Des articles

1.8 : Géométrie des nombres - Mathématiques


Nous avons déjà vu que les concepts géométriques sont parfois utiles pour éclairer les considérations théoriques des nombres. Cette branche des mathématiques a été en vogue considérable au cours des 20 dernières années, en particulier en Angleterre où elle a été et est développée vigoureusement par Mordell, Davenport, Mahler et leurs étudiants.

Nous envisagerons une très brève introduction à ce sujet. Tout d'abord, nous examinerons une preuve du théorème fondamental de Minkowski due à Hajos (1934), puis nous discuterons quelques généralisations et applications de ce théorème, et enfin nous étudierons quelques nouveaux résultats et conjectures qui sont étroitement liés.

Dans sa forme la plus simple, le théorème fondamental de Minkowski est le suivant.

Soit (R) une région dans le plan (x-y) d'aire (A > 4), symétrique par rapport à l'origine et convexe. Alors R contient un point du réseau autre que l'origine.

Tout d'abord, quelques remarques préliminaires. Dans la condition (A > 4), le 4 ne peut pas être remplacé par un nombre plus petit. Ceci peut être vu en considérant le carré de côté (2 − epsilon), centré à l'origine. En effet, cet exemple pourrait d'abord suggérer que le théorème est assez intuitif, car il pourrait sembler que comprimer cette région dans n'importe quelle direction et garder son aire fixe forcerait nécessairement la région à couvrir un point du réseau. Mais la chose n'est pas si simple, car d'autres exemples révèlent que ni la symétrie centrale ni la convexité ne sont indispensables. En ce qui concerne la convexité, il faut vraiment qu'avec les vecteurs (vec{V_1}) et (vec{V_2}) la région contienne également (dfrac{1}{2} ( vec{V_1} + vec{V_2})). La symétrie signifie qu'avec (vec{V_1}) le vecteur (-vec{V_1}) devrait aussi être dans (R). Ainsi la symétrie et la convexité impliquent ensemble que, si (vec{V_1}) et (vec{V_2}) sont dans (R), il en va de même de (dfrac{1}{2} ( vec{V_1} - vec{V_2})). Cette dernière condition est vraiment suffisante pour notre propos et peut remplacer les conditions de symétrie et de convexité. Elle est impliquée par la symétrie et la convexité mais n'implique aucune de ces conditions.

Un autre exemple qui éclaire peut-être la signification du théorème de Minkowski est le suivant. Considérons une droite passant par (O) ayant une pente irrationnelle ( an heta); voir Figure 4. Cette ligne ne passe par aucun point du réseau autre que l'origine. Si nous prenons un long segment de cette ligne, disons prolongeant la longueur (R) de chaque côté de (O), alors il y aura un point du réseau le plus proche et une distance (r) de,

ce segment. Par conséquent, quelle que soit la taille de (R), nous pouvons construire un rectangle contenant ce segment de droite, qui ne contient aucun point de réseau autre que (O). D'après le théorème fondamental de Minkowski l'aire (4rR) de ce rectangle ne dépasse pas 4. Ainsi (r le dfrac{1}{R}). Notez que si ((p, q)) est un point du réseau sur le bord du rectangle alors (dfrac{p}{q} approx an heta), de sorte que le théorème fondamental de Minkowski sera donner des informations sur la précision avec laquelle un nombre irrationnel peut être approximé par des rationnels.

Revenons maintenant à la preuve de Hajos du théorème fondamental de Minkowski. Considérons le plan (x-y) découpé en un échiquier infini avec le carré de base de l'aire 4 déterminé par (|x| le 1), (|y| le 1). Nous découpons maintenant l'échiquier le long des bords des carrés et superposons tous les carrés qui contiennent des parties de la région (R). Nous avons maintenant compressé une zone > 4 dans une zone de zone 4. Cela implique qu'il y aura un certain chevauchement, c'est-à-dire qu'on peut enfoncer une épingle à travers le carré de manière à percer (R) en deux points disons (V_1 ) et (V_2). Réassemblez maintenant la région et laissez les points (V_1) et (V_2) être les vecteurs (vec{V_1}) et (vec{V_2}). Considérons le fait que les coordonnées (x) et (y) de (V_1) et (V_2) diffèrent par un multiple de 2. On écrit (V_1 equiv V_2) (mod 2) , ce qui implique (dfrac{1}{2} (V_1 - V2) equiv 0) (mod 1). Ainsi (dfrac{1}{2} (V_1 - V_2)) est un point du réseau différent de O (puisque (V_1 e V_2)) dans (R).

