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6.4 : Utiliser des fonctions génératrices pour compter des choses - Mathématiques


6.4 : Utiliser des fonctions génératrices pour compter des choses - Mathématiques

Algorithmes pour les permutations et les combinaisons

L'algorithme suivant, présenté comme un programme C qui imprime les permutations des 5 premiers entiers positifs, peut être adapté aux permutations générées de tout type d'élément que vous voulez : Notez que le temps d'exécution de ce programme, en termes de nombre de fois une permutation est imprimée, est exactement m!, donc c'est aussi efficace que possible puisque c'est forcément le cas m! choses.

Qu'en est-il de la complexité de l'espace ? Mis à part le tableau lui-même, qui consomme (m), nous avons des trames de pile consommatrices de récursivité. Si nous traçons la récursivité depuis l'invocation de niveau supérieur jusqu'au cas de base, nous voyons facilement que pas plus de O(m) les invocations sont effectuées avant de remonter dans l'arborescence des appels récursifs. Ainsi, seulement jusqu'à O(m) des cadres de pile sont nécessaires.

Notez que cet algorithme prendra une éternité lorsque m dépasse 15 ou plus.


Facteurs des nombres de Fibonacci

Vous faites le calcul.

  1. Où sont les même les nombres de Fibonacci?
    Écrivez le numéros d'index i où Fib(i) est pair.
    Remarquez-vous un motif?
    Écrivez le modèle que vous trouvez aussi clairement que possible premier en mots et ensuite en mathématiques. Notez que 2=F(3) également.
  2. Trouvez maintenant où se trouvent les nombres de Fibonacci qui sont multiples de 3.
    et écrivez à nouveau le modèle que vous trouvez dans les mots, puis dans les mathématiques. Notez à nouveau que 3=F(4).
  3. Que dire de la multiples de 5? Ceux-ci sont faciles à repérer car ils se terminent par 0 ou alors 5.
    Encore une fois, écrivez le modèle que vous trouvez.
  4. Vous pouvez essayer de repérer les multiples de 8, si vous le souhaitez maintenant.
    Pourquoi 8 ? Parce que nous avons trouvé les multiples de 2, puis 3, puis 5 et maintenant 8 est le prochain nombre de Fibonacci !
  5. Pensez-vous que vos patrons ont aussi un patron ? C'est-à-dire pour n'importe quel nombre de Fibonacci F pouvez-vous me dire où vous pensez que tous ses multiples apparaîtront dans la liste complète des nombres de Fibonacci ?

Les nombres de Fibonacci comme facteurs des nombres de Fibonacci
je3456789101112.
Fib(i)23581321345589144.
F
une
c
t
o
r
s
2=Fib(3) Chaque 3 ème numéro Fib
3=Fib(4) Tous les 4 numéros Fib
5=Fib(5) Tous les 5 numéros Fib
8=Fib(6) Chaque 6 ème numéro Fib
F(k). F(tous les multiples de k)

ce qui suggère la règle générale:

Une belle factorisation de F(2n)

Si nous appliquons ce qui précède à F(2) qui est 1, nous obtenons que 1 est un facteur de tous les nombres de Fibonacci - ce qui n'est pas particulièrement utile ! Il y a cependant un résultat plus intéressant ici. Jetez un œil à ce tableau et voyez si vous pouvez repérer le motif :
2i24681012.
Fib(2i)1382155144.
Fi)112358.
F(2i)/F(i)13471118.
Pouvez-vous trouver une régularité dans les facteurs de la rangée du bas ? (Indice : ils sont la somme de deux nombres de Fibonacci).
Ces nouveaux nombres s'avèrent très importants dans les formules des nombres de Fibonacci. Ils s'appellent les nombres de Lucas : L(n) et ont de nombreuses propriétés intéressantes en soi.
  • Une amorce pour les nombres de Fibonacci : partie IX M Bicknell et V E Hoggatt Jr dans Le trimestriel de Fibonacci Vol 9 (1971) pages 529 - 536 a plusieurs preuves que F(k) se divise toujours exactement en F(nk) : en utilisant la formule de Binet par induction mathématique et en utilisant des fonctions génératrices.
  • Un livre gratuit avec toute la collection de parties du Primer est disponible en ligne sous forme de PDF ou en tant que parties séparées de l'Association Fibonacci.

Contenu

L'exposant ± utilisé dans cet article distingue les deux conventions de signes pour les nombres de Bernoulli. Seulement le m = 1 terme est affecté :

  • B
    m avec B
    1 = −
  • 1 / 2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) est la convention de signe prescrite par le NIST et la plupart des manuels modernes. [5]
  • B +
    m avec B +
    1 = +
  • 1 / 2 ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) est parfois utilisé dans la littérature plus ancienne. [1]

Dans les formules ci-dessous, on peut passer d'une convention de signe à l'autre avec la relation B n + = ( − 1 ) n B n − ^<+>=(-1)^B_^<->> , ou pour l'entier n = 2 ou supérieur, ignorez-le simplement.

Depuis Bm = 0 pour tout impair m > 1 , et de nombreuses formules n'impliquent que des nombres de Bernoulli à indice pair, écrivent quelques auteurs " Bm " à la place de B2m . Cet article ne suit pas cette notation.

Histoire ancienne Modifier

Les nombres de Bernoulli sont enracinés dans l'histoire ancienne du calcul de sommes de puissances entières, qui intéressent les mathématiciens depuis l'Antiquité.

Les méthodes pour calculer la somme des n premiers entiers positifs, la somme des carrés et des cubes des n premiers entiers positifs étaient connues, mais il n'y avait pas de vraies « formules », seulement des descriptions données entièrement en mots. Parmi les grands mathématiciens de l'Antiquité à considérer ce problème figuraient Pythagore (vers 572-497 avant notre ère, Grèce), Archimède (287-212 avant notre ère, Italie), Aryabhata (né en 476, Inde), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Perse) et Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, Irak).

À la fin du XVIe et au début du XVIIe siècle, les mathématiciens ont fait d'importants progrès. En Occident, l'Anglais Thomas Harriot (1560-1621), l'Allemand Johann Faulhaber (1580-1635), l'Allemand Pierre de Fermat (1601-1665) et le mathématicien français Blaise Pascal (1623-1662) ont tous joué un rôle important.

Thomas Harriot semble avoir été le premier à dériver et à écrire des formules pour des sommes de puissances en utilisant la notation symbolique, mais même lui n'a calculé que jusqu'à la somme des puissances quatrièmes. Johann Faulhaber a donné des formules pour des sommes de puissances jusqu'à la 17e puissance dans son 1631 Algèbre académique, bien plus élevé que quiconque avant lui, mais il n'a pas donné de formule générale.

