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12.6 : Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Résoudre des équations logarithmiques en utilisant les propriétés des logarithmes
  • Résoudre des équations exponentielles à l'aide de logarithmes
  • Utiliser des modèles exponentiels dans les applications

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Résoudre : (x^{2}=16).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.46.
  2. Résoudre : (x^{2}−5x+6=0).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.45.
  3. Résoudre : (x(x+6)=2x+5).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.47.

Résoudre des équations logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes

Dans la section sur les fonctions logarithmiques, nous avons résolu quelques équations en réécrivant l'équation sous forme exponentielle. Maintenant que nous avons les propriétés des logarithmes, nous avons des méthodes supplémentaires que nous pouvons utiliser pour résoudre les équations logarithmiques.

Si notre équation a deux logarithmes, nous pouvons utiliser une propriété qui dit que si (log _{a} M=log _{a} N) alors il est vrai que (M=N). C'est le Propriété un-à-un des équations logarithmiques.

Définition (PageIndex{1})

Propriété un-à-un des équations logarithmiques

Pour (M>0,N>0,a>0), et (a≠1) est un nombre réel :

Si (log _{a} M=log _{a} N,) alors (M=N).

Pour utiliser cette propriété, nous devons être certains que les deux membres de l'équation sont écrits avec la même base.

N'oubliez pas que les logarithmes ne sont définis que pour les nombres réels positifs. Vérifiez vos résultats dans l'équation d'origine. Vous avez peut-être obtenu un résultat qui donne un logarithme de zéro ou un nombre négatif.

Exemple (PageIndex{1})

Résoudre : (2 log _{5} x=log _{5} 81).

Solution:

(2 log _{5} x=log _{5} 81)

Utilisez la propriété Power.

(log _{5} x^{2}=log _{5} 81)

Utilisez la propriété un-à-un, si (log _{a} M=log _{a} N), alors (M=N).

(x^{2}=81)

Résolvez en utilisant la propriété racine carrée.

(x=pm 9)

On élimine (x=-9) car on ne peut pas prendre le logarithme d'un nombre négatif.

(x=9, annuler{x=-9})

Vérifier. (x=9)

(egin{aligned}2 log _{5} x&=log _{5} 81 2 log _{5} 9 &stackrel{?}{=} log _{5} 81 log _{5} 9^{2} & stackrel{?}{=}log _{5} 81 log _{5} 81 & =log _{5} 81end{aligned })

Exercice (PageIndex{1})

Résoudre : (2 log _{3} x=log _{3} 36)

Répondre

(x=6)

Exercice (PageIndex{2})

Résoudre : (3 log x=log 64)

Répondre

(x=4)

Une autre stratégie à utiliser pour résoudre des équations logarithmiques consiste à condenser des sommes ou des différences en un seul logarithme.

Exemple (PageIndex{2})

Résoudre : (log _{3} x+log _{3}(x-8)=2).

Solution:

(log _{3} x+log _{3}(x-8)=2)

Utilisez la propriété du produit, (log _{a} M+log _{a} N=log _{a} M cdot N).

(log _{3} x(x-8)=2)

Réécrivez sous forme exponentielle.

(3^{2}=x(x-8))

Simplifier.

Soustraire (9) de chaque côté.

Facteur.

(0=(x-9)(x+1))

Utiliser la propriété Zero-Product

(x-9=0, quad x+1=0)

Résous chaque équation.

(x=9, quad annuler{x=-1})

Vérifier. (x=-1)

(egin{aligned} log _{3} x+log _{3}(x-8)&=2 log _{3}(-1)+log _{3}(-1 -8) &stackrel{?}{=}2end{aligned})

On ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif.

Vérifier. (x=9)

(egin{aligned} log _{3} x+log _{3}(x-8) &=2 log _{3} 9+log _{3}(9-8) & stackrel{?}{=} 2 2+0 &stackrel{?}{=}2 2 &=2 end{aligned})

Exercice (PageIndex{3})

Résoudre : (log _{2} x+log _{2}(x-2)=3)

Répondre

(x=4)

Exercice (PageIndex{4})

Résoudre : (log _{2} x+log _{2}(x-6)=4)

Répondre

(x=8)

Lorsqu'il y a des logarithmes des deux côtés, nous condensons chaque côté en un seul logarithme. N'oubliez pas d'utiliser la propriété Power si nécessaire.

Exemple (PageIndex{3})

Résoudre : (log _{4}(x+6)-log _{4}(2 x+5)=-log _{4} x).

