Des articles

7.1 : Prélude à la géométrie analytique - Mathématiques


Le mathématicien grec Menaechmus (vers 380-vers 320 avant notre ère) est généralement crédité d'avoir découvert les formes formées par l'intersection d'un plan et d'un cône circulaire droit. Selon la façon dont il a incliné l'avion lorsqu'il a croisé le cône, il a formé différentes formes à l'intersection - de belles formes avec une symétrie presque parfaite. Il a également été dit qu'Aristote avait peut-être une compréhension intuitive de ces formes, car il observait que l'orbite de la planète était circulaire. Il présuma que les planètes se déplaçaient sur des orbites circulaires autour de la Terre, et pendant près de (2000) années, c'était la croyance commune.

Ce n'est qu'au moment de la Renaissance que Johannes Kepler a remarqué que les orbites de la planète n'étaient pas de nature circulaire. Sa loi publiée sur le mouvement planétaire dans les années 1600 a changé à jamais notre vision du système solaire. Il a affirmé que le soleil était à une extrémité des orbites et que les planètes tournaient autour du soleil selon une trajectoire de forme ovale. Dans ce chapitre, nous étudierons les figures bidimensionnelles qui se forment lorsqu'un cône circulaire droit est coupé par un plan. Nous commencerons par étudier chacune des trois figures ainsi créées. Nous développerons des équations de définition pour chaque figure, puis apprendrons à utiliser ces équations pour résoudre une variété de problèmes.


Géométrie analytique dans R2

  • Le Principe que j'ai toujours observé dans mes études et qui, je crois, m'a le plus aidé à acquérir les connaissances que j'ai, a été de ne jamais passer plus de quelques heures par jour dans des pensées qui occupent l'imagination, et quelques heures par an dans celles qui occupent l'entendement, et consacrer tout le reste de mon temps à la relaxation des sens et au repos de l'esprit. Quant à moi, je n'ai jamais présumé que mon esprit était en aucune façon meilleur que l'esprit des gens en général . Quant à la raison ou au bon sens, j'incline à croire qu'elle existe entière et complète en chacun de nous, parce qu'elle est la seule chose qui fait de nous des hommes et qui nous distingue des animaux inférieurs. (Descartes)
  • La philosophie est écrite dans le grand livre (j'entends par là l'Univers) qui est toujours ouvert à notre regard, mais elle ne peut être comprise que si l'on apprend d'abord à comprendre la langue et à interpréter les symboles dans lesquels elle est écrite, et ses symboles. sont des triangles, des cercles et d'autres figures géométriques, sans lesquels il n'est humainement possible d'en comprendre ne serait-ce qu'un mot sans que ceux-ci ne se promènent dans un labyrinthe sombre. (Galilée)
  • S'il y a une réflexion à faire dans cette forêt – et quand je dis penser, je veux dire pensée – vous et moi devons le faire.(Milne, La maison à Pooh Corner)


Contenu

Grèce antique Modifier

Le mathématicien grec Menaechmus a résolu des problèmes et prouvé des théorèmes en utilisant une méthode qui avait une forte ressemblance avec l'utilisation des coordonnées et il a parfois été soutenu qu'il avait introduit la géométrie analytique. [1]

Apollonios de Perge, en Sur la section déterminée, traitait des problèmes d'une manière que l'on peut appeler une géométrie analytique à une dimension avec la question de trouver des points sur une ligne qui étaient en rapport avec les autres. [2] Apollonius dans le Coniques a développé une méthode si similaire à la géométrie analytique que son travail est parfois considéré comme ayant anticipé le travail de Descartes d'environ 1800 ans. Son application de lignes de référence, d'un diamètre et d'une tangente n'est essentiellement pas différente de notre utilisation moderne d'un cadre de coordonnées, où les distances mesurées le long du diamètre à partir du point de tangence sont les abscisses et les segments parallèles à la tangente et interceptés entre l'axe et la courbe sont les ordonnées. Il a ensuite développé des relations entre les abscisses et les ordonnées correspondantes qui sont équivalentes aux équations rhétoriques des courbes. Cependant, bien qu'Apollonius ait frôlé le développement de la géométrie analytique, il n'y est pas parvenu car il ne tenait pas compte des grandeurs négatives et dans tous les cas le système de coordonnées se superposait à une courbe donnée. a postériori à la place de a priori. C'est-à-dire que les équations étaient déterminées par des courbes, mais les courbes n'étaient pas déterminées par des équations. Les coordonnées, les variables et les équations étaient des notions subsidiaires appliquées à une situation géométrique spécifique. [3]

Perse Modifier

Le mathématicien persan du XIe siècle Omar Khayyam a vu une forte relation entre la géométrie et l'algèbre et allait dans la bonne direction lorsqu'il a aidé à combler l'écart entre l'algèbre numérique et géométrique [4] avec sa solution géométrique des équations cubiques générales, [5] mais le pas décisif est venu plus tard avec Descartes. [4] Omar Khayyam est crédité d'avoir identifié les fondements de la géométrie algébrique, et son livre Traité des démonstrations des problèmes d'algèbre (1070), qui a posé les principes de la géométrie analytique, fait partie du corps des mathématiques persanes qui a finalement été transmis à l'Europe. [6] En raison de son approche géométrique approfondie des équations algébriques, Khayyam peut être considéré comme un précurseur de Descartes dans l'invention de la géométrie analytique. [7] : 248

Europe de l'Ouest Modifier

La géométrie analytique a été indépendamment inventée par René Descartes et Pierre de Fermat, [8] [9] bien que Descartes soit parfois crédité seul. [10] [11] Géométrie cartésienne, le terme alternatif utilisé pour la géométrie analytique, est nommé d'après Descartes.

Descartes a fait des progrès significatifs avec les méthodes dans un essai intitulé La Géométrie (Géométrie), l'un des trois essais d'accompagnement (annexes) publiés en 1637 avec son Discours sur la méthode pour bien orienter sa raison et rechercher la vérité dans les sciences, communément appelé Discours sur la méthode. La Géométrie, écrit dans sa langue maternelle française, et ses principes philosophiques, ont fourni une base pour le calcul en Europe. Initialement, le travail n'a pas été bien reçu, en partie à cause des nombreuses lacunes dans les arguments et des équations compliquées. Ce n'est qu'après la traduction en latin et l'ajout de commentaires par van Schooten en 1649 (et d'autres travaux par la suite) que le chef-d'œuvre de Descartes a reçu la reconnaissance qui lui est due. [12]

Pierre de Fermat a également été le pionnier du développement de la géométrie analytique. Bien qu'elle n'ait pas été publiée de son vivant, une forme manuscrite de Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci) circulait à Paris en 1637, juste avant la publication de Descartes Discours. [13] [14] [15] Clairement écrit et bien reçu, le introduction a également jeté les bases de la géométrie analytique. La principale différence entre les traitements de Fermat et de Descartes est une question de point de vue : Fermat a toujours commencé par une équation algébrique et a ensuite décrit la courbe géométrique qui la satisfaisait, tandis que Descartes a commencé par des courbes géométriques et a produit leurs équations comme l'une des nombreuses propriétés des courbes. . [12] En conséquence de cette approche, Descartes a dû faire face à des équations plus compliquées et il a dû développer les méthodes pour travailler avec des équations polynomiales de degré supérieur. C'est Leonhard Euler qui a appliqué le premier la méthode des coordonnées dans une étude systématique des courbes et des surfaces de l'espace.

En géométrie analytique, le plan reçoit un système de coordonnées, par lequel chaque point a une paire de coordonnées de nombres réels. De même, l'espace euclidien reçoit des coordonnées où chaque point a trois coordonnées. La valeur des coordonnées dépend du choix du point d'origine initial. Il existe une variété de systèmes de coordonnées utilisés, mais les plus courants sont les suivants : [16]

Coordonnées cartésiennes (dans un plan ou un espace) Modifier

Le système de coordonnées le plus courant à utiliser est le système de coordonnées cartésiennes, où chaque point a un X-coordonnée représentant sa position horizontale, et un oui-coordonnée représentant sa position verticale. Ceux-ci sont généralement écrits sous la forme d'une paire ordonnée (X, oui). Ce système peut également être utilisé pour la géométrie tridimensionnelle, où chaque point dans l'espace euclidien est représenté par un triple ordonné de coordonnées (X, oui, z).

Coordonnées polaires (dans un plan) Modifier

En coordonnées polaires, chaque point du plan est représenté par sa distance r de l'origine et de son angle θ, avec θ normalement mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du positif X-axe. En utilisant cette notation, les points sont généralement écrits sous la forme d'une paire ordonnée (r, θ). On peut effectuer des allers-retours entre les coordonnées cartésiennes et polaires bidimensionnelles en utilisant ces formules : x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ r = x 2 + y 2 , θ = arctan ⁡ ( y / x ) < displaystyle x=r,cos heta ,,y=r,sin heta ,r=+y^<2>>>,, heta =arctan(y/x)> . Ce système peut être généralisé à l'espace tridimensionnel grâce à l'utilisation de coordonnées cylindriques ou sphériques.

Coordonnées cylindriques (dans un espace) Modifier

En coordonnées cylindriques, chaque point de l'espace est représenté par sa hauteur z, son rayon r du z-axe et l'angle θ sa projection sur le xy-plan fait par rapport à l'axe horizontal.

Coordonnées sphériques (dans un espace) Modifier

En coordonnées sphériques, chaque point de l'espace est représenté par sa distance ρ à partir de l'origine, l'angle θ sa projection sur le xy-plan fait par rapport à l'axe horizontal, et l'angle φ qu'il fait par rapport à la z-axe. Les noms des angles sont souvent inversés en physique. [16]

En géométrie analytique, toute équation impliquant les coordonnées spécifie un sous-ensemble du plan, à savoir l'ensemble de solutions de l'équation, ou lieu. Par exemple, l'équation oui = X correspond à l'ensemble de tous les points du plan dont X-coordonner et oui-coordonnées sont égales. Ces points forment une ligne et oui = X est dit être l'équation de cette ligne. En général, les équations linéaires impliquant X et oui spécifiez des lignes, des équations quadratiques spécifient des sections coniques et des équations plus compliquées décrivent des figures plus compliquées. [17]

Habituellement, une seule équation correspond à une courbe sur le plan. Ce n'est pas toujours le cas : l'équation triviale X = X spécifie le plan entier et l'équation X 2 + oui 2 = 0 spécifie uniquement le point unique (0, 0). En trois dimensions, une seule équation donne généralement une surface, et une courbe doit être spécifiée comme l'intersection de deux surfaces (voir ci-dessous), ou comme un système d'équations paramétriques. [18] L'équation X 2 + oui 2 = r 2 est l'équation pour tout cercle centré à l'origine (0, 0) avec un rayon de r.

