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8.4 : Bifurcations dans les modèles à temps discret - Mathématiques


Les bifurcations discutées ci-dessus (selle-nœud, transcritique, fourche, Hopf) sont également possibles dans les systèmes dynamiques à temps discret avec une variable :

[x_{t} =F(x_{t-1}) label{(8.35)}]

La matrice jacobienne de ce système est, encore une fois, une matrice 1×1 dont la valeur propre est son contenu lui-même, qui est donné par (dF/dx). Comme il s'agit d'un modèle à temps discret, la condition critique à laquelle une bifurcation se produit est donnée par

[left|frac{dF}{dt} ight|_{x=x_{eq}} =1. label{(8.36)}]

Travaillons sur l'exemple suivant :

[x_{t} =x_{t-1} +r -x^{2}_{t-1} label{(8.37)}]

Il s'agit d'un analogue à temps discret de l'Eq. (8.1.3). Par conséquent, il a le même ensemble de points d'équilibre:

[x_{eq}= pm sqrt{r} label{(8.38)}]

Ensuite, nous calculons (dF/dx) comme suit :

[egin{align} dfrac{dF}{dx} &=(r +x -x^{2})' [4pt] &=1-2x label{(8.39)} [4pt ] left|dfrac{dF}{dt} ight|_{x= pm sqrt{r}} &=|1pm 2sqrt{r}|end{align} label{(8.40 )} ]

Pour découvrir quelle valeur de (r) fait ce 1, nous considérons les quatre scénarios suivants :

  • (1+2sqrt{r}=1 Flèche droite r=0)
  • (1-2sqrt{r}=1 Flèche droite r=0)
  • (1+2sqrt{r}=-1 Rightarrow (pas de réel solution))
  • (1-2sqrt{r}=-1 Rightarrow r=1)

Comme vous le voyez, (r = 0) apparaît à nouveau comme un seuil critique, auquel une bifurcation de nœud en selle se produit. Mais maintenant, nous voyons apparaître un autre seuil critique, (r = 1), qui n'était pas là dans sa version en temps continu. C'est pourquoi j'ai dit précédemment que les modèles en temps continu sont plus simples que les modèles en temps discret pour l'analyse de bifurcation ; les modèles en temps discret peuvent montrer une nouvelle forme de bifurcation qui n'était pas possible dans leurs homologues en temps continu. Pour en savoir plus, on peut étudier la stabilité des deux points d'équilibre en vérifiant si (|dF/dx|) est supérieur ou inférieur à 1 en chaque point. Le résultat est résumé dans le tableau 8.4.1.

Tableau (PageIndex{1}): Résumé de l'analyse de bifurcation de (x _ { t } = x _ { t - 1 } + r - x _ { t - 1 } ^ { 2 }).

Point d'équilibre(r < 0 )(0 < r < 1)(1 < r )
(x_{eq} = r )n'existe passtableinstable
(x_{eq} = -√r )n'existe pasinstableinstable

Le résultat affiché dans le tableau est à peu près le même qu'avant jusqu'à (r = 1), mais quand (r > 1), les deux points d'équilibre deviennent instables. Cela doit signifier que le système n'est pas autorisé à converger vers l'un ou l'autre. Alors que va-t-il arriver au système dans cette plage de paramètres ? Nous pouvons laisser le système montrer son comportement réel par des simulations numériques. Voici un exemple:

Les résultats sont présentés sur la figure 8.4.1, visualisant les trajectoires réelles de l'état du système au fil du temps pour plusieurs valeurs de (r). La version du tracé de toile d'araignée est également montrée dans la Fig. 8.4.2 (le code n'est pas montré ici ; essayez d'implémenter le code vous-même !).

Certains nouveaux comportements n'ont pas été observés dans les versions en temps continu du même modèle. Par exemple, à (r = 0,5), il y avait une signature de « dépassement » juste avant que l'état du système ne converge vers un point d'équilibre stable. Mais plus important encore, à (r = 1), le système a commencé à ne plus converger vers un seul point stable, et pour (r > 1), il a commencé à osciller entre deux états distincts. C'est ce qu'on appelle un (doublement de période bifurcation). C'est une bifurcation qui se produit généralement dans les systèmes à temps discret (mais elle est également possible dans les systèmes à temps continu de dimensions supérieures), où le système perd la stabilité d'une trajectoire de période (T) et commence à se déplacer dans une autre trajectoire avec période (2T). La bifurcation observée pour (r = 1) était une transition à partir d'un point d'équilibre (qui est une trajectoire périodique de période (T = 1), c'est-à-dire que le système prend la même valeur d'état à chaque pas de temps)

