Des articles

6.1.3 : Raisonnement sur les équations avec des diagrammes de bande - Mathématiques


Leçon

Voyons comment les équations peuvent décrire les diagrammes de bande.

Exercice (PageIndex{1}) : Rechercher des expressions équivalentes

Sélectionner tout les expressions qui sont équivalent à (7(2-3n)). Expliquez comment vous savez que chaque expression que vous sélectionnez est équivalente.

  1. (9-10n)
  2. (14-3n)
  3. (14-21n)
  4. ((2-3n)cdot 7)
  5. (7cdot 2cdot (-3n))

Exercice (PageIndex{2}) : Correspondance d'équations avec des diagrammes de bande

  1. Associez chaque équation à l'un des diagrammes de bande. Soyez prêt à expliquer comment l'équation correspond au diagramme.
  2. Triez les équations dans les catégories de votre choix. Expliquez les critères de chaque catégorie.
  • (2x+5=19)
  • (2+5x=19)
  • (2(x+5)=19)
  • (5(x+2)=19)
  • (19=5+2x)
  • ((x+5)cdot 2=19)
  • (19=(x+2)cdot 5)
  • (19div 2=x+5)
  • (19-2=5x)

Exercice (PageIndex{3}) : Dessiner des diagrammes de bande pour représenter des équations

  1. Dessinez un diagramme de bande pour correspondre à chaque équation.
    1. (114=3x+18)
    2. (114=3(y+18))
  2. Utilisez n'importe quelle méthode pour trouver des valeurs pour (x) et (y) qui rendent les équations vraies.

Êtes-vous prêt pour plus?

Pour faire un flocon de neige de Koch :

  • Commencez avec un triangle équilatéral dont les côtés sont de 1. C'est l'étape 1.
  • Remplacez le tiers médian de chaque segment de droite par un petit triangle équilatéral avec le tiers médian du segment formant la base. C'est l'étape 2.
  • Faites de même pour chacun des segments de ligne. C'est l'étape 3.
  • Continuez à répéter ce processus.
  1. Quel est le périmètre après l'étape 2 ? Étape 3?
  2. Qu'arrive-t-il au périmètre, ou à la longueur de la ligne tracée le long de l'extérieur de la figure, au fur et à mesure que le processus se poursuit ?

Résumé

Nous avons vu comment les diagrammes de bande représentent les relations entre les quantités. En raison de la signification et des propriétés de l'addition et de la multiplication, plusieurs équations peuvent souvent être utilisées pour représenter un seul diagramme sur bande.

Jetons un coup d'œil à deux diagrammes de bande.

Nous pouvons décrire ce diagramme avec plusieurs équations différentes. En voici quelques uns:

  • (26+4x=46), car les parties s'additionnent au tout.
  • (4x+26=46), car l'addition est commutative.
  • (46=4x+26), car si deux quantités sont égales, peu importe comment nous les organisons autour du signe égal.
  • (4x=46-26), car une partie (la partie composée de (4x)) est la différence entre le tout et l'autre partie.

Pour ce schéma :

  • (4(x+9)=76), car la multiplication signifie avoir plusieurs groupes de la même taille.
  • ((x+9) cdot 4=76), car la multiplication est commutative.
  • (76div 4=x+9), car la division nous indique la taille de chaque partie égale.

Entrées du glossaire

Définition : expressions équivalentes

Les expressions équivalentes sont toujours égales les unes aux autres. Si les expressions ont des variables, elles sont égales chaque fois que la même valeur est utilisée pour la variable dans chaque expression.

Par exemple, (3x+4x) équivaut à (5x+2x). Quelle que soit la valeur que nous utilisons pour (x), ces expressions sont toujours égales. Lorsque (x) est égal à 3, les deux expressions sont égales à 21. Lorsque (x) est égal à 10, les deux expressions sont égales à 70.

Entraine toi

Exercice (PageIndex{4})

Résoudre chaque équation mentalement.

  1. (2x=10)
  2. (-3x=21)
  3. (frac{1}{3}x=6)
  4. (-frac{1}{2}x=-7)

(De l'unité 5.5.1)

Exercice (PageIndex{5})

Complétez les carrés magiques de sorte que la somme de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale d'une grille soient toutes égales.​

(À partir de l'unité 5.2.2)

Exercice (PageIndex{6})

Dessinez un diagramme de bande pour correspondre à chaque équation.

  1. (5(x+1)=20)
  2. (5x+1=20)

Exercice (PageIndex{7})

Sélectionner tout les équations qui correspondent au diagramme de bande.

  1. (35=8+x+x+x+x+x+x)
  2. (35=8+6x)
  3. (6+8x=35)
  4. (6x+8=35)
  5. (6x+8x=35x)
  6. (35-8=6x)

Exercice (PageIndex{8})

Chaque voiture roule à vitesse constante. Trouvez le nombre de kilomètres parcourus par chaque voiture en 1 heure au taux indiqué.

