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14.5 : Triples intégrales


Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître quand une fonction de trois variables est intégrable sur une boîte rectangulaire.
  • Évaluer une triple intégrale en l'exprimant comme une intégrale itérée.
  • Reconnaître quand une fonction de trois variables est intégrable sur une région fermée et bornée.
  • Simplifiez un calcul en changeant l'ordre d'intégration d'une triple intégrale.
  • Calculer la valeur moyenne d'une fonction de trois variables.

Auparavant, nous avons discuté de la double intégrale d'une fonction (f(x,y)) de deux variables sur une région rectangulaire du plan. Dans cette section, nous définissons la triple intégrale d'une fonction (f(x,y,z)) de trois variables sur une boîte solide rectangulaire dans l'espace, (mathbb{R}^3). Plus loin dans cette section, nous étendons la définition à des régions plus générales dans (mathbb{R}^3).

Fonctions intégrables de trois variables

On peut définir une boîte rectangulaire (B) dans (mathbb{R}^3) comme

[B = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f ig }.]

Nous suivons une procédure similaire à ce que nous avons fait précédemment. On divise l'intervalle ([a,b]) en (l) sous-intervalles ([x_{i-1},x_i]) de longueur égale (Delta x) avec

[Delta x = dfrac{x_i - x_{i-1}}{l},]

diviser l'intervalle ([c,d]) en (m) sous-intervalles ([y_{i-1}, y_i]) de longueur égale (Delta y) avec

[Delta y = dfrac{y_j - y_{j-1}}{m},]

et diviser l'intervalle ([e,f]) en (n) sous-intervalles ([z_{i-1},z_i]) de longueur égale (Delta z) avec

[Delta z = dfrac{z_k - z_{k-1}}{n}]

Ensuite, la boîte rectangulaire (B) est subdivisée en (lmn) sous-boîtes :

[B_{ijk} = [x_{i-1}, x_i] imes [y_{i-1}, y_i] imes [z_{i-1},z_i],]

comme le montre la figure (PageIndex{1}).

Pour chaque (i, , j,) et (k), considérons un point échantillon ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) dans chaque sous-boîte (B_{ijk}). On voit que son volume est (Delta V = Delta x Delta y Delta z). Former la triple somme de Riemann

[sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^* ),Delta x Delta y Delta z.]

Nous définissons la triple intégrale en termes de limite d'une triple somme de Riemann, comme nous l'avons fait pour la double intégrale en termes de double somme de Riemann.

Définition : L'intégrale triple

L'intégrale triple d'une fonction (f(x,y,z)) sur une boîte rectangulaire (B) est définie comme

[lim_{l,m,n ightarrowinfty} sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*),Delta x Delta y Delta z = iiint_B f(x,y,z) ,dV] si cette limite existe.

Lorsque la triple intégrale existe sur (B) la fonction (f(x,y,z)) est dite intégrable sur (B). De plus, l'intégrale triple existe si (f(x,y,z)) est continue sur (B). Par conséquent, nous utiliserons des fonctions continues pour nos exemples. Cependant, la continuité est suffisante mais pas nécessaire ; autrement dit, (f) est borné sur (B) et continu sauf éventuellement sur le bord de (B). Le point d'échantillonnage ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) peut être n'importe quel point de la sous-boîte rectangulaire (B_{ijk}) et tous les les propriétés d'une intégrale double s'appliquent à une intégrale triple. Tout comme l'intégrale double a de nombreuses applications pratiques, l'intégrale triple a également de nombreuses applications, dont nous discuterons dans les sections suivantes.

Maintenant que nous avons développé le concept de l'intégrale triple, nous devons savoir comment le calculer. Tout comme dans le cas de l'intégrale double, nous pouvons avoir une intégrale triple itérée, et par conséquent, une version de Le théorème de Fubini pour les intégrales triples existe.

Le théorème de Fubini pour les triples intégrales

Si (f(x,y,z)) est continue sur une boite rectangulaire (B = [a,b] imes [c,d] imes [e,f]), alors

[iint_B f(x,y,z) ,dV = int_e^f int_c^d int_a^b f(x,y,z) ,dx , dy , dz.]

Cette intégrale est également égale à l'un des cinq autres ordres possibles pour l'intégrale triple itérée.