Solution:

(log _{4}(x+6)-log _{4}(2 x+5)=-log _{4} x)

Utilisez la propriété Quotient sur le côté gauche et la PowerProperty sur la droite.

(log _{4}left(frac{x+6}{2 x+5} ight)=log _{4} x^{-1})

Réécrivez (x^{-1}=frac{1}{x}).

(log _{4}left(frac{x+6}{2 x+5} ight)=log _{4} frac{1}{x})

Utilisez la propriété un-à-un, si (log _{a} M=log _{a} N), alors (M=N).

(frac{x+6}{2 x+5}=frac{1}{x})

Résoudre l'équation rationnelle.

(x(x+6)=2 x+5)

Distribuer.

(x^{2}+6 x=2 x+5)

Écrivez sous une forme standard.

(x^{2}+4 x-5=0)

Facteur.

((x+5)(x-1)=0)

Utilisez la propriété Zero-Product.

(x+5=0, quad x-1=0)

Résous chaque équation.

(annuler{x=-5}, quad x=1)

Vérifier.

Nous vous laissons le chèque.

Exercice (PageIndex{5})

Résoudre : (log (x+2)-log (4 x+3)=-log x).

Répondre

(x=3)

Exercice (PageIndex{6})

Résoudre : (log (x-2)-log (4 x+16)=log frac{1}{x}).

Répondre

(x=8)

Exemple (PageIndex{4}) Résoudre des équations exponentielles à l'aide de logarithmes

Résolvez (5^{x}=11). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Solution:

(5^{x}=11)

Puisque l'exponentielle est isolée, prenez le logarithme des deux côtés.

(log 5^{x}=log 11)

Utilisez la propriété Power pour obtenir le (x) comme facteur, pas comme exposant.

(x log 5=log 11)

Résoudre pour x). Trouvez la réponse exacte.

(x=frac{log 11}{log 5})

Approximation de la réponse.

(x environ 1,490)

Étant donné que (5^{1}=5) et (5^{2}=25), est-il logique que (5^{1.490}≈11) ?

Exercice (PageIndex{7})

Résoudre (7^{x}=43). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Répondre

(x=frac{log 43}{log 7} environ 1.933)

Exercice (PageIndex{8})

Résoudre (8^{x}=98). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Répondre

(x=frac{log 98}{log 8} environ 2.205)

Lorsque nous prenons le logarithme des deux côtés, nous obtiendrons le même résultat que nous utilisions le logarithme commun ou naturel (essayez d'utiliser le logarithme naturel dans le dernier exemple. Avez-vous obtenu le même résultat ?) ), nous utilisons le logarithme népérien.

Exemple (PageIndex{5})

Résolvez (3e^{x+2}=24). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Solution:

(3 e^{x+2}=24)

Isolez l'exponentielle en divisant les deux côtés par (3).

(e^{x+2}=8)

Prenez le logarithme naturel des deux côtés.

(ln e^{x+2}=ln 8)

Utilisez la propriété Power pour obtenir le (x) comme facteur, pas comme exposant.

((x+2) ln e=ln 8)

Utilisez la propriété (ln e=1) pour simplifier.

(x+2=ln 8)

Résous l'équation. Trouvez la réponse exacte.

(x=ln 8-2)

Approximation de la réponse.

(x environ 0,079)

Exercice (PageIndex{9})

Résolvez (2e^{x−2}=18). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Répondre

(x=ln 9+2 environ 4.197)

Exercice (PageIndex{10})

Résolvez (5e^{2x}=25). Trouvez la réponse exacte, puis rapprochez-la de trois décimales.

Répondre

(x=frac{ln 5}{2} environ 0,805)

Utiliser des modèles exponentiels dans les applications

Dans les sections précédentes, nous avons pu résoudre certaines applications modélisées avec des équations exponentielles. Maintenant que nous avons tellement plus d'options pour résoudre ces équations, nous sommes en mesure de résoudre plus d'applications.

Nous utiliserons à nouveau les formules d'intérêt composé et nous les énumérons donc ici à titre de référence.

Définition (PageIndex{2})

Intérêts composés

Pour un principal, (P), investi à un taux d'intérêt, (r), pendant (t) ans, le nouveau solde, (A) est :

(egin{array}{ll}{A=Pleft(1+frac{r}{n} ight)^{nt}} & { ext { quand composé } n ext { fois par an . }} {A=P e^{rt}} & { ext { lorsqu'il est composé en continu. }}end{array})

Exemple (PageIndex{6})

Les parents de Jermael ont investi (10 ​​000 ) $ en investissements pour ses dépenses universitaires le jour de son premier anniversaire. Ils espèrent que les investissements vaudront (50 000) lorsqu'il aura (18). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance approximativement auront-ils besoin pour atteindre leur objectif ?

