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2.1 : L'idée de limites - Mathématiques


Alors que nous entamons notre étude du calcul, nous verrons comment son développement est né de solutions communes à des problèmes pratiques dans des domaines tels que la physique de l'ingénierie, comme le problème du voyage dans l'espace posé dans l'ouverture du chapitre. Deux problèmes clés ont conduit à la formulation initiale du calcul : (1) le problème de la tangente, ou comment déterminer la pente d'une ligne tangente à une courbe en un point ; et (2) le problème d'aire, ou comment déterminer l'aire sous une courbe.

Le problème de la tangente et le calcul différentiel

Le taux de changement est l'un des concepts les plus critiques en calcul. Nous commençons notre enquête sur les taux de changement en regardant les graphiques des trois lignes (f(x)=−2x−3,g(x)=dfrac{1}{2}x+1), et (h(x)=2), illustré à la figure (PageIndex{1}).

Figure (PageIndex{1}) :Le taux de variation d'une fonction linéaire est constant dans chacun de ces trois graphiques, la constante étant déterminée par la pente.

Lorsque nous nous déplaçons de gauche à droite le long du graphe de (f(x)=−2x−3), nous voyons que le graphe décroît à une vitesse constante. Pour chaque 1 unité que nous nous déplaçons vers la droite le long de l'axe des x, la coordonnée y diminue de 2 unités. Cette taux de changement est déterminé par la pente (−2) de la droite. De même, la pente de 1/2 dans la fonction (g(x)) nous dit que pour chaque changement de x de 1 unité, il y a un changement correspondant de y de 1/2 unité. La fonction (h(x)=2) a une pente de zéro, indiquant que les valeurs de la fonction restent constantes. Nous voyons que la pente de chaque fonction linéaire indique le taux de changement de la fonction.

Comparez les graphiques de ces trois fonctions avec le graphique de (k(x)=x^2) (Figure (PageIndex{1})). Le graphique de (k(x)=x^2) commence à partir de la gauche en diminuant rapidement, puis commence à diminuer plus lentement et à se stabiliser, puis commence finalement à augmenter—d'abord lentement, suivi d'un taux croissant de augmenter à mesure qu'il se déplace vers la droite. Contrairement à une fonction linéaire, aucun nombre unique ne représente le taux de changement pour cette fonction. On se demande tout naturellement : comment mesure-t-on le taux de variation d'une fonction non linéaire ?

Figure (PageIndex{2}) :La fonction (k(x)=x^2) n'a pas un taux de changement constant.

On peut approximer le taux de variation d'une fonction (f(x)) en un point ((a,f(a))) sur son graphique en prenant un autre point ((x,f(x)) ) sur le graphique de (f(x)), traçant une ligne passant par les deux points et calculant la pente de la ligne résultante. Une telle ligne est appelée ligne sécante. La figure montre un Ligne secante à une fonction (f(x)) en un point ((a,f(a))).

Figure (PageIndex{3}) :La pente d'une ligne sécante passant par un point ((a,f(a))) estime le taux de variation de la fonction au point ((a,f(a))).

Nous définissons formellement une ligne sécante comme suit :

Définition : ligne sécante

le sécante à la fonction (f(x)) passant par les points ((a,f(a)) et ((x,f(x))) est la droite passant par ces points. Sa pente est donnée par

[m_{sec}=dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}.]

La précision de l'approximation du taux de changement de la fonction avec une ligne sécante dépend de la proximité de (x) à (a). Comme nous le voyons sur la figure (PageIndex{4}), si (x) est plus proche de a, la pente de la ligne sécante est une meilleure mesure du taux de variation de (f(x)) à).

Figure (PageIndex{4}) :Au fur et à mesure que x se rapproche de a, la pente de la ligne sécante devient une meilleure approximation du taux de variation de la fonction (f(x)) en a.

Les lignes sécantes elles-mêmes s'approchent d'une ligne appelée la tangente à la fonction (f(x)) en a (Figure (PageIndex{5})). La pente de la ligne tangente au graphique en a mesure le taux de variation de la fonction en a. Cette valeur représente également la dérivée de la fonction (f(x)) en a, ou le taux de variation de la fonction en a. Cette dérivée est notée (f′(a)). Calculs différentiels est le domaine du calcul concerné par l'étude des dérivés et de leurs applications.

Pour une démonstration interactive de la pente d'une ligne sécante que vous pouvez manipuler vous-même, visitez cette applet (Noter: ce site nécessite un plugin de navigateur Java) :

Figure (PageIndex{5}) :Résolution du problème de la tangente : lorsque x se rapproche de a, les lignes sécantes se rapprochent de la ligne tangente.

L'exemple montre comment trouver les pentes des lignes sécantes. Ces pentes estiment la pente de la ligne tangente ou, de manière équivalente, le taux de variation de la fonction au point auquel les pentes sont calculées.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche de pentes de lignes sécantes

Estimez la pente de la ligne tangente (taux de variation) à (f(x)=x^2) à (x=1) en trouvant les pentes des lignes sécantes passant par ((1,1)) et chacun des points suivants sur le graphique de (f(x)=x^2).

  1. ((2,4))
  2. ((dfrac{3}{2},dfrac{9}{4}))

Solution:

Utilisez la formule de la pente d'une ligne sécante à partir de la définition.

  1. (m_{sec}=dfrac{4−1}{2−1}=3)
  2. (m_{sec}=dfrac{dfrac{9}{4}−1}{dfrac{3}{2}−1}=dfrac{5}{2}=2.5)

Le point dans la partie b. est plus proche du point ((1,1)), donc la pente de 2,5 est plus proche de la pente de la tangente. Une bonne estimation de la pente de la tangente serait de l'ordre de 2 à 2,5 (Figure).

Figure (PageIndex{6}) :Les lignes sécantes à (f(x)=x^2) à ((1,1)) à (a) ((2,4)) et (b) ((dfrac{3 }{2},dfrac{9}{4})) fournissent des approximations successivement plus proches de la ligne tangente à (f(x)=x^2) en ((1,1)).

Exercice (PageIndex{1})

Estimez la pente de la ligne tangente (taux de variation) à (f(x)=x^2) à (x=1) en trouvant les pentes des lignes sécantes passant par ((1,1)) et le point ((dfrac{5}{4},dfrac{25}{16})) sur le graphe de (f(x)=x^2).

