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4.6 : Exercice - Mathématiques


Exercice (PageIndex{1})

Décidez quelles fonctions ne sont pas multiplicatives, multiplicatives ou complètement multiplicatives (voir Définition 4.2).

  1. (f(n) = 1).
  2. (f(n) = 2).
  3. (f(n) = somme_{i=1}^{n} i).
  4. (f(n) = prod_{i=1}^{n} i).
  5. (f(n) = n).
  6. (f(n) = nk).
  7. (f(n) = somme_{d|n} d).
  8. (f(n) = prod_{d|n} d).

Exercice (PageIndex{2})

  1. Soit (h(n) = 0) lorsque (n) est pair, et (1) lorsque (n) est impair. Montrer que (h) est multiplicatif.
  2. Soit maintenant (H(n) = sum_{d|n} h(d)). Montrer sans utiliser la proposition 4.3 que (H) est multiplicatif. (Indice : écrivez (a = 2^{k} prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}}) par factorisation unique, où le (p_{i} ) sont des nombres premiers impairs. De même pour b.)
  3. Que dit la proposition 4.3 ?

Exercice (PageIndex{3})

  1. Calculez les nombres (sigma_{1} (n) = sigma (n)) de la définition 4.4 pour (n in {1, cdots , 30}) sans utiliser le théorème 4.5.
  2. Quelle est la seule valeur (n) pour laquelle (sigma (n) = n) ?
  3. Montrer que (sigma (p) = p+1) chaque fois que (p) est premier.
  4. Utilisez (c) et la multiplicativité de (sigma) pour vérifier la liste obtenue en (a).
  5. Pour quelles valeurs de (n) dans la liste de (a) est (n | sigma (n)) ? (Indice : 6 et 28.)

Exercice (PageIndex{4})

  1. Calculer les nombres (sigma_{0} (n) = au (n)) de la définition 4.4 pour (n in {1, cdots , 30}) sans utiliser le théorème 4.5.
  2. Quelle est la seule valeur (n) pour laquelle ( au (n) = 1) ?
  3. Montrer que ( au (p) = 2) chaque fois que (p) est premier.
  4. Utilisez (c) et la multiplicativité de ( au) pour vérifier la liste obtenue en (a).

Exercice (PageIndex{5})

  1. Calculer les nombres (varphi) de la définition 4.9 pour (n in {1, cdots , 30}) sans utiliser le théorème 4.16.
  2. Qu'est-ce que (varphi (p)) quand (p) est un nombre premier ?
  3. Combien de nombres positifs inférieurs à (pn) ne sont pas divisibles par (p) ?
  4. Utilisez (c) et la multiplicativité de (varphi) pour vérifier la liste obtenue en (a).

Exercice (PageIndex{6})

  1. Calculez les nombres (mu (n)) de la définition 4.6 pour (n in {1, cdots , 30}).
  2. Qu'est-ce que (mu (p)) quand (p) est un nombre premier ?
  3. Utilisez (c) et la multiplicativité de (mu) pour vérifier la liste obtenue en (a).

Exercice (PageIndex{7})

Soit ( au (n)) le nombre de diviseurs positifs distincts de (n). Répondez à la question suivante sans utiliser le théorème 4.5.

  1. Montrez que ( au) est multiplicatif.
  2. Si (p) est premier, montrer que ( au (p^k) = k+1).
  3. Utilisez le théorème de factorisation unique, pour trouver une expression pour ( au (n)) pour (n in mathbb{N}).

Exercice (PageIndex{8})

Deux entiers positifs (a) et (b) sont dits amiables si (sigma (a)= sigma (b) = a+b). La plus petite paire de nombres amiables est formée par (220) et (284).

  1. Utilisez le théorème 4.5 pour montrer que (220) et (284) sont amicaux.
  2. Idem pour (1184) et (1210).

Exercice (PageIndex{9})

Un entier positif (n) est dit parfait si (sigma (n) = 2n).

  1. Montrer que (n) est parfait si et seulement si la somme de ses diviseurs positifs inférieurs à (n) est égale à (n).
  2. Montrer que si (p) et (2^{p}-1) sont des nombres premiers, alors (n = 2^{p-1}(2^{p}-1)) est parfait. (Indice : utilisez le théorème 4.5 et l'exercice 4.3(c).)
  3. Utilisez l'exercice 1.14 pour montrer que si (2^{p}-1) est premier, alors (p) est premier, et donc (n = 2^{p-1} (2^{p}- 1)) est parfait.
  4. Vérifiez que cela est cohérent avec la liste de l'exercice 4.3.

Exercice (PageIndex{10})

Tracez le graphe orienté suivant (G) : l'ensemble des sommets (V) représente (0) et les entiers naturels compris entre (1) et (50). Pour (a, b in V), une arête dirigée (ab) existe si (sigma (a)-a = b). Enfin, ajoutez une boucle au sommet représentant (0). Notez que chaque sommet a (1) arête sortante, mais peut avoir plus de (1) arête entrante.