à une trajectoire de période (2T = 2). Fait intéressant, les bifurcations de doublement de période se produisent en cascade si vous continuez à augmenter (r). Dans ce cas particulier, une autre bifurcation de doublement de période a été observée à (r = 1,5), où la trajectoire de période 2 a perdu sa stabilité et le système est passé à une trajectoire de période 4. Cela continue à mesure que vous continuez à augmenter r. La première bifurcation par doublement de période des trajectoires de la période 1 à la période 2 peut encore être caractérisée comme la perte de stabilité d'un point d'équilibre, mais la valeur propre dominante déstabilisant le point d'équilibre doit être (négative) afin d'induire le basculement comportement. Cela peut s'écrire mathématiquement comme suit :

Une première bifurcation par doublement de période entre les trajectoires de la période 1 et de la période 2 se produit dans un modèle à temps discret lorsque les valeurs propres (λ_i) de la matrice jacobienne à un point d'équilibre satisfont à ce qui suit :

(λ_i = −1) pour certains (i), tandis que(|λ_i| < 1) pour le reste.

Dans l'exemple ci-dessus, (dF/dx|_{x_{eq}}=√r = −1) lorsque (r = 1), ce qui déclenche la première bifurcation de doublement de période.

Exercice (PageIndex{1})

Considérons le système dynamique à temps discret suivant :

[x_{t} =(1-a)x_{t-1}+ax^{3}_{t-1} label{(8.41)}]

Cette équation a (x_{eq} = 0) comme point d'équilibre. Obtenir la valeur de (a) à laquelle ce point d'équilibre subit une première bifurcation par doublement de période.

Une fois que le système commence à montrer des bifurcations de doublement de période, ses états asymptotiques ne sont plus capturés par les emplacements des points d'équilibre obtenus analytiquement, comme indiqué dans les diagrammes de bifurcation (par exemple, les figures 8.2.1, 8.2.3, etc.). Cependant, il existe toujours un moyen de visualiser numériquement les diagrammes de bifurcation en simulant explicitement le comportement du système, puis en collectant les états réels visités par le système pendant une certaine période de temps. Ensuite, nous pouvons tracer leurs distributions dans un diagramme. Les points de données doivent être collectés après qu'un temps transitoire initial suffisamment long se soit écoulé dans chaque simulation, de sorte que la trajectoire du système montre déjà son comportement « final ». Voici un exemple de code montrant comment dessiner numériquement un tel diagramme de bifurcation :

Dans ce code, (r) varie progressivement de 0 à 2 à des intervalles de 0,01. Pour chaque valeur de (r), le modèle (Eq. ef{(8.37)}) est simulé pour 200 pas, et seule la seconde moitié des valeurs d'état est enregistrée dansrésultat. Une fois la simulation terminée, les états stockés dansrésultatsont tracés à une valeur particulière derdans l'intrigue (notez que l'expression[r] * 100en Python produit une liste de centr's). L'option alpha est utilisée pour rendre les marqueurs transparents afin que les densités de marqueurs soient également visibles.

Le résultat est illustré à la Fig. 8.4.3. Ce diagramme de bifurcation montre toujours comment l'état du système dépend du paramètre, mais ce qui est tracé ici ne sont plus des points d'équilibre obtenus analytiquement mais des ensembles d'états asymptotiques échantillonnés numériquement, c'est-à-dire où le système est susceptible d'être après une période de temps suffisamment longue. . Si le système converge vers un point d'équilibre stable, vous voyez également une courbe dans ce diagramme. Les points d'équilibre instables n'apparaissent jamais car ils ne sont jamais réalisés dans les simulations numériques. Une fois que le système subit des bifurcations de doublement de période, les états d'une trajectoire périodique sont tous échantillonnés pendant la période d'échantillonnage, ils apparaissent donc tous dans ce diagramme. Les bifurcations de doublement de période sont vues visuellement comme les points de ramification de ces courbes.

Mais quelles sont ces parties bruyantes, encombrées et aléatoires à (r > 1.7) ? C'est le chaos, la marque de fabrique de la dynamique non linéaire. Nous discuterons de ce qui s'y passe dans le prochain chapitre.