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2.25

Nous poursuivons notre enquête en explorant une question connexe. En gardant à l'esprit que la vitesse peut être considérée comme le taux de changement de position, supposons que nous ayons une fonction, (s(t)), qui donne la position d'un objet le long d'un axe de coordonnées à un instant t donné. Pouvons-nous utiliser ces mêmes idées pour créer une définition raisonnable de la vitesse instantanée à un instant donné (t=a?) Nous commençons par approximer la vitesse instantanée avec une vitesse moyenne. Rappelons tout d'abord que la vitesse d'un objet se déplaçant à vitesse constante est le rapport de la distance parcourue à la durée qu'il a parcourue. Nous définissons le vitesse moyenne d'un objet sur une période de temps pour être le changement de sa position divisé par la longueur de la période de temps.

Définition : AVitesse moyenne

Soit (s(t) la position d'un objet se déplaçant le long d'un axe de coordonnées à l'instant t. Le vitesse moyenne de l'objet sur un intervalle de temps ([a,t]) où (a

[v_{ave}=dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}.]

Lorsque t est choisi plus proche de a, la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée. Notez que trouver la vitesse moyenne d'une fonction de position sur un intervalle de temps revient essentiellement à trouver la pente d'une ligne sécante vers une fonction. De plus, pour trouver la pente d'une ligne tangente en un point a, nous laissons les valeurs x approcher a dans la pente de la ligne sécante. De même, pour trouver la vitesse instantanée au temps a, nous laissons les valeurs t approcher de a dans la vitesse moyenne. Ce processus consistant à laisser x ou t s'approcher de a dans une expression est appelé prendre un limite. Ainsi, on peut définir la vélocité instantanée comme suit.

Définition : jeVitesse instantanée

Pour une fonction de position (s(t)), le vélocité instantanée à un instant (t=a) est la valeur que les vitesses moyennes approchent sur des intervalles de la forme ([a,t]) et ([t,a]) lorsque les valeurs de t se rapprochent de a, à condition qu'une telle valeur existe.

L'exemple (PageIndex{2}) illustre ce concept de limites et de vitesse moyenne.

Exemple (PageIndex{2}) : Recherche de la vitesse moyenne

Un rocher est lâché d'une hauteur de 64 pieds. Il est déterminé que sa hauteur (en pieds) au-dessus du sol t secondes plus tard (pour (0≤t≤2)) est donnée par (s(t)=−16t ^2+64). Trouvez la vitesse moyenne de la roche sur chacun des intervalles de temps donnés. Utilisez cette information pour deviner la vitesse instantanée de la roche au temps (t=0,5).

  1. [(0.49,0.5)]
  2. [(0.5,0.51)]

Solution

Remplacez les données dans la formule pour la définition de la vitesse moyenne.

  1. [v_{moy}=dfrac{s(0.49)−s(0.5)}{0.49−0.5}=−15.84]
  2. [v_{moy}=dfrac{s(0.51)−s(0.5)}{0.51−0.5}=−16.016]

La vitesse instantanée se situe entre -15,84 et -16,16 ft/sec. Une bonne estimation pourrait être de -16 ft/sec.

Exercice (PageIndex{2})

Un objet se déplace le long d'un axe de coordonnées de sorte que sa position à l'instant t soit donnée par (s(t)=t^3). Estimez sa vitesse instantanée au temps (t=2) en calculant sa vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [(2,2.001)].

Indice

Utilisez (v_{ave}=dfrac{s(2.001)−s(2)}{2.001−2}).

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Le problème d'aire et le calcul intégral :

C'est un regard vers l'avenir intéressant, mais vous n'avez pas besoin de vous concentrer sur cette partie pour l'instant.

Nous tournons maintenant notre attention vers une question classique du calcul. De nombreuses quantités en physique, par exemple les quantités de travail, peuvent être interprétées comme l'aire sous une courbe. Ceci nous amène à nous poser la question : Comment trouver l'aire entre le graphe d'une fonction et l'axe des x sur un intervalle (Figure (PageIndex{7})) ?

Figure (PageIndex{7}) :Le problème de l'aire : comment trouver l'aire de la région ombrée ?

Comme dans la réponse à nos questions précédentes sur la vitesse, nous essayons d'abord d'approximer la solution. Nous approximons l'aire en divisant l'intervalle ([a,b]) en intervalles plus petits en forme de rectangles. L'approximation de l'aire vient de l'addition des aires de ces rectangles (Figure (PageIndex{8})).

Figure (PageIndex{8}) :L'aire de la région sous la courbe est approchée en additionnant les aires de rectangles minces.

Au fur et à mesure que les largeurs des rectangles deviennent plus petites (approchent de zéro), les sommes des aires des rectangles s'approchent de l'aire entre le graphique de (f(x)) et l'axe des x sur l'intervalle ([a,b ]). Encore une fois, on se retrouve à prendre une limite. Les limites de ce type servent de base à la définition de l'intégrale définie. Calcul intégral est l'étude des intégrales et de leurs applications.

Exemple (PageIndex{3}) : Estimation à l'aide de rectangles

Estimez l'aire entre l'axe des x et le graphique de (f(x)=x^2+1) sur l'intervalle ([0,3]) en utilisant les trois rectangles illustrés à la figure.

Figure (PageIndex{9}) :L'aire de la région sous la courbe de (f(x)=x^2+1) peut être estimée à l'aide de rectangles.

Solution:

Les aires des trois rectangles sont de 1 unité2, 2 unités2, et 5 unités2. En utilisant ces rectangles, notre estimation de surface est de 8 unités2.

Exercice (PageIndex{3})

Ajoutez le texte des exercices ici. Pour que le numéro automatique fonctionne, vous devez ajouter le modèle "AutoNum" (de préférence à la fin) à la page.

Indice

Utilisez l'exemple (PageIndex{3}) comme guide

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16 (unité^2)

Autres aspects du calcul

C'est un regard vers l'avenir intéressant, mais vous n'avez pas besoin de vous concentrer sur cette partie pour l'instant.