Blaise Pascal en 1654 a prouvé L'identité de Pascal rapportant les sommes des p les pouvoirs du premier m entiers positifs pour p = 0, 1, 2, …, k .

Le mathématicien suisse Jakob Bernoulli (1654-1705) a été le premier à réaliser l'existence d'une seule séquence de constantes B0, B1, B2,… qui fournissent une formule uniforme pour toutes les sommes de puissances. [6]

La joie que Bernoulli a éprouvée lorsqu'il a trouvé le modèle nécessaire pour calculer rapidement et facilement les coefficients de sa formule pour la somme des puissances c pour tout entier positif c peut être vu de son commentaire. Il a écrit:

"Avec l'aide de ce tableau, il m'a fallu moins d'un quart d'heure pour trouver que les puissances dixièmes des 1000 premiers nombres additionnés donneraient la somme 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500."

Le résultat de Bernoulli a été publié à titre posthume dans Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu a découvert indépendamment les nombres de Bernoulli et son résultat a été publié un an plus tôt, également à titre posthume, en 1712. [2] Cependant, Seki n'a pas présenté sa méthode comme une formule basée sur une séquence de constantes.

La formule de Bernoulli pour les sommes de puissances est la formulation la plus utile et la plus généralisable à ce jour. Les coefficients de la formule de Bernoulli sont maintenant appelés nombres de Bernoulli, suivant une suggestion d'Abraham de Moivre.

La formule de Bernoulli est parfois appelée formule de Faulhaber d'après Johann Faulhaber qui a trouvé des moyens remarquables de calculer la somme des puissances mais n'a jamais indiqué la formule de Bernoulli. Selon Knuth [6] une preuve rigoureuse de la formule de Faulhaber a été publiée pour la première fois par Carl Jacobi en 1834. [7] L'étude approfondie de Knuth sur la formule de Faulhaber conclut (la notation non standard sur la LHS est expliquée plus loin) :

Reconstruction de "Summae Potestatum" Modifier

Les numéros de Bernoulli OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) ont été introduits par Jakob Bernoulli dans le livre Ars Conjectandi publié à titre posthume en 1713 page 97. La formule principale se trouve dans la seconde moitié du fac-similé correspondant. Les coefficients constants notés UNE , B , C et par Bernoulli sont mappés à la notation qui est maintenant répandue comme UNE = B2 , B = B4 , C = B6 , = B8 . L'expression c·c−1·c−2·c-3 signifie c·(c−1)·(c−2)·(c−3) – les petits points sont utilisés comme symboles de regroupement. En utilisant la terminologie d'aujourd'hui, ces expressions sont des puissances factorielles en chute c k . La notation factorielle k! comme raccourci pour 1 × 2 × … × k n'a été introduit que 100 ans plus tard. Le symbole intégral sur le côté gauche remonte à Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 qui l'a utilisé comme une longue lettre S pour "somme" (somme). [b] La lettre m sur le côté gauche n'est pas un indice de sommation mais donne la limite supérieure de la plage de sommation qui doit être comprise comme 1, 2, …, m . Mettre les choses ensemble, pour le positif c , aujourd'hui un mathématicien est susceptible d'écrire la formule de Bernoulli sous la forme :

si B1 = 1/2 , reprenant la valeur donnée par Bernoulli au coefficient à cette position.

De nombreuses caractérisations des nombres de Bernoulli ont été trouvées au cours des 300 dernières années, et chacune pourrait être utilisée pour introduire ces nombres. Ici, seuls trois des plus utiles sont mentionnés :

Pour la preuve de l'équivalence des trois approches. [dix]

Définition récursive Modifier

Les nombres de Bernoulli obéissent aux formules de somme [1]

Définition explicite Modifier

En 1893, Louis Saalschütz a énuméré un total de 38 formules explicites pour les nombres de Bernoulli, [11] donnant généralement une référence dans la littérature plus ancienne. L'un d'eux est:

Fonction génératrice Modifier

où la substitution est t → − t .

La fonction génératrice (ordinaire)

Les nombres de Bernoulli peuvent être exprimés en fonction de la fonction zêta de Riemann :

B +
m = −non(1 − m) pour m ≥ 1 .

Ici, l'argument de la fonction zêta est 0 ou négatif.

Au moyen de l'équation fonctionnelle zêta et de la formule de réflexion gamma, la relation suivante peut être obtenue : [12]

Maintenant, l'argument de la fonction zêta est positif.

Il découle alors de ζ → 1 ( m → ∞ ) et la formule de Stirling qui

Dans certaines applications, il est utile de pouvoir calculer les nombres de Bernoulli B0 à travers Bp − 3 modulo p , où p est un nombre premier par exemple pour tester si la conjecture de Vandiver est vraie pour p , ou même simplement pour déterminer si p est un nombre premier irrégulier. Il n'est pas possible d'effectuer un tel calcul en utilisant les formules récursives ci-dessus, car au moins (un multiple constant de) p 2 opérations arithmétiques seraient nécessaires. Heureusement, des méthodes plus rapides ont été développées [13] qui ne nécessitent que O(p (Journal p) 2 ) opérations (voir notation grand O).

David Harvey [14] décrit un algorithme de calcul des nombres de Bernoulli en calculant Bm modulo p pour de nombreux petits nombres premiers p , puis en reconstruisant Bm via le théorème des restes chinois. Harvey écrit que la complexité temporelle asymptotique de cet algorithme est O(m 2 journal(m) 2 + ε ) et affirme que cette implémentation est nettement plus rapide que les implémentations basées sur d'autres méthodes. En utilisant cette implémentation, Harvey a calculé Bm pour m = 10 8 . L'implémentation de Harvey a été incluse dans SageMath depuis la version 3.1. Avant cela, Bernd Kellner [15] a calculé Bm à pleine précision pour m = 10 6 en décembre 2002 et Oleksandr Pavlyk [16] pour m = 10 7 avec Mathematica en avril 2008.

Analyse asymptotique Modifier

L'application la plus importante des nombres de Bernoulli en mathématiques est sans doute leur utilisation dans la formule d'Euler-Maclaurin. En supposant que f est une fonction suffisamment souvent dérivable la formule d'Euler-Maclaurin peut être écrite comme [17]

Ainsi, la dernière formule peut être encore simplifiée à la forme succincte suivante de la formule d'Euler-Maclaurin

Cette forme est par exemple la source de l'important développement d'Euler-Maclaurin de la fonction zêta

Ici s k désigne la puissance factorielle croissante. [18]

Les nombres de Bernoulli sont également fréquemment utilisés dans d'autres types de développements asymptotiques. L'exemple suivant est le développement asymptotique classique de type Poincaré de la fonction digamma ψ .

