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8 : Plus de fonctions - Mathématiques


Vignette : Fonctions périodiques. (CC BY-NC-SA ; OpenStax)


Fonctions plus compliquées : introduction aux fonctions linéaires

Cette leçon est conçue pour présenter aux étudiants l'idée de fonctions composées de deux opérations, avec une attention particulière aux fonctions linéaires et à leurs représentations sous forme de règles et de tableaux de données, y compris les notions mathématiques de variables indépendantes et dépendantes.

Cette leçon suppose que l'étudiant est déjà familiarisé avec le contenu de la leçon d'introduction aux fonctions. Ces activités peuvent être réalisées individuellement ou en équipe de quatre élèves maximum. Prévoyez 2-3 heures de cours pour toute la leçon si toutes les parties sont faites en classe.

Objectifs

  • ont été initiés aux fonctions
  • avoir appris la terminologie utilisée avec les fonctions linéaires
  • se sont entraînés à décrire des fonctions linéaires dans des phrases en anglais, des tableaux de données et avec des expressions algébriques simples

Normes abordées :

  • Fonctions et relations
    • L'élève démontre une compréhension conceptuelle des fonctions, des modèles ou des séquences, y compris ceux représentés dans des situations du monde réel.
    • L'élève fait preuve de raisonnement algébrique.
    • Fonctions et relations
      • L'élève démontre une compréhension conceptuelle des fonctions, des modèles ou des séquences.
      • L'élève fait preuve de raisonnement algébrique.
      • Fonctions et relations
        • L'élève démontre une compréhension conceptuelle des fonctions, des modèles ou des séquences, y compris ceux représentés dans des situations du monde réel.
        • L'élève fait preuve de raisonnement algébrique.
        • Fonctions et relations
          • L'élève démontre une compréhension conceptuelle des fonctions, des modèles ou des séquences, y compris ceux représentés dans des situations du monde réel.
          • L'élève fait preuve de raisonnement algébrique.
          • Fonctions et relations
            • L'élève démontre une compréhension conceptuelle des fonctions, des modèles ou des séquences, y compris ceux représentés dans des situations du monde réel.
            • L'élève fait preuve de raisonnement algébrique.
            • Expressions et équations
              • Comprendre les liens entre les relations proportionnelles, les lignes et les équations linéaires.
              • Analyser et résoudre des équations linéaires et des paires d'équations linéaires simultanées.
              • Définir, évaluer et comparer des fonctions.
              • Utilisez des fonctions pour modéliser les relations entre les quantités.
              • Fonctions de construction
                • Construire une fonction qui modélise une relation entre deux quantités
                • Construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes
                • Comprendre le concept d'une fonction et utiliser la notation de fonction
                • Interpréter les fonctions qui surviennent dans les applications en fonction du contexte
                • Analyser des fonctions à l'aide de différentes représentations
                • Construire et comparer des modèles linéaires, quadratiques et exponentiels et résoudre des problèmes
                • Interpréter les expressions des fonctions en fonction de la situation qu'elles modélisent
                • Algèbre
                  • Représenter et analyser des situations et des structures mathématiques à l'aide de symboles algébriques
                  • Comprendre les modèles, les relations et les fonctions
                  • Algèbre
                    • Représenter et analyser des situations et des structures mathématiques à l'aide de symboles algébriques
                    • Comprendre les modèles, les relations et les fonctions
                    • Utiliser des modèles mathématiques pour représenter et comprendre les relations quantitatives
                    • Algèbre
                      • Objectif de compétence 4 : L'apprenant utilisera des relations et des fonctions pour résoudre des problèmes.
                      • Algèbre
                        • Objectif de compétence 4 : L'apprenant utilisera des relations et des fonctions pour résoudre des problèmes.
                        • Nombre et opérations, mesure, géométrie, analyse de données et probabilités, algèbre
                          • OBJECTIF DE COMPÉTENCE 5 : L'apprenant démontrera une compréhension des relations linéaires et des concepts algébriques fondamentaux.
                          • Nombre et opérations, mesure, géométrie, analyse de données et probabilités, algèbre
                            • OBJECTIF DE COMPÉTENCE 5 : L'apprenant comprendra et utilisera des relations et des fonctions linéaires.
                            • Algèbre
                              • OBJECTIF DE COMPÉTENCE 4 : L'apprenant comprendra et utilisera des relations et des fonctions linéaires.
                              • OBJECTIF DE COMPÉTENCE 5 : L'apprenant comprendra et utilisera des relations et des fonctions linéaires.
                              • Algèbre
                                • L'étudiant démontrera à travers les processus mathématiques une compréhension de l'écriture, de l'interprétation et de l'utilisation d'expressions mathématiques, d'équations et d'inéquations.
                                • Algèbre
                                  • L'étudiant démontrera à travers les processus mathématiques une compréhension des équations, des inégalités et des fonctions linéaires.
                                  • Algèbre élémentaire
                                    • Norme EA-1 : L'étudiant comprendra et utilisera les processus mathématiques de résolution de problèmes, de raisonnement et de preuve, de communication, de connexions et de représentation.
                                    • Norme EA-2 : L'étudiant démontrera à travers les processus mathématiques une compréhension du système de nombres réels et des opérations impliquant des exposants, des matrices et des expressions algébriques.
                                    • Norme EA-4 : L'étudiant démontrera à travers les processus mathématiques une compréhension des procédures d'écriture et de résolution d'équations et d'inéquations linéaires.
                                    • Norme EA-5 : L'étudiant démontrera à travers les processus mathématiques une compréhension des graphiques et des caractéristiques des équations linéaires et des inégalités.
                                    • Probabilités et statistiques
                                      • 7.17 L'élève, face à une situation problématique, recueillera, analysera, affichera et interprétera des données à l'aide d'une variété de méthodes graphiques, y compris les distributions de fréquences, les tracés de lignes, les histogrammes, les tracés à tiges et à feuilles, les diagrammes à moustaches et à moustaches et les diagrammes de dispersion.
                                      • 7.17 L'étudiant, face à une situation problématique, collectera, analysera, affichera et interprétera des données, en utilisant une variété de méthodes graphiques, y compris
                                      • Algèbre II
                                        • AII.09 L'étudiant trouvera le domaine, l'intervalle, les zéros et l'inverse d'une fonction la valeur d'une fonction pour un élément donné dans son domaine et la composition de plusieurs fonctions. Les fonctions incluront les fonctions exponentielles, logarithmiques et celles dont les domaines et les plages sont limités et/ou discontinus. La calculatrice graphique sera utilisée comme un outil d'aide à l'investigation des fonctions.
                                        • AII.12 L'élève représentera des situations-problèmes avec un système d'équations linéaires et résoudra le système en utilisant la méthode de la matrice inverse. Des calculatrices graphiques ou des programmes informatiques avec capacité matricielle seront utilisés pour effectuer des calculs.
                                        • AII.13 L'étudiant résoudra des problèmes pratiques, en utilisant des systèmes d'inéquations linéaires et de programmation linéaire, et en décrira les résultats tant à l'oral qu'à l'écrit. Une calculatrice graphique sera utilisée pour faciliter les solutions aux problèmes de programmation linéaire.
                                        • AII.9
                                        • AII.12
                                        • AII.13

