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5.2 : Visualiser le problème - Mathématiques


Nous pouvons visualiser la solution d'un système d'équations linéaires dans un graphique. Si nous faisons (b) l'axe "(y)" et (c) l'axe "(x)". Pour chaque équation, nous calculons la valeur (b) pour chaque (c), et deux équations nous donnent deux droites.

Noter

C'est ce qu'on appelle parfois « l'image en ligne ». Je vais vous demander pourquoi il porte ce nom en classe alors réfléchissez-y.

Question

La vidéo ci-dessus décrit trois (3) opérateurs élémentaires qui peuvent être appliqués à un système d'équations linéaires sans modifier leur réponse. Quels sont ces trois opérateurs ?

Image de la rangée

Maintenant, considérons le prochain ensemble d'équations qui n'ont pas de solution

[-2x+y=3 onuméro ]

[-4x+2y=2 onuméro ]

Considérons le prochain ensemble d'équations qui ont un nombre infini de solutions

[4x-2y=6 onuméro ]

[6x-3y=9 onuméro ]

Faites ceci

Tracer les équations suivantes de -100 à 100

[ 18x+21y = 226 onumber ]

[ 72x-3y = 644 onuméro ]

Question

À l'aide du graphique, qu'est-ce qu'une estimation visuelle de la solution de ces deux équations ? Astuce, vous voudrez peut-être changer la plage (x) pour "zoomer" sur l'intersection.

Image de la colonne

Je pense qu'un bon programmeur est une personne paresseuse. Évitons d'écrire toutes les lettres de l'expression ci-dessus en la transformant en un format vectoriel de colonne comme suit.

[ egin{split} c left[ egin{matrice} 1 20 end{matrice} ight] + b left[ egin{matrice} 1 5 end{matrice} ight] = left[ egin{matrice} 30 330 end{matrice} ight] end{split} onumber ]

Notez que cela représente toujours le même système d'équations. Nous écrivons simplement les constantes sous forme de vecteurs colonnes et nous n'avons à écrire les inconnues qu'une seule fois (puisqu'elles sont les mêmes pour toutes les équations).

Traçons cette "image de colonne", qui montre comment l'équation ci-dessus est une "combinaison linéaire" des deux vecteurs de colonne.

Une façon de penser à cela est que nous ne pouvons nous déplacer en ligne droite que dans deux directions. La première direction est (1,20) et la seconde est (1,5). La solution au problème est de savoir jusqu'où dans chaque direction nous devons nous déplacer pour arriver à notre destination finale de (30 330).

La première colonne est un vecteur dans la direction (1,20). La variable (c) est la distance dans la direction (1,20) que nous voulons aller. Alors (b) est la distance dans la direction (1,5) que nous voulons aller pour arriver au point (30,330).

Nous utiliserons lematplotlibune fonctionLa Flèchepour tracer les vecteurs. La fonction flèche prend un point de départ ([x,y]) et une direction ([dx,dy]) comme entrées et dessine une flèche à partir du point de départ dans la direction spécifiée.

La première chose à faire est de tracer la première colonne sous forme de vecteur. De l'origine (0,0) à (c left[ egin{matrice} 1 20 end{matrice} ight] )

ou alors (x=c) et (y=20c) avec (c=12)

La prochaine chose à faire est de tracer la deuxième colonne comme un vecteur en l'ajoutant à la première. CetteLa Flèchecommencera à la fin du vecteur précédent et « ajoutera » le deuxième vecteur colonne :

Le point à retenir de cette figure est que ces deux vecteurs colonnes, lorsqu'ils sont additionnés, se retrouvent au point qui représente le côté droit de l'équation ci-dessus (c'est-à-dire (30, 330)).

On dit que les deux vecteurs colonnes «portée” le plan (xy). Cela signifie que tout point sur le plan x,y peut être représenté comme une combinaison linéaire des deux vecteurs.

Question

Donnez un exemple de deux vecteurs colonnes qui NE PAS s'étendent sur le plan (xy)


Visualisation des fonctions de plusieurs variableset surfaces

Une fonction F de deux variables est un régner qui produit à partir de deux entrées numériques, disons X et oui, une sortie numérique, écrite F(X, oui). Parfois, il sera préférable de penser à F comme prenant une entrée vectorielle au lieu de deux entrées scalaires. Il existe maintenant deux manières principales de visualiser une telle fonction :

  1. un tracé de contour, ou une image en deux dimensions de la courbes de niveau de la surface, qui ont des équations de la forme F(X, oui) = c, où c est une constante.
  2. le graphe de la fonction, qui est l'ensemble des points (X, oui, z) dans un espace tridimensionnel satisfaisant F(X, oui) = z.

Nous commençons par illustrer comment produire ces deux enfants d'images dans MATLAB, à l'aide des commandes de traçage faciles à utiliser de MATLAB, ezcontour et ezsurf . Nous prendrons F suffisamment compliqué pour présenter un certain intérêt. Notez que nos commandes de traçage prennent vraiment en entrée un expression qui définit une fonction, plutôt qu'une fonction elle-même. (En d'autres termes, nous n'utilisons pas de fichier m ou de fonction en ligne comme entrée de la commande de traçage.

