un exemple, considérez $ f(x,y) = egin frac&mbox< if >(x,y) e (0,0) 0&mbox< if >(x,y)=(0,0) . finir $ Ensuite, on peut vérifier que $ partial_x f(x,y) = egin frac<(x^2+y^2)^2>&mbox< if >(x,y) e (0,0) 0&mbox< if >(x,y)=(0,0) , finir $ $ partial_y f(x,y) = egin frac<(x^2+y^2)^2>&mbox< if >(x,y) e (0,0) 0&mbox< if >(x,y)=(0,0) . finir $ (Dans le calcul des dérivées partielles à $(0,0)$, il faut utiliser la définition de la dérivée partielle comme limite, ce qui est cependant facile dans ces cas.) En particulier, $partial_x f(0,y)= 0$ pour tout $y$, et $partial_yf(x,0) = x$ pour tout $x$. Il s'ensuit que $ partial_ypartial_x f(0,0) = 0 e 1 = partial_xpartial_y f(0,0). $


Unité 02 : Différenciation

Notes (Solutions) de l'Unité 02: Différenciation, Calcul et Géométrie Analytique, MATHÉMATIQUES 12 (Mathématiques FSc Partie 2 ou HSSC-II), Punjab Text Book Board Lahore. Vous pouvez consulter en ligne ou télécharger le PDF. Pour visualiser le PDF, vous devez avoir installé PDF Reader sur votre système et il peut être téléchargé à partir de la section Logiciel.

Voici quelques ressources en ligne, qui sont très utiles pour trouver des dérivés.

Sommaire et résumé

Quelle méthode est la meilleure

Dans ce chapitre, de nombreuses questions peuvent être résolues de manière beaucoup plus simple. En fait, dans chaque exercice, une formule/méthode est introduite pour résoudre la question. Lors de l'examen, il n'est pas nécessaire de suivre la même méthode que celle donnée dans l'exercice. Voici un exemple :

Il faut trouver la dérivée de $frac$ par rapport à $x$.

Méthode 1

Méthode 2

C'était un exemple simple mais essayez-le pour trouver la dérivée de $frac$.


Produits dérivés : tout sur le changement

Supposons que vous ayez une fonction (elle n'a pas besoin d'être X vs. oui, ça peut être n'importe quoi). Et si je veux savoir comment cette fonction change lorsque la variable change ? C'est ce que le dérivé vous dit. Permettez-moi de commencer par quelques exemples.

Il y a une voiture en mouvement et sa position dans la direction x peut être décrite par la fonction suivante.

Si je trace cette fonction, cela ressemble à ceci (j'ajoute deux points pour que nous puissions regarder le changement de position).

Comment cette fonction évolue-t-elle avec le temps ? Si je prends deux points (t1 et t2) Je peux calculer la variation de X divisé par le changement de t. Oui, ce serait la pente de la fonction.

Cela me donne le taux moyen de changement de position pendant l'intervalle de temps t1 à t2. En physique, nous appellerions aussi cela la moyenne X rapidité. Dans ce cas, peu importe les deux points que je choisis sur le graphique. J'obtiendrai toujours une pente de 2,5 m/s (oui, la pente et les dérivées ont des unités). Je pourrais tracer la vitesse horizontale et cela ressemblerait à ceci.

Ok, c'était assez simple et pas si intéressant que ça. Que diriez-vous d'un autre exemple? Supposons que j'ai cette fonction pour la position d'un objet dans la direction x ?

Voici un tracé de cette fonction avec quelques points sur la courbe.

Dans ce cas, la vitesse moyenne (la pente) allant du point 2 au point 3 est différente de la pente moyenne allant des points 4 à 5. Alors comment faire un graphique de la vitesse en fonction du temps ? A quelle heure associerions-nous la vitesse moyenne ? Probablement la seule chose juste serait de prendre deux points dans le temps et de trouver la pente, puis d'associer la pente à la moyenne de ces deux points. En fait, cela fonctionne parfaitement avec la fonction ci-dessus. Lorsque vous faites cela, vous obtenez le tracé suivant de la pente (vitesse) en fonction du temps.

Cette astuce du "temps moyen" ne fonctionne pas toujours. Cependant, je peux presque le faire fonctionner si j'utilise de très petits intervalles de temps. Dans ce cas, peu importe l'heure (début, fin, milieu) associée à l'heure. Ainsi, les intervalles de temps minuscules sont agréables.

Et si vous utilisiez un intervalle de temps de zéro seconde ? Eh bien, vous ne pouvez pas faire ça. Cependant, vous pouvez faire quelque chose près d'un intervalle de zéro seconde. Vous pouvez trouver la valeur de la vitesse moyenne dans la limite lorsque Δt passe à zéro seconde. C'est en fait ce qu'on appelle une dérivée. Nous pouvons l'écrire comme :

Oui, ce n'est pas la façon dont les mathématiciens définiraient la dérivée, mais je suis d'accord avec ça. Cela montre le point important que la dérivée n'est qu'un moyen d'exprimer comment une fonction change.


2.5 : Dérivées - Mathématiques

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes concentrés presque exclusivement sur le calcul des dérivées. Dans ce chapitre se concentrera sur les applications des dérivés. Il est important de toujours se rappeler que nous n'avons pas passé un chapitre entier à parler de dérivés informatiques juste pour en parler. Il existe de nombreuses applications très importantes aux dérivés.