Exercice (PageIndex{2}) : Carte logistique

Les bifurcations et le chaos de doublement de période ne concernent pas seulement les équations mathématiques abstraites et artificielles, mais ils peuvent se produire dans divers modèles de phénomènes biologiques, écologiques, sociaux et techniques du monde réel. L'exemple le plus simple possible serait la carte logistique que nous avons introduite dans la section 5.5 :

[x_{t} =rx_{t-1}(1-x_{t-1}) label{(8.42)}]

Il s'agit d'un modèle mathématique de la dynamique des populations, où (x_t) représente la population d'une espèce qui se reproduit en générations discrètes (sans chevauchement). Ce modèle a été utilisé par l'écologiste mathématique britannique/australien Robert May dans son article de 1976 sur Nature [32] pour illustrer comment un modèle mathématique très simple pouvait produire des comportements étonnamment complexes.

  • Mener une analyse de bifurcation de ce modèle pour trouver les seuils critiques de (r) auxquels les bifurcations se produisent.
  • Étudiez la stabilité de chaque point d'équilibre dans chaque plage de paramètres et résumez les résultats dans un tableau.
  • Simulez le modèle avec plusieurs valeurs sélectionnées de (r) pour confirmer les résultats de l'analyse.
  • Tracez un diagramme de bifurcation de ce modèle pour (0 < r < 4).

Exercice (PageIndex{3}) : Analyse de stabilité de trajectoires périodiques

La stabilité d'une trajectoire période-2 d'un modèle à temps discret (x_t = F(x_{t−1})) peut être étudiée par l'analyse de stabilité d'un autre modèle constitué d'une fonction composite de (F) :

[y_{r} =G(y_{ au -1})=F(F(t_{ au -1})) label{(8.43)}]

En effet, la trajectoire de période 2 dans (F) correspond à l'un des points d'équilibre de (G(◦) = F(F(◦))). Si un tel point d'équilibre de (G) est déstabilisé de sorte que (dG/dx ≈−1), cela signifie que la trajectoire de période 2 en question perd la stabilité, et donc une autre bifurcation de doublement de période en une trajectoire de période 4 est sur le point de se produire. En utilisant cette technique, obtenir analytiquement le seuil critique de (r) dans l'équation. ef{(8.37)} auquel se produit la deuxième bifurcation de doublement de période (de la période 2 à la période 4). Ensuite, dessinez des tracés de toile d'araignée de (y_τ = G(y_{τ−1})) pour plusieurs valeurs de r près du seuil critique pour voir ce qui s'y passe.


Bifurcation et contrôle du chaos dans un modèle prédateur-proie en temps discret avec taux d'incidence saturé non linéaire et interaction parasite

Le comportement dynamique du système prédateur-proie est influencé efficacement en raison de l'interaction mutuelle des parasites. Des réglementations sont imposées à la biodiversité en raison de ce type d'interaction. Avec la mise en œuvre du taux d'incidence saturé non linéaire et de la méthode à argument constant par morceaux des équations différentielles, un modèle tridimensionnel à temps discret de type proie-prédateur-parasite est étudié. L'existence d'équilibres et la stabilité asymptotique locale de ces états stationnaires sont étudiées. De plus, des critères explicites pour une bifurcation de Neimark-Sacker et une bifurcation de doublement de période sont mis en œuvre au point d'équilibre positif du modèle à temps discret. Le contrôle du chaos est discuté par la mise en œuvre d'une technique de contrôle hybride basée à la fois sur la perturbation des paramètres et une stratégie de rétroaction d'état. À la fin, quelques simulations numériques sont fournies pour illustrer notre discussion théorique.


Département de mathématiques, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, Chine, Chine

Reçu juillet 2005 modifié décembre 2005 Publié Février 2006

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Modèle

Développement d'un modèle

Nous considérons un modèle où des ressources suffisantes existent pour que les taux de remplacement par habitant des espèces pionnières et climaciques ne dépendent que des variables de densité totale, des combinaisons linéaires des densités pionnières et climaciques pondérées par les coefficients de compétition. Cette construction permet de distinguer entre la réponse d'une espèce à la densité et sa réponse aux effets compétitifs. Laisser () et () être les densités de population des espèces pionnières et climaciques à un moment donné t. Les variables de densité totale pour chaque espèce sont

où (w_) désigne l'effet compétitif des espèces j sur les espèces je. Nous considérons que l'espèce 1 est l'espèce pionnière et l'espèce 2 l'espèce climax.