Lignes et plans Modifier

Les droites dans un plan cartésien, ou plus généralement, en coordonnées affines, peuvent être décrites algébriquement par linéaire équations. En deux dimensions, l'équation pour les lignes non verticales est souvent donnée dans le Forme d'interception de pente:

m est la pente ou la pente de la ligne. b est l'ordonnée à l'origine de la ligne. X est la variable indépendante de la fonction oui = F(X).

D'une manière analogue à la façon dont les lignes dans un espace à deux dimensions sont décrites en utilisant une forme point-pente pour leurs équations, les plans dans un espace à trois dimensions ont une description naturelle en utilisant un point dans le plan et un vecteur orthogonal à celui-ci (le vecteur normal) pour indiquer son "inclinaison".

(Le point ici signifie un produit scalaire, pas une multiplication scalaire.) Développé cela devient

qui est le point-normale forme de l'équation d'un plan. [19] Ceci est juste une équation linéaire :

Inversement, on montre facilement que si une, b, c et sont des constantes et une, b, et c ne sont pas tous nuls, alors le graphique de l'équation

est un plan ayant pour vecteur n = ( a , b , c ) =(a,b,c)> comme une normale. [20] Cette équation familière pour un avion est appelée la Forme générale de l'équation du plan. [21]

En trois dimensions, les lignes peuvent ne pas être décrits par une seule équation linéaire, ils sont donc fréquemment décrits par des équations paramétriques :

X, oui, et z sont toutes des fonctions de la variable indépendante t qui s'étend sur les nombres réels. (X0, oui0, z0) est n'importe quel point de la ligne. une, b, et c sont liés à la pente de la droite, de telle sorte que le vecteur (une, b, c) est parallèle à la droite.

Sections coniques Modifier

Dans le système de coordonnées cartésiennes, le graphique d'une équation quadratique à deux variables est toujours une section conique - bien qu'elle puisse être dégénérée, et toutes les sections coniques surviennent de cette manière. L'équation sera de la forme

Comme la mise à l'échelle des six constantes donne le même lieu des zéros, on peut considérer les coniques comme des points dans l'espace projectif à cinq dimensions P 5 . ^<5>.>

Les sections coniques décrites par cette équation peuvent être classées à l'aide du discriminant [22]

Si la conique est non dégénérée, alors :

  • si B 2 − 4 A C < 0 -4AC<0> , l'équation représente une ellipse
    • si A = C et B = 0 , l'équation représente un cercle, qui est un cas particulier d'une ellipse
    • si nous avons aussi A + C = 0 , l'équation représente une hyperbole rectangulaire.

    Surfaces quadriques Modifier

    UNE quadrique, ou alors surface quadrique, est un 2surface -dimensionnelle dans l'espace à 3 dimensions définie comme le lieu des zéros d'un polynôme quadratique. En coordonnées X1, X2,X3 , la quadrique générale est définie par l'équation algébrique [23]

    En géométrie analytique, les notions géométriques telles que la distance et la mesure d'angle sont définies à l'aide de formules. Ces définitions sont conçues pour être cohérentes avec la géométrie euclidienne sous-jacente. Par exemple, en utilisant les coordonnées cartésiennes sur le plan, la distance entre deux points (X1, oui1) et (X2, oui2) est défini par la formule

    qui peut être considéré comme une version du théorème de Pythagore. De même, l'angle qu'une ligne fait avec l'horizontale peut être défini par la formule

    m est la pente de la droite.

    En trois dimensions, la distance est donnée par la généralisation du théorème de Pythagore :

    tandis que l'angle entre deux vecteurs est donné par le produit scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs euclidiens UNE et B est défini par [24]

    où est l'angle entre UNE et B.

    Des transformations sont appliquées à une fonction parente pour la transformer en une nouvelle fonction avec des caractéristiques similaires.

    Il existe d'autres transformations standard qui ne sont généralement pas étudiées en géométrie analytique élémentaire, car les transformations modifient la forme des objets d'une manière qui n'est généralement pas considérée. L'inclinaison est un exemple de transformation qui n'est généralement pas envisagée. Pour plus d'informations, consultez l'article Wikipédia sur les transformations affines.

    Les transformations peuvent être appliquées à n'importe quelle équation géométrique, que l'équation représente ou non une fonction. Les transformations peuvent être considérées comme des transactions individuelles ou en combinaisons.

    est la relation qui décrit le cercle unité.

    Les méthodes traditionnelles pour trouver des intersections incluent la substitution et l'élimination.

    Notre intersection a donc deux points :

    Notre intersection a donc deux points :

    Pour les sections coniques, jusqu'à 4 points peuvent se trouver dans l'intersection.

    Trouver des interceptions Modifier

    Un type d'intersection largement étudié est l'intersection d'un objet géométrique avec les axes de coordonnées x et y .

    Lignes et plans tangents Modifier

    En géométrie, le ligne tangente (ou simplement tangente) à une courbe plane en un point donné est la ligne droite qui "touche juste" la courbe à ce point. De manière informelle, c'est une ligne passant par une paire de points infiniment proches sur la courbe. Plus précisément, une droite est dite tangente à une courbe oui = F(X) à un moment X = c sur la courbe si la droite passe par le point (c, F(c)) sur la courbe et a une pente F ' (c) où F ' est la dérivée de F. Une définition similaire s'applique aux courbes spatiales et aux courbes dans m-espace euclidien de dimension.

    En passant par le point de rencontre de la tangente et de la courbe, appelé le point de tangence, la ligne tangente "va dans la même direction" que la courbe, et est donc la meilleure approximation en ligne droite de la courbe à ce point.

    De même, le plan tangent à une surface en un point donné est le plan qui "touche juste" la surface en ce point. Le concept de tangente est l'une des notions les plus fondamentales de la géométrie différentielle et a été largement généralisée voir Espace tangent.

    Ligne normale et vecteur Modifier

    En géométrie, un Ordinaire est un objet tel qu'une ligne ou un vecteur qui est perpendiculaire à un objet donné. Par exemple, dans le cas bidimensionnel, le ligne normale à une courbe en un point donné est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente à la courbe en ce point.

    Dans le cas tridimensionnel un normale à la surface, ou simplement Ordinaire, à une surface en un point P est un vecteur perpendiculaire au plan tangent à cette surface en P. Le mot "normal" est aussi utilisé comme adjectif : une droite normale à un plan, la composante normale d'une force, la vecteur normal, etc. Le concept de normalité généralise à l'orthogonalité.


    Essai, Mémoire de recherche : Géométrie analytique

    Les documents de recherche gratuits en mathématiques ont été donnés par nos membres/visiteurs et sont présentés gratuitement à titre informatif uniquement. L'essai ou la dissertation que vous voyez sur cette page n'a pas été produit par notre société et ne doit pas être considéré comme un échantillon de notre service de recherche/rédaction. Nous ne sommes ni affiliés à l'auteur de cet essai ni responsables de son contenu. Si vous avez besoin de recherches / rédactions de haute qualité, fraîches et compétentes sur le sujet des mathématiques, utilisez le service de rédaction professionnel proposé par notre société.

