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2.2 : Faits sur les limites des suites - Mathématiques


2.2 : Faits sur les limites des suites - Mathématiques

Evaluer la limite de la séquence définie par $a_1 = 1$ et $a_ = sqrt<6 + a_n>$ .

Pour évaluer cette limite, nous allons faire une induction abrégée pour montrer d'abord que la séquence $< a_n >$ est croissante et bornée au-dessus.

Notons d'abord que $a_1 = 1$ , $a_2 = sqrt <6 + a_1>= sqrt<7>$ , et $a_3 = sqrt <6 + a_2>= sqrt<6 + sqrt<7> >$ . Dans chaque cas, notre séquence semble croissante, et nous allons le prouver par induction mathématique. Notre cas de base $a_1 < a_2$ est déjà présenté ci-dessus. Supposons que $a_k < a_$ . Nous voulons montrer que $a_ < a_$ . Nous obtenons que $a_ = sqrt<6 + a_> > sqrt <6 + a_k>= a_$ , et donc $< a_n >$ augmente.

Maintenant, nous devons montrer que $< a_n >$ est borné. Nous supposons que $< a_n >$ est borné par $3$ puisque $a_1 = 1 < 3$ . Supposons maintenant que $a_k < 3$ . Nous voulons montrer que $a_ < 3$ . Nous avons donc $a_ = sqrt <6 + a_k>< sqrt <6 + 3>= 3$ . Donc $a_n < 3$ .

Rappelons maintenant que puisque $f(x) = sqrt<6 + x>$ est une fonction continue, nous avons ceci :

Il faut donc résoudre l'équation $L = sqrt<6 + L>$ ou plutôt $L^2 = 6 + L$ qui a une solution lorsque $L = 3$ et $L = -2$ . Nous choisissons $L = 3$ car notre limite ne peut pas être négative puisque $< a_n >$ est en fin de compte croissant.


Séquences dans les espaces métriques

Pour toute séquence $x_n$ on peut considérer l'ensemble des valeurs qu'elle atteint, à savoir [ = ninN>. ] Il est important de distinguer cet ensemble de la séquence elle-même. Par exemple, si $X=R$, et $x_n=1$ pour tout $ninN$, alors la suite $x_n$ est $1, 1, 1, dots$, soit une suite infinie de uns . L'ensemble de valeurs de cette séquence est $<1>$, qui est un sous-ensemble de $R$ avec un seul élément.

Il sera souvent utile de se rendre compte que dans une suite croissante d'entiers naturels $n_k$ on a toujours $n_kgeq k$. Cela tient parce que l'ensemble $, n_k>$ se compose de $k$ entiers naturels différents, tous inférieurs ou égaux à $n_k$. Cela ne peut se produire que si $n_kgeq k$.

On écrit $lim_ x_n =a$, ou $x_nà a$.

Par exemple, considérons la séquence de points $x_n = igl(frac1n, frac1igr)$ dans l'avion. Il découle de [ frac1n à 0, qquad frac1 o0, ] que $x_n o (0,0)$ dans $R^2$.

En d'autres termes, toute sous-suite d'une suite convergente converge également et a la même limite.

Preuve. Soit $epsilongt0$. Puisque $x_n o p$ il existe un $N_epsiloninN$ tel que $x_nin B_epsilon(p)$ pour tout $ngeq N_epsilon$. Si $kgeq N_epsilon$ alors $n_kgeq k$, de sorte que $n_kgeq N_epsilon$, et donc $x_ in B_epsilon(p)$. Cela implique, par définition, que $x_ o p$ comme $k oinfty$. ////

Si la séquence $x_n$ convergait vers une limite, disons $x_n oell$, alors chaque sous-séquence de $x_n$ convergerait également vers $ell$. La séquence $x_n$ a les sous-séquences suivantes [ y_k = x_<2k>, qquad z_k = x_<2k-1>. ] La séquence $y_$ se compose de toutes les entrées paires, et, puisque $y_k=1$ pour tout $kinN$, nous avons $y_k o 1$. Si la suite $x_n$ converge vers un certain nombre $ell$, alors ce nombre doit être $ell = +1$. D'autre part la sous-suite $z_k = x_ <2k-1>= -1$ converge vers $-1$, donc toute limite de la suite $x_n$ doit être $ell = -1$. La limite ne peut pas être à la fois 1$ et $-1$.

Par définition, une séquence $x_n$ est dite monotone si soit $x_nleq x_$ est valable pour tout $ninN$, auquel cas la séquence est dite non décroissante, ou si $x_ngeq x_$ pour tout $ninN$, auquel cas la séquence est dite non croissante.


Révision mathématique de niveau A portant sur les séquences, y compris la notation, les séquences convergentes et les relations de récurrence.

Dans la séquence 2, 4, 6, 8, 10. il y a un modèle évident. De telles séquences peuvent être exprimées en termes de nième terme de la séquence. Dans ce cas, le nième terme = 2n. Pour trouver le 1er terme, mettez n = 1 dans la formule, pour trouver le 4ème terme, remplacez les n"s par 4"s : 4ème terme = 2 × 4
= 8.

Essai et erreur

Quel est le nième terme de la suite 2, 5, 10, 17, 26. ?
Utilisons des essais et des erreurs (essentiellement en devinant ce que nous pensons fonctionnera) :

m = 1 2 3 4 5
= 1 4 9 16 25
n² + 1 = 2 5 10 17 26

C'est la séquence requise, donc le nième terme est n² + 1. Pour certaines séquences, il n'y a pas de moyen simple de calculer le nième terme d'une séquence, sinon d'essayer différentes possibilités.

Astuces : si la séquence monte par trois (par exemple 3, 6, 9, 12. ), il y aura probablement un trois dans la formule, etc.

Dans de nombreux cas, des nombres carrés apparaîtront, alors essayez de mettre n au carré, comme ci-dessus. De plus, la formule des nombres triangulaires revient souvent. C'est ½n(n+1).

Le nième terme d'une suite s'écrit parfois Um . Donc dans le dernier exemple, Um = n² + 1 . Le 5ème terme est donc U5 = 25 + 1 = 26.

Séquences convergentes

Les suites dont le nième terme s'approche d'un nombre fini à mesure que n devient plus grand sont appelées suites convergentes et le nombre vers lequel la suite converge est appelé la limite de la suite. Par exemple : 10, 5, 2,5, 1,25, 0,625, . converge (se rapproche de plus en plus) vers la limite zéro.

Relations de récurrence

C'est là que le terme suivant d'une séquence est défini en utilisant le(s) terme(s) précédent(s). Pour définir une relation de récurrence, il faut donner le premier terme. Ensuite, vous donnez une formule pour vous dire comment calculer le terme suivant à partir des précédents.

Par exemple, considérons la séquence : 2, 4, 8, 16, 32, . . Chaque terme de la suite est obtenu en doublant le terme précédent. Donc pour définir la relation de récurrence, on donne le premier terme, noté U1 = 2. On écrit alors : Um = 2(Un-1). Cela signifie simplement que le nième terme, Um est égal à 2 × le (n-1)ième terme, Un-1.


MATHÉMATIQUES

UNE VISION BIBLIQUE DES MATHÉMATIQUES

CONTENU

1. Introduction
I. Le dogmatisme de la neutralité
A. Le postulat de neutralité non confirmé par les phénomènes mathématiques
2. Vérité arithmétique
3. Normes de preuve
4. Vérité de la théorie des nombres
5. Vérité géométrique
6. Vérités d'analyse
7. Existence mathématique
B. Le postulat de neutralité intérieurement incohérent
8. Dans ses prétentions métaphysiques générales
9. Dans ses prétentions épistémologiques générales
10. Dans ses revendications éthiques générales

II. Antinomies des mathématiques antithéistes
11. Classification des difficultés des antithéistes
A. Problèmes épistémologiques des mathématiques antithéistes : a priori/a posteriori
12. La réponse a priori
13. La réponse a posteriori
14. La réponse conventionnaliste
15. Implications de la preuve de Gödel
B. Problèmes métaphysiques des mathématiques antithéistes : unité et pluralité
16. Unité et pluralité de la vérité
17. Unité et pluralité des sciences
C. 18. Problèmes éthiques des mathématiques antithéistes : motif, norme et objectif

III. Une vision chrétienne-théiste des mathématiques
A. Une métaphysique chrétienne des mathématiques, fondée dans l'Être de Dieu
19. Ontologie
20. Modalité
21. Structuralité
B. Une épistémologie chrétienne des mathématiques, fondée sur la connaissance de Dieu
22. L'image de Dieu fonde les a priori mathématiques
23. La Révélation fonde les mathématiques a posteriori
24. Excursus sur les limitations
des mathématiques humaines
25. L'unité de la race et le don de la langue constituent les fondements de la science publique
C. 26. Une éthique chrétienne des mathématiques, fondée sur la justice de Dieu

1. introduction

Dans leurs visions du monde, chrétiens et non-chrétiens diffèrent sur des points fondamentaux. Accordé. Mais cela n'affecte certainement pas les mathématiques. Voici enfin une zone neutre, où chrétiens et non-chrétiens peuvent s'entendre. Les deux savent que 2 + 2 = 4. Comment les différences religieuses pourraient-elles l'affecter ?

Dans notre culture, telle est la réaction habituelle à une mention des mathématiques « chrétiennes ». Incrédulité. Pourtant l'ironie apparaît dans le fait que cette même incrédulité expose à plusieurs niveaux sa propre non-neutralité, sa propre position dogmatiquement anti-biblique. 1

JE. Le dogmatisme de la “neutralité”

Examinons de plus près le postulat de « neutralité ». Ce postulat dit que la connaissance et la structure d'une science, par exemple les mathématiques, ne sont pas influencées par la croyance religieuse. 1a Ou du moins la science ne devrait pas être influencée par la croyance religieuse. Pour le dire plus crûment, la vraie connaissance scientifique reste la même, que Dieu existe ou non. Nous entendons critiquer ce postulat à la fois en termes d'adéquation avec les phénomènes mathématiques réels, et en termes d'auto-incohérence interne.

UNE. Le postulat de neutralité non confirmé par les phénomènes mathématiques

Le postulat de neutralité est particulièrement attrayant lorsqu'il est appliqué aux mathématiques, en raison de l'apparent accord généralisé sur les vérités mathématiques. “Tout le monde sait que 2 + 2 = 4.” Si les croyances religieuses ont vraiment une influence, pourquoi y a-t-il un accord si répandu, transcendant les frontières religieuses ? Nous entendons répondre à cette question à plusieurs niveaux : (1) en montrant que l'accord en mathématiques n'est pas si répandu, ni si décorrélé avec les croyances religieuses, que les manuels voudraient vous le faire croire (§§2-7) (2) par montrant que la philosophie non-chrétienne des mathématiques est impliquée dans des clivages et des antinomies profonds, dans sa compréhension d'une vérité même aussi simple que 2 + 2 = 4 (§§11-18) (3) en montrant que seulement sur un La base biblique peut-on véritablement comprendre et affirmer l'accord réel sur les vérités mathématiques (§25).

Alors, tout d'abord, quelles différences sont apparues en mathématiques en rapport avec la croyance religieuse ? Des différences sont apparues sur la vérité arithmétique, sur les normes de preuve, sur la vérité théorique des nombres, sur la vérité géométrique, sur les vérités d'analyse, sur l'existence mathématique - sans parler des conflits épistémologiques de longue date sur la source de la vérité mathématique. Considérons ces domaines un à la fois.

2. Vérité arithmétique

Cela peut surprendre le lecteur d'apprendre que tout le monde n'est pas d'accord pour dire que 𔃲 + 2 = 4’ est vrai. Mais, à la réflexion, il doit être évident qu'aucun moniste radical ne peut rester satisfait de 𔃲 + 2 = 4.’ Si avec Parménide 2 on pense que tout est un, si avec l'hindouisme védantique 3 il pense que toute pluralité est une illusion, 𔃲 + 2 = 4’ est une déclaration illusoire. Au niveau le plus ultime de l'être, 1 + 1 = 1. 4

Qu'est-ce que cela implique? Même les vérités arithmétiques les plus simples ne peuvent être soutenues que dans une vision du monde qui reconnaît une pluralité métaphysique ultime dans le monde, qu'elle soit trinitaire, polythéiste ou une pluralité produite par le hasard. En même temps, les vérités arithmétiques les plus simples présupposent aussi des vérités métaphysiques ultimes. unité pour le monde&mdahsau moins une unité suffisante pour garder l'existence continue de “sames.” Deux pommes rester pommes pendant que je les compte, le symbole 𔃲’ est en quelque sorte le même symbole à des moments différents, représentant le même numéro.

Ainsi, au tout début de l'arithmétique, nous sommes déjà plongés dans le problème métaphysique de l'unité et de la pluralité, de l'un et du multiple. Comme Van Til et Rushdoony l'ont souligné, ce problème ne trouve sa solution que dans la doctrine de la Trinité ontologique. 5 Pour le moment, nous ne nous attarderons pas sur les épineux arguments métaphysiques, mais notons seulement que sans une unité et une pluralité réelles, 𔃲 + 2 = 4’ tombe dans les limbes. L'"accord sur la vérité mathématique" est obtenu en partie par le processus, décrit avec élégance par Thomas Kuhn et Michael Polanyi, consistant à exclure de la communauté scientifique les personnes de convictions différentes. 6 Les monistes radicaux, par exemple, ne sont pas invités à contribuer aux colloques mathématiques.