  1. Trouvez les cycles de longueur (1) (boucles). Les non-zéro de ceux-ci représentent des nombres parfaits.
  2. Trouvez les cycles de longueur (2) (le cas échéant). Une paire de nombres (a) et (b) qui forment un cycle de longueur (2) sont appelés nombres amicaux. Ainsi pour un tel couple, (sigma (b)-b = a) et (sigma (a)-a = b).
  3. Trouvez des cycles plus longs. Les nombres représentés par des sommets dans des cycles plus longs sont appelés nombres sociables.
  4. Trouvez des nombres dont le chemin se termine par un cycle de longueur (1). C'est ce qu'on appelle les nombres aspirants.
  5. Trouvez des nombres (le cas échéant) qui n'ont pas de front entrant. C'est ce qu'on appelle des nombres intouchables.
  6. Déterminez les chemins commençant à (2193) et à (562). (Indice : les deux se terminent par un cycle (ou une boucle).)

Un chemin à travers ce graphique est appelé une séquence aliquote. La conjecture dite de Catalan-Dickson dit que chaque séquence aliquote se termine dans un cycle fini (ou boucle). Cependant, même pour un nombre relativement petit comme 276, on ne sait pas (en 2017) si sa séquence aliquote se termine par un cycle.

Exercice (PageIndex{11})

Dans cet exercice, nous donnons une preuve différente du théorème 4.16. Il utilise le principe d'inclusion-exclusion [21]. Nous l'indiquons ici pour être complet. Soit (S) un ensemble fini avec des sous-ensembles (A_{1}, A_{2}), et ainsi de suite jusqu'à (A_{r}). Alors, si on note la cardinalité d'un ensemble (A) par (|A|),

[|S- igcup_{i=1}^{r} A_{i}| = |S|-|S_{1}|+|S_{2}|-cdots+(-1)^{r}|S_{r}| pas de numéro]

où (|S_{l}|) est la somme des tailles de toutes les intersections de (l) membres de ({A_{1}, cdots, A_{r}}).

Maintenant, dans ce qui suit, nous nous en tenons aux conventions suivantes. En utilisant la factorisation en nombres premiers, écrivez

[n = prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}} onuméro]

[A_{i} = {z in S | p_{i} mbox{ divise } z} onumber]

[S = {1, 2 cdots n} mbox{ et } R = {1,2 cdots r} onumber]

[ I_{l} subseteq R mbox{ tel que } |I_{l}| = l aucunnombre]

  1. Montrez que (varphi (n) = |S-igcup_{i=1}^{r} A_{i}). (Indice : tout nombre qui n'est pas premier avec (n) est un multiple d'au moins un des (p_{i}).)
  2. Montrer que (|A_{i}| = frac{n}{p_{i}})
  3. Montrer que (|igcap_{i in I_{l}} A_{i}| = n prod_{i in I_{l}} frac{1}{p_{i}}). (Indice : utilisez le corollaire 3.7.)
  4. Montrez que (|S_{l}| = n sum_{I_{l} subseteq R} prod_{i in I_{l}} frac{1}{p_{i}}) .
  5. Montrer que le principe d'inclusion-exclusion implique que (|S-igcup_{i=1}^{r} A_{i}| = n+n sum_{l=1}^{r} (-1) ^{l} sum_{I_{l} subseteq R} prod_{i in I_{l}} frac{1}{p_{i}}).
  6. Montrer que (n+n sum_{l=1}^{r} (-1)^{l} sum_{I_{l} subseteq R} prod_{i in I_{l}} frac {1}{p_{i}} = n prod_{i=1}^{r} (1-frac{1}{p_{i}})). Notez que cela implique le théorème 4.16. (Indice : écrivez le produit (prod_{i=1}^{r} (1-frac{1}{p_{i}})).)

Exercice (PageIndex{12})

Soit (F(n) = n = sum_{d|n} f(n)). Utilisez la formule d'inversion de Mobius (ou (f(n) = sum_{d|n} mu (d) F(frac{n}{d}))) pour trouver (f(n)) . (Indice : remplacez la fonction Mobius de la définition 4.6 et utilisez la multiplicativité si nécessaire.)

Exercice (PageIndex{13})

  1. Calculer les ensembles (S_{n}) et (T_{n}) du lemme 4.13 explicitement pour (n = 4) et (n = 12).
  2. Effectuez la sommation faite dans les équations 4.1 et 4.2 explicitement pour (n = 4) et (n = 12).

Exercice (PageIndex{14})

Rappelons la définition de la convolution de Dirichlet (f ast g) des fonctions arithmétiques (f) et (g). (Définition 4.18)

  1. Montrer que la convolution de Dirichlet est commutative, c'est-à-dire [f ast g = g ast f onumber]
  2. Montrer que la convolution de Dirichlet est associative, c'est-à-dire [(f ast g) ast h = g ast (f ast h) onumber]
  3. Montrer que la convolution de Dirichlet est distributive, c'est-à-dire [(f ast (g+h) = f ast g + f ast h) onumber]
  4. L'opération binaire convolution de Dirichlet a une identité (epsilon), définie par [f ast epsilon = epsilon ast f = f onumber] Montrer que la fonction (epsilon) du lemme 4.12 est l'identité de la circonvolution.

Exercice (PageIndex{15})

Utilisez l'exercice 4.14 pour prouver ce qui suit :

  1. Montrer que la convolution de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives est multiplicative.
  2. Montrer que la somme de deux fonctions multiplicatives n'est pas nécessairement multiplicative. (Indice : (epsilon+epsilon)).