                                        Prérequis des étudiants

                                        • Arithmétique: L'étudiant doit être capable de :
                                          • effectuer des calculs entiers et fractionnaires
                                          • effectuer des manipulations de souris de base telles que pointer, cliquer et faire glisser
                                          • utiliser un navigateur pour expérimenter les activités
                                          • travailler avec des fonctions simples ayant une seule opération

                                          Préparation des enseignants

                                          • Accès à un navigateur
                                          • crayon et papier
                                          • Copies des documents supplémentaires pour les activités :
                                            • Questions d'exploration de la machine à fonction linéaire

                                            Mots clés

                                            intercepterVoir à l'origine x ou à l'origine y
                                            fonction linéaireUne fonction de la forme f(x) = mx + b où m et b sont des nombres fixes. Les noms "m" et "b" sont traditionnels. Les fonctions de ce genre sont dites "linéaires" car leurs graphiques sont des droites
                                            pente d'une fonction linéaireLa pente de la ligne y = mx + b est la vitesse à laquelle y change par unité de variation de x. Les unités de mesure de la pente sont des unités de y par unité de x (cf. Discussion sur les fonctions linéaires).

                                            Plan de la leçon

                                            Rappelez aux élèves ce qui a été appris dans les leçons précédentes qui sera pertinent pour cette leçon et/ou demandez-leur de commencer à réfléchir aux mots et aux idées de cette leçon.

                                            • Qui se souvient de ce qu'est une fonction ?
                                            • Quelqu'un peut-il me donner un exemple de fonction ?
                                            • Quelqu'un peut-il me donner un exemple de quelque chose qui n'est pas une fonction ?

                                            Faites savoir aux élèves ce qu'ils vont faire et apprendre aujourd'hui. Dites quelque chose comme ceci :

                                            • Aujourd'hui, classe, nous allons en apprendre davantage sur les fonctions. Nous allons utiliser les ordinateurs pour en savoir plus sur les fonctions, mais s'il vous plaît, n'allumez pas vos ordinateurs avant que je vous le demande.
                                            • Je veux d'abord vous montrer un peu cette activité.
                                            • Demandez aux élèves de s'exercer à « pomper » quelques-unes de ces fonctions plus compliquées à la main en remplissant quelques tableaux. Donnez-leur des fonctions en anglais, certaines sous forme de tableaux et d'autres sous forme d'algèbre. Demandez-leur d'écrire les fonctions dans toutes les formes. Par example:
                                              1. Trouvez la fonction qui ajoute un puis multiplie le résultat par 2
                                              2. y = 4 - x/2
                                              3. X-2-1012
                                                oui-7-4-125
                                                Noter: La règle de fonction pour ces fonctions plus compliquées peut être beaucoup plus difficile à deviner à partir de la seule table de données.
                                            • Animer une discussion sur les fonctions de la forme spéciale y = ___ * x + ___ .
                                            • Demandez aux élèves de mettre en pratique leurs compétences en fonction linéaire en utilisant la machine à fonction linéaire . Assurez-vous que les élèves notent le nombre de nombres qu'ils doivent examiner avant de deviner correctement la structure de la fonction. Demandez-leur d'écrire les fonctions avec lesquelles ils ont travaillé de trois manières :
                                              • Phrase en anglais
                                              • Tableau des valeurs
                                              • Règle algébrique
                                              • Vous voudrez peut-être réunir la classe pour une discussion sur les résultats. Une fois que les élèves ont été autorisés à partager ce qu'ils ont trouvé, résumez les résultats de la leçon.