    La géométrie analytique a été amenée quatrième par le célèbre mathématicien français René'
    Descartes en 1637. Descartes n'a pas commencé ses études et son travail avec
    géométrie jusqu'à ce qu'il se soit retiré de l'armée et se soit installé. Sinon pour
    La grande découverte de Descartes, puis Sir Isaac Newton n'aurait peut-être jamais inventé le
    notion de calcul. Le concept de Descartes laisse au calcul et Newton et G.W.
    Leibniz ne serait pas aussi bien connu qu'aujourd'hui s'il n'y avait pas
    le célèbre mathématicien René Descartes. La géométrie analytique est une "branche de
    géométrie dans laquelle les points sont représentés par rapport à un système de coordonnées,
    comme les coordonnées cartésiennes, et dans lequel l'approche des problèmes géométriques
    est principalement algébrique. » (Géométrie analytique) La géométrie analytique est utilisée pour
    trouver des distances, des pentes, des points médians et bien d'autres choses à l'aide de
    des équations et des formules pour déterminer ce qu'une personne recherche. Analytique
    la géométrie se concentre beaucoup sur l'algèbre, en général, elle est enseignée aux étudiants
    dans les classes d'algèbre et devient très utile lorsqu'il est utilisé en géométrie. Il est
    pas très souvent quand la géométrie est enseignée sans utiliser l'algèbre pour résoudre le
    problèmes, à moins de prouver des déclarations, la géométrie analytique est utilisée le plus souvent lorsque
    parlant de géométrie, ce sont les lignes directrices de la géométrie. C'est une manière définie de trouver
    trouver des réponses aux problèmes. Il existe de nombreuses formules simples à la géométrie analytique,
    mais certains d'entre eux deviennent très complexes et difficiles. La géométrie analytique n'est pas seulement
    utilisé en mathématiques, il est très courant de le voir utilisé dans n'importe quel type de science,
    logique et tout autre sujet mathématique. Il existe des formules sous cette forme de
    mathématiques dans lesquelles le volume d'un gaz est mesuré, et d'autres formules le long
    ces lignes (Encyclopedia.com). Quelques formules et équations de la géométrie analytique
    sont : La formule du point médian- (changement de x/2, changement de y/2) Formule de distance-
    racine carrée de (variation de x) au carré -(variation de y) au carré Formule pour la pente-
    (Changement de y)/(Changement de x) Formule pour une ligne- y=mx+b où m est la pente de
    la ligne et b est l'interception y. Equation d'une droite-ax+by+c=0 (Fuller,
    Gordon) Pour trouver des droites perpendiculaires, prenez la pente de chaque droite et multipliez
    ensemble, si le résultat est un, les lignes sont dites perpendiculaires.
    Pour trouver des lignes parallèles, la pente doit être exactement la même. Ce ne sont que quelques
    faits simples sur la géométrie analytique, cela peut en fait devenir très compliqué. Lorsque
    découvrir les paraboles et les ellipses ça devient difficile, il y en a beaucoup
    formules difficiles et étendues en géométrie analytique (Fuller, Gordon 7, 12, 18).
    Évidemment, ce ne sont que quelques exemples et la géométrie analytique continue beaucoup
    plus loin que ce que vous voyez dans ces formules. Il y a tellement de géométriques
    formules et théorèmes qu'ils sont presque impossibles à mettre dans une liste. Analytique
    la géométrie a été combinée avec de nombreuses autres branches de la géométrie, maintenant il y a
    certaines choses qui sont difficiles à décider, qu'il s'agisse de les étiqueter algébriques ou
    autrement. La géométrie analytique est divisée en deux sections, "trouver un
    équation pour faire correspondre les points et trouver des points pour faire correspondre les équations. " (Géométrie)
    Il existe de nombreux autres types de géométrie comme la géométrie démonstrative qui
    consiste à mesurer des champs et des angles droits. Les premiers Égyptiens ont développé cette
    type de géométrie lors de la construction. Il existe une géométrie descriptive qui implique
    utilisant des formes qui ne changent pas lorsqu'elles sont déplacées, ce sont des formes définies et définies.
    Une autre est la géométrie non tridimensionnelle qui utilise des méthodes analytiques et projectives.
    géométrie pour étudier des figures à quatre dimensions. Tous ces types de géométrie sont
    couramment utilisé (Géométrie). La géométrie analytique est utilisée tous les jours, c'est un défi
    quelque chose qui peut être extrêmement utile s'il est appris. La géométrie analytique est utilisée dans
    l'architecture, l'arpentage et même les affaires. En affaires, la géométrie analytique peut être
    utilisé pour trouver le profit maximum qui peut être tiré d'une vente ou d'un événement. Comme avec
    toutes les compétences qui sont généralement apprises, la géométrie analytique est une bonne chose à
    connaître. Même les choses simples, les bases, sont très utiles. Ce sujet peut être
    décomposé en choses les plus simples, comme devoir marcher pour dire Wal-Mart et
    savoir quand vous êtes à mi-chemin, c'est prendre la distance de la
    point de départ jusqu'à la destination et en le divisant par deux pour savoir jusqu'où
    à mi-chemin est. Cela pourrait être considéré comme faisant partie de la formule du point médian. Certains
    les formules sont un peu complexes à utiliser dans la vie de tous les jours, mais dans certaines carrières professionnelles,
    il est très courant qu'une personne utilise ces équations très compliquées. René'
    Descartes était un célèbre mathématicien français, il a proposé la théorie de
    géométrie analytique utilisant les coordonnées cartésiennes (Instant Essays). le
    Coordonnées cartésiennes qui sont un plan composé de deux droites sécantes où
    nombres, (x, y) sont utilisés pour trouver la distance relative de l'intersection
    lignes. Ces lignes ont 4 sections différentes et s'éternisent, il n'y a pas de fin
    aux coordonnées cartésiennes (coordonnées cartésiennes). Descartes a fait ses études
    d'abord du Collège des Jésuites puis de l'Université de Poitiers. Après qu'il soit parti
    L'école Descartes aimait faire la fête jusqu'à ce qu'il rejoigne l'armée du prince Maurice de
    Nassu. En 1628, après la retraite de Descartes, il contribua sa vie à
    "Recherche scientifique et réflexion philosophique" (Descartes, René')
    Dans la vie de Descartes, il a écrit de nombreux essais pour lesquels il est devenu célèbre. Compendium
    Musicae et Discourse on Method sont deux des essais célèbres de Descartes. En 1637 un
    groupe de ses essais a été publié, après des années d'avoir les essais, ils ont causé
    Descartes pour enfin se faire connaître. Descartes n'a pas fait d'étonnant
    réalisations jusqu'à sa retraite de l'armée. Un peu plus alors
    ans après la publication de son essai, René a été invité en Suède par la reine
    Christina parce qu'elle voulait rencontrer la personne à l'esprit brillant, sous peu
    après son arrivée en Suède, Descartes tomba malade et mourut (Descartes, René'). René'
    Descartes a contribué non seulement aux mathématiques mais aussi à la science, et bien d'autres
    choses. René' suivait la méthode scientifique, il aimait s'appuyer sur les autres'
    idées et les rendre plus intéressantes et informatives. Il a suivi François
    La méthode de Bacon, mais basé ses résultats sur la "rationalisation et la théorie,
    plutôt que des expériences. » (Descartes, René') Il était très dévoué à
    tout ce qu'il étudiait, et c'est pourquoi il avait tant accompli dans sa
    vie (Descartes, René'). Descartes est à l'origine du cartésien
    coordonnées et courbes. Comme cela a déjà été dit à plusieurs reprises, il est connu sous le nom de
    le créateur de la géométrie analytique. Il a également contribué le nombre imaginaire i à
    les mathématiques de l'algèbre, ceci est utilisé dans le résultat des racines négatives d'un nombre.

    Bibliographie"Analytic Geometry." 21 novembre 99
    . "Coordonnées cartésiennes." 2 déc. 99


    Mathématiques (MATH)

    Ceci est une copie archivée du catalogue 2018-2019. Pour accéder à la version la plus récente du catalogue, veuillez visiter http://catalog.uaf.edu.

    MATH F113X Nombres et société (m)
    3 crédits

    Les chiffres et les données nous aident à comprendre notre société. Dans ce cours, nous développons des concepts et des outils mathématiques pour comprendre ce que les nombres et les données peuvent nous dire. Les sujets peuvent inclure les mathématiques des élections et du vote, la modélisation de la croissance démographique, les mathématiques financières, les sondages et les enquêtes, ainsi que les statistiques de probabilité et descriptives d'introduction. Remarque : Ce cours peut être suivi indépendamment de Math F114X, et les deux cours peuvent être suivis pour crédit dans l'un ou l'autre ordre.

    Conditions préalables: Un score approprié au test de placement en mathématiques, ou DEVM F105, DEVM F105N ou DEVM F105J.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F114X Modèles et société
    3 crédits

    Les motifs sont présents dans tous les aspects de la vie quotidienne. Dans ce cours, nous développons des concepts et des outils mathématiques pour comprendre ce que les modèles peuvent nous dire. Les sujets peuvent inclure la division des choses, la détermination d'itinéraires et d'horaires efficaces, l'analyse des réseaux et leurs propriétés, les mathématiques de la symétrie, la géométrie fractale et les modèles dans la nature. Remarque : Ce cours peut être suivi indépendamment de MATH F113X, et les deux cours peuvent être suivis pour crédit dans l'un ou l'autre ordre.

    Prérequis: Une note appropriée au test de placement en mathématiques, DEVM F105, DEVM F105N ou DEVM F105J.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F122R Prep for Essential Precalculus avec applications
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets prérequis nécessaires dans Essential Precalculus with Applications ainsi qu'une pratique en petit groupe des sujets liés aux fonctions. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Des instructions sur la façon de réussir dans le précalcul pour les entreprises seront également incluses. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F122R ou MATH F122S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F122X ou placement en MATH F122X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    MATH F122S Essential Precalculus with Applications Skills Workshop
    1 crédit

    L'étude dirigée de sujets en MATH F122X, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Des instructions sur la façon de réussir dans les cours de précalcul et de mathématiques seront également incluses. Remarque : Des crédits peuvent être obtenus pour les cours MATH F122R ou MATH F122S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F122X ou placement en MATH F122X ou recommandation du département.

    Co-requis : MATH F122X.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    Précalcul essentiel MATH F122X avec applications (m)
    3 crédits

    Une étude de diverses classes de fonctions, explorant leurs aspects numériques, algébriques et graphiques. Les classes de fonctions incluent linéaire, quadratique, rationnelle, exponentielle et logarithmique. Ce cours convient aux étudiants des programmes liés aux affaires et à l'économie ou aux sciences de la vie ou aux étudiants ayant l'intention de suivre MATH F230X. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour MATH F151X ou MATH F122X, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Score de placement approprié, DEVM F105, DEVM F105N ou DEVM F105J.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F151R Préparation à l'algèbre universitaire pour le calcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires à l'algèbre collégiale pour le calcul, ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir en algèbre universitaire pour le calcul. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F151R ou MATH F151S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F151X ou placement en MATH F151X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    MATH F151S Atelier d'algèbre universitaire pour les compétences en calcul
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en MATH F151X. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir en algèbre collégiale pour le calcul et les cours basés sur les mathématiques. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F151R ou MATH F151S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F151X ou placement en MATH F151X ou recommandation du département.

    Co-requis : MATH F151X.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F151X Algèbre universitaire pour le calcul (m)
    4 crédits

    Etude des applications des systèmes d'équations algébriques, logarithmiques et exponentielles. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour MATH F151X ou MATH F122X, mais pas pour les deux. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, MATH F152X et MATH F156X.

    Conditions préalables: Note appropriée au test de classement en mathématiques, B ou mieux en DEVM F105, B ou mieux en DEVM F105J ou C ou mieux en DEVM F105N Pour les élèves qui ont déjà obtenu une note inférieure à C- ou un W en MATH F151X : MATH F151R ou MATH F151S (MATH F151S doit être pris en même temps).

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4.5 + 0 + 0

    Trigonométrie MATH F152X (m)
    3 crédits

    Une étude des fonctions trigonométriques, y compris la représentation graphique, les identités, les fonctions trigonométriques inverses, la résolution d'équations et les applications de coordonnées polaires. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, MATH F152X et MATH F156X.

    Conditions préalables: MATH F151X (peut être suivi simultanément) ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F156R Préparation pour le précalcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires au précalcul ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir dans le précalcul. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F156R ou MATH F156S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F156X ou placement en MATH F156X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    Atelier de compétences en précalcul MATH F156S
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en précalcul. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Des instructions sur la façon de réussir dans les cours de précalcul et de mathématiques seront également incluses. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F156R ou MATH F156S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F156X ou placement en MATH F156X ou recommandation du département.

    Co-requis : MATH F156X.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F156X Précalcul (m)
    4 crédits

    Différentes classes de fonctions et leurs graphes sont explorés numériquement, algébriquement et graphiquement. Les classes de fonctions comprennent polynomiale, rationnelle, exponentielle, logarithmique et trigonométrique. Les compétences et les concepts nécessaires au calcul sont soulignés. Ce cours est destiné aux étudiants ayant l'intention de suivre MATH F251X. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, MATH F152X et MATH F156X.

    Conditions préalables: Placement en MATH F156X Pour les étudiants qui ont déjà obtenu une note inférieure à C- ou un W en Math F156X : MATH F156R ou MATH F156S (MATH F156S doit être suivi simultanément).

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 1 + 0

    MATH F211 Mathématiques pour les enseignants du primaire (m)
    3 crédits

    Théorie des ensembles élémentaires, systèmes de numération et algorithmes d'arithmétique, diviseurs, multiples, entiers et introduction aux nombres rationnels. Accent sur les méthodes de classe. Réservé à l'enseignement primaire, autres avec la permission de l'instructeur.

