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13.4 : Application spéciale - Hypothèques - Mathématiques


Si vous achetez une maison au Canada, vous aurez presque certainement besoin de contracter une hypothèque. Cela signifie que vous devez utiliser l'argent d'une institution financière au fil du temps, tout en payant ce privilège sous forme d'intérêts.

Votre hypothèque immobilière pourrait bien être la plus grosse transaction financière personnelle que vous ferez jamais, alors comprendre les facteurs qui déterminent vos versements hypothécaires peut vous faire économiser beaucoup d’argent. Cette section explique les principes fondamentaux des prêts hypothécaires et vous montre comment amortir et calculer les versements de divers prêts hypothécaires.

Les hypothèques expliquées

Cette figure illustre les différents concepts liés aux hypothèques. Chacun de ces concepts est discuté ci-dessous.

Terminologie

UNE hypothèque est un type particulier de prêt garanti par un bien immobilier. En substance, le prêt a un privilège sur la propriété, c'est-à-dire le droit de saisir la propriété pour que la dette soit satisfaite. Un particulier ou une entreprise qui contracte un prêt hypothécaire est tenu de rembourser le montant du prêt avec intérêts sur la base d'un contrat prédéterminé. L'institution financière, cependant, a une réclamation sur la propriété immobilière en cas de défaut de paiement de l'hypothèque, ce qui signifie qu'elle n'est pas payée conformément à l'accord. Dans ces cas, les institutions financières chercheront à forclusion de la propriété, ce qui permet d'expulser les locataires et de vendre la propriété. Le produit de la vente est ensuite utilisé pour rembourser l'hypothèque. Une hypothèque implique toujours deux parties. Le particulier ou l'entreprise qui emprunte de l'argent est appelé le débiteur hypothécaire, et l'institution financière qui prête l'argent est appelée la créancier hypothécaire.

Combien d'hypothèques

Un bien immobilier peut avoir plusieurs hypothèques. L'hypothèque principale basée sur le montant d'argent emprunté pour acheter la maison est appelée la hypothèque de premier rang. Mais les propriétaires peuvent également choisir d'avoir d'autres hypothèques. Par exemple, la plupart des marges de crédit sur valeur domiciliaire (HELOC) sont garanties par un deuxième hypothèque contre la propriété. Parfois, les propriétaires empruntent de l'argent pour faire des améliorations ou des rénovations domiciliaires et font placer ces sommes à titre d'hypothèque supplémentaire sur la propriété. N'importe quel nombre d'hypothèques sur une propriété est possible, bien qu'il soit rare d'en avoir plus de trois. L'ordre des hypothèques est important. Si l'hypothèque est en défaut et que la forclusion se produit, le créancier hypothécaire avec la première hypothèque a accès au produit en premier. S'il reste de l'argent après le remboursement de la première hypothèque, le créancier hypothécaire de la deuxième hypothèque reçoit le reste. S'il reste quelque chose, le troisième créancier hypothécaire obtient le solde et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les produits aient été dépensés. En fin de compte, tout l'argent qui reste après que toutes les hypothèques et tous les frais ont été payés appartient au débiteur hypothécaire.

Taux d'intérêt

Dans le contrat hypothécaire, les deux parties peuvent convenir soit d'un taux d'intérêt fixe, soit d'un taux d'intérêt variable. Dans tous les cas, l'hypothèque constitue toujours une rente ordinaire puisque les intérêts ne sont pas payables d'avance.

  • Dans le cadre d'un taux d'intérêt fixe, le principal est remboursé en plusieurs versements égaux qui couvrent à la fois les intérêts et le principal du prêt. La portion des intérêts est la plus élevée au début et diminue graduellement au cours de la période d'amortissement de l'hypothèque. Au Canada, les taux d'intérêt fixes sont composés annuellement ou semestriellement; ce dernier est le choix dominant.
  • Dans une hypothèque à taux d'intérêt variable, le principal est remboursé au moyen d'un nombre convenu de paiements inégaux qui fluctuent en fonction des variations des taux d'emprunt. Les parties principal et intérêts du paiement varient en fonction des fluctuations des taux d'intérêt, ce qui signifie que la partie intérêt peut augmenter à tout moment avec toute augmentation des taux. Lorsque les taux changent, une pratique courante dans de nombreuses institutions financières consiste à modifier le taux d'intérêt variable dès le premier jour du mois suivant. Si le changement de taux ne coïncide pas avec une date de versement hypothécaire, la portion des intérêts est calculée d'une manière similaire à la procédure pour un prêt à vue (voir la section 8.5), où le nombre exact de jours aux différents taux doit être déterminé. Au Canada, les taux d'intérêt variables sont généralement composés mensuellement.

Types de prêts hypothécaires

Le contrat hypothécaire peut être ouvert ou fermé. Un hypothèque ouverte a très peu de règles et il permet au débiteur hypothécaire de rembourser la dette en totalité ou d'effectuer des remboursements anticipés supplémentaires à tout moment et de n'importe quel montant sans pénalité. UNE hypothèque fermée comporte de nombreuses règles qui déterminent la façon dont l'hypothèque doit être payée. Il ne permet pas au créancier hypothécaire de rembourser la dette en totalité jusqu'à l'échéance du prêt. En tant qu'outil de marketing, la plupart des prêts hypothécaires fermés comportent des options de « complément » qui permettent au débiteur hypothécaire d'effectuer des paiements supplémentaires (comme 20 % supplémentaires par an) sur le prêt hypothécaire sans pénalité. Tout paiement dépassant les maximums ou le paiement anticipé de l'hypothèque est lourdement pénalisé, avec des frais d'intérêt minimum de trois mois qui pourraient être augmentés jusqu'à une mesure appelée différentiel de taux d'intérêt, qui évalue efficacement la perte de la banque et charge le débiteur hypothécaire de ce montant total .