Somme des pouvoirs Modifier

Les nombres de Bernoulli figurent en bonne place dans l'expression sous forme fermée de la somme des m les pouvoirs du premier m entiers positifs. Pour m, m 0 définir

Cette expression peut toujours être réécrite comme un polynôme dans m de diplôme m + 1 . Les coefficients de ces polynômes sont liés aux nombres de Bernoulli par La formule de Bernoulli:

Par exemple, en prenant m être 1 donne les nombres triangulaires 0, 1, 3, 6, … OEIS: A000217 .

Prise m être 2 donne les nombres pyramidaux carrés 0, 1, 5, 14, … OEIS : A000330 .

Certains auteurs utilisent la convention alternative pour les nombres de Bernoulli et déclarent la formule de Bernoulli de cette manière :

La formule de Bernoulli est parfois appelée formule de Faulhaber d'après Johann Faulhaber qui a également trouvé des moyens remarquables de calculer des sommes de puissances.

La formule de Faulhaber a été généralisée par V. Guo et J. Zeng à un q -analogue. [19]

Série Taylor Modifier

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor de nombreuses fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques.

Série Laurent Modifier

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans la série de Laurent suivante : [20]

Utilisation en topologie Modifier

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphisme d'exotique (4m − 1) -sphères qui bornent des variétés parallélisables impliquent des nombres de Bernoulli. Laisser ESm être le nombre de ces sphères exotiques pour m 2 , alors

Le théorème de signature de Hirzebruch pour le genre L d'une variété fermée orientée lisse de dimension 4m implique également des nombres de Bernoulli.

La connexion du nombre de Bernoulli à divers types de nombres combinatoires est basée sur la théorie classique des différences finies et sur l'interprétation combinatoire des nombres de Bernoulli en tant qu'instance d'un principe combinatoire fondamental, le principe d'inclusion-exclusion.

Connexion avec les numéros Worpitzky Modifier

La définition à suivre a été développée par Julius Worpitzky en 1883. Outre l'arithmétique élémentaire, seule la fonction factorielle m! et la fonction puissance k m Est employé. Les nombres de Worpitzky sans signe sont définis comme

Ils peuvent également être exprimés à travers les nombres de Stirling du deuxième type

Considérez la séquence sm , m 0 . À partir des numéros de Worpitzky OEIS : A028246, OEIS : A163626 appliqué à s0, s0, s1, s0, s1, s2, s0, s1, s2, s3, … est identique à la transformée d'Akiyama-Tanigawa appliquée à sm (voir Connexion avec les numéros de Stirling du premier type). Cela peut être vu via le tableau:

Identité de
La représentation de Worpitzky et la transformation Akiyama-Tanigawa
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 −1 0 2 −2 0 0 3 −3 0 0 0 4 −4
1 −3 2 0 4 −10 6 0 0 9 −21 12
1 −7 12 −6 0 8 −38 54 −24
1 −15 50 −60 24

La première ligne représente s0, s1, s2, s3, s4 .

D'où pour les deuxièmes nombres fractionnaires d'Euler OEIS : A198631 ( m ) / OEIS : A006519 ( m + 1 ):

Une deuxième formule représentant les nombres de Bernoulli par les nombres de Worpitzky est pour m ≥ 1

La seconde représentation simplifiée de Worpitzky des seconds nombres de Bernoulli est :

qui relie les seconds nombres de Bernoulli aux seconds nombres fractionnaires d'Euler. Le début c'est :

Lien avec les numéros de Stirling du deuxième type Modifier

Si S(k,m) désigne les nombres de Stirling de deuxième espèce [21] alors on a :

j m désigne la factorielle décroissante.

Bk pour k = 0, 1, 2,… sont les nombres de Bernoulli.

Puis d'après la propriété suivante du coefficient binomial :

On a aussi ce qui suit pour les polynômes de Bernoulli, [22]

En comparant le coefficient de j dans les deux expressions des polynômes de Bernoulli, on a :

Lien avec les numéros de Stirling du premier type Modifier

et l'inversion de cette somme (pour m ≥ 0 , m ≥ 0 )

Ici le nombre UNEm,m sont les nombres rationnels d'Akiyama-Tanigawa, dont les premiers sont affichés dans le tableau suivant.

Les nombres d'Akiyama-Tanigawa satisfont une relation de récurrence simple qui peut être exploitée pour calculer itérativement les nombres de Bernoulli. Cela conduit à l'algorithme présenté dans la section « description algorithmique » ci-dessus. Voir OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Un séquence automatique est une séquence dont la transformée binomiale inverse est égale à la séquence signée. Si la diagonale principale est des zéros = OEIS : A000004 , l'autoséquence est du premier type. Exemple : OEIS : A000045 , les nombres de Fibonacci. Si la diagonale principale est la première diagonale supérieure multipliée par 2, elle est du deuxième type. Exemple : OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , les deuxièmes numéros de Bernoulli (voir OEIS : A190339 ). La transformée d'Akiyama-Tanigawa appliquée à 2m = 1/ OEIS : A000079 conduit à OEIS : A198631 (m) / OEIS : A06519 (m + 1). D'où:

Voir OEIS : A209308 et OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( m ) / OEIS : A006519 ( m + 1 ) sont les seconds nombres d'Euler (fractionnels) et une autoséquence du second type.

Lien avec le triangle de Pascal Modifier

Il existe des formules reliant le triangle de Pascal aux nombres de Bernoulli [c]


Cloisons

Une partition d'un entier positif m est une représentation de m comme somme d'entiers positifs m = X1 + X2 +⋯+ Xk, Xje ≥ 1, je = 1, 2,…, k. Les nombres Xje sont appelés les parties de la partition. le car c'est le nombre de façons de mettre k − 1 marque de séparation dans le m − 1 espace entre m points d'affilée. La théorie des partitions non ordonnées est beaucoup plus difficile et présente de nombreuses caractéristiques intéressantes. Une partition non ordonnée peut être normalisée en énumérant les pièces dans un ordre décroissant. Ainsi m = X1 + X2 +⋯+ Xk, X1X2 ≥⋯≥ Xk ≥ 1. Dans ce qui suit, partition signifiera une partition non ordonnée.

Le nombre de partitions de m dans k les pièces seront désignées par Pk(m), et une formule de récurrence peut être obtenue à partir de la définition

.