Le théorème fondamental de Minkowski peut être facilement généralisé à l'espace (n)-dimensionnel. En effet, il suffit de remplacer 4 dans le théorème fondamental de Minkowski par 2n et la preuve de Hajos passe. De nombreuses extensions et raffinements du théorème fondamental de Minkowski ont été donnés. Je reviendrai sur certains d'entre eux plus tard.

L'un des premiers articles de Polya porte le titre long et curieux "Zahlhlentheoretisches und Wahrscheinlichkeitstheoretisches (ddot{u})ber die Sichtweite in Walde und durch Schneefall". Une preuve du résultat principal de Polya dans cet article peut être grandement simplifiée et quelque peu affinée en utilisant le théorème fondamental de Minkowski. Le problème est le suivant.

Supposons que chaque point du réseau autre que (O) soit entouré d'un cercle de rayon (r le dfrac{1}{2}) (un arbre dans une forêt). Un homme se tient à (O). Dans la direction ( heta) il peut voir une distance (f(r, heta)). distance f(r,θ). Qu'est-ce qu'il peut voir le plus loin dans n'importe quelle direction ? c'est-à-dire déterminer

(F(r) = ext{max}_{ heta} f( heta, r))

En regardant au-delà du cercle centré en (1, 0) (Figure 5), nous pouvons voir presque une distance (dfrac{1}{r}). Par contre on peut prouver que (F(r) le dfrac{1}{r}) . Car supposons que nous puissions voir une distance (F(r)) dans la direction θ. A propos de cette ligne de vision, construisez un rectangle de côté (2r). Ce rectangle ne contient aucun point du réseau, car sinon l'arbre centré en un tel point du réseau obstruerait notre champ de vision ; voir la figure 6.

D'où, par le théorème fondamental de Minkowski (4F(r) r le 4) et (F(r) le dfrac{1}{r}) au besoin. Notez qu'aucun point du réseau ne peut se trouver dans l'un des demi-cercles du diagramme. Cela nous permet d'améliorer légèrement le résultat de Polya. Je laisserai les détails en exercice.

Une application plus significative du théorème fondamental de Minkowski concerne la possibilité de résoudre en nombres entiers un ensemble d'inéquations linéaires.

Tenir compte des inégalités

(|a_{11} x_{1} + a_{12}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{1n}x_{n}| le lambda_1,)
(|a_{21} x_{1} + a_{22}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{2n}x_{n}| le lambda_2,)
.
.
.
(|a_{n1} x_{1} + a_{n2}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{nn}x_{n}| le lambda_n,)

où les (a_{ij}) sont des nombres réels et les (lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n) sont des nombres positifs. Le problème est de trouver des conditions suffisantes pour l'existence d'entiers (x_1, ..., x_n), tous les 0 ne satisfaisant pas le système. Le théorème fondamental de Minkowski peut être utilisé pour prouver qu'une solution existera à condition que le déterminant det(aij) des coefficients soit, en valeur absolue, inférieur au produit (lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdot cdotcdot lambda_n). Cela se produit de la manière suivante. Géométriquement, les inégalités déterminent un parallélépipède de dimension (n) dont le volume (ou le contenu) est

(dfrac{1}{ ext{det} (a_{ij})} cdot 2^n cdot lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdotcdotcdot lambda_n.)

Si (lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdotcdotcdot lambda_n > ext{det} (a_{ij})) alors le contenu dépasse (2^n) et contient donc un point du réseau différent de (O).

Un analogue très récent du théorème fondamental de Minkowski est le suivant. Soit (R) une région convexe, pas nécessairement symétrique par rapport à O, mais ayant son centre de gravité en (O). Si son aire dépasse (dfrac{9}{2}), alors il contient un point de réseau non (O). La constante (dfrac{9}{2}) est à nouveau la meilleure possible, mais un analogue n-dimensionnel de ce résultat est inconnu.