Les deux principales applications que nous examinerons dans ce chapitre utilisent des dérivées pour déterminer des informations sur les graphes de fonctions et les problèmes d'optimisation. Ce ne seront cependant pas les seules applications. Nous allons revoir les limites et jeter un œil à une application de dérivés qui nous permettra de calculer des limites que nous n'avons pas pu calculer auparavant. Nous verrons également comment les dérivées peuvent être utilisées pour estimer les solutions des équations.

Voici une liste des sujets de cette section.

Taux de variation – Dans cette section, nous passons en revue l'application/l'interprétation principale des dérivés du chapitre précédent (c'est-à-dire les taux de variation) que nous utiliserons dans de nombreuses applications de ce chapitre.

Points critiques – Dans cette section, nous donnons la définition des points critiques. Les points critiques apparaîtront dans la plupart des sections de ce chapitre, il sera donc important de les comprendre et de savoir comment les trouver. Nous allons travailler un certain nombre d'exemples illustrant comment les trouver pour une grande variété de fonctions.

Valeurs minimales et maximales - Dans cette section, nous définissons les valeurs minimales et maximales absolues (ou globales) d'une fonction et les valeurs minimales et maximales relatives (ou locales) d'une fonction. Il est important de comprendre la différence entre les deux types de valeurs minimum/maximum (collectivement appelées extrema) pour de nombreuses applications de ce chapitre et nous utilisons donc une variété d'exemples pour vous aider. Nous donnons également le théorème des valeurs extrêmes et le théorème de Fermat, qui sont tous deux très importants dans les nombreuses applications que nous verrons dans ce chapitre.

Recherche d'extrema absolus - Dans cette section, nous expliquons comment trouver les valeurs minimales et maximales absolues (ou globales) d'une fonction. En d'autres termes, nous trouverons les valeurs les plus grandes et les plus petites qu'une fonction aura.

La forme d'un graphique, partie I - Dans cette section, nous discuterons de ce que la dérivée première d'une fonction peut nous dire sur le graphique d'une fonction. La dérivée première nous permettra d'identifier les valeurs minimales et maximales relatives (ou locales) d'une fonction et où une fonction sera croissante et décroissante. Nous donnerons également le test de la dérivée première qui nous permettra de classer les points critiques en minimums relatifs, maximums relatifs ou ni minimum ni maximum.

La forme d'un graphique, partie II - Dans cette section, nous discuterons de ce que la dérivée seconde d'une fonction peut nous dire sur le graphique d'une fonction. La dérivée seconde nous permettra de déterminer où le graphique d'une fonction est concave vers le haut et concave vers le bas. La dérivée seconde nous permettra également d'identifier les points d'inflexion (c'est-à-dire où la concavité change) qu'une fonction peut avoir. Nous donnerons également le deuxième test de dérivée qui donnera une méthode alternative pour identifier certains points critiques (mais pas tous) en tant que minimums ou maximums relatifs.

Le théorème de la valeur moyenne – Dans cette section, nous donnerons le théorème de Rolle et le théorème de la valeur moyenne. Avec le théorème de la valeur moyenne, nous prouverons quelques faits très intéressants, dont l'un sera très utile dans le prochain chapitre.

Problèmes d'optimisation - Dans cette section, nous déterminerons le minimum et/ou le maximum absolus d'une fonction qui dépend de deux variables compte tenu d'une contrainte ou d'une relation que les deux variables doivent toujours satisfaire. Nous discuterons de plusieurs méthodes pour déterminer le minimum ou le maximum absolu de la fonction. Les exemples de cette section ont tendance à se concentrer sur des objets géométriques tels que des carrés, des boîtes, des cylindres, etc.

Plus de problèmes d'optimisation - Dans cette section, nous continuerons à travailler sur les problèmes d'optimisation. Les exemples de cette section ont tendance à être un peu plus complexes et impliqueront souvent des situations qui seront plus facilement décrites avec un croquis par opposition aux objets géométriques « simples » que nous avons examinés dans la section précédente.

Règle de L'Hospital et formes indéterminées - Dans cette section, nous revisiterons les formes et les limites indéterminées et examinerons la règle de L'Hospital. La Règle de L'Hospital va nous permettre d'évaluer certaines limites que nous ne pouvions pas atteindre auparavant.

Approximations linéaires - Dans cette section, nous discutons de l'utilisation de la dérivée pour calculer une approximation linéaire d'une fonction. Nous pouvons utiliser l'approximation linéaire d'une fonction pour approximer les valeurs de la fonction à certains points. Bien que cela puisse ne pas sembler une chose utile à faire lorsque nous avons la fonction, il y a vraiment des raisons pour lesquelles on pourrait vouloir le faire. Nous donnons deux façons dont cela peut être utile dans les exemples.

Différentiels - Dans cette section, nous allons calculer le différentiel pour une fonction. Nous allons donner une application des différentielles dans cette section. Cependant, l'une des utilisations les plus importantes des différentiels viendra dans le prochain chapitre et nous ne pourrons malheureusement pas en discuter jusque-là.