  1. (135) miles en (3) heures
  2. (22) miles en (frac{1}{2}) heure
  3. (7,5) miles en (frac{1}{4}) heure
  4. (frac{100}{3}) miles en (frac{2}{3}) heure
  5. (97frac{1}{2}) miles en (frac{3}{2}) heure

(De l'unité 4.1.2)


Leçon 1

Dans cette leçon, les élèves voient comment utiliser la propriété distributive pour écrire une expression compacte pour des situations où une quantité est décrite par rapport à une autre quantité dans un langage tel que « la moitié encore » et « un tiers de plus que ». Si (y) est encore deux fois moins que (x) , alors (y = x + frac12 x) . En utilisant la propriété distributive, cela peut être écrit comme (y = (1 frac12)x) . Les élèves appliquent ce genre de raisonnement à diverses situations. Une activité d'échauffement active leur connaissance préalable de l'utilisation de la propriété distributive pour écrire des expressions équivalentes. Lorsque les élèves recherchent des opportunités d'utiliser la propriété distributive pour écrire des équations de manière plus simple, ils s'engagent dans MP7.

Dans la leçon suivante, ils examineront des situations similaires impliquant des fractions exprimées en nombres décimaux. Ces deux leçons les préparent à une étude ultérieure de situations impliquant un pourcentage d'augmentation et un pourcentage de diminution.

Buts d'apprentissage

Utilisons des fractions pour décrire les augmentations et les diminutions.

Préparation requise

Imprimez et découpez des feuillets à partir du gabarit de la ligne noire du tri des cartes de représentations des relations proportionnelles. Préparez 1 exemplaire pour 2 élèves. Ceux-ci peuvent être réutilisés si vous avez plus d'une classe. Pensez à faire quelques copies supplémentaires qui ne sont pas découpées pour servir de corrigé.

Objectifs d'apprentissage

Normes CCSS

Entrées du glossaire

Un diagramme de bande est un groupe de rectangles assemblés pour représenter une relation entre des quantités.

Par exemple, ce diagramme de bande montre un rapport de 30 gallons de peinture jaune à 50 gallons de peinture bleue.

Agrandir l'image

Si chaque rectangle était étiqueté 5, au lieu de 10, alors la même image pourrait représenter le rapport équivalent de 15 gallons de peinture jaune à 25 gallons de peinture bleue.

Imprimer des documents formatés

Les enseignants disposant d'une adresse e-mail professionnelle valide peuvent cliquer ici pour s'inscrire ou se connecter pour accéder gratuitement à Cool Down, au guide de l'enseignant et aux documents PowerPoint.

IM 6-8 Math a été développé à l'origine par Open Up Resources et rédigé par Illustrative Mathematics®, et est protégé par copyright 2017-2019 par Open Up Resources. Il est sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). Le programme de mathématiques 6-8 de OUR est disponible sur https://openupresources.org/math-curriculum/.

Les adaptations et les mises à jour de IM 6-8 Math sont protégées par copyright 2019 par Illustrative Mathematics et sont sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Les adaptations pour ajouter des supports supplémentaires pour les apprenants en anglais sont protégées par copyright 2019 par Open Up Resources et sont sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Les adaptations et les ajouts pour créer IM 6-8 Math Accelerated sont protégés par copyright 2020 par Illustrative Mathematics et sont sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Le deuxième ensemble d'évaluations en anglais (marqué comme ensemble "B") est protégé par le droit d'auteur 2019 par Open Up Resources et est sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Le nom et le logo de Illustrative Mathematics ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être utilisés sans le consentement écrit préalable et exprès de Illustrative Mathematics.

Ce site comprend des images du domaine public ou des images sous licence ouverte qui sont protégées par les droits d'auteur de leurs propriétaires respectifs. Les images sous licence ouverte restent sous les termes de leurs licences respectives. Voir la section d'attribution d'image pour plus d'informations.


Leçon 2

Problème 1

  1. La température est de -2$^circ ext$. Si la température augmente de 15$^circ ext$, quelle est la nouvelle température ?
  2. A minuit la température est de -6$^circ ext$. A midi la température est de 9$^circ ext$. De combien la température a-t-elle augmenté ?

Problème 2 (de l'unité 5, leçon 1)

Complétez chaque énoncé avec un nombre qui rend l'énoncé vrai.

  1. _____ < $7^circ ext$
  2. _____ < $ ext- 3^circ ext$
  3. $ ext- 0.8^circ ext$ < _____ < $ ext- 0.1^circ ext$
  4. _____ > $ ext- 2^circ ext$

Problème 3

Dessinez un schéma pour représenter chacune de ces situations. Ensuite, écrivez une expression d'addition qui représente la température finale.

  1. La température était de 80 $ ^circ ext$ puis est tombé 20 $ ^circ ext$.
  2. La température était de $ ext-13 ^circ ext$ puis augmenté de 9 $ ^circ ext$.
  3. La température était de $ ext-5 ^circ ext$ puis tomba $8 ^circ ext$.

Problème 4 (de l'unité 2, leçon 7)

Décidez si chaque table peut représenter une relation proportionnelle. Si la relation pouvait être proportionnelle, quelle serait la constante de proportionnalité ?

Le nombre de roues d'un groupe de bus.

Le nombre de roues d'un train.