Cette formule de récurrence, ainsi que les conditions initiales Pk(m) = 0 si m < k, et Pk(k) = 1 détermine Pk(m). On peut montrer que Pk(m) dépend de la valeur de m (mode k!), dans laquelle la notation Xune (mode b) signifie que X est un nombre qui, s'il est divisé par b, laisse le même reste que une Est-ce que. Par example, P3(m) = m 2 + cm, dans lequel cm = 0, -1/12, -1/3, +1/4, -1/3 ou -1/12, selon m est congru à 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 (mod 6). P(m), qui est une somme sur toutes les valeurs de k de 1 à m de Pk(m), désigne le nombre de partitions de m dans m ou moins de pièces.


4.5. Récupération des données SIG

Les données peuvent être extraites de la base de données à l'aide de SQL ou du chargeur/dumper de fichiers Shape. Dans la section sur SQL, nous discuterons de certains des opérateurs disponibles pour effectuer des comparaisons et des requêtes sur des tables spatiales.

4.5.1. Utilisation de SQL pour récupérer des données

Le moyen le plus simple d'extraire des données de la base de données consiste à utiliser une requête de sélection SQL pour réduire le nombre d'ENREGISTREMENTS et de COLONNES renvoyés et de vider les colonnes résultantes dans un fichier texte analysable :

Cependant, il y aura des moments où une sorte de restriction sera nécessaire pour réduire le nombre de champs renvoyés. Dans le cas de restrictions basées sur les attributs, utilisez simplement la même syntaxe SQL que d'habitude avec une table non spatiale. En cas de restrictions spatiales, les opérateurs suivants sont disponibles/utiles :

Cette fonction indique si deux géométries partagent un espace.

Ceci teste si deux géométries sont géométriquement identiques. Par exemple, si 'POLYGON((0 0,1 1,1 0,0 0))' est le même que 'POLYGON((0 0,1 1,1 0,0 0))' (c'est le cas).

Remarque : avant PostGIS 2.4, cela ne comparait que des boîtes de géométries.

Ensuite, vous pouvez utiliser ces opérateurs dans les requêtes. Notez que lorsque vous spécifiez des géométries et des boîtes sur la ligne de commande SQL, vous devez explicitement transformer les représentations sous forme de chaîne en fonction de géométries. Le 312 est un système de référence spatial fictif qui correspond à nos données. Ainsi, par exemple :

La requête ci-dessus renverrait l'enregistrement unique de la table "ROADS_GEOM" dans lequel la géométrie était égale à cette valeur.

Pour vérifier si certaines routes passent dans la zone définie par un polygone :

La requête spatiale la plus courante sera probablement une requête "basée sur un cadre", utilisée par les logiciels clients, tels que les navigateurs de données et les mappeurs Web, pour saisir une valeur de "cadre cartographique" de données à afficher.

Lorsque vous utilisez l'opérateur "&&", vous pouvez spécifier soit une BOX3D comme fonction de comparaison, soit une GEOMETRIE. Cependant, lorsque vous spécifiez une GEOMETRIE, sa boîte englobante sera utilisée pour la comparaison.

En utilisant un objet "BOX3D" pour le cadre, une telle requête ressemble à ceci :

A noter l'utilisation du SRID 312, pour préciser la projection de l'enveloppe.

4.5.2. Utilisation du dumper

Le dumper de table pgsql2shp se connecte directement à la base de données et convertit une table (éventuellement définie par une requête) en un fichier de forme. La syntaxe de base est :

Les options de la ligne de commande sont :

Écrivez la sortie dans un nom de fichier particulier.

L'hôte de base de données auquel se connecter.

Le port auquel se connecter sur l'hôte de la base de données.

Le mot de passe à utiliser lors de la connexion à la base de données.

Le nom d'utilisateur à utiliser lors de la connexion à la base de données.

Dans le cas de tables avec plusieurs colonnes de géométrie, la colonne de géométrie à utiliser lors de l'écriture du fichier de forme.

Utilisez un curseur binaire. Cela rendra l'opération plus rapide, mais ne fonctionnera pas si un attribut NON géométrique dans le tableau n'a pas de conversion en texte.

Mode brut. Ne supprimez pas le champ gid ou n'échappez pas aux noms de colonnes.

Remappez les identifiants sur dix noms de caractères. Le contenu du fichier est constitué de lignes de deux symboles séparés par un seul espace blanc et aucun espace de fin ou de début : VERYLONGSYMBOL SHORTONE ANOTHERVERYLONGSYMBOL SHORTER etc.


2.7 La classe liste

La classe list est une classe très flexible, et donc très utile. Vous pouvez mettre n'importe quoi dans une liste, comme des nombres :

ou d'autres listes construites avec c() :

vous pouvez aussi mettre des objets de classes différentes dans la même liste :

et bien sûr créer une liste de listes :

Pour vérifier le contenu d'une liste, vous pouvez utiliser la fonction de structure str() :

ou vous pouvez utiliser RStudio Environnement vitre:

Vous pouvez également créer des listes nommées :

et vous pouvez accéder aux éléments de deux manières :

Les listes sont largement utilisées parce qu'elles sont si flexibles. Vous pouvez créer des listes d'ensembles de données et appliquer des fonctions à tous les ensembles de données à la fois, construire des listes de modèles, des listes de tracés, etc. Dans les chapitres suivants, nous allons tout apprendre à leur sujet. Les listes sont des objets centraux dans un workflow de programmation fonctionnelle pour une analyse statistique interactive.


2. Mathématiques de la loterie

Les analyses suivantes sont faites en Lumineux/Ultime , une fonction S = Super Utilitaires (programmes de loto nommés LogicielLotto ).

Première étape : un numéro à la fois
C'était le tout début de mon expérience Internet (Saliu.com/LottoWin.htm). Très important aussi, il a signé l'acte de naissance de la loterie mathématique. La page principale de stratégie de loterie a commencé de cette façon :

  • FFG a une colonne p=1/8 qui décrit exactement un jeu de loto tirant 6 numéros gagnants sur un champ de 48 numéros. « 6 divisé par 48 » est 1/8 ou 0,125. C'est ainsi que vous calculez la probabilité p, en considérant un numéro de loto à la fois ! Évidemment, chaque loto ou combinaison de loterie a une probabilité p égale au reste, mais les combinaisons apparaissent avec des fréquences différentes. La médiane FFG est le facteur clé de l'apparence biaisée. Les numéros du loto ont tendance à se répéter plus souvent lorsque leur saut de course est inférieur ou égal au médiane de probabilité. le médiane de probabilité ou, mieux encore, Médiane FFG peut être calculé par la Formule Fondamentale du Jeu (FFG) pour le degré de certitude DC = 50%. Cette prémisse révolutionnaire constitue l'épine dorsale de la stratégie de loterie et de loto qui suit.