Qualification

L'achat d'une maison et l'obtention d'un prêt hypothécaire nécessitent une mise de fonds. Vous pouvez obtenir un prêt hypothécaire avec une mise de fonds de 25 % ou plus; c'est ce qu'on appelle un ratio prêt-valeur de 75 % ou moins. Le ratio prêt/valeur divise le capital emprunté par la valeur de la maison. Si vous n'avez pas assez d'acompte pour répondre à ce critère, vous pouvez effectuer l'achat immobilier avec aussi peu que 5 % d'acompte (un ratio prêt/valeur de 95 %) ; cependant, votre prêt hypothécaire doit alors être assuré par la Société canadienne d'hypothèques et de logement (SCHL). La prime facturée pour l'assurance peut aller de 0,5 % à 3,3 % du capital emprunté, selon les particularités de l'hypothèque.

Pour être admissible à un prêt hypothécaire, vous devez également respecter deux règles d'abordabilité :

  1. La première règle d'abordabilité stipule que votre capital, vos intérêts, vos taxes et vos dépenses de chauffage, ou PITH, ne doivent pas dépasser 32 % du revenu mensuel brut de votre ménage. S'il s'agit d'un bien immobilier en copropriété, alors 50 % des charges de copropriété sont également inclus dans le PITH. C'est ce qu'on appelle le ratio du service de la dette brute (GDS).
  2. La deuxième règle d'accessibilité stipule que le PITH plus toutes les autres exigences de dette ne doivent pas dépasser 40 % du revenu mensuel brut du ménage. Les autres dettes peuvent inclure tout autre paiement de dette, comme les prêts automobiles, les cartes de crédit ou les prêts étudiants. C'est ce qu'on appelle le ratio du service total de la dette (TDS).

Il est important de noter que ces ratios ont une certaine souplesse selon l'institution financière émettrice du prêt hypothécaire. Chacun des pourcentages des ratios varie généralement jusqu'à ±3 % selon les politiques de l'institution en question.

Temps

Enfin, en raison du montant important du capital emprunté lors d'un achat immobilier, l'hypothèque peut être amortie sur une période prolongée. L'amortissement le plus courant est de 25 ans avec un maximum de 30 ans. C'est une longue période pour tout contrat. Par conséquent, les hypothèques sont contractées pour des durées plus courtes, généralement jusqu'à cinq ans au maximum, bien que certaines institutions proposent des durées de sept ou dix ans. Cela donne à l'institution financière des occasions régulières de mettre à jour le taux d'intérêt pour refléter les taux hypothécaires actuels. Ce que cela signifie pour le débiteur hypothécaire, c'est que l'hypothèque devient exigible en totalité à la fin de chaque terme. La plupart des gens renouvellent ensuite leur prêt hypothécaire pour un autre terme, bien que la période d'amortissement soit plus courte en fonction du nombre d'années écoulées depuis l'emprunt du capital initial. La figure ci-dessous illustre le processus d'amortissement hypothécaire typique, où l'amortissement est initialement établi à 25 ans et le débiteur hypothécaire utilise cinq termes consécutifs de cinq ans pour rembourser la dette.

Comment les taux d'intérêt hypothécaires sont déterminés

Le taux d'intérêt réel que vous pouvez obtenir sur un prêt hypothécaire est déterminé par cinq facteurs combinés :

  1. Le taux de la Banque du Canada. Ce taux fixe la base à partir de laquelle tous les taux variables sont déterminés. Le taux préférentiel (le taux de la Banque du Canada +2 %) est habituellement le taux d'intérêt le plus bas pouvant être obtenu. Certaines banques actualisent toutefois légèrement ce taux d'une marge comprise entre 0,1% et 0,4%.
  2. Taux du marché obligataire. Les taux du marché obligataire constituent la base sur laquelle tous les taux d'intérêt fixes sont déterminés. Les fluctuations du taux préférentiel n'affectent pas nécessairement les taux du marché obligataire.
  3. Le type d'hypothèque. Les hypothèques ouvertes ont des taux considérablement plus élevés que les hypothèques fermées équivalentes en raison de l'incertitude quant au moment où l'hypothèque sera remboursée. Les banques protègent leurs intérêts et minimisent les risques des prêts hypothécaires ouverts grâce au taux plus élevé.
  4. Le terme. Au fur et à mesure que la durée du terme augmente, le taux d'intérêt augmente également. Cela est dû à l'incertitude des taux d'intérêt futurs. L'institution financière doit se protéger contre les hausses de taux à l'avenir.
  5. Le type de taux. Les taux variables sont inférieurs aux taux fixes puisque l'institution financière peut ajuster le taux à tout moment pour correspondre aux conditions en vigueur. Les taux fixes ne partagent pas cet avantage d'ajustement et sont donc plus élevés pour protéger l'institution financière.

Le tableau de la page suivante illustre certains taux d'intérêt réels composés semestriellement affichés au moment de la rédaction.

TermeHypothèque ferméePrêt hypothécaire ouvert
Taux variableTaux fixeTaux variableTaux fixe
1 année2.10%3.09%3.14%6.30%
5 ans3.00%5.34%4.00%8.25%

Calcul du versement hypothécaire

Les variables hypothécaires suivantes sont toujours connues :

  • Les taux d'intérêt hypothécaires sont affichés par chaque institution financière. Le taux affiché est presque toujours négociable, et un débiteur hypothécaire intelligent peut être en mesure de négocier jusqu'à 1 % de déduction sur le taux affiché.
  • Le débiteur hypothécaire choisit la période d'amortissement, la durée et la fréquence de paiement et négocie également ces variables avec l'institution financière.
  • Le capital est déterminé par la valeur de la maison achetée moins tout acompte plus les frais ou primes.
  • Toutes les hypothèques sont des rentes ordinaires.