    Conditions préalables: MATH F122X ou MATH F151X ou MATH F156X ou placement.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 1 + 0

    MATH F212 Mathématiques pour les enseignants du primaire II (m)
    3 crédits

    Une suite de MATH F211. Systèmes et sous-systèmes de nombres réels, logique, géométrie informelle, système métrique, probabilité et statistiques. Accent sur les méthodes de classe.

    Conditions préalables: MATH F211.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 1 + 0

    Préparation MATH F230R pour le calcul essentiel avec applications
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires dans Essential Calculus with Applications ainsi qu'une pratique en petit groupe de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir en calcul. Remarque : un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F230R ou MATH F230S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F230X ou placement en MATH F230X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    Atelier de calcul essentiel MATH F230S avec compétences en applications
    1 crédit

    L'étude dirigée de sujets en MATH F230X sera axée sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir dans le calcul et d'autres cours basés sur les mathématiques. Remarque : un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F230R ou MATH F230S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F230X ou placement en MATH F230X ou recommandation du département.

    Co-requis : MATH F230X.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    Calcul essentiel MATH F230X avec applications
    3 crédits

    Une introduction aux idées clés du calcul différentiel et intégral, et à leurs utilisations dans les affaires, l'économie et les sciences de la vie. Ce cours met l'accent sur une solide compréhension conceptuelle, ainsi que sur des techniques de calcul pour les applications de base. Remarque : Aucun crédit ne peut être obtenu pour MATH F230X et MATH F251X. MATH F230X ne peut pas servir de prérequis pour MATH F252X.

    Conditions préalables: MATH F122X ou MATH F151X ou MATH F156X ou placement Pour les étudiants qui ont déjà obtenu une note inférieure à C- ou un W en MATH F230X MATH F230R ou MATH F230S (MATH F230S doit être suivi simultanément).

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F251L Calcul I Récitation
    0 crédit

    Section de récitation pour le calcul I. Les activités peuvent inclure des feuilles de travail, des quiz et des sessions de problèmes associés au matériel de cours correspondant de MATH F251X.

    Co-requis : MATH F251X.

    Cours + Labo + Autre : 0 + 1 + 0

    MATH F251R Préparation au calcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires au calcul, ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir en calcul. Remarque : Des crédits peuvent être obtenus pour les cours MATH F251R ou MATH F251S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F251X ou placement en MATH F251X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    Atelier de compétences MATH F251S Calculus I
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en MATH F251X, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir dans les cours de calcul I et de mathématiques. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F251R ou MATH F251S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F251X ou placement en MATH F251X ou recommandation du département.

    Co-requis : MATH F251X.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F251X Calcul I (m)
    4 crédits

    Un premier cours de calcul à une seule variable.Les sujets incluent la continuité des limites et la différenciation des applications des fonctions de la dérivée à la représentation graphique, l'optimisation et les taux de changement, l'intégration définie et indéfinie et le théorème fondamental du calcul. Remarque : aucun crédit ne peut être obtenu pour MATH F251X et MATH F230X.

    Conditions préalables: Note appropriée au test de classement en mathématiques ou MATH F151X et MATH F152X ou MATH F156X Pour les élèves qui ont déjà obtenu une note inférieure à C- ou W en MATH F251X : MATH F251R ou MATH F251S (MATH F251S doit être suivi simultanément).

    Co-requis : MATH F251L.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F252X Calcul II (m)
    4 crédits

    D'autres sujets en calcul à une variable, y compris les techniques d'intégration des applications de convergence d'intégration de séquences et de courbes paramétrées en série et de coordonnées polaires.

    Conditions préalables: MATH F251X.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 1 + 0

    MATH F253X Calcul III (m)
    4 crédits

    Calcul à variables multiples. Les sujets incluent les vecteurs dans le calcul différentiel à 2 et 3 dimensions des fonctions de plusieurs variables, le calcul vectoriel à intégration multiple, y compris le théorème et les applications de Green et Stokes.

    Conditions préalables: MATH F252X.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F265 Introduction aux preuves mathématiques (m)
    3 crédits

    Accent sur les techniques de preuve avec des sujets tels que la logique, les ensembles, la cardinalité, les relations, les fonctions, l'équivalence, l'induction, la théorie des nombres, les classes de congruence et le comptage élémentaire. De plus, un traitement rigoureux des sujets du calcul ou une sélection de sujets supplémentaires des mathématiques discrètes peuvent être inclus.

    Conditions préalables: MATH F252X (peut être pris simultanément).

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F302 Équations différentielles
    3 crédits

    Nature et origine des équations différentielles, équations et solutions du premier ordre, équations différentielles linéaires à coefficients constants, systèmes d'équations, solutions de séries entières, méthodes opérationnelles et applications.

    Conditions préalables: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F305 Géométrie
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Sujets choisis dans des domaines tels que la géométrie plane euclidienne et non euclidienne, la géométrie affine, la géométrie projective et la topologie.

    Conseillé: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F307 Mathématiques discrètes
    3 crédits

    Logique, comptage, ensembles et fonctions, relations de récurrence, graphiques et arbres. Sujets supplémentaires choisis dans la théorie des probabilités.

    Conditions préalables: MATH F252X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    Analyse numérique MATH F310
    3 crédits

    Solutions directes et itératives de systèmes d'équations, interpolation, différenciation et intégration numériques, solutions numériques d'équations différentielles ordinaires et analyse d'erreurs.

    Conditions préalables: MATH F302 ou MATH F314.

    Conseillé: Connaissance de la programmation.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F314 Algèbre linéaire
    3 crédits

    Équations linéaires, espaces vectoriels de dimension finie, matrices, déterminants, transformations linéaires et valeurs caractéristiques. Espaces produits intérieurs.

    Conditions préalables: MATH F252X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F316 Introduction à l'histoire et à la philosophie des mathématiques
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Périodes importantes dans l'histoire des mathématiques, y compris les mathématiques de la Babylone antique, de la Mespotamie, de la Grèce, de la Chine et de l'Inde, les mathématiques de l'Europe médiévale, du Moyen-Orient et de la Renaissance, le développement de la géométrie, de l'algèbre et du calcul. D'autres domaines du développement des mathématiques et de la philosophie des mathématiques seront étudiés si le temps le permet. Pour les étudiants en mathématiques, sciences, histoire et philosophie.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F320 Sujets en combinatoire
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Introduction à quelques notions fondamentales de la combinatoire. Sujets choisis dans des domaines tels que la combinatoire énumérative, les fonctions génératrices, les systèmes d'ensembles, les relations de récurrence, les graphes orientés, les correspondances, les graphes hamiltoniens et eulériens, les arbres et les colorations de graphes.

    Conditions préalables: MATH F265.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F321 Théorie des nombres
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    La théorie des nombres s'intéresse aux propriétés des nombres entiers, l'un des ensembles mathématiques les plus élémentaires. Les questions apparemment naïves de la théorie des nombres ont stimulé une grande partie du développement des mathématiques modernes et offrent toujours de riches opportunités d'investigation. Les sujets étudiés incluent des sujets classiques tels que la primalité, les congruences, la réciprocité quadratique et les équations diophantiennes, ainsi que des applications plus récentes à la cryptographie. Des sujets supplémentaires tels que les fractions continues, les courbes elliptiques ou une introduction aux méthodes analytiques peuvent être inclus.

    Conditions préalables: MATH F265.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F371 Probabilité
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Espaces de probabilité, probabilité conditionnelle, variables aléatoires, distributions continues et discrètes, espérance, moments, fonctions génératrices de moments et fonctions caractéristiques.

    Conditions préalables: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F401 Introduction à l'analyse réelle (W)
    3 crédits

    Complétude des nombres réels et sa conséquence, convergence des suites et des séries, limites et continuité, différentiation, intégrale de Riemann.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F404 Introduction à la topologie
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Introduction aux espaces topologiques, à la théorie des ensembles, aux ensembles ouverts, à la compacité, à la connexité, aux espaces produits, aux espaces métriques et aux continuums.

    Conseillé: MATH F314 et/ou MATH F405.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F405 Algèbre abstraite (W)
    3 crédits

    Théorie des groupes, anneaux et champs.

    Conseillé: MATH F307 et/ou MATH F314.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F408 Statistiques mathématiques
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Distribution de variables aléatoires et fonctions de variables aléatoires, estimation d'intervalle, estimation ponctuelle, statistiques suffisantes, statistiques d'ordre et test d'hypothèses comprenant divers critères pour les tests.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F412 Géométrie différentielle
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Introduction à la géométrie différentielle des courbes, des surfaces et des variétés riemanniennes. Les concepts de base couverts incluent l'appareil de Frenet-Serret, les surfaces, les première et deuxième formes fondamentales, les géodésiques, la courbure de Gauss et le théorème de Gauss-Bonnet. Si le temps le permet, des sujets tels que les surfaces minimales, la théorie des hypersurfaces et/ou l'analyse tensorielle peuvent être inclus.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F421 Analyse appliquée
    4 crédits

    Calcul vectoriel, y compris le gradient, la divergence et la boucle dans les coordonnées curvilignes orthogonales, les équations différentielles ordinaires et partielles et les problèmes de valeurs limites, ainsi que les séries et intégrales de Fourier.

    Conditions préalables: MATH F302.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F422 Introduction à l'analyse complexe
    3 crédits

    Fonctions complexes, y compris les séries, les intégrales, les résidus, la cartographie conforme et les applications. Peut être suivi indépendamment de MATH F421.

    Conditions préalables: MATH F302.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F430 Sujets en mathématiques
    3 crédits

    Un cours au choix en mathématiques pour les majors. Les sujets varient d'une année à l'autre et peuvent être tirés de la biologie mathématique, de l'algèbre linéaire numérique, de la théorie des graphes, de la logique ou d'autres domaines des mathématiques. Peut être répété avec la permission de l'instructeur pour un total de neuf crédits.

    Conditions préalables: MATH F265.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F460 Modélisation mathématique
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Introduction à la modélisation mathématique à l'aide d'équations différentielles ou aux différences. L'accent est mis sur la formulation de modèles et l'interprétation du comportement qualitatif que ces modèles prédisent. Des exemples seront tirés d'une variété de domaines, selon l'intérêt de l'instructeur. Les élèves développent un projet de modélisation.

    Conseillé: un ou plusieurs de MATH F302, MATH F310, MATH F314, MATH F401, STAT F300 ou une certaine expérience en programmation.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    Séminaire senior MATH F490 (O)
    2 crédits

    Sujets avancés sélectionnés dans des domaines en dehors des offres habituelles de premier cycle. Un niveau substantiel de maturité mathématique est supposé.