L'interaction entre les espèces est modélisée par le système d'équations aux différences

où (f()) et (g()) sont les taux de remplacement par habitant, ou fonctions de condition physique. Nous omettons de considérer la survie d'une génération à l'autre (mais voir la section 7, Discussion). Notez que pour la croissance de la population de l'une ou l'autre des espèces dans ce modèle à temps discret, sa fonction de fitness (f()) ou (g()) doit être supérieur à 1.

Nous supposons que la fonction de fitness des espèces pionnières (f()) est une fonction décroissante monotone par rapport à la densité qui a une seule racine (f(M_t) = 1) . Pour modéliser la dynamique des espèces pionnières sous cette hypothèse, considérons la fonction de fitness

Le taux net de reproduction de l'espèce pionnière, () , est supposé être supérieur à un pour refléter la capacité de l'espèce pionnière à survivre seule à de faibles densités. Nous regroupons les effets délétères tels que le surpeuplement dans le paramètre positif une, de sorte que la fitness des espèces pionnières diminue toujours avec l'augmentation de la densité totale, comme le montre la figure 1a.

La fonction de fitness des espèces climaciques (g(N_t)) est une fonction de densité à une bosse avec deux racines (g(N_t) = 1) . Ici, on prend

Comme pour les espèces pionnières, (<>) est le taux de reproduction net de l'espèce climacique. Comme les espèces climaciques ont besoin des espèces pionnières pour faciliter la croissance à faible densité, (<>) est supposé être inférieur à un. Les effets bénéfiques des espèces pionnières agissant comme plante nourricière pour les espèces climaciques à faible densité sont incorporés dans le paramètre positif (<>) . Le paramètre positif (<>) , multiplié par le carré de la densité totale, mesure les effets délétères sur la population à haute densité dus à des effets tels que le surpeuplement. Cet arrangement donne la forme souhaitée de la fonction de fitness climax, augmentant à de faibles densités avant d'atteindre un maximum et diminuant à mesure que la densité totale augmente (Fig. 1b). Ainsi, les fonctions de fitness présentées ici correspondent à la théorie écologique sur les taux de remplacement par habitant des espèces pionnières et climaciques (Harper 1977 McAuliffe 1988) ainsi qu'à la convention mathématique (Kim et Marlin 1999 Selgrade et Namkoong 1990) tout en conservant une simplicité souhaitable.

Fonctions de fitness pour les deux espèces à partir du modèle dimensionnel. une, la fonction de fitness des espèces pionnières (f(M_t)) . b, la fonction de fitness des espèces climaciques (g(N_t)) . Les lignes horizontales grises en pointillés indiquent où la fonction de fitness est égale à un, où se trouvent la ou les racines des fonctions. Les valeurs des paramètres sont ( = 1.2, <> = 0,8, a = 0,15, <> = 0.6) , (<> = 0.15, > = 1, > = 2, > = 1.2, > = 1) . Notez que ces valeurs de paramètres correspondent au modèle non dimensionné présenté ci-dessous avec (> = <>) et (> = <>)

Nondimensionnement

Nous mettons à l'échelle le système ci-dessus en ce qui concerne la compétition intraspécifique, laissant

Ce rééchelonnement donne les variables de densité totale reformulées

où (<>) et (<>) sont maintenant des coefficients de compétition relative mesurant la force de la compétition interspécifique proportionnelle à la compétition intraspécifique.

On a maintenant le modèle non dimensionnel

Cette mise à l'échelle crée un modèle avec moins de paramètres, simplifiant considérablement l'analyse.


Bifurcations et chaos d'un modèle à temps discret dans les réseaux de régulation génétique

Dans cet article, la dynamique d'un modèle génétique à temps discret est étudiée. On obtient les conditions d'existence et de stabilité des points fixes. Il est montré que le réseau génétique à temps discret subit une bifurcation de pli, une bifurcation de retournement et une bifurcation de Neimark-Sacker. Le paramètre biologique et la taille du pas de discrétisation sont considérés comme des paramètres de bifurcation, respectivement, et les critères de bifurcation explicites sont dérivés sur la base du théorème de la variété centrale et de la théorie de la bifurcation. Les simulations numériques valident l'analyse théorique et montrent également que le système peut présenter divers comportements dynamiques tels que les périodes 7, -14, -5, -10 et le chaos. Les résultats globaux révèlent une dynamique beaucoup plus riche du modèle génétique en temps discret que celle du modèle en temps continu original.

