Des articles

4.3 : Simplifier les exposants rationnels - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifiez les expressions avec (a^{frac{1}{n}})
  • Simplifiez les expressions avec (a^{frac{m}{n}})
  • Utiliser les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Ajoutez : (frac{7}{15}+frac{5}{12}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 1.28.
  2. Simplifiez : ((4x^{2}y^{5})^{3}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 5.18.
  3. Simplifiez : (5^{−3}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 5.14.

Simplifiez les expressions avec (a^{frac{1}{n}})

Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.

La propriété de puissance pour les exposants dit que (left(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n}) lorsque (m) et (n) sont des nombres entiers . Supposons que nous ne soyons plus limités aux nombres entiers.

Supposons que nous voulions trouver un nombre (p) tel que (left(8^{p} ight)^{3}=8). Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de (p).

(gauche(8^{p}droite)^{3}=8)

Multipliez les exposants à gauche.

(8^{3p}=8)

Écrivez l'exposant (1) à droite.

(8^{3p}=8^{1})

Puisque les bases sont les mêmes, les exposants doivent être égaux.

(3p=1)

Résoudre pour (p).

(p=frac{1}{3})

Donc (left(8^{frac{1}{3}} ight)^{3}=8). Mais nous savons aussi ((sqrt[3]{8})^{3}=8). Alors ça doit être que (8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}).

Cette même logique peut être utilisée pour tout exposant entier positif (n) pour montrer que (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}).

Définition (PageIndex{1}): Exposant rationnel (a^{frac{1}{n}})

Si (sqrt[n]{a}) est un nombre réel et (n geq 2), alors

(a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a})

Le dénominateur de l'exposant rationnel est l'indice du radical.

Il y aura des moments où travailler avec des expressions sera plus facile si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où ce sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous vous entraînerez à convertir des expressions entre ces deux notations.

Exemple (PageIndex{1})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (x^{frac{1}{2}})
  2. (y^{frac{1}{3}})
  3. (z^{frac{1}{4}})

Solution:

Nous voulons écrire chaque expression sous la forme (sqrt[n]{a}).

une.

(x^{frac{1}{2}})

Le dénominateur de l'exposant rationnel est (2), donc l'indice du radical est (2). Nous n'affichons pas l'index lorsqu'il est (2).

(sqrt{x})

b.

(y^{frac{1}{3}})

Le dénominateur de l'exposant est (3), donc l'indice est (3).

(sqrt[3]{y})

c.

(z^{frac{1}{4}})

Le dénominateur de l'exposant est (4), donc l'indice est (4).

(sqrt[4]{z})

Exercice (PageIndex{1})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (t^{frac{1}{2}})
  2. (m^{frac{1}{3}})
  3. (r^{frac{1}{4}})
Répondre
  1. (sqrt{t})
  2. (sqrt[3]{m})
  3. (sqrt[4]{r})

Exercice (PageIndex{2})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (b^{frac{1}{6}})
  2. (z^{frac{1}{5}})
  3. (p^{frac{1}{4}})
Répondre
  1. (sqrt[6]{b})
  2. (sqrt[5]{z})
  3. (sqrt[4]{p})

Dans l'exemple suivant, nous écrirons chaque radical en utilisant un exposant rationnel. Il est important d'utiliser des parenthèses autour de l'expression entière dans le radicande puisque l'expression entière est élevée à la puissance rationnelle.

Exemple (PageIndex{2})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{5y})
  2. (sqrt[3]{4 x})
  3. (3 sqrt[4]{5 z})

Solution:

On veut écrire chaque radical sous la forme (a^{frac{1}{n}})

une.

(sqrt{5y})

Aucun index n'est affiché, il s'agit donc de (2).

Le dénominateur de l'exposant sera (2).

Mettez des parenthèses autour de l'expression entière (5y).

((5 ans)^{frac{1}{2}})

b.

(sqrt[3]{4 x})

L'indice est (3), donc le dénominateur de l'exposant est (3). Incluez des parenthèses ((4x)).

((4x)^{frac{1}{3}})

c.

(3 sqrt[4]{5 z})

L'indice est (4), donc le dénominateur de l'exposant est (4). Ne mettez des parenthèses qu'autour du (5z) puisque 3 n'est pas sous le signe radical.