                                              Contour alternatif

                                              • Omettez les informations sur les fonctions plus compliquées, en discutant uniquement des fonctions de la forme y = mx + b.
                                              • Ajoutez un concours « nommer cette fonction » (sur le modèle de cette mélodie) dans lequel des équipes d'étudiants s'affrontent pour comprendre la fonction. Voici un ensemble de règles possibles pour un tel jeu :
                                                • Montrez deux paires d'entrées/sorties aux deux équipes - deux étudiants dans une équipe fonctionnent très bien.
                                                • Demandez à chaque équipe d'indiquer combien de paires supplémentaires elle pense qu'elle aurait besoin de voir pour « nommer cette fonction ». L'équipe qui réclame le moins de paires nécessaires commence en premier.
                                                • Si une équipe se trompe, l'autre équipe peut essayer, après avoir vu une autre paire. Les équipes alternent les tours jusqu'à ce que l'on devine correctement.

                                                Suivi suggéré

                                                Après ces discussions et activités, les élèves auront une compréhension intuitive des fonctions et auront vu de nombreux exemples de fonctions linéaires. La prochaine leçon Représentation graphique et plan de coordonnées initiera les élèves au traçage de points sur le plan de coordonnées.


                                                2. Notation de fonction

                                                Notation de fonction vous indique que l'équation avec laquelle vous travaillez correspond à la définition d'une fonction.
                                                La notation de fonction la plus courante que vous verrez est f(x), qui est lue à haute voix comme “f de x”.

                                                Le “f(x)” est utilisé à la place du “y” dans une formule Ils signifient exactement la même chose. Par exemple, au lieu du plus familier y = 2x, vous verrez f(x) = 2x. Il n'y a aucune différence entre les deux formules, autre que la notation différente.

                                                N'importe quelle lettre peut être utilisé à la place de f (voir les noms de fonction ci-dessous). Par example:


                                                8 : Plus de fonctions - Mathématiques


                                                Assistance à la demande

                                                800-863-3496, opt. 1, opt. 1
                                                Lun-Ven 6:00-22:00
                                                Ou envoyez-nous un e-mail : [email protected]

                                                Ressources

                                                Information additionnelle


                                                Services techniques

                                                Bureau de la sécurité de l'UEN
                                                801-585-9888

                                                Centre de soutien des services techniques (TSSC)
                                                800-863-3496
                                                Répertoire personnel

                                                Projets

                                                Groupes de réseau

                                                Outils réseau

                                                Informations

                                                Centre de diffusion Eccles
                                                101, promenade Wasatch
                                                Salt Lake City, UT 84112

                                                (800) 866-5852
                                                (801) 585-6105 (télécopieur)

                                                Gouvernance de l'UEN

                                                Administration
                                                (801) 585-6013
                                                Organigramme

                                                Services d'enseignement
                                                (800) 866-5852
                                                Organigramme

                                                Services techniques
                                                (800) 863-3496
                                                Organigramme

                                                (1) Les élèves utilisent des équations linéaires et des systèmes d'équations linéaires pour représenter, analyser et résoudre divers problèmes. Les élèves reconnaissent les équations des proportions (oui/X = m ou alors oui = mx) sous forme d'équations linéaires spéciales (oui = mx + b), sachant que la constante de proportionnalité (m) est la pente et les graphiques sont des lignes passant par l'origine. Ils comprennent que la pente (m) d'une ligne est un taux de variation constant, de sorte que si l'entrée ou X-coordonner les changements par un montant UNE, la sortie ou oui-coordonner les changements par le montant m&moyenA. Les élèves utilisent également une équation linéaire pour décrire l'association entre deux quantités dans des données bivariées (comme l'envergure des bras par rapport à la taille pour les élèves dans une salle de classe). À ce niveau, l'ajustement du modèle et l'évaluation de son ajustement aux données sont effectués de manière informelle. Pour interpréter le modèle dans le contexte des données, les élèves doivent exprimer une relation entre les deux quantités en question et interpréter les composantes de la relation (comme la pente et oui-interception) en fonction de la situation.

                                                Les élèves choisissent stratégiquement et mettent en œuvre efficacement des procédures pour résoudre des équations linéaires à une variable, comprenant que lorsqu'ils utilisent les propriétés d'égalité et le concept d'équivalence logique, ils conservent les solutions de l'équation d'origine. Les élèves résolvent des systèmes de deux équations linéaires à deux variables et relient les systèmes à des paires de droites dans le plan qu'elles se coupent, sont parallèles ou forment la même droite. Les élèves utilisent des équations linéaires, des systèmes d'équations linéaires, des fonctions linéaires et leur compréhension de la pente d'une ligne pour analyser des situations et résoudre des problèmes.

                                                (2) Les élèves saisissent le concept d'une fonction comme une règle qui attribue à chaque entrée exactement une sortie. Ils comprennent que les fonctions décrivent des situations où une quantité en détermine une autre. Ils peuvent se traduire par des représentations et des représentations partielles de fonctions (en notant que les représentations tabulaires et graphiques peuvent être des représentations partielles), et ils décrivent comment les aspects de la fonction sont reflétés dans les différentes représentations.