Voir ci-dessus : Le 1 sur 6 sur 49 la conception du loto nécessitait 8 lignes. Il y a plus. Le paradoxe des essais N d'Ion Saliu démontre que si nous générons au hasard 8 combinaisons de loto 6-49, seulement 63% des numéros seront uniques, le reste, 37%, seront des répétitions. La médiane FFG pour ce cas est de 6. Si nous générons 6 combinaisons de loterie aléatoires, seulement la moitié (50%) des numéros seront uniques. De manière équivalente, la moitié des 48 (ou 49) numéros du loto ne seront pas sortis en 6 tirages.

Cette stratégie de loterie, comme ce fut le cas avec le 1 sur 6 sur 49 lotto design, n'offre rien en termes de réduction supplémentaire. Nous savons maintenant qu'après 6 tirages, seuls 50% des numéros du loto sont sortis. On sait aussi qu'après deux autres tirages 63% du loto 6/48 (disons 6/49) seraient sortis. Ainsi, les tirages #7 et #8 offriront 13% de numéros de loto en plus. En termes absolus, 13% représentent 6 ou 7 numéros de loto (sur 48 ou 49). Il y a eu 24 (ou 25 - la moitié) numéros qui sont sortis lors des 6 tirages précédents. La FFG s'attend à ce que 6 nouveaux numéros sortent lors des 2 prochains tirages. Les 6 nombres peuvent être répartis sur les dessins suivants selon des schémas comme 0-6 ou 6-0 à 15 ou 5-1, mais plus probablement 3-3. Si nous ne jouons que les numéros des 6 derniers tirages de loterie, nous nous attendons à toucher 3 gagnants au loto. Mais, les choses pourraient être radicalement différentes à des moments (rares). Comme ma page de stratégie de loterie l'a démontré, les résultats réels de la loterie ont montré que les 6 gagnants provenaient des 6 tirages précédents, même des 5, voire des 4 derniers tirages du loto !

Donnons toujours crédit lorsque le crédit est dû. Gail Howard, ancien courtier en valeurs mobilières, a remarqué et publié avant moi la tendance des numéros de loto à se répéter à partir des dessins les plus récents. Cependant, j'appliquais la méthode en Roumanie, bien avant même d'avoir entendu le nom de Gail Howard ! Sans oublier que ma stratégie de loterie appliquait non seulement des numéros de loto uniques, mais également des paires de numéros. Gail Howard n'a appliqué aucune méthode mathématique ou programmation informatique. Elle avait analysé un jeu de loto à faible cote (6 sur 38 environ), mais elle a généralisé ses découvertes à tous les jeux de loto. Elle ne comptait que sur l'observation. Sa méthode était entièrement manuelle (crayon et papier). Après avoir sélectionné 15 à 20 numéros, le joueur de loterie roue manuelle les nombres. Elle a vendu un livre composé principalement de roues de loto développées manuellement par un mathématicien bulgare dans les années 1960 : Dimitrov. Gail Howard a titré son livre comme étant basé sur le Roues de loto Dimitrov. Je le dirai toujours à 100 % sincèrement : donnez aux pionniers ce qui est dû aux pionniers !

Comme aucune réduction n'est possible, cette stratégie de loterie naissante est la plus faible. C'est celui dont je vous ai parlé il y a une vingtaine de pages. J'ai fait gagner de l'argent à deux économistes dans la Roumanie des années 80. C'est la stratégie que j'ai appliquée avec mon compagnon de ferme portoricain lorsque j'ai joué à la loterie aux États-Unis pour la première fois (1985). J'ai abandonné cette méthode à la fin de la décennie 1980.

Deuxième étape : deux nombres à la fois (paires)
J'ai développé une stratégie de loterie plus puissante trois ou quatre ans après la stratégie de loterie naissante. J'ai appelé cette seconde venue la merveille-grille. La grille des merveilles de la loterie considérait des paires de numéros de loto, au lieu de numéros de loto uniques. Il y avait de nombreuses preuves statistiques que les numéros de loto présentaient de forts biais lorsqu'ils étaient associés à d'autres numéros de loto. Les 5 meilleures paires pour chaque numéro de loto sont sorties beaucoup plus fréquemment que le reste des paires : environ 50 % de toutes les fréquences d'appariement. Nous avons été témoins du même phénomène lorsque nous avons analysé le jeu de la roulette.

La faiblesse de la grille magique de la loterie était la non-discrimination. Il traitait également tous les numéros de loterie. J'ai découvert plus tard la science de la discrimination positive. Vous pouvez en lire beaucoup plus directement sur mon site Web (où d'autre?) Nous avons découvert à la première étape que les numéros de loterie ne sortent pas avec une fréquence égale. En effet, quelques numéros de loto sortent 6 fois sur 50 tirages, alors que d'autres n'apparaissent pas ! D'un autre côté, la grille des merveilles traitait chaque numéro de loto de la même manière. Il a joué chaque numéro et ses meilleures paires.

J'ai découvert une zone importante du domaine des appariements de loterie que j'ai nommé moins d'appariements. Cette découverte a précédé la stratégie de loterie naissante décrite par la première étape. Le moindre appariement était l'un des premiers filtres (ou restrictions) de mon logiciel de loterie (début 1988).

Le terme lappariements est est relatif. Nous pouvons le définir pleinement en établissant la valeur de moindre. Le moins se réfère au seuil minimum de la fréquence de paire. La valeur par défaut que j'ai établie au moins dans mon logiciel de loterie est 0 (zéro). C'est-à-dire que chaque paire de loterie avec une fréquence de zéro (no show) est considérée comme appartenant à la restriction de paires minimales (filtre). Mais le moins d'appariements Le filtre est validé parfois par une borne supérieure supérieure à zéro. Il y a des tirages lorsque la moindre paire de loterie a une fréquence supérieure à 3-4, voire supérieure ! Définir le filtre de loterie aussi haut dévaste absolument les chances du loto ! Même un appariement égal à 0 peut réduire des millions de combinaisons de loto !

Faisons quelques calculs de bon sens concernant la deuxième étape et les plus petites paires de loterie. Combien y a-t-il de paires ou d'appariements dans un jeu de loto, disons « 6 sur 49 » ? Il existe deux méthodes simples à calculer. Les 49 numéros peuvent être jumelés en C(49, 2) = [(49 * 48) / (1 * 2)] = 1176. Le jeu de loto tire 6 numéros, donc le total des paires dans le tirage est C (6, 2) = 15 paires. En dernière analyse, le jeu de loto 6-49 donne 1176 / 15 = 78,4 ou environ 79 éléments entiers.