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Bifurcations et contrôle du chaos dans un modèle biologique à temps discret

Dans cet article, les bifurcations et le contrôle du chaos dans un modèle prédateur-proie Lotka-Volterra à temps discret ont été étudiés dans le quadrant I. On montre que pour toutes les valeurs paramétriques, le modèle a des équilibres aux limites : P 0 0 ( 0 , 0 ) , P x 0 ( 1 , 0 ) , et l'unique point d'équilibre positif : P xy + dc , r ( c − d ) bc si c > d . Par la méthode de linéarisation, nous avons exploré la dynamique locale ainsi que différentes classifications topologiques sur les équilibres. Nous avons également exploré les limites de la solution positive, la dynamique globale et l'existence de points de période première et périodiques du modèle. Il est exploré que la bifurcation de retournement se produit autour des équilibres aux limites : P 0 0 ( 0 , 0 ) , P x 0 ( 1 , 0 ) , et il existe également une bifurcation de retournement lorsque les paramètres du modèle à temps discret varient dans un petit voisinage de P xy + dc , r ( c − d ) bc . En outre, il est également exploré qu'à propos de P x ​​y + d c , r ( c − d ) b c le modèle subit une bifurcation N–S, et pendant ce temps une courbe invariante proche stable apparaît. Du point de vue de la biologie, ces courbes impliquent qu'entre les populations de prédateurs et de proies, il existe des oscillations périodiques ou quasi-périodiques. Certaines simulations sont présentées pour illustrer non seulement les principaux résultats, mais révèlent également la dynamique complexe telle que les orbites de période 2,3,13,15,17 et 23. Les exposants maximum de Lyapunov ainsi que la dimension fractale sont calculés numériquement pour justifier le comportements chaotiques dans le modèle. Enfin, la méthode de contrôle par rétroaction est appliquée pour stabiliser le chaos existant dans le modèle.


Introduction

Les modèles prédateurs-proies ont une signification théorique et pratique. Tant d'auteurs ont étudié la dynamique de ces modèles. Le modèle Lotka-Volterra est le premier et le plus simple des modèles d'interactions prédateur-proie. Le modèle a été développé indépendamment par Lotka [1] et Volterra [2]. Le modèle Lotka-Volterra suppose que le taux de consommation de proies par un prédateur est directement proportionnel à l'abondance des proies. Cela signifie que l'alimentation des prédateurs n'est limitée que par la quantité de proies dans l'environnement. Bien que cela puisse être réaliste à de faibles densités de proies, il s'agit certainement d'une hypothèse irréaliste à des densités de proies élevées où les prédateurs sont limités, par exemple, par le temps et les contraintes digestives. Ainsi, un certain nombre de changements dans le modèle ont été présentés par les chercheurs pour inclure des réponses fonctionnelles de type Holling et une croissance des proies dépendante de la densité. Une autre voie de modification du modèle Lotka-Volterra peut être envisagée en introduisant l'effet Allee. Il est bien connu que l'introduction de l'effet Allee dans le système est plus réaliste dans la modélisation de l'interaction proie-prédateur.

L'effet Allee est un phénomène crucial qui a beaucoup attiré l'attention des écologistes tant théoriques qu'appliqués [3,4,5,6,7,8,9]. L'effet Allee a été décrit pour la première fois par Allee en 1931 [10]. Il décrit une corrélation positive entre toute mesure de la valeur adaptative des espèces et le nombre de populations. Les principales causes de l'effet Allee sont la difficulté à trouver des partenaires, la dépression de consanguinité, le dysfonctionnement social dans les petites tailles de population, l'évitement des prédateurs et l'exploitation alimentaire [11,12,13,14]. Des preuves empiriques de l'effet Allee ont été observées chez de nombreuses espèces naturelles, par exemple les plantes [15], les insectes [16], les invertébrés marins [17], les oiseaux et les mammifères [18]. Des études récentes ont montré que l'effet Allee a des effets dynamiques importants sur l'analyse de stabilité des modèles de population. Le système à effet Allee montre soit une déstabilisation [11], soit une stabilisation [19]. La stabilité locale d'un point fixe positif peut être modifiée de stable à instable ou vice versa. Dans les systèmes proies-prédateurs, l'effet Allee peut modifier la dynamique du système de manière inattendue et induire une dynamique complexe. Ainsi, de nombreux auteurs ont étudié les effets stabilisants ou déstabilisants sur les modèles prédateur-proie avec l'effet Allee. Mais l'analyse de bifurcation de ces systèmes avec l'effet Allee a été rarement réalisée. Ainsi, dans cet article, un système prédateur-proie auquel est imposé un effet Allee est considéré.