Nous commençons par le tracé de contour. Tout ce dont nous avons besoin comme arguments pour ezcontour sont l'expression, dont le contour doit être tracé, et les plages de valeurs pour x et y.

Le codage couleur dans le tracé de contour nous indique comment les valeurs de la constante c sont variables. L'une des images dans ce cas est trompeuse, le contour en bleu foncé au milieu devrait vraiment avoir la forme d'un huit. Nous verrons plus tard pourquoi il en est ainsi et comment le détecter.

Mais pour le moment passons à autre chose. Maintenant pour une image du graphique de F:

Si nous avions fait cela à partir de la ligne de commande, nous aurions pu faire pivoter la figure dans l'espace pour pouvoir la voir sous différents angles. Notez que le graphique est une surface, en d'autres termes, un objet géométrique à deux dimensions assis dans trois espaces. Tout graphe d'une fonction de deux variables est une surface, mais pas l'inverse. Notez que MATLAB code à nouveau la sortie par couleur, le bleu désignant les plus petites valeurs de la fonction et le rouge la plus grande.


Démarreurs de réflexion

  1. Pourquoi est-il utile pour les élèves de discuter des images mentales qu'ils se sont formées ?
  2. Mme Latimer prend plusieurs réponses d'étudiants à la même question. Quel effet cela a-t-il?
  3. Comment cette leçon pourrait-elle être reliée à l'addition et à la soustraction ?
  4. Voir aussi Mathematical Practice Standard 7 dans le CCSS?

40 commentaires

Cette leçon a été apportée à ma classe Education 320 cette année. La classe vise à enseigner les mathématiques de manière équitable à tous les élèves. J'ai beaucoup appris de ta vidéo. Merci beaucoup.

Cette leçon permet aux élèves d'être en groupe et de dire leurs réponses, mais aussi de savoir que ce n'est pas grave s'ils n'ont pas raison et qu'ils doivent réviser leur réponse. Demander aux élèves d'expliquer leurs réponses est toujours un excellent moyen de leur faire comprendre comment ils sont arrivés à cette conclusion et de permettre également à l'enseignant de voir comment ils y arrivent. Le fait que les élèves répètent les élèves les maintient également engagés et à l'écoute de leurs pairs. Le fait de demander aux élèves s'ils l'ont vu d'une autre manière leur permet également de comprendre qu'il n'y a pas de mauvaise réponse sur la façon dont ils ont calculé leur nombre.

Matériaux

Transcriptions

Transcription du programme Quick Images v2

Je m'appelle Stephanie Latimer et la leçon d'aujourd'hui est constituée d'images rapides avec mes élèves de la maternelle

Transcription du programme Quick Images v2

Je m'appelle Stephanie Latimer et la leçon d'aujourd'hui est constituée d'images rapides avec mes élèves de la maternelle

[00:00:15]
Les images rapides sont une activité très rapide pour montrer différentes combinaisons de nombres et la leçon d'aujourd'hui travaillait sur des combinaisons jusqu'à huit.
[00:00:24]
Enseignant : Aujourd'hui, j'ai trois images pour vous et je vais vous les montrer très rapidement et vous allez me donner un pouce ici si vous avez une idée du nombre que vous en avez vu et ensuite je pourrais vous demander comment vous je l'ai vu. Es-tu prêt? Nous y voilà.
[00:00:43]
La première fois que je montre l'une des images, je fais généralement environ trois secondes. Beaucoup de mes enfants compteront et je ne veux pas qu'ils comptent vraiment, je veux qu'ils voient des groupes.

Enseignant : Je cherche des pouces, JT ?

Enseignant : Huit. Je cherche des pouces, Isaiah

[00:01:07]
Enseignant : OK j'entends beaucoup de huit, je vais vous montrer à nouveau et ce n'est pas grave si vous devez réviser votre réponse ou si vous avez la même réponse. Es-tu prêt? OK donc encore une fois c'est parti.

[00:01:19]
J'affichais des images sur l'écran à partir d'une caméra de documents et c'était trop pour eux. Des aimants sur le cadre 10, sur un tableau blanc, c'était le plus simple pour moi.

[00:01:43]
Enseignant : Alors vous en avez vu huit. Pouvez-vous me dire comment vous en avez vu huit ? Je vais le remettre en place pour que vous puissiez le voir.

Étudiant : 5 en haut et 30 en bas

[00:01:53]
Enseignant : Alors vous avez dit qu'il y avait 5 en haut et 3 en bas. Quelqu'un peut-il me dire ce que Michelle vient de dire. Courtney, qu'est-ce que Michelle vient de dire

Étudiant : 5 en haut et 3 en bas

[00:02:04]
Enseignant : Cinq en haut et 3 en bas. Quelqu'un d'autre l'a-t-il vu ainsi ? Pouvez-vous le faire si vous en avez vu 5 en haut et 3 en bas. OK, on ​​va en refaire un, tu es prêt pour ça ?

Enseignant : Vous avez raison, _____, l'avez-vous entendu ?

[00:02:23]
Enseignant : Il a dit qu'il allait toujours être huit heures. Alors maintenant vous savez combien c'est, n'est-ce pas.

Enseignant : Combien ça va être ?