Ce qui reste? La variable inconnue est le montant du versement hypothécaire qui correspond à la valeur temporelle des variables monétaires. Lors du calcul de ce montant, la variable la plus importante est la durée d'amortissement, qui détermine la durée de remboursement du prêt. Il constitue la base de calcul du paiement. Notez que le terme n'a aucun effet sur le calcul du paiement. Il dicte uniquement la période pendant laquelle l'accord hypothécaire actuel (taux d'intérêt, fréquence de paiement, type, etc.) reste en vigueur.

Comment ça fonctionne

Suivez ces étapes pour calculer un versement hypothécaire :

Étape 1: Visualisez l'hypothèque en dessinant une chronologie comme illustré ci-dessous. Identifiez toutes les autres variables de valeur temporelle de l'argent, y compris (PV_{ORD}, IY, CY, PY) et les années. La valeur future, (FV), est toujours nulle (l'hypothèque est remboursée).

Étape 2: Calculez le taux d'intérêt périodique ((i)) à l'aide de la formule 9.1.

Étape 3: Calculez le nombre de versements de rente ((N)) à l'aide de la formule 11.1. N'oubliez pas d'utiliser la période d'amortissement et non la durée de la variable Années dans ce calcul.

Étape 4: Calculez le montant du paiement de la rente ordinaire à l'aide de la formule 11.4 et réorganisez pour (PMT). Vous devez arrondir ce montant calculé à deux décimales puisqu'il représente un montant de paiement physique.

Exercice (PageIndex{1}) : Réfléchissez-y

Dans chacune des situations suivantes, déterminez quelle hypothèque entraîne un paiement hypothécaire plus élevé. Supposons que toutes les autres variables de la valeur temporelle de l'argent restent constantes.

  1. Ouvert ou fermé
  2. Fixe ou variable
  3. Taux fixe à deux ans ou taux fixe à cinq ans
  4. Amortissement sur 10 ans ou amortissement sur 20 ans
Répondre
  1. Ouvert (les hypothèques ouvertes ont toujours un taux d'intérêt plus élevé que les hypothèques fermées).
  2. Les taux fixes sont toujours plus élevés pour tenir compte des incertitudes futures.
  3. Taux fixe de cinq ans (plus la durée est longue, plus le taux est élevé).
  4. Amortissement sur dix ans (il y a moins de temps pour rembourser la dette, ce qui signifie des paiements plus élevés).

Exemple (PageIndex{1}) : Quels sont les paiements ?

Les Oliver cherchent à acheter une nouvelle maison de Pacesetter Homes dans une banlieue nord-est de Calgary. Une maison témoin Appaloosa 3 peut être achetée pour 408 726,15 $. Ils prévoient mettre 50 000 $ comme acompte avec un amortissement de 25 ans et des paiements hebdomadaires. Si les taux hypothécaires actuels sont fixés à 5,29 % composés semestriellement pour une durée fermée de cinq ans, déterminez le versement hypothécaire requis.

Solution

Calculez le montant du versement hypothécaire requis ((PMT)).

Ce que vous savez déjà

Étape 1:

La chronologie du prêt hypothécaire apparaît ci-dessous.

(PV_{ORD}) = 408 726,15 $ − 50 000 $ = 358 726,15 $, (IY) = 5,29 %, (CY) = 2, (PY) = 52, Années = 25, (FV) = 0 $

Comment vous y arriverez

Étape 2:

Appliquer la formule 9.1.

Étape 3:

Appliquer la formule 11.1.

Étape 4:

Calculez le versement hypothécaire à l'aide de la formule 11.4, en réorganisant pour (PMT).

Effectuer

Étape 2:

[i=5.29 \% / 2=2.645 \% onumber ]

Étape 3:

(N=52 x 25=1 300) paiements

Étape 4:

[$ 358 726,15=PMTgauche[dfrac{1-gauche[dfrac{1}{(1+0,02645)^{frac{2}{52}}}droite]^{1300}}{ (1+0.02645)^{frac{2}{52}}-1} ight] onumber ]

[PMT=dfrac{$ 358 726,15}{left[dfrac{1-left[dfrac{1}{1.001004} ight]^{1,300}}{0.001004} ight]}=$ 494,40 pas de numéro ]

Instructions pour la calculatrice

ModeNI/YPV
FINIR13005.29358726.15
PMTVFP/YC/Y
Réponse : -494.3983280522

Si les Oliver achètent cette maison comme prévu, ils hypothèquent 358 726,15 $ pendant 25 ans. Au cours du premier terme de cinq ans de leur prêt hypothécaire, ils effectuent des versements hebdomadaires de 494,40 $. Après les cinq ans, ils doivent renouveler leur hypothèque.

Renouveler l'hypothèque

Lorsque le terme d'un prêt hypothécaire expire, le solde restant devient dû en totalité. En règle générale, le solde dû est encore assez important, de sorte que l'hypothèque doit être renouvelée. Comme indiqué précédemment, cela signifie que le débiteur hypothécaire prend en charge un autre prêt hypothécaire, pas nécessairement auprès de la même institution financière, et la durée d'amortissement est généralement réduite de la durée du premier terme. La durée du deuxième terme de l'hypothèque dépend alors du choix du débiteur hypothécaire. D'autres variables telles que la fréquence des paiements et le taux d'intérêt peuvent ou non changer.