Problème 5 (de l'unité 4, leçon 7)

Noah a été chargé de faire 64 biscuits pour la vente de pâtisseries. Il a fait 125 % de ce nombre. 90% des cookies qu'il a fait ont été vendus. Combien de biscuits de Noé restaient-ils après la vente de pâtisseries ?


Comparaison des solutions de diagramme de bande aux solutions algébriques



Des exemples, des vidéos et des solutions pour aider les élèves de 7e année à apprendre à comparer les solutions des diagrammes sur bande aux solutions algébriques.

État de New York Common Core Maths, 7e année, module 2, leçon 17

Leçon 17 Résultats des élèves

Les élèves utilisent des diagrammes de bande pour résoudre des équations de la forme px + q = r et p(x + q) = r, (où p, q et r sont de petits entiers positifs) et identifient la séquence d'opérations utilisée pour trouver le solution.

Les élèves traduisent des problèmes de mots pour écrire et résoudre des équations algébriques à l'aide de diagrammes sur bande pour modéliser les étapes qu'ils enregistrent algébriquement.

Les diagrammes de bande peuvent être utilisés pour modéliser et identifier la séquence d'opérations pour trouver une solution algébriquement.

Le but de la résolution algébrique des équations est d'isoler la variable.

Le processus pour ce faire nécessite &ldquoundoing&rdquo une addition ou une soustraction pour obtenir un 0 et &ldquoundoing&rdquo une multiplication ou une division pour obtenir un 1. Les propriétés inverses additives et inverses multiplicatives sont appliquées, pour obtenir le 0 (l'identité additive) et le 1 (l'identité multiplicative) .

Les propriétés d'addition et de multiplication de l'égalité sont appliquées car dans une équation, A = B, lorsqu'un nombre est ajouté ou multiplié des deux côtés, la somme ou le produit résultant reste égal.


Exemple 1
Dépenses de vos vacances en famille
John et Ag résument certaines des dépenses de leurs vacances en famille pour eux-mêmes et leurs trois enfants, Louie, Missy et Bonnie. Créez un modèle pour déterminer combien coûtera chaque article, en utilisant toutes les informations fournies. Répondez ensuite aux questions qui suivent.

Pour le dîner un soir, la famille est allée à la pizzeria locale. Le coût d'un soda était Si chaque membre de la famille avait un soda et une part de pizza, combien coûtait une part de pizza ?

Discussion / Questions de cours pour l'approche algébrique

1. Lors de la résolution d'une équation avec des parenthèses, l'ordre des opérations doit être suivi. Quelle propriété peut être utilisée pour éliminer les parenthèses par exemple, 3(a + b) = 3a + 3b ?

2. Une autre approche pour résoudre le problème consiste à éliminer d'abord le coefficient. Comment s'y prendrait-on pour éliminer le coefficient ?

3. Comment &ldquoundo&rdquo la multiplication ?

4. Quel est le résultat lorsque &ldquoundoing&rdquo multiplication dans n'importe quel problème ?

5. Quelle propriété mathématique est appliquée lors de la &ldquoundoing&rdquo multiplication ?

6. Quelle approche faut-il adopter lors de la résolution d'une variable dans une équation et qu'une addition &ldquoundoing&rdquo est requise ?

7. Comment cette approche peut-elle être montrée avec un diagramme de bande ?

8. Quel est le résultat lorsque &ldquoundoing&rdquo addition dans n'importe quel problème ?

9. Quelle propriété mathématique est appliquée lorsque &ldquoundoing&rdquo addition ?

10. Quelle propriété mathématique nous permet d'effectuer une opération (ou, &ldquodo la même chose») des deux côtés de l'équation ?

11. Comment les propriétés d'addition et de multiplication de l'égalité sont-elles appliquées ?

Le coût d'un service de garde d'enfants lors d'une croisière est de 10 $ pour la première heure et de 12 $ pour chaque heure supplémentaire. Si le coût total de la garde du bébé Aaron était de 58 $, combien d'heures Aaron a-t-il passé chez la gardienne ?

Comment un diagramme de bande peut-il être utilisé pour modéliser ce problème ?

En quoi le diagramme de bande pour ce problème est-il similaire aux diagrammes de bande utilisés dans l'activité précédente ?

En quoi le diagramme de bande pour ce problème est-il différent des diagrammes de bande utilisés dans l'activité précédente ?

Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

Nous apprécions vos commentaires, commentaires et questions sur ce site ou cette page. Veuillez soumettre vos commentaires ou demandes de renseignements via notre page Commentaires.


Unité d'illustration de mathématiques 6.6, Leçon 6 : Écrire des expressions où les lettres représentent des nombres

Utilisons des expressions avec des variables pour décrire des situations.

Résumé de la leçon 6

Le diagramme suivant montre comment utiliser des expressions avec des variables pour décrire des situations.

Leçon 6.1 Algèbre Talk : Quand x vaut 6

Résous chaque équation. Soyez prêt à expliquer votre raisonnement. Si x vaut 6, qu'est-ce que :

Faites défiler la page des solutions jusqu'à la section &ldquoÊtes-vous prêt pour plus ?&rdquo.