                                                (3) Les élèves utilisent des idées sur la distance et les angles, leur comportement lors de translations, rotations, réflexions et dilatations, et des idées sur la congruence et la similitude pour décrire et analyser des figures bidimensionnelles et résoudre des problèmes. Les élèves montrent que la somme des angles d'un triangle est l'angle formé par une droite et que diverses configurations de droites donnent naissance à des triangles semblables à cause des angles créés lorsqu'une transversale coupe des droites parallèles. Les élèves comprennent l'énoncé du théorème de Pythagore et sa réciproque, et peuvent expliquer pourquoi le théorème de Pythagore tient, par exemple, en décomposant un carré de deux manières différentes. Ils appliquent le théorème de Pythagore pour trouver des distances entre des points sur le plan de coordonnées, pour trouver des longueurs et pour analyser des polygones. Les élèves complètent leur travail sur le volume en résolvant des problèmes impliquant des cônes, des cylindres et des sphères.

                                                Normes fondamentales du cours

                                                Volet : PRATIQUES MATHÉMATIQUES (8.MP)
                                                Les Normes pour la pratique mathématique en huitième année décrivent les habitudes mathématiques de l'esprit que les enseignants devraient chercher à développer chez leurs élèves. Les élèves acquièrent des compétences mathématiques pour s'engager dans le contenu et les concepts mathématiques au fur et à mesure qu'ils apprennent, expérimentent et appliquent ces compétences et attitudes (normes 8.MP.1 8) .

                                                Norme 8.MP.1
                                                Donner un sens aux problèmes et persévérer dans leur résolution. Expliquez la signification d'un problème et recherchez des points d'entrée pour sa solution. Analyser les données, les contraintes, les relations et les objectifs. Faites des conjectures sur la forme et la signification de la solution, planifiez une voie de solution et surveillez continuellement les progrès en vous demandant : « Est-ce que cela a du sens ? » Examinez des problèmes analogues, établissez des liens entre plusieurs représentations, identifiez la correspondance entre différentes approches, recherchez des tendances et transformez des expressions algébriques pour mettre en évidence des mathématiques significatives. Vérifiez les réponses aux problèmes en utilisant une méthode différente.

                                                Norme 8.MP.2
                                                Raisonner de manière abstraite et quantitative. Donner un sens aux quantités et à leurs relations dans les situations problématiques. Traduire entre le contexte et les représentations algébriques en contextualisant et décontextualisant les relations quantitatives. Cela inclut la capacité de décontextualiser une situation donnée, de la représenter algébriquement et de manipuler couramment les symboles ainsi que la capacité de contextualiser les représentations algébriques pour donner un sens au problème.

                                                Norme 8.MP.3
                                                Construire des arguments viables et critiquer le raisonnement des autres. Comprendre et utiliser les hypothèses énoncées, les définitions et les résultats précédemment établis dans la construction d'arguments. Faites des conjectures et construisez une progression logique d'énoncés pour explorer la vérité de leurs conjectures. Justifier les conclusions et les communiquer aux autres. Répondez aux arguments des autres en écoutant, en posant des questions de clarification et en critiquant le raisonnement des autres.

                                                Norme 8.MP.4
                                                Modèle avec les mathématiques. Appliquer les mathématiques pour résoudre des problèmes survenant dans la vie quotidienne, la société et le lieu de travail. Faire des hypothèses et des approximations, en identifiant des quantités importantes pour construire un modèle mathématique. Interprétez régulièrement les résultats mathématiques dans le contexte de la situation et réfléchissez à leur pertinence, en améliorant éventuellement le modèle s'il n'a pas atteint son objectif.

                                                Norme 8.MP.5
                                                Utiliser les outils appropriés de manière stratégique. Considérez les outils disponibles et soyez suffisamment familier avec eux pour prendre des décisions judicieuses quant au moment où chaque outil pourrait être utile, en reconnaissant à la fois les connaissances à acquérir ainsi que les limites. Identifier les ressources mathématiques externes pertinentes et les utiliser pour poser ou résoudre des problèmes. Utiliser des outils pour explorer et approfondir leur compréhension des concepts.

                                                Norme 8.MP.6
                                                Soyez attentif à la précision. Communiquez précisément avec les autres. Utilisez des définitions explicites dans la discussion avec les autres et dans leur propre raisonnement. Ils indiquent la signification des symboles qu'ils choisissent. Spécifiez les unités de mesure et étiquetez les axes pour clarifier la correspondance avec les quantités dans un problème. Calculez avec précision et efficacité, exprimez des réponses numériques avec un degré de précision approprié au contexte du problème.

                                                Norme 8.MP.7
                                                Recherchez et utilisez la structure. Examinez attentivement les relations mathématiques pour identifier la structure sous-jacente en reconnaissant une structure simple dans une structure plus compliquée. Voyez les choses compliquées, telles que certaines expressions algébriques, comme des objets uniques ou comme étant composées de plusieurs objets. Par exemple, voyez 5 3(x y) 2 comme 5 moins un nombre positif multiplié par un carré et utilisez-le pour réaliser que sa valeur ne peut pas être supérieure à 5 pour les nombres réels x et y.

                                                Norme 8.MP.8
                                                Recherchez et exprimez la régularité dans les raisonnements répétés. Remarquez si le raisonnement est répété et recherchez à la fois des généralisations et des raccourcis. Évaluer le caractère raisonnable des résultats intermédiaires en surveillant le processus tout en prêtant attention aux détails.