Jusqu'à présent, nous avons étudié les fonctions d'une seule variable. De telles fonctions peuvent être représentées visuellement à l'aide de graphiques en deux dimensions ; cependant, il n'y a aucune bonne raison de restreindre notre enquête à deux dimensions. Supposons, par exemple, qu'au lieu de déterminer la vitesse d'un objet se déplaçant le long d'un axe de coordonnées, nous voulions déterminer la vitesse d'un rocher tiré d'une catapulte à un moment donné, ou d'un avion se déplaçant en trois dimensions. Nous pourrions vouloir représenter graphiquement des fonctions à valeur réelle de deux variables ou déterminer des volumes de solides du type illustré à la figure. Ce ne sont là que quelques-uns des types de questions qui peuvent être posées et répondues en utilisant Calcul à variables multiples. De manière informelle, le calcul multivariable peut être caractérisé comme l'étude du calcul des fonctions de deux ou plusieurs variables. Cependant, avant d'explorer ces idées et d'autres, nous devons d'abord jeter les bases de l'étude du calcul à une variable en explorant le concept de limite.

Figure (PageIndex{10}) :Nous pouvons utiliser le calcul multivariable pour trouver le volume entre une surface définie par une fonction de deux variables et un plan.

Concepts clés:

  • Le calcul différentiel est né de la tentative de résoudre le problème de la détermination de la pente d'une ligne tangente à une courbe en un point. La pente de la ligne tangente indique le taux de changement de la fonction, également appelé le dérivé. Calculer une dérivée nécessite de trouver une limite.
  • Le calcul intégral est né de la tentative de résoudre le problème consistant à trouver l'aire d'une région entre le graphique d'une fonction et l'axe des x. Nous pouvons approximer l'aire en la divisant en rectangles minces et en additionnant les aires de ces rectangles. Cette sommation conduit à la valeur d'une fonction appelée le intégral. L'intégrale est également calculée en trouvant une limite et, en fait, est liée à la dérivée d'une fonction.
  • Le calcul multivariable nous permet de résoudre des problèmes dans l'espace tridimensionnel, notamment la détermination du mouvement dans l'espace et la recherche de volumes de solides.

Équations clés :

  • Pente d'une ligne sécante

(m_{sec}=dfrac{f(x)−f(a)}{x−a})

  • Vitesse moyenne sur l'intervalle [a,t]

(v_{ave}=dfrac{s(t)−s(a)}{t−a})

Glossaire

vitesse moyenne
le changement de la position d'un objet divisé par la durée d'une période de temps ; la vitesse moyenne d'un objet sur un intervalle de temps [(t,a)] (si (ta)), avec un position donnée par (s(t)), soit (v_{ave}=dfrac{s(t)−s(a)}{t−a})
calculs différentiels
le domaine du calcul concerné par l'étude des dérivées et de leurs applications
vélocité instantanée
La vitesse instantanée d'un objet avec une fonction de position qui est donnée par (s(t)) est la valeur que les vitesses moyennes sur des intervalles de la forme [(t,a)] et [(a,t )] lorsque les valeurs de t se rapprochent de (a), à condition qu'une telle valeur existe
calcul intégral
l'étude des intégrales et de leurs applications
limite
le processus consistant à laisser x ou t s'approcher de a dans une expression ; la limite d'une fonction (f(x)) quand x approche a est la valeur que (f(x)) approche quand x approche a
Calcul à variables multiples
l'étude du calcul des fonctions de deux ou plusieurs variables
sécante
Une ligne sécante vers une fonction (f(x)) en a est une ligne passant par le point ((a,f(a))) et un autre point sur la fonction ; la pente de la sécante est donnée par (m_{sec}=dfrac{f(x)−f(a)}{x−a})
tangente
Une ligne tangente au graphique d'une fonction en un point ((a,f(a))) est la ligne que les lignes sécantes passant par ((a,f(a))) approchent lorsqu'elles passent par des points sur la fonction avec des valeurs x qui approchent a ; la pente de la ligne tangente à un graphique à a mesure le taux de changement de la fonction à a

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


2.1 : L'idée de limites - Mathématiques

Dans la section précédente, nous avons examiné quelques problèmes et dans les deux problèmes, nous avions une fonction (pente dans le cas du problème tangent et taux de changement moyen dans le problème du taux de changement) et nous voulions savoir comment cette fonction se comportait à certains point (x = a). À ce stade du jeu, nous ne nous soucions plus d'où viennent les fonctions et nous ne nous soucions plus de savoir si nous allons les revoir ou non. Tout ce dont nous avons besoin de savoir ou de nous inquiéter, c'est que nous avons ces fonctions et que nous voulons savoir quelque chose à leur sujet.

Pour répondre aux questions de la dernière section, nous choisissons des valeurs de (x) qui se rapprochaient de plus en plus de (x = a) et nous les avons connectées à la fonction. Nous nous sommes également assurés que nous avons examiné les valeurs de (x) qui étaient à la fois à gauche et à droite de (x = a). Une fois que nous avons fait cela, nous avons regardé notre table de valeurs de fonction et avons vu ce que les valeurs de fonction approchaient lorsque (x) se rapprochait de plus en plus de (x = a) et l'avons utilisé pour deviner la valeur que nous recherchions.

Ce processus est appelé prendre une limite et nous avons une notation pour cela. La notation limite pour les deux problèmes de la dernière section est,

Dans cette notation, nous noterons que nous donnons toujours la fonction avec laquelle nous travaillons et nous donnons également la valeur de (x) (ou (t)) vers laquelle nous nous dirigeons.

Dans cette section, nous allons adopter une approche intuitive des limites et essayer d'avoir une idée de ce qu'elles sont et de ce qu'elles peuvent nous dire sur une fonction. Avec cet objectif à l'esprit, nous n'allons pas encore entrer dans la façon dont nous calculons réellement les limites. Nous allons plutôt nous fier à ce que nous avons fait dans la section précédente ainsi qu'à une autre approche pour deviner la valeur des limites.

Les deux approches que nous allons utiliser dans cette section sont conçues pour nous aider à comprendre quelles sont les limites. En général, nous n'utilisons généralement pas les méthodes de cette section pour calculer les limites et, dans de nombreux cas, cela peut être très difficile à utiliser pour même estimer la valeur d'une limite et/ou donner une valeur erronée à l'occasion. Nous examinerons réellement les limites de calcul dans quelques sections.

Commençons d'abord par la « définition » suivante d'une limite.