Solution:

Identifiez les variables dans la formule.

(egin{aligned} A &=$ 50 000 P &=$ 10 000 r &=? t &=17 ext { années } A &=P e^{rt} fin{aligné})

Remplacez les valeurs dans la formule.

(50 000=10 000 e^{r cdot 17})

Résoudre pour (r). Divisez chaque côté par (10,000).

(5=e^{17 r})

Prenez la bûche naturelle de chaque côté.

(ln 5=ln e^{17 r})

Utilisez la propriété Power.

(ln 5=17 r ln e)

Simplifier.

(ln 5=17 r)

Divisez chaque côté par (17).

(frac{ln 5}{17}=r)

Approximation de la réponse.

(r environ 0,095)

Convertir en pourcentage.

(r environ 9,5 \%)

Ils ont besoin que le taux de croissance soit d'environ (9,5)%.

Exercice (PageIndex{11})

Hector investit (10,000) à l'âge (21). Il espère que les investissements vaudront (150 000) lorsqu'il aura (50). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance approximativement aura-t-il besoin pour atteindre son objectif ?

Répondre

(r environ 9.3 \%)

Exercice (PageIndex{12})

Rachel investit (15 000) à l'âge (25). Elle espère que les investissements vaudront (90 000) lorsqu'elle aura (40). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance environ aura-t-elle besoin pour atteindre son objectif ?

Répondre

(r environ 11,9 \%)

Nous avons vu que la croissance et la décroissance sont modélisées par des fonctions exponentielles. Pour la croissance et la décroissance, nous utilisons la formule (A=A_{0} e^{k t}). La croissance exponentielle a un taux de croissance positif ou une constante de croissance, (k), et décroissance exponentielle a un taux de croissance ou de décroissance négatif, (k).

Définition (PageIndex{3})

Croissance et déclin exponentiels

Pour un montant initial, (A_{0}), qui croît ou décroît à un taux, (k), pendant un certain temps, (t), le montant final, (A), est :

(A=A_{0} e^{k t})

Nous pouvons maintenant résoudre des applications qui nous donnent suffisamment d'informations pour déterminer le taux de croissance. Nous pouvons ensuite utiliser ce taux de croissance pour prédire d'autres situations.

Exemple (PageIndex{7})

Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries est passée de (100) à (300) en (3) heures. À ce taux de croissance, combien de bactéries y aura-t-il (24) heures à partir du début de l'expérience ?

Solution:

Ce problème nécessite deux étapes principales. Nous devons d'abord trouver le taux inconnu, (k). Ensuite, nous utilisons cette valeur de (k) pour nous aider à trouver le nombre inconnu de bactéries.

Identifiez les variables dans la formule.

(egin{aligned} A &=300 A_{0} &=100 k &=? t &=3 ext { heures } A &=A_{0} e^{kt } end{aligné})

Remplacez les valeurs dans la formule.

(300=100 e^{k cdot 3})

Résoudre pour (k). Divisez chaque côté par (100).

(3=e^{3 k})

Prenez la bûche naturelle de chaque côté.

(ln 3=ln e^{3 k})

Utilisez la propriété Power.

(ln 3=3 k ln e)

Simplifier.

(ln 3=3 k)

Divisez chaque côté par (3).

(frac{ln 3}{3}=k)

Approximation de la réponse.

(k environ 0,366)

Nous utilisons ce taux de croissance pour prédire le nombre de bactéries qu'il y aura dans (24) heures.

(egin{aligned} A &=? A_{0} &=100 k &=frac{ln 3}{3} t &=24 ext { heures } A & =A_{0} e^{kt} end{aligned})

Substituer dans les valeurs.

(A=100 e^{frac{ln 3}{3} cdot 24})

Évaluer.

(A environ 656 100)

À ce taux de croissance, ils peuvent s'attendre à des bactéries (656.100).

Exercice (PageIndex{13})

Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries est passée de (100) à (500) en (6) heures. À ce taux de croissance, combien de bactéries y aura-t-il (24) heures à partir du début de l'expérience ?

Répondre

Il y aura (62.500) bactéries.

Exercice (PageIndex{14})

Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries est passée de (700 000) à (400 000) en (5) heures après l'administration du médicament. À ce taux de décomposition, combien de bactéries y aura-t-il (24) heures après le début de l'expérience ?

Répondre

Il y aura (5 870 061) bactéries.