Enseignant : Il va être huit heures. Alors je ne veux plus savoir combien il y en a. Je veux savoir comment vous les voyez. Es-tu prêt? D'ACCORD.

[00:02:41]
Enseignant : Alors vous ne me dites plus combien, vous me dites comment vous les avez vus. K___, peux-tu me dire comment tu les as vus ?

Etudiant : j'en ai vu 2 en bas et 1 en haut et 4 juste là et 1 juste là

[00:03:03]
Enseignant : OK, donc vous voyez 2 et 1, puis 4 et 1. OK. Est-ce que quelqu'un le voit différemment ? Est-ce que quelqu'un le voit différemment ? Jailin, pouvez-vous me dire comment vous l'avez vu ?

Étudiant : 4 en bas et 4 en haut

[00:03:19]
Enseignant : Oh, alors vous regardez en bas ici, comme ça, et en haut ici comme ça. Quelqu'un peut-il me dire ce que Jailin vient de dire, Lora Jean, qu'a-t-il dit ?

Étudiant : Il vient de dire qu'il y a 4 en haut et 4 en bas

[00:03:32]
Enseignant : 4 en haut, 4 en bas. Quelqu'un d'autre le voit de cette façon ?

[00:03:36]
Je pense que la pièce la plus précieuse cette année pour mes enfants a été de voir des combinaisons, que les nombres peuvent être dans tellement de types de combinaisons différentes. Nous avons donc commencé avec 5 et juste en voyant OK, il y a 5 donc 5 et zéro. Ou en le regardant dans une autre combinaison, eh bien il y a 4 et 1 ou 1 et 4, et ils sont vraiment à l'aise de comprendre que 4 et 1 peuvent être 5, 1 et 4 peuvent être 5, juste que 5 est composé de tout ces chiffres.

[00:04:05]
Enseignant : Mais je pense que je vois certaines mains d'une manière différente. Isaiah, as-tu vu les choses différemment ?

[00:04:11]
Enseignant : Oh, vous avez compté par 2 s. Pouvez-vous venir et le faire pour moi très rapidement pour que nous sachions ce que vous voulez dire ?

[00:04:20]
Enseignant : Eh bien, c'est un moyen rapide de compter, j'aime ça.

[00:04:23]
Quelque chose sur lequel ma classe a travaillé spécifiquement est d'avoir des conversations autour des mathématiques.

Enseignant : Évidemment ____ beaucoup de gens font ça, vous l'avez vu de la même manière….

[00:04:33]
Donc, au lieu de simplement donner une réponse que j'ai souvent dit à mes enfants, je ne veux pas connaître votre réponse, je veux savoir comment vous l'avez compris ou comment vous le savez.

Etudiant : Il y en a 5 en haut et 2 en bas et c'est comme le premier mais il y en a 5 juste là et il y en a un, deux, trois juste là

[00:04:51]
Enseignant : Vous dites donc que c'est la même chose que la première image que nous avons regardée ? Cinq et 3, 5 en haut et 3 en bas. Oh, j'aime la façon dont vous avez établi ce lien, beau travail.

[00:05:00]
Pour conclure Quick Images, je précise toujours quel était le but de la journée. Donc aujourd'hui, le but était des combinaisons différentes à 8.

Enseignant : Alors combien sont encore ici ?

[00:05:11]
Enseignant : Et nous en avons vu 8 aujourd'hui de différentes manières. Nous avons vu 8 comme 5 et 3 et nous avons vu 8, Isaiah a compté 2, 4, 6, 8. Lot de 2. Et nous avons vu 8 4 et 4. Donc nous avons vu 8 beaucoup de manières différentes aujourd'hui. Bon travail.

[00:05:28]
Quick Images pour nous est un bon exemple de ce qu'ils signifient dans le noyau commun en subitisant des images ou en étant capable de trier des images de choses jusqu'à 10, dans n'importe quel type de configuration.


Invite visuelle n°2 : séparation de la structure de soustraction

Voici le deuxième problème de la vidéo :

Mettez la vidéo en pause ou montrez l'image suivante pour permettre aux élèves d'utiliser leur matériel de manipulation pour représenter une solution.

Souvent, nous pouvons penser qu'il est utile de mettre le mot “la gauche” sur un mur ou un tableau d'ancrage de mots de soustraction. Cependant, ce qui peut être beaucoup plus puissant que cela, c'est de faire comprendre aux élèves le contexte complet de ce problème impliquant :

Ainsi, plutôt que de considérer la soustraction comme quelque chose de complètement sans rapport avec l'addition, nous pouvons tirer parti de la relation intrinsèque qui existe entre l'addition et la soustraction en tirant parti de représentations concrètes et visuelles très similaires :

Notez que cette représentation semble presque identique à celle du problème d'addition précédent dans la première invite visuelle, cependant le début est le grand ensemble et le résultat est le plus petit. Puisque l'addition et la soustraction sont des opérations opposées, il serait logique que l'opposé de la joindre la structure de la question s'appellerait séparer.