Dans [20], l'auteur a considéré le modèle prédateur-proie en temps discret suivant qui a été proposé par Smith et al. [21] :

où (X_) Andy_) désigne respectivement le nombre de proies et de prédateurs. Les paramètres α, β sont des nombres réels positifs. Ils ont étudié la stabilité et la bifurcation Neimark-Sacker d'un modèle prédateur-proie en temps discret. L'analyse des bifurcations a déjà reçu beaucoup d'attention au cours des dernières années [20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]. Les analyses de bifurcation et de stabilité sont examinées en détail dans [20, 22,23,24, 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41].

Dans cet article, la modification du modèle (1) est envisagée en introduisant l'effet Allee pour la population de proies comme suit :

où (frac) est le terme pour l'effet Allee. (m>0) peut être défini comme constante d'effet Allee [11,12,13]. α et β sont les taux de croissance de la proie et du prédateur, respectivement.

Le but de cet article est d'étudier la dynamique d'un modèle prédateur-proie modifié à temps discret avec effet Allee sur la population de proies en utilisant la théorie de la bifurcation. Le reste de l'article est organisé comme suit : Dans la Sect. 2, les conditions d'existence et de stabilité des points fixes sont discutées. Dans la Sect. 3, en choisissant une comme paramètre de bifurcation, l'analyse de bifurcation de Neimark-Sacker est étudiée. De plus, en utilisant la théorie des formes normales, la direction de la bifurcation de Neimark-Sacker est obtenue. Enfin, ces résultats théoriques sont étayés par quelques simulations numériques.


8.4 : Bifurcations dans les modèles à temps discret - Mathématiques

Le rythme de ce chapitre est rapide et le niveau de sophistication supposé est un peu plus élevé que les chapitres précédents, en particulier dans les sections 8.4 (Chaos) et 8.5 (Chaos dans le système Lorenz).

Un des objectifs du chapitre est d'introduire des sujets mathématiques à la fois accessibles aux élèves de ce niveau et assez récents. Très peu de nos étudiants ont déjà vu un théorème d'un mathématicien vivant et n'ont aucune idée que la recherche mathématique est en cours. Des sujets tels que le chaos et le diagramme de bifurcation sont des moyens faciles de surmonter ce mythe. (Voir également les sections 2.5 et 5.5 sur le système Lorenz et la section 4.5 sur les travaux récents sur le pont Tacoma Narrows.)

La section 8.1 donne des définitions et développe des techniques graphiques pour tracer des orbites. Les sections 8.2 et 8.3 traitent respectivement du calcul des points fixes et périodiques et des bifurcations. Une discussion sur le chaos est donnée dans la section 8.4. Dans la section 8.5, nous discutons du comportement des équations de Lorenz en utilisant un modèle unidimensionnel. La carte logistique discrète revient tout au long des sections 8.1 à 8.4.

8.1 L'équation logistique discrète

Cette section introduit l'idée de systèmes à temps discret et la relation à l'itération dans une dimension. Des techniques graphiques pour afficher les itérations sont données, y compris les séries temporelles, les histogrammes et les graphiques des itérations supérieures de la fonction. Les points fixes sont définis et discutés.

Commentaires sur les exercices sélectionnés

Bon nombre des exercices de cette section peuvent être effectués à la main, mais d'autres (itération de cos x et péché x, par exemple) nécessitent l'utilisation d'une calculatrice ou d'un ordinateur.

Les exercices 1 à 8 impliquent le calcul de l'orbite de 0 pour diverses fonctions. Les élèves observent des orbites tendant vers des points fixes, vers des cycles, vers l'infini, etc.

Dans les exercices 9--21, les élèves sont invités à trouver des points fixes et des points périodiques de la période 2. Beaucoup de ces exercices peuvent être effectués à la main. Occasionnellement, l'étudiant doit avoir recours au graphe de la fonction ou à son deuxième itération pour répondre à cette question (comme dans le cas de e s , péché x, ou alors -ex ).

Les exercices 24-35 impliquent l'expérimentation de la carte de la tente.