Méthode de Newton - Dans cette section, nous discuterons de la méthode de Newton. La méthode de Newton est une application de dérivées qui nous permettra d'approximer les solutions d'une équation. Il existe de nombreuses équations qui ne peuvent pas être résolues directement et avec cette méthode, nous pouvons obtenir des approximations des solutions de bon nombre de ces équations.

Applications commerciales - Dans cette section, nous allons donner une discussion rapide de certaines applications de base des produits dérivés dans le domaine commercial. Nous reviendrons sur la recherche de la valeur de fonction maximale et/ou minimale et nous définirons la fonction de coût marginal, le coût moyen, la fonction de revenu, la fonction de revenu marginal et la fonction de profit marginal. Notez que cette section est uniquement destinée à introduire ces concepts et ne vous apprend pas tout à leur sujet.


2.5 : Dérivées - Mathématiques

SOLUTION 1 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs x. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' :

pour x =0 et x =2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' :

pour x =1 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f a un maximum relatif à x =0 , y =0

f a un minimum relatif à x =2 , y =-4 .

f a un point d'inflexion à x =1 , y =-2 .

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =0 de sorte que y =0 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors x 3 -3 x 2 = x 2 ( x -3)=0 de sorte que x =0 et x =3 sont les abscisses à l'origine. Il n'y a pas d'asymptotes verticales ou horizontales puisque f est un polynôme. Voir le graphique détaillé ci-contre de f .

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 2 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs x. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' :

pour x =0 et x =3 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' :

pour x =0 et x =2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f a un minimum absolu à x =3 , y =-27 .

f a des points d'inflexion à x =0 , y =0 et x =2 , y =-16 .

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =0 de sorte que y =0 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors x 4 -4 x 3 = x 3 ( x -4)=0 de sorte que x =0 et x =4 sont les abscisses à l'origine. Il n'y a pas d'asymptotes verticales ou horizontales puisque f est un polynôme. Voir le graphique détaillé ci-contre de f .

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 3 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs x. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' . En utilisant la règle du produit ordinaire, on obtient

f '( x ) = x 3 2 ( x -2) + 3 x 2 ( x -2) 2

pour x =0 , x = 6/5 et x =2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' . En utilisant la règle du triple produit, on obtient

f ''( x ) = 2 x ( x -2)[5 x -6] + x 2 (1)[5 x -6] + x 2 ( x -2)[5]

= x [ 2( x -2)(5 x -6) + x (5 x -6) + 5 x ( x -2) ]

= x [ 2(5 x 2 -16 x +12) + 5 x 2 -6 x + 5 x 2 -10 x ]

pour x =0 , et (en utilisant la formule quadratique) . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f est ( ) pour x <0 , 0< x <6/5 , et x >2

f a un maximum relatif à x =6/5 ,

f a un minimum relatif à x =2 , y =0 .

f est ( ) pour et displaystyle <6+sqrt<6>over 5 >$ -->

f a des points d'inflexion à x =0 , y =0 et , et , .

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =0 de sorte que y =0 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors x 3 ( x -2) 2 =0 de sorte que x =0 et x =2 sont les abscisses à l'origine. Il n'y a pas d'asymptotes verticales ou horizontales puisque f est un polynôme. Voir le graphique détaillé ci-contre de f .

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 4 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs x. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' . En utilisant la règle du quotient, on obtient

pour x = 1 , et x =-1 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' . Commençant par

et en utilisant la règle du quotient, on obtient

(Factor out 2 x et ( x 2 +1) .)

pour x =0 , , et . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f a un maximum absolu à x =1 , y =2

f a un minimum absolu à x =-1 , y =-2 .

f a des points d'inflexion à x =0 , y =0 et , et , .

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =0 de sorte que y =0 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors de sorte que 4 x =0 et x =0 soit l'ordonnée à l'origine. Il existe une asymptote horizontale puisque

Ainsi, la ligne y = 0 est une asymptote horizontale pour le graphique de f . Voir le graphique détaillé ci-contre de f .

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SOLUTION 5 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs de x SAUF x =2 , à cause de la division par zéro. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' . En utilisant la règle du quotient, on obtient

pour x = 1 , et x =3 . De plus, notez que f ' n'est PAS DEFINIE à x =2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' . Commençant par

et en utilisant la règle du quotient, on obtient

(Divisez un facteur de ( x -2) .)

pour les valeurs de NO x. Cependant, notez que f '' n'est PAS DÉFINI à x =2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f est ( ) pour 1< x <2 et 2< x <3

f a un maximum relatif à x =1 , y =1

f a un minimum relatif à x =3 , y =9 .

f n'a pas de points d'inflexion.

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =0 de sorte que y =0 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors de sorte que 2 x 2 -3 x = x (2 x -3)=0 . Ainsi, x =0 et x =3/2 sont des abscisses à l'origine. Il n'y a pas d'asymptote horizontale puisque

Rappelez-vous, une asymptote horizontale n'existe que si la limite à ou est un nombre fini. Vérifiez maintenant une asymptote verticale en calculant des limites unilatérales au zéro du dénominateur, c'est-à-dire à x =2 . Ainsi,

(Le numérateur se rapproche de 2 et le dénominateur est un nombre positif proche de 0 .)