Pour les nombres réels (a, b, c, d, e) et (f), l'intégrale triple itérée peut être exprimée dans six ordres différents :

[egin{align} int_e^f int_c^d int_a^bf(x,y,z), dx , dy , dz = int_e^f left( int_c^d left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight) dy ight) dz = int_c^d left( int_e^f left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight)dz ight) dy = int_a^b left( int_e^f left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight)dz ight) dx = int_e^f left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight) dx ight) dz = int_c^d left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dz ight)dx ight) dy = int_a^b left( int_c^d left( int_e^ff( x,y,z) ,dz ight) dy ight) dx end{align}]

Pour une boîte rectangulaire, l'ordre d'intégration ne fait pas de différence significative dans le niveau de difficulté de calcul. Nous calculons les intégrales triples en utilisant le théorème de Fubini plutôt qu'en utilisant la définition de la somme de Riemann. On suit l'ordre d'intégration de la même manière que pour les intégrales doubles (c'est-à-dire de l'intérieur vers l'extérieur).

Exemple (PageIndex{1}) : Évaluation d'une triple intégrale

Évaluer l'intégrale triple [int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz ^2), dx , dy , dz. pas de numéro ]

Solution

L'ordre d'intégration est spécifié dans le problème, donc intégrez par rapport à (x) d'abord, puis oui, puis (z).

[egin{align*} int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) , dx , dy , dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left. left[ dfrac{x^2}{2} + xyz^2 ight|_{x=-1}^{x=5} ight], dy , dz ext{Intégrer par rapport à $ x$.} = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left[12+6yz^2 ight] ,dy , dz ext{Évaluer.} = int_{z=0}^{z=1} left[ left.12y+6dfrac{y^2}{2}z^2 ight|_{y =2}^{y=4} ight] dz ext{Intégrer par rapport à $y$.} = int_{z=0}^{z=1} [24+36z^2] , dz ext{Evaluer.} = left[ 24z+36dfrac{z^3}{3} ight]_{z=0}^{z=1} ext{Intégrer par rapport à $z $.} =36. ext{Evaluer.} end{align*}]

Exemple (PageIndex{2}) : évaluation d'une triple intégrale

Évaluer l'intégrale triple

[iiint_B x^2 yz ,dV]

où (B = ig{(x,y,z),|, - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 gros} ) comme illustré à la figure (PageIndex{2}).

Solution

L'ordre n'est pas spécifié, mais nous pouvons utiliser l'intégrale itérée dans n'importe quel ordre sans changer le niveau de difficulté. Choisissez, disons, d'intégrer (y) d'abord, puis (x), puis (z).

[egin{align*} iiintlimits_{B} x^2 yz ,dV = int_1^5 int_{-2}^1 int_0^3 [x^2 yz] ,dy , dx , dz = int_1^5 int_{-2}^1 left[ left. x^2 dfrac{y^3}{3} z ight|_0^3 ight] dx , dz = int_1^5 int_{-2}^1 dfrac{y}{2} x^2 z ,dx , dz = int_1^5 left[ left. dfrac{9}{2} dfrac{x^3}{3} z ight|_{-2}^1 ight] dz = int_1^5 dfrac{27}{2} z , dz = gauche. dfrac{27}{2} dfrac{z^2}{2} ight|_1^5 = 162. end{align*}]

Essayez maintenant d'intégrer dans un ordre différent juste pour voir que nous obtenons la même réponse. Choisissez d'intégrer par rapport à (x) d'abord, puis (z), puis (y)

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2yz ,dV = int_0^3 int_1^5 int_{-2}^1 [x^2yz] ,dx, dz , dy = int_0^3 int_1^5 left[ left. dfrac{x^3}{3} yz ight|_{-2}^1 ight] dz ,dy =int_0^3 int_1^5 3yz ; dz ,dy = int_0^3 left.left[ 3ydfrac{z^2}{2} ight|_1^5 ight] ,dy = int_0^3 36y ; dy = gauche. 36dfrac{y^2}{2} ight|_0^3 =18(9-0) =162. end{align*}]

Exercice (PageIndex{1})

Évaluer l'intégrale triple

[iint_B z , sin , x , cos , y , dV onumber ]

où (B = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq pi, , dfrac{3pi}{2} leq y leq 2pi , , 1 leq z leq 3 grand}).

Indice

Suivez les étapes de l'exemple précédent.

Répondre

[iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 onumber]

Triple intégrale sur une région générale

L'intégrale triple d'une fonction continue (f(x,y,z)) sur une région tridimensionnelle générale

[E = ig{(x,y,z),|,(x,y) in D, , u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig }]

dans (mathbb{R}^3), où (D) est la projection de (E) sur le plan (xy), est

[iiint_E f(x,y,z) ,dV = iint_D left[int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) , dz droit] dA.]