Par exemple, supposons qu'une hypothèque est initialement souscrite avec un amortissement de 25 ans et une durée de cinq ans. Après cinq ans, l'hypothèque devient exigible en totalité. Incapable de le payer, le débiteur hypothécaire renouvelle l'hypothèque pour les 20 ans d'amortissement restants, et opte également pour un terme de trois ans en prenant en charge la nouvelle hypothèque. À la fin de ces trois années, le débiteur hypothécaire renouvelle l'hypothèque pour les 17 années d'amortissement restantes et prend à nouveau une autre décision quant à la durée. Ce processus se répète jusqu'à ce que la dette soit finalement remboursée.

Comment ça fonctionne

Suivez ces étapes pour renouveler un prêt hypothécaire :

Étapes 1 à 4: Les étapes de calcul du montant du versement hypothécaire restent inchangées.

Étape 5: Déterminez le solde restant à la fin du terme hypothécaire. Cela implique les éléments suivants :

  1. Calculez la valeur future du principal de l'hypothèque ((FV)) à la fin du terme en utilisant les formules 9.2 (Nombre de périodes composées pour les paiements uniques) et 9.3 (Intérêt composé pour les paiements uniques).
  2. Calculez la valeur future des versements hypothécaires ((FV_{ORD})) effectués tout au long du terme à l'aide des formules 11.1 (Nombre de versements de rente) et 11.2 (Valeur future d'une rente ordinaire).
  3. Calculez le solde restant en prenant (FV − FV_{ORD} = BAL).

Étape 6: Selon les informations recherchées, répétez les étapes ci-dessus au besoin pour chaque renouvellement de prêt hypothécaire en utilisant le nouvel amortissement restant, le nouveau taux d'intérêt, tout changement dans la fréquence des versements et le nouveau terme. Par exemple, si vous recherchez le versement hypothécaire au cours du deuxième terme, répétez uniquement les étapes 2 à 4. Si vous recherchez le solde restant à la fin du deuxième terme, répétez également l'étape 5.

Notes IMPORTANTES

Le plus souvent, les débiteurs hypothécaires progressent le long de la trajectoire d'amortissement initiale à chaque renouvellement de la durée du prêt hypothécaire. Le processus d'hypothèque ne l'exige pas, cependant. Lors de tout renouvellement, le débiteur hypothécaire peut choisir de raccourcir ou d'allonger la période d'amortissement. Si le raccourcissement de la période d'amortissement ne pose aucun problème de ratio TDS ou GDS, le débiteur hypothécaire peut rembourser l'hypothèque plus rapidement. Si le débiteur hypothécaire souhaite allonger la période d'amortissement, l'institution financière peut examiner le temps global pour payer la dette et fixer un plafond sur la durée pendant laquelle la période d'amortissement peut être augmentée.

Choses à surveiller

L'erreur la plus courante avec les hypothèques est de confondre le terme et la période d'amortissement. Rappelles toi:

  • Lorsque vous déterminez le montant du versement hypothécaire, vous utilisez la période d'amortissement pour déterminer le (N).
  • Lorsque vous calculez le solde restant à la fin d'une période hypothécaire, vous utilisez le terme pour déterminer le (N).

Les chemins du succès

Lorsque vous utilisez votre calculateur BAII Plus pour calculer le solde restant à la fin du terme, vous pouvez arriver à ce nombre de deux manières. Une fois que vous avez calculé le montant du versement hypothécaire et que vous l'avez entré de nouveau dans la calculatrice avec seulement deux décimales, vous déterminez le dernier numéro de versement pour la durée du prêt hypothécaire, puis

  1. Saisissez cette valeur dans le (N) et résolvez pour (FV), ou
  2. Ouvrez la fonction AMORT et entrez le dernier numéro de paiement dans P1 et P2. Faites défiler jusqu'à BAL pour la solution.

Exercice (PageIndex{2}) : Réfléchissez-y

Une hypothèque a été contractée à son premier terme avec un taux d'intérêt composé semestriellement de 6 %. Si l'hypothèque reste sur le même calendrier d'amortissement, qu'arrive-t-il au versement hypothécaire si le nouveau taux d'intérêt composé semestriellement au renouvellement est

  1. 6.5%
  2. 5.5%
  3. 6%
Répondre
  1. Le PMT augmente, car plus d'intérêts sont imputés sur l'hypothèque.
  2. PMT tombe, puisque moins d'intérêts sont facturés à l'hypothèque.
  3. Le PMT reste le même, puisqu'il n'y a aucun changement dans les intérêts imputés à l'hypothèque.

Exemple (PageIndex{2}) : un renouvellement d'hypothèque

Les Chans ont acheté leur maison il y a trois ans pour 389 000 $ moins un acompte de 38 900 $ à un taux composé semestriel fixe de 4,9 % avec des paiements mensuels. Ils ont amorti l'hypothèque sur 20 ans. Les Chans renouvelleront l'hypothèque selon le même calendrier d'amortissement à un nouveau taux de 5,85 % composé semestriellement. De combien augmenteront leurs mensualités au deuxième trimestre ?

Solution

Calculez le versement hypothécaire initial du premier trimestre, ou (PMT_1). Renouvelez ensuite l'hypothèque et recalculez le versement hypothécaire au deuxième trimestre, ou (PMT_2). Le montant par lequel (PMT_2) est plus élevé correspond à l'augmentation de leur paiement mensuel.

Ce que vous savez déjà

Étape 1:

Le calendrier hypothécaire des Chans apparaît ci-dessous.

Premier terme : (PV_{ORD}) = 389 000 $ − 38 900 $ = 350 100 $, (IY) = 4,9 %, (CY) = 2, (PY) = 12, Années = 20, (FV ) = 0 $

Deuxième trimestre : (PV_{ORD} = BAL) après le premier trimestre, (IY) = 5,85%, (CY) = 2, (PY) = 12, Années = 17, (FV ) = 0 $

Comment vous y arriverez

Étape 2:

Pour le premier trimestre, appliquez la formule 9.1.