Ce qui suit est une généralisation conjecturée du théorème fondamental de Minkowski, que nous n'avons malheureusement pas pu prouver. Peut-être pourrez-vous le prouver ou le réfuter. Soit (R) une région convexe contenant l'origine et définie par (r = f( heta)), (0 le heta < 2 pi). Si

(int_0^{pi} f( heta) f( heta + pi) d heta > 4)

alors (R) contient un point de réseau non trivial. Pour les régions symétriques (f( heta) = f( heta + pi)), et la conjecture se réduit au théorème fondamental de Minkowski.

Voici un problème quelque peu connexe et seulement partiellement résolu. Soit (M(n)) comme le plus petit nombre tel que toute région convexe de l'aire (M(n)) puisse être placée de manière à couvrir (n) points du réseau. Clairement (M(1) = 0). Il n'est pas difficile de montrer que (M(2) = dfrac{pi}{4}), c'est-à-dire que toute région convexe dont l'aire dépasse celle d'un cercle de diamètre 1 peut être utilisée pour couvrir 2 points du réseau. Déterminer (M(3)) semble déjà difficile. Ce que l'on peut facilement prouver c'est que (M(n) le n -1) et on conjecture l'existence d'une constante positive (c) telle que (M(n) < n - c sqrt{n }).


Séquence de Fibonacci

Le nombre suivant est trouvé en additionnant les deux nombres qui le précèdent :

  • le 2 se trouve en additionnant les deux nombres qui le précèdent (1+1),
  • le 3 se trouve en additionnant les deux nombres qui le précèdent (1+2),
  • le 5 est (2+3),
  • etc!

Exemple : le numéro suivant dans la séquence ci-dessus est 21+34 = 55

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, .

Pouvez-vous deviner les prochains chiffres?


Christian Light Education Mathématiques pour les niveaux 1 - 8

Christian Light Education (CLE) Mathématiques programme offre un enseignement des mathématiques solide qui enseigne d'un point de vue chrétien à un prix très raisonnable. Chaque cours de niveau scolaire comprend un guide de l'enseignant en un ou deux volumes et dix cahiers d'exercices LightUnit. (La troisième année a un seul volume pour le guide de l'enseignant.) Quelques autres éléments sont obligatoires ou facultatifs, en particulier dans les premières années.

CLE Mathématiques enseigne de nouveaux concepts et compétences par incréments similaires à l'approche de Saxon. Aussi comme Mathématiques saxonnes, CLE a intégré un examen continu. Le programme met l'accent sur la maîtrise des faits mathématiques et des compétences en calcul, emmenant souvent les étudiants dans des territoires plus difficiles dans certains domaines que d'autres programmes de mathématiques.

Il utilise fréquemment du matériel de manipulation et des aides visuelles en première année, mais diminue leur utilisation dans les niveaux scolaires suivants. En quatrième année, les objets de manipulation ne sont utilisés que quelques fois. dans le programme de première année, les objets de manipulation peuvent être des blocs de comptage, des bâtons d'artisanat ou tout ce que vous choisissez d'utiliser pour la plupart, de sorte qu'aucun objet de manipulation coûteux n'est requis. Les élèves de première année travaillent également avec de vraies pièces de monnaie et une horloge pédagogique. (Presque n'importe quel cadran d'horloge à engrenages fonctionnera, mais les horloges d'enseignement bon marché sont les meilleures.) Ils ont également deux cahiers d'exercices supplémentaires : le Mon carnet d'agenda, qui oblige les élèves à observer la météo et parfois à mesurer la température, et Mon livre de comptage avec des exercices de comptage et des énigmes numériques. Mon carnet d'agenda est facultatif, mais il serait probablement très intéressant de l'utiliser pour ceux qui vivent dans des régions où il y a des changements climatiques importants, contrairement à la situation dans le sud de la Californie où je vis. Un tableau de comptage plastifié est également utilisé pour les deux premiers niveaux scolaires.