De même, nous pouvons considérer une région bornée générale (D) dans le plan (xy) et deux fonctions (y = u_1(x,z)) et (y = u_2(x,z) ) tel que (u_1(x,z) leq u_2(x,z)) pour tout (9x,z)) dans (D). Ensuite, nous pouvons décrire la région solide (E) dans (mathbb{R}^3) comme

[E = ig{(x,y,z),|,(x,z) in D, , u_1(x,z) leq z leq u_2(x,z) ig }] où (D) est la projection de (E) sur le plan (xy) et l'intégrale triple est

[iiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z) , dy ight] dA.]

Enfin, si (D) est une région bornée générale dans le plan (xy) et nous avons deux fonctions (x = u_1(y,z)) et (x = u_2(y,z) ) tel que (u_1(y,z) leq u_2(y,z)) pour tout ((y,z)) dans (D), alors la région solide (E) dans (mathbb{R}^3) peut être décrit comme

[E = ig{(x,y,z),|,(y,z) in D, , u_1(y,z) leq z leq u_2(y,z) ig }] où (D) est la projection de (E) sur le plan (xy) et l'intégrale triple est

[iiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z) , dx droit] dA.]

Notez que la région (D) dans n'importe lequel des plans peut être de type I ou de type II comme décrit précédemment. Si (D) dans le plan (xy) est de type I (Figure (PageIndex{4})), alors

[E = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , g_1(x) leq y leq g_2(x), , u_1(x, y) leq z leq u_2(x,y) grand}.]

Alors l'intégrale triple devient

[iiint_E f(x,y,z) ,dV = int_a^b int_{g_1(x)}^{g_2(x)} int_{u_1(x,y)}^{u_2(x ,y)} f(x,y,z) ,dz , dy , dx.]

Si (D) dans le plan (xy) est de type II (Figure (PageIndex{5})), alors

[E = ig{(x,y,z),|,c leq x leq d, h_1(x) leq y leq h_2(x), , u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) grand}.]

Alors l'intégrale triple devient

[iiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{y=c}^{y=d} int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} int_ {z=u_1(x,y)}^{z=u_2(x,y)} f(x,y,z),dz , dx , dy.]

Exemple (PageIndex{3A}) : évaluation d'une triple intégrale sur une région délimitée générale

Evaluer l'intégrale triple de la fonction (f(x,y,z) = 5x - 3y) sur le tétraèdre solide borné par les plans (x = 0, , y = 0, , z = 0) , et (x + y + z = 1).

Solution

La figure (PageIndex{6}) montre le tétraèdre solide (E) et sa projection (D) sur le plan (xy).

Nous pouvons décrire le tétraèdre de la région solide comme

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grand}. pas de numéro]

L'intégrale triple est donc

[iiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz , dy , dx. pas de numéro]

Pour simplifier le calcul, évaluez d'abord l'intégrale (displaystyle int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) ,dz). On a

[int_{z=0}^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz = (5x - 3y)z igg|_{z=0}^{z=1-xy} = (5x - 3y)(1 - x - y). onumber]

Évaluer maintenant l'intégrale

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y) ,dy, onumber]

obtention

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y),dy = dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1).pas de numéro]

Enfin évaluer

[int_{x=0}^{x=1} dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1),dx = dfrac{1}{12}. onumber ]

En mettant tout cela ensemble, nous avons

[iiint_E f(x,y,z),dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy}(5x - 3y),dz , dy , dx = dfrac{1}{12}. onumber]

Tout comme nous avons utilisé l'intégrale double [iint_D 1 ,dA] pour trouver l'aire d'une région générale bornée (D), nous pouvons utiliser [iiint_E 1,dV] pour trouver le volume d'un région générale solide bornée (E). L'exemple suivant illustre la méthode.

Exemple (PageIndex{3B}) : Recherche d'un volume en évaluant une triple intégrale

Trouvez le volume d'une pyramide droite qui a la base carrée dans le plan (xy) ([-1,1] imes [-1,1]) et le sommet au point ((0, 0 , 1)) comme le montre la figure suivante.

Solution

Dans cette pyramide la valeur de (z) passe de 0 à 1 et à chaque hauteur (z) la section transversale de la pyramide pour toute valeur de (z) est le carré

[[-1 + z, , 1 - z] imes [-1 + z, , 1 - z]. onumber]

Par conséquent, le volume de la pyramide est [iiint_E 1,dV onumber] où

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z grand}. onumber]

Ainsi, nous avons

[egin{align*} iiint_E 1,dV = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z}^{y=1-z} int_{x =-1+z}^{x=1-z} 1,dx , dy , dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z} ^{y=1-z} (2 - 2z), dy , dz = int_{z=0}^{z=1}(2 - 2z)^2 ,dz = dfrac{4 }{3}. end{align*}]

Par conséquent, le volume de la pyramide est (dfrac{4}{3}) unités cubiques.