3. Normes de preuve

Les mathématiciens ne sont pas toujours d'accord sur les preuves valables. Des intuitionnistes comme L. E. J. Brouwer et Arend Heyting n'acceptent pas la loi du tiers exclu ou la preuve par réduction à l'absurde (preuve d'une affirmation en déduisant une contradiction de sa négation). 7 Par conséquent, ils n'accepteront pas certaines preuves que d'autres accepteront. Les différences entre les intuitionnistes et les autres ont des racines religieuses dans le fait que ces intuitionnistes n'accepteront pas comme significatif un appel au fait que Dieu connaît la vérité sur la question, que nous le fassions ou non. 8 Pour eux, une certaine vérité des sens a son lieu ultime dans le Humain écouter. Les mathématiques ne s'occupent que de mental constructions” (italique mien). 9

4. Vérité de la théorie des nombres

Les intuitionnistes fournissent également l'exemple le plus pratique de la façon dont les différences religieuses peuvent conduire à des désaccords sur la vérité de la théorie des nombres. Considérez les déclarations

A: Quelque part dans l'expansion décimale de pi, il se produit une séquence de sept 7 & 8217 consécutifs.

B : Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit premier.

En 1975, personne ne sait si A ou B est vrai. Il n'y a pas non plus de procédure connue par laquelle, dans un laps de temps fini, nous pourrions être assurés d'obtenir une réponse définitive par oui ou par non. Pour les intuitionnistes, cela signifie que A et B ne doivent pas être considérés comme Soit vrai ou faux. 10 Cela n'a aucun sens de parlez sur la vérité ou le mensonge tant que nous n'avons aucun moyen de vérifier. D'un autre côté, le chrétien, sur la base de I Jean 3:20 (“Dieu est plus grand que nos cœurs, et il sait tout”), Psaume 147:5, et d'autres passages, est susceptible de ressentir qu'à moins Dieu sait parfaitement si A ou B est vrai. Nos propres limites ne fixent aucune limite à Sa connaissance (§24) (cfr. Isa. 55:8-9 Ps. 139:6, 12, 17-18).

5. Vérité géométrique

Les engagements philosophiques d'Emmanuel Kant l'ont conduit à la condamnation

que nous connaissons a priori les vérités de la géométrie euclidienne. Cependant, avec l'avènement des géométries non euclidiennes de Bolyai-Lobatchewsky et Riemann, 11 puis la relativité générale d'Einstein, la « vérité » de la géométrie euclidienne a été remise en question. 12 Même la question de savoir ce qu'il moyens pour qu'une géométrie soit "vraie" au monde est maintenant en litige. 13 Et les différences philosophiques profondes entre l'opérationnalisme et le réalisme, le positivisme et le platonisme influencent fortement les conclusions de chacun.

On pourrait objecter que la géométrie purement axiomatique (par opposition à la géométrie appliquée) est au moins exempte de ces difficultés. Tout le monde peut être d'accord lorsqu'un théorème géométrique est prouvé. Mais encore une fois, les intuitionnistes s'opposent à réduction à l'absurde preuves. Non seulement cela, mais on constate qu'une adhésion rigoureuse aux exigences de la géométrie axiomatique dans le style moderne ensembliste nécessite l'utilisation d'ensembles innombrables de points et d'ensembles innombrables de transformations de congruence, introduisant ainsi la problématique philosophique de l'infini au dessous de).

6. Vérités d'analyse

Des désaccords surgissent également sur les vérités de l'analyse. L'une des principales raisons à cela est que seul un nombre dénombrable des nombres réels est définissable dans le sens d'être calculable par une machine de Turing. Par le théorème de Cantor, la vaste "majorité" des réels est donc indéfinissable ! Doit-on traiter ces réels indéfinissables sur le même plan que les réels calculables ? Notre réponse à cette question dépendra fortement de nos convictions philosophiques antérieures. Si nous avons la disposition philosophique platonicienne qui suppose que les nombres réels sont « là-bas » que nous puissions ou non les définir, nous sommes prédisposés à l'analyse classique. Si, d'un autre côté, nous avons une vision du monde plus anthropocentrique qui considère l'homme comme la mesure des choses, 14 nous préférerons probablement une analyse constructive telle que la dé-

-développé par Errett Bishop. 15 Enfin, si nous sommes attachés à une vision plus conventionnelle des mathématiques (voir §14), ou, comme Leibniz, à la réalité des infinitésimaux, nous sommes susceptibles d'être favorables à l'analyse non standard de Robinson. Ainsi, trois visions du monde différentes, si elles ne déterminent pas de manière absolue, influencent pourtant de manière décisive l'attitude d'une personne envers les constructions alternatives de l'analyse.

Étant donné que le premier cycle n'est généralement exposé qu'à la version classique de l'analyse, il a l'impression que cette version est la vérité évangélique incontestable. Pourtant, les théorèmes des différentes versions de l'analyse sont parfois en conflit radical. En analyse classique, l'ensemble des nombres réels

produit une coupe de Dedekind divisant les réels en deux parties, positive et non positive en analyse non standard, la même définition produit une coupe de réels en deux parties, positive non infinitésimale d'une part et non positive plus positive infinitésimale sur l'autre en analyse constructive, la même définition produit encore un troisième résultat, à savoir une division des réels en absolument positifs, absolument non positifs, et un troisième groupe de « ne sait pas ». Encore une fois, en analyse constructive tous fonction constructible sur [0,l] est uniformément continue, 17 alors qu'en analyse classique le nombre cardinal c c == 2 c de fonctions discontinues sur [0, 1] est supérieur (!) au nombre cardinal c de fonctions continues. On ne peut guère nier que, dans ce domaine du moins, les différences philosophico-religieuses ont eu leur impact !

7. Existence mathématique

Est-ce que 2 existe ? 1/4 existe-t-il ? Est-ce que √2 existe ? Est-ce que -2 existe ? Est-ce que √-1 existe ? Est-ce que dx existe ? Le nombre transfini aleph-deux existe-t-il ? Existe-t-il un cardinal mesurable ?

Chacune de ces questions a été débattue à un moment donné dans l'histoire des mathématiques. Une partie du problème, bien sûr, est de dire ce que nous moyenne par une revendication d'existence. Les entités mathématiques n'existent pas de la même manière que les roches. Mais les questions d'existence mathématique sont néanmoins importantes car elles portent sur la légitimité d'utiliser certains symboles mathématiques dans nos calculs. Si certaines entités mathématiques n'existent pas,

on peut supposer qu'ils ne devraient pas être utilisés. Parce que 𔄙/0 n'existe pas, on ne peut pas discuter

0 · 1 = 0 · 2
(1/0) · 0 · 1 = (1/0) · 0 · 2
1 · 1 = 1 · 2
1 = 2

0pinions sur l'existence mathématique sont liés à des différences religieuses. Prenons plusieurs exemples : les pythagoriciens, pour des raisons philosophico-religieuses, n'ont pas voulu admettre l'existence d'irrationnels comme √2.18 Les convictions philosophiques de Leibniz sur l'infini le prédisposaient favorablement à l'utilisation d'infinitésimaux comme dx. 19 D'un point de vue consciemment chrétien, D. H. Th. Vollenhoven et Herman Dooyeweerd ont rejeté l'existence d'innombrables nombres transfinis, apparemment en raison de leur caractère antinomique. 20 (L'auteur n'est pas d'accord avec leur décision à ce stade, mais le fait est que leurs convictions mathématiques étaient motivées par la religion.) De tels exemples montrent clairement qu'une question d'existence mathématique peut ne pas être une affaire religieusement neutre. Plus généralement, les mathématiques dans le passé n'ont pas été une science religieusement neutre. Bref, le postulat de neutralité n'est pas confirmé par l'histoire des mathématiques.

B. Le postulat de neutralité intérieurement incohérent

Jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés sur la question de savoir si le postulat de neutralité correspond vraiment aux phénomènes mathématiques. Nous avons vu que les décisions concernant la vérité mathématique sont fréquemment biaisées par la religion. Mais même en dehors de ces faits historiques, le postulat de neutralité se heurte à de sérieuses difficultés internes :

8. Dans ses affirmations métaphysiques générales

Le postulat de neutralité fait les affirmations métaphysiques implicites que (a) la réalité mathématique n'est pas le résultat de l'activité créatrice de Dieu d'aucune manière (p. 166) essentielle (car si elle était le résultat du travail de Dieu, nous ne pourrions pas imaginer il reste le même même si Dieu n'existait pas) (b) la nature de Dieu et la nature du nombre ne sont pas significativement impliquées l'une dans l'autre, elles ne sont pas si liées que l'on puisse déduire les propriétés de l'un à partir d'une étude de l'autre. Sinon, des opinions divergentes sur Dieu pourraient, pour autant que nous le sachions, conduire à des opinions divergentes sur la nature du nombre.

La revendication (a) est déjà une négation de la création dans son sens biblique, comme nous le verrons (§19) la revendication (b) implique une négation de la Trinité (voir §19). Pour l'instant, cependant, nous nous intéressons non pas tant au fait que ces affirmations contredisent la doctrine chrétienne orthodoxe, mais plutôt au fait qu'elles ont une vaste portée, étonnamment dogmatique. métaphysique personnage. L'affirmation selon laquelle la métaphysique n'a rien à voir avec les mathématiques s'avère être elle-même une affirmation métaphysique sur les mathématiques. Le postulat de neutralité s'avère très « non neutre ». Pour le moins, il s'agit d'une situation paradoxale.

9. Dans ses affirmations épistémologiques générales

Le postulat de neutralité est impliqué dans un paradoxe similaire concernant ses prétentions épistémologiques implicites. Ce postulat nie, en effet, que Dieu puisse révéler des vérités sur les mathématiques. Supposons qu'Il le puisse. Il est alors concevable qu'Il révèle des informations qui ne sont pas déjà établies par d'autres moyens. Alors ces gens qui croyaient ce qu'Il a révélé se trouveraient dans une position différente en mathématiques de ceux qui n'y croyaient pas. De telles différences découlant de la croyance religieuse violeraient le postulat de neutralité.

Maintenant, le lecteur peut argumenter que tout cela est purement spéculatif, puisque Dieu n'a en fait pas choisi d'enregistrer des théorèmes mathématiques dans les Écritures. Mais notez ce qui suit. (1) Que Dieu nous ait donné des informations mathématiques ne peut être déterminé que par un examen réel des Écritures, et non (comme le postulat de neutralité le prétend vraisemblablement) dans un a priori mode. (2) Bien que la Bible ne contienne pas de théorèmes mathématiques au sens moderne, elle contient des enseignements qui nous instruisent, dans certains cas, sur quel type de mathématiques est légitime (cf. les exemples aux §§5-9). (3) L'activité révélatrice générale (pré-rédemptrice) de Dieu est impliquée dans toute sorte de connaissance mathématique (voir §23). (4) A la lumière de (l)-(3), le postulat de neutralité se préoccupe bien des questions religieuses.

En fait, le postulat de neutralité prétend savoir ce que le rapport de Dieu et des nombres peut et ne peut pas être, ce que le rapport de la théologie et des mathématiques peut et ne peut pas être, non seulement dans le passé, mais (si le postulat doit signifier quelque chose de substantiel ) également à l'avenir. Supposons maintenant que nous nous demandions comment ces prétentions radicales à la connaissance peuvent être étayées. La réponse doit être : la connaissance vient par révélation – soit la révélation chrétienne, soit une version sécularisée de la révélation. Car, en s'appuyant sur le postulat de neutralité, il s'agit d'expliquer comment on vient à

connaître sa supposée vérité. Cette explication même constitue une doctrine de la révélation. Habituellement, les gens parlent de révélation à partir d'un ultime métaphysique autre que Dieu (esprit, matière, expérience sensorielle, raison) néanmoins, les hommes ont besoin de révélation. Bref, le postulat de neutralité est empêtré dans le filet paradoxal de ne pouvoir nier la pertinence de la révélation (théiste) que sur la base d'une doctrine sous-jacente de la révélation (séculière). Le postulat de neutralité est épistémologiquement non neutre.

LO. Dans ses revendications éthiques générales

Troisièmement, le postulat de neutralité est impliqué dans le paradoxe de ses prétentions éthiques implicites. Il fait une déclaration sur ce que "devraient être" : "Les mathématiques ne devraient pas être influencées par les croyances religieuses. Nommons cette affirmation ‘C.’ C contredit l'éthique chrétienne, comme nous le verrons (§26). Mais, encore une fois, concentrons-nous sur le interne paradoxe de cette revendication éthique. C : les mathématiques ne doivent pas être influencées par les croyances religieuses. En particulier, il ne devrait vraisemblablement pas être influencé par les jugements éthiques liés à la croyance religieuse. Par conséquent, les mathématiques ne devraient pas être influencées par le jugement éthique C selon lequel « les mathématiques ne devraient pas être influencées par la croyance religieuse ». Nous sommes confrontés à une revendication éthique autodestructrice.