(3(5z)^{frac{1}{4}})

Exercice (PageIndex{3})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{10m})
  2. (sqrt[5]{3 n})
  3. (3 sqrt[4]{6 y})
Répondre
  1. ((10 m)^{frac{1}{2}})
  2. ((3 n)^{frac{1}{5}})
  3. (3(6 ans)^{frac{1}{4}})

Exercice (PageIndex{4})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt[7]{3 k})
  2. (sqrt[4]{5 j})
  3. (8 sqrt[3]{2 a})
Répondre
  1. ((3 k)^{frac{1}{7}})
  2. ((5j)^{frac{1}{4}})
  3. (8(2a)^{frac{1}{3}})

Dans l'exemple suivant, vous trouverez peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.

Exemple (PageIndex{3})

Simplifier:

  1. (25^{frac{1}{2}})
  2. (64^{frac{1}{3}})
  3. (256^{frac{1}{4}})

Solution:

une.

(25^{frac{1}{2}})

Réécrivez en racine carrée.

(sqrt{25})

Simplifier.

(5)

b.

(64^{frac{1}{3}})

Réécrivez en tant que racine cubique.

(sqrt[3]{64})

Reconnaître que (64) est un cube parfait.

(sqrt[3]{4^{3}})

Simplifier.

(4)

c.

(256^{frac{1}{4}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(sqrt[4]{256})

Reconnaître (256) est une quatrième puissance parfaite.

(sqrt[4]{4^{4}})

Simplifier.

(4)

Exercice (PageIndex{5})

Simplifier:

  1. (36^{frac{1}{2}})
  2. (8^{frac{1}{3}})
  3. (16^{frac{1}{4}})
Répondre
  1. (6)
  2. (2)
  3. (2)

Exercice (PageIndex{6})

Simplifier:

  1. (100^{frac{1}{2}})
  2. (27^{frac{1}{3}})
  3. (81^{frac{1}{4}})
Répondre
  1. (10)
  2. (3)
  3. (3)

Faites attention au placement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriété (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}) dans un cas.

Exemple (PageIndex{4})

Simplifier:

  1. ((-16)^{frac{1}{4}})
  2. (-16^{frac{1}{4}})
  3. ((16)^{-frac{1}{4}})

Solution:

une.

((-16)^{frac{1}{4}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(sqrt[4]{-16})

(sqrt[4]{(-2)^{4}})

Simplifier.

Pas de vraie solution

b.

(-16^{frac{1}{4}})

L'exposant ne s'applique qu'à (16). Réécrivez comme une quatrième racine.

(-sqrt[4]{16})

Réécrivez (16) comme (2^{4})

(-sqrt[4]{2^{4}})

Simplifier.

(-2)

c.

((16)^{-frac{1}{4}})

Réécrivez en utilisant la propriété (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}).

(frac{1}{(16)^{frac{1}{4}}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(frac{1}{sqrt[4]{16}})

Réécrivez (16) comme (2^{4}).

(frac{1}{sqrt[4]{2^{4}}})

Simplifier.

(frac{1}{2})

Exercice (PageIndex{7})

Simplifier:

  1. ((-64)^{-frac{1}{2}})
  2. (-64^{frac{1}{2}})
  3. ((64)^{-frac{1}{2}})
Répondre
  1. Pas de vraie solution
  2. (-8)
  3. (frac{1}{8})

Exercice (PageIndex{8})

Simplifier:

  1. ((-256)^{frac{1}{4}})
  2. (-256^{frac{1}{4}})
  3. ((256)^{-frac{1}{4}})
Répondre
  1. Pas de vraie solution
  2. (-4)
  3. (frac{1}{4})

Simplifiez les expressions avec (a^{frac{m}{n}})

Nous pouvons considérer (a^{frac{m}{n}}) de deux manières. Rappelez-vous que la propriété Power nous dit de multiplier les exposants et donc (left(a^{frac{1}{n}} ight)^{m}) et (left(a^{m} à droite)^{frac{1}{n}}) les deux sont égaux à (a^{frac{m}{n}}). Si nous écrivons ces expressions sous forme radicale, nous obtenons

(a^{frac{m}{n}}=left(a^{frac{1}{n}} ight)^{m}=(sqrt[n]{a})^{ m} quad ext { et } quad a^{frac{m}{n}}=left(a^{m} ight)^{^{frac{1}{n}}}= sqrt[n]{a^{m}})

Cela nous amène à la définition suivante.