5.2 : Visualiser le problème - Mathématiques

Ensemble de problèmes 5.2

Problème 5.2.1. Sur la figure, ABCD est une piscine rectangulaire. Vous êtes dans un point P bien marqué de la piscine, et vous devez nager jusqu'à la rive BC, puis vers CD, puis vers DA, et enfin revenir au point P d'origine. chemin de P et retour à P. La figure suggère comment atteindre cet objectif et justifie que le chemin PQST est le plus court. Ouvrez le fichier GSP si vous en avez besoin.

une. Décrire comment construire le chemin requis PQST

Construire la réflexion de P en BC.

Construire la réflexion de P' dans CD

Construire la réflexion de P'' dans AD

Construire P'''P pour localiser T sur AD. Construisez TP'' pour localiser S sur le CD. Construisez SP' pour localiser Q.

Dessinez PQST.

b. Démontrer que le chemin PQST est plus court que n'importe quel chemin de P à un point X sur BC, puis à un point Y sur CD, puis à un point Z sur AD, et retour à P.

Il suffirait de le prouver pour PXST. Cela découle du résultat du problème 5.1.5.

c. Si P''' est l'image de P'' en réflexion dans la droite AD, prouver que l'intersection des droites PP''' et AD est le point T.

Puisque P''' est le reflet de P'' dans AD, alors d'après le problème 5.1.5, T est le point qui donnerait un chemin minimum de P à P''. Mais P'' est l'image de P' dans CD et s serait le point sur CD pour le chemin minimum de T à P'. Enfin P' est le reflet de P dans BC et donc Q serait le point sur BC pour le chemin minimum de S à Q à P.

PQ = P'Q,

P'S = P'Q + QS,

P'S = P''S,

P''S + ST = P''T,

P''T = P'''T,

et PT + TP''' = PP'''

Donc, PP''' = PT + TP'''

= TP + TP''

= PT + ST + P''S

= PT + ST + P'S

= PT + ST + QS + P'Q

= TP + ST + QS + PQ

Puisque PP''' est une ligne droite de longueur égale à PT + ST + QS + PQ, alors Q, S et T sont les points de réflexion souhaités.

ré. Montrer que PQST est un parallélogramme.

À partir du problème 5.1.6 partie a, nous savons maintenant que si une ligne reflète deux surfaces perpendiculaires, la ligne vers la première surface et la ligne partant de la deuxième surface sont parallèles. Par conséquent, PQ est parallèle à ST et QS est parallèle à PG.

e. Supposons que les côtés du rectangle ABCD aient des longueurs a et b, où BC = a et CD = b et a > b. Faites un graphique d'un système de coordonnées de sorte que A soit à l'origine, AD soit sur l'axe des x et AB soit sur l'axe des y. Montrer que PQST est un rectangle si et seulement si P à l'intérieur du rectangle est à une distance a - b du côté AB ou du côté CD

Si PQST est un rectangle, alors chacun des triangles rectangles contigus à un côté de PQRS sont des triangles rectangles isocèles. Soit x et y les longueurs des deux triangles de tailles différentes. Alors x+y = b ET la ligne verticale passant par P coupe un carré de ABCD. Donc la distance de P à AB doit être égale à a - b.

Inversement, si P est la distance a - b de AB, alors un carré est coupé, les triangles sont isocèles et PQST est un rectangle.

F. En utilisant le système de coordonnées de la partie e, soit P (x 0 , y 0 ) et P soit a - b unités éloignées de AB. Si PQST est un rectangle, trouvez les coordonnées de Q, S et T en fonction de a, b, x 0 et y 0 .

P = (x 0 , y 0 )

Q = (a - y 0 , b)

S = (a, b - y 0 )

T =(x 0 + y 0 , 0)

g. Montrez qu'il n'y a qu'un seul point à l'intérieur de ABCD tel que le chemin PQST est un carré. Où est ce point ?

Puisque PQST doit être un rectangle, x 0 = a - b. Maintenant, si PQST est un carré, le PQ = QS et les quatre triangles d'angle sont congrus. Ils doivent également être isocèles et donc y 0 = b/2.

h. Supposons que la piscine ait la forme d'un carré. Pour quel point P PQST sera-t-il un rectangle et pour quels points ce sera un carré. Justifier. . . (Notez la faute de frappe dans le texte . . .)

Nous avons a - b = 0 et donc pour que PQST soit rectangulaire, le point P devrait être le long de AB. Pour être un carré, P devrait être le milieu de AB.

je. Montrer que si P est à la distance a - b du côté AB du rectangle ABCD, et qu'une ligne passant par P perpendiculaire au côté AD est alors tracée, la limite de la région ombrée est un carré.

Le jaune a une hauteur = b

Largeur = a - (a - b) = b

C'est donc un carré.

Dans la figure suivante, B est une balle et H est un trou sur un parcours de golf miniature. Si vous voulez que la balle rebondisse sur les trois murs, décrivez comment trouver les points P, Q et S dans le diagramme. Supposons que l'angle d'incidence soit égal à l'angle de réflexion. Montrez que le chemin B-P-Q-S-H est le chemin le plus court reliant B à H à travers des points sur les trois murs.

La solution est quelque chose comme ceci:

Avez-vous supposé que les angles de la figure étaient des angles droits ? Si oui, avez-vous utilisé cette hypothèse n'importe où dans la solution ?

Essayez le même problème avec cette deuxième conception. Cliquez ici pour un fichier GSP pour explorer cette conception.