                                                Volet : SYSTÈME DE NUMÉROS (8.NS)
                                                Sachez qu'il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, et rapprochez-les par des nombres rationnels (Normes 8.NS.1 3) .

                                                Norme 8.NS.1
                                                Sachez que les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels. Comprenez de manière informelle que chaque nombre a une expansion décimale pour les nombres rationnels, montrez que l'expansion décimale finit par se répéter et convertissez une expansion décimale qui se répète finalement en un nombre rationnel.

                                                Norme 8.NS.2
                                                Utilisez des approximations rationnelles de nombres irrationnels pour comparer la taille des nombres irrationnels, localisez-les approximativement sur un diagramme à droite numérique et estimez la valeur des expressions (par exemple, &pi 2 ). Par exemple, en tronquant le développement décimal de &radic2, montrez que &radic2 est compris entre 1 et 2, puis entre 1,4 et 1,5, et expliquez comment continuer pour obtenir de meilleures approximations.

                                                Norme 8.NS.3
                                                Comprendre comment effectuer des opérations et simplifier les radicaux en mettant l'accent sur les racines carrées.

                                                Volet : EXPRESSIONS ET ÉQUATIONS (8.EE)
                                                Travailler avec des exposants radicaux et entiers (Normes 8.EE.1 4) . Comprendre les liens entre les relations proportionnelles, les lignes et les relations linéaires (Normes 8.EE.5 6) . Analyser et résoudre des équations linéaires et des inégalités et des paires d'équations linéaires simultanées (Normes 8.EE.7 8) .

                                                1. Donnez des exemples d'équations linéaires à une variable avec une solution, une infinité de solutions ou aucune solution. Montrer laquelle de ces possibilités est le cas en transformant successivement l'équation donnée en des formes plus simples, jusqu'à une équation équivalente de la forme X = une, une = une, ou alors une = b résultats (où une et b sont des nombres différents).
                                                2. Résolvez des équations et des inégalités linéaires à variable unique avec des coefficients de nombre rationnel, y compris des équations et des inégalités dont les solutions nécessitent des expressions de développement en utilisant la propriété distributive et en collectant des termes similaires.
                                                3. Résoudre des équations à valeur absolue à variable unique.
                                                1. Comprenez que les solutions d'un système de deux équations linéaires à deux variables correspondent aux points d'intersection de leurs graphiques, car les points d'intersection satisfont les deux équations simultanément.
                                                2. Résoudre graphiquement des systèmes de deux équations linéaires à deux variables, en se rapprochant lorsque les solutions ne sont pas des nombres entiers et estimer les solutions en traçant les équations graphiquement. Résoudre des cas simples par inspection. Par example, 3x + 2y = 5 et 3x + 2y = 6 pas de solution car 3x + 2 ans ne peut pas être simultanément 5 et 6.
                                                3. Résolvez graphiquement des problèmes mathématiques et du monde réel menant à deux équations linéaires à deux variables. Par exemple, à partir des coordonnées de deux paires de points, déterminez si la ligne passant par la première paire de points coupe la ligne passant par la seconde paire.

                                                Volet : FONCTIONS (8.F)
                                                Définir, évaluer et comparer des fonctions (Normes 8.F.1 3) . Utiliser des fonctions pour modéliser les relations entre les quantités (Normes 8.F.4 5) .

                                                Norme 8.F.1
                                                Comprenez qu'une fonction est une règle qui attribue à chaque entrée exactement une sortie. Le graphe d'une fonction est l'ensemble des couples ordonnés constitués d'une entrée et de la sortie correspondante. (La notation de fonction n'est pas requise en 8e année.)

                                                Norme 8.F.2
                                                Comparez les propriétés de deux fonctions représentées chacune de manière différente (algébriquement, graphiquement, numériquement dans des tableaux ou par des descriptions verbales). Par exemple, étant donné une fonction linéaire représentée par une table de valeurs et une fonction linéaire représentée par une expression algébrique, déterminez quelle fonction a le taux de changement le plus élevé.

                                                Norme 8.F.3
                                                Interpréter l'équation y = mx + b comme définissant une fonction linéaire, dont le graphique est une ligne droite, donnez des exemples de fonctions qui ne sont pas linéaires. Par exemple, la fonction A = s 2 donnant l'aire d'un carré en fonction de sa longueur de côté n'est pas linéaire car son graphique contient les points (1,1), (2,4) et (3,9), qui ne sont pas en ligne droite.

                                                Norme 8.F.4
                                                Construire une fonction pour modéliser une relation linéaire entre deux quantités. Déterminer le taux de changement et la valeur initiale de la fonction à partir d'une description d'une relation ou à partir de deux (x, y), y compris les lire à partir d'un tableau ou d'un graphique. Interpréter le taux de variation et la valeur initiale d'une fonction linéaire en fonction de la situation qu'elle modélise et en fonction de son graphique ou d'un tableau de valeurs.

                                                Norme 8.F.5
                                                Décrire qualitativement la relation fonctionnelle entre deux quantités en analysant un graphique (par exemple, où la fonction est croissante ou décroissante, linéaire ou non linéaire). Tracez un graphique qui présente les caractéristiques qualitatives d'une fonction qui a été décrite verbalement.

                                                Volet : GÉOMÉTRIE (8.G)
                                                Comprendre la congruence et la similitude à l'aide de modèles physiques, de transparents ou de logiciels de géométrie (normes 8.G.1 5) . Comprendre et appliquer le théorème de Pythagore et sa réciproque (Normes 8.G.6 8) . Résoudre des problèmes mathématiques et réels impliquant le volume de cylindres, de cônes et de sphères (norme 8.G.9) .