Leçon 6.2 Ventes et hauteurs de limonade

  1. Lin a installé un stand de limonade. Elle vend la limonade 0,50 la tasse. une. Complétez le tableau pour montrer combien d'argent elle gagnerait si elle vendait chaque nombre de tasses.

Leçon 6.3 Construction d'expressions

  1. Claire a 5 ans de plus que sa cousine.
    une. Quel âge aurait Clare si son cousin avait :
    10 ans?
    2 ans?
    x ans ?
    b. Claire a 12 ans. Quel âge a le cousin de Claire ?
  2. Diego a 3 fois plus de bandes dessinées que Han.
    une. Combien de bandes dessinées Diego a-t-il si Han a :
    6 bandes dessinées ?
    n livres ?
    b. Diego a 27 bandes dessinées. Combien de bandes dessinées Han possède-t-il ?
  3. Les deux cinquièmes des légumes du jardin de Priya sont des tomates.
    une. Combien y a-t-il de tomates si le jardin de Priya a :
    20 légumes ?
    x légumes ?
    b. Le jardin de Priya a 6 tomates. Combien y a-t-il de légumes au total ?
  4. Une école a payé 31,25 $ pour chaque calculatrice.
    une. Si l'école a acheté x calculatrices, combien ont-elles payé ?
    b. L'école a dépensé 500 $ en calculatrices. Combien l'école en a-t-elle acheté ?

Êtes-vous prêt pour plus?

Kiran, Mai, Jada et Tyler sont allés à leur carnaval scolaire. Ils ont tous gagné des jetons qu'ils pouvaient échanger contre des prix. Kiran a remporté 2/3 autant de jetons que Jada. Mai a remporté 4 fois plus de jetons que Kiran. Tyler a remporté deux fois moins de jetons que Mai.

  1. Écrivez une expression pour le nombre de jetons que Tyler a gagnés. Vous ne devez utiliser qu'une seule variable : , qui représente le nombre de jetons que Jada a gagnés.
  2. Si Jada a gagné 42 jetons, combien de jetons Tyler, Kiran et Mai ont-ils chacun gagné ?
    • Montrer la réponse

Nombre de jetons que Jada a gagnés : J
Nombre de jetons que Kiran a gagnés : 2/3 J
Nombre de jetons Mai gagnés : 4 · 2/3 J = 8/3 J

  1. Nombre de jetons gagnés par Tyler : 1/2 · 8/3 J = 4/3 J
  2. J = 42
    Nombre de jetons que Kiran a gagnés : 2/3 · 42 = 28
    Nombre de jetons Mai gagnés : 8/3 J = 8/3 · 42 = 112
    Nombre de jetons que Tyler a gagnés : 4/3 J = 4/3 · 42 = 56

Leçon 6 Problèmes de pratique

  1. Les instructions pour un projet d'artisanat indiquent que la longueur d'un morceau de ruban rouge doit être inférieure de 7 pouces à la longueur d'un morceau de ruban bleu.
    une. Quelle est la longueur du ruban rouge si la longueur du ruban bleu est :
    10 pouces?
    27 pouces ?
    x pouces ?
    b. Quelle est la longueur du ruban bleu si le ruban rouge mesure 12 pouces ?
  2. Tyler a 3 fois plus de livres que Mai.
    une. Combien de livres Mai a-t-elle si Tyler a :
    15 livres ?
    21 livres ?
    x livres ?
    b. Tyler a 18 livres. Combien de livres Mai a-t-elle ?
  3. Une bouteille contient 24 onces d'eau. Il contient x onces d'eau.
    une. Que représente 24 - x dans cette situation ?
    b. Écrivez une question sur cette situation qui a 24 - x pour la réponse.
  4. Écrivez une équation représentée par ce diagramme de bande qui utilise chacune des opérations suivantes.
    une. une addition
    b. soustraction
    c. multiplication
    ré. division
  5. Sélectionnez toutes les équations qui décrivent chaque situation, puis trouvez la solution.
    une. La maison Han&rsquos est à 450 mètres de l'école. La maison de Lin est à 135 mètres plus près de l'école. À quelle distance se trouve la maison de Lin de l'école ?
    z = 450 + 135
    z = 450 - 135
    z - 135 = 450
    z + 135 = 450
    b. La liste de lecture Tyler&rsquos contient 36 chansons. La liste de lecture de Noah contient un quart autant de chansons que la liste de lecture de Tyler&rsquos. Combien de chansons la playlist de Noah contient-elle ?
    w = 4 · 36
    w = 36 4
    4w = 36
    avec/4 = 36
  6. Vous aviez 50 $. Vous avez dépensé 10 % de l'argent en vêtements, 20 % en jeux et le reste en livres. Combien d'argent a été dépensé pour les livres?
  7. Une poubelle a une capacité de 50 gallons. Quel pourcentage de sa capacité correspond à chacun des éléments suivants ? Montrez votre raisonnement.
    une. 5 gallons
    b. 30 gallons
    c. 45 gallons
    ré. 100 gallons

Le programme de mathématiques Open Up Resources est téléchargeable gratuitement sur le site Web Open Up Resources et est également disponible sur Illustrative Mathematics.

Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

Nous apprécions vos commentaires, commentaires et questions sur ce site ou cette page. Veuillez soumettre vos commentaires ou demandes de renseignements via notre page Commentaires.


Indicateurs de progrès au collège

Indicateur de progression : M.NO.1d représentant des nombres entiers (nombres positifs/négatifs) et les situant sur une droite numérique
Connecteurs de contenu de base : 6 Domaine/cluster CCSS Norme d'état de base commune
6.NO.1d1 Identifier les nombres comme positifs ou négatifs Expressions et équations

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

a) Reconnaître les signes opposés des nombres comme indiquant des emplacements sur les côtés opposés de 0 sur la droite numérique reconnaître que l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même, par exemple, –(–3) = 3, et que 0 est le sien opposé.

b) Comprendre les signes de nombres en paires ordonnées comme indiquant des emplacements dans les quadrants du plan de coordonnées. Reconnaître que lorsque deux paires ordonnées ne diffèrent que par des signes, les emplacements des points sont liés par des réflexions sur un ou les deux axes.

c) Trouver et positionner des nombres entiers et d'autres nombres rationnels sur un diagramme à droite numérique horizontale ou verticale. Trouver et positionner des paires d'entiers et d'autres nombres rationnels sur un plan de coordonnées.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

a) Reconnaître les signes opposés des nombres comme indiquant des emplacements sur les côtés opposés de 0 sur la droite numérique reconnaître que l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même, par exemple, –(–3) = 3, et que 0 est le sien opposé.

b) Comprendre les signes de nombres en paires ordonnées comme indiquant des emplacements dans les quadrants du plan de coordonnées. Reconnaître que lorsque deux paires ordonnées ne diffèrent que par des signes, les emplacements des points sont liés par des réflexions sur un ou les deux axes.

c) Trouver et positionner des nombres entiers et d'autres nombres rationnels sur un diagramme à droite numérique horizontale ou verticale. Trouver et positionner des paires d'entiers et d'autres nombres rationnels sur un plan de coordonnées.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

a) Reconnaître les signes opposés des nombres comme indiquant des emplacements sur les côtés opposés de 0 sur la droite numérique reconnaître que l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même, par exemple, –(–3) = 3, et que 0 est le sien opposé.

b) Comprendre les signes de nombres en paires ordonnées comme indiquant des emplacements dans les quadrants du plan de coordonnées. Reconnaître que lorsque deux paires ordonnées ne diffèrent que par des signes, les emplacements des points sont liés par des réflexions sur un ou les deux axes.

c) Trouver et positionner des nombres entiers et d'autres nombres rationnels sur un diagramme à droite numérique horizontale ou verticale. Trouver et positionner des paires d'entiers et d'autres nombres rationnels sur un plan de coordonnées.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

c) Trouver et positionner des nombres entiers et d'autres nombres rationnels sur un diagramme à droite numérique horizontale ou verticale. Trouver et positionner des paires d'entiers et d'autres nombres rationnels sur un plan de coordonnées.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

c) Trouver et positionner des nombres entiers et d'autres nombres rationnels sur un diagramme à droite numérique horizontale ou verticale. Trouver et positionner des paires d'entiers et d'autres nombres rationnels sur un plan de coordonnées.

6 NS Appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système des nombres rationnels.

a) Comprendre la valeur absolue d'un nombre rationnel comme sa distance par rapport à 0 sur la droite numérique interpréter la valeur absolue comme la grandeur d'une quantité positive ou négative dans une situation réelle. Par exemple, pour un solde de compte de -30 dollars, écrivez |-30| = 30 pour décrire la taille de la dette en dollars.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement ratio pour résoudre des problèmes.

c) Trouver un pourcentage d'une quantité sous forme de taux pour 100 (par exemple, 30 % d'une quantité signifie 30/100 fois la quantité) résoudre des problèmes impliquant de trouver le tout, étant donné une partie et le pourcentage.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement par ratio pour résoudre des problèmes.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement ratio pour résoudre des problèmes.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement par ratio pour résoudre des problèmes.

a) Faites des tableaux de rapports équivalents reliant des quantités avec des mesures de nombres entiers, trouvez les valeurs manquantes dans les tableaux et tracez les paires de valeurs sur le plan de coordonnées. Utilisez des tableaux pour comparer les ratios.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement ratio pour résoudre des problèmes.

a) Résoudre les problèmes de taux unitaires, y compris ceux impliquant la tarification unitaire et la vitesse constante. Par exemple, s'il fallait 7 heures pour tondre 4 pelouses, alors à ce rythme, combien de pelouses pourraient être tondues en 35 heures ? A quelle vitesse les pelouses étaient-elles tondues ?

5 NBT Comprendre le système de valeur de position.

Expressions et équations

6 EE Appliquer et étendre les connaissances antérieures de l'arithmétique aux expressions algébriques.

6.EE.A.1 Écrire et évaluer des expressions numériques impliquant des exposants de nombres entiers.