(Le numérateur s'approche de 2 et le dénominateur est un nombre négatif approchant de 0 .)

Cela montre que la ligne x = 2 est une asymptote verticale pour le graphique de f . N'oubliez pas que si l'une de ces limites unilatérales est ou , il existe une asymptote verticale. Voir le graphique détaillé ci-contre de f .

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 6 : Le domaine de f est constitué de toutes les valeurs de x SAUF x =2 et x =-2 , à cause de la division par zéro. Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée première, f ' . En utilisant la règle du quotient, on obtient

pour x = 1 , et x =4 . De plus, notez que f ' n'est PAS DEFINIE à x =2 et x =-2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée première, f ' .


Déterminez maintenant un graphique de signe pour la dérivée seconde, f '' . Commençant par

et en utilisant la règle du quotient, on obtient

(Divisez un facteur de ( x 2 -4) .)

de sorte que -2 x 3 + 15 x 2 -24 x + 20 = 0 . Pour résoudre cette équation, utilisez la méthode de Newton ou un résolveur d'équations comme celui trouvé sur une calculatrice graphique TI85, obtenant une seule solution réelle. De plus, notez que f '' N'EST PAS DEFINIE à x =2 et x =-2 . Voir le tableau des signes ci-contre pour la dérivée seconde, f '' .


Résumez maintenant les informations de chaque tableau de signes.

f est ( ) pour x <-2 , -2< x <1 et x >4

f est ( ) pour 1< x <2 et 2< x <4

f a un maximum relatif à x =1 , y =-3

f a un minimum relatif à x =4 , y =0 .

f est ( ) pour x <-2 et 2< x <5.70

f est ( ) pour -2< x <2 et x >5.70

f a un point d'inflexion en , .

AUTRES INFORMATIONS SUR f :

Si x =0 , alors y =-4 de sorte que y =-4 est l'ordonnée à l'origine. Si y =0 , alors de sorte que ( x -4) 2 =0 . Ainsi, x =4 est l'ordonnée à l'origine. Il existe une asymptote horizontale puisque

Ainsi, la ligne y =1 est une asymptote horizontale pour le graphe de f . Vérifiez maintenant les asymptotes verticales en calculant des limites unilatérales aux zéros du dénominateur, c'est-à-dire à x =2 et à x =-2 . Ainsi,

(Le numérateur s'approche de 4 et le dénominateur est un nombre positif approchant de 0 .)

(Le numérateur s'approche de 4 et le dénominateur est un nombre négatif approchant de 0 .)

Cela montre que la ligne x = 2 est une asymptote verticale pour le graphique de f . N'oubliez pas que si l'une de ces limites unilatérales est ou , il existe une asymptote verticale. Vérifiez maintenant à x =-2 . Ainsi,

(Le numérateur approche 36 et le dénominateur est un nombre négatif approchant 0 .)

(Le numérateur approche 36 et le dénominateur est un nombre positif approchant 0 .)

Cela montre que la ligne x = -2 est une asymptote verticale pour le graphique de f . Voir le graphique détaillé ci-contre de f .


2.5 : Dérivées - Mathématiques

MATH 16A (SECTION 001) , 198 jeunes , 8h-8h50 MWF

Dernière mise à jour : 11 décembre 2020


Texte : CALCULUS, An Applied Approach (7e édition) par Larson et Edwards

Bureau : 3135 MSB (Bâtiment des sciences mathématiques)

Exigence de placement en mathématiques (MPR)

Tous les étudiants inscrits en Math 16A doivent satisfaire au MPR. Le MPR ne peut être satisfait qu'en réussissant l'examen de placement en mathématiques avec un score global d'au moins 30 ET un score de trig d'au moins 2. Trouvez plus d'informations ICI.

Les quiz suivants ont été donnés au cours de la session d'été 2007, de la session d'été 2008 et de la session d'été 2010. Vous pouvez les utiliser comme source de problèmes pratiques supplémentaires facultatifs.

Quiz donnés pendant la session d'été 2007.

Quiz donnés lors de la session d'été 2008.

Quiz pour la session d'été 2010.

Le cours couvrira probablement les sections suivantes de notre manuel : 1.1-1.6, 2.1-2.8, 3.1-3.4, 3.6-3.8, 8.1-8.4

Cliquez ici pour des PROBLÈMES DE PRATIQUE facultatifs supplémentaires avec des SOLUTIONS trouvés sur LA PAGE DE CALCUL , un site Web que j'ai créé.

Voici quelques CONSEILS pour réussir mes examens.

VOICI LES SOLUTIONS AUX EXAMENS du trimestre d'automne 2020 :

Vous pouvez obtenir de l'aide auprès des assistants à l'enseignement supérieur à la salle de calcul virtuel.

VOICI LES DEVOIRS, LES NOTES DE COURS ET DE COURTES VIDÉOS

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant des sujets de la révision pré-calcul (sujets : théorème de Pythagore, formule de distance, formule du point médian, cercles, diagrammes de signes et division polynomiale)
-- Voici une vidéo utilisant Compléter le carré afin de trouver le centre d'un cercle.
-- Voici une vidéo montrant comment utiliser les graphiques de signes pour résoudre les problèmes.
-- Voici une vidéo montrant comment réécrire des expressions rationnelles en utilisant la division polynomiale.