Qu'en est-il de celui-ci avec le deuxième mur un arc de cercle ? C'est à la page 2 du fichier GSP.

Un kaléidoscope a la forme d'un prisme et a une base en forme de triangle équilatéral dont le côté est une unité. Un faisceau de lumière est envoyé à partir d'un point P sur la base du prisme à un angle de 60 degrés et est réfléchi par les côtés réfléchissants, qui sont perpendiculaires à la base.

a) Construis le chemin que suit le faisceau lumineux.

b) Trouvez, en fonction de a, la longueur du trajet que suit le faisceau lumineux de P jusqu'au moment où il atteint à nouveau P.

Commenter: J'ai trouvé l'image dans le livre un peu confuse, j'ai donc construit l'image d'un prisme triangulaire avec des bases de triangles équilatéraux qui est montrée ici. Fichier GSP pour ces constructions.

Plan: On peut considérer le trajet du faisceau dans le triangle équilatéral constituant la base il en serait de même pour toute section transversale du prisme. Voici une représentation des premières étapes.

Certains d'entre vous reconnaîtront qu'il s'agit d'un cas particulier (triangle équilatéral) du problème de Bouncing Barney d'EMAT 6680 et du projet Intermath. Tout comme avec Bouncing Barney, il est nécessaire de PROUVER que le chemin reviendra au point P (partie a) et trouvera la longueur du trajet. La longueur du trajet sera-t-elle la même pour tous les points P du côté du triangle ?

Pourquoi pensez-vous que ce problème a été inclus dans un problème posé sur l'utilisation des isométries dans les constructions géométriques ? Avez-vous utilisé des isométries ?

Voir le fichier GSP pour les solutions

La « motivation » pour les étapes principales pourrait être la suivante. Si un point Y sur le cercle est équidistant de P comme un point X sur la ligne est de P, alors une isométrie de H P mapperait X à Y ou vice versa. Nous ne connaissons pas l'emplacement de X ou Y, alors utilisez H P pour mapper la ligne sur une image. L'image coupe le cercle et chaque intersection est un point Y. Ensuite, une carte de ces points par H P localisera les points X sur la ligne.

OU ALORS . . . nous pourrions utiliser HP pour cartographier le cercle à son image. Les intersections seraient les points X souhaités. Cartographiez-les par H P pour localiser les points Y sur le cercle.

Créez votre propre fichier GSP pour le voir se faire.

Il est possible qu'il n'y ait pas de solution. Lorsque?

A quelle condition n'y aurait-il qu'une seule solution si la ligne image de je est tangente au cercle. Quelle est la relation entre la droite P et le cercle dans ce cas ?

Problème 5.2.5

ABCD est une table de billard rectangulaire a-unit by b-unit. Une balle positionnée sur le côté AB est frappée vers le côté BC à un angle de 45 degrés. Il rebondit comme indiqué sur la figure et revient à sa position d'origine P.

une. Trouvez toutes les valeurs de a et b pour lesquelles ce phénomène se produit pour chaque point du côté AB. (Indice : Soit P(0,h), où 0 < h < b, et calculons les coordonnées de Q, S, T, U, V en fonction de a, b et h.

b. Supposons que P soit en (k, h) à l'intérieur du rectangle. Utilisez votre résultat de (a) pour trouver une condition nécessaire et suffisante (relative à k, h, a et b) telle qu'une balle envoyée d'un point à un angle de 45 degrés vers le côté BC suivra un chemin similaire à celui montré dans la figure et revenir à P.

Fichier GSP

Une autoroute reliant deux villes A et B doit être construite de telle sorte qu'une partie de l'autoroute se trouve sur un pont perpendiculaire aux rives a1 et a2 d'une rivière et une autre partie de l'autoroute se trouve sur un deuxième pont perpendiculaire aux rives parallèles b1 et b2 d'une seconde rivière. Où construire les ponts pour que l'autoroute soit la plus courte possible ? Décrivez la construction, construisez les ponts et l'autoroute et prouvez que l'autoroute que vous avez construite est l'option la plus courte.

Il existe un fichier GSP que vous pouvez utiliser dans votre construction.

Un fichier de solution GSP par Mike Walliser.

Une nouvelle route reliant les rues A et B doit être construite. La route, marquée XY sur la figure du livre, doit être parallèle à PQ et de même longueur que PQ. Construisez la route. Motivez votre construction et prouvez qu'elle est correcte.

Plan : Soit une translation de la rue A par le vecteur QP soit une translation de la rue B par le vecteur PQ déterminera l'une des deux intersections. La translation inverse sur l'intersection ainsi déterminée localisera l'autre.

Preuve:

Parce qu'une translation est une isométrie, chaque point de la rue B est mappé sur une ligne d'image parallèle à la rue B. L'intersection de la ligne d'image et de la rue A est le point Y. Puisque Y est un point d'image d'une pré-image sur la rue B, le la translation inverse va mapper Y sur sa préimage X. Comme Y est mappé sur X par une translation déterminée par PQ, le segment XY est donc parallèle à PQ par la définition d'une translation.

Ouvrez le fichier GSP si nécessaire.

Nous pourrions également avoir un cas où cette procédure génère un nombre infini de solutions - si les deux cercles avaient le même rayon et que P était situé de sorte que l'image de O 1 sous H P était O 2 .