Exercice (PageIndex{16})

Voir la définition 4.11. Définit (f(n) equiv au (n^2)) et (g(n) equiv 2^{omega (n)})

  1. Calculer (omega(n), f(n),) et (g(n)) pour (n) est égal à (10^n) et (6!).
  2. Pour (p) premier, montrer que ( au (p^{2k}) = sum_{d|p^k} 2^{omega(d)} = 2k+1). (Indice : utilisez le théorème 4.5.)
  3. Montrer que (f) est multiplicatif. (Indice : utilisez que ( au) est multiplicatif.)
  4. Utilisez (d) pour montrer que (g) est multiplicatif.
  5. Montrez que [ au (n^{2}) = sum_{d|n} 2^{omega(d)} onumber]

Exercice (PageIndex{17})

Soit (S(n)) le nombre de diviseurs carrés libres de (n) avec (S(1) = 1) et (omega(n)) le nombre de diviseurs premiers distincts de (n). Voir aussi la définition 4.11.

  1. Montrer que (S(n) = sum_{d|n} |mu(d)|). (Indice : utilisez la définition 4.6)
  2. Montrez que (S(n) = 2^{omega(n)}). (Indice : soit (W) l'ensemble des diviseurs premiers de (n). Alors chaque diviseur carré libre correspond à un sous-ensemble -produit- de ces nombres premiers. Combien de sous-ensembles de nombres premiers y a-t-il dans (W )?)
  3. Concluez que [sum_{d|n} |mu (d)| = 2^{omega(n)} onumber]

Exercice (PageIndex{18})

Définissez la fonction (lambda) de Liouville par (lambda (1) = 1) et (lambda (n) = (-1)^{Omega(n)}).

  1. Calculez (lambda (10n)) et (lambda (6!)).
  2. Montrez que (lambda) est multiplicatif. (Indice : (Omega(n)) est complètement additif.)
  3. Utilisez la proposition 4.3 pour montrer que (F(n) = sum_{d|n} lambda (d)) est multiplicatif.
  4. Pour (p) premier, montrez que [sum_{d|p^k} lambda (d) = sum_{i=0}^{k} (-1)^i onumber] qui est égal (1) si (k) est pair et (0) si (k) est impair.
  5. Utilisez (c) et (d) pour conclure que [F(n) = sum_{d|n} lambda (d)= left { egin{array} {cc} {1}&{mbox {if } n = m^2} {0}&{mbox{else}} end{array} ight. pas de numéro]

Exercice (PageIndex{19})

Soit (f) une fonction multiplicative.
Définissez (q(n) equiv sum_{d|n} mu (d)f(d)), où (mu) est la fonction de Mobius.

  1. Montrez que (f(1)=1).
  2. Montrer que (f mu) (leur produit) est multiplicatif.
  3. Utilisez la proposition 4.3 pour montrer que (q(n)) est multiplicatif.
  4. Montrer que si (p) est premier, alors (q(p^k) = f(1)-f(p) = 1-f(p)).
  5. Utilisez (c) et (d) pour montrer que [q(n) = sum_{d|n} mu (d) f(d)= prod_{p prime, p|n} (1-f( p)) aucunnombre]

Exercice (PageIndex{20})

Utilisez l'exercice 4.19 (e) et la définition de (omega) dans l'exercice 4.16 et (lambda) dans l'exercice 4.18 pour montrer que

[sum_{d|n} mu (d) lambda (d) = 2 omega (n) onumber]

Exercice (PageIndex{21})

  1. Montrer que pour tout (n in mathbb{N}, mu (n) mu (n+1) mu (n+2) mu (n+3)= 0). (Indice : divisibilité par 4.)
  2. Montrez que pour tout entier (n ge 3), (sum^{n}_{k = 1} mu (k!) = 1). (Indice : utilisez (a).)

Exercice (PageIndex{22})

  1. Utilisez la formule du produit d'Euler et la séquence (mu) de la définition 4.6 pour montrer que [frac{1}{zeta (s)} = prod_{p prime} (1-p^{-s}) = prod_{p prime} (sum_{i ge 0} mu (p^{i})p^{-is} onumber]
  2. Sans utiliser l'équation (4.7), prouver que l'expression en (a) est égale à (sum_{n ge 1} mu (n) n^{-s}). (Indice : puisque (mu) est multiplicatif, vous pouvez écrire une preuve en réarrangeant les termes comme dans la première preuve de la formule du produit d'Euler.)

Exercice (PageIndex{23})

  1. Utilisez l'équation (4.8) pour montrer que [zeta (s-1) = sum_{a ge 1} frac{a}{a^s} sum_{b ge 1} frac{mu ( b)}{b^s} onumber]
  2. Utilisez le lemme 4.23 et la première égalité de l'équation (4.3) pour montrer que [frac{zeta (s-1)}{zeta (s)} = sum_{n ge 1} varphi (n^s ) pas de numéro]

Exercice (PageIndex{24})

  1. Utiliser le corollaire 4.22 pour montrer que [zeta (sk) = sum_{a ge 1} frac{sigma_{k} (a)}{a^s} sum_{b ge 1} frac{ mu (b)}{b^s} onuméro]
  2. Montrez que [zeta (sk) = sum_{n ge 1} (sigma_{k} ast mu) (n) n^{-s} onumber] où (ast) signifie la circonvolution de Dirichlet (Définition 4.18).

Exercice 4.6 Solution | Mathématiques 1ère année

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La partie (vi) de la question 1 de l'exercice 4.6 n'est fausse qu'à la dernière étape.