La revendication éthique C ne peut se sauver de l'oubli que lorsqu'elle est appuyée par une autre revendication, D.

D : La revendication C n'est pas une religieux (bien que ce soit une croyance éthique).

Mais la plupart des gens seraient d'accord pour dire que des affirmations générales comme D concernant la relation du religieux à l'éthique sont revendications religieuses. Ils sont étroitement liés à la question de savoir si le bien et le mal sont définis (disons) par les commandements de Dieu ou par la conscience. Convenons donc que D est une croyance religieuse.

Mais maintenant, nous sommes à nouveau empêtrés. Tout d'abord, de C, il résulte que

E : les mathématiques devraient être influencées par C.

F : pour tout G, si G est une croyance religieuse, les mathématiques ne devraient pas être influencées par G.

Comme cas particulier de F, lorsque C est substitué à G, nous obtenons

H : si C est une croyance religieuse, les mathématiques ne doivent pas être influencées par C.

D : C n'est pas une croyance religieuse.

Donc D est une conséquence de C. Donc C a, comme conséquence, un

croyance religieuse D. On peut donc supposer que C lui-même est religieux, une contradiction de D.

II. Antinomies d'antithéistes 21 mathématiques

11. Classification des difficultés antithéistes

Nous nous sommes concentrés jusqu'ici sur les difficultés propres au postulat de neutralité. Le postulat de neutralité, nous l'avons vu, est en proie à des conflits avec les phénomènes de l'histoire des mathématiques (§§2-7) et à une auto-incohérence interne (§§8-10).

D'autres difficultés, cependant, que le postulat de neutralité partage avec toutes les visions du monde non chrétiennes et non théistes (que ces visions revendiquent ou non la neutralité). Nous nous tournons maintenant vers ces difficultés communes à toutes les versions non chrétiennes des mathématiques.

Bien sûr, dans un sens, chaque vision du monde particulière - matérialisme, idéalisme, positivisme, marxisme - oui, chaque penseur individuel a des difficultés qui lui sont propres. Une critique de fond, d'un point de vue chrétien, devrait donc traiter chaque penseur séparément. Dans cet article, nous ne pouvons espérer faire plus qu'esquisser un aperçu de la manière dont la critique devrait procéder. Une procédure unifiée de critique est dans une certaine mesure possible parce que tout les systèmes non-chrétiens partagent des problèmes similaires, nés de leur refus commun d'honorer le vrai Dieu.

Pour plus de commodité, nous divisons les problèmes en trois domaines principaux : métaphysique, épistémologique et éthique. Nous nous attendons à ce que la philosophie non chrétienne des mathématiques (a) ait des problèmes métaphysiques parce qu'elle a abandonné la vraie Source de l'être (b) qu'elle ait des problèmes épistémologiques parce qu'elle a abandonné la vraie Source de la connaissance (c) qu'elle ait des problèmes éthiques parce qu'elle a abandonné la vraie source de valeur. Nous abordons ces sujets dans l'ordre (b), (c), (a).

UNE. Problèmes épistémologiques des mathématiques antithéistes : a priori/a posteriori

Les mathématiciens, comme les autres scientifiques, ont une certaine confiance en leurs convictions. Cela doit être justifié. Comment sait-on que 2 + 2 = 4 ? Par des moyens internes (a priori indépendant de l'expérience) ou par des moyens externes (a postériori tiré de l'expérience)? Acquérir la connaissance par introspection ? Par réminiscence (Platon) ? Par argument logique (Russell) ? Ou l'obtenons-nous par l'expérience répétée de deux pommes (p. 169) et de deux pommes (John S. Mill) ? Ou une combinaison de ceux-ci ? Ou est-ce que 𔃲 + 2 = 4’ n'est pas du tout une vraie “connaissance”, mais simplement une convention linguistique sur la façon dont nous utilisons 𔃲’ et 𔃴’ (A. J. Ayer) ? 22

12. La réponse a priori

Quelle que soit la réponse choisie par une personne du côté antithéiste, elle se heurtera forcément à des difficultés. Supposons que l'on insiste sur le a priori caractère de la connaissance mathématique. Alors 𔃲 + 2 = 4’ est une sorte de vérité universelle et éternelle. Mais pourquoi, dans ce cas, deux pommes plus deux pommes devraient-elles généralement, par expérience, faire quatre pommes ? Pourquoi un monde, certes contingent, nous offrirait-il des exemples répétés de cette vérité, bien plus que ce à quoi nous pourrions nous attendre par hasard ? Si le monde extérieur est purement une question de hasard, si quelque chose peut arriver dans le sens le plus large possible, si le soleil ne peut pas se lever demain, si, en fait, il n'y a peut-être pas de soleil, ou seulement un spoutnik, quand viendra demain, s'il n'y aura peut-être pas demain, etc., peut-il y avoir une déclaration certaine à propos des pommes ? Pourquoi, par exemple, les pommes ne disparaissent-elles pas et n'apparaissent-elles pas au hasard pendant que nous les comptons ? Si, d'autre part, le monde extérieur a un certain degré de régularité mêlé à ses éléments de hasard, pourquoi s'attendre à ce que cette régularité coïncide, même de la manière la plus éloignée, avec le a priori attentes mathématiques de l'esprit humain ? De telles questions peuvent être multipliées à l'infini. Une fois qu'on a fait la séparation cartésienne de l'esprit et de la matière, de a priori et a postériori, on ne pourra plus jamais les réunir.

Une vision strictement a priori est également ouverte à des objections plus pratiques. Si les mathématiques sont en effet a priori, pourquoi surgissent des paradoxes ? De tels paradoxes se présentent sous la forme de contradictions réelles (paradoxe de Burali-forti, paradoxe de Russell) et sous la forme de divers résultats contre-intuitifs (les courbes continues de Peano qui remplissent l'espace, partout-continues nulle part-fonctions différenciables, le théorème descendant de Löwenheim-Skolem, etc.). Les paradoxes semblent moins menaçants aujourd'hui, en partie parce que les mathématiciens adoptent une attitude plus conventionnelle à leur égard (§14), en partie parce que nous nous en sommes débarrassés en modifiant nos axiomes (pour éviter les contradictions) ou en modifiant nos intuitions (pour cadrer avec les théories). Néanmoins, les paradoxes illustrent que, historiquement considéré, soi-disant a priori les convictions mathématiques ne sont pas toujours fiables.

13. La réponse a posteriori

Il est compréhensible que ces difficultés sur le a priori côté ont conduit les gens à chercher un a postériori solution. Dans ce cas, on a souligné le caractère inductif de la connaissance mathématique. On en vient à croire que 2 + 2 = 4 par expérience répétée (a postériori) de deux objets plus deux objets faisant quatre objets. D'accord, mais personne n'a une expérience répétée de 2 123 955 objets plus 644 101 objets faisant 2 768 056 objets. Alors pourquoi croit-il que 2 123 955 + 644 10l = 2 768 056 ? “Ah, dit-on, il a généralisé à partir de son expérience avec les petits nombres. Malheureusement, dans le mot “généraliser” se cache soit une régression infinie, soit le spectre de la a priori. On peut se demander pourquoi une personne « généralise » d'une manière plutôt qu'une autre ? Pourquoi après avoir observé que 3 + 2 = 5, 4 + 2 = 6,… 12 + 2 = 14, conclut-il (généralise-t-il ?) que 13 + 2 = 15 plutôt que 13 + 2 = 14 voire 13 ? En termes de cohérence a postériori point de vue, la réponse ne peut être, en raison de l'expérience antérieure avec d'autres généralisations. En d'autres termes, il a généralisé à partir des généralisations précédentes. Pourquoi a-t-il généralisé en cette manière particulière de ces autres généralisations? Parce qu'il a généralisé à partir d'une expérience antérieure de généralisation à partir de généralisations antérieures, et ainsi de suite. Apparemment, on ne peut échapper à cette régression qu'en se disant à un moment donné : « Parce que c'est ainsi que fonctionne l'esprit humain. » Et puis on est confronté à un a prioriconnaissances, ou au moins a priori heuristique.

le a postériori solution est également ouverte à des objections plus pratiques et prosaïques. Qu'en est-il de la quantité sans cesse croissante d'entités mathématiques abstraites et non visualisables ? Prétendre que les nombres transfinis, les espaces topologiques et les algèbres abstraites nous sont d'une manière ou d'une autre imprimés par l'expérience sensorielle demande un peu d'imagination.

14. La réponse conventionnaliste

Une troisième tentative de solution au problème épistémologique mérite d'être mentionnée, ne serait-ce qu'en raison de sa grande popularité parmi les mathématiciens eux-mêmes. C'est le point de vue selon lequel les mathématiques sont, dans un certain sens, une simple convention de notre langage, et donc pas du tout une "connaissance". 2 + 2 = 4 parce que nous avons convenu dans notre langue d'utiliser les mots “deux” et “quatre” de cette manière (Wittgenstein). 23 Ou, pour le dire autrement, en disant 𔄚 + 2 = 4”, nous disons simplement “A est A” d'une manière détournée (A. J. Ayer). 24 Ou, 𔄚 + 2 = 4 parce qu'il découle de nos postulats (conventionnellement déterminés)” (formalistes).

Toutes ces réponses “conventionnalistes” sont vraiment autant de variations sur le a priori solution, dans la mesure où l'on peut toujours se poser les mêmes questions sans réponse sur les raisons pour lesquelles les mathématiques devraient s'avérer si utiles dans le traitement du monde extérieur. Si c'est pur convention, pourquoi cela devrait-il être? Ou si on dit que les conventions sont choisies car ils sont utiles, on passe au a postériori camp, où il est confronté aux mêmes questions sans réponse sur le rôle de la généralisation. 25

Le fait que la réponse conventionnaliste puisse être utilisée soit dans un a priori ou un a postériori La direction indique un autre facteur : que la « réponse conventionnelle » n'est peut-être pas vraiment une réponse du tout, mais simplement un déplacement de la question du domaine des mathématiques à celui du langage. Le même a priori/a posteriori les problèmes réapparaissent lorsque l'on se demande pourquoi le langage (mathématique) fonctionne correctement.

L5. Implications de la preuve de Gödel

À ce stade, nous devons mentionner que, à notre avis, certains résultats de la théorie de la preuve ont intensifié la a priori/a posteriori problème pour une philosophie antithéiste des mathématiques. Nous nous référons en particulier à la preuve de Gödel de l'incomplétude des axiomes de Whitehead-Russell pour la théorie des nombres du premier ordre. 26 Cette preuve a été serrée dans le sein de tant de philosophes des mathématiques qu'on hésite à y lire encore une interprétation de plus. Néanmoins, il nous apparaît que la preuve devrait ébranler la confiance dans toute a priori ou la philosophie conventionnaliste des mathématiques. D'une part, en montrant qu'aucune machine de Turing ne peut être construite pour générer toutes les vérités de la théorie des nombres et aucun mensonge, elle a soulevé des questions sur la capacité de l'esprit humain lui-même à connaître toutes les vérités de la théorie des nombres. Et si nous ne pouvons pas tout savoir, ce n'est certainement pas a priori pour nous. Deuxièmement, en montrant que toute liste d'axiomes sera incomplète, cela soulève des questions sur toute affirmation conventionnaliste selon laquelle la vérité est définie par notre choix d'axiomes. En supposant que la théorie des nombres soit cohérente, la machinerie de la preuve produit un énoncé vrai qui ne découle pas des axiomes. Par conséquent, cette vérité n'est pas (au sens strict) définie de manière conventionnelle par le choix des axiomes.

D'un autre côté, la preuve de Gödel n'apporte que peu de réconfort au a postériori camp. Car la déclaration cruciale, vraie mais non prouvable, S présentée dans sa preuve ne peut pas être « expérimentée » comme vraie ou a postériori “vu” comme vrai dans n'importe quel sens normal. Le camp a posteriori dit vraisemblablement que nous apprenons par expérience directe (deux pommes et deux pommes faisant quatre pommes) puis plus tard par des preuves (la procédure de preuve elle-même étant une généralisation à partir de l'expérience de preuves simples). Pourtant, le S de Gödel ne peut être ni vécu directement (c'est beaucoup trop compliqué) ni prouvé. S est le premier énoncé de ce type jamais produit (aucune généralisation à partir de l'expérience précédente n'est possible), mais en inspectant le sens "intuitif" de S, on devient convaincu que S doit être vrai.

En raison des difficultés ci-dessus, la philosophie antithéiste des mathématiques est condamnée à osciller, tout comme nous l'avons fait dans notre argumentation, entre les pôles de a priori connaissances et a postériori connaissances. Pourquoi? Il ne reconnaîtra pas le vrai Dieu, sage Créateur de tous les deux l'esprit humain avec son intuition mathématique et le monde extérieur avec ses propriétés mathématiques. Dans les sections 22-23, nous verrons comment le point de vue biblique nous fournit une solution réelle au problème de « connaître que 2 + 2 = 4 et savoir que S est vrai.