ÉTANT DONNÉ DEUX CERCLES, COMMENT DÉTERMINEZ-VOUS LA RÉGION SUR LAQUELLE P POURRAIT ÊTRE SITUÉ ?

Une suggestion : travaillez à l'envers. Prenons deux cercles donnés, localisons A sur l'un et B sur l'autre. Construire le segment AB. Localisez le milieu P. Animez maintenant A et B sur leurs cercles respectifs et tracez l'emplacement de P. A quoi vous attendez-vous ? Faites une construction GSP ou essayez celui-ci.

La construction peut ne pas être possible pour certains espacements des cercles concentriques. Pouvez-vous déterminer quand ce serait le cas? Je pense que la configuration donnée dans le manuel peut être celle pour laquelle la construction n'existe pas.

Donnez trois cercles concentriques pour lesquels la construction est possible, il y a au moins 24 façons de faire la construction. Deux sont montrés ici.

Voir le fichier GSP pour la discussion et plus de constructions à la page 2.


Exercices 5.2

Exemple 5.2.1 Supposons qu'un graphe connexe $G$ a une séquence de degrés $d_1,d_2,ldots,d_n$. Combien d'arêtes faut-il ajouter à $G$ pour que le graphe résultant ait un circuit d'Euler ? Expliquer.

Exemple 5.2.2 Quels graphes complets $K_n$, $nge 2$, ont des circuits d'Euler ? Lesquels Euler marche ? Justifiez vos réponses.

Exemple 5.2.3 Montrer que si les sommets $v$ et $w$ sont joints par une marche, ils sont joints par un chemin.

Exemple 5.2.4 Montrez que si $G$ est connexe et a exactement $2k$ sommets de degré impair, $kge1$, ses arêtes peuvent être partitionnées en $k$ marches. Est-ce vrai pour les $G$ non connectés ?


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Mathématiques

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Dans ce programme Rosyth Thinking (RTP), les élèves P3 sont mis au défi avec des tâches de réflexion qui sont définies dans des contextes intéressants et authentiques, et construites avec une question ouverte ou une torsion. Ces tâches sont basées sur le contenu et sont généralement ouvertes et multidimensionnelles. Ainsi, elles éveillent la curiosité des élèves et les amènent naturellement à rechercher des solutions. Alors qu'ils recherchent des réponses prêtes à l'emploi, ils devront réfléchir de manière critique et créative aux problèmes et à leurs solutions possibles. Ils utilisent des compétences telles que faire des conjectures, analyser, synthétiser et évaluer les informations recueillies à partir d'observations, d'expériences, de raisonnement et de communication.

L'école intègre un « Défi-Enrichir-Accompagner » approche dans ses tâches et ses activités. Les étudiants les plus doués sont mis à l'épreuve dans leur réflexion, tandis que des structures de soutien sont en place pour encourager les moins doués.

Résolution de problème

La résolution de problèmes mathématiques est au cœur de l'apprentissage des mathématiques. Il implique l'acquisition et l'application de concepts et de compétences mathématiques dans un large éventail de situations, y compris des problèmes non routiniers, ouverts et réels.

L'un des objectifs de l'enseignement des mathématiques est de développer la pensée mathématique et les compétences en résolution de problèmes et d'appliquer ces compétences pour formuler et résoudre des problèmes.

La résolution de problèmes peut être facilitée lorsque les enfants sont mentalement équipés d'un ensemble de capacités de réflexion et d'heuristiques.

Les capacités de réflexion essentielles sont :

  • Classer – organiser les informations en groupes significatifs
  • Comparer – faire des comparaisons entre des groupes ou des éléments d'information
  • Séquençage – organiser les informations dans un ordre significatif/logique
  • Analyser des parties et des touts - comparer, visualiser et synthétiser divers éléments d'information et leur donner un sens dans leur ensemble
  • Identifier les modèles et les relations
  • Induction - faire des généralisations à l'aide d'exemples spécifiques
  • Déduction - déduire divers exemples spécifiques à partir de généralisations données
  • Visualisation spatiale – manipuler mentalement (« imagination logique ») un objet/un problème sans matériaux concrets
  • Les heuristiques sont les outils que les enfants utilisent en fonction du plan qu'ils ont créé à partir de leurs capacités de réflexion.
  • Vous trouverez ci-dessous les heuristiques, classées en 4 groupes, que les enfants peuvent utiliser pour les aider à résoudre des problèmes.

Source : Programme de Mathématiques Primaires 2007 (cliquez sur )

  • Donner une représentation – par ex. dessiner un diagramme, faire une liste, utiliser des équations
  • Pour faire une estimation calculée – par ex. deviner et vérifier, rechercher des modèles, faire des suppositions
  • Pour suivre le processus – par ex. agissez, travaillez à l'envers, avant et après le concept
  • Pour changer le problème – par ex. reformuler le problème, simplifier le problème, résoudre une partie du problème


Étapes pour la résolution de problèmes

Savoir résoudre des problèmes est une compétence importante et une partie essentielle de notre vie. George Polya, un mathématicien, a consacré des efforts considérables à essayer de caractériser les méthodes que les gens utilisent pour résoudre des problèmes et de décrire comment la résolution de problèmes devrait être enseignée et apprise.