L'autre méthode le fait en une seule étape, un peu comme le calcul des combinaisons de loto. [(49/6) * (48/5)] = 78,4.

Ce ne sont pas de vrais éléments. Ce sont des éléments dérivés pour nous aider à effectuer des calculs de probabilité. Nous l'avons fait plus facilement à la première étape, lorsque nous avons calculé la probabilité pour les numéros de loto singuliers (par exemple 1/8 ou 1 sur 8). La probabilité est ce dont nous avons besoin en premier lieu. La formule ci-dessus peut être retravaillée pour calculer directement les probabilités de paires. [(6/49) * (5/48)] = 0,012755 ou 1 sur 78,4.

Nous allons exécuter à ce stade le logiciel de probabilités et de statistiques le plus superbe : SuperFormula . Nous devons calculer le Médiane FFG pour les paires de loterie. Nous devrions choisir Option 2 : Le programme calcule p. Je suggère que nous utilisions 10 pour le premier élément de p et 784 pour le deuxième élément (pour des résultats plus précis). Le résultat pour Médiane FFG (DC = 50%) est quelque chose comme 54. Ainsi, la moitié des paires du loto 6/49 sortiront en 54 tirages. Attendez! Le programme WheelCheck6 a généré une roue de loto qui couvre 2 sur 6 sur 49 en 48 combinaisons ! En fait, cette roue peut être réduite à une trentaine de combinaisons de loto tout en préservant la garantie minimale ! Eh bien, c'est le pouvoir de la réduction !

Nous pouvons générer le fichier d'appariement du loto en exécutant un autre excellent logiciel de loterie : Util (un nom générique qui peut être Util-6 pour les jeux de loto à 6 numéros). le Statistiques La fonction génère une pléthore de rapports de fréquence, y compris pour les paires. Le programme crée automatiquement un fichier distinct dédié au moins d'appariements. Comme indiqué ci-dessus : le moindre appariement avec une fréquence égale à zéro élimine des millions de combinaisons de loto, lorsqu'il est défini en tant que filtre (ou restriction dans le logiciel de génération de combinaisons). Un appariement minimum réglé sur la fréquence minimale = 2 peut parfois éliminer toutes les combinaisons de loterie. Lorsqu'il frappe, il peut générer très peu de combinaisons de loto ! C'est le pouvoir de la discrimination positive. Il existe de bons numéros de loto et des paires de loterie, en ce qui concerne la fréquence. Mais un seul mauvais accord peut gâcher la fête ! En évitant un tel appariement, nous pouvons éliminer un grand nombre de combinaisons de loto qui ont une très faible probabilité de remporter le jackpot.

  • Mieux encore : utilisez Super utilitaires, dans le menu principal de intégré Brillant applications logicielles.

Nous générons les paires pour une plage d'analyse (nommée parpaluck par souci de simplification) égal à 54. On s'attend, sur la base de Ion Saliu Paradoxe, 13% de nouvelles paires dans les 79 - 54 prochains = 25 tirages de loterie. On peut faire une ou deux choses. Nous activons le même fichier de paires minimales et lisons la sortie pour les 25 prochains tirages. Nous pouvons également recréer le fichier de loterie le moins appariées pour chaque dessin séparément. Nous jouons la sortie uniquement pour le prochain tirage au sort. Bien sûr, on peut combiner les deux puis on purge les combinaisons en double (une autre fonction dans Util).

Nous sommes également libres de sélectionner d'autres parpalucks. FFG offre un large éventail de possibilités. Réglez parpaluck sur N, par exemple (79 dans le cas des paires du loto 649). Nous savons que 63% des paires de loto sortiront dans cette fourchette. On calcule maintenant le degré de certitude pour un cas égal à N * 1,5 (un et demi de N) c'est quelque chose comme 120 dans ce cas. Ou, nous pouvons simplement définir parpaluck = 100 tirages. Les degrés de certitude sont respectivement de 78,6 % et 72,3 %. Il me semble que le parpaluck égal à 100 est une méthode plus efficace pour appliquer le moins d'appariements en tant que filtre logiciel de loterie. Nous pouvons jouer les 21 prochains tirages et nous attendre à ce qu'un peu moins de 10% des nouvelles paires de loto sortent. Nous avons ici un degré de certitude de 90 % que toutes les paires de loto se répéteront dans cette plage de 21 tirages (de 79 à 100). Cela m'a l'air d'être un bon pari !

Troisième étape : trois nombres à la fois (triples)
À côté des paires se trouvent les triplés sur l'escabeau de la loterie. Chaque numéro de loto sort principalement avec deux autres numéros et forme ainsi un triple ou un triplet (ou tout autre nom similaire).

Il y a une mise en garde. Les triolets de loto nécessitent un fichier de données de loterie beaucoup plus volumineux. C'est-à-dire un nombre beaucoup plus important de dessins antérieurs. Peu de commissions de loterie ont des historiques de jeux de loto comparables.

Combien y a-t-il de triples ou de triplets dans un jeu de loto, disons, 6 de 49? Encore une fois, nous avons deux méthodes faciles à calculer. The 49 numbers can have C(49, 3) = [(49 * 48 * 47) / (1 * 2 *3)] = 18424 triples. The lotto game draws 6 numbers, therefore total triplets in the draw is C(6, 3) = 20. In final analysis, the 6-49 lotto game yields 18424 / 20 = 921.2 or approximately 922 integer elements.

The other method does it in one step, very much like calculating the lotto combinations. [(49/6) * (48/5) * (47/4)] = 921.2. The formula above can be reworked to calculate triplet probabilities directly. [(6/49) * (5/48) * (4/47)] = 0.00108554 or 1 in 921.2.

We shall run the same probability and statistics software: SuperFormula . We need to calculate the FFG median for lottery triples. We should choose Option 2: The program calculates p. I suggest we use 10 for the first element of p and 9212 for the second element. The result for FFG median (DC = 50%) is something like 638. So, half of the lotto 649 triples will come out in 638 drawings. Wait a minute! le WheelCheck program generated a lotto wheel that covers 3 of 6 from 49 in 514 combinations! Actually, that wheel can be reduced to 400-something lotto combinations while preserving the minimum guarantee! Well, that's the power of reduction!

Step Three (and further) was very poor when it came to lotto software availability. The very old 16-bit Tools (1995!) lottery software calculates the frequencies of triplets for 5-, 6-, and 7-number lotto games. September of the year of grace 2008 trumpeted great news. New lotto software, of course!

The two new lotto software programs work with single and multiple number groups for 5-number lotto and lotto-6: Pairs (twins), triplets (trips), quadruplets (quads), quintuplets (quints). The programs also generate lotto combinations with or without favorite numbers (from one to five favorites).