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant des sujets supplémentaires de l'examen pré-calcul (sujets : pente, lignes (parallèles et perpendiculaires), triangles similaires, fonctions, un-à-un, composition, inverses et domaine et plage)
-- Voici une vidéo montrant des exemples de composition fonctionnelle .
-- Voici une vidéo où le domaine et l' étendue des fonctions sont déterminés .
-- Voici une vidéo où une fonction est montrée comme étant un à un en utilisant la définition algébrique. Ensuite, c'est la fonction inverse qui est trouvée.

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant les limites des fonctions (sujets : formes indéterminées, limites unilatérales et limites infinies)
-- Voici une vidéo montrant des exemples de calcul algébrique de limites .
-- Voici une vidéo montrant des exemples de calcul graphique des limites. Cela inclut les limites unilatérales et les limites à + ou - à l'infini.

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant les limites à + ou - à l'infini (sujets : formes indéterminées, asymptotes verticales, asymptotes horizontales et asymptotes inclinées)
-- Voici une vidéo montrant les limites à + ou - à l' infini .
-- Voici une vidéo (TYPO : "x+1" devrait être "x+3".) montrant comment trouver les asymptotes horizontales .
-- Voici une vidéo montrant comment trouver des asymptotes verticales.
-- Voici une vidéo montrant comment trouver des asymptotes inclinés.

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant la continuité des fonctions. Il existe trois catégories de problèmes de continuité : la continuité de y=f(x) à x=a (le processus en trois étapes), la continuité et les raccourcis, et la continuité et les « faux graphiques ».
-- Voici une vidéo d'exemples montrant comment déterminer la continuité d'une fonction y=f(x) à x=a (processus en trois étapes).
-- Voici une vidéo d'exemples montrant comment déterminer la continuité d'une fonction y=f(x) à l'aide de raccourcis .
-- Voici une vidéo d'exemples montrant la continuité et les « faux graphiques ».

-- Voici des notes de cours détaillées couvrant Trig Review. Inclus dans ces notes sont les identités de trig et les valeurs de trig des angles communs.
-- Voici une (CORRECTION : " f '(theta)=0 " sur le tableau blanc devrait être " les équations trigonométriques suivantes ".) vidéo montrant des exemples où nous résolvons des équations trigonométriques.


L'EXAMEN 1 est le vendredi 16 octobre 2020. Il couvrira les documents, les notes de cours et les exemples de classe, les devoirs 1 à 6 et le matériel des sections 1.1-1.6, 3.6 et 8.1-8.3 dans le livre qui a été présenté dans notes de cours à travers le matériel de trigonométrie mercredi 14 octobre 2020.

      • 4 -- limites
      • 2 -- domaine/plage
      • 1 -- continuité (en utilisant le processus en trois étapes à x=a, en discutant de la continuité générale en utilisant des raccourcis, ou en résolvant des constantes inconnues en utilisant des limites et un faux graphique)
      • 1 -- trigonométrie
      • 1 ou 2 -- composition fonctionnelle/fonction un à un/fonction inverse
      • 1 -- asymptote
      • 1 -- cercle
      • 2 ou 3 -- autres
        • 1.) IL EST UNE VIOLATION DU CODE D'HONNEUR DE L'UNIVERSITÉ D'AIDER UNE AUTRE PERSONNE À RÉALISER CET EXAMEN DE QUELQUE MANIÈRE QUE CE SOIT. C'EST UNE VIOLATION DU CODE D'HONNEUR DE L'UNIVERSITÉ DE COPIER LES RÉPONSES DE L'EXAMEN D'UN AUTRE ÉTUDIANT. C'EST UNE VIOLATION DU CODE D'HONNEUR DE L'UNIVERSITÉ DE FAIRE PASSER L'EXAMEN POUR VOUS UN AUTRE ÉTUDIANT. MERCI DE VOTRE COLLABORATION.
        • 2.) VOUS POUVEZ UTILISER UNE CALCULATRICE POUR CET EXAMEN.
        • 3.) Vous ne pouvez PAS utiliser la règle de L'Hôpital pour calculer les limites de cet examen.
        • 4.) Vous ne pouvez PAS utiliser de raccourcis du manuel pour trouver des limites à l'infini.
        • 5.) Vous n'avez PAS besoin de mémoriser les identités trigonométriques.
        • 6.) En utilisant uniquement une calculatrice pour déterminer la valeur des limites, vous recevrez peu de crédit.
        • 7.) Vous serez noté sur l'utilisation appropriée de la notation limite.
        • 8.) Mettez des unités sur les réponses là où les unités sont appropriées.
        • 9.) Lisez attentivement les instructions pour chaque problème. Montrez tous les travaux pour un crédit complet. Dans la plupart des cas, une réponse correcte sans travail à l'appui ne recevra PAS un crédit complet. Ce que vous écrivez et comment vous l'écrivez sont les moyens les plus importants pour obtenir une bonne note à cet examen. La propreté et l'organisation sont également importantes.