B. Problèmes métaphysiques des mathématiques antithéistes : unité et pluralité

16. Unité et pluralité de la vérité

Étroitement liées aux questions épistémologiques se trouvent des questions sur le "statut" métaphysique de "82162 + 2 = 4" par rapport à d'autres vérités. Qu'est-ce que ça fait moyenne que 2 + 2 = 4 ? Si nous voulions tester si un enfant comprenait 𔃲 + 2 = 4, ’ nous serions satisfaits seulement s'il démontrait non seulement sa capacité à manipuler correctement les symboles sur papier, mais aussi savait quand utiliser 𔃲 + 2 = 4’ dans les problèmes de mots.Un tel contrôle est nécessaire car un enfant peut mémoriser les formes visuelles et les manipulations de 𔃲’ et 𔃴’ sans jamais comprendre ce qu'il faisait. En effet, on pourrait dire que pour savoir que 2 + 2 = 4 est savoir utiliser ces symboles dans la vie de tous les jours. On ne peut pas savoir 𔃲 + 2 = 4’ sans savoir beaucoup d'autres choses en relation avec cette seule vérité. Ainsi, nous sommes inévitablement concernés par une grande pluralité d'expériences et de vérités et les relations entre elles.

De plus, comme l'a souligné la théorie linguistique moderne dans le cadre tagmémique, aucun symbole linguistique ne peut être compris sans une spécification de son contraste, de sa variation et de sa distribution. 27 En particulier, 𔃲 + 2 = 4’ n'a de sens (a) que comme un tout identifiable, avec une certaine constance dans le temps, contrastant avec certains autres énoncés possibles, à la fois

vrai (2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, etc.) et faux (2 + 2 = 5,2 + 2 = 3, etc.) (b) uniquement comme unité avec un certain variationnel gamme, ce qui implique qu'il peut être répété sous différentes formes sans perdre son identité (deux plus deux font quatre, deux plus deux égalent quatre, deux et deux font quatre, II + II = IV, (1 + 1) + 2 = 4, etc.) (c) uniquement en tant qu'élément distribué dans des unités plus grandes de comportement linguistique et de comportement humain général (preuves utilisant 𔃲 + 2 = 4,’ problèmes de mots s'y référant, 𔃲 + 2 = 4’utilisé dans le calcul des prix d'épicerie, l'impôt sur le revenu et les trajectoires des missiles ).

Le problème ici, pour toute vision antithéiste, est de garantir une unité et une stabilité ultimes à l'énorme "mer" de vérités et d'expériences dans lequel "82162 + 2 = 4" est intégré. Comment, sans tout savoir, peut-on vraiment dire que nous savons quelque chose ? 𔃲 + 2 = 4’ est distribué dans un contexte plus large qui, pour le comprendre, doit être distribué dans un contexte encore plus large, à l'infini. D'ailleurs, comment savoir que la prochaine chose que nous découvrirons, aux confins de notre savoir, ne bouleversera pas et ne bouleversera pas radicalement ce que nous appelions jusqu'ici le « savoir » ? Une telle éventualité semble non seulement être abstraitement possible (en raison de la nécessité de définir la connaissance en partie en termes de sa distribution dans des contextes plus larges), mais en réalité s'être produite dans le passé dans plus d'une science. La physique a radicalement révisé ses « connaissances » pendant la révolution newtonienne, la révolution einsteinienne et maintenant la révolution quantique. Même les mathématiques ont dû se réviser parfois en pensant à la découverte des irrationnels par les Pythagoriciens, des contradictions résultant du raisonnement avec des séries infinies convergentes conditionnelles, des contradictions comme le paradoxe de Russell résultant du raisonnement avec l'idée naïve d'ensemble. Certes, chacun de ces trois "problèmes mathématiques" est maintenant considéré comme résolu, mais aucun n'a été résolu sans une révision des normes, oui, et le concept même de raisonnement mathématique correct.

Dans toute cette discussion, nous soulevons en réalité, sous une autre forme, le vieux problème d'une source d'unité métaphysique ultime dans le monde, en l'occurrence l'unité de vérité. Sur la base chrétienne, nous entendons une réponse très simple et claire : Dieu sait tout, et sa sagesse garantit que la vérité ne sera pas renversée par le prochain fait au coin de la rue. Il a fait l'homme à son image de telle manière que l'homme puisse connaître la vérité (penser les pensées de Dieu après lui) sans avoir à tout savoir. (Pour une discussion plus complète, voir §§22, 24.)

D'un autre côté, si l'antithéiste veut partir d'une unité ultime, plutôt que d'une pluralité ultime, de la vérité, il n'a aucun moyen d'expliquer comment la pluralité naît de cette vérité unique. Nous avons ici le problème de l'unité et de la pluralité auquel nous avons déjà été confronté au §2.

17. Unité et pluralité des sciences

Le même problème se pose sous une autre forme encore si nous nous interrogeons sur la relation entre différents domaines de vérité ou différentes sciences. Comment les mathématiques se rapportent-elles à la physique, à la biologie, à la logique, à la linguistique, à l'économie ? Comment les subdivisions au sein des mathématiques, comme l'arithmétique, la géométrie, le calcul et la théorie des ensembles, sont-elles liées les unes aux autres ? Pourquoi l'un de ces domaines s'applique-t-il largement à d'autres ? Les antithéistes essaient généralement de répondre en utilisant soit la pluralité ultime, soit l'unité ultime. Si, d'une part, nous choisissons de scinder les sciences en une ultime diversité et pluralité, nous ne pouvons donner aucune réponse au-delà de “Eh bien, ça arrive juste.” Mais très peu de gens peuvent vraiment vivre avec ça. De nombreux scientifiques ont reconnu qu'ils croyez, ils ont Foi que le monde est mathématiquement et physiquement régulier. Einstein le dit ainsi :

A cette [sphère de la religion] appartient aussi la foi en la possibilité que les règles valables pour le monde de l'existence soient rationnelles, c'est-à-dire compréhensibles pour la raison. Je ne peux pas concevoir un véritable scientifique sans cette foi profonde. La situation peut être exprimée par une image : la science sans religion est boiteuse, la religion sans science est aveugle. 29

Pourtant, de tels dieux postulés ne peuvent jamais s'élever au-dessus des idoles de la description d'Isaïe : « Dites-nous ce qui va arriver dans l'au-delà, afin que nous sachions que vous êtes des dieux, faites du bien ou faites du mal, afin que nous soyons consternés et terrifiés. Voici que vous n'êtes rien, et votre travail n'est pas une abomination, c'est celui qui vous choisit (41:23-24 cf. 44:6-11, etc.).

D'autre part, on peut faire un effort pour réduire les sciences à un ultime unité en dérivant les uns des autres. Les philosophes des mathématiques du passé ont tenté à leur tour de réduire les mathématiques (a) à la linguistique (les mathématiques sont la science des langages formels, les formalistes), (b) à la psychologie (les mathématiques sont l'étude des constructions mathématiques - les intuitionnistes), (c) à la logique (les mathématiques sont une branche de la logique - les logiciens), (d) à la physique (les mathématiques sont généralisées à partir de l'expérience des sens - les empiristes) , (e) à la sociologie (les mathématiques sont un groupe d'énoncés socialement utiles, les pragmatiques). La forme de la prétendue réduction des mathématiques nous donne ainsi un catalogue approximatif des grandes écoles de philosophie des mathématiques.

Comme on pouvait s'y attendre, de telles tentatives de réduction ne réussissent jamais vraiment. À un moment donné, elles ne rendent pas justice au caractère distinctif de la vérité mathématique, par rapport à la vérité physique, linguistique, psychologique. Une discussion détaillée des réductionnismes dépasse le cadre de ce travail, et nous devons renvoyer le lecteur au vaste travail de fondation de Dooyeweerd et Vollenhoven, ainsi qu'à une enquête particulière sur les mathématiques par Strauss. 30 Nos soupçons devraient être éveillés, par la diversité même des réductions tentées (à la linguistique, à la logique, à la psychologie, etc.), de se demander si quelconque d'entre eux peut vraiment être la vraie histoire. Ils réfutent chacun les autres, en montrant un côté du tableau que les autres n'ont pas suffisamment reconnu.

C. 18. Problèmes éthiques des mathématiques antithéistes : motif, norme et objectif

Enfin, mentionnons en passant que les mathématiques antithéistes n'ont pas de fondements éthiques satisfaisants, pas plus qu'elles n'ont de fondements métaphysiques ou épistémologiques. Aucune pièce de mathématiques ne peut être écrite, aucun mathématicien ne peut jamais opérer, sans un motif, une norme et un objectif implicites ou explicites pour le travail. Un mathématicien peut être motivé par l'égoïsme, par la peur, par l'altruisme ou par le Seigneur, il peut travailler pour de l'argent, par pur plaisir ou pour la gloire de Dieu. Mais personne ne fait jamais de mathématiques sans avoir ce genre de facteur en arrière-plan. De plus, ses motivations, ses normes et ses objectifs affecteront inévitablement le type de problème sur lequel il choisit de se concentrer, le poids relatif qu'il accorde aux mathématiques pures par rapport aux mathématiques appliquées, les normes qu'il se fixe dans son enseignement et son écriture, la façon dont il partage son temps. entre l'enseignement et la recherche, etc. La personne qui considère de tels facteurs comme « étrangers » aux véritables affaires des mathématiques a déjà perdu de vue l'accent biblique constant sur le travail de l'homme comme le travail de l'homme qui se tient devant son Créateur : « rendez service avec une bonne volonté quant au Seigneur et non aux hommes, sachant que quel que soit le bien que quelqu'un fasse, il le recevra encore du Seigneur, qu'il soit esclave ou libre (Eph. 6:7-8). Pour une discussion plus approfondie du point de vue biblique, voir §26.

Puisque la théorie éthique antithéiste est empêtrée dans les mêmes antinomies dans le domaine des mathématiques que dans tout autre domaine de la vie, nous n'avons pas besoin de développer ici l'excellente discussion de l'éthique par Van Til. 31

III. Une vision chrétienne-théiste des mathématiques

Jusqu'à présent, notre discussion s'est développée dans une direction principalement négative, parce que nous nous sommes occupés d'une critique des points de vue « neutralistes » (§§1-10) et antithéistes (§§11-18) des mathématiques. Cependant, il est difficilement possible d'apprécier la vraie pauvreté de telles vues sans une réflexion sur ce à quoi ressemblerait une vue vraiment biblique des mathématiques. Nous nous tournons maintenant vers cette tâche.

Conformément à notre critique précédente des fondements métaphysiques antithéistes (§§8, 16, 17), épistémologiques (§§9, 12-15) et éthiques (§§10, 18), nous proposons de discuter du point de vue biblique. aussi en termes de métaphysique (§§19-21), d'épistémologie (§§22-25) et d'éthique (§26). Naturellement, les fondements bibliques dans ces trois domaines se chevauchent et se complètent, nous reprenons les thèmes un à un afin de mettre en relief plus audacieusement les contrastes radicaux entre les vues théistes et antithéistes.

Dans la discussion qui suit, nous n'essayons pas d'utiliser les mathématiques (ou d'autres sciences) comme une sorte de "preuve" ou de support pour la Bible. Au contraire, à l'inverse, nous maintenons que ce n'est que sur la base d'une écoute obéissante de la Parole de Dieu que nous pouvons trouver un fondement approprié pour les mathématiques ! C'est Dieu qui soutient les mathématiques, et non l'inverse.

UNE. Métaphysique chrétienne des mathématiques, fondée dans l'Être de Dieu

19. Ontologie

Quel est le statut métaphysique des nombres et des affirmations sur les nombres ? Quel est le statut de la géométrie ? Quelle est la signification des mathématiques dans ce monde ? Pour le chrétien engagé dans l'Écriture, le fait le plus important concernant les mathématiques doit être leur relation avec le Seigneur. Puisqu'Il est Créateur et Souverain sur tout, tout doit trouver son sens, oui, son existence même en Lui : « en lui nous vivons, nous mouvons et avons notre être » (Actes 17 :28). “A toi, ô Seigneur, est la grandeur, et la puissance, et la gloire, et la victoire, et la majesté pour tout ce qui est dans les cieux et sur la terre est à toi le royaume, ô Seigneur, et tu es exalté comme chef au-dessus de tout (I Chron. 29:11).

De plus, la distinction ontologique la plus fondamentale dans l'Écriture est entre Dieu d'une part et Ses créatures de l'autre (cfr. Ésaïe 43:10-13). C'est pourquoi Van Til parle de la distinction Créateur-créature comme étant à la base de toute pensée chrétienne, et Vollenhoven fait de la manière dont les philosophies séparent Dieu et l'univers son critère le plus fondamental pour la classification taxonomique. 32 Si nous ne savons pas qui est Dieu, si nous

identifier une partie de la création avec Dieu ou une partie de Dieu avec la création, nous sommes coupables d'idolâtrie grave.