    Conditions préalables: COJO F131X ou COJO F141X au moins un des MATH F401 ou MATH F405 senior.

    Cours + Labo + Autre : 2 + 0 + 0

    Séminaire d'enseignement MATH F600
    1 crédit

    Fondamentaux de l'enseignement des mathématiques en milieu universitaire. Les sujets peuvent inclure n'importe quel aspect de l'enseignement : règlements de l'université, organisation des cours et des conférences, tests, sélection de livres, évaluations de l'enseignement, etc. Les sujets spécifiques varieront en fonction de l'intérêt de l'étudiant et de l'instructeur. Des visites individuelles en classe seront également utilisées pour la discussion en classe. Peut être répété pour crédit.

    Conditions préalables: Diplômé debout.

    Cours + Labo + Autre : 1 + 0 + 0

    MATH F611 Physique mathématique I
    3 crédits

    Outils mathématiques et théorie pour la physique classique et moderne. Thèmes principaux : Algèbre linéaire incluant les valeurs propres, les vecteurs propres et les produits internes dans les espaces de dimension finie. Série infinie. Espaces de Hilbert et fonctions généralisées. Analyse complexe, incluant les méthodes des séries de Laurent et des contours. Applications aux problèmes posés en physique. Sujets supplémentaires sélectionnés, qui peuvent inclure la théorie des opérateurs et la théorie spectrale, les groupes, les champs de tenseur, les nombres hypercomplexes.

    Coté avec PHYS F611.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F612 Physique mathématique II
    3 crédits

    Poursuite de la physique mathématique I outils mathématiques et théorie pour la physique classique et moderne. Thèmes abordés : solutions classiques aux principales équations aux dérivées partielles linéaires de l'électromagnétisme, mécanique classique et quantique. Problèmes aux limites et théorie de Sturm-Liouville. Fonctions de Green et développements de fonctions propres. Transformations intégrales. Polynômes orthogonaux et fonctions spéciales. Applications aux problèmes posés en physique. Sujets supplémentaires sélectionnés, qui peuvent inclure les équations intégrales et la théorie de Hilbert-Schmidt, les méthodes de perturbation, la théorie des probabilités.

    Conditions préalables: PHYS F611 ou MATH F611.

    Coté avec PHYS F612.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F614 Algèbre Linéaire Numérique
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Algorithmes et théorie pour un calcul stable et précis à l'aide de matrices et de vecteurs sur ordinateur. Factorisations matricielles, méthodes directes et itératives de résolution de systèmes linéaires, décompositions par moindres carrés, valeurs propres et valeurs singulières. Implémentation pratique et application d'algorithmes.

    Conditions préalables: MATH F314.

    Conseillé: MATH F421 ou MATH F401.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F615 Analyse numérique d'équations différentielles
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Examen de la différenciation et de l'intégration numériques, et de la résolution numérique des équations différentielles ordinaires. Les sujets principaux incluent la solution numérique des équations aux dérivées partielles, l'ajustement de courbes, les splines et l'approximation des fonctions. Des sujets supplémentaires tels que la méthode numérique des lignes, la transformée de Fourier rapide et les éléments finis peuvent être inclus si le temps le permet et l'intérêt justifie.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F617 Analyse fonctionnelle
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Etude des espaces de Banach et de Hilbert, et des applications linéaires continues entre eux. Fonctionnelles linéaires et théorème de Hahn-Banach. Applications du théorème des catégories de Baire. Opérateurs compacts, opérateurs auto-adjoints et leurs propriétés spectrales. Topologie faible et ses applications.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F631 Algèbre I
    4 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Développement rigoureux des groupes, anneaux et champs.

    Conditions préalables: MATH F405.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F632 Algèbre II
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Sujets avancés pouvant être choisis parmi la théorie des groupes, la théorie de Galois, l'algèbre commutative ou non commutative, la géométrie algébrique, l'algèbre homologique ou d'autres domaines.

    Conditions préalables: MATH F631.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F641 Analyse réelle
    4 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Théorie générale de la mesure de Lebesgue et de l'intégration de Lebesgue sur la droite réelle. Propriétés de convergence de l'intégrale. Introduction à la théorie générale des mesures et de l'intégration. Différenciation, les mesures du produit et une introduction aux espaces LP.

    Conditions préalables: MATH F401.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F645 Analyse complexe
    4 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Fonctions analytiques, séries entières, théorie intégrale de Cauchy, théorème des résidus. Topologie de base du plan complexe et théorie de la structure des fonctions analytiques. Le théorème de cartographie de Riemann. Produits infinis.

    Conditions préalables: MATH F641.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    Topologie MATH F651
    4 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Traitement des thèmes fondamentaux de la topologie des ensembles de points. Axiomes de séparation, espaces produits et quotients, convergence via réseaux et filtres, compacité et compactifications, paracompactité, théorèmes de métrisation, propriétés de dénombrement et connexité. Définir la théorie selon les besoins pour les exemples et les techniques de preuve.

    Conditions préalables: MATH F401 ou MATH F404.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F658 Sujets en géométrie
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Sujets au choix en géométrie. Les offres récentes incluent des configurations de topologie de points et de lignes et la géométrie différentielle des surfaces polyèdres et polytopes.

    Conditions préalables: Algèbre linéaire géométrie de premier cycle analyse réelle algèbre abstraite de premier cycle.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F660 Modélisation mathématique avancée
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    La formulation mathématique et l'analyse de problèmes survenant dans les sciences physiques, biologiques ou sociales. Le domaine d'intérêt du cours peut varier, mais l'accent sera mis sur les hypothèses de modélisation, la dérivation d'équations modèles, les méthodes d'analyse et l'interprétation des résultats pour les applications particulières. Les exemples incluent les problèmes de conduction thermique, les processus de marche aléatoire, l'évolution moléculaire, la théorie des perturbations. Les étudiants développeront un projet de modélisation dans le cadre des exigences du cours.

    Conditions préalables: Autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F661 Optimisation
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Programmation linéaire et non linéaire, méthode simplexe, méthode dualité et double simplexe, analyse post-optimale, programmation non linéaire contrainte et sans contrainte, conditions de Kuhn-Tucker. Applications à la gestion, aux sciences physiques et de la vie. Travail informatique avec l'ordinateur.

    Conditions préalables: Connaissance du calcul, de l'algèbre linéaire et de la programmation informatique.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F663 Théorie des graphes
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Une étude des techniques modernes dans les sujets de la théorie des graphes peut inclure des graphes et des digraphes, des arbres, des arbres couvrants, des correspondances, la connectivité des graphes, la coloration des graphes, la planéité, les cycles et les problèmes extrêmes.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F665 Sujets en mathématiques supérieures
    3 crédits

    Offert en tant que bons de souscription

    Cours au choix en mathématiques aux cycles supérieurs offerts par le corps professoral sur une base rotative. Les sujets peuvent inclure, sans s'y limiter, la théorie des graphes, la modélisation glaciologique, la relativité générale, la biologie mathématique, la théorie de Galois et l'algèbre linéaire numérique. Peut être répété pour crédit avec la permission de l'instructeur.


    Qu'y a-t-il à l'intérieur du PDF de notes de mathématiques de 2e année de Ch 7 ?

    L'exercice 7.3 a dégagé le concept lié au produit scalaire de deux vecteurs, aux déductions des résultats importants, aux vecteurs perpendiculaires (orthogonaux), aux propriétés du produit scalaire, à l'expression analytique du produit scalaire u⋅v, à l'angle entre deux vecteurs et à la projection d'un vecteur sur un autre vecteur .

    L'exercice 7.4 comprend le concept lié au produit croisé.

    Triple produit scalaire de vecteurs, expression analytique de u⋅(v×w), volume du tétraèdre et application des vecteurs en physique et en ingénierie abordés dans l'exercice 7.5.


    Je dirais que techniquement parlant, les espaces de Stein ne sont essentiellement pas utilisés en géométrie algébrique mais qu'ils avaient, et ont toujours, un fort rôle de motivation. Permettez-moi de développer ces affirmations polémiques.

    Tout d'abord la géométrie algébrique, et surtout la théorie des schémas, ne présuppose pas que le corps de base soit $mathbb C$ et encore moins qu'il ait la caractéristique zéro. Ainsi, les variétés de Stein ne peuvent même pas être définies.

    Les variétés de Stein sont remplacées en géométrie algébrique par des variétés (ou schémas) affines, et leurs théorèmes sont infiniment plus faciles que les théorèmes correspondants pour les espaces de Stein : la disparition de la cohomologie pour les faisceaux cohérents (et même pour les faisceaux quasi-cohérents !) est prouvée dans deux pages sur le général affine noetherian schémas (pas seulement des variétés) à Hartshorne, alors que le théorème correspondant pour les espaces de Stein a été développé sur deux décennies par Oka, Cartan, Serre, . et prend un demi-livre à prouver (cf. le livre de Grauert-Remmert sur les espaces de Stein ou celui de L.Kaup-B.Kaup sur les fonctions holomorphes de plusieurs variables).

    Et enfin, les preuves empiriques sont accablantes : des nombreux livres de géométrie algébrique qui traitent la cohomologie de faisceaux cohérents sur une variété algébrique exactement zéro (à ma connaissance) utilisent des variétés de Stein pour prouver leurs résultats.

    Ceci dit, historiquement la première utilisation de la cohomologie des faisceaux cohérents a été en effet dans la théorie des variétés complexes : Cartan s'est rendu compte que les résultats d'Oka sur les domaines pseudo-convexes pouvaient être interprétés dans le langage des faisceaux récemment découverts par Leray et l'étudiant de Cartan Serre a adapté ces techniques à la géométrie algébrique dans son article révolutionnaire Faisceaux Algébriques Cohérents.
    Mais permettez-moi de souligner encore une fois que Serre n'a jamais les usages aucun résultat de la théorie de Stein dans cet article.


    Mathématiques (MATH)

    Ceci est une copie archivée du catalogue 2016-2017. Pour accéder à la version la plus récente du catalogue, veuillez visiter http://catalog.uaf.edu.

    MATH F113X Concepts et applications contemporaines des mathématiques (m)
    3 crédits

    Applications des mathématiques dans la société moderne. Les sujets comprennent les systèmes de vote, la science de la gestion, les probabilités et les statistiques. La résolution de problèmes est soulignée.