This extraordinarily powerful lotto software offers quite a bit of, well, power! Take for example a lotto 6/49 game. Eliminating the least singles generates 100947 combinations (with no favorite numbers). Indeed, other least groups are even more potent e.g. least pairs generates 13165 combos, without favorites. Enabling both least singles et least pairings generates 505 lotto combinations (down to earth from 13983816). Playing 2 favorite lotto numbers and eliminating the least triples generates only 4 combinations, sometimes only one combo!

A reasonably fast computer is needed for larger lotto groups, especially quads and quintuplets (applicable to lotto-6 only). For example, the quadruplets amount to 211876 4-number groups, or 14125 derived elements (4 in 6 lotto 6/49 groups). le FFG median is 9790 drawings. I don't think there is or will be a lotto game history that long: 97 years, with two lotto drawings a week!

Still, we can use those free simulated data files that these very applications create themselves with ease (file names in the form SIM-5 ou alors SIM-6). You can try to generate the reports for the triplets, quadruplets, and quintuplets by using your D5 ou alors D6 data files (history files). Again, it is not exactly like using real data files, with actual lotto draws. On the other hand, the lottery commissions always run fake drawings. That is, they conduct a number of drawings, before the real one (the drawing or result they publish).

Please do yourself a favor and read carefully this material presenting the powerful lotto software: .

I know how amazed the skeptics are. Even the cynics are astonished how faithfully real-life lottery follows the laws of mathematics. When I put fundamental in the Fundamental Formula of Gambling (FFG) I meant it. I mean it now to a degree even higher than incipiently. The least parameters created by my lottery software are very close to what FFG calculates. I generated the least files for the median i.e. for a degree of certainty DC = 50%. Here are two cases:

le least singles file contained 26 single numbers. That is, 23 lotto 6/49 numbers repeated under the FFG median 26 numbers did not come out. According to the fundamental formula, the ratio should be 24/25.

The percentage is even closer for higher number groups. le least pairings file contained 585 lottery pairs. It is significantly closer to the midpoint of 1176. Total number of lotto 6-49 pairs: 1176 half point is 588. QED.

This has been a quite comprehensive introduction to lottery mathematics. The treatise can be expanded a lot by analyzing the multitude of filters already available in my lottery and lotto software. I am talking now about the derived filters or second degree filters, as opposed to the three primary filters analyzed in this chapter. The derived filters aren't much different, if different at all. They also have FFG medians and degrees of certainty. Analyzing all those filters would probably require 10 times more publishing space than this entire book! What I will try to do, however, is to present the most important lottery strategies I discovered. I will also make reference to the corresponding software I wrote. I will do my best to be as clear as possible, while I must be concise.

Let's not call this essay an introduction anymore. Let's address it properly: Lottery mathematics in a nutshell.

Read Ion Saliu's first book in print: Probability Theory, Live!

Discover profound scientific implications of the Fundamental Formula of Gambling (FFG), including mathematics of lotto one chapter dedicated to true lottery mathematics.


6.4: Using generating functions to count things - Mathematics

A key step in many proofs consists of showing that two possibly different values are in fact the same. le Pigeonhole principle can sometimes help with this.

Theorem 1.6.1 (Pigeonhole Principle) Suppose that $n+1$ (or more) objects are put into $n$ boxes. Then some box contains at least two objects.

Preuve. Suppose each box contains at most one object. Then the total number of objects is at most $1+1+cdots+1=n$, a contradiction. $qed$

This seemingly simple fact can be used in surprising ways. The key typically is to put objects into boxes according to some rule, so that when two objects end up in the same box it is because they have some desired relationship.

Example 1.6.2 Among any 13 people, at least two share a birth month.

Label 12 boxes with the names of the months. Put each person in the box labeled with his or her birth month. Some box will contain at least two people, who share a birth month. $square$

Example 1.6.3 Suppose 5 pairs of socks are in a drawer. Picking 6 socks guarantees that at least one pair is chosen.

Label the boxes by "the pairs'' (e.g., the red pair, the blue pair, the argyle pair,&hellip). Put the 6 socks into the boxes according to description. $square$

Some uses of the principle are not nearly so straightforward.

Example 1.6.4 Suppose $a_1,ldots,a_n$ are integers. Then some "consecutive sum'' $a_k+a_+a_+cdots+a_$ is divisible by $n$.

Consider these $n$ sums: $eqalign< s_1&=a_1cr s_2&=a_1+a_2cr s_3&=a_1+a_2+a_3cr &vdotscr s_n&=a_1+a_2+cdots+a_ncr >$ These are all consecutive sums, so if one of them is divisible by $n$ we are done. If not, dividing each by $n$ leaves a non-zero remainder, $r_1=s_1mod n$, $r_2=s_2mod n$, and so on. These remainders have values in $<1,2,3,ldots,n-1>$. Label $n-1$ boxes with these $n-1$ values put each of the $n$ sums into the box labeled with its remainder mod $n$. Two sums end up in the same box, meaning that $s_imod n=s_jmod n$ for some $j>i$ hence $s_j-s_i$ is divisible by $n$, and $s_j-s_i=a_+a_+cdots+a_j$, as desired. $square$

A similar argument provides a proof of the Chinese Remainder Theorem.

Theorem 1.6.5 (Chinese Remainder Theorem) If $m$ and $n$ are relatively prime, and le a i$, so $r_i=r_j=r$. This means that $a+im=q_1n+rquadhboxquad a+jm=q_2n+r.$ Hence $eqalign< a+jm-(a+im)&=q_2n+r-(q_1n+r)cr (j-i)m&=(q_2-q_1)n.cr >$ Since $n$ is relatively prime to $m$, this means that $ndivides(j-i)$. But since $i$ and $j$ are distinct and in $<0,1,2,ldots,n-1>$, Theorem 1.6.6 Suppose that $r_1,ldots,r_n$ are positive integers. If $Xge(sum_^n r_i) -n + 1$ objects are put into $n$ boxes labeled $1,2,3,ldots,n$, then some box labeled $i$ contains at least $r_i$ objects.

Preuve. Suppose not. Then the total number of objects in the boxes is at most $(r_1-1)+(r_2-1)+(r_3-1)+cdots+(r_n-1)=(sum_^n r_i) -n Corollary 1.6.7 Suppose $r>0$ and $Xge n(r-1)+1$ objects are placed into $n$ boxes. Then some box contains at least $r$ objects.

Preuve. Apply the previous theorem with $r_i=r$ for all $i$. $qed$

Here is a simple application of the Pigeonhole Principle that leads to many interesting questions.