Les exercices 36--39 considèrent le rôle d'un paramètre en étudiant la famille à un paramètre F(x)=x 2 + c. Cela préfigure certains de nos travaux sur les bifurcations dans la section 8.3.

8.2 Points fixes et périodiques

Cette section étudie les points fixes et périodiques, en les classant en sources, puits ou nœuds. Le processus d'itération graphique (le "diagramme Web") est introduit. Les calculatrices graphiques qui possèdent cette capacité sont les plus utiles ici.

Commentaires sur les exercices sélectionnés

Les exercices 1 à 11 demandent aux élèves de trouver et de classer certains points fixes.

Dans les exercices 12 à 17, on dit à l'étudiant que 0 repose sur un cycle. L'étudiant doit déterminer la période du cycle et ensuite la classer comme attirante, repoussante ou neutre.

Dans les exercices 18--25, les élèves essaient de déterminer si certains points fixes dont la dérivée est 1-1 attirent ou repoussent ou ni l'un ni l'autre. Les élèves utilisent généralement les graphiques de la fonction pour le déterminer.

Dans les exercices 26 et 28, les points fixes de certaines familles à un paramètre sont considérés.

La méthode de Newton est étudiée en tant que système dynamique discret dans l'exercice 30. La méthode de Newton apparaît également dans le Lab 8.2.

Les familles de cartes à un paramètre et les bifurcations de points fixes et périodiques sont considérées dans cette section. La carte logistique et le doublement de la période menant au chaos sont examinés en détail. Vers la fin de la section, le niveau de perfectionnement exigé des étudiants est plus élevé que les sections précédentes.

Commentaires sur les exercices sélectionnés

Les exercices 1 à 7 impliquent l'analyse des bifurcations de base. Les élèves trouvent ces problèmes difficiles parce qu'ils doivent expliquer ce qui arrive aux orbites « à, avant et après » la bifurcation. Au début, les étudiants ne savent pas à quelle distance prendre des valeurs de paramètres proches pour être « avant » ou « après » la bifurcation. Ils choisissent souvent simplement l'entier le plus proche qui peut être trop éloigné.

Les exercices 8 et 9 impliquent d'autres familles de fonctions où les élèves doivent déterminer la valeur de bifurcation spécifique.

Le phénomène de chaos est observé dans la carte logistique et étudié pour la carte de décalage sur l'expansion décimale (multiplication par 10 modulo 1). Le deuxième exemple donne une introduction à la dynamique symbolique, aux orbites denses et à la dépendance sensible aux conditions initiales. Encore une fois, le niveau de sophistication mathématique requis est élevé.

Commentaires sur les exercices sélectionnés

L'exercice 1 étudie numériquement le chaos dans la carte logistique.

Les exercices 2 à 14 examinent la carte de la tente, y compris une introduction à la dynamique symbolique de cette carte. Cette série d'exercices pourrait être un bon projet pour les étudiants d'une classe de spécialisation.

8.5 Chaos dans le système Lorenz

Dans cette section, nous revenons aux équations de Lorenz et en utilisant la construction du modèle, développons le modèle unidimensionnel pour la dynamique sur l'attracteur. Si les équations de Lorenz ont été étudiées assez soigneusement (sections 2.5 et 5.5), alors cette section peut être couverte après la section 8.1.

Lab 8.1 Le diagramme de bifurcation

Ce laboratoire nécessite que les étudiants écrivent un programme simple ou utilisent un logiciel disponible pour esquisser le ou les diagrammes de bifurcation demandés.

Laboratoire 8.2. La méthode de Newton comme équation de différence

La méthode de Newton sur une cubique est étudiée en utilisant la terminologie des systèmes dynamiques discrets. Une calculatrice programmable est une technologie suffisante pour ce laboratoire et elle peut être attribuée après la section 8.1. Il fournit une autre approche du comportement compliqué des cartes unidimensionnelles

Laboratoire 8.3. La logistique retardée et l'itération en deux dimensions

Ce laboratoire nécessite la capacité de tracer les plans de phase des fonctions de deux variables. While this idea is natural given our previous work, students will need some guidance in viewing orbits in this manner.


Differential equation models

In this section, we describe the differential equation models for HIV and extended logistic growth (ELM) that we study in this paper.