Merci de nous en informer

je veux comprendre la question n°6
.

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Mathématiques C++ : exercices, pratique, solution

1. Ecrivez un programme C++ pour vérifier si un nombre donné est une puissance de deux ou non. Aller à l'éditeur
Est-ce que 8 est la puissance de 2 : vrai
Est-ce que 256 est une puissance de 2 : vrai
Est 124 est puissance de 2 : Faux
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2. Ecrivez un programme C++ pour vérifier la persistance additive d'un nombre donné. Aller à l'éditeur
Persistance additive
Considérez le processus consistant à prendre un nombre, à ajouter ses chiffres, puis à ajouter les chiffres du nombre qui en est dérivé, etc., jusqu'à ce que le nombre restant n'ait qu'un seul chiffre. Le nombre d'additions nécessaires pour obtenir un seul chiffre à partir d'un nombre n est appelé persistance additive de n, et le chiffre obtenu est appelé racine numérique de n.
Par exemple, la séquence obtenue à partir du nombre de départ 9876 est (9876, 30, 3), donc 9876 a une persistance additive de 2 et une racine numérique de 3. Les persistances additives des premiers entiers positifs sont 0, 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, . (OEIS A031286). Les plus petits nombres de persistance additive n pour n=0, 1, . sont 0, 10, 19, 199, 199999999999999999999999, . (OEIS A006050).
Source : https://mathworld.wolfram.com/
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3. Écrivez un programme C++ pour inverser les chiffres d'un entier donné. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : 4
Exemple de sortie : 4

4. Ecrivez un programme C++ pour diviser deux entiers (dividende et diviseur) sans utiliser les opérateurs de multiplication, division et mod. Aller à l'éditeur
Dividende 7 Diviseur 2
Résultat : 3
Dividende -17 Diviseur 5
Résultat : -3
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5. Ecrivez un programme C++ pour calculer x élevé à la puissance n (x n ). Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : x = 7,0
n = 2
Exemple de sortie : 49
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6. Ecrivez un programme C++ pour obtenir la partie fraction de deux entiers donnés représentant le numérateur et le dénominateur au format chaîne. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : x = 3
n = 2
Exemple de sortie : 1,5
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7. Ecrivez un programme C++ pour obtenir le titre de colonne Excel qui correspond à un numéro de colonne donné (valeur entière). Aller à l'éditeur
Par example:
1 -> Un
2 -> B
3 -> C
.
26 -> Z
27 -> AA
28 -> AB
.
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8. Ecrivez un programme C++ pour obtenir le numéro de colonne (valeur entière) qui correspond à un titre de colonne tel qu'il apparaît dans une feuille Excel. Aller à l'éditeur
Par example:
A -> 1
B -> 2
C -> 3
.
Z -> 26
AA -> 27
AB -> 28
.
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9. Écrivez un programme C++ pour trouver le nombre de zéros à droite dans une factorielle donnée. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 4
Exemple de sortie : 0
Exemple d'entrée : n = 6
Exemple de sortie : 1
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10. Écrivez un programme C++ pour compter le nombre total de chiffres 1 apparaissant dans tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à un entier donné n. Aller à l'éditeur
Exemple:
Exemple d'entrée : n = 12,
Exemple de sortie : 5
Renvoie 5, car le chiffre 1 est apparu 5 fois dans les nombres suivants : 1, 10, 11, 12.
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11. Ecrivez une programmation C++ pour ajouter à plusieurs reprises tous les chiffres d'un nombre non négatif donné jusqu'à ce que le résultat n'ait qu'un seul chiffre. Aller à l'éditeur
Exemple:
Exemple d'entrée : 58
Exemple de sortie : 4
Explication : La formule est comme : 5 + 8 = 13, 1 + 3 = 4.
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12. Écrire une programmation C++ pour vérifier si un entier donné est une puissance de trois ou non. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : 9
Exemple de sortie : vrai
Exemple d'entrée : 15
Exemple de sortie : Faux
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13. Pour un entier non négatif dans la plage 0 = i = n, écrivez une programmation C++ pour calculer le nombre de 1 dans leur représentation binaire et les renvoyer sous forme de tableau. Aller à l'éditeur
Numéro d'origine : 4
0 1 1 2 1
Numéro d'origine : 7
0 1 1 2 1 2 2 3
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14. Ecrivez une programmation C++ pour obtenir le produit maximum d'un entier donné après avoir divisé l'entier en la somme d'au moins deux entiers positifs. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : 12
Exemple de sortie : 81
Explication : 12 = 3 + 3 + 3 + 3, 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Exemple d'entrée : 7
Exemple de sortie : 12
Explication : 7 = 3 + 2 + 2, 3 x 2 x 2 = 12.
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15. Écrivez une programmation C++ pour trouver le nième chiffre du nombre 1 à n?. Aller à l'éditeur
Séquence d'entiers infinis : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .. où n est un entier positif.
Entrée : 7
Sortie : 7
Entrée : 12
Sortie : 1
Le 12e chiffre de la séquence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . est 1, qui fait partie du nombre 11.
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16. Écrivez un programme C++ pour trouver la racine carrée d'un nombre en utilisant la méthode babylonienne. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 50
Exemple de sortie : 7.07107
Exemple d'entrée : n = 81
Exemple de sortie : 9
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17. Écrivez un programme C++ pour multiplier deux nombres entiers sans utiliser de multiplication, de division, d'opérateurs au niveau du bit et de boucles. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : 8, 9
Exemple de sortie : 72