Les substances radioactives se désintègrent ou se décomposent selon la formule de désintégration exponentielle. Le temps qu'il faut à la substance pour se décomposer à la moitié de sa quantité d'origine est appelé le demi-vie de la substance.

Comme dans l'exemple précédent, nous pouvons utiliser les informations fournies pour déterminer la constante de décroissance, puis utiliser cette constante pour répondre à d'autres questions.

Exemple (PageIndex{8})

La demi-vie du radium-226 est de (1 590) ans. Quelle quantité d'un échantillon de (100) mg restera-t-il dans (500) ans ?

Solution:

Ce problème nécessite deux étapes principales. Nous devons d'abord trouver la constante de décroissance (k). Si nous commençons avec (100)-mg, à la demi-vie, il restera (50)-mg. Nous utiliserons ces informations pour trouver (k). Ensuite, nous utilisons cette valeur de (k) pour nous aider à trouver la quantité d'échantillon qui restera dans (500) ans.

Identifiez les variables dans la formule.

(egin{aligned} A &=50 A_{0} &=100 k &=? t &=1590 ext { années } A &=A_{0} e^{kt } end{aligné})

Remplacez les valeurs dans la formule.

(50=100 e^{k cdot 1590})

Résoudre pour (k). Divisez chaque côté par (100).

(0.5=e^{1590 k})

Prenez la bûche naturelle de chaque côté.

(ln 0.5=ln e^{1590 k})

Utilisez la propriété Power.

(ln 0.5=1590 k ln e)

Simplifier.

(ln 0.5=1590 k)

Divisez chaque côté par (1590).

(frac{ln 0.5}{1590}=k) réponse exacte

Nous utilisons ce taux de croissance pour prédire le montant qui restera dans (500) ans.

(egin{aligned} A &=? A_{0} &=100 k &=frac{ln 0.5}{1590} t &=500: mathrm{years} A &=A_{0} e^{kt} end{aligned})

Substituer dans les valeurs.

(A=100 e^{frac{1 mathrm{n} 0.5}{1500} cdot 500})

Évaluer.

(A environ 80,4 mathrm{mg})

Dans (500) ans, il resterait environ (80,4) mg.

Exercice (PageIndex{15})

La demi-vie du magnésium-27 est de (9.45) minutes. Quelle quantité d'échantillon (10)-mg restera-t-il en (6) minutes ?

Répondre

Il restera (6.43) mg.

Exercice (PageIndex{16})

La demi-vie de l'iode radioactif est de (60) jours. Quelle quantité d'échantillon de (50) mg restera-t-il dans (40) jours ?

Répondre

Il restera (31,5) mg.

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques.

  • Résolution d'équations logarithmiques
  • Résolution d'équations logarithmiques
  • Trouver le taux ou le temps dans un problème de mots sur une croissance ou une décroissance exponentielle
  • Trouver le taux ou le temps dans un problème de mots sur une croissance ou une décroissance exponentielle

Concepts clés

  • Propriété un-à-un des équations logarithmiques : Pour (M>0, N>0, a>0), et (a≠1) est un nombre réel :

    Si (log _{a} M=log _{a} N,) alors (M=N)

  • Intérêts composés:
    Pour un principal, (P), investi à un taux d'intérêt, (r), pendant (t) ans, le nouveau solde, (A), est :

    (egin{array}{ll}{A} & {=Pleft(1+frac{r}{n} ight)^{nt}} & { ext { quand composé } n ext { fois par an. }} {A} & {=P e^{rt}} & { ext { lorsqu'il est composé en continu. }}end{array})

  • Croissance et déclin exponentiels : Pour un montant initial, (A_{0}) qui croît ou décroît à un taux, (r), pendant un certain temps (t), le montant final, (A), est ( A=A_{0} e^{rt}).

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Lentilles

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Qu'y a t-il dans une lentille?

Les fabricants d'objectifs pointent vers les matériaux (modules et collections), créant un guide qui inclut leurs propres commentaires et balises descriptives sur le contenu.

Qui peut créer une lentille?

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Feuille de travail sur la résolution des équations exponentielles et logarithmiques Pdf

Montrez comment vous pourriez utiliser une approche numérique en créant un tableau. Ce type de problème est appelé équation exponentielle.

Holt Algebra 2 3a Résolution d'équations à plusieurs étapes Feuille de travail en 3 étapes Doc Pdf Feuilles de travail d'algèbre Écrire des équations linéaires Écrire des équations

Résoudre des équations exponentielles avec des logarithmes.