Par conséquent, la question la plus fondamentale à se poser sur la structure et les lois mathématiques est la suivante : sont-ils des aspects de la création ou de Dieu ? Sont-ils, pour ainsi dire, des choses créées ou Dieu, ou sont-ils peut-être dans une troisième catégorie ? Cette question est encore ambiguë, car sa réponse dépend de ce que nous entendons par « mathématiques ». Les « mathématiques » peuvent faire référence à (a) la science en croissance historique qui se manifeste dans les manuels, les articles, les conférences, les cours, etc. (b) les pensées des mathématiciens ou (c) la structure mathématique du monde, existant en quelque sorte indépendamment de nos pensées (deux pommes et deux pommes faisant de quatre pommes deux points distincts déterminant une ligne unique entre elles, etc.). Les mathématiques (a) consistent clairement en [les choses créées et les activités des hommes créés les mathématiques (b) consistent en des pensées humaines qui, en tant que telles, n'ont jamais de statut divin (Ésaïe 55:8-9 Ps. 147:5). Nous aurons plus à dire sur (a) et (b) aux §§22, 24.

Pour l'instant, concentrons-nous sur les mathématiques (c). Puisque les mathématiques (c) concernent les propriétés de créé choses, on pourrait être tenté à première vue de dire, « les mathématiques (c) sont créées. » Cependant, la Bible, tout en parlant à plusieurs reprises de Dieu ayant créé les choses (minéraux, plantes, animaux, hommes, anges), ne parle apparemment jamais de Dieu ayant créé des structures ou des lois. Une petite réflexion nous montre que ce n'est pas un hasard. La Bible ne représente jamais le monde comme étant gouverné par des lois en tant que telles, indépendantes du Créateur, mais plutôt par les décrets du Roi, par Dieu Lui-même qui parle (cf. Gen. 8:22-9:7 Jer. 33:25 Ps. 33 :6-11, 18-22 147 :15-20). Parce que Ses décrets sont conformes à qui Il est (Ps. 19:7-9), nous nous attendons à ce qu'ils soient sages et ordonnés (Ps. 104:24 Prov.8:22-31 Rom. 11:33-36).

Il en est ainsi des mathématiques (c). Dieu lui-même a un numérique nature. Il est trois en un. Il est intéressant de noter que Jésus utilise le pronom pluriel "nous" (Jean 17:21 cf. Jean 14:23) et le pluriel "nous sommes" (esmen, Jean 10:30) en parlant du Père et du Fils. Les mathématiques (c) sont éternelles parce que le Père, le Fils et le Saint-Esprit (3!) sont éternels (Jean 1:1 17:5 Héb. 9:14). Et la nature numérique éternelle de Dieu se manifeste dans la création tout comme son amour, sa sagesse et sa justice sont manifestés.

Suivant le “modèle” de Sa propre pluralité, Il crée le monde en tant que pluralité : 𔄘 Seigneur, comment collecteur [Héb., beaucoup] sont tes œuvres ! Tu les as faits avec sagesse, toute la terre est pleine de tes créatures (Ps. 104:24). Ce verset fait remonter la nature plurielle des œuvres de Dieu à sa sagesse. Et, en dernière analyse, la sagesse de Dieu s'incarne en Jésus-Christ, « en qui sont cachés tous les trésors de la sagesse et de la connaissance » (Col 2:3), « en qui Dieu a fait notre sagesse, notre justice et sanctification et rédemption” (I Cor. 1:30). Jésus donne son invitation dans un langage utilisé auparavant, dans l'Ecclésiastique, par la sagesse personnifiée

(Matt.11:25-30 cf. Sir. 24:25 [19] 51:23-26). 33 Parce que depuis le commencement, le Fils est la sagesse personnelle de Dieu. Dieu n'a pas besoin de consulter quelqu'un d'autre (Ésaïe 40:13-14). Ainsi nous sommes fondés à dire que la pluralité de ce monde (les œuvres de Dieu) trouve sa base dans la pluralité de la communion du Père et du Fils. Et Psaumes 104:24 indique également une origine pour unité dans ce monde quand il parle de la sagesse du une Seigneur. Parce qu'il n'y a qu'un seul Seigneur, il y a une cohérence intérieure dans tout ce qu'Il fait. La sagesse s'exprime dans la règle ordonnée, dans la justice, dans l'amour et la haine proportionnés (Prov. 8:13-17).

En disant 𔄙 + 1 = 2” nous énonçons ainsi une vérité sur la Trinité : une vérité sur la Sagesse de Dieu, et ensuite, secondairement, une vérité sur le monde qu'Il gouverne. (Notez, cependant, que puisque la Trinité et la Sagesse de Dieu sont incompréhensibles, les propres mathématiques de Dieu, pour ainsi dire, ne nous sont pas accessibles dans toute leur plénitude. Nous ne pouvons pas supposer que nos mathématiques (b) sont nécessairement tous vrais ou exactement équivalents aux mathématiques de Dieu. Comme cela est loin d'une vision « neutraliste » des mathématiques, qui suppose que les mathématiques n'ont rien à voir avec Dieu !

De ce point de vue, les philosophies antithéistes des mathématiques peuvent être classées comme des versions mathématiques des anciennes hérésies. Une stricte a priori vue des mathématiques (§12), soulignant que la vérité mathématique (b) doitêtre ce qu'elle est, est coupable de niveler la distinction entre l'esprit divin et l'esprit humain. Qu'est-ce que a priori car Dieu - à savoir les mathématiques (c) - n'est pas a priori pour nous. Nous ne pouvons pas infailliblement raisonner sur des résultats mathématiques, car l'esprit de Dieu est différent du nôtre. Le processus de nivellement se termine en disant que Dieu doit se conformer à notre a priori mathématiques, aboutissant au trithéisme.

Ensuite, une stricte a postériori Le point de vue des mathématiques (§13), soulignant le caractère contingent des vérités mathématiques (§16), est coupable d'ignorer la fixité de la nature numérique de Dieu. Ce point de vue se termine en disant que Dieu n'est pas mathématique, ce qui entraîne un monisme mystique.

Enfin, une vision conventionnaliste des mathématiques (§14), mettant l'accent sur le rôle de la postulation humaine en mathématiques, est coupable d'ignorer le rôle de Dieu dans la détermination de la structure mathématique. Ce point de vue finit donc par nier efficacement l'activité de Dieu dans le monde, c'est-à-dire l'athéisme pratique. Peut-être que la disposition de notre époque à l'athéisme pratique est un facteur majeur

derrière la préférence généralisée pour une certaine vision conventionnaliste. 34

Notons aussi que la vision biblique résout, de façon tranchée, le problème du sens de 𔃲 + 2 = 4’ par rapport à d'autres vérités (§16). 𔃲 + 2 = 4’ trouve son sens ultime et son intégration dans la plénitude immuable de la Communauté Divine Trinitaire. Parce que Dieu est immuable, la vérité de 𔃲 + 2 = 4’ n'est pas altérée par la prochaine découverte humaine.

20. Modalité

Quelles sont les caractéristiques de la vérité mathématique, par opposition à d'autres types de vérité ? Comment les mathématiques sont-elles liées aux autres sciences ? En répondant à de telles questions, nous devons naturellement nous éloigner du témoignage direct de la Bible. Pourtant, la Bible semble nous présenter des motifs pour une division préliminaire des sciences dans Genèse 1:28-30. Là, Dieu divise Sa création en quatre groupes principaux : minéral, végétal, animal et homme et Il instruit Adam sur certaines des caractéristiques et fonctions de chaque groupe. En étudiant de tels traits caractéristiques, Adam ferait des débuts dans les sciences de la physique, de la biologie, de la zoologie et de l'anthropologie. Voir le schéma 1.

Au fil du temps, nous nous attendons à ce que de nouvelles divisions majeures se dessinent au sein de ces sciences.Pour une analyse détaillée des grandes divisions, nous renvoyons le lecteur aux travaux de la philosophie d'Amsterdam et de l'auteur. 35 Pour nos fins présentes, bornons-nous à une division de la physique. Les choses physiques partagent avec les plantes, les animaux et l'homme non seulement des caractéristiques dites physiques (relations de force, rigidité ou non-rigidité, énergie, etc.), mais aussi des caractéristiques cinématiques (vitesse, mobilité), des caractéristiques spatiales (extension, aire ou volume, forme), des caractéristiques quantitatives (combien ?) et des caractéristiques agrégatives (être des membres potentiels de divers agrégats (ou collections). Ainsi, nous obtenons le diagramme 2. Les quatre dernières sciences du diagramme 2 comprennent conjointement les mathématiques.

Il est maintenant facile de voir que l'unité et la pluralité des sciences surgissent

caractéristiques ou aspects Royaume activités dans Gen 1:28-30 la science
anthropologique Hommes domination (28) anthropologie
zootique animaux locomotion, souffle zoologie
biotique les plantes vert, servant de nourriture (30b) la biologie
physique minéraux, choses physiques soutien physique (30a)
zone spatiale (28)
la physique

caractéristiques ou aspects activité la science
physique avoir de l'énergie la physique
cinématique en mouvement cinématique
spatial avoir une extension géométrie
quantitatif avoir un nombre arithmétique, algèbre élémentaire
agrégatif être distinct agorologie = théorie des ensembles élémentaire

de la même Source fondamentale que l'unité et la pluralité au sein des mathématiques : de la nature de Dieu et de Son plan. En particulier, les propriétés cinématiques, spatiales et agrégatives de ce monde peuvent être retracées à la nature de Dieu, d'une manière similaire à ce que nous avons déjà fait pour l'aspect quantitatif. De même que Dieu a une nature numérique (la Trinité), ainsi Il a une nature cinématique, spatiale et agrégative. Bien sûr, en utilisant un langage sur la nature de Dieu, nous devons faire preuve de prudence. Dieu en tant que Créateur est finalement incompréhensible pour la créature. Aucun homme ne peut tout comprendre de Dieu. Ainsi, nous nous attendons à ce que la nature agrégative, quantitative, spatiale et cinématique de Dieu soit, d'une certaine manière, incompréhensible pour nous. Les analogies créées s'effondrent inévitablement, car elles ne sont que fini images de l'Infini. Dans le cas de la nature numérique de Dieu, cela est évident. Dieu est trois personnes, mais en même temps Une Dieu. Jésus peut dire, “Moi et le Père sont un” (Jean 10:30). Aucune chose créée n'est trois et en même temps une de la même manière sublime. Nous verrons également que la nature agrégative, spatiale et cinématique de Dieu n'est strictement analogue à rien dans ce monde créé. C'est peut-être l'une des raisons pour lesquelles les gens ont (à tort) eu tendance à nier que la nature de Dieu avait quoi que ce soit à voir avec l'espace ou la cinématique.

Premièrement, Dieu a un agrégatif nature, en ce sens que les diverses Personnes de la Divinité, et Ses attributs, sont distingué l'un de l'autre. C'est le fondement éternel de la science de la théorie des ensembles. “Que vos cœurs ne soient pas troublés, croyez en Dieu, croyez également en moi” (Jean 14:1). « Et je prierai le Père, et il vous donnera une autre Conseiller, pour être avec vous pour toujours” (14:16). “Celui qui ne m'aime pas ne garde pas mes paroles et la parole que vous entendez est ne pas le mien mais les Pères qui m'ont envoyé (14:24). Les noms personnels Père, Fils et Esprit impliquent déjà qu'il existe des « agrégats » distincts au sein de la Divinité. L'incompréhensibilité de la nature agrégative de Dieu est exprimée par des faits tels que l'habitation mutuelle des membres de la Trinité et l'interpénétration des attributs. “Ne croyez-vous pas que je suis dans le Père et le Père en moi ? Les paroles que je vous dis, je ne les dis pas de ma propre autorité mais le Père qui habite en moi fait ses oeuvres. Croyez-moi que je suis dans le Père et le Père en moi ou bien croyez-moi à cause de la
œuvres elles-mêmes” (Jean 14:10-11). D'une manière ou d'une autre, nous constatons que tous les membres de la Trinité participent, à leur manière, même aux œuvres que nous associons le plus distinctement à un membre particulier de la Trinité. Dans un certain sens, les membres de la Trinité sont ne pas distingué, parce qu'il n'y a qu'un seul Seigneur (Deut. 6:4-5).

Deuxièmement, Dieu a une nature spatiale. Cela s'exprime, d'abord, dans les enseignements sur Dieu remplissant le ciel et la terre : « Un homme peut-il se cacher dans des endroits secrets pour que je ne puisse pas le voir : dit le Seigneur. N'ai-je pas remplirle ciel et la terre? dit le Seigneur” (Jér. 23:24). “Dans lui, nous vivons, bougeons et avons notre être (Actes 17:28). Voir aussi I Rois 8:23,27 Ésaïe 66:1-2 Actes 7:46-50 et les passages traitant de Dieu logement avec Son peuple, Deutéronome 4:7,39 Esaïe 57:15 66:2 I Corinthiens 6:19 Romains 8:9-11. Notez le fort accent sur le fait que l'espace n'offre aucune résistance ou problème à la règle de Dieu, mais plutôt que Dieu est le Seigneur de l'espace, faisant ce qu'il veut en son sein.