6 EE Appliquer et étendre les connaissances antérieures de l'arithmétique aux expressions algébriques.

7 NS Appliquer et étendre les connaissances antérieures sur les opérations avec des fractions pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres rationnels.

b) Comprenez p + q comme le nombre situé à une distance |q| à partir de p, dans le sens positif ou négatif selon que q est positif ou négatif. Montrer qu'un nombre et son contraire ont une somme de 0 (sont des inverses additifs). Interpréter des sommes de nombres rationnels en décrivant des contextes du monde réel.

c) Comprendre la soustraction de nombres rationnels comme l'addition de l'inverse additif, p – q = p + (–q). Montrez que la distance entre deux nombres rationnels sur la droite numérique est la valeur absolue de leur différence, et appliquez ce principe dans des contextes du monde réel.

7 NS Appliquer et étendre les connaissances antérieures sur les opérations avec des fractions pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres rationnels.

c) Comprendre la soustraction de nombres rationnels comme l'addition de l'inverse additif, p – q = p + (–q). Montrez que la distance entre deux nombres rationnels sur la droite numérique est la valeur absolue de leur différence, et appliquez ce principe dans des contextes du monde réel.

6 RP Comprendre les concepts de ratio et utiliser le raisonnement ratio pour résoudre des problèmes.

d) Utiliser le raisonnement par rapport pour convertir les unités de mesure manipuler et transformer les unités de manière appropriée lors de la multiplication ou de la division de quantités.

8 EE Travailler avec des radicaux et des exposants entiers.

8 EE Travailler avec des radicaux et des exposants entiers.

8 NS Savoir qu'il y a des nombres qui ne sont pas rationnels et les approximer par des nombres rationnels.

8 NS Savoir qu'il y a des nombres qui ne sont pas rationnels et les approximer par des nombres rationnels.

8 NS Savoir qu'il y a des nombres qui ne sont pas rationnels et les approximer par des nombres rationnels.


Plus de sujets sur la Floride

MAFS.3.OA.1.2 Interpréter des quotients de nombres entiers de nombres entiers, par exemple, interpréter 56 ÷ 8 comme le nombre d'objets dans chaque partage lorsque 56 objets sont divisés également en 8 partages, ou comme un nombre de partages lorsque 56 les objets sont divisés en parts égales de 8 objets chacun. Par exemple, décrivez un contexte dans lequel un certain nombre de partages ou un certain nombre de groupes peuvent être exprimés sous la forme 56 ÷ 8.

MAFS.3.NBT.1.2 Additionner et soustraire couramment jusqu'à 1000 en utilisant des stratégies et des algorithmes basés sur la valeur de position, les propriétés des opérations et/ou la relation entre l'addition et la soustraction

MAFS.3.NF.1.2 Comprendre une fraction comme un nombre sur la droite numérique représente des fractions sur un diagramme à droite numérique. une. Représentez une fraction 1/b sur un diagramme à droite numérique en définissant l'intervalle de 0 à 1 comme un tout et en le partitionnant en b parties égales. Reconnaître que chaque partie a la taille 1/b et que l'extrémité de la partie basée sur 0 localise le nombre 1/b sur la droite numérique. «. Représentez une fraction a/b sur un diagramme à droite numérique en marquant une longueur 1/b à partir de 0. Reconnaître que l'intervalle résultant a la taille a/b et que son extrémité localise le nombre a/b sur la droite numérique.

MAFS.3.NF.1.3 Expliquer l'équivalence des fractions dans des cas particuliers et comparer les fractions en raisonnant sur leur taille. ª. Comprenez deux fractions comme équivalentes (égales) si elles ont la même taille ou le même point sur une droite numérique. «. Reconnaître et générer des fractions équivalentes simples, par exemple, 1/2 = 2/4, 4/6 = 2/3). Expliquez pourquoi les fractions sont équivalentes, par exemple, en utilisant un modèle de fraction visuel. ¬. Exprimez les nombres entiers sous forme de fractions et reconnaissez les fractions équivalentes à des nombres entiers. Exemples : Exprimez 3 sous la forme 3 = 3/1 et reconnaissez que 6/1 = 6 localisez 4/4 et 1 au même point d'un diagramme à droite numérique.

MAFS.3.MD.1.1 Indiquer et écrire l'heure à la minute près et mesurer les intervalles de temps en minutes. Résoudre des problèmes de mots impliquant l'addition et la soustraction d'intervalles de temps en minutes, par exemple, en représentant le problème sur un diagramme à droite numérique.


  • Pliage de papier, 1 carré par élève.
  • Flashcard définit un par élève (téléchargez les imprimables)
  • 2 supports de tuile de scrabble

Comme échauffement, commencez par une révision rapide des fractions. Distribuez le papier à plier et demandez à vos élèves de plier les fractions (le plus rapidement possible, le premier est le gagnant) au fur et à mesure que vous les appelez. Appelez ½, 1/3, , 1/6 et 1/8, dans un ordre aléatoire.