Exercice (PageIndex{3})

Considérons la sphère solide (E = ig{(x,y,z),|,x^2 + y^2 + z^2 = 9 ig}). Écrivez l'intégrale triple [iiint_E f(x,y,z) ,dV onumber ] pour une fonction arbitraire (f) sous forme d'intégrale itérée. Ensuite, évaluez cette triple intégrale avec (f(x,y,z) = 1). Notez que cela donne le volume d'une sphère en utilisant une triple intégrale.

Indice

Suivez les étapes de l'exemple précédent. Utilisez la symétrie.

Répondre

[egin{align*} iiint_E 1,dV = 8 int_{x=-3}^{x=3} int_{y=-sqrt{9-z^2}}^{y= sqrt{9-z^2}}int_{z=-sqrt{9-x^2-y^2}}^{z=sqrt{9-x^2-y^2}} 1 ,dz , dy , dx = 36 pi , ext{cubic units}. end{align*}]

Modification de l'ordre d'intégration

Comme nous l'avons déjà vu dans les intégrales doubles sur les régions bornées générales, changer l'ordre de l'intégration est fait assez souvent pour simplifier le calcul. Avec une triple intégrale sur une boîte rectangulaire, l'ordre d'intégration ne change pas le niveau de difficulté du calcul. Cependant, avec une triple intégrale sur une région générale bornée, le choix d'un ordre d'intégration approprié peut simplifier un peu le calcul. Parfois, le changement de coordonnées polaires peut également être très utile. Nous montrons ici deux exemples.

Exemple (PageIndex{4}): Modification de l'ordre d'intégration

Considérons l'intégrale itérée

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y} f(x,y,z ),dz , dy , dx.]

L'ordre d'intégration ici est d'abord par rapport à z, ensuite oui, et alors X. Exprimez cette intégrale en changeant l'ordre d'intégration pour qu'il soit d'abord par rapport à (x), puis (z), et enfin (y). Vérifier que la valeur de l'intégrale est la même si on laisse (f (x,y,z) =xyz).

Solution

La meilleure façon de le faire est d'esquisser la région (E) et ses projections sur chacun des trois plans de coordonnées. Ainsi, laissez

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2, , 0 leq z leq y grand}. onumber]

et

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=x^2} f(x,y ,z) ,dz , dy , dx = iiint_E f(x,y,z),dV. onumber]

Nous devons exprimer cette triple intégrale sous la forme

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx , dz , dy. onumber]

Connaissant la région (E) nous pouvons tracer les projections suivantes (Figure (PageIndex{8})) :

sur le plan (xy) est (D_1 = ig{(x,y),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2 ig } = { (x,y) ,|, 0 leq y leq 1, , sqrt{y} leq x leq 1 ig},)

sur le plan (yz) est (D_2 = ig{(y,z) ,|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 ig }), et

sur le plan (xz) est (D_3 = ig{(x,z) ,|, 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x^2 ig }).

On peut maintenant décrire la même région (E) que (ig{(x,y,z) ,|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 , , sqrt{y} leq x leq 1 ig}), et par conséquent, l'intégrale triple devient

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx , dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=x ^2} int_{x=sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z),dx , dz , dy]

Supposons maintenant que (f (x,y,z) = xyz) dans chacune des intégrales. Ensuite nous avons

[egin{align*} int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y^2 } xyz , dz , dy , dx = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left. left[xy dfrac{z^2}{2} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] , dy , dx = int_{x=0}^{ x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left( x dfrac{y^5}{2} ight) dy , dx = int_{x=0}^{ x=1} gauche. left[ xdfrac{y^6}{12} ight|_{y=0}^{y=x^2} ight] dx = int_{x=0}^{x=1} dfrac{x^{13}}{12} dx = gauche. dfrac{x^{14}}{168} ight|_{x=0}^{x=1} = dfrac{1}{168}, end{align*}]

[ egin{align*} int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} int_{x=sqrt{y}}^{x =1} xyz , dx , dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} left.left[ yz dfrac{x^2}{2} ight|_{sqrt{y}}^{1} ight] dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{ z=0}^{z=y^2} left( dfrac{yz}{2} - dfrac{y^2z}{2} ight) dz , dy = int_{y=0}^ {y=1} gauche. left[ dfrac{yz^2}{4} - dfrac{y^2z^2}{4} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] dy = int_ {y=0}^{y=1} left(dfrac{y^5}{4} - dfrac{y^6}{4} ight) dy = left. left(dfrac{y^6}{24} - dfrac{y^7}{28} ight) ight|_{y=0}^{y=1} = dfrac{1}{168 }. end{align*} ]

Les réponses correspondent.