18. Ecrivez un programme C++ pour convertir un entier donné en chiffre romain. Aller à l'éditeur
De Wikipédia :
Les chiffres romains sont un système de numération qui trouve son origine dans la Rome antique et est resté la façon habituelle d'écrire les nombres dans toute l'Europe jusqu'à la fin du Moyen Âge. Les nombres dans ce système sont représentés par des combinaisons de lettres de l'alphabet latin. L'usage moderne utilise sept symboles, chacun avec une valeur entière fixe :[1]

Exemple d'entrée : n = 7
Exemple de sortie : Romain VII

19. Ecrivez un programme C++ pour convertir un chiffre romain donné en un entier. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = VII
Exemple de sortie : Entier 7

20. Ecrivez un programme C++ pour calculer le produit de deux entiers positifs représentés sous forme de chaînes. Renvoie le résultat sous forme de chaîne. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : sn1 = "12"
sn2 = "5"
Exemple de sortie : 12 x 5 = 60

Exemple d'entrée : sn1 = "48"
sn2 = "85"
Exemple de sortie : 48 X 85 = 4080
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21. En algèbre, un nombre décimal peut être défini comme un nombre dont la partie entière et la partie fractionnaire sont séparées par un point décimal. Ecrivez un programme C++ pour vérifier si une chaîne donnée est un nombre décimal ou non. Aller à l'éditeur
Liste des caractères d'un nombre décimal valide :
Nombres : 0-9
Signe positif/négatif - "+"/"-"
Virgule - "."
Exposant - "e"
Exemple d'entrée : s = 9
Exemple de sortie : 0 est-il un nombre décimal ? 1

Entrée : s = abc 123
Sortie : abc 123 est-il un nombre décimal ? 0
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22. Ecrivez un programme C++ pour calculer la somme de deux chaînes binaires données. Le résultat renvoyé sera une chaîne binaire et les chaînes d'entrée ne doivent pas être vides et ne contiennent que 1 ou 0 caractère. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : bstr1 = "10"
bstr2 = "1"
Exemple de sortie : 10 + 1 = 11

Exemple d'entrée : bstr1 = "1100"
bstr2 = "1010"
Exemple de sortie : 1100 + 1010 = 10110
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23. Écrire un programme C++ pour calculer la racine carrée d'un entier non négatif donné. Le type de retour doit être un entier. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 81
Exemple de sortie : racine carrée de 81 = 9
Entrée : n = 8
Sortie : racine carrée de 8 = 2
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24. Écrivez un programme C++ pour compter les nombres premiers inférieurs à un nombre positif donné. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 8
Exemple de sortie : le nombre de nombres premiers inférieurs à 8 est égal à 2
Exemple d'entrée : n = 30
Exemple de sortie : le nombre de nombres premiers inférieurs à 30 est 10
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25. Ecrivez un programme C++ pour compter le nombre total de chiffres 1 présents dans tous les nombres positifs inférieurs ou égaux à un nombre entier donné. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 10
Exemple de sortie : le nombre de chiffres 1 présents dans tous les nombres +ve inférieur ou égal à 10 est égal à 2
Exemple d'entrée : n = 19
Exemple de sortie : le nombre de chiffres 1 présent dans tous les nombres +ve inférieur ou égal à 19 est 12
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26. Ecrivez un programme C++ pour trouver le nombre manquant dans un tableau donné d'entiers tirés de la séquence 0, 1, 2, 3, . n.m. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : arr[10] = <10, 9, 4, 6, 3, 2, 5, 7, 1, 0 >
Exemple de sortie : nombre manquant dans ledit tableau : 8
Exemple d'entrée : arr1[4] = <0, 3, 4, 2>
Exemple de sortie : nombre manquant dans ledit tableau : 1
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27. Écrivez un programme C++ pour trouver le nombre de nombres carrés parfaits (par exemple 1, 4, 9, 16, . ) qui représentent la somme d'un nombre donné. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 5
Nombre de carré parfait dont la somme égale 5 = 2
Exemple d'entrée : n = 7
Nombre de carré parfait dont la somme est égale à 7 = 4
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28. Ecrivez un programme C++ pour diviser un entier donné en au moins deux parties (entiers positifs) afin de maximiser le produit de ces entiers. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 5
Après découpage en +ve entiers maximumn produit de 5 = 6
Exemple d'entrée : n = 12
Après découpage en +ve nombres entiers maximumn produit de 12 = 81
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29. Ecrivez un programme C++ pour compter tous les nombres avec des chiffres uniques dans une plage donnée 0 = y n où y représente les nombres à chiffres uniques et prend n comme entrée de l'utilisateur. Aller à l'éditeur
Exemple d'entrée : n = 1
Nombre de chiffres uniques : 10
Exemple d'entrée : n = 2
Nombre de chiffres uniques : 91
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30. Ecrivez un programme C++ pour vérifier si un entier positif donné est un carré parfait ou non. Aller à l'éditeur
En mathématiques, un nombre carré ou carré parfait est un entier qui est le carré d'un entier, en d'autres termes, c'est le produit d'un entier avec lui-même. Par exemple, 9 est un nombre carré, car il peut s'écrire 3 x 3.
Exemple d'entrée : n = 1
Est-ce que 1 est un nombre parfait ? 1
Exemple d'entrée : n = 13
Est-ce que 13 est un nombre parfait ? 0
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31. Ecrire un programme C++ pour remplacer un nombre donné jusqu'à ce qu'il devienne 1. Allez dans l'éditeur
Si le nombre donné (n) est pair, remplacez n par n/2 et si le nombre donné (n) est impair, remplacez n par n+1 ou n-1. Trouvez le nombre minimum de remplacements.
Exemple d'entrée : n = 8
Nombre de remplacements : 3
Exemple d'entrée : n = 10
Nombre de remplacements : 4
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Solutions NCERT pour les mathématiques, classe 12, exercice 4.4