Définition

Nous disons que la limite de (f(x)) est (L) lorsque (x) s'approche de (a) et l'écrivons comme

[mathop limits_ fgauche( x droit) = L]

à condition que l'on puisse rendre (f(x)) aussi proche de (L) que l'on veut pour tout (x) suffisamment proche de (a), des deux côtés, sans pour autant laisser (x ) être un).

Ce n'est pas la définition exacte et précise d'une limite. Si vous souhaitez voir la définition plus précise et mathématique d'une limite, vous devriez consulter la section La définition d'une limite à la fin de ce chapitre. La définition donnée ci-dessus est davantage une définition « de travail ». Cette définition nous aide à nous faire une idée de ce que sont les limites et de ce qu'elles peuvent nous dire sur les fonctions.

Alors, que signifie cette définition ? Eh bien, supposons que nous sachions que la limite existe bel et bien. Selon notre définition "de travail", nous pouvons alors décider à quelle distance de (L) nous aimerions faire (f(x)). Pour des raisons d'argument, supposons que nous voulions faire en sorte que (f(x)) ne soit pas à plus de 0,001 de (L). Cela signifie que nous voulons l'un des éléments suivants

Maintenant, selon la définition "de travail", cela signifie que si nous obtenons (x) suffisamment proche de (a), nous pouvons rendre l'une des réponses ci-dessus vraie. Cependant, cela en dit un peu plus. Il dit que quelque part dans le monde se trouve une valeur de (x), disons (X), de sorte que pour tous les (x) qui sont plus proches de (a) que de (X ) alors l'une des déclarations ci-dessus sera vraie.

C'est une idée assez importante. Il existe de nombreuses fonctions dans le monde que nous pouvons rendre aussi proches de (L) pour des valeurs spécifiques de (x) qui sont proches de (a), mais il y aura d'autres valeurs de (x ) plus proche de (a) qui donnent aux fonctions des valeurs qui sont loin d'être proches de (L). Pour qu'une limite existe une fois que nous obtenons (f(x)) aussi proche de (L) que nous le souhaitons pour certains (x), elle devra alors rester aussi proche de (L ) (ou se rapprocher) pour toutes les valeurs de (x) qui sont plus proches de (a). Nous en verrons un exemple plus loin dans cette section.

En termes un peu plus simples, la définition dit que lorsque (x) se rapproche de plus en plus de (x=a) (des deux côtés bien sûr…) alors (f(x)) doit se rapprocher de plus en plus de (L). Ou, en avançant vers (x=a) puis (f(x)) doit se diriger vers (L).

Il est important de noter encore une fois que nous devons regarder les valeurs de (x) qui sont des deux côtés de (x=a). Nous devons également noter que nous ne sommes pas autorisés à utiliser (x=a) dans la définition. Nous utiliserons souvent les informations que les limites nous donnent pour obtenir des informations sur ce qui se passe juste à (x=a), mais la limite elle-même n'est pas concernée par ce qui se passe réellement à (x=a) . La limite ne concerne que ce qui se passe autour du point (x=a). Il s'agit d'un concept important concernant les limites que nous devons garder à l'esprit.

Une autre notation que nous utiliserons occasionnellement pour désigner les limites est

Comment utilisons-nous cette définition pour nous aider à estimer les limites ? Nous faisons exactement ce que nous avons fait dans la section précédente. Nous prenons les (x) des deux côtés de (x=a) qui se rapprochent de plus en plus de (a) et nous les intégrons dans notre fonction. Nous cherchons ensuite à déterminer si nous pouvons déterminer vers quel nombre se dirigent les valeurs de la fonction et l'utiliser comme estimation.

Notez que nous avons dit estimer la valeur de la limite. Encore une fois, nous n'allons pas calculer directement les limites dans cette section. Le but de cette section est de nous donner une meilleure idée du fonctionnement des limites et de ce qu'elles peuvent nous dire sur la fonction.

Donc, dans cet esprit, nous allons travailler à peu près de la même manière que nous l'avons fait dans la dernière section. Nous allons choisir des valeurs de (x) qui se rapprochent de plus en plus de (x=2) et brancher ces valeurs dans la fonction. Cela donne le tableau de valeurs suivant.

(X) (f(x)) (X) (f(x))
2.5 3.4 1.5 5.0
2.1 3.857142857 1.9 4.157894737
2.01 3.985074627 1.99 4.015075377
2.001 3.998500750 1.999 4.001500750
2.0001 3.999850007 1.9999 4.000150008
2.00001 3.999985000 1.99999 4.000015000

Notez que nous nous sommes assurés et avons sélectionné les valeurs de (x) qui étaient des deux côtés de (x = 2) et que nous nous sommes rapprochés très près de (x = 2) pour nous assurer que toutes les tendances que nous pourraient voir sont en fait corrects.

Notez également que nous ne pouvons pas réellement brancher (x = 2) dans la fonction car cela nous donnerait une division par zéro erreur. Ce n'est pas un problème puisque la limite ne se soucie pas de ce qui se passe au point en question.

D'après ce tableau, il apparaît que la fonction passe à 4 lorsque (x) s'approche de 2, donc

Réfléchissons un peu plus à ce qui se passe ici. Représentons graphiquement la fonction du dernier exemple. Le graphique de la fonction dans la plage des (x) qui nous intéressait est présenté ci-dessous.

Tout d'abord, notez qu'il y a un point ouvert assez grand à (x = 2). Ceci est là pour nous rappeler que la fonction (et donc le graphe) n'existe pas en (x = 2).

Alors que nous inscrivions les valeurs de (x) dans la fonction, nous nous déplaçons en fait le long du graphique vers le point en tant que (x = 2). Ceci est montré dans le graphique par les deux flèches sur le graphique qui se déplacent vers le point.

Lorsque nous calculons des limites, la question que nous nous posons vraiment est de savoir quelle valeur (y) approche notre graphique lorsque nous nous dirigeons vers (x = a) sur notre graphique. Nous sommes NE PAS demander quelle valeur (y) le graphique prend au point en question. En d'autres termes, nous demandons ce que fait le graphique environ le point (x = a). Dans notre cas, nous pouvons voir que lorsque (x) se déplace vers 2 (des deux côtés), la fonction se rapproche de (y = 4) même si la fonction elle-même n'existe même pas à (x = 2 ). On peut donc dire que la limite est en fait de 4.