Exercice (PageIndex{4})

Écrire cinq intégrales itérées différentes égales à l'intégrale donnée

[int_{z=0}^{z=4} int_{y=0}^{y=4-z} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x ,y,z) , dx , dy , dz. onumber]

Indice

Suivez les étapes de l'exemple précédent, en utilisant la région (E) comme ( ig{(x,y,z) ,|, 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt{y} ig}), et décrire et esquisser les projections sur chacun des trois plans, cinq fois différentes.

Répondre

[(i) , int_{z=0}^{z=4} int_{x=0}^{x=sqrt{4-z}} int_{y=x^2}^{ y=4-z} f(x,y,z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_{y=0}^{y=4} int_{z=0 }^{z=4-y} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x,y,z) ,dx , dz , dy, ,(iii) , int_{y=0}^{y=4} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} int_{z=0}^{Z=4-y} f(x, y,z) ,dz , dx , dy, , onumber]

[ (iv) , int_{x=0}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) ,dz , dy , dx, , (v) int_{x=0}^{x=2} int_{z=0}^{z=4-x ^2} int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) ,dy , dz , dx onumber]

Exemple (PageIndex{5}) : Modification de l'ordre d'intégration et des systèmes de coordonnées

Évaluer l'intégrale triple

[iiint_{E} sqrt{x^2 + z^2} ,dV, onumber ]

où (E) est la région délimitée par le paraboloïde (y = x^2 + z^2) (Figure (PageIndex{9})) et le plan (y = 4).

Solution

La projection de la région solide (E) sur le plan (xy) est la région délimitée en haut par (y = 4) et en bas par la parabole (y = x^2) comme indiqué.

Ainsi, nous avons

[E = ig{(x,y,z) ,|, -2 leq x leq 2, , x^2 leq y leq 4, , -sqrt{y - x ^2} leq z sqrt{y - x^2} ig}. onumber]

L'intégrale triple devient

[iiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx. onumber]

Cette expression est difficile à calculer, alors considérons la projection de (E) sur le plan (xz). C'est un disque circulaire (x^2 + z^2 leq 4). On obtient donc

[iiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx = int_{x= -2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y=x^2+z^ 2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx. onumber]

Ici, l'ordre d'intégration passe d'être premier par rapport à (z) puis (y) et ensuite (x) à premier par rapport à (y) puis à (z) puis à (x). Il sera bientôt clair comment ce changement peut être bénéfique pour le calcul. On a

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y= x^2+z^2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx = int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2 } ,dz , dx. onumber]

Utilisez maintenant la substitution polaire (x = r , cos , heta, , z = r , sin , heta), et (dz , dx = r , dr , d heta) dans le plan (xz). C'est essentiellement la même chose que lorsque nous avons utilisé des coordonnées polaires dans le plan (xy), sauf que nous remplaçons (y) par (z). Par conséquent les limites d'intégration changent et on a, en utilisant (r^2 = x^2 + z^2),

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x ^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2},dz , dx = int_{ heta=0}^{ heta=2pi} int_{r=0}^ {r=2} (4 - r^2) rr , dr , d heta = int_0^{2pi} left. left[ dfrac{4r^3}{3} - dfrac{r^5}{5} ight|_0^2 ight] , d heta = int_0^{2pi} dfrac{ 64}{15} ,d heta = dfrac{128pi}{15} onumber]

Valeur moyenne d'une fonction de trois variables

Rappelons que nous avons trouvé la valeur moyenne d'une fonction de deux variables en évaluant l'intégrale double sur une région du plan, puis en divisant par l'aire de la région. De même, nous pouvons trouver la valeur moyenne d'une fonction dans trois variables en évaluant la triple intégrale sur une région solide, puis en divisant par le volume du solide.

Valeur moyenne d'une fonction de trois variables

Si (f(x,y,z)) est intégrable sur une région solide bornée (E) de volume positif (V , (E),) alors la valeur moyenne de la fonction est

[f_{ave} = dfrac{1}{V , (E)} iiint_E f(x,y,z) , dV.]

Notez que le volume est

[V , (E) = iiint_E 1 ,dV.]

Exemple (PageIndex{6}) : Recherche d'une température moyenne

La température en un point ((x,y,z)) d'un solide (E) borné par les plans de coordonnées et le plan (x + y + z = 1) est (T(x, y,z) = (xy + 8z + 20) , ext{°} ext{C} ). Trouvez la température moyenne sur le solide.