Fiche de travail sur la résolution d'équations exponentielles et logarithmiques pdf. L 1 lmyaedje p awwiztghe mihnyfyicn7iptxe v ta slzg iewbdr4ai k2r. 1 3 b 17 2 5789 2 12 r 13 1 0322 3. Résoudre 4x 2 64.

Pour résoudre une équation exponentielle, isolez d'abord l'expression exponentielle, puis prenez le logarithme des deux côtés de l'équation et résolvez la variable. Créez vos propres feuilles de calcul comme celle-ci avec l'algèbre infinie 2. Feuille de calcul M par kuta software llc kuta software algèbre infinie 2 nommez les équations exponentielles ne nécessitant pas de période de date de logarithme résolvez chaque équation.

Si nous considérons l'exemple, ce problème ne contient que des logarithmes. Donc, la bonne façon de résoudre ces types de problèmes logarithmiques est simplement de supprimer le fichier. Réécrivez pour que les bases soient égales si nécessaire.

Supposons que vous souhaitiez une manière plus précise de résoudre les équations qu'en utilisant une approche graphique. Résolution d'équations logarithmiques. Pour résoudre une équation logarithmique, isolez d'abord l'expression logarithmique, puis exposez les deux côtés de l'équation et résolvez.

La résolution d'équations exponentielles et logarithmiques fonctionne avec un partenaire. 326 chapitre 6 fonctions exponentielles et suites 6 5 leçon propriété d'égalité pour les équations exponentielles mots deux puissances de même base positive b où b 1 sont égaux si et seulement si leurs exposants sont égaux. La façon de résoudre la plupart de ces équations est de les transformer en logarithmes.

Algèbre si b 0 et 1 alors x par si et seulement si x y. Revenez sur les équations des explorations 1 a et 1 b. Résoudre des équations exponentielles avec une période de date de logarithmes résout chaque équation.

Résoudre des équations exponentielles décider comment résoudre des équations exponentielles lorsqu'on lui demande de résoudre une équation exponentielle telle que 2 x 6 32 ou 5 2x 3 18 la première chose que nous devons faire est de décider de quelle manière est la meilleure façon de résoudre le problème. Résolution d'équations exponentielles et logarithmiques 1. Nombres 2 si x 25 puis x 5 si 5 puis 2 25.

Certaines équations exponentielles peuvent être résolues par. 1 log 5 25 ans 2 log 3 1 an 3 log 16 4 ans 4 log 2 1 8 ans 5 log. Avoir la capacité de résoudre des équations comme 10x 2 50 où le x est dans l'exposant à la place.

1 42 x 3 1 2 53 2x 5 x 3 31 2x 243 4 32a 3 a. Ce que vous apprendrez, ce que vous apprendrez. Donc, la bonne façon de résoudre ces types de problèmes logarithmiques est de réécrire le problème logarithmique sous forme exponentielle.

Collège Vanier sec v mathématiques département de mathématiques 201 015 50 feuille de travail. Feuille de travail de kuta software llc fonctions avancées résolution d'équations exponentielles et logarithmiques nom date période a f2c0 1c5l gkuust ag gsao fvt w a r eo tlglrce j v bahlylq krliqgdhttose ernezsne rqv e d 1 résoudre chaque équation. Nous examinerons également les équations logarithmiques dans cette feuille de travail.

Arrondissez vos réponses au dix millième près. Trouvez la valeur de y.

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Résoudre des équations exponentielles avec différentes bases

Ces leçons aident les étudiants de PreCalculus à apprendre à résoudre des équations exponentielles avec différentes bases.

Le diagramme suivant montre les étapes pour résoudre des équations exponentielles avec différentes bases. Faites défiler la page pour plus d'exemples et de solutions.

Comment résoudre des équations exponentielles avec des bases différentes ?

Parfois, on nous donne des équations exponentielles avec des bases différentes sur les termes. Afin de résoudre ces équations, nous devons connaître les logarithmes et comment les utiliser avec l'exponentiation. Nous pouvons accéder à des variables dans un exposant dans des équations exponentielles avec différentes bases en utilisant des logarithmes et la règle de puissance des logarithmes pour se débarrasser de la base et n'avoir que l'exposant.

Comment résoudre des équations exponentielles en utilisant des logarithmes ?

  1. Isoler la partie exponentielle de l'équation. S'il y a deux parties exponentielles, mettez une de chaque côté de l'équation.
  2. Prenez le logarithme de chaque côté de l'équation.
  3. Résoudre pour la variable.
  4. Vérifiez votre solution graphiquement.