    Conditions préalables: DEVM F105 ou DEVM F105N ou DEVM F105J ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F122R Préparation pour Precalculus pour les entreprises
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires au précalcul pour les affaires ainsi qu'une pratique en petit groupe des sujets liés aux fonctions. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Des instructions sur la façon de réussir dans le précalcul pour les entreprises seront également incluses. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F122X ou MATH F122S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F122X ou placement en MATH F122R ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    MATH F122S Atelier de précalcul pour les compétences commerciales
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en MATH F122X, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir dans le précalcul pour les cours basés sur les affaires et les mathématiques. Remarque : Des crédits peuvent être obtenus pour les cours MATH F122R ou MATH F122S, mais pas pour les deux. Ce cours nécessite une inscription simultanée à MATH F122X.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F122X ou placement en MATH F122X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    Précalcul MATH F122X pour les affaires et l'économie (m)
    3 crédits

    Une étude de diverses classes de fonctions, explorant leurs aspects numériques, algébriques et graphiques. Les classes de fonctions incluent linéaire, quadratique, rationnelle, exponentielle et logarithmique. Ce cours convient aux étudiants des programmes liés aux affaires et à l'économie ou aux étudiants ayant l'intention de suivre MATH F230X. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour MATH F151X ou MATH F122X, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: DEVM F105 ou DEVM F105N ou DEVM F105J ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F151R Préparation à l'algèbre universitaire pour le calcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires à l'algèbre collégiale pour le calcul, ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir en algèbre universitaire pour le calcul. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F151R ou MATH F151S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F151X ou placement en MATH F151X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    MATH F151S Atelier d'algèbre universitaire pour les compétences en calcul
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en MATH F151X, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Seront également inclus des instructions sur la façon de réussir en algèbre collégiale pour le calcul et les cours basés sur les mathématiques. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F151R ou MATH F151S, mais pas pour les deux. Ce cours nécessite une inscription simultanée à MATH F151X.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F151X ou placement en MATH F151X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F151X Algèbre universitaire pour le calcul (m)
    4 crédits

    Étude d'applications de systèmes ou d'équations algébriques, logarithmiques et exponentielles. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour MATH F151X ou MATH F122X, mais pas pour les deux. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, Math F152X et Math F156X.

    Conditions préalables: B ou mieux en DEVM F105 ou B ou mieux en DEVM F105J ou C ou mieux en DEVM F105N ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4.5 + 0 + 0

    Trigonométrie MATH F152X (m)
    3 crédits

    Une étude des fonctions trigonométriques, y compris la représentation graphique, les identités, les fonctions trigonométriques inverses, la résolution d'équations et les applications de coordonnées polaires. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, Math F152X et Math F156X.

    Conditions préalables: MATH F151X ou inscription simultanée à MATH F151X ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F156R Préparation pour le précalcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires au précalcul ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir dans le précalcul. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F156R ou MATH F156S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F156X ou placement en MATH F156X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    Atelier de compétences en précalcul MATH F156S
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en précalcul, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Des instructions sur la façon de réussir dans les cours de précalcul et de mathématiques seront également incluses. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour avoir suivi MATH F156R ou MATH F156S, mais pas pour les deux. Ce cours nécessite une inscription simultanée à MATH F156X.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F156X ou placement en MATH F156X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F156X Précalcul (m)
    4 crédits

    Différentes classes de fonctions et leurs graphes sont explorés numériquement, algébriquement et graphiquement. Les classes de fonctions comprennent polynomiale, rationnelle, exponentielle, logarithmique et trigonométrique. Les compétences et les concepts nécessaires au calcul sont soulignés. Ce cours est destiné aux étudiants ayant l'intention de suivre MATH F251X. Remarque : Seuls huit crédits au total peuvent être obtenus avec MATH F151X, MATH F152X et MATH F156X.

    Conditions préalables: Placement dans MATH F156X.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 1 + 0

    MATH F211 Mathématiques pour les enseignants du primaire (m)
    3 crédits

    Théorie des ensembles élémentaires, systèmes de numération et algorithmes d'arithmétique, diviseurs, multiples, entiers et introduction aux nombres rationnels. Accent sur les méthodes de classe. Réservé à l'enseignement primaire, autres avec la permission de l'instructeur.

    Conditions préalables: MATH F122X ou MATH F151X ou MATH F156X ou placement.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 1 + 0

    MATH F212 Mathématiques pour les enseignants du primaire II (m)
    3 crédits

    Une suite de MATH F211. Systèmes et sous-systèmes de nombres réels, logique, géométrie informelle, système métrique, probabilité et statistiques. Accent sur les méthodes de classe.

    Conditions préalables: MATH F211.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 1 + 0

    MATH F230X Calculs Essentials avec applications
    3 crédits

    Une introduction aux idées clés du calcul différentiel et intégral, et à leurs utilisations dans les affaires, l'économie et les sciences. Ce cours met l'accent sur une solide compréhension conceptuelle, ainsi que sur des techniques de calcul pour les applications de base. Remarque : Aucun crédit ne peut être obtenu pour MATH F230X et MATH F251X. MATH F230X ne peut pas servir de prérequis pour MATH F252X.

    Conditions préalables: MATH F122X ou MATH F151X ou MATH F156X ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F251R Préparation au calcul
    1 crédit

    Un examen intensif et individualisé des sujets préalables nécessaires au calcul, ainsi qu'une pratique en petits groupes de sujets connexes. L'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir en calcul. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F251R ou MATH F251S, mais pas pour les deux.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F251X ou placement en MATH F251X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.7 + 1 + 0

    Atelier de compétences MATH F251S Calculus I
    1 crédit

    Étude dirigée de sujets en MATH F251X, l'accent sera mis sur la résolution de problèmes et la communication mathématique. Sont également inclus des instructions sur la façon de réussir dans les cours de calcul I et de mathématiques. Remarque : Un crédit peut être obtenu pour le cours MATH F251R ou MATH F251S, mais pas pour les deux. Ce cours nécessite une inscription simultanée à MATH F251X.

    Conditions préalables: Précédent W ou grade inférieur à C- en MATH F251X ou placement en MATH F251X ou recommandation du département.

    Cours + Labo + Autre : 0.5 + 1.5 + 0

    MATH F251X Calcul I (m)
    4 crédits

    Un premier cours de calcul à une seule variable. Les sujets incluent la continuité des limites et la différenciation des applications des fonctions de la dérivée à la représentation graphique, l'optimisation et les taux de changement, l'intégration définie et indéfinie et le théorème fondamental du calcul. Remarque : aucun crédit ne peut être obtenu pour MATH F251X et MATH F230X.

    Conditions préalables: MATH F151X et MATH F152X ou MATH F156X ou placement.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 1 + 0

    MATH F252X Calcul II (m)
    4 crédits

    D'autres sujets en calcul à une variable, y compris les techniques d'intégration des applications de convergence d'intégration de séquences et de courbes paramétrées en série et de coordonnées polaires.

    Conditions préalables: MATH F251X.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 1 + 0

    MATH F253X Calcul III (m)
    4 crédits

    Calcul à variables multiples. Les sujets incluent les vecteurs dans le calcul différentiel à 2 et 3 dimensions des fonctions de plusieurs variables, le calcul vectoriel à intégration multiple, y compris le théorème et les applications de Green et Stokes.

    Conditions préalables: MATH F252X.

    Les attributs: UAF GER Mathématiques Req

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F265 Introduction aux preuves mathématiques (m)
    3 crédits

    Accent sur les techniques de preuve avec des sujets tels que la logique, les ensembles, la cardinalité, les relations, les fonctions, l'équivalence, l'induction, la théorie des nombres, les classes de congruence et le comptage élémentaire. De plus, un traitement rigoureux des sujets du calcul ou une sélection de sujets supplémentaires des mathématiques discrètes peuvent être inclus.

    Conditions préalables: MATH F252X ou inscription simultanée à MATH F252X ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F301 Sujets en mathématiques
    3 crédits

    Un cours au choix en mathématiques pour les majors. Les sujets varient d'une année à l'autre et peuvent être tirés de la biologie mathématique, de l'algèbre linéaire numérique, de la théorie des graphes, de la théorie de Gelois, de la logique ou d'autres domaines des mathématiques. Peut être répété avec la permission de l'instructeur pour un total de neuf crédits.

    Conditions préalables: MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 0 + 0 + 0

    MATH F302 Équations différentielles
    3 crédits

    Nature et origine des équations différentielles, équations et solutions du premier ordre, équations différentielles linéaires à coefficients constants, systèmes d'équations, solutions de séries entières, méthodes opérationnelles et applications.

    Conditions préalables: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F305 Géométrie
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Sujets choisis dans des domaines tels que la géométrie plane euclidienne et non euclidienne, la géométrie affine, la géométrie projective et la topologie.

    Conditions préalables: MATH F265 MATH F314 ou autorisation de l'instructeur.

    Conseillé: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F306 Introduction à l'histoire et à la philosophie des mathématiques
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Périodes importantes dans l'histoire des mathématiques, y compris les mathématiques de l'ancienne Babylone, Mespotatmia, la Grèce, la Chine et l'Inde les mathématiques de l'Europe médiévale, le Moyen-Orient et la Renaissance le développement de la géométrie, l'algèbre et le calcul. D'autres domaines du développement des mathématiques et de la philosophie des mathématiques seront étudiés si le temps le permet. Pour les étudiants en mathématiques, sciences, histoire et philosophie.

    Conditions préalables: MATH F253X MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F307 Mathématiques discrètes
    3 crédits

    Logique, comptage, ensembles et fonctions, relations de récurrence, graphiques et arbres. Sujets supplémentaires choisis dans la théorie des probabilités.

    Conditions préalables: MATH F252X ou autorisation de l'instructeur.

    Coté avec CS F307.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    Analyse numérique MATH F310
    3 crédits

    Solutions directes et itératives de systèmes d'équations, interpolation, différenciation et intégration numériques, solutions numériques d'équations différentielles ordinaires et analyse d'erreurs.

    Conditions préalables: MATH F302 ou MATH F314 ou autorisation de l'instructeur.

    Conseillé: Connaissance de la programmation.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F314 Algèbre linéaire
    3 crédits

    Équations linéaires, espaces vectoriels de dimension finie, matrices, déterminants, transformations linéaires et valeurs caractéristiques. Espaces produits intérieurs.

    Conditions préalables: MATH F252X ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F320 Sujets en combinatoire
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Introduction à quelques notions fondamentales de la combinatoire. Sujets choisis dans des domaines tels que la combinatoire énumérative, les fonctions génératrices, les systèmes d'ensembles, les relations de récurrence, les graphes orientés, les correspondances, les graphes hamiltoniens et eulériens, les arbres et les colorations de graphes.