                                                1. Les lignes sont converties en lignes et les segments de ligne en segments de ligne de même longueur.
                                                2. Les angles sont pris aux angles de même mesure.
                                                3. Les lignes parallèles sont prises pour les lignes parallèles.

                                                Volet : STATISTIQUES ET PROBABILITÉ (8.SP)
                                                Enquêter sur les modèles d'association dans les données bivariées (normes 8.SP.1 4) .

                                                Norme 8.SP.1
                                                Construisez et interprétez des diagrammes de dispersion pour les données de mesure bivariées afin d'étudier les modèles d'association entre deux quantités. Décrire des modèles tels que le regroupement, les valeurs aberrantes, l'association positive ou négative, l'association linéaire et l'association non linéaire.

                                                Norme 8.SP.2
                                                Sachez que les lignes droites sont largement utilisées pour modéliser les relations entre deux variables quantitatives. Pour les nuages ​​de points qui suggèrent une association linéaire, ajustez de manière informelle une ligne droite et évaluez de manière informelle l'ajustement du modèle en jugeant la proximité des points de données par rapport à la ligne.

                                                Norme 8.SP.3
                                                Utilisez l'équation d'un modèle linéaire pour résoudre des problèmes dans le contexte de données de mesure bivariées, en interprétant la pente et l'interception. Par exemple, dans un modèle linéaire pour une expérience de biologie, interprétez une pente de 1,5 cm/h comme signifiant qu'une heure d'ensoleillement supplémentaire chaque jour est associée à 1,5 cm supplémentaire de hauteur de plante mature. (Le calcul d'équations pour un modèle linéaire n'est pas prévu en 8e année.)

                                                Norme 8.SP.4
                                                Comprenez que les modèles d'association peuvent également être observés dans les données catégoriques bivariées en affichant les fréquences et les fréquences relatives dans un tableau à double entrée. Construire et interpréter un tableau à double entrée résumant les données sur deux variables catégorielles recueillies auprès des mêmes sujets. Utilisez les fréquences relatives calculées pour les lignes ou les colonnes pour décrire l'association possible entre les deux variables. Par exemple, collectez des données auprès des élèves de votre classe pour savoir s'ils ont ou non un couvre-feu les soirs d'école et s'ils ont ou non assigné des tâches à la maison. Y a-t-il des preuves que ceux qui ont un couvre-feu ont également tendance à avoir des tâches ménagères ?

                                                Ces documents ont été produits par et pour les enseignants de l'État de l'Utah. Des copies de ces documents peuvent être librement reproduites pour l'usage des enseignants et de la classe. Lors de la distribution de ces documents, le crédit doit être donné au Conseil d'éducation de l'État de l'Utah. Ces documents ne peuvent être publiés, en tout ou en partie, ou sous tout autre format, sans l'autorisation écrite du Utah State Board of Education, 250 East 500 South, PO Box 144200, Salt Lake City, Utah 84114-4200.


                                                Solution

                                                Nous pouvons trouver lesquels des points donnés sont sur la ligne $y = 2x + 1$ en voyant si les coordonnées $x$ et $y$ satisfont l'équation. Pour le premier point, avec $y = 1$ et $x = 0$, on voit

                                                ce qui est vrai, et donc le point $(0,1)$ est sur la droite. Cependant, pour $(2,-1)$, en substituant $x = 2$ et $y = -1$, on a

                                                et donc $(2,-1)$ n'est pas sur la ligne.

                                                En continuant ainsi, nous voyons que $(0,1), (2,5), (1/2,2)$ et $(-1,-1)$ sont des points sur la droite et $(2,- 1)$, et $(.5,1)$ ne sont pas des points sur la ligne.

                                                Nous pouvons trouver trois autres points en choisissant arbitrairement la valeur pour $x$ et en utilisant l'équation de la ligne pour trouver les valeurs $y$ correspondantes : $(-2, -3), (1, 3), (-1/2 , 0)$.

                                                En choisissant des valeurs $x$ arbitraires, telles que $x=0$, $x=1$, $x=2$, $x=-1$ et $x=-2$, nous trouvons le $y$ correspondant valeurs et ont plusieurs points qui se trouvent sur le graphique de la fonction :

                                                En traçant ces points, on arrive au graphique suivant :

                                                Une fonction linéaire peut être écrite sous la forme $y=mx+b$, et cette équation n'est pas écrite sous cette forme. Nous pourrions nous demander si cela pourrait être écrit sous cette forme en utilisant une astuce intelligente à laquelle nous n'avons pas encore pensé. S'il s'agissait d'une fonction linéaire, son graphique serait une ligne droite. Le graphique de $y = 2x^2 + 1$ contient les cinq points ci-dessus, et ces cinq points ne sont pas alignés. Ce n'est donc pas une fonction linéaire.

                                                Vous trouverez ci-dessous une liste des différences entre ces deux fonctions. Les réponses possibles peuvent inclure certaines, toutes ou plusieurs différences.