Solution

Utilisez le théorème donné ci-dessus et l'intégrale triple pour trouver le numérateur et le dénominateur. Ensuite, faites la division. Notez que le plan (x + y + z = 1) a des interceptions ((1,0,0), , (0,1,0),) et ((0,0,1) ). La région (E) ressemble à

[E = ig{(x,y,z) ,|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grand}. onumber]

L'intégrale triple de la température est donc

[iiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac{147}{40}. pas de numéro ]

L'évaluation du volume est

[V , (E) = iiint_E 1,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} 1 ,dz , dy , dx = dfrac{1}{6}. pas de numéro ]

La valeur moyenne est donc

[ T_{ave} = dfrac{147/40}{1/6} = dfrac{6(147)}{40} = dfrac{441}{20} , ext{°} ext{ C} onuméro].

Exercice (PageIndex{6})

Trouvez la valeur moyenne de la fonction (f(x,y,z) = xyz) sur le cube avec des côtés de longueur 4 unités dans le premier octant avec un sommet à l'origine et des arêtes parallèles aux axes de coordonnées.

Indice

Suivez les étapes de l'exemple précédent.

Répondre

(f_{moy} = 8)


Calcul : transcendantal tardif, 11e Édition Version prête pour reliure s'efforce d'accroître la compréhension et la compréhension conceptuelle des élèves grâce à un équilibre entre la rigueur et la clarté des explications, des mathématiques solides et d'excellents exercices, applications et exemples. Anton aborde pédagogiquement le calcul à travers la règle des quatre, en présentant des concepts des points de vue verbal, algébrique, visuel et numérique.

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Élève

Produits connexes

Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis

Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis


14.5 : Triples intégrales

Anatoliy Swishchuk
Courriel : [email protected]
Bureau : MS552
Tél. : (403) 220-3274
Heures de travail:
L:11h00-12h00

Sections de laboratoire :
B10 : S 17h00-18h15 (ST 139)
B11 : R 17:00-18:15 (ICT 114)
B12 : R 17:00-18:15 (ICT 116)

Premier jour de classe : mardi 14 janvier 2020, 12h30, CHC 119
Mi-session : Hors classe, samedi 07 mars 2016 : 14h30-16h00 (Lieu : ST 148)
Examen final:
Lundi 20 avril 2020 : 15h30-17h30 Salle-TBA
Dernier jour de classe: mar 14 avril 2020, 12h30, CHC 119

Texte recommandé :
Calcul, un cours complet, 9e éd., par R.A. Adams et C. Essex, Pearson Education Canada - vendu à la librairie universitaire

Fiche d'information sur le cours
(avec plan de cours, système de notation, calendrier, notes, attentions, formulaire médecin/conseiller, etc.)

Page Web du cours:
Le programme officiel actuel de ce cours est disponible dans les pochettes murales en face du MS 476 et
sur la page Web à www.math.ucalgary.ca Liste des cours - Premier cycle .
Il existe également une page Web pour ce cours qui contient le plan du cours, l'horaire provisoire des cours, le barème de notation, les dates de cours importantes, etc.
Les annonces faites en classe y seront affichées (voir la fin de cette page Web). L'adresse de cette page Web est : http://people.ucalgary.ca/

Travail en classe :
Cours en classe avec des exemples typiques


14.5 : Triples intégrales

Dans cette section, nous examinerons la seule application (à part les interprétations de surface et de volume) des intégrales multiples dans ce matériau. Ce n'est pas la première fois que nous examinons la surface. Nous avons d'abord vu la surface dans Calculus II, cependant, dans ce cadre, nous examinions la surface d'un solide de révolution. En d'autres termes, nous examinions la surface d'un solide obtenue en faisant tourner une fonction autour de l'axe (x) ou (y). Dans cette section, nous voulons examiner un cadre beaucoup plus général, même si vous remarquerez que la formule ici est très similaire à la formule que nous avons vue dans Calculus II.

Ici, nous voulons trouver la surface de la surface donnée par (z = fleft( ight)) où (left( ight)) est un point de la région (D) dans le plan (xy). Dans ce cas, la surface est donnée par,

Jetons un coup d'œil à quelques exemples.

Souvenez-vous que le premier octant est la partie du xyz-système d'axes dans lequel les trois variables sont positives. Faisons d'abord un croquis de la partie de l'avion qui nous intéresse.

Nous aurons également besoin d'un croquis de la région (D).

Rappelez-vous que pour obtenir la région (D), nous pouvons prétendre que nous nous tenons directement au-dessus du plan et que nous voyons la région (D). Nous pouvons obtenir l'équation de l'hypoténuse du triangle en réalisant que ce n'est rien de plus que la ligne où le plan coupe le plan (xy) et nous savons aussi que (z = 0) sur le (xy )-avion. Brancher (z = 0) dans l'équation du plan nous donnera l'équation de l'hypoténuse.