(je) Soit A =
M11 = Mineur d'un11 = 3, M12 = Mineur d'un12 = 0,

Maintenant, les cofacteurs d'unje est unje.

(ii) Soit A =
M11 = Mineur d'un11 = d, M12 = Mineur d'un12 = b,

Maintenant, les cofacteurs d'unje est unje.

Maths Classe 12 Ex 4.4 Question 2.

Maths Classe 12 Ex 4.4 Question 3.

À l'aide des cofacteurs des éléments de la deuxième rangée, évaluez

Les éléments de la deuxième rangée sont 2, 0 et 1.

Maths Classe 12 Ex 4.4 Question 4.

À l'aide des cofacteurs des éléments de la troisième colonne, évaluez

Les éléments de la troisième colonne sont yz, zx et xy.

Maths Classe 12 Ex 4.4 Question 5.

Si et unje est des cofacteurs d'unje, alors la valeur de ∆ est donnée par
(A) un11 UNE31 + un12 UNE32 + un13 UNE33
(B) un11 UNE11 + un12 UNE21 + un13 UNE31
(Californie21 UNE11 + un22 UNE12 + un23 UNE13
(D) un11 UNE11 + un21 UNE21 + un31 UNE31


4.6 : Exercice - Mathématiques

Trouver le carrefour UNEB, syndicat UNEB et les différences UN B, B-A des ensembles UNE, B si :

Considérez les ensembles UNE=<0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>, B=<1,4,6,7,10,14>, C=<3,5,6,7,9>, =<0,2,4,6,8>. Retrouvez les ensembles :

Indiquer sur l'axe numérique et trouver l'intersection jeJ, syndicat jeJ et les différences I-J, J-I d'intervalles je, J si :

Trouver les carrefours UNEB, UNEC, BC, syndicats UNEB, UNEC, BC et les différences UN B, A-C, B-A, AVANT JC, CALIFORNIE, C-B des ensembles UNE, B, C si :

Trouver le complément UNE' M d'ensemble UNE à l'ensemble M si :


4.6 : Exercice - Mathématiques

Exercice 2.4.6. Étant donné une matrice de rang, montrez que le système a une solution si et seulement si la matrice a également le rang , où est formé en prenant les colonnes de et en les ajoutant comme colonne supplémentaire.

Réponse : Nous montrons d'abord que si le système a au moins une solution alors le rang de est égal au rang de :

Si pour certains et sont les colonnes de alors nous avons

En d'autres termes, est une combinaison linéaire des colonnes de avec étant les coefficients.

Considérez la matrice formée en ajoutant le vecteur à comme colonne supplémentaire. Le rang de est égal au nombre de colonnes de qui sont linéairement indépendantes. D'en haut, nous savons qu'il s'agit d'une combinaison linéaire des colonnes de et donc des autres colonnes de . Le nombre de colonnes linéairement indépendantes dans est donc le même que le nombre de colonnes linéairement indépendantes dans de sorte que les deux matrices ont le même rang.

Nous montrons ensuite que si le rang de est le même que le rang de alors le système a au moins une solution :

Le rang de est le nombre de colonnes linéairement indépendantes de . Si le rang de est le même que celui de alors il n'y a que des colonnes de aussi linéairement indépendantes. Mais puisque chaque colonne de est également dans cela signifie que la colonne de égal à doit être linéairement dépendante des autres colonnes de et donc linéairement dépendante des colonnes de . (Si ce n'était pas le cas, c'est-à-dire si étaient linéairement indépendants des autres colonnes de , alors le rang de serait égal à pas à .)

Étant donné que dépend linéairement des colonnes de et est donc une combinaison linéaire de ces colonnes, nous devons avoir

pour un certain ensemble de coefficients. Mais si tel est le cas, le vecteur est une solution de .

En résumé, nous avons montré que si a au moins une solution alors le rang de est égal au rang de , et aussi que si le rang de est égal au rang de alors a au moins une solution. Nous avons donc montré que le système a une solution si et seulement si la matrice a le même rang que la matrice d'origine.

REMARQUE : Ceci continue une série de messages contenant des exercices élaborés du livre (épuisé) Algèbre linéaire et ses applications, troisième édition de Gilbert Strang.

Si vous trouvez ces articles utiles, je vous encourage à consulter également le plus récent Algèbre linéaire et ses applications, quatrième édition, le manuel d'introduction du Dr Strang's Introduction à l'algèbre linéaire, quatrième édition et le cours en ligne gratuit qui l'accompagne, et le Dr Strang's autres livres.