Polya a conçu une approche générale que l'on peut adopter pour résoudre un problème.

4 étapes pour la résolution de problèmes

Étape 1 : COMPRENDRE le problème

  • Lisez attentivement le problème pour comprendre ce qui est requis dans le problème.
  • Divisez le problème en sections plus petites et comprenez bien chaque section avant de passer à la section suivante.
  • Dessinez ou notez les informations données dans le problème sous une forme plus simple pour vous aider à mieux comprendre.

Étape 2 : PLANIFIER ce qu'il faut faire/Concevoir un plan

Étape 3 : FAIRE/Réaliser le plan

  • Utilisez des compétences informatiques, des compétences géométriques et un raisonnement logique pour mener à bien votre plan de résolution du problème.

Étape 4 : VÉRIFIER la solution/Examiner

  • Vérifiez le caractère raisonnable de votre solution
  • Améliorer la méthode utilisée
  • Chercher des solutions alternatives
  • Étendre la méthode à d'autres problèmes

En bref, les 4 étapes de la résolution de problèmes sont

Pour les parents : aider votre enfant à faire ses devoirs

Résoudre des problèmes de mots

Suivez les étapes de résolution de problèmes ensemble.

Étape 1 : COMPRENDRE le problème

Aidez votre enfant à comprendre le problème en lui faisant lire à haute voix une phrase à la fois. Demandez à votre enfant d'expliquer sa compréhension de la phrase lue avec ses propres mots. Une fois que votre enfant a compris la phrase, passez à la phrase suivante.

Après avoir compris le problème, invitez votre enfant à réfléchir à la façon de résoudre le problème. Donnez à votre enfant le temps d'explorer différentes méthodes pour résoudre le problème. Encouragez-le à parler de ce qu'il pense. Mettez votre enfant au défi de trouver d'autres moyens de résoudre le problème.

Posez des questions suggestives telles que.

Conseillez à votre enfant d'écrire des phrases mathématiques appropriées pour montrer le processus de résolution du problème. Prenez l'habitude de montrer clairement tous les travaux, car des notes de méthode seront attribuées aux examens.

Votre enfant doit relire la question et répondre en fonction de ce qui est demandé. La lecture de la question et la rédaction de la réponse finale constituent un mécanisme de vérification pour s'assurer que la bonne réponse est donnée. (ex. Donner la réponse dans l'unité requise)

Étape 4 : VÉRIFIEZ la solution

Demandez à votre enfant de vérifier sa réponse. Posez des questions suggestives telles que.

  • « Comment avez-vous obtenu cette réponse ?
  • « Est-ce que votre réponse est raisonnable ? »
  • Comment savez-vous que votre réponse est correcte ? »
  • « Avez-vous utilisé une autre méthode pour vérifier si votre réponse est correcte ? »

Passer par les étapes de la résolution de problèmes aidera votre enfant à devenir un penseur indépendant et à résoudre des problèmes.

Aider votre enfant quand sa réponse est fausse

Si votre enfant obtient une mauvaise réponse, demandez-lui d'expliquer comment il a résolu le problème. Son explication peut vous aider à découvrir s'il a besoin d'aide avec des compétences informatiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division ou avec les concepts impliqués dans la résolution du problème.

Rappelles toi:
Ne donnez pas les réponses immédiatement. Donner les réponses n'aidera pas votre enfant. Apprendre les mathématiques, c'est plus que trouver la bonne réponse. C'est un processus de résolution de problèmes et d'application des connaissances mathématiques à de nouveaux problèmes.

Raisons courantes pour lesquelles certains enfants ne réussissent pas bien aux questions longues et structurées

Utiliser une méthode fastidieuse

La clé pour bien réussir en mathématiques est d'apprendre quand appliquer les méthodes apprises. Il existe un ensemble de méthodes de base que les enfants ont apprises et qui peuvent être utilisées pour toutes les questions, par ex. méthode unitaire, listage, travail à rebours.

Bien que les enfants sachent utiliser différentes méthodes de résolution de problèmes, ils ont du mal à savoir quand les appliquer efficacement. De nombreux enfants choisissent souvent les mauvaises méthodes (et souvent plus difficiles) au lieu de celles mentionnées ci-dessus. Si les enfants choisissent des méthodes erronées ou qui prennent plus de temps (par exemple, deviner et vérifier), il se peut qu'ils n'aient pas assez de temps pour compléter et vérifier suffisamment leurs solutions lors d'un examen.

Mauvaise gestion du temps

Parfois, les enfants passent trop de temps sur des questions qu'ils ne peuvent pas résoudre facilement. S'ils rencontrent des difficultés à résoudre une question, ils doivent sauter cette question et continuer à résoudre les questions restantes. Ils peuvent revenir pour tenter à nouveau la question lorsque toutes les autres questions ont été complétées.

Passer trop de temps sur une question peut entraîner moins de temps ou un temps insuffisant pour d'autres questions qui pourraient être résolues facilement.


4 étapes pour résoudre même les problèmes mathématiques les plus difficiles et améliorer vos compétences en mathématiques

Il existe plusieurs façons de résoudre des problèmes mathématiques, cependant, une méthode simplifiée qui peut aider tout le monde à résoudre même le problème le plus difficile est un processus en trois étapes.