Étape 3:

Pour le premier trimestre, appliquez la Formule 11.1.

Étape 4:

Pour le premier terme, calculez le versement hypothécaire à l'aide de la formule 11.4, en réorganisant pour (PMT).

Étape 5:

Calculez la valeur future du principal à la fin du premier terme en utilisant les formules 9.2 et 9.3 pour le principal et les formules 11.1 et 11.2 pour les versements hypothécaires. Déterminez le solde restant par (BAL = FV − FV_{ORD}).

Étape 6:

Calculez le nouveau versement hypothécaire à l'aide des formules 9.1, 11.1 et 11.4, en réorganisant pour (PMT).

Étape 7:

Calculez l'augmentation du premier au deuxième versement.

Effectuer

Étape 2:

[i=4,9 \% / 2=2,45 \% onumber ]

Étape 3:

(N=12 x 20=240) paiements

Étape 4:

[$ 350,100=PMTleft[dfrac{1-left[dfrac{1}{(1+0.0245)^{frac{2}{12}}} ight]^{240}}{ (1+0.0245)^{frac{2}{12}}-1} ight] onumber ]

[PMT=dfrac{$ 350,100}{left[dfrac{1-left[dfrac{1}{1.004042} ight]^{240}}{0.004042} ight]}=$ 2.281,73 pas de numéro ]

Étape 5:

Principal:

(N=2 imes 3=6) composés ; (VF=$ 350 100 (1+0,0245)^{6}=$ 404 821,7959)

Paiements:

(N=12 fois 3=36 ) paiements

[FV_{ORD}=$ 2 281,73gauche[dfrac{gauche[(1+0,0245)^{frac{2}{12}}droite]^{36}-1}{(1+0,0245 )^{frac{2}{12}}-1} ight]=$ 88,228.30609 onumber ]

Équilibre:

($ 404,821.7959-$ 88,228.30609=$ 316,593.49 )

Étape 6:

( i=5.85 \% / 2=2.925 \% ; N=12 imes 17=204 ) paiements

[$ 316,593,49=PMTgauche[dfrac{1-gauche[dfrac{1}{(1+0,02925)^{frac{2}{12}}}droit]^{204} }{(1+0.02925)^{frac{2}{12}}-1} ight] onumber ]

[PMT=dfrac{$ 316,593.49}{left [ dfrac{1-left [dfrac{1}{(1+0.02925)^{frac{2}{12}}} ight ]^ {204}}{(1+0,02925)^{frac{2}{12}}-1} ight ]}= $ 2 440,73 onumber ]

Étape 7:

[$ 2 440,73-$ 2 281,73=$ 159,00 onumber ]

actionModeNI/YPVPMTVFP/YC/J
Paiement du premier termeFINIR2404.9350100Réponse : -2 281.7307550122
Solde à la fin du premier trimestre(sourde)36c(sourde)-2,281.73Réponse : -316 593,4898(sourde)(sourde)
Paiement du deuxième terme(sourde)2045.85316593.49Réponse : -2 440,7335920(sourde)(sourde)

Le versement hypothécaire initial pour la durée de trois ans était de 2 281,73 $. Lors du renouvellement au taux d'intérêt plus élevé, le paiement mensuel a augmenté de 159,00 $ pour atteindre 2 440,73 $.

Les références

1 Association canadienne de l'immeuble (ACI), « Housing Market Stats », https://www.crea.ca/housing-market-stats/ (consulté le 9 juillet 2011).

2 Vivre au Canada, « Canadian House Prizes », www.livingin-canada.com/house-prices-canada.html (consulté le 9 juillet 2011).

3 Statistique Canada, « Revenu total médian, par type de famille, par province et territoire, tableau CANSIM 111-0009, www40.statcan.ca/l01/cst01/famil108a-fra.htm (consulté le 19 octobre 2010).


Mathématiques de bon sens

Common Sense Mathematics est un texte pour un cours collégial d'un semestre en littératie quantitative. Le texte met l'accent sur le bon sens et les connaissances communes pour aborder des problèmes réels à travers des articles d'actualité populaires et trouver des outils et des cadres mathématiques utiles pour répondre à ces questions.