Liste des feuilles de calcul de mesure

Présentez la première étape de la mesure - Comparaison des tailles, avec cet ensemble de feuilles de travail visuellement attrayantes. Les feuilles de travail ici présentent de nombreux exercices pour comparer les hauteurs, les poids et les quantités. Enrichissez votre vocabulaire avec les antonymes de base comme même/différent, plus/moins, lourd/léger, grand/court, long/court et grand/petit.

Les feuilles de travail ici fournissent une vaste gamme d'exercices pour lire l'horloge et indiquer l'heure analogique et numérique, les conversions de temps entre heures-minutes-secondes, format 12 heures - 24 heures et vice-versa, trouver le temps écoulé et estimer le temps pris pour une activité.

Incorporés ici sont des graphiques de calendrier colorés et visuellement attrayants pour les jours, les mois et les saisons, des quiz de calendrier, des calendriers de lecture, des activités à tracer, des calendriers colorés et complets, des problèmes de mots et bien plus encore. Des calendriers vierges imprimables sont également inclus ici.

Traitant spécifiquement des unités monétaires américaines, cette collection de feuilles de travail se compose de graphiques dynamiques pour identifier les différents types de pièces et de billets. et beaucoup plus.

Cette collection de feuilles de travail sur la longueur familiarise les enfants avec la mesure de la longueur, de la hauteur et de la profondeur d'objets réels. Trouvez des exercices pour estimer la longueur, mesurez avec des outils non standard comme des trombones, des blocs et des cubes et des outils standard comme une règle et des rubans à mesurer.

En se concentrant sur l'attribut-poids, les feuilles de travail imprimables comprennent ici des exercices pour estimer le poids des objets, comparer les objets sur la base du poids, lire les balances de cuisine et d'équilibrage, dessiner le pointeur et bien plus encore. Les unités habituelles et métriques sont disponibles.

Trouvez ici des feuilles de travail sur la capacité incroyablement utiles, comprenant des exercices pour estimer la capacité des liquides, comparer les quantités, mesurer à l'aide de cruches, de cylindres gradués et bien plus encore !

Le groupe de feuilles de travail pratiques comporte ici exclusivement des unités métriques, traitant de la partie la plus délicate de la mesure - la conversion. Apprenez à convertir entre les unités de longueur (km, m, cm, mm), de poids (kg, g, mg) et de capacité (l, ml) dans ces feuilles de travail de conversion d'unités métriques.

Ce bloc de feuilles de travail attrayantes comprend des exercices pour convertir les unités usuelles américaines de longueur (pouce, pieds, yard, miles), poids (once, livre, tonne) et capacité (pinte, quart, gallon) d'unités plus grandes à plus petites et vice-versa .

Ce groupe de feuilles de travail sur la température comprend des tâches telles que la lecture du thermomètre, la comparaison des deux échelles, l'ombrage du thermomètre pour la lecture donnée, la conversion de Celsius en Fahrenheit et vice-versa en utilisant les formules, des exercices pour les conversions d'échelle Kelvin pour n'en citer que quelques-uns. Des modèles d'enseignants sont également inclus.


NCERT Solutions classe 12 Déterminants mathématiques

Examiner la cohérence du système d'équations des exercices 1 à 3.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution unique et donc les équations sont cohérentes.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution unique et donc les équations sont cohérentes.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, les équations données sont incohérentes, c'est-à-dire qu'elles n'ont pas de solution commune.

Examiner la cohérence du système d'équations des exercices 4 à 6.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution unique et donc les équations sont cohérentes.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, les équations données sont incohérentes.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution unique et donc les équations sont cohérentes.

Résoudre le système d'équations linéaires, en utilisant la méthode matricielle, dans les exercices 7 à 10.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

10.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

NCERT Solutions classe 12 Exercice de mathématiques 4.6

Résoudre le système d'équations linéaires, en utilisant la méthode matricielle, dans les exercices 11 à 14.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

NCERT Solutions classe 12 Exercice de mathématiques 4.6

13.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

14.

Rép. La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et =

NCERT Solutions classe 12 Exercice de mathématiques 4.6

15. Si A = trouve Utilisant résoudre le système d'équations

Rép. Soit : Matrice A =

Maintenant, la forme matricielle des équations données est AX = B

La solution est donc unique et

NCERT Solutions classe 12 Exercice de mathématiques 4.6

16. Le coût de 4 kg d'oignon, 3 kg de blé et 2 kg de riz est ` 60. Le coût de 2 kg d'oignon, 4 kg de blé et 2 kg de riz est ` 90. Le coût de 6 kg d'oignon, 2 kg de blé et 3 kg de riz est ` 70. Trouvez le coût de chaque article par kg par la méthode matricielle.

Rép. Soit ` ` ` par kg les prix de l'oignon, du blé et du riz respectivement.

D'après les données données, nous avons trois équations,

La forme matricielle des équations données est AX = B

Par conséquent, la solution est unique et = …….(i)

Par conséquent, le coût de l'oignon, du blé et du riz est de ` 5, ` 8 et ` 8 par kg.