Exemple:
Résoudre les équations exponentielles. Arrondissez au centième si besoin.
(a) 7 x - 1 = 4
(b) 3•2 x - 2 = 13
(c) (2/3) x = 5 3 - x
(d) 5 x - 3 = 3 2x + 1

Comment résoudre des équations exponentielles avec des bases différentes ?

Lorsqu'il n'est pas pratique de réécrire chaque côté d'une équation exponentielle afin qu'elle ait la même base, procédez comme suit :

  1. Prenez la bûche (ou ln) des deux côtés
  2. Appliquer la propriété de puissance
  3. Résoudre pour la variable

Exemple:
Résoudre pour x.
a) 6 x = 42
b) 7 x = 20
c) 8 2x - 5 = 5x + 1
d) 3 x = 5 x - 1

Comment utiliser le changement de formule de base pour résoudre des équations exponentielles de base ?

Exemple:
Résolvez en écrivant sous forme d'équation logarithmique, puis en utilisant la formule de changement de base. Arrondir à 4 décimales.
a) 5 x = 476
b) 4•3 x = 984

Comment résoudre des équations exponentielles et logarithmiques ?

Principe utilisé : loguneun g(x) = g(x)

  1. Résoudre pour x : 8 8x + 7 = 9
  2. Résoudre pour x:
    a) 6 1 - 2x = 3
    b) 1 + 3(4 2x + 3 ) = 8
  3. Résoudre pour x : log24x + bûche2x = 2
  4. Résoudre pour x:
    un journal35 + journal2(x + 4) = 2
    Blog4x + journal4(x + 3) = 1

Comment résoudre des équations exponentielles qui ne sont pas un-à-un ?

Exemples:
3 4x - 5 = 17

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Résolution d'équations exponentielles et logarithmiques

Ici, nous utiliserons ce que nous avons appris sur les exponentielles et les logarithmes pour résoudre des équations.

Propriété un-à-un des fonctions exponentielles –
Si b^n = b^m alors n=m

Nous pouvons utiliser la propriété ci-dessus si nous sommes capables d'exprimer les deux côtés de l'équation en fonction de la même base, comme indiqué ici.

Résoudre Rappel de la règle de l'exposant
Étape 1 : Exprimez les deux côtés en fonction de la même base.
Étape 2 : Égalisez les exposants. Étape 3: Résolvez pour la variable.

Ce n'est pas toujours le cas que nous serons en mesure d'exprimer les deux côtés d'une équation en fonction de la même base. Pour cette raison, nous utiliserons la propriété suivante.

Propriété un-à-un des fonctions logarithmiques – Pour tous les réels b, b > 0 et b ≠ 1
si et seulement si x = y

Résoudre
Étape 1 : Prenez la bûche commune des deux côtés. Étape 2 : Appliquer la règle de puissance pour les logarithmes
Étape 3: Résolvez pour la variable.
Réponse exacte Réponse approximative arrondie au centième près.

Lors de la résolution d'équations exponentielles et en utilisant le processus ci-dessus, la règle de base est de choisir le logarithme commun à moins que l'équation implique e. Nous les choisissons car il y a un bouton pour eux sur la calculatrice. Mais nous pourrions certainement utiliser n'importe quelle base que nous souhaitons, c'est la base pour la dérivation de la formule de changement de base.

Prouver
Étape 1 : Appliquer la définition du logarithme. Étape 2 : Prenez à la base une bûche des deux côtés.
Étape 3 : Appliquez la règle de puissance pour les logarithmes.
Étape 4: Résolvez pour y.
Pour la dernière étape, assimilez simplement les formes équivalentes de y ci-dessus.

Nous pouvons également utiliser la propriété un-à-un des logarithmes pour résoudre des équations logarithmiques. Si on nous donne une équation avec un logarithme de la même base des deux côtés, nous pouvons simplement assimiler les arguments.

Assurez-vous de vérifier si les solutions que nous obtenons
résoudre l'équation logarithmique originale. Dans ce manuel, nous mettrons une coche à côté de la solution après avoir déterminé qu'elle résout vraiment l'équation. Ce processus aboutit parfois à des solutions superflues, nous devons donc vérifier nos réponses.


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Feuille de travail Résoudre des équations exponentielles avec des logarithmes

Cette série de feuilles de travail expliquera comment résoudre les variables exponentielles dans les expressions algébriques à l'aide de tables logarithmiques et en équilibrant l'équation. Affichage des 8 premières feuilles de travail dans la catégorie résolution d'équations exponentielles.

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Pour résoudre une équation exponentielle, isolez d'abord l'expression exponentielle, puis prenez le logarithme des deux côtés de l'équation et résolvez la variable.