Définition (PageIndex{2}): Exposant rationnel (a^{frac{m}{n}})

Pour tout entier positif (m) et (n),

(a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m} quad ext { et } quad a^{frac{m}{n}} =sqrt[n]{a^{m}})

Quelle forme utilise-t-on pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier—de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical plus petits, avant de l'élever à la puissance indiquée.

Exemple (PageIndex{5})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{y^{3}})
  2. ((sqrt[3]{2 x})^{4})
  3. (sqrt{left(frac{3 a}{4 b} ight)^{3}})

Solution:

Nous voulons utiliser (a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^{m}}) pour écrire chaque radical sous la forme (a^{frac{m} {n}})

une.

b.

c.

Exercice (PageIndex{9})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{x^{5}})
  2. ((sqrt[4]{3 ans})^{3})
  3. (sqrt{left(frac{2 m}{3 n} ight)^{5}})
Répondre
  1. (x^{frac{5}{2}})
  2. ((3 ans)^{frac{3}{4}})
  3. (gauche(frac{2 m}{3 n}droite)^{frac{5}{2}})

Exercice (PageIndex{10})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt[5]{a^{2}})
  2. ((sqrt[3]{5 a b})^{5})
  3. (sqrt{left(frac{7 x y}{z} ight)^{3}})
Répondre
  1. (a^{frac{2}{5}})
  2. ((5 a b)^{frac{5}{3}})
  3. (gauche(frac{7 x y}{z}droit)^{frac{3}{2}})

Souvenez-vous que (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}). Le signe négatif dans l'exposant ne change pas le signe de l'expression.

Exemple (PageIndex{6})

Simplifier:

  1. (125^{frac{2}{3}})
  2. (16^{-frac{3}{2}})
  3. (32^{-frac{2}{5}})

Solution:

Nous allons d'abord réécrire l'expression comme un radical en utilisant la définition, (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m}). Cette forme nous permet de prendre d'abord la racine et nous gardons donc les nombres dans le radical plus petits que si nous utilisions l'autre forme.

une.

(125^{frac{2}{3}})

La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, (2). L'indice du radical est le dénominateur de l'exposant, (3).

((sqrt[3]{125})^{2})

Simplifier.

((5)^{2})

(25)

b. Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}), puis passer à la forme radicale.

(16^{-frac{3}{2}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}})

(frac{1}{16^{frac{3}{2}}})

Passage à la forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, (3). L'indice est le dénominateur de l'exposant, (2).

(frac{1}{(sqrt{16})^{3}})

Simplifier.

(frac{1}{4^{3}})

(frac{1}{64})

c.

(32^{-frac{2}{5}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}})

(frac{1}{32^{frac{2}{5}}})

Passage à la forme radicale.

(frac{1}{(sqrt[5]{32})^{2}})

Réécrivez le radicande comme une puissance.

(frac{1}{left(sqrt[5]{2^{5}} ight)^{2}})

Simplifier.

(frac{1}{2^{2}})

(frac{1}{4})

Exercice (PageIndex{11})

Simplifier:

  1. (27^{frac{2}{3}})
  2. (81^{-frac{3}{2}})
  3. (16^{-frac{3}{4}})
Répondre
  1. (9)
  2. (frac{1}{729})
  3. (frac{1}{8})

Exercice (PageIndex{12})

Simplifier:

  1. (4^{frac{3}{2}})
  2. (27^{-frac{2}{3}})
  3. (625^{-frac{3}{4}})
Répondre
  1. (8)
  2. (frac{1}{9})
  3. (frac{1}{125})

Exemple (PageIndex{7})

Simplifier:

  1. (-25^{frac{3}{2}})
  2. (-25^{-frac{3}{2}})
  3. ((-25)^{frac{3}{2}})

Solution:

une.

(-25^{frac{3}{2}})

Réécrire sous forme radicale.

(-(sqrt{25})^{3})

Simplifier le radical.

(-(5)^{3})

Simplifier.

(-125)

b.

(-25^{-frac{3}{2}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}).

(-gauche(frac{1}{25^{frac{3}{2}}}droit))

Réécrire sous forme radicale.

(-left(frac{1}{(sqrt{25})^{3}} ight))

Simplifier le radical.

(-gauche(frac{1}{(5)^{3}}droite))

Simplifier.

(-frac{1}{125})

c.

((-25)^{frac{3}{2}})

Réécrire sous forme radicale.