La pratique quotidienne des cartes flash et les exercices de vitesse aident les élèves à maîtriser les faits mathématiques. En première et deuxième année, les élèves travaillent sur les faits d'addition et de soustraction. Les élèves de deuxième année commencent également à apprendre les faits de multiplication. Des exercices de calcul mental sont inclus à partir de la fin de la deuxième année et se poursuivent à tous les niveaux jusqu'à la huitième année.

CLE vend des cartes Flash d'addition et de soustraction personnalisées qui sont codées et livrées avec des séparateurs pour mettre en place une approche systématique pour l'exercice et l'examen qui à la fois fait circuler les cartes et les organise pour les exercices quotidiens. Bien que CLE vende des cartes flash de multiplication et de division, celles-ci sont assez standard, vous pouvez donc utiliser un autre jeu si vous les avez déjà.

Les exercices de vitesse se trouvent au dos de chaque livre LightUnit pour les niveaux un à cinq, puis dans le premier LightUnit du niveau six.

La première LightUnit de chaque cours après la première année examine en profondeur les concepts et les faits précédemment enseignés avec des pré-tests et des ensembles de pratiques. Le but est à la fois un examen après une « pause estivale » et un test de diagnostic pour ceux qui pourraient tout juste commencer le programme CLE. Si les élèves réussissent bien à chacun des pré-tests, ils peuvent sauter les séries d'exercices et passer à autre chose.

Le programme enseigne parfois des applications pratiques des mathématiques, et il inclut quelques problèmes de mots dans la plupart des leçons. Les cours de septième et huitième année sont beaucoup plus axés sur les applications pratiques des mathématiques que les niveaux précédents, car les élèves apprennent les finances personnelles, familiales et commerciales.

Les instructions du guide de l'enseignant de première année mettent en évidence un principe fondamental du programme CLE. Les guides de l'enseignant disent : « Le premier et le plus important est d'enseigner aux élèves l'obéissance rapide et l'ordre. Entraînez vos élèves à écouter et à suivre attentivement tout au long d'une activité. Ne leur permettez pas de faire les choses à leur manière et à leur rythme. Il se poursuit par une description d'une activité à utiliser pour enseigner l'obéissance rapide (Mathématiques 1 Guide de l'enseignant, p. viii). Cela contraste avec d'autres programmes qui encouragent les étudiants à explorer et à comprendre les choses à leur manière.

CLE Mathématiques nécessite une certaine préparation de cours, en particulier pour le premier niveau, mais cela ne devrait pas prendre longtemps. Aux niveaux les plus jeunes, le programme doit être enseigné aux élèves qui peuvent écouter un problème d'histoire que l'enseignant lit dans le guide de l'enseignant, puis n'écrire que les chiffres du problème dans leur LightUnit. Au-delà de la première année, les élèves peuvent faire beaucoup plus de leur travail de manière indépendante. Cependant, les parents doivent toujours consulter le guide de l'enseignant pour obtenir des informations pédagogiques occasionnelles qu'ils doivent transmettre aux élèves.

Des quiz et des tests sont contenus dans chaque livre LightUnit. Les tests doivent probablement être supprimés à l'avance, mais vous pouvez également sortir des quiz si besoin est. Les guides de l'enseignant incluent des réponses surimprimées sur des images réduites des pages des élèves. Des jeux séparés de corrigés sont également disponibles, mais ils ne sont pas nécessaires. En plus des informations pédagogiques et des réponses, les éditions de l'enseignant contiennent également des tests alternatifs, des feuilles d'exercices supplémentaires et des annexes contenant des informations utiles. Le contenu des éditions de l'enseignant varie en fonction du niveau scolaire.