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Table des matières

1. Équations linéaires en algèbre linéaire

Exemple d'introduction : modèles linéaires en économie et en ingénierie

1.1 Systèmes d'équations linéaires

1.2 Formes de réduction de rang et d'échelon

1.4 L'équation matricielle Ax = b

1.5 Ensembles de solutions de systèmes linéaires

1.6 Applications des systèmes linéaires

1.8 Introduction aux transformations linéaires

1.9 La matrice d'une transformation linéaire

1.10 Modèles linéaires dans les affaires, la science et l'ingénierie

Exemple d'introduction : modèles informatiques dans la conception d'aéronefs

2.2 L'inverse d'une matrice

2.3 Caractérisations des matrices inversibles

2.6 Le modèle d'entrée et de sortie de Leontief

2.7 Applications à l'infographie

Exemple d'introduction : chemins aléatoires et distorsion

3.1 Introduction aux déterminants

3.2 Propriétés des déterminants

3.3 Règle de Cramer&rsquos, transformations de volume et linéaires

Exemple d'introduction : Vols spatiaux et systèmes de contrôle

4.1 Espaces et sous-espaces vectoriels

4.2 Espaces nuls, espaces de colonnes et transformations linéaires

4.3 Bases d'ensembles linéairement indépendants

4.5 La dimension d'un espace vectoriel

4.8 Applications aux équations aux différences

4.9 Applications aux chaînes de Markov

5. Valeurs propres et vecteurs propres

Exemple d'introduction : systèmes dynamiques et chouettes tachetées

5.1 Vecteurs propres et valeurs propres

5.2 L'équation caractéristique

5.4 Vecteurs propres et transformations linéaires

5.6 Systèmes dynamiques discrets

5.7 Applications aux équations différentielles

5.8 Estimations itératives pour les valeurs propres

6. Orthogonalité et moindres carrés

Exemple d'introduction : réajustement du système de référence nord-américain

6.1 Produit intérieur, longueur et orthogonalité

6.3 Projections orthogonales

6.4 Le processus Gram&mdashSchmidt

6.6 Applications aux modèles linéaires

6.8 Applications des espaces de produits internes

7. Matrices symétriques et formes quadratiques

Exemple d'introduction : traitement d'images multicanal

7.1 Diagonalisation des matrices symétriques

7.3 Optimisation contrainte

7.4 La décomposition en valeurs singulières

7.5 Applications au traitement d'images et aux statistiques

8. La géométrie des espaces vectoriels

Exemple d'introduction : les solides platoniciens

9. Optimisation (en ligne uniquement)

Exemple d'introduction : le pont aérien de Berlin

9.2 Programmation linéaire et méthode géométrique ndash

9.3 Programmation linéaire et méthode ndashSimplex

10. Chaînes de Markov à états finis (en ligne uniquement)

Exemple d'introduction : chaînes Google et Markov

10.1 Introduction et exemples

10.2 Le vecteur d'état stable et le PageRank de Google

10.3 Chaînes de Markov à états finis

10.4 Classification des États et périodicité

10.5 La matrice fondamentale

10.6 Chaînes de Markov et statistiques de baseball

A. Unicité de la forme à échelon réduit


Caractéristiques

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        • Les mathématiques aujourd'hui les encadrés discutent des utilisations actuelles et réelles du concept mathématique dans le chapitre. Chaque case se termine par Pourquoi c'est important.
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          • Chapter Summaries, organized in a chart format, provide an intuitive study and review experience. For each concept, definition, or idea presented, students are directed to the exact place in the text where the item is discussed.
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            13.4: Special Application - Mortgages - Mathematics

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            Les articles du Choix de l'éditeur sont basés sur les recommandations des éditeurs scientifiques des revues MDPI du monde entier. Les rédacteurs en chef sélectionnent un petit nombre d'articles récemment publiés dans la revue qui, selon eux, seront particulièrement intéressants pour les auteurs ou importants dans ce domaine. L'objectif est de fournir un aperçu de certains des travaux les plus passionnants publiés dans les différents domaines de recherche de la revue.


            There are two layers of VA loan entitlement, a basic level and a second tier of entitlement. When those two are fully in place, veterans can borrow as much as a lender is willing to lend without the need for a down payment.

            Eligible veterans in most parts of the country have a primary entitlement of $36,000 and an additional, secondary entitlement of $101,062. Add those together and you get $137,062.

            When you purchase a home with a VA loan, some or all of your entitlement is tied up in the mortgage. Because the VA usually guarantees a quarter of the loan amount, the amount of entitlement you utilize is typically equal to 25 percent of the loan amount. For example, on a typical $200,000 loan, you're typically using $50,000 of entitlement.

            Do some simple math ($137,062 - 50,000) and buyers in most parts of the country would have about $87,000 left over in remaining entitlement. Veterans and military members purchasing in more expensive housing markets would have even more VA loan entitlement available. VA loan limits are linked to the maximum entitlement amount and currently rise to $822,375 in costlier markets in the continental U.S.

            The remaining entitlement amount makes it possible for VA buyers to have more than one VA loan at the same time or purchase after experiencing a foreclosure or short sale.


            Contenu

            Given an integer m > 1 , called a module, two integers are said to be conforme modulo n , if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k tel que uneb = kn ).

            Congruence modulo n is a congruence relation, meaning that it is an equivalence relation that is compatible with the operations of addition, subtraction, and multiplication. Congruence modulo n is denoted:

            The parentheses mean that (mod m) applies to the entire equation, not just to the right-hand side (here b ). This notation is not to be confused with the notation b mode m (without parentheses), which refers to the modulo operation. En effet, b mode m denotes the unique integer a such that 0 ≤ une < m and a ≡ b ( mod n ) > )> (i.e., the remainder of b when divided by n [1] ).

            The congruence relation may be rewritten as

            explicitly showing its relationship with Euclidean division. Cependant, le b here need not be the remainder of the division of une by m. Instead, what the statement uneb (mode m) asserts is that une et b have the same remainder when divided by m . C'est-à-dire,

            where 0 ≤ r < m is the common remainder. Subtracting these two expressions, we recover the previous relation:

            by setting k = pq.

            Examples Edit

            In modulus 12, one can assert that:

            because 38 − 14 = 24 , which is a multiple of 12. Another way to express this is to say that both 38 and 14 have the same remainder 2, when divided by 12.

            The definition of congruence also applies to negative values. Par example:

            The congruence relation satisfies all the conditions of an equivalence relation:

            • Reflexivity: uneune (mode m)
            • Symmetry: uneb (mode m) if bune (mode m) pour tous une , b , et m .
            • Transitivity: If uneb (mode m) et bc (mode m) , ensuite unec (mode m)

            Si une1b1 (mode m) et une2b2 (mode m), or if uneb (mode m), then:

            • une + kb + k (mode m) for any integer k (compatibility with translation)
            • k ak b (mode m) for any integer k (compatibility with scaling)
            • une1 + une2b1 + b2 (mode m) (compatibility with addition)
            • une1une2b1b2 (mode m) (compatibility with subtraction)
            • une1une2b1b2 (mode m) (compatibility with multiplication)
            • unekbk (mode m) for any non-negative integer k (compatibility with exponentiation)
            • p(une) ≡ p(b) (mod m) , for any polynomialp(X) with integer coefficients (compatibility with polynomial evaluation)

            Si uneb (mode m) , then it is generally false that k ak b (mode m) . However, the following is true:

            • Si c (mode φ(m)), where φ is Euler's totient function, then unecune (mode m) —provided that une is coprime with m .