S'ils ont des difficultés, continuez cet exercice pendant plusieurs tours. Lorsqu'ils parviennent à parler couramment, dites-leur que vous êtes fier. Dites-leur que vous avez un sujet amusant à examiner aujourd'hui et que c'est un sujet que vous n'aurez même pas besoin d'enseigner, ils peuvent tout découvrir eux-mêmes. Donnez à chaque élève un ensemble partiel de nombres de fractions et de cartes mémoire visuelles ½, ¼, 2/4 et ¾ des ensembles visuels et numériques. Demandez-leur de faire correspondre les cartes aux images de tartes, puis de commander les deux ensembles en fonction de la taille, du plus petit au plus grand.

Quand ils ont terminé, faites le tour de la salle et revoyez le travail des élèves. Aidez tous ceux qui ont eu des problèmes, en les encourageant à regarder les cartes illustrées et à comparer les tailles relatives. Trouvez deux élèves qui ont choisi des ordres différents et donnez-leur les supports de tuiles de scrabble. Demandez-leur de placer soigneusement leurs cartes numériques sur le support de tuiles, puis d'aller devant la salle et d'afficher leur ordre à la classe. Observez qu'il s'agit de deux ordres différents du même ensemble, demandez ce qui est faux.

Invitez tous les élèves qui indiquent que l'un ou l'autre est faux à expliquer pourquoi il est faux, en utilisant les flashcards illustrés et en comparant les tailles.

Si vos élèves disent à l'unanimité qu'aucun n'a tort, dites-leur qu'ils ont raison. Dessinez au tableau les fractions du cercle visuel et montrez comment les deux parties sont exactement les mêmes.

Dites-leur qu'en mathématiques, les deux fractions ½ et 2/4 sont appelées fractions équivalentes. Expliquez que cela signifie que ce sont deux noms pour la même chose. Parfois, un nom est plus utile, parfois l'autre l'est. Demandez-leur s'ils connaissent quelqu'un qui a deux noms. S'ils ne trouvent pas leurs propres exemples, rappelez-leur une connaissance commune, le directeur, peut-être, qui s'appelle M. Brown à l'école, papa à la maison et Jake par ses amis golfeurs. Faites remarquer que l'homme auquel ces noms font référence est le même, quel que soit le nom qu'on lui donne, et que tous ces noms lui appartiennent également.

Vous pouvez également vous utiliser comme exemple.

Dessinez un demi-cercle au tableau et dites à vos élèves que cela pourrait être étiqueté comme ½ ou 2/4, et les deux réponses seraient tout à fait correctes. Demandez-leur s'ils peuvent penser à d'autres noms pour cette même portion.

Si des élèves ont des suggestions, invitez-les à venir démontrer l'équivalence au tableau avec des images. Si personne n'en a la moindre idée, utilisez des lignes pour diviser le cercle sur le tableau en huit coins égaux, et faites remarquer que la moitié est également quatre coins 1/8, ou 4/8.

Demandez à vos élèves combien de noms comporte chaque portion. Laissez-les réfléchir et discuter de cela, puis montrez comment chaque portion aura un nombre infini de noms, car vous pouvez toujours diviser à nouveau les pièces existantes chacune en deux pour obtenir deux fois plus de pièces plus petites.

Distribuez les jeux de cartes restants et demandez aux élèves de faire correspondre les cartes numériques aux cartes visuelles, puis de trier toutes les cartes par portion, de la plus petite à la plus grande. Suggérez-leur de montrer l'équivalence en plaçant des fractions équivalentes au même niveau dans leurs classements.

Laissez vos élèves prendre leur temps sur leurs commandes. S'ils finissent rapidement et qu'il vous reste du temps avant la fin du cours, faites un quiz : dessinez des parties ombrées au tableau et demandez à vos élèves de vous aider à dresser une liste de « noms » possibles.


Norme 6 - Sens du nombre - Grades 7-8

Indicateurs et activités

Les indicateurs de progrès cumulatifs pour la 8e année apparaissent ci-dessous en caractères gras. Chaque indicateur est suivi d'activités qui illustrent comment il peut être abordé en classe en 7e et 8e années.

En s'appuyant sur les connaissances et les compétences acquises au cours des années précédentes, les expériences des années 7 à 8 seront telles que tous les élèves :

10. Comprendre les notations monétaires, compter et calculer l'argent et reconnaître la nature décimale de la monnaie américaine.

    Les étudiants peuvent résoudre une variété de problèmes d'argent réels tels que : Si vous gagnez 750,00 $ par mois, préféreriez-vous avoir une augmentation de 12% ou une augmentation de 85 $ par mois ? ou Quelle vente est meilleure sur un chandail de 17,00 $, une remise de 1/3, une remise de 5,00 $ ou une remise de 30 % ?

11. Étendre leur compréhension du système numérique en construisant des significations pour les nombres entiers, les nombres rationnels, les pourcentages, les exposants, les racines, les valeurs absolues et les nombres représentés en notation scientifique.

    Les élèves développent une notation scientifique olympique en créant des événements comme le sprint de 9,144 x 10 3 centimètres (tir de 100 verges) ou le hurlement de 7,272 x 10 6 milligrammes (lancer du poids).