CLE Mathématiques n'est pas exactement aligné sur les normes du tronc commun, mais il en est proche. Par exemple, CLE dépasse les normes dans son introduction de la multiplication par des multiplicateurs à trois chiffres en quatrième année alors qu'il est à la traîne des normes en retardant la multiplication des fractions par des nombres entiers jusqu'à la cinquième année. À la fin de la huitième année, CLE fournit une couverture plus complète des applications mathématiques réelles que la plupart des programmes. Il enseigne une bonne partie de l'algèbre et de la géométrie à la fin de la huitième année, couvrant même un peu de trigonométrie. Dans l'ensemble, les cours de premier cycle du secondaire préparent particulièrement bien les étudiants aux métiers du bâtiment, à l'agriculture et à l'entrepreneuriat. CLE Mathématiques dans son ensemble, fournit une couverture complète des concepts mathématiques requis et va au-delà dans certains domaines. Bien qu'il comprenne une certaine pensée critique, ce domaine n'obtient pas autant d'importance que ce qui est demandé dans les normes de base communes.

CLE publie des versions canadiennes des cours pour les première et deuxième années qui enseignent la devise canadienne plutôt qu'américaine. De plus, les systèmes de mesure standard et métrique américains sont enseignés simultanément tout au long du programme afin que les étudiants maîtrisent les deux.

Les racines mennonites de Christian Light Education sont évidentes dans les illustrations de la série. Le contenu est influencé par le fait que de nombreux mennonites vivent dans des zones rurales plutôt que dans des villes et des banlieues. Chaque cours a un thème qui traverse les leçons, apparaissant principalement dans les problèmes de mots. Par exemple, dans le cours de quatrième année, un thème géographique, chaque LightUnit met en évidence une région différente du monde. Dans les cours de septième et huitième année, chaque LightUnit présente une occupation, une vocation ou une entreprise, chacune étant gérée par des chrétiens. Certains contenus explicitement chrétiens sont inclus mais ils apparaissent très sporadiquement.

Des cours du secondaire sont également disponibles, mais je ne les ai pas revus.

Information sur les prix

Lorsque les prix apparaissent, veuillez garder à l'esprit qu'ils sont sujets à changement. Cliquez sur les liens disponibles pour vérifier l'exactitude des prix.

ensemble de 10 LightUnits - 37 $ par niveau scolaire
guides de l'enseignant - 9,50 $ à 15 $ par niveau scolaire
Cartes Flash d'addition et de soustraction - 17 $
Tableau de comptage - 1,50 $
Mon carnet de calendrier - 4,90 $
Mon livre de comptage - 2,50 $


Autres noms pour Phi

Il n'existe aucune trace des plans des architectes grecs pour leurs temples et bâtiments les plus célèbres (comme le Parthénon). On ne sait donc pas s'ils ont délibérément utilisé le nombre d'or dans leurs plans architecturaux. Le mathématicien américain Mark Barr a utilisé la lettre grecque phi ( &phi ) pour représenter le nombre d'or, en utilisant la lettre initiale du grec Phidias qui a utilisé le nombre d'or dans ses sculptures.

Luca Pacioli (parfois écrit comme Paccioli), 1445-1517, a écrit un livre intitulé De Divina Proportionné (La proportion divine) en 1509. Il contient des dessins réalisés par Léonard de Vinci des 5 solides platoniciens. C'est probablement Léonard de Vinci qui l'a appelé le premier sectio aurea (latin pour la section d'or).

Aujourd'hui, certains mathématiciens utilisent phi ( &phi ) pour le nombre d'or comme sur ces pages web et d'autres utilisent les lettres grecques alpha ( &alpha ) ou tau ( &tau ), la lettre initiale de tome qui est le travail grec pour "couper".

  • Une histoire mathématique du nombre d'or R Herz-Fischler, Douvres (1998) broché. Il s'agit d'un livre informatif, densément rempli de références historiques au juste milieu et à ses autres noms.

1&# 18361803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 ..Plus..