((sqrt{-25})^{3})

Il n'y a pas de nombre réel dont la racine carrée est (-25).

Pas un vrai numéro.

Exercice (PageIndex{13})

Simplifier:

  1. (-16^{frac{3}{2}})
  2. (-16^{-frac{3}{2}})
  3. ((-16)^{-frac{3}{2}})
Répondre
  1. (-64)
  2. (-frac{1}{64})
  3. Pas un vrai numéro

Exercice (PageIndex{14})

Simplifier:

  1. (-81^{frac{3}{2}})
  2. (-81^{-frac{3}{2}})
  3. ((-81)^{-frac{3}{2}})
Répondre
  1. (-729)
  2. (-frac{1}{729})
  3. Pas un vrai numéro

Utiliser les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Les mêmes propriétés des exposants que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous allons lister les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lorsque nous simplifions les expressions.

Propriétés des exposants

Si (a) et (b) sont des nombres réels et (m) et (n) sont des nombres rationnels, alors

Propriété du produit

(a^{m} cdot a^{n}=a^{m+n})

Propriété de puissance

(gauche(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n})

Produit à une puissance

((a b)^{m}=a^{m} b^{m})

Propriété de quotient

(frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, un eq 0)

Définition de l'exposant zéro

(a^{0}=1, un eq 0)

Quotient à une propriété de puissance

(gauche(frac{a}{b} ight)^{m}=frac{a^{m}}{b^{m}}, b eq 0)

Propriété d'exposant négatif

(a^{-n}=frac{1}{a^{n}}, un eq 0)

Nous appliquerons ces propriétés dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{8})

Simplifier:

  1. (x^{frac{1}{2}} cdot x^{frac{5}{6}})
  2. (gauche(z^{9}droite)^{frac{2}{3}})
  3. (frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})

Solution

une. La propriété du produit nous dit que lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.

(x^{frac{1}{2}} cdot x^{frac{5}{6}})

Les bases sont les mêmes, donc nous ajoutons les exposants.

(x^{frac{1}{2}+frac{5}{6}})

Ajoutez les fractions.

(x^{frac{8}{6}})

Simplifier l'exposant.

(x^{frac{4}{3}})

b. La propriété Power nous dit que lorsque nous élevons une puissance à une puissance, nous multiplions les exposants.

(gauche(z^{9}droite)^{frac{2}{3}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(z^{9 cdot frac{2}{3}})

Simplifier.

(z^{6})

c. La propriété du quotient nous dit que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.

(frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})

Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants.

(frac{1}{x^{frac{5}{3}-frac{1}{3}}})

Simplifier.

(frac{1}{x^{frac{4}{3}}})

Exercice (PageIndex{15})

Simplifier:

  1. (x^{frac{1}{6}} cdot x^{frac{4}{3}})
  2. (gauche(x^{6}droite)^{frac{4}{3}})
  3. (frac{x^{frac{2}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})
Répondre
  1. (x^{frac{3}{2}})
  2. (x^{8})
  3. (frac{1}{x})

Exercice (PageIndex{16})

Simplifier:

  1. (y^{frac{3}{4}} cdot y^{frac{5}{8}})
  2. (gauche(m^{9}droite)^{frac{2}{9}})
  3. (frac{d^{frac{1}{5}}}{d^{frac{6}{5}}})
Répondre
  1. (y^{frac{11}{8}})
  2. (m^{2})
  3. (frac{1}{d})

Parfois, nous devons utiliser plusieurs propriétés. Dans l'exemple suivant, nous utiliserons à la fois le Produit à une propriété de puissance et puis le Propriété de puissance.

Exemple (PageIndex{9})

Simplifier:

  1. (left(27 u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})
  2. (gauche(m^{frac{2}{3}} n^{frac{1}{2}}droit)^{frac{3}{2}})

Solution:

une.

(left(27 u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})

Tout d'abord, nous utilisons le produit pour une propriété de puissance.

((27)^{frac{2}{3}}gauche(u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})

Réécrivez (27) comme une puissance de (3).

(left(3^{3} ight)^{frac{2}{3}}left(u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{ 3}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(left(3^{2} ight)left(u^{frac{1}{3}} ight))

Simplifier.

(9 u^{frac{1}{3}})

b.

(gauche(m^{frac{2}{3}} n^{frac{1}{2}}droit)^{frac{3}{2}})

Tout d'abord, nous utilisons le produit pour une propriété de puissance.