Example 1.6.8 Suppose 6 people are gathered together then either 3 of them are mutually acquainted, or 3 of them are mutually unacquainted.

We turn this into a graph theory question: Consider the graph consisting of 6 vertices, each connected to all the others by an edge, called the complete graph on $6$ vertices, and denoted $K_6$ the vertices represent the people. Color an edge red if the people represented by its endpoints are acquainted, and blue if they are not acquainted. Any choice of 3 vertices defines a triangle we wish to show that either there is a red triangle or a blue triangle.

Consider the five edges incident at a single vertex $v$ by the Pigeonhole Principle (the version in corollary 1.6.7, with $r=3$, $X=2(3-1)+1=5$), at least three of them are the same color, call it color $C$ call the other color $D$. Let the vertices at the other ends of these three edges be $v_1$, $v_2$, $v_3$. If any of the edges between these vertices have color $C$, there is a triangle of color $C$: if the edge connects $v_i$ to $v_j$, the triangle is formed by $v$, $v_i$, and $v_j$. If this is not the case, then the three vertices $v_1$, $v_2$, $v_3$ are joined by edges of color $D$, and form a triangle of color $D$. $square$

The number 6 in this example is special: with 5 or fewer vertices it is not true that there must be a monochromatic triangle, and with more than 6 vertices it is true. To see that it is not true for 5 vertices, we need only show an example, as in figure MISSING XREFN(fig:5 not ramsey).


Permutation and Combination Calculator

The field of mathematics which studies different possibilities for the arrangement of objects is called combinatorics. For example, if we buy three different books in a different order, how many elements would the corresponding sample space have? Denoting them $1, 2,$ and $3,$ the sample space is $Omega =<123,132,213,231,312,321>$ What is Permutation?
The permutation or shorter nPr is the number of ways in which we can choose `r (rleq n)` different objects out of a set containing `n` different objects, where the order of the elements is important. In our example, there are $6$ possible permutations of $3$ different objects. The symbol $P(n, r)$ denotes the number of permutations of `n` objects taken all at once. The symbol $P(n, r)$ denotes the number of permutations of `n` objects taken `r` at a time.

What is Combination?
The combination or shorter nCr it is the number of ways in which we can choose `r` objects out of a set containing `n` different objects such that (unlike permutations) the order of selection does not matter. The symbol $C(n, r)$ denotes the number of combinations of `n` objects taken `r` at a time. For example, Ann has five coins in his bag and pulls out three at one time. How many different amounts can she get?

How to Calculate Permutation & Combination?

Permutation: If we choose the $n^$ object out of a set containing `n` different objects, then it can be choose in any of `n` positions in any of the permutations of $(n-1)$ objects. Further, if we choose the $(n-1)^$ object out of a set containing $(n-1)$ different objects, then it can be choose in any of $(n-1)$ positions in any of the permutations of $(n-2)$ objects, etc. Therefore there are $n imes(n-1) imes(n-2)ldots imes 2 imes 1=n!$ possible permutations of `n` objects. $n!$ is read "`n` factorial" ant it is the standard notation for this product. According to the agreement is ! = 1.$ If we want to choose `r` different objects out of an ordered list of `n` objects, and the order in which we choose the objects matters, then for the first object we have `n` possibilities, and no matter which object we chose, for the second one there are $n-1$ possibilities, for the third there are $n-2$ possibilities, and so on, with $n-(r-1)$ possibilities for the $r^$. Hence, there are $P(n,r)$ ways to choose the `r` objects.

Combination: The number of distinct combinations of `n` objects, taken `r` at a time, is given by the ratio

NPr and nCk Quick Reference Table

The users may refer the below table for quick reference to check what are all the permutations and combinations for n distinct objects taken r at a time. To verify the calculation, use the above nPr and nCk calculator.

Permutations
ObjectsnPr
2 P12 2 P22 3 P13 3 P26 3 P36 4 P14 4 P212 4 P324 4 P424 5 P15 5 P220 5 P360 5 P4120 5 P5120 6 P16 6 P230 6 P3120 6 P4360 6 P5720 6 P6720 Combinations
n-CHOOSE-knCk
2 choose 12
2 choose 21
3 choose 13
3 choose 23
3 choose 31
4 choose 14
4 choose 26
4 choose 34
4 choose 41
5 choose 15
5 choose 210
5 choose 310
5 choose 45
5 choose 51
6 choose 16
6 choose 215
6 choose 320
6 choose 415
6 choose 56
6 choose 61

NPr and nCr Solved Example Problem

The below solved example problem may useful to understand how the values are being used in permutations P(n,r) & combinations C(n,r) calculation by using the above formulas.

Example Problem 1
Find the number of different permutations nPr & combinations nCr of a box containing 6 distinct colour balls taken 3 at a time?

Solution
Data given
n = 6
r = 3

Step by step calculation
formula to find permutation nPr = n!/(n-r)!
n! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
n! = 720

(n-r) ! = 3! = 3 x 2 x 1
(n-r) ! = 6

substitute the values
= 720/6
nPr = 120

formula to find combination nCr = n!/(r!(n-r)!)
substitute the above values
= 720/(6 x 6)
nCr = 20

Example Problem 2
How to solve 5 choose 2?
Solution:
Data given
n = 5 and r = 2
nCr = n!/(r!(n-r)!) = 5!/(2! x 3!)
= (4 x 5)/(1 x 2) = 10
Hence, 5 choose 2 is 10.

Example Problem 3
How many 4 digit numbers can be formed using 4 digits?
24 different numbers can be obtained from 4 single digit numbers.
4 x 3 x 2 x 1 = 24

Real World Problems Using the nPr and nCk

The use of permutations and combinations in mathematics and computer science is huge. Especially, they are often mentioned in graph theory, probability, geometry, etc. Discrete mathematics is one of the most important field in computer science. There are so many applications to graph theory, for example, Facebook uses many concepts of graph theory. nPr and nCk are used frequently to solve simple probability and geometry problems. For example, how many lines are determined by $15$ points, such that $4$ of them are collinear? Permutations and combinations are also useful in Bank Locker Safe, Door locks and Passwords.

Permutations and Combinations Practice Problems

Practice Problem 1 : The board of directors of some company is composed of $10$ members. In how many ways can they select a chairperson, vice-chairperson and secretary, if one person cannot hold more than one office?

Practice Problem 2 : At a school, there are $15$ names on the ballot for handball team. Six will be selected to form a team. How many different teams of 6 can be formed?

The permutation and combination calculator, formula, example calculation (work with steps), real world problems and practice problems would be very useful for grade school students (K-12 education) to understand the main concept of combinatorics. This concept can be of significance in many fields of science and real life.