Des articles

2.3 : Graphes trigonométriques de base - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Représentez graphiquement les six rapports trigonométriques sous forme de fonctions sur le plan cartésien.
  • Identifiez le domaine et l'étendue de ces six fonctions trigonométriques.
  • Identifiez la mesure du radian et du degré, ainsi que les coordonnées des points sur le cercle unité et le graphique pour l'angle critique.

La première fonction que nous allons représenter graphiquement est la fonction sinus. Nous décrirons une manière géométrique de créer le graphe, en utilisant le cercle unitaire. C'est le cercle de rayon (1 ) dans le plan (xy) constitué de tous les points ((x,y) ) qui satisfont à l'équation (x^2 + y^2 = 1 ) .

On voit sur la figure 5.1.1 que tout point du cercle unité a pour coordonnées ((x,y)=(cos; heta,sin; heta) ), où ( heta ) est l'angle que le segment de ligne de la
origine à ((x,y) ) fait avec l'axe positif (x) (par définition de sinus et cosinus). Ainsi, comme le point ((x,y) ) fait le tour du cercle, sa coordonnée (y) est (sin; heta ).

On obtient ainsi une correspondance entre les coordonnées (y) des points sur le cercle unité et les valeurs (f( heta)=sin; heta ), comme le montrent les lignes horizontales partant du cercle unité au graphe de (f( heta)=sin; heta ) de la figure 5.1.2 pour les angles ( heta = 0 ), ( frac{pi}{6} ) , ( frac{pi}{3} ), ( frac{pi}{2} ).

Nous pouvons étendre l'image ci-dessus pour inclure des angles de (0 ) à (2pi ) radians, comme dans la figure 5.1.3. Cela illustre ce qu'on appelle parfois le définition du cercle unitaire de la fonction sinus.

Puisque les fonctions trigonométriques se répètent tous les (2pi ) radians ((360^circ)), on obtient, par exemple, le graphe suivant de la fonction (y=sin;x ) pour (x ) dans l'intervalle ([-2pi , 2pi]):

Pour représenter graphiquement la fonction cosinus, nous pourrions à nouveau utiliser l'idée du cercle unité (en utilisant la coordonnée (x) d'un point qui se déplace autour du cercle), mais il existe un moyen plus simple. Rappelez-vous de la section 1.5 que (cos;x = sin;(x+90^circ) ) pour tout (x ). Donc (cos;0^circ ) a la même valeur que (sin;90^circ ), (cos;90^circ ) a la même valeur que ( sin;180^circ ), (cos;180^circ ) a la même valeur que (sin;270^circ ), et ainsi de suite. En d'autres termes, le graphique de la fonction cosinus n'est que le graphique de la fonction sinus décalée vers le la gauche par (90^circ = pi/2 ) radians, comme dans la figure 5.1.5 :

Pour représenter graphiquement la fonction tangente, utilisez ( an;x = frac{sin;x}{cos;x} ) pour obtenir le graphique suivant :



Figure 2.3.6 Graphique de (y = an x)

Rappelons que la tangente est positive pour les angles dans QI et QIII, et négative dans QII et QIV, et c'est bien ce que montre le graphique de la figure 5.1.6. On sait que ( an;x ) n'est pas défini lorsque (cos;x = 0 ), c'est-à-dire aux multiples impairs de (frac{pi}{2}): (x =pm,frac{pi}{2} ), (pm,frac{3pi}{2} ), (pm,frac{5pi}{ 2} ), etc. Nous pouvons comprendre ce qui se passe près ces angles en regardant les fonctions sinus et cosinus. Par exemple, pour (x ) dans QI près de (frac{pi}{2} ), (sin;x ) et (cos;x ) sont tous deux positifs, avec (sin;x ) très proche de (1 ) et (cos;x ) très proche de (0 ), donc le quotient ( an;x = frac{ sin;x}{cos;x} ) est un nombre positif très grand. Et plus (x ) se rapproche de (frac{pi}{2} ), plus ( an;x ) est grand. Ainsi, (x=frac{pi}{2} ) est un asymptote verticale du graphe de (y= an;x ).

De même, pour (x ) dans QII très proche de (frac{pi}{2} ), (sin;x ) est très proche de (1) et (cos ;x) est négatif et très proche de (0 ), donc le quotient ( an;x = frac{sin;x}{cos;x} ) est un nombre négatif qui est très grand, et il grandit dans le sens négatif à mesure que (x ) se rapproche de (frac{pi}{2} ). Le graphique le montre. De même, nous obtenons des asymptotes verticales à (x=-frac{pi}{2} ), (x=frac{3pi}{2} ), et (x=-frac{ 3pi}{2} ), comme dans la figure 5.1.6. Notez que le graphique de la fonction tangente se répète tous les (pi ) radians, c'est-à-dire deux fois plus vite que les graphiques de répétition sinus et cosinus.

Les graphiques des fonctions trigonométriques restantes peuvent être déterminés en regardant les graphiques de leurs fonctions réciproques. Par exemple, en utilisant (csc;x = frac{1}{sin;x} ) nous pouvons simplement regarder le graphique de (y=sin;x ) et inverser les valeurs. On obtiendra des asymptotes verticales lorsque (sin;x=0 ), soit aux multiples de (pi): (x=0 ), (pm,pi ), ( pm,2pi ), etc. La figure 5.1.7 montre le graphe de (y=csc;x ), avec le graphe de (y=sin;x ) (le courbe) pour référence.

De même, la figure 5.1.8 montre le graphique de (y=sec;x ), avec le graphique de (y=cos;x ) (la courbe en pointillés) pour référence. Notez les asymptotes verticales à (x=pm,frac{pi}{2} ), (pm,frac{3pi}{2} ). Notez également que le graphique n'est que le graphique de la fonction cosécante décalée vers la gauche de (frac{pi}{2} ) radians.

Le graphe de (y=cot;x ) peut également être déterminé en utilisant (cot;x = frac{1}{ an;x} ). Alternativement, nous pouvons utiliser la relation (cot;x = - an;(x+90^circ) ) de la section 1.5, de sorte que le graphe de la fonction cotangente soit juste le graphe de la fonction tangente décalé vers la gauche de (frac{pi}{2}) radians puis réfléchi autour de l'axe (x), comme dans la figure 5.1.9 :


Voir la vidéo: Suorakulmaisen kolmion peruskäsitteitä (Octobre 2021).