        L'ÉCHELLE DE NOTATION POUR L'EXAMEN 1 POUR L'AUTOMNE 2020 EST :

        -- Voici des notes de cours détaillées couvrant la dérivée d'une fonction y=f(x). Nous considérons d'abord la Dérivée comme définie par une Limite. Ensuite, nous déterminons que la dérivée représente également la PENTE d'une ligne tangente au graphique de y=f(x).
        -- Voici une vidéo où les dérivées des fonctions sont déterminées à l'aide de la définition de limite.

        -- Voici des notes de cours détaillées couvrant la dérivée d'une fonction. Ici, nous incluons les unités et considérons la dérivée comme la PENTE d'une ligne tangente ainsi qu'un taux de variation.
        -- Voici de brèves notes expliquant quand un dérivé n'existe pas à un point x=a. Ce serait là où le graphique à x=a est un "coin", un point de discontinuité, ou a une ligne tangente verticale.
        -- Voici une vidéo de deux exemples où nous esquissons le graphique de la dérivée f' en utilisant le graphique de la fonction f.
        -- Voici une autre vidéo de deux autres exemples où nous esquissons le graphique de la dérivée f' en utilisant le graphique de la fonction f. Ces exemples utilisent des graphiques avec des points où la dérivée n'existe pas !
        -- Voici une autre vidéo (CORRECTION : "m=2.5" devrait être "m=-2.5", st que f' devrait être en dessous de l'axe des x à y=-2.5.) d'un exemple où nous esquissons le graphique de la Dérivée f' en utilisant le Graphe de la Fonction f. Cet exemple utilise un graphique avec des points où la dérivée n'existe pas !

        -- Voici des notes de classe détaillées couvrant les règles de différenciation (raccourcis).
        -- Voici une vidéo d'exemples utilisant les règles de différenciation (raccourcis).
        -- Voici des exemples de "problèmes de lecture prudente".

        -- Voici des notes de classe détaillées couvrant le taux de changement moyen et le taux de changement instantané pour une fonction y=f(x).
        -- Voici une vidéo d'un exemple "pratique" de taux de variation moyen (ARC) et de taux de variation instantané (IRC).

        -- Voici des notes de cours détaillées couvrant la règle du produit, la règle du triple produit et la règle du quotient. Voici une preuve de la règle du produit utilisant la définition limite de dérivé. Voici une preuve de la règle du quotient utilisant la définition limite du dérivé.
        -- Here is a video of Examples using the Product Rule and the Triple Product Rule.
        -- Here is a video of Examples using the Quotient Rule.

        -- Here are detailed class notes covering Trig Derivatives .
        -- Here is a video of Examples using Trig Derivatives.

          1. D(c) = 0
          2. D(mx+b) = m
          3. D(f(x) +/- g(x)) = f'(x) +/- g'(x)
          4. D(c f(x)) = c f'(x)
          5. D(x^n) = n x^(n-1)
          6. (Product Rule) . D(f(x)g(x)) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)
          7. (Triple Product Rule) . D(f(x)g(x)h(x)) = f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
          8. (Quotient Rule) . D(f(x)/g(x)) = /[g(x)]^2
          9. D(sin x) = cos x
          10. D(cos x) = - sin x
          11. D(tan x) = sec^2 x
          12. D(sec x) = sec x tan x
          13. D(cot x) = - csc^2 x
          14. D(csc x) = - csc x cot x
              • 1 -- limit definition of a derivative
              • 1 -- sketch f' from graph of f
              • 4 -- various derivatives using above rules (NO SIMPLIFICATION OF ANSWERS, NO CHAIN RULE)
              • 2 -- solve f'(x)=0 for x and set up a sign chart for f'
              • 1 -- average and instantaneous rate of change using a graph like we did in class
              • 1 or 2 -- find equation of tangent or perpendicular line
              • 2 or 3 -- others
                • 1.) IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO, IN ANY WAY, ASSIST ANOTHER PERSON IN THE COMPLETION OF THIS EXAM. IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO COPY ANSWERS FROM ANOTHER STUDENT'S EXAM. IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO HAVE ANOTHER STUDENT TAKE YOUR EXAM FOR YOU. PLEASE KEEP YOUR OWN WORK COVERED UP AS MUCH AS POSSIBLE DURING THE EXAM SO THAT OTHERS WILL NOT BE TEMPTED OR DISTRACTED. THANK YOU FOR YOUR COOPERATION.
                • 2.) No notes, books, or classmates may be used as resources for this exam. YOU MAY USE A CALCULATOR ON THIS EXAM.
                • 3.) You may NOT use L'Hopital's Rule to compute limits on this exam.
                • 4.) You may NOT use shortcuts from the textbook for finding limits to infinity.
                • 5.) You may NOT use the Chain Rule on this exam.
                • 6.) You will be graded on proper use of limit notation.
                • 7.) Put units on answers where units are appropriate.
                • 8.) Read directions to each problem carefully. Show all work for full credit. In most cases, a correct answer with no supporting work will receive LITTLE or NO credit. What you write down and how you write it are the most important means of your getting a good score on this exam. Neatness and organization are also important.

                THE GRADING SCALE FOR EXAM 2 FOR FALL 2020 IS :

                -- Here are detailed class notes covering the ChainRule .
                -- Here is a video of Examples using the Chain Rule.