Pourtant, on peut se demander si les expressions ci-dessus de l'Écriture n'expriment que Dieu relation au monde créé, sans impliquer quoi que ce soit sur ce que Dieu est en Lui-même, ou était avant que le monde ne commence. Quelques expressions de l'Écriture semblent aller au-delà du monde créé dans l'éternité. “Regarde du ciel et vois, de ta sainte et glorieuse habitation” (Ésaïe 63:15). “Car ainsi dit celui qui habite éternité, dont le nom est Saint: j'habite dans le lieu haut et saint,…” (57:15). Ces passages disent que Dieu n'était pas sans “lieu d'habitation” ou “habitation” avant le commencement du monde. 36 En effet, l'éternel

la stabilité de la propre habitation de Dieu constitue le fondement de son être l'habitation du croyant : “Seigneur, tu as été notre demeure endroit dans tout générations. Avant que les montagnes ne soient faites, ou que tu aies formé la terre et le monde, même d'éternité en éternité, tu étais Dieu (Ps. 90:1-2).

De même, certains des passages parlant des relations de la Trinité parlent de façon distincte spatial termes. Il y a des expressions d'habitation (Jean 14:10-11 Col. 1:19 2:9) des expressions de relation face à face : “Au commencement était la Parole, et la Parole était avec Dieu, et la Parole était Dieu” (Jean 1:1). “Personne n'a jamais vu Dieu le Fils unique, qui est au sein de le Père, il l'a fait connaître "(Jean 1:18) et des expressions de “procédant”: “Mais quand le conseiller viendra, que je envoyer à toi de le Père, l'Esprit de vérité, qui produit de le Père, il me rendra témoignage (Jean 15:26). Encore une fois, nous rencontrons des relations intra-trinitaires incompréhensibles, car, si le Père et le Fils remplissent tout et sont en tout (Eph. 1:23 4:6 Jer. 23:24), l'Esprit peut difficilement procéder du Père. dans un sens facilement compréhensible.

Mais, au lieu d'exiger de Dieu qu'il corresponde à nos idées dérivées de cette créé monde, nous devrions plutôt voir que, à l'inverse, l'« espace » de nos mathématiques (b) est dérivé de l'empreinte, sur les choses finies, de la règle gouvernante de Dieu. L'étendue spatiale et physique de ce monde est utilisée dans les Écritures comme un pointeur vers l'immensité originale et incréée de Dieu (Ésaïe 40:12,26 Ps. 104:25).

Troisièmement, Dieu a une nature cinématique. Nous entendons cela dans le sens que Dieu est le propre éternel activité, Son "mouvement", si vous voulez, forme la base métaphysique et l'origine de l'activité et du mouvement créés. “Il [le Fils] reflète la gloire de Dieu et porte le sceau même de sa nature, respecter l'univers [littéralement, portant toutes choses par sa parole de puissance]” (Hébreux 1:-3). “En lui, selon le dessein de celui qui accomplit toutes chosesselon le conseil de sa volonté (Eph. 1:11). L'activité du Seigneur s'exprime d'une grande variété de manières : Il vit (Deut. 32:39-42 Isa. 8:19), Il se repose (Activité physique ? : Gen. 2:1-3) , Il est ému (activité émotionnelle : Gen. 6:6), Il parle (activité linguale : Ps. 33:9 147:4 Deut. 4:12-13),
Il juge (activité juridique : Ps. 75:2-8).

Sans aucun doute, la plupart de ces descriptions se concentrent sur la relation de Dieu avec ce monde créé, plutôt que sur ce qu'Il est en Lui-même. Mais les activités au sein de la Trinité ne peuvent pas être réduites à seulement activités au sein du monde créé, sans tomber dans le modalisme. Par exemple, “Dieu est amour” (I Jean 4:16), et le Père aimé le Fils avant même la fondation du

monde (Jean 3:35 Prov. 8:30-31 Col. 1:13-16). De même, pour utiliser une autre image de l'Écriture, le Père a été Parlant de toute éternité, en communion trinitaire (Jean 1:1-2). L'activité éternelle de Dieu et son « mouvement » de parler et d'aimer sont à l'origine des mouvements, et donc du caractère cinématique de ce monde : « Il envoie son commander à la terre son mot court rapidement. Il donne de la neige comme de la laine, il disperse du givre comme de la cendre. Il jette sa glace comme des morceaux qui résistent à son rhume ? Il envoie son mot, et les fait fondre, il fait souffler son vent, et les eaux coulent. Il >déclare le sien mot à Jacob, ses statuts et ses ordonnances à Israël. Il n'a traité ainsi avec aucune autre nation qu'ils ne connaissent pas ses ordonnances. Louez le Seigneur !” (Ps. 147 : 3,5-20). Notez le lien de sa parole à la fois avec les mouvements des choses physiques et avec son amour pour Israël son fils (un amour qui s'accomplit dans son amour pour le Fils unique).

Encore une fois, comme dans le cas d'autres aspects de la nature de Dieu, la « nature cinématique » de Dieu est incompréhensible. En même temps que Dieu est si actif, Il est également immuable (Mal. 3:6 Ps. 102:27). Sa parole est fixé(Ps.119:89) il ne passe jamais (Luc 21:33). Ainsi Dieu lui-même forme le fondement, non seulement pour le changement dans le monde (Il le décrète de Sa propre activité), mais aussi pour la stabilité du monde (Lui et Ses décrets ne changent pas).

21. Structurellement

Quelle est la relation entre les quatre grandes subdivisions des mathématiques (schéma 2) ? Entre les mathématiques et les autres sciences ? Y a-t-il, en effet, une relation constante (§17) ? De telles questions doivent finalement recevoir une réponse dans les mêmes termes que nos questions précédentes sur l'unité et la pluralité (§§16,19). Les sciences trouvent leur unité dans la Sagesse personnelle de Dieu (Ps. 104:24). “Il est avant toutes choses, et en lui toutes choses tiennent ensemble” (Col. 1:17). C'est pourquoi les mathématiques s'appliquent à la physique. C'est pourquoi les lois fondamentales de la physique ont une forme si simple. Nous espérons que les mathématiques continueront à s'appliquer à la physique, non pas à cause d'une foi aveugle (§17), mais par conviction que les lois de la physique et des mathématiques sont simplement deux manières différentes par lesquelles le Christ gouverne l'univers de manière globale.

Nous pouvons poser des questions similaires sur les divisions principales au sein des mathématiques. Pourquoi les théorèmes de l'algèbre élémentaire et de la théorie des ensembles devraient-ils s'appliquer à la géométrie et à la cinématique ? Pourquoi, par exemple, devrait-on être capable de prouver l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle Soit par des moyens géométriques directs, ou alors par un algébrique calcul en géométrie analytique des cosinus des angles de base ? De même, des travaux d'arithmétique et de théorie des nombres peuvent être effectués Soit en termes directs, quantitatifs, ou en termes de théorie des ensembles (à partir, disons, des axiomes de l'ensemble de Zermelo-Fraenkel-

théorie). L'aire sous les courbes peut être calculée, Soit par approximation géométrique directe, ou alors par calcul algébrique d'une intégrale définie, dont la définition implique une cinématique limite le processus. Les raisonnements dans différentes parties des mathématiques (agorologie = théorie des ensembles élémentaires, arithmétique, géométrie, cinématique [y compris le calcul différentiel et intégral]) s'accordent les uns avec les autres en raison de l'unité de Dieu. Les allers-retours entre les quatre grandes divisions des mathématiques exploitent constamment le fait que ces sciences trouvent leur origine dans la une Sagesse de Dieu.

Parce que Dieu contient à la fois l'unité et la pluralité en lui-même, il n'est pas nécessaire pour nous, dans le cadre chrétien, de recourir aux vaines tentatives de réductionnisme dont nous avons parlé au §17. En fait, les réductionnismes du §17 peuvent être vus comme une sorte de version mathématique d'une vieille hérésie : le gnosticisme. Pourquoi devrions-nous dire cela? Eh bien, en explorant les mathématiques, on explore la nature du règne de Dieu sur l'univers, c'est-à-dire on explore la nature de Dieu Lui-même. Un réductionnisme revient donc en fin de compte à tenter de dériver certains aspects1 de la nature de Dieu sous d'autres aspects2, une tentative de dire que ces derniers aspects2 de la nature de Dieu sont plus fondamentales. Les aspects2, sont alors en quelque sorte ce qui est réellement là, par opposition à la seule existence apparente d'aspects1. Je classe cela comme une hérésie de type gnostique, parce que le gnosticisme développe une théorie des émanations selon laquelle certaines divinités inférieures tirent leur être des émanations de la divinité ultime. Cette dérivation gnostique de l'être n'est pas si différente de la dérivation actuelle des aspects.

B. Une épistémologie chrétienne des mathématiques, fondée sur la connaissance de Dieu

22. L'image de Dieu est un fondement des a priori mathématiques

Comment pouvons-nous connaître et discuter les mathématiques (b), c'est-à-dire les pensées et les connaissances des mathématiciens humains ? Ici, pour la première fois, nous devons nous concentrer sur la vision chrétienne de l'homme. Comment l'homme s'intègre-t-il dans l'image des mathématiques ? Nous ne pouvons avoir d'autre point de départ que la “définition” de l'homme fournie par l'Écriture : l'homme est l'image de Dieu (Gen.1:26-30 cf. Gen. 2:7 I Cor. 11:7). En tant que tel, son discours consiste à imiter de manière réceptive, à un niveau fini, les œuvres (nommer, Gen. 2:19 1:4 gouverner, Gen. 1:28 Ps. 22:28 améliorer, Gen. 2:15 1:31 ), et le repos (Gen. 2:2 Ex. 20:11) de Dieu. L'esprit de l'homme est créé avec le potentiel de comprendre Dieu (mais pas de manière exhaustive). Il a la capacité de comprendre les aspects agrégatifs, quantitatifs, spatiaux et cinématiques du règne de Dieu, puisqu'il est lui-même un dirigeant comme Dieu. Ainsi, il peut généraliser avec confiance de 2 + 2 = 4, etc., à 2 123 955 + 644 101 = 2 768 056.

Nous avons ici le premier pas d'une réponse chrétienne à la question épistémologique

problème de a priori/a posteriori (§§12-15). le a priori la capacité de la nature créée par l'homme correspond vraiment à la a postériori de ce qui est là-bas, parce que l'homme est à l'image de Celui qui a ordonné ce qui est là-bas. En même temps, le raisonnement mathématique de l'homme n'est pas toujours juste, ses attentes intuitives ne sont pas toujours remplies (cf. exemples au §12), car l'homme est l'image de Dieu l'Infini. Puisque Dieu est incompréhensible, ses mathématiques nous déroutent parfois, et il faut s'attendre à ce qu'elles le soient. La preuve de Gödel (§15) articule peut-être un exemple spécifique d'une limitation principale de la connaissance de l'homme par rapport à celle de Dieu.

23. La révélation est un fondement pour les mathématiques a posteriori

Ensuite, nous devrions nous demander comment un homme parvient à connaître des vérités mathématiques qu'il n'a pas connues auparavant. C'est, pourrait-on dire, le a postériori côté des mathématiques. La Bible répond que Dieu révèle aux hommes tout ce qu'ils savent : « Celui qui enseigne aux hommes la connaissance, le Seigneur, connaît les pensées
de l'homme, qu'ils ne sont qu'un souffle. Béni soit l'homme que tu châties, ô Seigneur, et que tu enseignes selon ta loi & #8221 (Ps. 94:10b-12). “Mais c'est l'esprit d'un homme, le souffle du Tout-Puissant, qui [le fait comprendre. Ce ne sont pas les vieux qui sont sages, ni les vieux qui comprennent ce qui est juste (Job 32:8-9 cf. Prov. 8). L'instruction du Seigneur vient parfois, bien sûr, par le biais d'une révélation "naturelle" (Ps.19 Esaïe 40:26 51:6 Prov. 30:24-28). On peut ainsi rendre justice à la réelle nouveauté que l'on trouve parfois dans un nouveau théorème mathématique.

Notons que, dans le cadre chrétien, le a priori de la nature humaine et de la a postériori de l'univers de Dieu et de sa révélation se complètent plutôt qu'ils ne se concurrencent.

24. Excursus sur les limites des mathématiques humaines

C'est peut-être un bon point pour explorer davantage la relation entre les mathématiques humaines et divines. Quand Dieu se révèle, il se révèle véritablement, mais pas de manière exhaustive. C'est une limite. Dans le cas des mathématiques, notre connaissance est également limitée par le fait que nous voyons les effets des décrets de Dieu et que nous nous prononçons sur un fini monde, sans avoir un accès direct (sauf dans le cas des déclarations de l'Écriture) à ces décrets et à cette règle elle-même.