    Conditions préalables: MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F321 Théorie des nombres
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    La théorie des nombres s'intéresse aux propriétés des nombres entiers, l'un des ensembles mathématiques les plus élémentaires. Les questions apparemment naïves de la théorie des nombres ont stimulé une grande partie du développement des mathématiques modernes et offrent toujours de riches opportunités d'investigation. Les sujets étudiés incluent des sujets classiques tels que la primalité, les congruences, la réciprocité quadratique et les équations diophantiennes, ainsi que des applications plus récentes à la cryptographie. Des sujets supplémentaires tels que les fractions continues, les courbes elliptiques ou une introduction aux méthodes analytiques peuvent être inclus.

    Conditions préalables: MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F371 Probabilité
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Espaces de probabilité, probabilité conditionnelle, variables aléatoires, distributions continues et discrètes, espérance, moments, fonctions génératrices de moments et fonctions caractéristiques.

    Conditions préalables: MATH F253X.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F401 Introduction à l'analyse réelle (W)
    3 crédits

    Intégralité des nombres réels et ses conséquences convergence des suites et des séries, limites et continuité, différenciation, intégrale de Riemann.

    Conditions préalables: ENGL F111X ENGL F211X ou ENGL F213X ou autorisation de l'instructeur MATH F253X MATH F265.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    Topologie MATH F404
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Introduction à la topologie, à la théorie des ensembles, aux ensembles ouverts, à la compacité, à la connexité, aux espaces produits, aux espaces métriques et aux continuums.

    Conseillé: MATH F314 et/ou MATH F405.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F405 Algèbre abstraite (W)
    3 crédits

    Théorie des groupes, anneaux et champs.

    Conditions préalables: ENGL F111X ENGL F211X ou ENGL F213X MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Conseillé: MATH F307 et/ou MATH F314.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F408 Statistiques mathématiques
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Distribution de variables aléatoires et fonctions de variables aléatoires, estimation d'intervalle, estimation ponctuelle, statistiques suffisantes, statistiques d'ordre et test d'hypothèses comprenant divers critères pour les tests.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F412 Géométrie différentielle
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Introduction à la géométrie différentielle des courbes, des surfaces et des variétés riemanniennes. Les concepts de base couverts incluent l'appareil de Frenet-Serret, les surfaces, les première et deuxième formes fondamentales, les géodésiques, la courbure de Gauss et le théorème de Gauss-Bonnet. Si le temps le permet, des sujets tels que les surfaces minimales, la théorie des hypersurfaces et/ou l'analyse tensorielle peuvent être inclus.

    Conditions préalables: MATH F314 MATH F401 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F421 Analyse appliquée
    4 crédits

    Calcul vectoriel, y compris le gradient, la divergence et la boucle dans les coordonnées curvilignes orthogonales, les équations différentielles ordinaires et partielles et les problèmes de valeurs limites, ainsi que les séries et intégrales de Fourier.

    Conditions préalables: MATH F302.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F422 Introduction à l'analyse complexe
    3 crédits

    Fonctions complexes, y compris les séries, les intégrales, les résidus, la cartographie conforme et les applications.Peut être prise indépendamment de MATH F421.

    Conditions préalables: MATH F302.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F430 Sujets en mathématiques
    3 crédits

    Un cours au choix en mathématiques pour les majors. Les sujets varient d'une année à l'autre et peuvent être tirés de la biologie mathématique, de l'algèbre linéaire numérique, de la théorie des graphes, de la logique ou d'autres domaines des mathématiques. Peut être répété avec la permission de l'instructeur pour un total de neuf crédits.

    Conditions préalables: MATH F265 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F460 Modélisation mathématique
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Introduction à la modélisation mathématique à l'aide d'équations différentielles ou aux différences. L'accent est mis sur la formulation de modèles et l'interprétation du comportement qualitatif que ces modèles prédisent. Des exemples seront tirés d'une variété de domaines, selon l'intérêt de l'instructeur. Les élèves développent un projet de modélisation.

    Conditions préalables: COMM F131X ou COMM F141X ENGL F111X ENGL F211X ou ENGL F213X MATH F252X ou autorisation de l'instructeur.

    Conseillé: Un ou plusieurs MATH F302 MATH F310 MATH F314 MATH F401 STAT F300 une certaine expérience en programmation.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    Séminaire senior MATH F490 (O)
    2 crédits

    Sujets avancés sélectionnés dans des domaines en dehors des offres habituelles de premier cycle. Un niveau substantiel de maturité mathématique est supposé.

    Conditions préalables: COMM F131X ou COMM F141X au moins un des MATH F401 ou MATH F405 de haut niveau.

    Cours + Labo + Autre : 2 + 0 + 0

    MATH F505 Alaska Math Consortium : enseignants de mathématiques de la maternelle à la 12e année
    4 crédits

    Cours + Labo + Autre : 3 + 3 + 0

    Séminaire d'enseignement MATH F600
    1 crédit

    Fondamentaux de l'enseignement des mathématiques en milieu universitaire. Les sujets peuvent inclure n'importe quel aspect de l'enseignement : règlements universitaires, organisation des cours et des conférences, tests, sélection de livres, évaluations de l'enseignement, etc.Les sujets spécifiques varieront en fonction de l'intérêt de l'étudiant et de l'instructeur. Des visites individuelles en classe seront également utilisées pour la discussion en classe. Peut être répété pour crédit.

    Conditions préalables: Diplômé debout.

    Cours + Labo + Autre : 1 + 0 + 0

    MATH F611 Physique mathématique
    3 crédits

    Outils mathématiques et théorie pour la physique classique et moderne. Thèmes principaux : Algèbre linéaire incluant les valeurs propres, les vecteurs propres et les produits internes dans les espaces de dimension finie. Série infinie. Espaces de Hilbert et fonctions généralisées. Analyse complexe, incluant les méthodes des séries de Laurent et des contours. Applications aux problèmes posés en physique. Sujets supplémentaires sélectionnés, qui peuvent inclure la théorie des opérateurs et la théorie spectrale, les groupes, les champs de tenseur, les nombres hypercomplexes.

    Conditions préalables: MATH F302 MATH F314 MATH F421 MATH F422 ou autorisation de l'instructeur.

    Coté avec PHYS F611.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F612 Physique mathématique
    3 crédits

    Poursuite de la physique mathématique I outils mathématiques et théorie pour la physique classique et moderne. Thèmes abordés : solutions classiques aux principales équations aux dérivées partielles linéaires de l'électromagnétisme, mécanique classique et quantique. Problèmes aux limites et théorie de Sturm-Liouville. Fonctions de Green et développements de fonctions propres. Transformations intégrales. Polynômes orthogonaux et fonctions spéciales. Applications aux problèmes posés en physique. Sujets supplémentaires sélectionnés, qui peuvent inclure les équations intégrales et la théorie de Hilbert-Schmidt, les méthodes de perturbation, la théorie des probabilités.

    Conditions préalables: PHYS/MATH F611 ou équivalent ou autorisation de l'instructeur.

    Coté avec PHYS F612.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F614 Algèbre Linéaire Numérique
    3 crédits

    Algorithmes et théorie pour un calcul stable et précis à l'aide de matrices et de vecteurs sur ordinateur. Factorisations matricielles, méthodes directes et itératives de résolution de systèmes linéaires, décompositions par moindres carrés, valeurs propres et valeurs singulières. Implémentation pratique et application d'algorithmes.

    Conditions préalables: MATH F314 ou équivalent ou autorisation de l'instructeur.

    Conseillé: MATH F421 ou MATH F401.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F615 Analyse numérique d'équations différentielles
    3 crédits

    Examen de la différenciation et de l'intégration numériques, et de la résolution numérique des équations différentielles ordinaires. Les sujets principaux incluent la solution numérique des équations aux dérivées partielles, l'ajustement de courbes, les splines et l'approximation des fonctions. Des sujets supplémentaires tels que la méthode numérique des lignes, la transformée de Fourier rapide et les éléments finis peuvent être inclus si le temps le permet et l'intérêt justifie.

    Conditions préalables: CS F201 MATH F310 MATH F314 MATH F421 MATH F422 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F617 Analyse fonctionnelle
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Etude des espaces de Banach et de Hilbert, et des applications linéaires continues entre eux. Fonctionnelles linéaires et théorème de Hahn-Banach. Applications du théorème des catégories de Baire. Opérateurs compacts, opérateurs auto-adjoints et leurs propriétés spectrales. Topologie faible et ses applications.

    Conditions préalables: MATH F314 MATH F401 ou équivalent.

    Conseillé: MATH F422 MATH F641 ou équivalent.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F631 Algèbre I
    4 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Développement rigoureux des groupes, anneaux et champs.

    Conditions préalables: MATH F405 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F632 Algèbre II
    3 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Sujets avancés pouvant être choisis parmi la théorie des groupes, la théorie de Galois, l'algèbre commutative ou non commutative, la géométrie algébrique, l'algèbre homologique ou d'autres domaines.

    Conditions préalables: MATH F631 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F641 Analyse réelle
    4 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Théorie générale de la mesure de Lebesgue et de l'intégration de Lebesgue sur la droite réelle. Propriétés de convergence de l'intégrale. Introduction à la théorie générale des mesures et de l'intégration. Différenciation, les mesures du produit et une introduction aux espaces LP.

    Conditions préalables: MATH F401 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F645 Analyse complexe
    4 crédits

    Offert au printemps les années paires

    Fonctions analytiques, séries entières, théorie intégrale de Cauchy, théorème des résidus. Topologie de base du plan complexe et théorie de la structure des fonctions analytiques. Le théorème de cartographie de Riemann. Produits infinis.

    Conditions préalables: MATH F641 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    Topologie MATH F651
    4 crédits

    Offert au printemps les années impaires

    Traitement des thèmes fondamentaux de la topologie des ensembles de points. Axiomes de séparation, espaces produits et quotients, convergence via réseaux et filtres, compacité et compactifications, paracompactité, théorèmes de métrisation, propriétés de dénombrement et connexité. Définir la théorie selon les besoins pour les exemples et les techniques de preuve.

    Conditions préalables: MATH F401 ou MATH F404 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 4 + 0 + 0

    MATH F658 Sujets en géométrie
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Sujets au choix en géométrie. L'offre peut inclure des configurations de topologie de points et de lignes et la géométrie différentielle des surfaces polyèdres et polytopes.