                -- Here are detailed class notes covering Higher-Order Derivatives .
                -- Here are detailed class notes covering Gravity Problems .
                -- Here is a video of Examples using Higher-Order Derivatives.
                -- Here is a video of Examples using Gravity Problems.

                -- Here are detailed class notes covering Relative and Absolute Extrema (Max's and Min's) .
                -- The following videos show how to use a first derivative sign chart to find Relative and Absolute Maximums and Minimums . video 1 . video 2 . video 3

                • Here are DETAILED GRAPHING INSTRUCTIONS :
                  1. State the DOMAIN of the function.
                  2. Take the FIRST derivative and set up a SIGN CHART for f'(x). Clearly mark the solutions to f'(x)=0 and their y-values, and identify all RELATIVE and ABSOLUTE maximum and minimum values.
                  3. State the OPEN INTERVALS on which f is INCREASING and DECREASING.
                  4. Take the SECOND derivative and set up a SIGN CHART for f''(x). Clearly mark the solutions to f''(x)=0 and their y-values, and identify all INFLECTION POINTS.
                  5. State the OPEN INTERVALS on which f is CONCAVE UP and CONCAVE DOWN.
                  6. Determine all X-INTERCEPTS and Y-INTERCEPTS.
                  7. If appropriate, determine all HORIZONTAL ASYMPTOTES (H.A.).
                  8. If appropriate, determine all VERTICAL ASYMPTOTES (V.A.).
                  9. DRAW a rough SKETCH of the graph of y=f(x) and CLEARLY identify the coordinates of all important points on the graph.

                -- Here are detailed class notes covering Detailed Graphing .

                -- Here are detailed class notes covering Implicit Differentiation .
                -- Here is a video of Examples using Implicit Differentiation.
                -- Here is a video of an Example using Implicit Differentiation to sketch the portion of a graph.

                -- Here are detailed class notes and examples covering Related Rates Problems.
                -- Here is a video of one Example of a Related Rates Problem.
                -- Here is a another video of one Example of a Related Rates Problem.

                    • 2 or 3 -- chain rule
                    • 1 -- gravity problem (MEMORIZE GRAVITY EQUATION: s(t)= -16t^2 + (v_o)t + (s_o) )
                    • 2 -- implicit differentiation
                    • 2 -- related rates
                    • 1 -- complete detailed graphing (NOTE: I will provide you with the function f(x) and its derivatives f'(x) and f''(x) !)
                    • 2 -- partial detailed graphing (finding just max/min or just inflection points, etc.)
                    • 1 or 2 -- Others
                      • 1.) IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO, IN ANY WAY, ASSIST ANOTHER PERSON IN THE COMPLETION OF THIS EXAM. IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO COPY ANSWERS FROM ANOTHER STUDENT'S EXAM. IT IS A VIOLATION OF THE UNIVERSITY HONOR CODE TO HAVE ANOTHER STUDENT TAKE YOUR EXAM FOR YOU. PLEASE KEEP YOUR OWN WORK COVERED UP AS MUCH AS POSSIBLE DURING THE EXAM SO THAT OTHERS WILL NOT BE TEMPTED OR DISTRACTED. THANK YOU FOR YOUR COOPERATION.
                      • 2.) No notes, books, or classmates may be used as resources for this exam. YOU MAY USE A CALCULATOR ON THIS EXAM.
                      • 3.) You will be graded on proper use of derivative notation.
                      • 4.) Put units on answers where units are appropriate.
                      • 5.) Read directions to each problem carefully. Show all work for full credit. In most cases, a correct answer with no supporting work will receive LITTLE or NO credit. What you write down and how you write it are the most important means of your getting a good score on this exam. Neatness and organization are also important.

                      THE GRADING SCALE FOR EXAM 3 FOR FALL 2020 IS :

                      SCANNED PROBLEMS for Sections 3.4, 3.5, and 3.8

                      -- Here are detailed class notes covering The Differential of a function y=f(x).
                      -- Here are Examples where we use a Differential to Estimate the Value of Numbers . And here is a video with such Examples.
                      -- Here are Examples where we use a Differential to Estimate Propagated Percentage Errors . And here is a video with one such Example.

                      The FINAL EXAM is Friday, December 18, 2020, 7:45-10:15 am.

                      BRING A PICTURE ID TO THE EXAM
                      AND BE PREPARED TO SHOW IT TO KOUBA OR THE TEACHING ASSISTANTS !!

                      The final exam will cover handouts, lecture notes, and examples from class, homework assignments 1 through 24, and material from sections 1.1-1.6, 2.1-2.8, 3.1-3.4, 3.6-3.8, 8.1-8.4. You are expected to know the 15 rules of differentiation, which were needed on Exam 2. Use your three hour exams, 24 homework assignments, and the practice exams as a guide to your preparing for the final exam.