                                                • Le premier graphique est une ligne droite, le deuxième graphique est courbe.
                                                • Le terme $x$ est au carré dans la deuxième fonction, et non dans la première.
                                                • La première fonction a des valeurs $y$ négatives et positives, et la seconde fonction n'aura jamais de valeurs $y$ négatives.
                                                • Lorsque $x$ augmente de quantités égales, les valeurs $y$ de la première fonction augmentent également de quantités égales (le taux de variation est constant) mais les valeurs $y$ de la deuxième fonction augmentent de plus en plus (taux de variation augmente) à mesure que $|x|$ grandit.
                                                • La première fonction a une pente constante (raideur). La pente de la deuxième fonction change.
                                                • La deuxième fonction est symétrique par rapport à l'axe $y$, et la première fonction ne l'est pas.
                                                • La première fonction traverse l'axe $x$ (à $(-1/2,0)$), et la seconde fonction ne traverse jamais l'axe $x$.
                                                • Chaque valeur $y$ dans la première fonction a exactement une valeur $x$. Dans la deuxième fonction, la plupart des valeurs $y$ ont 2 valeurs $x$ possibles (exemple : $(-2,9)$ et $(2,9)$ se trouvent tous deux sur le deuxième graphique).

                                                <QtCore/qmath.h> - Fonctions mathématiques

                                                Renvoie l'arc cosinus de v comme un angle en radians. L'arccosinus est l'opération inverse du cosinus.

                                                Qréel qAsin ( qréal v)

                                                Renvoie l'arc sinus de v comme un angle en radians. L'arc sinus est l'opération inverse du sinus.

                                                Qréel qAtan2 ( qréel oui, qréel X)

                                                Renvoie l'arctangente d'un point spécifié par les coordonnées oui et X. Cette fonction renverra l'angle (argument) de ce point.

                                                Qréal qAtan ( qréal v)

                                                Renvoie l'arc tangente de v comme un angle en radians. L'arctangente est l'opération inverse de la tangente.

                                                Int qCeil ( qreal v)

                                                Renvoie le plafond de la valeur v.

                                                Le plafond est le plus petit entier qui n'est pas inférieur à v. Par exemple, si v est de 41,2, alors le plafond est de 42.

                                                Qréel qCos ( qréel v)

                                                Renvoie le cosinus d'un angle v en radians.

                                                Qréel qExp ( qréel v)

                                                Renvoie la fonction exponentielle de e à la puissance de v.

                                                Int qFloor ( qreal v)

                                                Renvoie le plancher de la valeur v.

                                                Le plancher est le plus grand entier qui n'est pas supérieur à v. Par exemple, si v est 41,2, alors le plancher est 41.

                                                Qréel qLn ( qréel v)

                                                Renvoie le logarithme népérien de v. Le logarithme népérien utilise la base e.

                                                Qréel qPow ( qréal X, qréel oui)

                                                Renvoie la valeur de X élevé au pouvoir de oui. C'est-à-dire, X est la base et oui est l'exposant.

                                                Qréel qSin ( qréel v)

                                                Renvoie le sinus de l'angle v en radians.

                                                Qréel qSqrt ( qréel v)

                                                Renvoie la racine carrée de v. Cette fonction renvoie un NaN si v est un nombre négatif.

                                                Qréel qTan ( qréel v)

                                                Renvoie la tangente d'un angle v en radians.

                                                © 2016 The Qt Company Ltd. Les contributions à la documentation incluses dans le présent document sont la propriété de leurs propriétaires respectifs. La documentation fournie ici est concédée sous licence selon les termes de la licence de documentation libre GNU version 1.3 publiée par la Free Software Foundation. Qt et les logos respectifs sont des marques déposées de The Qt Company Ltd. en Finlande et/ou dans d'autres pays du monde. Tous les autres marques appartiennent à leurs propriétaires respectifs.


                                                Plus de problèmes sur la plage de fonction

                                                Quelle est la plage de f(x) = x 3   ?

                                                Choisissez < -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 > comme domaine. Les paires commandées sont

                                                (-4, -64 ), (-3, -27),  (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1 ), (2, 8),  (3, 27), (4 , 64)

                                                Notez que lorsque les nombres du domaine sont positifs, les nombres de la plage sont positifs. De plus, lorsque les nombres du domaine sont négatifs, les nombres de la plage sont également négatifs. 

                                                La plage est f(x) ≥ 0 ou f(x) Quelle est la plage de f(x) = 1/ x   ?

                                                Notez que nous pouvons choisir n'importe quel nombre dans le domaine sauf 0

                                                Cependant, nous pouvons choisir n'importe quel nombre aussi proche que possible de 0, ou le nombre peut être très grand.

                                                Supposons que les nombres du domaine soient positifs. Que se passe-t-il lorsque les nombres du domaine sont de plus en plus proches de 0, par exemple lorsque x = ਀.00001 ou x = 0,0000001 ?

                                                Les nombres de la gamme deviendront de plus en plus gros.

                                                Que se passe-t-il lorsque les nombres dans le domaine sont très grands comme 100 000 ou 100 000 000 ?

                                                Les nombres de la plage deviendront de plus en plus petits, mais ils ne seront jamais nuls.

                                                Jusqu'à présent, lorsque le domaine est positif, la plage est f(x) > 0

                                                Une logique similaire peut être utilisée lorsque les nombres dans le domaine sont négatifs. Lorsque x est de plus en plus proche de 0, par exemple lorsque x  =  -0.00001 ou  x = -0.0000001 ?

                                                D'autre part, lorsque x est de plus en plus éloigné de 0, par exemple lorsque x  = -100.000 ou x = -100.000.000 ?