Le processus est :

1. Visualisez le problème
2. Approche à suivre pour ce problème
3. Enfin, résolvez le problème

Ce processus en trois étapes pourrait probablement vous aider à améliorer vos compétences globales en mathématiques.

Voici quatre étapes pour vous aider à résoudre facilement tous les problèmes mathématiques :

1. Lisez attentivement, comprenez et identifiez le type de problème

Lorsque vous commencez à étudier les mathématiques, vérifiez le type de problème - qu'il s'agisse d'un problème de mots, de fractions concernant, d'équations quadratiques ou de tout autre type.

Définissez la catégorie dans laquelle votre problème de mathématiques s'inscrit avant d'aller de l'avant, car cela vous aidera à trouver la meilleure solution pour le résoudre.

Lire attentivement le problème et s'assurer que vous avez bien compris le problème est extrêmement important pour passer aux étapes suivantes.

2. Dessinez et révisez votre problème

Once you have understood the problem, the next step could be to draw the problem as it will help you with the way forward. The drawing can be simple in form of shapes or shapes with numbers.

Here you could also probably look for patterns or make use of graphs. Once this entire process of understanding, reading and drawing is conducted you need to review the analysis you have made out of it.

This will help you to decide the type of problem and the method to solve it.

3. Develop the plan to solve it

There are four simple steps which one needs to go through in order to develop a plan to solve it. The steps are as mentioned below:

  • Firstly one needs to figure out the formula you will need to solve the problem. Here you need to spend some time reviewing the concepts in your textbooks which will help you solve the problem
  • You need to write down your need in order to get the answer to your problem. For this, you need to make a step-by-step list of the things which you need to solve the problem and also help you to stay organised
  • In case there is an easier problem which is available then you could probably work on that first to solve it. Sometimes, the formulas are repetitive for solving both the problems. This will give you some more time to solve the difficult problem
  • You can make an educated guess about the answer so that you can try and get the estimate the answer before you start to solve it. Here you can identify the number and other factors as well that will contribute to the same. Lastly, review the estimate and then check if you haven't left out on anything

4. Solve the problem

Once your strategy and method to solve the problem are ready you could start solving it. The steps are as below:

  • Ensure that all the steps which you had listed to solve the problem are completed. Cross check each of your answers to ensure that the accuracy is perfect
  • Compare the answer with the estimates which you have listed after completion of each and every step. This will have you to save time in case the end result is not what you were looking for. Also check if you have completed all the steps carefully
  • In case you realize in the middle that your plan isn't working then you can always go back to the planning stage and make a new plan. Sometimes due to common mistakes, this happens but you should learn to accept it and be ready with Plan B to solve it
  • Once you have solved the problem correctly, you should go back and look at the process. Take a moment to reflect on the problem and the method through which you have solved it. This will help in identifying concepts that you need to learn while practicing.

- Article by Sudhanshu Sinhal, Managing Director, Sinhal Classes Pvt. Ltd.


The Standard Algorithm is the Same As Multiplying Two Binomials

You may recall the acronym “FOIL” which is commonly used for students to remember how to multiply two binomials. While I am guilty for teaching this memorization tool in my math class until only a few years ago, I now understand that using tricks like “FOIL” to teach important math concepts is not helpful (and maybe even harmful).

What if instead of simply teaching students “FOIL” or “double-distribution”, which is a skill limited to the very specific case of multiplying two polynomials with two terms, we actually helped students to visualize what multiplying binomials really looks like?

What we see in the previous example is:

9 x 12
= (5 + 4)(10 + 2)
= 5 x 10 + 5 x 2 + 4 x 10 + 4 x 2
= 50 + 10 + 40 + 8
= 108

It might not be obvious to those who have never worked to make a connection, but what the standard algorithm we teach in grade 5 is actually the same procedure we teach students when multiplying binomials in grade 10.

As we head into grade 9 and 10, the thinking becomes more abstract due to the use of variables.

Some Expectations from Grade 9 Academic:

  • multiply a polynomial by a monomial involving the same variable [e.g., 2x(x + 4), 2x^2(3x^2 – 2x + 1)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, diagrams, computer algebra systems, paper and pencil)
  • expand and simplify polynomial expressions involving one variable [e.g., 2x(4x + 1) – 3x(x + 2)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, computer algebra systems, paper and pencil)

And here’s a couple examples of what these might look like if we use arrays and area models from grade 3 onwards:

An Expectation from Grade 10 Academic:

  • expand and simplify second-degree polynomial expressions [e.g., (2x + 5)^2,
    (2x – y)(x + 3y)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, diagrams, computer algebra systems, paper and pencil) and strategies (e.g., patterning)

Here’s an example of what this might look like:

If we are helping students understand what math looks like whenever and wherever possible as I have tried to do in this post for the progression of multiplication, then it would seem logical that some of these quite challenging expectations would be much less complex if we use arrays and area models prior to rushing to the algorithm.

How are you learning in order to better understand what math looks like concretely and visually?

Be sure to check out our problem based multiplication lessons to teach through task so all students can access rich mathematical experiences!