Alors, qu'avons-nous appris sur les limites ? Les limites demandent ce que fait la fonction environ (x = a) et sont ne pas concerné par ce que la fonction fait réellement à (x = a). C'est une bonne chose car la plupart des fonctions que nous examinerons n'existeront même pas à (x = a) comme nous l'avons vu dans notre dernier exemple.

Prenons un autre exemple pour enfoncer ce point.

La première chose à noter ici est qu'il s'agit exactement de la même fonction que le premier exemple à l'exception du fait que nous lui avons maintenant donné une valeur pour (x = 2). Alors, notons d'abord que

En ce qui concerne l'estimation de la valeur de cette limite, rien n'a changé par rapport au premier exemple. Nous pourrions construire une table de valeurs comme nous l'avons fait dans le premier exemple ou nous pourrions jeter un rapide coup d'œil au graphique de la fonction. L'une ou l'autre méthode nous donnera la valeur de la limite.

Jetons d'abord un coup d'œil à un tableau de valeurs et voyons ce que cela nous dit. Notez que la présence de la valeur de la fonction à (x = 2) ne changera pas nos choix pour (x). On ne choisit que les valeurs de (x) qui se rapprochent de (x = 2) mais on ne prend jamais (x = 2). En d'autres termes, la table de valeurs que nous avons utilisée dans le premier exemple sera exactement la même table que nous utiliserons ici. Donc, puisque nous l'avons déjà fait une fois, il n'y a aucune raison de le refaire ici.

D'après ce tableau, il est à nouveau clair que la limite est,

[mathop limits_ ggauche( x droit) = 4]

La limite est NE PAS 6 ! Rappelez-vous de la discussion après le premier exemple que les limites ne se soucient pas de ce que la fonction fait réellement au point en question. Les limites ne concernent que ce qui se passe environ le point. Étant donné que la seule chose que nous avons réellement modifiée à propos de la fonction était son comportement à (x = 2), cela ne changera pas la limite.

Jetons également un coup d'œil rapide au graphique de cette fonction pour voir si cela dit la même chose.

Encore une fois, nous pouvons voir que lorsque nous nous dirigeons vers (x = 2) sur notre graphique, la fonction s'approche toujours d'une valeur (y) de 4. Rappelez-vous que nous demandons seulement ce que la fonction fait environ (x = 2) et nous ne nous soucions pas de ce que la fonction fait réellement à (x = 2). Le graphique appuie alors également la conclusion que la limite est,

[mathop limits_ ggauche( x droit) = 4]

Faisons le point une fois de plus juste pour nous assurer que nous l'avons bien compris. Les limites sont ne pas concerné par ce qui se passe à (x = a). Les limites ne concernent que ce qui se passe environ (x = a). Nous ne cessons de le dire, mais c'est un concept très important concernant les limites que nous devons toujours garder à l'esprit. Nous profiterons donc de toutes les occasions pour nous rappeler cette idée.

Puisque les limites ne concernent pas ce qui se passe réellement à (x = a), nous verrons à l'occasion des situations comme l'exemple précédent où la limite en un point et la valeur de la fonction en un point sont différentes. Cela n'arrivera pas toujours bien sûr. Il y a des moments où la valeur de la fonction et la limite en un point sont les mêmes et nous finirons par en voir quelques exemples. Il est cependant important de ne pas s'emballer lorsque la fonction et la limite ne prennent pas la même valeur à un moment donné. Cela arrive parfois, nous devrons donc être en mesure de traiter ces cas lorsqu'ils se présenteront.

Jetons un coup d'œil à un autre exemple pour essayer de battre cette idée dans le sol.

Tout d'abord, ne vous enthousiasmez pas pour le ( heta) en fonction. C'est juste une lettre, tout comme (x) est une lettre ! C'est une lettre grecque, mais c'est une lettre et on vous demandera de traiter des lettres grecques à l'occasion, c'est donc une bonne idée de commencer à s'y habituer à ce stade.

Maintenant, notez également que si nous connectons ( heta =0), nous obtiendrons une division par zéro et donc la fonction n'existe pas à ce stade. En fait, nous obtenons 0/0 à ce stade, mais à cause de la division par zéro, cette fonction n'existe pas à ( heta =0).

Donc, comme nous l'avons fait dans le premier exemple, obtenons un tableau de valeurs et voyons si nous pouvons deviner vers quelle valeur la fonction se dirige.

( hêta ) (fgauche( heta ight)) ( hêta ) (fgauche( heta ight))
1 0.45969769 -1 -0.45969769
0.1 0.04995835 -0.1 -0.04995835
0.01 0.00499996 -0.01 -0.00499996
0.001 0.00049999 -0.001 -0.00049999

D'accord, il semble que la fonction se déplace vers une valeur de zéro alors que ( heta) se déplace vers 0, des deux côtés bien sûr.

Par conséquent, nous devinerons que la limite a la valeur,

Donc, encore une fois, la limite avait une valeur même si la fonction n'existait pas au point qui nous intéressait.

Il est maintenant temps de travailler quelques exemples supplémentaires qui nous mèneront à la prochaine idée sur les limites dont nous allons vouloir discuter.

Construisons un tableau de valeurs et voyons ce qui se passe avec notre fonction dans ce cas.

(t) (f(t)) (t) (f(t))
1 -1 -1 -1
0.1 1 -0.1 1
0.01 1 -0.01 1
0.001 1 -0.001 1

Maintenant, si nous devions deviner la limite à partir de ce tableau, nous supposerions que la limite est 1. Cependant, si nous faisions cette estimation, nous aurions tort. Considérez l'une des évaluations de fonction suivantes.

Dans ces trois évaluations de fonction, nous avons évalué la fonction à un nombre inférieur à 0,001 et obtenu trois nombres totalement différents. Rappelez-vous que la définition de la limite avec laquelle nous travaillons nécessite que la fonction approche d'une valeur unique (notre supposition) à mesure que (t) se rapproche de plus en plus du point en question. Cela ne dit pas que seules certaines des valeurs de la fonction doivent se rapprocher de la supposition. Il dit que toutes les valeurs de fonction doivent se rapprocher de plus en plus de notre estimation.