1.8 : Géométrie des nombres - Mathématiques

CETTE PAGE EST EN COURS DE CONSTRUCTION

Malheureusement, un grand nombre d'écoliers sont induits en erreur en leur faisant croire que 3+1/7 = 3,142857 - précis à < 1/100. C'est une erreur courante que le seul calculé comme 3+1/8 en utilisant l'observation ci-dessous que l'aire d'un cercle de rayon est "proche de" l'aire d'un carré de 8 unités de côté. Jusqu'à récemment, Archimède de Syracuse (250 avant JC) était généralement considéré comme la première personne à calculer pi avec une certaine précision cependant, comme nous le verrons ci-dessous, les Égyptiens connaissaient déjà Archimède (250 avant JC) valeur de = 256/81 = 3 + 1 /9 + 1/27 + 1/81, (la suggestion que les égyptiens ont utilisé 3 + 1/13 + 1/17 + 1/160 = 3,1415 pour est au mieux implicite) exposée dans le problème 50 ci-dessous. L'astronome Ptolémée, d'Alexandrie 150 après JC, connaissait 3+10/71 < <3+1/7 tandis qu'en Chine au Ve siècle, Tsu Chung-Chih calculait correctement pi à sept chiffres. Aujourd'hui, nous ne connaissons "que" 50 milliards de décimales.

Remarque 1 khet équivaut à 100 coudées et 1 mètre équivaut à environ 2 coudées. Un setat est une mesure de surface égale à ce que nous appellerions un khet carré.

Rhind papyrus Problème 50 . Un champ circulaire a un diamètre de 9 khet. Quelle est sa superficie.

La solution écrite dit, soustrayez 1/9 du diamètre qui laisse 8 khet. La superficie est de 8 multiplié par 8, soit 64 setat. Maintenant, il semblerait qu'il manque quelque chose à moins que nous n'utilisions des données modernes : L'aire d'un cercle de diamètre d est ( d /2) 2 = d 2 /4. Supposons maintenant 64 = 9 2 /4 = 81/4, alors = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

3.1605. Mais 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 est un nombre, vraisemblablement, intrinsèquement plus agréable aux Égyptiens que
3 + 1/13 + 1/17 + 1/160.

Moscou Papyrus Problème 10. traduction ligne par ligne


Exemple de calcul de [la surface d'] un panier [hémisphère].


On vous donne un hémisphère avec une bouche [magnitude]


le panier est un demi-œuf [hémisphère]. Vous obtenez 1.


Calculez le reste [lorsqu'il est soustrait de 9] qui est 8.


Trouvez le reste de ce 8


Après avoir soustrait 2/3 + 1/6 + 1/18. Vous obtenez 7 + 1/9.


Vous obtenez 32. Voici sa surface !


Vous l'avez trouvé correctement.

Dans notre notation et notre méthode, voici ce qui s'est passé.
Soit d le diamètre et S la surface.
S = 2d(8/9)(8/9)d =

Le problème et sa solution peuvent être interprétés comme suit : Trouver l'aire d'un hémisphère (un panier d'un demi-œuf] de diamètre 4 + 1/2. L'aire d'un hémisphère est
= 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

Depuis l'ouverture du 25/05/2097, les visiteurs de

Le département de mathématiques de
L'Université d'État de New York à Buffalo.

Ils sont créés et maintenus par
Scott W. Williams
Professeur de Mathématiques


Séquences de nombres

Dans ces leçons, nous examinerons différents types de suites de nombres et comment résoudre les problèmes liés aux suites de nombres.

Dans une autre série de leçons, nous avons quelques exemples de problèmes de mots entiers qui impliquent deux inconnues.

Les diagrammes suivants donnent les formules pour la séquence arithmétique et la séquence géométrique. Faites défiler la page vers le bas pour des exemples et des solutions.


Comment trouver le prochain terme dans une séquence de nombres ?

UNE séquence de nombres est une liste de nombres disposés en ligne. Regardons deux exemples ci-dessous.
(i) 4, 6, 1, 10, 14, 5, …
(ii) 4, 7, 10, 13, ….

La séquence de nombres (i) est une liste de nombres sans ordre ni motif. Vous ne pouvez pas dire quel nombre vient après 5.

La séquence de nombres (ii) a un motif. Observez-vous que chaque nombre est obtenu en ajoutant 3 à la précédent nombre (c'est-à-dire le nombre juste avant) ?

Dans cette leçon, nous n'étudierons que les suites de nombres avec des motifs.

Voici d'autres exemples de séquences de nombres :

Séquence de nombres Schéma
3, 6, 9, 12, . ajouter 3
12, 17, 22, 27, . ajouter 5
70, 65, 60, 55, . soustraire 5
15, 19, 23, 27, &hellip ajouter 4
81, 27, 9, 3, &hellip diviser par 3

Comment compléter les termes manquants dans une séquence de nombres ?