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Les exposants peuvent toujours compliquer les équations, non pas parce que cela complique les concepts, mais cela rend les calculs plus difficiles pour les étudiants. Affichage des 8 premières feuilles de travail de la catégorie résolvant des équations exponentielles et logarithmiques. Résoudre des équations exponentielles avec une période de date de logarithmes résout chaque équation.

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Le diagramme suivant montre les étapes pour résoudre des équations exponentielles avec différentes bases. Arrondissez vos réponses au dix millième près. 1 3 b 17 25789 2 12 r 13 10322 3.

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Utilisez la propriété un-à-un des logarithmes pour résoudre des équations logarithmiques.

Si on nous donne une équation avec un logarithme de la même base des deux côtés, nous pouvons simplement assimiler les arguments.

Étape 1: Utilisez les règles des exposants pour isoler une expression logarithmique (avec la même base) des deux côtés de l'équation.
Étape 2: définissez les arguments égaux les uns aux autres.
Étape 3: Résoudre l'équation résultante.
Étape 4: Vérifiez vos réponses.


Bien sûr, des équations comme celles-ci sont très spéciales. La plupart des problèmes que nous rencontrerons n'auront pas de logarithme des deux côtés. Les étapes pour les résoudre suivent.

Étape 1: Utilisez les propriétés du logarithme pour isoler le journal d'un côté.
Étape 2: Appliquer la définition du logarithme et la réécrire sous la forme d'une équation exponentielle.
Étape 3: Résoudre l'équation résultante.
Étape 4: Vérifiez vos réponses.

Si la réponse à l'équation logarithmique rend l'argument négatif, alors il est étranger. Cela n'empêche pas les réponses négatives. Nous devons être sûrs de vérifier toutes nos solutions.

Vidéo d'instruction: Résolution d'équations logarithmiques


Vidéos youtube:


Systèmes d'équations exponentiels

En règle générale, les équations exponentielles nécessitent un ou plusieurs logarithmes à résoudre. Dans de nombreux cas, les techniques de résolution des systèmes d'équations et les lois des exposants doivent être combinées pour résoudre des systèmes d'équations exponentiels. Traiter le système comme un système d'équations linéaires de base est parfois aussi un outil utile.

Résolution par substitution

Par « résolution par substitution », nous entendons que ces problèmes impliquent une substitution pour réduire une équation à une variable. C'est fondamentalement la même méthode que la substitution d'expressions dans les systèmes linéaires, sauf qu'il faut généralement plus d'algèbre pour résoudre complètement le système.

Exemple 1: Résolvez ce système pour (x) et (y) :

Solution 1 : Il y a quelques substitutions différentes que nous pouvons faire avec un peu de manipulation. Cependant, observez que ((6^y)^2 = 36^y), donc la première équation au carré :

$(6^y)^2 = (36^)^2 Rightarrow$ $6^y cdot 6^y = 36^ cdot 36^ Rightarrow$ $(6^2)^y = 36^ Rightarrow$ $36^y = 36^<2x + 8>$

Maintenant, nous pouvons résoudre pour (x) en substituant (36^y = 36^) dans cette équation :

On peut commencer par prendre le logarithme de base (36) des deux membres de l'équation :

Résolvez maintenant cette équation linéaire :

Pour résoudre (y), substituez cette valeur de (x) dans l'une des équations d'origine. Nous utiliserons la deuxième équation originale puisque les deux exposants ont la même base :

Prendre le logarithme de base (36) des deux côtés donne (y = 4).

Solution 2 : Cette solution illustre une autre substitution qui peut être faite. Transformez le côté droit de la deuxième équation pour qu'il corresponde au côté droit de la première équation :

Ainsi, nous pouvons substituer pour obtenir une équation impliquant uniquement (y):

Convertissez le membre de gauche pour avoir une base de (6):

$6^ <2y – 4>= 6^y Rightarrow$ $2y – 4 = y Rightarrow$ $y = 4$

Branchez ceci dans la deuxième équation d'origine :

Résoudre pour (x) avec un logarithme de base (36) :

Exemple 2 : Résoudre ce système d'équations pour (x) et (y) :

Solution: Il est plus facile de résoudre l'équation linéaire d'une variable en fonction de l'autre et de la substituer plutôt que l'inverse.