Pour voir ce qui se passe ici, un graphique de la fonction serait pratique.

À partir de ce graphique, nous pouvons voir que lorsque nous nous approchons de (t = 0), la fonction commence à osciller sauvagement et en fait, les oscillations augmentent en vitesse à mesure que nous nous rapprochons de (t = 0). Rappelez-vous de notre définition de la limite que pour qu'une limite existe, la fonction doit s'installer vers une valeur unique à mesure que nous nous rapprochons du point en question.

Cette fonction ne s'installe clairement pas vers un nombre unique et donc cette limite n'existe pas!

Ce dernier exemple montre l'inconvénient de ne choisir que les valeurs de la variable et d'utiliser une table de valeurs de fonction pour estimer la valeur d'une limite. Les valeurs de la variable que nous avons choisies dans l'exemple précédent étaient valides et étaient en fait probablement des valeurs que beaucoup auraient choisies. En fait, c'étaient exactement les mêmes valeurs que nous utilisions dans le problème avant celui-ci et elles fonctionnaient dans ce problème !

Lorsque vous utilisez une table de valeurs, il y aura toujours la possibilité que nous ne choisissions pas les valeurs correctes et que nous devinions incorrectement notre limite. C'est quelque chose que nous devons toujours garder à l'esprit lorsque nous faisons cela pour deviner la valeur des limites. En fait, c'est un tel problème qu'après cette section, nous n'utiliserons plus jamais une table de valeurs pour deviner à nouveau la valeur d'une limite.

Ce dernier exemple nous a également montré que les limites ne doivent pas exister. À ce stade, nous n'avons vu que des limites qui existaient, mais cela ne doit pas toujours être le cas.

Jetons un coup d'œil à un autre exemple dans cette section.

Cette fonction est souvent appelée soit la Heaviside ou alors marcher une fonction. Nous pourrions utiliser un tableau de valeurs pour estimer la limite, mais il est probablement tout aussi rapide dans ce cas d'utiliser le graphique, alors faisons-le. Ci-dessous le graphique de cette fonction.

Nous pouvons voir sur le graphique que si nous approchons de (t = 0) du côté droit, la fonction se déplace vers une valeur (y) de 1. Eh bien, en fait, elle reste juste à 1, mais dans la terminologie qui nous avons utilisé dans cette section, il se dirige vers 1…

De plus, si nous nous déplaçons vers (t = 0) à partir de la gauche, la fonction se déplace vers une valeur (y) de 0.

Selon notre définition de la limite, la fonction doit se déplacer vers une valeur unique lorsque nous nous dirigeons vers (t = a) (des deux côtés). Cela ne se produit pas dans ce cas et donc dans cet exemple, nous dirons également que la limite n'existe pas.

Notez que la limite dans cet exemple est un peu différente de l'exemple précédent. Dans l'exemple précédent, la fonction ne s'est pas fixée à un seul nombre lorsque nous nous sommes rapprochés de (t = 0). Dans cet exemple cependant, la fonction s'installe sur un seul nombre comme (t = 0) de chaque côté. Le problème est que le nombre est différent de chaque côté de (t = 0). C'est une idée que nous examinerons un peu plus en détail dans la section suivante.

Résumons ce que nous avons (espérons-le) appris dans cette section. Dans les trois premiers exemples, nous avons vu que les limites ne se soucient pas de ce que la fonction fait réellement au point en question. Ils ne sont concernés que par ce qui se passe autour du point. En fait, nous pouvons avoir des limites à (x = a) même si la fonction elle-même n'existe pas à ce point. De même, même si une fonction existe en un point, il n'y a aucune raison (à ce point) de penser que la limite aura la même valeur que la fonction en ce point. Parfois, la limite et la fonction auront la même valeur à un moment donné et d'autres fois, elles n'auront pas la même valeur.

Ensuite, dans les troisième et quatrième exemples, nous avons vu la principale raison de ne pas utiliser une table de valeurs pour deviner la valeur d'une limite. In those examples we used exactly the same set of values, however they only worked in one of the examples. Using tables of values to guess the value of limits is simply not a good way to get the value of a limit. This is the only section in which we will do this. Tables of values should always be your last choice in finding values of limits.

The last two examples showed us that not all limits will in fact exist. We should not get locked into the idea that limits will always exist. In most calculus courses we work with limits that almost always exist and so it’s easy to start thinking that limits always exist. Limits don’t always exist and so don’t get into the habit of assuming that they will.

Finally, we saw in the fourth example that the only way to deal with the limit was to graph the function. Sometimes this is the only way, however this example also illustrated the drawback of using graphs. In order to use a graph to guess the value of the limit you need to be able to actually sketch the graph. For many functions this is not that easy to do.

There is another drawback in using graphs. Even if you have the graph it’s only going to be useful if the (y) value is approaching an integer. If the (y) value is approaching say (frac<< - 15>><<123>>) there is no way that you’re going to be able to guess that value from the graph and we are usually going to want exact values for our limits.

So, while graphs of functions can, on occasion, make your life easier in guessing values of limits they are again probably not the best way to get values of limits. They are only going to be useful if you can get your hands on it and the value of the limit is a “nice” number.

The natural question then is why did we even talk about using tables and/or graphs to estimate limits if they aren’t the best way. There were a couple of reasons.

First, they can help us get a better understanding of what limits are and what they can tell us. If we don’t do at least a couple of limits in this way we might not get all that good of an idea on just what limits are.

The second reason for doing limits in this way is to point out their drawback so that we aren’t tempted to use them all the time!

We will eventually talk about how we really do limits. However, there is one more topic that we need to discuss before doing that. Since this section has already gone on for a while we will talk about this in the next section.


2.1: The Idea of Limits - Mathematics

The topic that we will be examining in this chapter is that of Limits. This is the first of three major topics that we will be covering in this course. While we will be spending the least amount of time on limits in comparison to the other two topics limits are very important in the study of Calculus. We will be seeing limits in a variety of places once we move out of this chapter. In particular we will see that limits are part of the formal definition of the other two major topics.

Here is a list of topics that are in this chapter.

Tangent Lines and Rates of Change –In this section we will introduce two problems that we will see time and again in this course : Rate of Change of a function and Tangent Lines to functions. Both of these problems will be used to introduce the concept of limits, although we won't formally give the definition or notation until the next section.