            For cancellation of common terms, we have the following rules:

            • Si une + kb + k (mode m) , où k est un nombre entier, alors uneb (mode m)
            • Si k ak b (mode m) et k is coprime with m , ensuite uneb (mode m)
            • Si k ak b (mode kn) , ensuite uneb (mode m)

            The modular multiplicative inverse is defined by the following rules:

            • Existence: there exists an integer denoted une –1 such that aa –1 ≡ 1 (mod m) if and only if une is coprime with m . This integer une –1 is called a modular multiplicative inverse of a modulo m .
            • Si uneb (mode m) et une –1 exists, then une –1 ≡ b –1 (mod m) (compatibility with multiplicative inverse, and, if une = b , uniqueness modulo m )
            • Si a xb (mode m) et une is coprime to m , then the solution to this linear congruence is given by Xune –1 b (mode m)

            The multiplicative inverse Xune –1 (mod m) may be efficiently computed by solving Bézout's equation a x + n y = 1 for x , y —using the Extended Euclidean algorithm.

            In particular, if p is a prime number, then une is coprime with p pour chaque une such that 0 < une < p thus a multiplicative inverse exists for all une that is not congruent to zero modulo p .

            Some of the more advanced properties of congruence relations are the following:

              : If p is prime and does not divide une , ensuite unep – 1 ≡ 1 (mod p) . : If une et m are coprime, then uneφ(m) ≡ 1 (mod m) , où φ is Euler's totient function
          • A simple consequence of Fermat's little theorem is that if p is prime, then une −1 ≡ unep − 2 (mod p) is the multiplicative inverse of 0 < une < p . More generally, from Euler's theorem, if une et m are coprime, then une −1 ≡ uneφ(m) − 1 (mod m) .
          • Another simple consequence is that if uneb (mode φ(m)), where φ is Euler's totient function, then kunekb (mode m) provided k is coprime with m . : p is prime if and only if (p − 1) ! ≡ −1 (mod p) . : For any une , b and coprime m , m , there exists a unique X (mode mn) such that Xune (mode m) et Xb (mode m) . En fait, Xb mm –1 m + a nm –1 m (mode mn) où mm −1 is the inverse of m modulo m et mm −1 is the inverse of m modulo m . : The congruence F (X) ≡ 0 (mod p) , où p is prime, and F (X) = une0Xm + . + unem is a polynomial with integer coefficients such that une0 ≠ 0 (mod p) , has at most m roots. : A number g is a primitive root modulo m if, for every integer une coprime to m , there is an integer k tel que gkune (mode m) . A primitive root modulo m exists if and only if m is equal to 2, 4, pk or 2pk , où p is an odd prime number and k is a positive integer. If a primitive root modulo m exists, then there are exactly φ(φ(m)) such primitive roots, where φ is the Euler's totient function. : An integer une is a quadratic residue modulo m , if there exists an integer X tel que X 2 ≡ une (mode m) . Euler's criterion asserts that, if p is an odd prime, and a is not a multiple of p , then une is a quadratic residue modulo p si et seulement si
          • Like any congruence relation, congruence modulo m is an equivalence relation, and the equivalence class of the integer une , denoted by une m , is the set <… , une − 2m, unem, une, une + m, une + 2m, …> . This set, consisting of all the integers congruent to une modulo m , is called the congruence class, residue class, or simply residue of the integer une modulo m . When the modulus m is known from the context, that residue may also be denoted [une] .

            Each residue class modulo m may be represented by any one of its members, although we usually represent each residue class by the smallest nonnegative integer which belongs to that class [2] (since this is the proper remainder which results from division). Any two members of different residue classes modulo m are incongruent modulo m . Furthermore, every integer belongs to one and only one residue class modulo m . [3]

            The set of integers <0, 1, 2, …, m − 1> is called the least residue system modulo m. Any set of m integers, no two of which are congruent modulo m , is called a complete residue system modulo m.

            The least residue system is a complete residue system, and a complete residue system is simply a set containing precisely one representative of each residue class modulo m . [4] For example. the least residue system modulo 4 is <0, 1, 2, 3>. Some other complete residue systems modulo 4 include:

            Some sets which are ne pas complete residue systems modulo 4 are:

            • <−5, 0, 6, 22>, since 6 is congruent to 22 modulo 4.
            • <5, 15>, since a complete residue system modulo 4 must have exactly 4 incongruent residue classes.

            Reduced residue systems Edit

            Given the Euler's totient function φ(m) , any set of φ(m) integers that are relatively prime to m and mutually incongruent under modulus m s'appelle un reduced residue system modulo m. [5] The set <5,15>from above, for example, is an instance of a reduced residue system modulo 4.

            The set is defined for m > 0 as:

            We define addition, subtraction, and multiplication on Z / n Z /nmathbb > by the following rules:

            The verification that this is a proper definition uses the properties given before.

            as in the arithmetic for the 24-hour clock.

            The multiplicative subgroup of integers modulo m is denoted by ( Z / n Z ) × /nmathbb )^< imes >> . This consists of a ¯ n _> (where une is coprime to m), which are precisely the classes possessing a multiplicative inverse. This forms a commutative group under multiplication, with order φ ( n ) .

            In theoretical mathematics, modular arithmetic is one of the foundations of number theory, touching on almost every aspect of its study, and it is also used extensively in group theory, ring theory, knot theory, and abstract algebra. In applied mathematics, it is used in computer algebra, cryptography, computer science, chemistry and the visual and musical arts.