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Les références

Adams, D.M., McLaren, B.M., Durkin, K., Mayer, R.E., Rittle-Johnson, B., Isotani, S., van Velsen, M. : Utilisation d'exemples erronés pour améliorer l'apprentissage des mathématiques avec un système de tutorat en ligne. Calcul. Hum. Comportez-vous. 36, 401–411 (2014)

Alcala, L. : Mettre en évidence les erreurs : une stratégie de notation. La chaîne pédagogique. https://www.teachingchannel.org/videos/math-test-grading-tips

Atkinson, R.K., Derry, S.J., Renkl, A., Wortham, D. : Apprendre à partir d'exemples : principes pédagogiques à partir de la recherche d'exemples travaillés. Rév. Éduc. Rés. 70(2), 181–214 (2000)

Borasi, R. : Explorer les mathématiques à travers l'analyse des erreurs. Apprendre. Math. 7(3), 2–8 (1987)

Carter, J.A., Cuevas, G.J., Day, R., Malloy, C., Kersaint, G., Luchin, B.M., Willard, T.: Glencoe math: your common core edition CCSS. Glencoe/McGraw-Hill, Columbus (2013)

Creswell, J.: Research design: qualitative, quantitative, and mixed methods approaches, 4th edn. Sage Publications, Thousand Oaks (2014)

Curry, L. A.: The effects of self-explanations of correct and incorrect solutions on algebra problem-solving performance. In: Proceedings of the 26th annual conference of the cognitive science society, vol. 1548. Erlbaum, Mahwah (2004)

Durkin, K., Rittle-Johnson, B.: The effectiveness of using incorrect examples to support learning about decimal magnitude. Learn. Instr. 22(3), 206–214 (2012)

Gadgil, S., Nokes-Malach, T.J., Chi, M.T.: Effectiveness of holistic mental model confrontation in driving conceptual change. Learn. Instr. 22(1), 47–61 (2012)

Gaudet, A.D., Ramer, L.M., Nakonechny, J., Cragg, J.J., Ramer, M.S.: Small-group learning in an upper-level university biology class enhances academic performance and student attitutdes toward group work. Public Libr. Sci. One 5, 1–9 (2010)

Große, C.S., Renkl, A.: Finding and fixing errors in worked examples: can this foster learning outcomes? Learn. Instr. 17(6), 612–634 (2007)

Janssen, J., Kirschner, F., Erkens, G., Kirschner, P.A., Paas, F.: Making the black box of collaborative learning transparent: combining process-oriented and cognitive load approaches. Educ. Psychol. Rev. 22, 139–154 (2010)

Johnson, D.W., Johnson, R.T.: An educational psychology success story: social interdependence theory and cooperative learning. Educ. Rés. 38, 365–379 (2009)

Kawasaki, M.: Learning to solve mathematics problems: the impact of incorrect solutions in fifth grade peers’ presentations. Jpn. J. Dev. Psychol. 21(1), 12–22 (2010)

Loibl, K., Rummel, N.: Knowing what you don’t know makes failure productive. Learn. Instr. 34, 74–85 (2014)

McLaren, B.M., Adams, D., Durkin, K., Goguadze, G., Mayer, R.E., Rittle-Johnson, B., Van Velsen, M.: To err is human, to explain and correct is divine: a study of interactive erroneous examples with middle school math students. 21st Century learning for 21st Century skills, pp. 222–235. Springer, Berlin (2012)

McLaren, B.M., Adams, D.M., Mayer, R.E.: Delayed learning effects with erroneous examples: a study of learning decimals with a web-based tutor. Int. J. Artif. Intell. Educ. 25(4), 520–542 (2015)

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM): Principles to actions: ensuring mathematical success for all. Author, Reston (2014)

National Governors Association Center for Best Practices & Council of Chief State School Officers (NGA Center and CCSSO): Common core state standards. Authors, Washington, DC (2010)

O’Connell, S., SanGiovanni, J.: Putting the practices into action: Implementing the common core standards for mathematical practice K-8. Heinemann, Portsmouth (2013)

Siegler, R.S.: Microgenetic studies of self-explanation. Microdevelopment: transition processes in development and learning, pp. 31–58. Cambridge University Press, New York (2002)

Silver, H.F., Strong, R.W., Perini, M.J.: The strategic teacher: Selecting the right research-based strategy for every lesson. ASCD, Alexandria (2009)

Sisman, G.T., Aksu, M.: A study on sixth grade students’ misconceptions and errors in spatial measurement: length, area, and volume. Int. J. Sci. Math. Educ. 14(7), 1293–1319 (2015)

Stark, R., Kopp, V., Fischer, M.R.: Case-based learning with worked examples in complex domains: two experimental studies in undergraduate medical education. Learn. Instr. 21(1), 22–33 (2011)

Sweller, J.: Cognitive load during problem solving: effects on learning. Cognitive Sci. 12, 257–285 (1988)

Sweller, J., Cooper, G.A.: The use of worked examples as a substitute for problem solving in learning algebra. Cognit. Instr. 2(1), 59–89 (1985)

Tashakkori, A., Teddlie, C.: Sage handbook of mixed methods in social & behavioral research, 2nd edn. Sage Publications, Thousand Oaks (2010)

Tsovaltzi, D., Melis, E., McLaren, B.M., Meyer, A.K., Dietrich, M., Goguadze, G.: Learning from erroneous examples: when and how do students benefit from them? Sustaining TEL: from innovation to learning and practice, pp. 357–373. Springer, Berlin (2010)

VanLehn, K.: Rule-learning events in the acquisition of a complex skill: an evaluation of CASCADE. J. Learn. Sci. 8(1), 71–125 (1999)


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