The Limit – In this section we will introduce the notation of the limit. We will also take a conceptual look at limits and try to get a grasp on just what they are and what they can tell us. We will be estimating the value of limits in this section to help us understand what they tell us. We will actually start computing limits in a couple of sections.

One-Sided Limits – In this section we will introduce the concept of one-sided limits. We will discuss the differences between one-sided limits and limits as well as how they are related to each other.

Limit Properties – In this section we will discuss the properties of limits that we’ll need to use in computing limits (as opposed to estimating them as we've done to this point). We will also compute a couple of basic limits in this section.

Computing Limits – In this section we will looks at several types of limits that require some work before we can use the limit properties to compute them. We will also look at computing limits of piecewise functions and use of the Squeeze Theorem to compute some limits.

Infinite Limits – In this section we will look at limits that have a value of infinity or negative infinity. We’ll also take a brief look at vertical asymptotes.

Limits At Infinity, Part I – In this section we will start looking at limits at infinity, c'est à dire. limits in which the variable gets very large in either the positive or negative sense. We will concentrate on polynomials and rational expressions in this section. We’ll also take a brief look at horizontal asymptotes.

Limits At Infinity, Part II – In this section we will continue covering limits at infinity. We’ll be looking at exponentials, logarithms and inverse tangents in this section.

Continuity – In this section we will introduce the concept of continuity and how it relates to limits. We will also see the Intermediate Value Theorem in this section and how it can be used to determine if functions have solutions in a given interval.

The Definition of the Limit – In this section we will give a precise definition of several of the limits covered in this section. We will work several basic examples illustrating how to use this precise definition to compute a limit. We’ll also give a precise definition of continuity.


Definitions of limits and related concepts Edit

Operations on a single known limit Edit

  • lim x → c [ f ( x ) ± a ] = L ± a ,[f(x)pm a]=Lpm a>
  • lim x → c a f ( x ) = a L ,af(x)=aL>[1][2][3]
  • lim x → c 1 f ( x ) = 1 L >=>>[4] if L is not equal to 0.
  • lim x → c f ( x ) n = L n ,f(x)^=L^> if m is a positive integer [1][2][3]
  • lim x → c f ( x ) 1 n = L 1 n ,f(x)^<1 over n>=L^<1 over n>> if m is a positive integer, and if m is even, then L > 0. [1][3]

In general, if g(X) is continuous at L and lim x → c f ( x ) = L f(x)=L> then


LIMITS

C ENTRAL TO CALCULUS is the value of the slope of a line, , but when the terms approach . Evaluating that rate of change under those vanishing conditions requires the idea of a limit . And central to the idea of a limit is the idea of a sequence of rational numbers.

A sequence of rational numbers

We encounter such a sequence in geometry when we determine a formula for the area of a circle. To do that, we inscribe in the circle a regular polygon of n sides. The area of the polygon, which we can actually calculate, will be an approximation to the area of the circle. As we increase the number of sides -- that is, if we consider a sequence of polygons: 60 sides, 61 sides, 62, 63, 64, and so on -- then the sequence of those areas becomes closer and closer to the area of the circle. Now, the circle is never equal to a polygon. But by considering a sufficiently large number of sides, the difference between the circle and that polygon will be less than any small number we specify. Less, say, than

That is the idea of a sequence approaching a limit , or a boundary, which in this example is the area of the circle.

Problem 1. The student surely can recognize the number that is the limit of this sequence of rational numbers.

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, . . .

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").

We speak of a sequence being infinite, which, in analogy with the sequence of natural numbers, is a brief way of saying that, because of a rule or a pattern or a procedure, there is no limit to the number of terms we coulld name.

The limit of a variable

Consider this sequence of values of a variable x :

Now, no member of that sequence will every equal 2. We say, however, that those values are approaching 2 as their "limit." Pourquoi? Because 2 is the smallest number such that no matter which term of the sequence we name, it will be less than 2.

In other words, it will be possible to name a term of that sequence such that the absolute value of the difference between that term and 2 --

-- will be less that any positive number we name, however small. (Definition 2.1, below.)

(We write the absolute value because the terms are less than 2, and so the difference itself will be negative.)

When the values of x approach a number l as a limit, we symbolize that as x l . Read: "The values of x approach l as a limit," or simply, " x approaches l ." In the example above, x 2. " x approaches 2."

(How else would x "approach" a value, other than as a sequence of rational numbers?)

We also say that a sequence converges to a limit. The sequence above converges to 2.

By a sequence in what follows, we mean an ordering of rational numbers according to a rule or an indicated pattern. Here, for example, is a sequence that approaches 0:

0 . 1, 0 . 01, 0 . 001, 0 . 0001, 0 . 00001, and so on.

Left-hand and right-hand limits

Now the sequence we chose were values less than 2:

And so we say that x approaches 2 from the left. We write

But we can easily construct a sequence of values of x that converges to 2 from the right that is, a sequence of values that are more than 2.
Par example,

2.2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001, . . .

In this case, we write x 2+ .

But again, no matter what small number we specify, if we go far enough out in that sequence, the value of | x &minus 2| will be less than that small number. And so will all subsequent differences we might name.

Again, when we say that the values of x "approach a limit," that limit -- that number -- is never a value of x . There is always a difference between the values of x and their limit. The limit is the boundary beyond which no member of the sequence will pass.

We summarize this in the following definition. But first, x is not the only variable. y is a variable. And y will be a function of x -- f ( x ) -- which is also a variable. And when we come to the definition of the derivative, &Delta x or h will be the variable. In the following, then, we will use the letter v to represent any variable.

D EFINITION 2.1. The limit of a variable . We say that a sequence of values of a variable v approaches a number l as a limit (a number not a term in the sequence), if, beginning with a certain term vm, and for any subsequent term we might name, the absolute value of vm &minus l is less than any positive number we name, however small.

When that condition is satisfied, we write v l .

And so when the values of a variable approach a limit, there is always a difference between the limit and those values. But that difference can be made as small as we please. That is the essence of a variable approaching a limit.

If &Delta x is the variable that approaches the limit 0 (as it does when we determine the derivative), then &Delta x is never equal to 0.