Chacun des nombres de la séquence est appelé un terme. Afin de trouver les termes manquants dans une séquence de nombres, nous devons d'abord trouver le modèle de la séquence de nombres.

Exemple:
Trouvez les termes manquants dans la séquence suivante :
8, ______, 16, ______, 24, 28, 32

Solution:
Pour trouver la régularité, examinez attentivement 24, 28 et 32. Chaque terme de la séquence de nombres est formé en ajoutant 4 au nombre précédent. Ainsi, les termes manquants sont 8 + 4 = 12 et 16 + 4 = 20. Vérifiez que la régularité est correcte pour toute la séquence de 8 à 32.

Exemple:
Quelle est la valeur de n dans la suite de nombres suivante ?

Solution:
Nous constatons que le motif numérique de la séquence est « ajouter 5 » au nombre précédent.
Donc, n = 21 + 5 = 26

Comment trouver le terme suivant dans une séquence de nombres ?

La vidéo suivante montre quelques exemples de la façon de déterminer le prochain terme dans une séquence de nombres.

Exemples:
Trouver le prochain numéro

Comment trouver le nième terme d'une suite arithmétique

Exemple:
7, 9, 11, 13, 15, &hellip

Comment trouver le nième terme d'une séquence géométrique

Exemple:
5, 10, 20, 40, &hellip

Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

Nous apprécions vos commentaires, commentaires et questions sur ce site ou cette page. Veuillez soumettre vos commentaires ou demandes de renseignements via notre page de commentaires.


Rayon et diamètre

Le rayon est une ligne allant du centre d'un cercle à n'importe quelle partie du cercle. C'est probablement le concept le plus simple lié à la mesure des cercles, mais peut-être le plus important.

Le diamètre d'un cercle, en revanche, est la distance la plus longue d'un bord du cercle au bord opposé. Le diamètre est un type spécial de corde, une ligne qui relie deux points quelconques d'un cercle. Le diamètre est deux fois plus long que le rayon, donc si le rayon est de 2 pouces, par exemple, le diamètre serait de 4 pouces. Si le rayon est de 22,5 centimètres, le diamètre serait de 45 centimètres. Pensez au diamètre comme si vous coupiez une tarte parfaitement circulaire au centre de sorte que vous ayez deux moitiés de tarte égales. La ligne où vous coupez la tarte en deux serait le diamètre.


1.8 : Géométrie des nombres - Mathématiques

L'ensemble de Mandelbrot est généré par itération. L'itération signifie répéter un processus encore et encore. En mathématiques, ce processus est le plus souvent l'application d'une fonction mathématique. Pour l'ensemble de Mandelbrot, la fonction impliquée est la fonction non linéaire la plus simple imaginable, à savoir x 2 + c, où c est une constante. Au fur et à mesure, nous préciserons exactement quelle valeur c prend.

Itérer x 2 + c, nous commençons par un planter pour l'itération. C'est un nombre (réel ou complexe) que nous désignons par X0. Application de la fonction x 2 + c à X0 donne le nouveau nombre

Maintenant, nous itérons en utilisant le résultat du calcul précédent comme entrée pour le suivant. C'est-à-dire

et ainsi de suite. La liste des numéros X0, X1, X2. généré par cette itération a un nom : Il s'appelle le orbite de X0 sous itération de x 2 + c. L'une des principales questions dans ce domaine des mathématiques est la suivante : quel est le sort des orbites typiques ? Convergent-ils ou divergent-ils ? Cyclent-ils ou se comportent-ils de manière erratique ? Dans un sens réel, l'ensemble de Mandelbrot est une version géométrique de la réponse à cette question.

Commençons par quelques exemples. Supposons que nous commençons par la constante c = 1. Ensuite, si nous choisissons la graine 0, l'orbite est

Comme autre exemple, pour c = 0, l'orbite de la graine 0 est tout autre : cette orbite reste fixé pour toutes les itérations.

Si nous choisissons maintenant c = -1, quelque chose d'autre se produit. Pour la graine 0, l'orbite est

Ici, nous voyons que l'orbite rebondit entre 0 et -1, une cycle de la période 2.