    Conditions préalables: Algèbre linéaire géométrie de premier cycle analyse réelle algèbre abstraite de premier cycle.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F660 Modélisation mathématique avancée
    3 crédits

    Offert au printemps les années paires

    La formulation mathématique et l'analyse de problèmes survenant dans les sciences physiques, biologiques ou sociales. Le domaine d'intérêt du cours peut varier, mais l'accent sera mis sur les hypothèses de modélisation, la dérivation d'équations modèles, les méthodes d'analyse et l'interprétation des résultats pour les applications particulières. Les exemples incluent les problèmes de conduction thermique, les processus de marche aléatoire, l'évolution moléculaire, la théorie des perturbations. Les étudiants développeront un projet de modélisation dans le cadre des exigences du cours.

    Conditions préalables: Autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F661 Optimisation
    3 crédits

    Offert à l'automne les années paires

    Programmation linéaire et non linéaire, méthode simplexe, méthode dualité et double simplexe, analyse post-optimale, programmation non linéaire contrainte et sans contrainte, conditions de Kuhn-Tucker. Applications à la gestion, aux sciences physiques et de la vie. Travail informatique avec l'ordinateur.

    Conditions préalables: Connaissance du calcul, de l'algèbre linéaire et de la programmation informatique.

    Coté avec CS F661.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F663 Théorie des graphes
    3 crédits

    Offert à l'automne les années impaires

    Une étude des techniques modernes dans les sujets de la théorie des graphes peut inclure des graphes et des digraphes, des arbres, des arbres couvrants, des correspondances, la connectivité des graphes, la coloration des graphes, la planéité, les cycles et les problèmes extrêmes.

    Conditions préalables: MATH F314 MATH F320 ou autorisation de l'instructeur.

    Cours + Labo + Autre : 3 + 0 + 0

    MATH F665 Sujets en mathématiques supérieures
    3 crédits

    Offert en tant que bons de souscription

    Cours au choix en mathématiques aux cycles supérieurs offerts par le corps professoral sur une base rotative. Les sujets peuvent inclure, sans s'y limiter, la théorie des graphes, la modélisation glaciologique, la relativité générale, la biologie mathématique, la théorie de Galois et l'algèbre linéaire numérique. Peut être répété pour crédit avec la permission de l'instructeur.


    Développement et application d'un algorithme de calcul parallèle CFD basé sur la pression

    4.1 Écoulement cavitaire bidimensionnel

    Un écoulement à cavité laminaire incompressible à quatre blocs avec le nombre de Reynolds 1000 est utilisé pour les cas d'essai bidimensionnels. La figure 4 présente les vecteurs de vitesse résolus sur un seul hôte. Le même problème est résolu en utilisant la méthode de calcul parallèle avec 4 zones utilisant 4 processeurs. Les vecteurs de vitesse calculés sont exactement les mêmes que les solutions à domaine unique. On peut en conclure que les deux solutions utilisant des techniques de calcul série et parallèle sont les mêmes.

    4 . Vecteurs de vitesse calculés à l'aide d'un hôte unique pour un écoulement de cavité piloté.

    Deux tailles de grille avec 81 × 81 et 161 × 161 ont été réalisées pour 1000 et 200 itérations respectivement. Les résultats sont présentés dans le Tab. 1 . On constate qu'un facteur d'accélération et une efficacité plus élevés ont été obtenus pour une grande taille de grille. Les temps de communication entre les interfaces zonales prennent environ 35,8% et 23,3% pour les petites et grandes tailles de grille utilisées dans cette étude.

    Languette. 1 . Performances du calcul parallèle utilisant 4 processeurs sur l'ordinateur Power Challenge de SGI.


    Introduction

    1.5 Chapitres du livre

    Le livre est autonome. L'arrière-plan requis dans la théorie des gyrogroupes d'Einstein et des espaces gyrovectoriels d'Einstein est présenté dans les Chaps. 2 et 3 .

    Chapitre 2 : Gyrogroupes d'Einstein. Ce chapitre présente le contexte requis sur les gyrogroupes d'Einstein. L'addition de vitesse d'Einstein dans sa théorie de la relativité restreinte n'est ni commutative ni associative. Cependant, c'est à la fois gyrocommutatif et gyroassociatif. La structure riche résultante de l'addition de vitesse d'Einstein donne naissance dans ce chapitre à un objet de type groupe algébrique appelé un gyrogroupe. Les gyrogroupes d'Einstein se révèlent être gyrocommutatifs, et ils sont destinés dans le livre à être étendus aux bi-gyrogroupes bi-gyrocommutatifs de signature (m, m), m, n ℕ .

    chapitre 3 : Einstein Gyrovector Espaces. Ce chapitre présente le contexte requis sur les espaces gyrovectoriels d'Einstein. L'addition d'Einstein admet une multiplication scalaire, transformant les gyrogroupes d'Einstein en espaces gyrovectoriels d'Einstein. Il est montré dans ce chapitre que les espaces gyrovectoriels d'Einstein forment le cadre algébrique de la géométrie hyperbolique avec un gain spectaculaire de clarté et de simplicité, tout comme les espaces vectoriels forment le cadre algébrique de la géométrie euclidienne. Les espaces gyrovectoriels d'Einstein sont destinés dans le livre à être étendus aux espaces bi-gyrovectoriels de signature ( m, m), m, n ℕ . Ces dernières forment dans le livre le cadre algébrique de la géométrie bi-hyperbolique de la signature (m, m), m, n ℕ . Remarquablement, l'intrication géométrique émerge dans la géométrie bi-hyperbolique lorsque m, m > 1. Quand m = 1, géométrie bi-hyperbolique de signature (1, m) coïncide avec la géométrie hyperbolique dans m dimensions et, par conséquent, n'implique aucun enchevêtrement géométrique.

    Chapitre 4 : Bi-gyrogroupes et Espaces Bi-gyrovectoriels – P. Le groupe SO(m, n) des transformations de Lorentz de signature (m, m), m, n ∈ ℕ , est paramétré dans ce chapitre par deux paramètres d'orientation et un paramètre principal P. L'espace n × m de P est l'espace de tout réel m × m matrices. Cet espace et son ajout de signature Einstein (m, m) donnent naissance aux bi-gyrogroupes de signature d'Einstein (m, m). Ce dernier, avec la multiplication scalaire d'Einstein de la signature (m, m), donnent naissance à des espaces de signature bi-gyrovectoriels d'Einstein (m, m). Lorsque m = 1, les bi-gyrogroupes et les espaces bi-gyrovectoriels coïncident, respectivement, avec les gyrogroupes et les espaces gyrovectoriels. Lorsque (m, m) = (1, 3), la transformation de Lorentz de signature (m, m) descend à la transformation de Lorentz commune de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein, et son paramètre P descend au relativiste bonne vitesse, également appelée vitesse de déplacement.

    L'étude de l'espace ℝ n × m du paramètre P dans ce chapitre ouvre la voie à l'étude du Chap. 5 de l'espace d'un nouveau paramètre, V, qui est la boule ℝ c n × m de ℝ n × m .

    Chapitre 5 : Bi-gyrogroupes et Espaces Bi-gyrovectoriels – V. Le paramètre P ℝ n × m de la transformation de Lorentz de signature (m, m), m, n ℕ , étudié au Chap. 4 , est changé dans ce chapitre en un nouveau paramètre V ℝ c n × m dans le c-boule ℝ c n × m de l'espace ℝ n × m . Lorsque (m, m) = (1, 3), la transformation de Lorentz de signature (m, m) descend à la transformation de Lorentz commune de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein, et son paramètre V ℝ c n × m descend à la vitesse relativiste admissible, également connue sous le nom de vitesse d'un observateur. L'étude des bi-gyrogroupes et des espaces bi-gyrovectoriels du paramètre V dans ce chapitre dépend de l'étude des bi-gyrogroupes et des espaces bi-gyrovectoriels du paramètre P au chap. 4 .

    Chapitre 6 : Applications à l'Espace-Temps de la Signature (m,n). Les boosts de Galilei sont étendus dans ce chapitre aux bi-boosts de signature de Galilei (m, m), m, n ℕ . Un bi-boost de signature Galilei (m, m) est une transformation qui agit collectivement sur les constituants d'un système de particules de m nparticules -dimensionnelles, où n = 3 dans les applications physiques. Un bi-boost de signature Galilei (1, m) est un coup de pouce Galilei. L'action collective d'un bi-boost Galilei de toute signature (m, m), m, m > 1, sur un système de particules est intuitivement clair. En revanche, l'action collective d'un bi-boost Lorentz de toute signature (m, m), m, m > 1, sur un système de particules est initialement inconnu.

    Heureusement, cependant, guidé par des modèles, Galilei bi-booste de toute signature (m, m), m, n ℕ , conduisent naturellement dans ce chapitre au résultat remarquable suivant. La transformation de Lorentz qui correspond au bi-boost Galilei intuitivement clair de la signature (m, m), m, n ∈ ℕ , est le bi-boost de Lorentz de même signature (m, m).

    Résultats associés aux bi-boosts de signature de Lorentz (m, m) sont explorées dans ce chapitre, conduisant à un lien entre l'addition d'Einstein de la signature (m, m) et l'addition relativiste spéciale d'Einstein de la signature (1, 3).

    Chapitre 7 : Géométrie Analytique Bi-hyperbolique : La Géométrie des Espaces Bi-gyrovectoriels. Les espaces gyrovectoriels d'Einstein, présentés au Chap. 3 , ont été étendues aux espaces de signature bi-gyrovectoriels d'Einstein (m, m), m, n ℕ , et étudiés aux Chaps. 4 – 6 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 . Dans le cas particulier où m = 1, un espace de signature bi-gyrovectoriel d'Einstein (m, m) coïncide avec le mespace gyrovectoriel d'Einstein à deux dimensions.

    La géométrie d'un espace bi-gyrovecteur d'Einstein de signature (m, m) est appelée géométrie bi-hyperbolique de signature (m, m). Ainsi, dans le cas particulier où m = 1, géométrie bi-hyperbolique de signature (1, m) coïncide avec m-géométrie hyperbolique dimensionnelle.

    Un phénomène d'intrication géométrique émerge dans ce chapitre dans l'étude de la géométrie bi-hyperbolique de signature (m, m), m, m > 1. Des figures illustrant graphiquement le phénomène d'intrication géométrique sont présentées pour signature (m, m) = (3, 2), où (m = courbes de vitesse bidimensionnelles de (m = 3) les particules enchevêtrées sont affichées. Il est graphiquement clair que la vitesse relativiste d'une sous-particule d'un système de particules dépend des vitesses relativistes des autres sous-particules constitutives du système.

    En conséquence, il est indiqué aux chap. 6 et 7 que le phénomène d'intrication géométrique en géométrie bi-hyperbolique régule l'omniprésence du phénomène d'intrication en physique.


    Voir la vidéo: Secondaire 4 Géométrie Analytique (Octobre 2021).