Notez que pour utiliser la formule de la surface, nous devons avoir la fonction sous la forme (z = fleft( ight)) et donc résoudre pour (z) et prendre les dérivées partielles donne,

Les limites définissant (D) sont,

[0 le x le 2hspace<0.5in>0 le y le - frac<3><2>x + 3]

Dans ce cas, nous cherchons la surface de la partie de (z = xy) où (left( ight)) vient du disque de rayon 1 centré à l'origine puisque c'est la région qui se trouvera à l'intérieur du cylindre donné.

Voici les dérivées partielles,

L'intégrale de la surface est,

Étant donné que (D) est un disque, il est logique de faire cette intégrale en coordonnées polaires.


M324 Un calcul multivariable avancé

Ce cours est une continuation de Math 126. L'accent est principalement mis sur l'intégration de plusieurs variables. Nous discutons des gradients d'intégrales doubles et triples et des intégrales de ligne et de surface dérivées directionnelles et des théorèmes de Green, Stokes et Gauss. Dans la seconde moitié du cours, les champs vectoriels joueront un rôle clé -- le rendu étonnant à gauche (crédit : rédacteur du blog Houdini Gubbins) est un exemple des lignes de flux d'un tel champ vectoriel.


14.5 : Triples intégrales

remarque : plus d'informations, avec des modifications possibles, seront ajoutées au fur et à mesure

règles : pas de calculatrices, notes, appareils électroniques (y compris les écouteurs) etc. ne sont autorisés. ces objets doivent être rangés (par exemple, dans un sac à dos, une poche, . ) pendant la période d'examen. du papier brouillon sera fourni pour votre commodité, mais aucun travail effectué sur du papier brouillon ne sera noté.

Examen 1 : ven 20 sept (2 heures)

  • écrire des équations pour lignes et Avions en 3 dimensions
  • détermine le angle entre deux vecteurs, lignes ou plans ou l'angle entre une ligne et un plan
  • trouver un (éventuellement une unité) vecteur normal à un plan passant par un point donné, ou trouver un plan normal à un vecteur donné qui contient un point donné
  • comprendre équations paramétriques/vectorielles pour les courbes en 3 dimensions
  • trouver un (éventuellement une unité) vecteur tangent (ou tangente) à une courbe en un point donné
  • trouvez le longueur de l'arc d'un plan ou d'une courbe spatiale
  • trouver/esquisser domaine, plage, graphiques pour des fonctions simples de 2 variables. aussi pouvoir trouver courbes de niveau et sections (traces).
  • déterminer dérivées partielles, gradients des fonctions de 2 ou 3 variables, et l'utiliser pour écrire des équations pour le plan tangent d'un graphe z=f(x,y) en un point. vous devrez peut-être utiliser un plan tangent pour faire approximation linéaire approximer la valeur d'une fonction à 2 variables en un point.
  • calculer dérivés directionnels des fonctions de 2 ou 3 variables, être capable de déterminer la direction d'augmentation ou de diminution la plus rapide d'une fonction de 2 ou 3 variables (par exemple, convertir le gradient pour le convertir en un vecteur unitaire)
  • trouve minima/maxima locaux/absolus, aussi bien que points de selle, de fonctions de 2 variables. (pensez: points critiques et test de dérivées secondes.) vous devrez peut-être traiter des régions avec des points limites.
  • ch 12 examen
    vérification conceptuelle : 1-6, 8,9, 11-18
    vrai-faux : 1-10, 15-20
    exercices : 1, 6, 15, 17-19, 28-34, 37
  • avis sur la chaîne 13 :
    vérification conceptuelle : 1-3, 5, 8a
    vrai-faux : 1-4, 11, 14
    exercices : 1, 3, 5, 8, 9, 17, 19
  • avis sur la chaîne 14 :
    vérification conceptuelle : 1-4, 5bc, 6, 7a, 8, 13-17
    vrai-faux : 4, 7, 9,
    exercices : 1-5, 13, 19, 20, 25, 27, 33, 43-45, 47, 51, 52, 55, 63

Examen final : jeudi 17 oct (14h-16h)