Pour comprendre le devenir des orbites, il est le plus souvent plus simple de procéder géométriquement. En conséquence, un tracé de série chronologique de l'orbite donne souvent plus d'informations sur le sort des orbites. Dans les graphiques ci-dessous, nous avons affiché la série chronologique pour x 2 + cc = -1,1, -1,3, -1,38, et 1.9. Dans chaque cas, nous avons calculé l'orbite de 0. Notez que le sort de l'orbite change avec c. Pour c = -1,1, on voit que l'orbite se rapproche d'un 2-cycle. Pour c = -1,3, l'orbite tend vers un cycle de 4. Pour c = -1,38, nous voyons un cycle de 8. Et quand c = -1,9, il n'y a pas de modèle apparent pour l'orbite que les mathématiciens utilisent le mot le chaos pour ce phénomène. Pour voir cela sous un autre jour, nous avons tracé un histogramme des 20 000 premiers points sur l'orbite de 0 en dessous de x 2 - 1,9 dans la figure 2. Dans cette image, nous avons subdivisé l'intervalle [-2, 2] en 400 sous-intervalles. L'histogramme était incrémenté d'une unité à chaque fois que l'orbite entrait dans l'un de ces sous-intervalles.

Figure 1. Série chronologique pour


Figure 2. Histogramme de l'orbite de 0 en dessous de

Avant de continuer, faisons une observation apparemment évidente et sans intérêt. Sous itération de x 2 + c , soit l'orbite de 0 va à l'infini, ou non. Lorsque l'orbite ne va pas à l'infini, elle peut se comporter de diverses manières. Elle peut être fixe ou cyclique ou se comporter de manière chaotique, mais l'observation fondamentale est qu'il y a une dichotomie : parfois l'orbite va à l'infini, d'autres fois, non. L'ensemble de Mandelbrot illustre précisément cette dichotomie dans le cas particulier où 0 est utilisé comme germe. Ainsi, l'ensemble de Mandelbrot est un enregistrement du sort de l'orbite de 0 sous itération de x 2 + c.

Comment alors l'ensemble de Mandelbrot est-il une image plane ? La réponse est, au lieu de considérer les valeurs réelles de c, nous autorisons également c être un nombre complexe. Par exemple, l'orbite de 0 en dessous de x 2 + je est donné par

et nous voyons que cette orbite finit par cycler avec la période 2. Si nous changeons c à 2i, alors l'orbite se comporte très différemment

X5 = GRAND (ce qui signifie loin de l'origine)

et on voit que cette orbite tend vers l'infini dans le plan complexe (les nombres composant l'orbite s'éloignent de plus en plus de l'origine). Encore une fois, nous faisons l'observation fondamentale soit l'orbite de 0 sous x 2 + c tend vers l'infini, ou non.


Feuille de travail sur les phrases numériques

Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

Nous espérons que les feuilles de calcul gratuites ont été utiles. Nous encourageons les parents et les enseignants à choisir les sujets en fonction des besoins de l'enfant. Pour les questions plus difficiles, l'enfant peut être encouragé à résoudre le problème sur un morceau de papier avant d'entrer la solution. Nous espérons que les enfants aimeront aussi les trucs amusants et les puzzles.

Nous apprécions vos commentaires, commentaires et questions sur ce site ou cette page. Veuillez soumettre vos commentaires ou demandes de renseignements via notre page de commentaires.


Lignes en deux dimensions - Formes de ligne, Distance, Lignes concurrentes, Segment de ligne

Triangles en deux dimensions - Aire, Centroïde, Incenter, Circumcenter, Orthocenter

Cercle - Equation d'un cercle, Aire, Circonférence, Théorème d'accord, Théorème tangente-sécante, Sécante - théorème sécante

Sections coniques - Parabole, Ellipse, Hyperbole

Lignes en trois dimensions - Formes de lignes, Distance, Intersection

Plans en trois dimensions - Formes planes, Angle entre deux plans, Equation d'un plan, Distance, Intersection


Voir la vidéo: Cryptographie et nombres premiers Daniel Perrin (Octobre 2021).