$y - x = 2 Rightarrow$ $y - 2 = x$

Au lieu de le remplacer par (x), nous pouvons effectuer une substitution uniquement pour (2x + 4). Par conséquent, nous voulons résoudre pour (2x + 4) en termes de (y) plutôt que (x). Ajoutez (2) aux deux côtés de l'équation :

Multipliez maintenant les deux membres de l'équation par (2):

Prenons le logarithme de base (7) des deux membres de l'équation :

Maintenant, résolvez (x) par substitution :

$-3 - x = 2 Rightarrow$ $3 + x = -2 Rightarrow$ $x = -5$

Résoudre avec élimination

L'élimination d'une variable est une technique moins courante pour les systèmes exponentiels que la substitution, mais elle a toujours des utilisations, ressemblant souvent à ses applications dans les systèmes linéaires.

Exemple 3 : Résoudre ce système d'équations :

Solution: (x) sera beaucoup plus facile à éliminer car (6^ = 6^x cdot 36). Divisez les deux membres de la première équation par (36):

Subtract the second equation from the first:

Take the base (12) logarithm of both sides:

$5 = y - 11 Rightarrow$ $y = 16$

Plug this value into the second original equation:

We must factor the base on the right-hand side:

Move all the base (6) exponents to one side:

Take the base (6) logarithm of both sides of the equation and isolate (x):

$x - 21 = log_<6>(2^<21>) Rightarrow$ $x = 21log_<6>(2) + 21$

Exemple 4 : Solve this system of equations:

Solution: Convert the left-hand side of the first equation to have exponents of bases (2) and (7):

Now, notice that the base (2) exponents in the two equations have superscripts that differ by (1). Multiply the first equation by (2) to make these superscripts the same:

Trying to eliminate (x) now will just result in an equation that cannot be solved for (y) with algebraic methods. We can match the other exponents by multiplying the second original equation by (7^2 = 49). This gives us the system

$2^ <4x + 1>+ 2 cdot 7^ = 610$ $49 cdot 2^ <4x + 1>+ 7^ = 25137$

Although this problem uses elimination, we should use substitutions here before continuing. Let (a = 2^<4x + 1>) and (b = 7^). Then the system becomes

Now we can choose a variable to eliminate. Multiply the second equation by (2):

Subtract the first equation from this one to eliminate (b):

Substitute this into the first equation from the linear system and solve for (b):

$512 + 2b = 610 Rightarrow$ $2b = 98 Rightarrow$ $b = 49$

We now undo our substitutions to get (x) and (y):

Cancel out the exponents with the appropriate logarithms, those of bases (2) and (7), respectively:

Solve these linear equations for (x) and (y):

Conversion to a Linear System

Sometimes, a good solution is to convert both equations to linear equations by using exponent laws and then canceling out all the exponents at once with a logarithm. Generally, the initial exponents' bases will either all be identical, or one is a perfect square, cube, etc. of the other. Here is an example of that procedure.

Exemple 5 : Solve this system for (x) and (y):

Solution: Convert the left-hand side of the first equation entirely to base (4):

$4^ <2x>cdot (4^2)^ = 16^y Rightarrow$ $4^ <2x>cdot 4^ cdot 4^ = 16^y Rightarrow$ $4^ <2x + x + 2 + x + 2>= 16^y Rightarrow$ $4^ <4x + 4>= 16^y$

Now convert the left-hand side back to base (16):

Take the base (16) logarithm of both sides:

We now look at the next equation:

Now we can convert the left-hand side to a base (4) exponent:

Apply the base (4) logarithm:

Substitute the value of (y) given in terms of (x) directly into the first equation:

$4x = 2(2x + 2) + 21 Rightarrow$ $4x = 4x + 4 + 21 Rightarrow$ $0 eq 25$

Therefore there are no solutions.

Example 6: Solve this system of equations:

$25^ <2x + y>= 15625$ $25^x cdot 5^ <2y>= 625$

Solution: In order for all exponents to be of base (25), notice that

So combining this with the other exponent in that equation:

We can now eliminate a variable, namely (y). However, rather than subtracting the equations, we must divide one from the other to eliminate (y):

Taking the base (25) logarithm of both sides of the equation gives (x = 1). Plug this into the equation(25^ = 625):

Take the base (25) logarithm of both sides:

Exponential systems of equations are more difficult counterparts of linear systems, because they require additional exponent laws and logarithm usage to solve. However it can be seen that, with those added complexities aside, the two types of systems are very similar and can be treated rather similarly. Sometimes an exponential system can be manipulated in such a way that two substitutions can transform the system into a linear system, and sometimes the equations can be manipulated to eliminate a variable and then just solve for one variable. There are many different techniques to try, and every problem will have a different string of manipulations required.

"The Art of Problem Solving Intermediate Algebra" Rusczyk, Richard and Crawford, Matthew


Voir la vidéo: Logaritmifunktio (Octobre 2021).