Prenons le cas de la géométrie. Bien que Dieu ait une nature spatiale (§20), il serait blasphématoire de dire qu'Il a les propriétés de l'espace euclidien (ou non euclidien). Nos propres systèmes mathématiques (euclidiens ou non euclidiens) ne sont en quelque sorte pas identiques à son « système ». Nous devons dire, je pense, que les géométries euclidiennes et non euclidiennes sont tous les deux expositions (révélations) de la façon dont Dieu pourrait gouverner le monde pour les deux découvertes ou constructions de l'esprit humain dans le image de Dieu.

Vraisemblablement, Dieu aurait pu créer un univers avec une géométrie euclidienne ou non euclidienne ou une autre géométrie. Ainsi la variété des géométries, loin de faire obstacle au point de vue chrétien, est simplement une illustration de la liberté de Dieu.

La géométrie euclidienne (en tant que système d'énoncés) est-elle le Créateur ou la créature ? Dans un certain sens les deux. L'argument ci-dessus montre que, dans un certain sens, la géométrie est relative à ce monde (et donc créée). Maintenant, prenons l'affirmation G selon laquelle entre deux points distincts, il y a exactement une ligne droite. (Ou, également, que la somme des angles dans un triangle est de 180°.) Supposons que G soit réellement vrai dans notre monde. Alors il est juste de dire que G exprime l'une des lois de la création de Dieu. G est l'une de ces choses que Dieu a ordonnées pour être vraies pour ce monde (Lam. 3:37).Après tout, nous ne pouvons pas imaginer que G puisse être vrai pour une autre raison que parce que Dieu l'a ordonné. Il est Seigneur ! Comment pourrions-nous connaître G autrement qu'en reflétant (§22) la connaissance originelle de Dieu que G ? De plus, les décrets de Dieu, Son discours, Sa Parole (Ésaïe 46:9-12) disent qui Dieu est (Jean 1:1). G dit qui est Dieu. Pourtant, G n'est pas dans tous les sens identique à Dieu.

La solution à ce paradoxe devrait vraisemblablement être parallèle au phénomène de l'Incarnation. Jésus est Dieu, mais Dieu en chair et en os. La Bible c'est Dieu qui parle en hébreu, araméen et grec. Est-il approprié, parallèlement, de dire que G est une description de Dieu gouvernant cette fini monde spatial ? Je pense que oui. G participe des caractéristiques du fini et du créé (il inclut
référence à des points, des lignes et des degrés) et des caractéristiques de l'Infini (il est immuable). Parfois (comme c'est d'ailleurs le cas avec l'Incarnation) le créé et l'Incréé ne peuvent pas être facilement distingués.

25. L'unité de la race et le don de la langue sont les fondements de la science publique

L'existence d'une science des mathématiques dépend de la capacité des hommes à communiquer entre eux et de la disponibilité d'un moyen de communication. Ces deux facteurs remontent à la création. Les hommes ont une origine raciale (Actes 17:26), ils partagent une nature commune (la
image de Dieu, Gen. 1:26-27 5:1-3), et ils ont reçu le don de la langue dans le cadre de leur équipement pour accomplir le mandat culturel (Gen. 2:19-23). Cela nous fournit des motifs suffisants pour croire aujourd'hui que les autres nous comprennent et que notre langue est adéquate à la tâche culturelle que Dieu nous a confiée (cf. §26).

Nous avons également une réponse à notre question précédente, §1, pourquoi la science a tant d'accord malgré les différences religieuses. Les hommes ne peuvent cesser d'être à l'image de Dieu, même s'ils se rebellent contre Lui (Genèse 3:5,22). Ils imitent Dieu dans l'obéissance ou l'imitent en essayant de devenir leur propre seigneur. Ils ne peuvent pas non plus échapper à l'impulsion d'accomplir, dans certains

façonner le mandat culturel de Genèse 1:28-30. Ainsi, malgré eux, ils reconnaissent Dieu en quelque sorte en « l'imitant ». C'est la situation décrite dans Romains 1:18-22 Jacques 2:19.

Par conséquent, les non-chrétiens, à l'image de Dieu, peuvent apporter et apportent des contributions significatives aux mathématiques. Ils peuvent connaître de nombreuses vérités mathématiques. Comme nous l'avons vu aux §§19-21, en connaissant la vérité mathématique, ils connaissent quelque chose de Dieu (mais pas de manière exhaustive, et par endroits à tort). Néanmoins, leur "connaissance" ne leur est pas plus bénéfique que la connaissance des démons (Jacques 2:19). Par conséquent, chrétiens et athées, voire toutes sortes de personnes religieuses, partagent des vérités mathématiques, mais pour tous les non-chrétiens, ce n'est que malgré leur système. Il est car Christianisme est vrai, car Dieu est qui il est, car l'homme est à l'image de Dieu, le non-chrétien sait tout. 37 Le prétendu « terrain d'entente » de la vérité mathématique partagée prouve le contraire de ce que le neutraliste suppose qu'il prouve.

26. Une éthique chrétienne des mathématiques, fondée sur la justice de Dieu

Enfin, nous donnons un bref aperçu de la façon dont l'éthique biblique s'applique au travail en mathématiques. Un chrétien reconnaît qu'il vit sous la seigneurie de Dieu, la lumière des commandements présents de Dieu et le jugement à venir de Dieu. Il voit que, comme dans le cas d'Abraham et de la nation d'Israël, toute sa vie – conjugale, politique, économique, sociale, spatiale – doit être structurée et déterminée par sa relation d'alliance avec Dieu. Toute la vie devrait être une réponse de service à Dieu (I Cor. 10:31).

Ainsi, le travail en mathématiques ne peut avoir de pertinence pour le chrétien que dans la mesure où il est motivé par l'amour de Dieu, commandé par la loi de Dieu, et dirigé vers la gloire de Dieu et la consommation de son royaume. Tels sont le motif, la norme et le but du travail dans
mathématiques 38 (cf. le point de vue non-chrétien au §18).

Pour être plus précis, nous devons prendre en compte le fait que les hommes ont une diversité d'appels (I Cor. 7:17-24). Tous les hommes ne sont pas appelés à être des spécialistes en mathématiques. Pour celui qui se spécialise ainsi, en utilisant les dons que Dieu lui a donnés (Luc 19 :11-26 I Pierre 4 :10), comment
L'éthique chrétienne s'impose-t-elle ? Comment le motif, la norme et le but bibliques devraient-ils l'affecter ? (a) Le mathématicien devrait être motivé par la loyauté de Dieu pour comprendre les vérités mathématiques que Dieu a ordonnées pour ce monde (et ainsi comprendre quelque chose de la nature mathématique de Dieu, §19) l'amour du prochain devrait également le motiver à appliquer les mathématiques à la physique, à l'économie, etc. (b) Le mathématicien doit

trouvez sa norme dans le commandement de Dieu, le programme que Dieu a donné à l'homme d'accomplir : « Soyez féconds et multipliez-vous, remplissez la terre, soumettez-la et dominez. » . .” (Gen. 1:28). Une partie de ce programme est que l'homme doit comprendre les œuvres de Dieu (Gen. 2:18-23). (c) Le mathématicien doit travailler pour la gloire de Dieu. Il doit louer Dieu pour la beauté et l'utilité qu'il trouve dans les mathématiques, pour la nature incompréhensible de Dieu qu'elles manifestent, pour l'esprit humain que Dieu a permis de comprendre les mathématiques (Ps. 145 148). Et il doit s'efforcer de montrer toujours plus pleinement et clairement aux autres que « de lui et à travers lui et pour lui sont toutes choses. A lui soit la gloire pour toujours. Amen » (Rom. 11 :36).

Nous avons l'intention, par la description ci-dessus, de délimiter non seulement ce que devraient être les attitudes intérieures d'un mathématicien, mais aussi ce que son travail, ses mots et ses écrits devraient exprimer ouvertement et secrètement. Les mots d'un homme expriment normalement ce qu'il est : " Car c'est de l'abondance du cœur que la bouche parle. L'homme bon de son bon trésor produit le bien, et l'homme méchant de son mauvais trésor produit le mal. Je vous le dis, au jour du jugement, les hommes rendront compte de chaque parole imprudente qu'ils prononcent par votre mots vous serez justifié, et par votre mots vous serez condamnés & #8221 (Matt. 12:34b-37). Si un homme travaille pour la gloire de Dieu, il ne sera pas un croyant "secret", il le dira en parlant de mathématiques. À quel point c'est loin d'une position “neutraliste” ! L'homme qui ignore Dieu alors qu'il accomplit sa tâche mathématique n'est pas neutre, mais rebelle et ingrat envers le Donneur de tout son savoir.

1 Les présupposés anti-bibliques de déclarations agnostiques d'apparence innocente ont longtemps été la cible de critiques pénétrantes de Van Til's. Voir, par exemple, Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, Volume II de la série In Defence of Biblical christianisme (Philadelphie : den Dulk Foundation, 1969), pp. 212-213.

1a Face au postulat de neutralité, nous sommes par non signifie prôner une « relativité de la vérité » qui dirait que ce qui est vraiment vrai dépend de l'observateur. Au contraire, la vérité est (par définition) ce que Dieu sait, et donc complètement fixée dès le commencement. C'est ce que nous supposons. Cependant, dans les parties I et II, et en particulier dans la partie I, nous voulons nous concentrer sur ce que gens croire et connaître la vérité mathématique. Lequel les vérités qu'ils connaissent et ce qu'ils en font dépendent de leurs convictions religieuses.

2 William K. C. Guthrie, Une histoire de la philosophie grecque, vol. II (Cambridge : aux University Press, 1967), p. 30.

3 « Dans la pensée, faut-il en tenir compte,/Ici n'y a de pluralité nulle part/Par la mort, il est lié à la mort/Qui contemple ici la pluralité.» Paul Deussen, The Philosophy of the Upanishads, trans, par A. S. Geden (Édimbourg : T. & T. Clark, 1906), p. 232, cité de Brih (adâranyaka) 4.4.19. « Il n'y a pas de pluralité et pas de changement. La nature qui présente l'apparence de la pluralité et du changement n'est qu'une illusion (mâyâ) » (ibid., p. 237).

4 “Il n'y a pourtant dans tout l'univers, aussi bien au ciel que sur terre, rien d'autre que l'atman :-‘Il n'y a pas de seconde en dehors de lui, aucune autre distincte de lui. ibid., p. 157, citation de Brih (adâranyaka) 4.3.23-30. Cf. aussi Sravepalli Radhakrishnan, Indian Philosophy, Vol. 2 (Londres : George Allen & Unwin Ltd., 1927), p. 535.

5 Cornelius Van Til, The Defence of the Faith, révisé et abrégé (Philadelphie : Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1963), pp. 25-26 A Survey of Christian Epistemology, p. 96 et Rousas J. Rushdoony, The One and the Many : Studies in the Philosophy of Order and Ultimacy (Nutley, N. J. : Craig Press, 1971).

6 Thomas S. Kuhn, La structure des révolutions scientifiques, 2e éd. (Chicago : University of Chicago Press, 1970), p. 168 et Michael Polanyi, Personal Knowledge : Towards a Post-Critical Philosophy (Londres : Routledge & Kegan Paul, 1958), pp. 160-167.

7 Arend Heyting, « Disputation », dans Paul Benacerraf et Hilary Putnam, éd., Philosophie des mathématiques : lectures choisies (Englewood Cliffs, N. J. : Prentice-Hall, Inc., 1964), p. 61.

8 “Le . . . point de vue qu'il n'y a pas non expérimenté vérités et que la logique n'est pas un instrument absolument fiable pour découvrir des vérités, a été acceptée en ce qui concerne les mathématiques bien plus tard qu'en ce qui concerne la vie pratique et la science (italique est le mien). Luitzen E. J. Brouwer, “Consciousness, Philosophy and Mathematics,” in Philosophy of Mathematics, p. 78. Notez la corrélation que Brouwer fait entre la « vie » et la « science » d'une part (exprimant une vision religieuse du monde) et les mathématiques d'autre part. Ailleurs, il reconnaît sa dette philosophique envers Kant, “Intuitionism and Formalism,” in ibid., p. 69.

9 Arend Heyting, “Disputation,” in Philosophy of Mathematics , p. 61.

10 Cf. Luitzen E. J. Brouwer, “Intuitionism and Formalism,” in ibid., p. 77, et Arend Heyting, “Disputation,” dans ibid., p. 56, pour une discussion intuitionniste de questions similaires à A et B.

11 Pour une évaluation de la géométrie non euclidienne d'un point de vue chrétien, cf. la discussion dans Dirk H. Th. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde van Theistisch Standpunt (Amsterdam : Mer. G. Van Soest, 1918), pp. 140-147.

12 Cf., par exemple, la discussion dans John J. C. Smart, éd., Problems of Space and Time (New York : The Macmillan Company, 1964).

13 « Est-ce que nous, à la suite de Poincaré, attribuer ces résultats [de l'expérience physique] à l'influence d'une force externe postulée à cet effet ? Ou devons-nous prendre nos découvertes pour argent comptant et accepter la géométrie à laquelle nous sommes conduits comme une géométrie naturelle pour la science physique ? La réponse à cette question méthodologique dépendra en grande partie de l'universalité de la géométrie ainsi trouvée - que la géométrie trouvée dans une situation ou un domaine du discours physique puisse systématiquement être étendue à d'autres - et en fin de compte en partie de la prédilection de l'individu ou de ses collègues ou de son époque.Howard P. Robertson, “Geometry as a Branch of Physics,” in Paul A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist (Evanston, Ill.: The Library of Living Philosophers, Inc., 1949), p. 325.