            A very practical application is to calculate checksums within serial number identifiers. For example, International Standard Book Number (ISBN) uses modulo 11 (for 10 digit ISBN) or modulo 10 (for 13 digit ISBN) arithmetic for error detection. Likewise, International Bank Account Numbers (IBANs), for example, make use of modulo 97 arithmetic to spot user input errors in bank account numbers. In chemistry, the last digit of the CAS registry number (a unique identifying number for each chemical compound) is a check digit, which is calculated by taking the last digit of the first two parts of the CAS registry number times 1, the previous digit times 2, the previous digit times 3 etc., adding all these up and computing the sum modulo 10.

            In cryptography, modular arithmetic directly underpins public key systems such as RSA and Diffie–Hellman, and provides finite fields which underlie elliptic curves, and is used in a variety of symmetric key algorithms including Advanced Encryption Standard (AES), International Data Encryption Algorithm (IDEA), and RC4. RSA and Diffie–Hellman use modular exponentiation.

            In computer algebra, modular arithmetic is commonly used to limit the size of integer coefficients in intermediate calculations and data. It is used in polynomial factorization, a problem for which all known efficient algorithms use modular arithmetic. It is used by the most efficient implementations of polynomial greatest common divisor, exact linear algebra and Gröbner basis algorithms over the integers and the rational numbers. As posted on Fidonet in the 1980s and archived at Rosetta Code, modular arithmetic was used to disprove Euler's sum of powers conjecture on a Sinclair QL microcomputer using just one-fourth of the integer precision used by a CDC 6600 supercomputer to disprove it two decades earlier via a brute force search. [9]

            In computer science, modular arithmetic is often applied in bitwise operations and other operations involving fixed-width, cyclic data structures. The modulo operation, as implemented in many programming languages and calculators, is an application of modular arithmetic that is often used in this context. The logical operator XOR sums 2 bits, modulo 2.

            In music, arithmetic modulo 12 is used in the consideration of the system of twelve-tone equal temperament, where octave and enharmonic equivalency occurs (that is, pitches in a 1∶2 or 2∶1 ratio are equivalent, and C-sharp is considered the same as D-flat).

            The method of casting out nines offers a quick check of decimal arithmetic computations performed by hand. It is based on modular arithmetic modulo 9, and specifically on the crucial property that 10 ≡ 1 (mod 9).

            Arithmetic modulo 7 is used in algorithms that determine the day of the week for a given date. In particular, Zeller's congruence and the Doomsday algorithm make heavy use of modulo-7 arithmetic.

            More generally, modular arithmetic also has application in disciplines such as law (e.g., apportionment), economics (e.g., game theory) and other areas of the social sciences, where proportional division and allocation of resources plays a central part of the analysis.

            Since modular arithmetic has such a wide range of applications, it is important to know how hard it is to solve a system of congruences. A linear system of congruences can be solved in polynomial time with a form of Gaussian elimination, for details see linear congruence theorem. Algorithms, such as Montgomery reduction, also exist to allow simple arithmetic operations, such as multiplication and exponentiation modulo m , to be performed efficiently on large numbers.

            Some operations, like finding a discrete logarithm or a quadratic congruence appear to be as hard as integer factorization and thus are a starting point for cryptographic algorithms and encryption. These problems might be NP-intermediate.

            Solving a system of non-linear modular arithmetic equations is NP-complete. [10]

            Below are three reasonably fast C functions, two for performing modular multiplication and one for modular exponentiation on unsigned integers not larger than 63 bits, without overflow of the transient operations.

            An algorithmic way to compute a ⋅ b ( mod m ) >> : [11]

            On computer architectures where an extended precision format with at least 64 bits of mantissa is available (such as the long double type of most x86 C compilers), the following routine is [ clarification needed ] , by employing the trick that, by hardware, floating-point multiplication results in the most significant bits of the product kept, while integer multiplication results in the least significant bits kept: [ citation requise ]

            Below is a C function for performing modular exponentiation, that uses the mul_mod function implemented above.

            An algorithmic way to compute a b ( mod m ) >> :

            However, for all above routines to work, m must not exceed 63 bits.


            How to format an application letter

            When writing an application letter for a job, follow these steps to make sure you include information about yourself and your professional experience that will appeal to a hiring manager:

            Address the letter to the hiring manager.

            1 . Use a professional format

            A job application letter should be more professional than a thank-you card or an email to a coworker or friend. The alignment of the document should include single spacing, one-inch margins and left alignment. It’s best to use a professional and traditional font, such as Times New Roman, in a size from 10 to 12 points. Try to keep your job application letter to one page. When a hiring manager reviews your job application letter, they will get their first impression of you as a potential employee, so take time to format it professionally and keep it concise.

            2 . Create the heading

            Use a formal business heading for your job application letter. The heading should include your name and contact information, the date and the company name and address. If you send your job application letter via email, you can eliminate your name and contact information from the header and put it at the bottom of the email after the signature instead.

            Your name
            Your city and ZIP code
            Your phone number
            Your email address

            Name of hiring manager or supervisor
            Title of hiring manager or supervisor
            Company name
            Company physical address

            By including a professional and detailed heading, you can make it easier for the hiring manager to follow up with you regarding the position.

            3 . Address the letter to the hiring manager

            In your research, try to find the name of the person reviewing applications for the job. Address your letter to this person with a common business greeting, such as �r Mr./Ms.” and their last name. If you’re unable to find their preferred gender pronouns (she/her, them/they) of the individual reviewing your application, you can use �r [ first and last name ] ” or �r Hiring Manager.”


            What if you need help immediately?

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