                                                Comparer les fonctions


                                                Exemples, solutions, vidéos et leçons pour aider les élèves de 8e année à apprendre à comparer les propriétés de deux fonctions représentées chacune de manière différente (algébriquement, graphiquement, numériquement dans des tableaux ou par des descriptions verbales).

                                                Par exemple, étant donné une fonction linéaire représentée par un tableau de valeurs et une fonction linéaire représentée par une expression algébrique, déterminez quelle fonction a le taux de variation le plus élevé.

                                                Objectifs d'apprentissage suggérés

                                                • Je peux identifier les fonctions algébriquement, y compris la pente et l'interception y
                                                • Je peux identifier des fonctions à l'aide de graphiques.
                                                • Je peux identifier des fonctions à l'aide de tableaux.
                                                • Je peux identifier des fonctions à l'aide de descriptions verbales.
                                                • Je peux comparer et contraster deux fonctions avec des représentations différentes.
                                                • Je peux tirer des conclusions basées sur différentes représentations des fonctions

                                                Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

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                                                Relations et fonctions

                                                Dans ces leçons, nous examinerons les nombres à paires ordonnées, les relations et une introduction aux fonctions.

                                                Numéros de paires commandées

                                                Un nombre à paire ordonnée est une paire de nombres qui vont ensemble. Les nombres sont écrits entre parenthèses et séparés par une virgule.

                                                Par exemple, (4, 7) est un numéro de paire ordonnée, l'ordre est désigné par le premier élément 4 et le deuxième élément 7. La paire (7, 4) n'est pas la même que (4, 7) en raison de la différence commande. Les ensembles de nombres de paires ordonnées peuvent représenter des relations ou des fonctions.

                                                Relation

                                                Une relation est un ensemble de nombres de paires ordonnées.

                                                Le diagramme suivant montre quelques exemples de relations et de fonctions. Faites défiler la page pour plus d'exemples et de solutions sur la façon de déterminer si une relation est une fonction.


                                                Supposons que les poids de quatre élèves soient indiqués dans le tableau suivant.

                                                Élève 1 2 3 4
                                                Poids 120 100 150 130

                                                L'appariement du nombre d'étudiants et de son poids correspondant est une relation et peut être écrit comme un ensemble de nombres à paires ordonnées.
                                                W =

                                                L'ensemble de tous les premiers éléments est appelé le domaine de la relation.
                                                Le domaine de W =

                                                L'ensemble des seconds éléments est appelé l'étendue de la relation.
                                                La plage de W =

                                                Une fonction

                                                Une fonction est une relation dans laquelle deux paires ordonnées n'ont pas le même premier élément.

                                                A function associates each element in its domain with one and only one element in its range.

                                                Solution:
                                                a) A = <(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)>is a function because all the first elements are different.

                                                b) B = <(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)>is a function because all the first elements are different. (The second element does not need to be unique)

                                                c) C = <(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)>is not a function because the first element, 1, is repeated.

                                                A function can be identified from a graph. If any vertical line drawn through the graph cuts the graph at more than one point, then the relation is not a function. This is called the vertical line test .

                                                Determining Whether A Relation Is A Function

                                                Understanding relations (defined as a set of inputs and corresponding outputs) is an important step to learning what makes a function. A function is a specific relation, and determining whether a relation is a function is a skill necessary for knowing what we can graph. Determining whether a relation is a function involves making sure that for every input there is only one output.

                                                How To Determine If A Relation Is A Function?

                                                A function is a correspondence between a first set, called the domain, and a second set, called the range, such that each member of the domain corresponds to exactly one member of the range.

                                                The graph of a function f is a drawing hat represents all the input-output pairs, (x, f(x)). In cases where the function is given by an equation, the graph of a function is the graph of the equation y = f(x).

                                                The vertical line test - a graph represents a function if it is impossible to draw a vertical line that intersects the graph more than once.

                                                How To Determine If A Relation Is A Function?

                                                This Algebra 1 level math video tutorial

                                                • defines a relation as a set of ordered pairs and a function as a relation with one to one correspondence.
                                                • models how to determine if a relation is a function with two different methods.
                                                • shows how to use a mapping and the vertical line test.
                                                • discusses how to work with function notation. It is defined as replacing y in an equation that is a function.
                                                1. Using a mapping diagram, determine whether each relation is a function.
                                                2. Using a vertical line test, determine whether the relation is a function.
                                                3. Make a table for f(t) = 0.5x + 1. Use 1, 2, 3, and 4 as domain values.
                                                4. Evaluate the function rule f(g) = -2g + 4 to find the range for the domain (-1, 3, 5).

                                                Determine If A Relation Is A Function

                                                This video explains the concepts behind mapping a relation and the vertical line test.

                                                Relations And Functions

                                                Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

                                                We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


                                                Encourage students to ask questions of one another.

                                                It is much easier to facilitate a focusing question pattern when you are not the only one in the room directing conversation. Encourage students to support, challenge and question one another. For example, “Why do you think that?” “Could you have solved the problem in a different way?”

                                                You may find that students’ own questions take the conversation to a level you never imagined reaching!


                                                (Source: Making Shift Happen)

                                                This article is adapted from the NCTM publication Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Click here to learn more about this essential guide to mathematics teaching practices.


                                                Voir la vidéo: Google Classroom - oppilaan ohje (Octobre 2021).