                      The Derivatives.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      = x 2 + 2x. ∆x + (∆x) 2 &ndash 2 &ndash x 2 + 2

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Or, y + ∆y = (x + ∆x) 2 + 5(x + ∆x) &ndash 3

                      Or, ∆y = (x + ∆x) 2 + 5(x + ∆x) &ndash 3 = (x + ∆x) 2 + 5(x + ∆x) &ndash 3 &ndash y

                      = (x + ∆x) 2 + 5(x + ∆x) &ndash 3 &ndash (x 2 + 5x &ndash 3)

                      = x 2 + 2x. ∆x + (∆x) 2 + 5x + 5∆x &ndash 3 &ndash x 2 &ndash 5x + 3

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Or, y + ∆y = 3(x + ∆x) 2 &ndash 2(x + ∆x) + 1

                      Or, ∆y = 3x 2 + 6x. ∆x + 3(∆x) 2 &ndash 2x &ndash 2∆x + 1 &ndash (3x 2 &ndash 2x + 1)

                      = 3x 2 + 6x∆x + 3(∆x) 2 &ndash 2x &ndash 2∆x + 1 &ndash 3x 2 + 2x &ndash 1.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Or, y + ∆y = x + ∆x + $sqrt << m> + Delta < m>> $

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let y = (2x + 3) 1/2 = $sqrt <2< m> + 3> $

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let y = (1 + x 2 ) 1/2 = $sqrt <1 + << m>^2>> $

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Let ∆x and ∆y be the small increments in x and y respectively.

                      Or, y + ∆y = a(x + ∆x) 1/2 + b(x + ∆x) &ndash1/2

                      Or, ∆y = a(x + ∆x) 1/2 + b(x + ∆x) &ndash1/2 &ndash ax 1/2 &ndash bx &ndash1/2

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Let y = 2x 3/4 &ndash 3x 1/2 &ndash 5x 1/4 .

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      y = 2x 3/4 + 3x 1/2 + x 1/4 + x &ndash1/4 .

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Let y = x 3/4 (x 2/3 + x 1/3 + 1) = x 17/12 + x 13/12 + x 3/4

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo.

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo,

                      = 3x 2 .2.1 + (2x &ndash 1).3.2x = 6x 2 + 12x 2 &ndash 6x

                      Differentiating both sides w.r.t. &lsquox&rsquo,

                      = (2x 2 + 1).3.2x + (3x 2 &ndash 2).2.2.x = 12x 3 + 6x + 12x 3 &ndash 8x


                      Using a Picture

                      But what if you do not know the expression of the line? Then you can still calculate the slope. It is needed, for example, when you want to find the expression of the line yourself. For a line, the slope is constant, as we have seen. It does not matter where on the line you look, the slope does not change. The slope can be calculated as the ratio between the horizontal change and the vertical change. We will use the picture below to illustrate how this works.

                      The first step is to locate two points of the line. In our case, we see that the line goes through (-6,-8) and (0,4). You can also choose other points on the line it will not change the outcome. Now we calculate the vertical change, which is also denoted as Δy (delta y). The y-coordinate of the first point is -8. The second point has y-coordinate equal to 4. Δy is the difference between these two numbers:

                      We do the same for Δx, which is the horizontal change. Here the first point has x-coordinate is -6, and the second has 0. This leads to:

                      Now we can calculate the slope as the ratio between these two:

                      So the slope of this line is equal to 2. As you look at the picture, you can clearly see that this is indeed true, as for every block you go to the right you also go two blocks up. If you calculate the slope, watch out that you take the same order of points when calculating Δy and Δx. It does not matter which point you name the first and which the second, as long as you do it the same for both quantities.

                      Finding the Formula of the Line

                      Now that we know the slope of the line, we can also find the entire formula of the line. We already know that it will be of the form y = ax + b, and we know that a = 2. We also have a point that is on the line, namely (-6,-8), so we can make use of that point to find b. We can do this by filling in the point to get:

                      So b = 4 and the line will be y = 2x + 4.

                      In this step, we needed to solve a linear equation. If you want to know more about solving these kinds of equations, I suggest reading my article about solving linear equations and systems of linear equations.


                      The Product Rule

                      and in this quite simple case, it is easily seen that the derivative of a product is NE PAS the product of the derivatives. Although this naive guess wasn't right, we can still figure out what the derivative of a product must be. Remember: When intuition fails, apply the definition. Considérer

                      Now we apply the trick of adding zero, in the form of u ( x + h ) v ( x ) - u ( x + h ) v ( x ) to the numerator, and after performing some minor algebra,

                      because u ( x ) is differentiable at x and therefore ontinuous.

                      A good way to remember the product rule for differentiation is ``the first times the derivative of the second plus the second times the derivative of the first.'' It may seem non-intuitive now, but just see, and in a few days you'll be repeating it to yourself, too.

                      Another way to remember the above derivation is to think of the product u ( x ) v ( x ) as the area of a rectangle with width u ( x ) and height v ( x ). The change in area is d ( uv ), and is indicated is the figure below.

                      As x changes, the area changes from the area of the red rectangle, u ( x ) v ( x ), to the area of the largest rectangle, the sum of the read, green, blue and yellow rectangles. The change in area is the sum of the areas of the green, blue and yellow rectangles,

                      In the limit of dx small, the area of the yellow rectangle is neglected. Algebraically,

                      ``Neglecting'' the yellow rectangle is equivalent to invoking the continuity of u ( x ) above. This argument cannot constitute a rigourous proof, as it uses the differentials algebraically rather, this is a geometric indication of why the product rule has the form it does.


                      Voir la vidéo: LE COURS: La dérivation - Première (Octobre 2021).