The limit of a function of a variable

We have defined the limit of a variable, but what we often have is a function of a variable -- which is itself a variable. Par example,

Now, a sequence of values of x , the independent variable, will cause a sequence of values of f ( x ), the dependent variable. The question is: As the values of x approach a limit c , will the corresponding values of f ( x ) approach a limit L ? If that is the case, then we write

"The limit of f ( x ) as x approaches c is L ."

In fact, let us see what happens to f ( x ) = x 2 as x 2&minus. Suppose again that x assumes this sequence:

x 2 will then become this sequence:

1.9 2 , 1.99 2 , 1.999 2 , 1.9999 2 , 1.99999 2 , . . .

It is easy to see that x 2 approaches 2 2 = 4.

That is, if we go far enough out in the sequence of values of x , then the differences between the x 2 s and 4 --

|1.9 2 &minus 4|, |1.99 2 &minus 4|, |1.999 2 &minus 4|, |1.9999 2 &minus 4|, |1.99999 2 &minus 4|, . . .

-- will become less than any positive number we specify, however small. The definition of the limit of a variable will be satisfied. f ( x ) = x 2 will approach 4 as a limit as x approaches 2.

Moreover, if x approaches 2 from the right:

2.2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001, . . .

then those values cause x 2 to become this sequence:

2.2 2 , 2.1 2 , 2.01 2 , 2.001 2 , 2.0001 2 , . . .

That sequence also will approach 4. Therefore, the limit of x 2 as x approaches 2 both from the right and from the left is the same number. Therefore we can drop the + or &minus signs and simply write:

D EFINITION 2.2. The limit of a function of a variable.

We say that a function f(x) approaches a limit L as x approaches c if the sequence of values of x, both from the left and from the right, causes the sequence of values of f(x) to satisfy the definition of "approaches a limit": Definition 2.1.

If that is the case, then we write:

"The limit of f ( x ) as x approaches c is L ."

Thus for the limit of a function to exist as the independent variable approaches c , the left-hand and right-hand limits -- those numbers -- must be equal.

When we say, then, that a function approaches a limit, we mean that Definition 2.2 has been satisfied. The theorems on limits imply that.

existing as x approaches l , becomes the definition of the function being continuous at l if L is equal to f ( ). (Definition 3.)

The most important limit -- the limit that differential calculus is about -- is called the derivative. All the other limits studied in Calculus I are logical fun and games, never to be heard from again.

Now here is an example of a function that does not approach a limit:

As x approaches 2 from the left, f ( x ) approaches 1. As x approaches 2 from the right, f ( x ) approaches 3. The left- and right-hand limits are not equal. Therefore, f ( x ) does not approach any limit as x approaches 2. Definition 2.2,

In Topic 3 we will see that f ( x ) is not continuous at x = 2.

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Another common situation when limits do not exist involves the function "blowing up" to ∞ infty ∞ or − ∞ . -infty. − ∞ . The graph is characterized by a vertical asymptote at x = 0 : x=0: x = 0 :

The one-sided limits of f ( x ) = 1 x f(x) = frac1x f ( x ) = x 1 ​ at x = 0 x=0 x = 0 do not exist. [2]

This is the standard notation that has the benefit of being more specific about the way in which these limits fail to exist. For the formal definitions, see the infinite limits section.


2.1: The Idea of Limits - Mathematics

Question: I was thinking the other day when i was in math class that when you divide 1 by say n you'll get 1/n. As the value of n increases the smaller the number you get. So if you divide 1/infinity would that equal zero? And if that is true then would 1/0=infinity be true also?

As the value of n increases the closer 1/n gets to zero.

is correct and is a very important idea but I don't like writing 1/infinity. The arithmetic operations apply to numbers and infinity is not a number so I don't like the idea of trying to divide by something that is not a number. Nevertheless I would like a more mathematical way to say

As the value of n increases the closer 1/n gets to zero.

To do this mathematicians use the idea of a limit, which is the fundamental concept of calculus, and say that the limit of 1/n as n approaches infinity is zero, and write this statement

If you apply the same idea to try to evaluate 1/0, that is you ask

As the value of n gets close to zero what happens to the value of 1/n?

I am thinking of n as a positive number. If you try this you realize that as n gets close to zero, 1/n gets larger and larger and doesn't approach any finite value so I might say

The limit of 1/n as n approaches zero is infinity.

or what I prefer to say is that

The limit of 1/n as n approaches zero does not exist.

As n approaches zero, 1/n just doesn't approach any numeric value.

You can find another approach to attempting to evaluate 1/0 in the answer to a previous question.


2.2 The Limit of a Function

The concept of a limit or limiting process, essential to the understanding of calculus, has been around for thousands of years. In fact, early mathematicians used a limiting process to obtain better and better approximations of areas of circles. Yet, the formal definition of a limit—as we know and understand it today—did not appear until the late 19th century. We therefore begin our quest to understand limits, as our mathematical ancestors did, by using an intuitive approach. At the end of this chapter, armed with a conceptual understanding of limits, we examine the formal definition of a limit.

We begin our exploration of limits by taking a look at the graphs of the functions

which are shown in Figure 2.12. In particular, let’s focus our attention on the behavior of each graph at and around x = 2 . x = 2 .

Intuitive Definition of a Limit

From this very brief informal look at one limit, let’s start to develop an intuitive definition of the limit . We can think of the limit of a function at a number une as being the one real number L that the functional values approach as the X-values approach a, provided such a real number L exists. Stated more carefully, we have the following definition:

Définition

We can estimate limits by constructing tables of functional values and by looking at their graphs. This process is described in the following Problem-Solving Strategy.

Problem-Solving Strategy

Problem-Solving Strategy: Evaluating a Limit Using a Table of Functional Values

We apply this Problem-Solving Strategy to compute a limit in Example 2.4.


Using the letters we talked about above:

So we want to know how we go from:

Step 1: Play around till you find a formula that might work

So we can now guess that δ = ε /2 might work

Step 2: Test to see if that formula works.

So, can we get from 0<|x−3|< δ à |(2x+4)−10|< ε . ?

Yes! We can go from 0<|x−3|< δ à |(2x+4)−10|< ε by choosing δ = ε /2

We have seen then that given ε we can find a δ , so it is true that:

For any ε , there is a δ so that |f(x)−L|< ε when 0<|x−a|< δ


Voir la vidéo: Funktion raja arvo e1 (Octobre 2021).