  • calculer double et intégrales triples en coordonnées cartésiennes (rectangulaires). cela inclut la configuration et éventuellement la modification de l'ordre des intégrales itérées.
  • calculer domaines des régions du plan et volumes des régions dans 3-space.
  • être capable d'aller et venir entre les coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires, ou alors cylindrique et coordonnées sphériques, y compris la traduction des intégrales entre ces différents systèmes de coordonnées.
  • champs vectoriels: pouvoir les dessiner (dans R^2), déterminer s'ils sont conservateur (dans R^2 ou R^3), calcule boucle et div (dans R^3), et connaître les faits de base sur div et curl
  • intégrales de ligne: être capable de calculer les différents types d'intégrales de ligne (ds, dx, dy, dz et intégrales de ligne de champ vectoriel), à la fois directement et en utilisant le théorème fondamental et théorème de vert
  • superficie: être capable de calculer la surface dans le plan avec des intégrales doubles comme au ch 15, avec des intégrales linéaires ds, ou en utilisant des surfaces paramétriques comme en sec 16.6.
  • intégrales de surface (champs scalaires): être capable de paramétrer des surfaces et de calculer des intégrales de surface de fonctions
  • intégrales de surface (champs de vecteurs): être capable de calculer des intégrales surfaciques de champs de vecteurs/flux, à la fois directement et avec le théorème de divergence, et aussi utiliser théorème de Stokes pour calculer une intégrale de ligne dans R^3 comme intégrale de surface.

vous devez vous attendre à ce que le format et la durée de l'examen final soient similaires à ceux de la mi-session (plusieurs questions vrai-faux/conceptuel/à réponse courte, et plusieurs problèmes plus complexes)


S P R I N G B R E Un K !

M 03/25 dépassement Fonctions vectorielles et courbes paramétrées feuille de travail. Revoir.

W 27/03/passer Intégrales de ligne feuille de travail. Revoir.

M 04/01 en savoir plus Intégrales de ligne . Plus d'intégrales de ligne.

W 04/03 dépassement Théorèmes d'intégrales de ligne feuille de travail. Revoir.

M 04/15 dépassement Divergence et Curl feuille de travail. Revoir.

W 17/04 en passant Surfaces paramétriques feuille de travail. Revoir.

M 04/22 dépassement Intégrales de ligne vs intégrales de surface feuille de calcul (intégrales de surface scalaire). Revoir.

W 24/04 au dessus Intégrales de ligne vs intégrales de surface feuille de calcul (intégrales vectorielles de surface). Revoir.


Notes de lecture

  • Article 11.1Section 11.1 Parametric Equations_Students Nous allons apprendre ici à paramétrer différentes courbes. Nous dériverons les animations contenues dans le lien suivant (cliquez sur le lien) en classe. Nous discuterons également de la façon de calculer la vitesse d'une particule se déplaçant le long d'une courbe paramétrique.
  • Section 11.3 Devoir de lecture (lisez ceci avant le cours)
  • Section 11.3 Devoir de lecture Section 11.4 (lire avant le cours)
  • Section 11.4 notes de cours Section 11.4 (tourner dans le sens horaire pour voir)
  • Lire la section 12.1 avant le cours (lundi 14 septembre)
  • Section 12.3 Produit scalaire
  • Section 12.4 Cross productHandouts (worksheet)

Yankee Hill Machine

Yankee Hill Machine Co., Inc. does not offer for sale any controlled product (serialized parts) directly to the end user. This includes Complete YHM-15s, Sound Suppressors, and Lower Receivers. Follow these steps when purchasing to ensure that you receive your order as quickly as possible.

1. Visit (or call) your local firearms dealer and tell them exactly what model number you are looking for (If ordering a sound suppressor keep in mind the dealer needs to be a Class 3 dealer).If your dealer of choice does not currently a offer YHM products don't worry. They can easily become a YHM dealer.

2. IMPORTANT NOTE: EVEN IF A PRODUCT IS OUT OF STOCK ONLINE, DEALERS CAN BACK ORDER THE ITEM AT ANY TIME. Placing your order through a dealer gets you on the back order list and ensures that you will receive your product in the fastest manner possible. This can be applied to any item you are looking for on the website.

Once the order is placed, as soon as the product is ready to go out the door the dealer will be notified and the product will be on its way.

3. Once the dealer receives your order they should contact you to come and pick it up.

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Sign in to YHM's dealer portal to take advantage of the dealer direct sales from YHM. Dealers who are new to the site must request access before dealer pricing becomes available.


14.8 References

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Thanks to XYZ RGB, Inc., for the high-quality head scans. Special thanks to Doug Jones for allowing us to use his likeness. Thanks to George Borshukov, Paul Debevec, Craig Donner, Henrik Wann Jensen, and Sarah Tariq for answering many questions about their work. Chris Cowan and Cam de Leon were instrumental in preparing the models and textures for real-time rendering and deserve plenty of credit for the images in this book. Thanks also to Craig Duttweiler, Eric Enderton, Larry Gritz, John Tran, and Dan Wexler for proofreading, suggestions, and helpful discussions regarding the material.


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