14 Comparez la discussion au §3.

15 Errett Bishop, Fondements de l'analyse constructive (New York : McGraw-Hill, 1967).

16 Abraham Robinson, Analyse non standard (Amsterdam : North-Holland Publishing Company, 1966).

17 Luitzen E. J. Brouwer, “Consciousness, Philosophy and Mathematics,” in Philosophy of Mathematics, p. 79.

18 Une histoire de la philosophie grecque, vol. moi, p. 265.

19 “Toute 1’entreprise de Leibniz consiste à créer une logique de 1’innni, dont toutes ses doctrines, mathématiques, physiques, métaphysiques, théologiques et morales, ne sont que des aspects divers. Toute l'entreprise de Leibniz consiste à créer une logique de l'infini, dont toutes ses doctrines, mathématique, physique, métaphysique, théologique, et moral, ne sont que divers aspects” (les italiques m'appartiennent). Emile Bréhier, Histoire de la Philosophie, Tome II (Paris : Presses universitaires de France, 1968), p. 210.

20 Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde , p. 188, et Herman Dooyeweerd, Une nouvelle critique de la pensée théorique, vol. II (Philadelphia : Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1969), pp. 45, 87, 340. La philosophie chrétienne de Dooyeweerd considère les antinomies comme une marque certaine de la pensée spéculative qui ne reconnaît pas les limites de la créature (ibid., p. 38).

21 Ici, nous suivons la pratique de Van Til's (par exemple, Une enquête sur l'épistémologie chrétienne, p. 210-223) de décrire les visions du monde non chrétiennes, qu'elles soient « neutres, panthéistes, déistes ou athées, par leurs vraies couleurs. Le seul vrai théisme est celui qui adore et sert le vrai Dieu, le Père de Jésus-Christ (I Jean 2:22-24 II Jean 7-9), le reconnaissant comme Seigneur de tous (I Cor. 8:6 Eph. 1:21 Actes 10:36). Tout le reste est de l'idolâtrie (Rom. 1:22-25). Nous explorerons plus en détail l'importance d'une approche radicalement biblique aux §§19-26.

22 « Quand nous disons que les propositions analytiques [parmi lesquelles Ayer inclut des propositions mathématiques] sont dépourvues de contenu factuel et par conséquent qu'elles ne disent rien, nous ne suggérons pas qu'elles sont insensées de la même manière que les énoncés métaphysiques sont insensés. Car, bien qu'elles ne nous renseignent sur aucune situation empirique, elles nous éclairent en illustrant la manière dont nous utiliser certains symboles” (italique mien). Alfred Jules Ayer, “Le A priori,” dans Philosophie des mathématiques , p. 295. Ce même article contient une discussion sur les points de vue de Mill et Russell sur la connaissance mathématique.

23 Ludwig Wittgenstein, Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik , herausgegeben und bearbeitet von G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscombe (Oxford : Basil Blackwell, 1967), pp. 4,6.

24 “Le A priori,” dans Philosophie des mathématiques , p. 300.

25 Cf., par exemple, Ernest Nagel : « Le choix entre des systèmes alternatifs de principes régulateurs [en logique et en mathématiques] ne sera alors pas arbitraire et aura une base objective le choix ne sera cependant pas fondé sur la prétendue plus grande nécessité d'un système de logique sur un autre, mais sur l'adéquation relativement plus grande de l'un d'eux comme instrument pour parvenir à une certaine systématisation de la connaissance. ” “Logic Without Ontology,” in Philosophy of Mathematics, p. 317.

26 Kurt Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-198 “On formellement indécidable propositions de Principia mathematica et systèmes de traduction anglais par&# B. Meltzer (Édimbourg et Londres : Oliver et Boyd, 1962). Cf. aussi la généralisation de Carnap selon laquelle toute arithmétique formelle est défectueuse. Rudolf Carnap, La syntaxe logique du langage (New York : Harcourt, Brace and Company, 1937), §60d.

27 Kenneth L. Pike, Language in Relation to a Unified Theory of the Structure of Human Behavior , 2e édition révisée (La Haye-Paris : Mouton & Co., 1967).

28 Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, pp. 200-201, 94-99, et The Defense of the Faith, 13-14, 41-46.

29 Albert Einstein, p. 285, cité dans Science, Philosophy and Religion : A Symposium (New York : Harper & Row, 1941). De même, E. P. Wigner appelle cette formulabilité des lois physiques en termes mathématiques un « article de foi » et un « miracle ». . . ce que nous ne comprenons ni ne méritons.” “L'efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles,” Communications on Pure and Applied Mathematics, 13 (I960): 10,14.

30 Dooyeweerd, Une nouvelle critique, vol. II, pp. 47, 91, 103, 106, 385, etc. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde , pp. 20-138, 200-402 Vollenhoven, “Problemen en Richtingen in de Wijsbegeerte der Wiskunde,” Philosophia Reformata 1 (1936): 162-187 DFM Strauss, “Number-Concept and Number-Idea,” Philosophia Reformata 35 (1970): 156-177 et 36 (1971): 13-42.

31 Cornelius Van Til, Éthique Théiste Chrétienne, Vol. III de la série En défense du christianisme biblique (Philadelphie : den Dulk Christian Foundation, 1971).

32 Cornelius Van Til, An Introduction to Systematic Theology (Philadelphie : Westminster Theological Seminary, programme de cours, 1966), pp. 11-12 Dirk H.Th. Vollenhoven, Het Calvinisme en de Reformatie van de Wijsbegeerte (Amsterdam : H. J. Paris, 1933), pp. 50-51.

33 Nous ne croyons pas que Jésus, ou le grand corps de ses contemporains palestiniens, ait en aucune façon pensé à l'Ecclésiaste, ou à d'autres livres soi-disant apocryphes, comme la Parole de Dieu. Néanmoins, ces passages sont intéressants car ils montrent quel genre de réflexion était dans l'air sur la question de la sagesse, et ils montrent le contexte dans lequel les Juifs auraient compris l'appel de Jésus à « venir à lui et à » 8220 prenez son joug. Même s'il pouvait être démontré que Jésus fait spécifiquement allusion à l'Ecclésiastique (plutôt qu'à la tradition de la sagesse juive dont Monsieur est un exemple), cela ne prouverait rien de plus que l'allusion de Paul au grec. poètes dans Actes 17:28.

34 La philosophie de l'idée-loi, ou philosophie d'Amsterdam, tout en se réclamant d'une position radicalement chrétienne, est également victime d'une vieille hérésie-sabellianisme. Selon Dooyeweerd, l'aspect numérique, soumis à des lois mathématiques, n'apparaît que comme l'un des divers aspects de l'ordre cosmique du temps. Une nouvelle critique, vol. Je, p. 3, 24, 29, note de bas de page. 31-32. Et le temps cosmique n'inclut pas Dieu, l'Éternel. Idem., note de bas de page. p. 31. Par conséquent, les propriétés numériques ne peuvent être attribuées à Dieu lui-même. 1 + 1 + 1 = 3, en tant qu'énoncé théorique, ne peut pas parler de Dieu. « Les concepts modaux de lois et de sujet et objet sont essentiellement limités à un aspect particulier. Contrairement à l'Idée cosmonomique, ces concepts modaux ne pointent pas en eux-mêmes au-delà de la diversité de sens vers l'origine transcendante et la totalité. Idem., p. 97.Si ces restrictions sont prises pour argent comptant, elles conduisent à une vision résolument sabellienne (modaliste) de la Trinité. Cf. l'article de l'auteur, "Sabellianism in the Philosophy of the Law-Idea", Philosophia Reformata (à paraître).

35 J. M. Spier, Une introduction à la philosophie chrétienne, 2e éd. (Nutley, N.J. : The Craig Press, 1966), pp. 30-130. Spier popularise la taxonomie de A New Critique ,Vol. II. Cf. aussi Vern Poythress, “An Approach to Evangelical Philosophy of Science,” Th.M. thèse, Westminster Theological Seminary, 1974.

36 Nous ne parlons pas ici du ciel au sens traditionnel du terme, puisque le ciel est un lieu créé (Actes 4:24 Néh. 9:6). Puisque Dieu a tout fait en dehors de Lui (Col. 1:16), Son éternel l'habitation ne peut être rien d'autre que Dieu lui-même. Parce que, dans la communion trinitaire, Il est Lui-même une habitation parfaite, Il n'a pas besoin de créer pour se faire une habitation. En effet, on peut se demander s'il faut placer les guillemets autour notre « habitations », plutôt que Le sien: Son Habitation est l'Originale.

37 La défense de la foi, pp. 154, 159.

38 Pour une discussion approfondie sur le motif, la norme et le but, cf. Éthique théiste chrétienne.


Sous-séquences de séquences de nombres réels

Par exemple, considérons la séquence de nombres naturels $(n) = (1, 2, 3, . )$ . Une de ces sous-séquences des nombres naturels est la séquence de tous les nombres naturels pairs $(2n) = (2, 4, 6, . )$ où $n_1 = 2$ , $n_2 = 4$ , …, $n_k = 2k$ Une autre sous-séquence des nombres naturels est la séquence de tous les nombres naturels impairs $(2n - 1) = (1, 3, 5, . )$ où $n_1 = 1$ , $n_2 = 3$ , … , $n_k = 2k - 1$ .

Notons que dans les deux cas ci-dessus, l'ordre des termes de ces sous-suites est conservé puisque $n_1 < n_2 < . < n_k < . $ . Par exemple, la séquence $(4, 2, 6, 8, . )$ n'est PAS une sous-suite de $(n)$ puisque $n_1 = 4$ et $n_2 = 2$ et clairement $n_1 eq < n_2$ .

Nous allons maintenant examiner quelques théorèmes importants concernant les sous-suites.

  • Preuve: Soit $(a_n)$ une suite convergente telle que $lim_ a_n = A$ . Nous voulons montrer que $lim_ une_ = A$ .
  • Puisque $(a_n)$ est une suite convergente, alors $forall epsilon > 0$ il existe un $N in mathbb$ tel que si $n N$ alors $mid a_n - A mid < epsilon$ . Notons que puisque $n_1 < n_2 < . < n_k < . $ est une suite croissante d'entiers naturels, cela aussi $n_k k$ . Si nous choisissons $k N$ alors nous avons $n_k ≥ k ≥ N$ et donc $mid a_ - Un mid < epsilon$ et donc $lim_ une_ = A$ . $lacksquare$

Le théorème 1 ci-dessus est plus facile à comprendre visuellement. Considérez la séquence suivante $(a_n)$ représentée ci-dessous :

Notez que toute sous-suite de la séquence représentée graphiquement ci-dessus doit également converger vers la même limite $A$ . Ceci est montré avec les deux sous-séquences suivantes tracées. La sous-séquence de gauche est constituée de tous les termes pairs de la séquence d'origine, tandis que la sous-séquence de droite comprend tous les termes impairs de la séquence d'origine :

Avec cette notion à l'esprit, nous pouvons également décrire la queue d'une séquence être une sous-séquence spéciale. Nous notons que si $(a_n)$ est convergent vers $A$ , alors toute $m$ -queue de $(a_n)$ est une sous-suite qui est également convergente vers le nombre réel $A$ .


2.2 : Faits sur les limites des suites - Mathématiques

  • Une séquence est un objet lié au schéma défini par l'utilisateur qui génère une séquence de valeurs numériques.
  • Les séquences sont fréquemment utilisées dans de nombreuses bases de données car de nombreuses applications nécessitent que chaque ligne d'une table contienne une valeur unique et les séquences offrent un moyen simple de les générer.
  • La séquence de valeurs numériques est générée dans un aordre croissant ou décroissant à des intervalles définis et peut être configuré pour redémarrer lorsque dépasse max_value.

Insérez maintenant les valeurs dans la table

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Vérités et mythes sur les cours sans quota

Vérité: Vous devez d'abord vous qualifier pour un CAMPUS avant d'être sélectionné pour le programme menant à un diplôme.

Votre UPG doit d'abord établir la limite d'un campus UP particulier pour lequel vous avez postulé avant d'être considéré pour un programme menant à un diplôme. Si votre UPG n'atteint pas la limite du campus, il ne sert à rien de vous sélectionner pour le programme. Ainsi, CHOISISSEZ judicieusement votre CAMPUS d'abord le cours est secondaire.

Comme indiqué précédemment dans la qualification pour un programme diplômant, si vous vous êtes rendu sur un campus mais n'avez pas atteint la limite du programme, vous obtiendrez un résultat de « Programme diplômant avec emplacement disponible (DPWAS ou DPAS). Le campus dans lequel vous vous êtes qualifié trouvera un programme qui peut vous accueillir.


Voir la vidéo: Calcul de la limite dune suite type bac scientifique S (Octobre 2021).