(left(m^{frac{2}{3}} ight)^{frac{3}{2}}left(n^{frac{1}{2}} ight)^ {frac{3}{2}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(m n^{frac{3}{4}})

Exercice (PageIndex{17})

Simplifier:

  1. (gauche(32 x^{frac{1}{3}}droite)^{frac{3}{5}})
  2. (gauche(x^{frac{3}{4}} y^{frac{1}{2}}droit)^{frac{2}{3}})
Répondre
  1. (8 x^{frac{1}{5}})
  2. (x^{frac{1}{2}} y^{frac{1}{3}})

Exercice (PageIndex{18})

Simplifier:

  1. (left(81 n^{frac{2}{5}} ight)^{frac{3}{2}})
  2. (gauche(a^{frac{3}{2}} b^{frac{1}{2}}droite)^{frac{4}{3}})
Répondre
  1. (729 n^{frac{3}{5}})
  2. (a^{2} b^{frac{2}{3}})

Nous utiliserons à la fois le Propriété du produit et le Propriété de quotient dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{10})

Simplifier:

  1. (frac{x^{frac{3}{4}} cdot x^{-frac{1}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})
  2. (gauche(frac{16 x^{frac{4}{3}} y^{-frac{5}{6}}}{x^{-frac{2}{3}} y ^{frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})

Solution:

une.

(frac{x^{frac{3}{4}} cdot x^{-frac{1}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})

Utilisez la propriété du produit dans le numérateur, ajoutez les exposants.

(frac{x^{frac{2}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

(x^{frac{8}{4}})

Simplifier.

(x^{2})

b.

(gauche(frac{16 x^{frac{4}{3}} y^{-frac{5}{6}}}{x^{-frac{2}{3}} y ^{frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

(gauche(frac{16 x^{frac{6}{3}}}{y^{frac{6}{6}}}droite)^{frac{1}{2}} )

Simplifier.

(gauche(frac{16 x^{2}}{y}droite)^{frac{1}{2}})

Utilisez le produit pour une propriété de puissance, multipliez les exposants.

(frac{4 x}{y^{frac{1}{2}}})

Exercice (PageIndex{19})

Simplifier:

  1. (frac{m^{frac{2}{3}} cdot m^{-frac{1}{3}}}{m^{-frac{5}{3}}})
  2. (gauche(frac{25 m^{frac{1}{6}} n^{frac{11}{6}}}{m^{frac{2}{3}} n^{ -frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})
Répondre
  1. (m^{2})
  2. (frac{5 n}{m^{frac{1}{4}}})

Exercice (PageIndex{20})

Simplifier:

  1. (frac{u^{frac{4}{5}} cdot u^{-frac{2}{5}}}{u^{-frac{13}{5}}})
  2. (gauche(frac{27 x^{frac{4}{5}} y^{frac{1}{6}}}{x^{frac{1}{5}} y^{ -frac{5}{6}}} ight)^{frac{1}{3}})
Répondre
  1. (u^{3})
  2. (3 x^{frac{1}{5}} y^{frac{1}{3}})

Accédez à ces ressources en ligne pour des instructions et des exercices supplémentaires avec des exposants rationnels simplifiants.

  • Examen-Exposants rationnels
  • Utilisation des lois des exposants sur les radicaux : propriétés des exposants rationnels

Concepts clés

  • Exposant rationnel (a^{frac{1}{n}})
    • Si (sqrt[n]{a}) est un nombre réel et (n≥2), alors (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a} ).
  • Exposant rationnel (a^{frac{m}{n}})
    • Pour tout entier positif (m) et (n),
      (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m} ext { et } a^{frac{m}{n}}=sqrt[ n]{a^{m}})
  • Propriétés des exposants
    • Si (a, b) sont des nombres réels et (m, n) sont des nombres rationnels, alors
      • Propriété du produit (a^{m} cdot a^{n}=a^{m+n})
      • Propriété de puissance (gauche(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n})
      • Produit à une puissance ((a b)^{m}=a^{m} b^{m})
      • Propriété de quotient (frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, un eq 0)
      • Définition de l'exposant zéro (a^{0}=1, un eq 0)
      • Quotient à une propriété de puissance (gauche(frac{a}{b} ight)^{m}=frac{a^{m}}{b^{m}}, b eq 0)
      • Propriété d'exposant négatif (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}, un eq 0)