HIV models

Many researchers have developed mathematical models to study the transmission of HIV at either the CD4+ T-cell level (see, e.g., [3, 4, 7, 29–33]) or at the population level (see, e.g., [25, 26, 34, 35]). In the present research, we study a model for transmission of HIV at the population level originally proposed by Roberts and Saha [25] as a general epidemic model, and later developed by Ding et al. [26] as a stochastic differential equation model for the progression to AIDS in a population infected with HIV. The nonlinear, logistic-type, differential equation model discussed by Ding et al. is as follows (see also [35]):

where (x(t)) is the proportion of the total population that is infected by HIV at time t, p ( (0< p<1) ) is the vertical transmission probability (the fraction of babies born with HIV infection), B is the birth rate for the population, β is the transmission rate on contact between an infected and an uninfected individual, C is the contact rate between infected and uninfected individuals, and α is the increase of the death rate due to the HIV infection.

The development of antiretroviral therapy using reverse transcriptase inhibitors (RTI) and protease inhibitors (PI) has been shown to be an effective method of controlling the spread of HIV by depressing the level of virus in an HIV+ person below a detectable level [29–33, 36] and to effectively stop transmission of HIV from an HIV+ person to an uninfected person [37–42]. In the present model, we assume that the effects of both the RTI and the PI can be included in the model in (1) as factors reducing the value of β (the rate of infection on contact) and p (the vertical transmission probability). Following Darlai et al. [35], we assume that

where (n_>) is an antiretroviral therapy factor ( (0 leq n_> < 1) ) and (eta _<0>) and (p_<0>) are, respectively, the infection rate of a susceptible person and the vertical transmission probability in the absence of antiretroviral therapy.

For simplicity, we rewrite (1) as

where (delta = (1-p)B > 0) and (varepsilon = eta C -alpha > 0) . Equation (3) is the well-known logistic equation model with an added death rate term (-delta x(t)) .

Extended logistic growth models

As stated previously, extended logistic growth models have been applied to forecasting short lifecycle products and services by Trappey and Wu [27], and to growth of single-species populations by Sakanoue [28].

In this paper, we study the extended logistic growth model discussed by He et al. [1]:

where (x(t)) is the population at time t, et r is the natural death rate of the population at low population levels. The parameters β, γ, K are positive parameters, where β is a natural birth rate at low population levels, K is the “carrying capacity” of the system, and the factor ((x(t)/K)^) is the rate at which the birth rate decreases as (x(t) ightarrow K) . This reduction in the birth rate could be due, for example, to factors such as overcrowding or limits in the available food supply.


Neimark–Sacker bifurcation

In this section, we investigate when positive steady-states of systems (1.3) and (1.5) undergo Neimark–Sacker bifurcation. For this bifurcation, theory of normal forms is implemented for the existence and direction of such a type of bifurcation. Recently, Neimark–Sacker bifurcation related to discrete-time models has been investigated by many authors [19,20,21,22,23,24,25,26,27]. Furthermore, in the case of continuous systems, we refer to [28,29,30,31,32] for some recent discussions related to Hopf bifurcation.

First, we show that the positive equilibrium (( u^<*>, k e^<- u ^<*>> -1 )) of system (1.3) undergoes Hopf bifurcation such that k is selected as a bifurcation parameter. For this, we see that the characteristic polynomial (2.4) has complex roots if the following inequality holds:

Furthermore, we suppose that (eta _<1>) and (eta _<2>) are complex roots of (2.4). Then these roots satisfy (vert eta _ <1>vert = vert eta _ <2>vert =1) whenever the following conditions hold:

Keeping in view (5.1) and (5.2), we consider the following set:

Suppose that (( p, q, k )in mathbb_<3>) . Then the positive equilibrium (( u^<*>, k e^<- u^<*>> -1 )) of system (1.3) undergoes Hopf bifurcation whenever k varies in a small neighborhood of (k_<2>) given as

Assume that (( p, q, k )in mathbb_<3>) . Then plant–herbivore model (1.3) is represented equivalently by the following two-dimensional map:

Suppose que represents a small perturbation in (k_<2>) . Then the corresponding perturbed map for (5.3) is expressed as follows:

To translate the positive fixed point of (5.4) at ((0,0)) , we implement the translations (x = X - u^<*>) and (y = Y - ( ( k_ <2>+ ilde ) e^<- u^<*>> -1 )) with (u^ <*>= frac

) . Then from (5.4) it follows that

Moreover, the characteristic equation for the variational matrix of system (5.5) computed at ((0,0)) is given as follows:


Voir la vidéo: Modèles mathématiques des épidémies par Etienne Pardoux (Octobre 2021).