12. Développer le sens des nombres nécessaire à l'estimation.

    Les étudiants se débattent avec ce problème classique : après avoir passé la majeure partie de la journée à chercher son chat disparu, Whiskers, la milliardaire excentrique, Mme Money Bags, a reçu une demande de rançon. L'appelant a dit qu'elle devait apporter une valise remplie de 1 000 000 $ en billets de un et cinq dollars à la gare routière et la laisser dans le casier n ° 26-C. Ensuite, son animal de compagnie lui serait rendu. Comment a-t-elle répondu ?

13. Développez le sens des grandeurs de différents types de nombres pour inclure des nombres entiers, des nombres rationnels et des racines.

    Les élèves jouent à Localiser le point . Une droite numérique avec les extrémités -5 et 5 est suspendue dans la classe, en utilisant une longue chaîne avec des tabulations pour indiquer les positions des nombres entiers entre les deux nombres finaux. Les élèves reçoivent des cartes avec différents types de nombres. (Par exemple : -12/3, 1.1, 1.01, carré(2), pi, -2 2 , (-2) 2 , carré(3), carré(8), 1.999. 2, la racine cubique de 8, etc.) À tour de rôle, ils attachent leur carte à l'endroit approprié sur la droite numérique. Les camarades de classe décident si la position est correcte. Si plus d'une expression est utilisée pour le même nombre, les cartes avec ces nombres sont attachées par du ruban adhésif.

14. Comprendre et appliquer des ratios, des proportions et des pourcentages dans diverses situations.

    Les élèves prennent des données sur les prix à la consommation d'il y a 10 et 25 ans et calculent le pourcentage d'augmentation ou de diminution des prix de divers produits au cours de ces périodes. Ils discutent de questions telles que : Qu'est-ce qui fait monter un prix ? Qu'est-ce qui le ferait baisser ?

15. Développer et utiliser des relations d'ordre pour les nombres entiers et les nombres rationnels.

    Les élèves utilisent des modèles concrets et illustrés pour développer des relations d'ordre entre les fractions et les nombres entiers. À l'aide des baguettes Cuisenaire et en variant l'unité , les élèves démontrent qu'une fraction est plus grande qu'une autre. Des arguments et des conclusions similaires sont faits sur une droite numérique pour les nombres entiers.

16. Reconnaître et décrire des régularités dans des suites de nombres finis et infinis impliquant des nombres entiers, des nombres rationnels et des nombres entiers.

    Les élèves formulent une description de la nième rangée du triangle de Pascal.

17. Développer et appliquer des concepts de la théorie des nombres, tels que les nombres premiers, les facteurs et les multiples, dans des situations de problèmes mathématiques et du monde réel.

    Les élèves écrivent un logo ou un programme informatique BASIC pour trouver tous les facteurs d'un nombre donné en entrée. Ils peuvent ensuite utiliser le même programme pour déterminer si un nombre d'entrée est premier.

18. Étudiez les relations entre les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages et utilisez-les tous de manière appropriée.

    Given a circle graph of some interesting data, students estimate the size of each section of the graph as a fraction, a percent, and as a decimal. Students also create their own circle graphs.

19. Identify, derive, and compare properties of numbers.

    Students work on this problem from the Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (p. 93): Find five examples of numbers that have exactly three factors. Repeat for four factors, and then again for five factors. What can you say about the numbers in each of your lists?

Les références

Heyman, Tom. On an Average Day . New York: Fawcett Columbine, 1989.

Conseil national des professeurs de mathématiques. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics . Reston, VA, 1989.

Logiciel

Logo . Many versions of Logo are commercially available.

Survival Math . Sunburst Communications.

The Whatsit Corporation . Sunburst Communications.

Vidéo

Powers of Ten . Philip Morrison, Phylis Morrison, and the office of Charles and Roy Eames. New York: Scientific American Library, 1982.

On-Line Resources

The Framework will be available at this site during Spring 1997. In time, we hope to post additional resources relating to this standard, such as grade-specific activities submitted by New Jersey teachers, and to provide a forum to discuss the Mathematics Standards .


Solutions

Solution: Using a tape diagram

For every 4 boys there are 5 girls and 9 students at the school. So that means that $frac49$ of the students are boys. $frac49$ of the total number of students is 120 students: $frac49 imes ? = 120$ If $frac49$ the number of students is 120, then $frac14$ of 120 is $frac19$ of the total number of students. In other words, $frac14 imes 120 = 30$ is $frac19$ the total number of students. Then 9 times this amount will give the total number of students: $9 imes 30 = 270$ So there is a total of 270 students at the school. Note that this is equivalent to finding the answer to the division problem: $120div frac49 =?$ We can see all of this very succinctly by using a tape diagram:

There are 4 units of boys and 9 units of students. Therefore 4/9 of the students are boys.

There are 270 students altogether.

Garçons Filles All students
4 5 9
40 50 90
80 100 180
120 150 270

Students can multiply the numbers in the first row by 10 to get the second row, and then double that amount to get the third row. Adding the entries in the second and third row gives the fourth row that has the solution.

Alternatively, since $120 div 4 = 30$, students can just multiply the numbers in the first row by 30 to get the values in the fourth row.


Voir la vidéo: Sulkeet u0026 matematiikka: Ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, jossa on sulkeet! . Matikkapirkko (Octobre 2021).