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8.4 : Triangles et Quadrilatères - Mathématiques


Pensez au partage à deux

Suivez ces instructions par vous-même :

  • Dessinez n'importe quel triangle sur votre papier.
  • Dessinez un deuxième triangle qui est différent d'une certaine manière du premier. Écrivez une phrase ou deux pour dire en quoi c'est différent.
  • Dessinez un troisième triangle différent de vos deux autres. Décrivez en quoi c'est différent.
  • Dessinez deux autres triangles, différents de tous ceux qui ont précédé.

Comparez vos triangles et descriptions avec un partenaire. Pour créer des triangles "différents", vous devez modifier certaines caractéristiques du triangle. Faites une liste des caractéristiques que vous ou votre partenaire avez modifiées.

Les triangles sont classés selon différentes propriétés. Le but de l'apprentissage de la géométrie n'est pas d'apprendre beaucoup de vocabulaire, mais il est utile d'utiliser les termes corrects pour les objets, afin que nous puissions communiquer clairement. Voici un dictionnaire rapide de certains types de triangles.

Classement par côtés

scalèneisocèleéquilatéral
tous les côtés ont des longueurs différentesdeux côtés ont la même longueurles trois côtés ont la même longueur

Classement par angles

aiguobtus
tous les angles intérieurs mesurent moins de 90°un angle intérieur mesure plus de 90°
droiteéquiangle
un angle intérieur mesure exactement 90°tous les angles intérieurs ont la même mesure

Rappelez-vous que « la géométrie est l'art de bien raisonner à partir de mauvais dessins ». Cela signifie que vous ne pouvez pas toujours faire confiance à vos yeux. Si vous regardez une image d'un triangle et qu'un côté semble être plus long qu'un autre, cela peut simplement signifier que le dessin a été fait un peu bâclé.

Notation : Coches

Les mathématiciens notent les mesures ou utilisent des coches pour indiquer quand les côtés et les angles sont censés être égaux.

Si deux côtés ont la même mesure ou le même nombre de graduations, vous devez croire qu'ils sont égaux et résoudre le problème en conséquence, même si ça n'a pas l'air de ça à tes yeux.

Vous pouvez en voir des exemples dans certaines des images ci-dessus. Un autre exemple est le petit carré utilisé pour indiquer un angle droit dans l'image du triangle rectangle.

Tout seul

Travaillez seul ou avec un partenaire les exercices suivants.

1. Dans l'image ci-dessous, quels côtés sont considérés comme ayant la même longueur (même si ce n'est pas le cas sur le dessin) ?

2. Dans l'image ci-dessous, quels angles sont considérés comme ayant la même mesure (même s'ils ne ressemblent pas à cela sur le dessin) ?

3. Voici un triangle scalène. Esquissez deux autres triangles scalènes, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

4. Voici un triangle aigu. Esquissez deux triangles plus aigus, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

5. Voici un triangle obtus. Esquissez deux autres triangles obtus, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

6. Voici un triangle rectangle. Esquissez deux autres triangles rectangles, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre. Assurez-vous d'indiquer quel angle est de 90°.

7. Voici un triangle isocèle. Esquissez deux autres triangles isocèles, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre. Utilisez des coches pour indiquer quels côtés sont égaux.

Somme des angles

Pensez au partage à deux

A présent, vous avez dessiné plusieurs triangles différents sur votre papier. Choisissez l'un de vos triangles et suivez ces instructions :

  • À l'aide de ciseaux, découpez le triangle.
  • Déchirez (ne coupez pas) les coins et placez les trois sommets ensemble. Vous devriez avoir quelque chose qui ressemble un peu à cette image :

Que remarquez-vous ? Qu'est-ce que cela suggère sur les angles d'un triangle?

Vous vous souvenez peut-être d'avoir appris que la somme des angles dans n'importe quel triangle est de 180°. Dans ta classe, tu as maintenant beaucoup d'exemples de triangles où la somme des angles semble être de 180°. Mais rappelez-vous, nos dessins ne sont pas exacts. Comment être sûr que nos yeux ne nous trompent pas ? Comment être sûr que la somme des angles d'un triangle n'est pas de 181° ou 178°, mais bien de 180° sur le nez dans tous les cas ?

Pensez au partage à deux

Qu'est-ce qui vous convaincra sans aucun doute que la somme des angles d'un triangle est de 180° ? Est-ce que tester beaucoup de cas suffirait? Combien suffit-il ? Pourriez-vous jamais tester tous les triangles possibles ?

Histoire : les axiomes d'Euclide

Souvent, les professeurs de géométrie du secondaire prouvent que la somme des angles dans un triangle est de 180°, en utilisant généralement des faits sur les lignes parallèles. Mais (peut-être étonnamment ?) il est tout aussi bon de prendre cela comme un axiome, comme un fait donné sur le fonctionnement de la géométrie, et à partir de là. C'est peut-être moins satisfaisant que de le prouver à partir d'une autre déclaration, et si vous êtes curieux, vous pouvez certainement trouver une preuve ou votre instructeur peut en partager une avec vous.

Noter

Vers 300 avant JC, Euclide[1] était le premier mathématicien (pour autant que nous le sachions) qui a essayé d'écrire des axiomes prudents, puis de construire à partir de ces axiomes des preuves rigoureuses de vérités mathématiques.

Euclide

Euclide avait cinq axiomes pour la géométrie, dont les quatre premiers semblaient assez évidents pour les mathématiciens. Les gens pensaient qu'il s'agissait d'hypothèses raisonnables à partir desquelles construire des vérités géométriques :

  1. Étant donné deux points, vous pouvez les connecter avec un segment de ligne droite.
  2. Étant donné un segment de ligne, vous pouvez l'étendre aussi loin que vous le souhaitez dans les deux sens, en créant une ligne.
  3. Étant donné un segment de ligne, vous pouvez dessiner un cercle ayant ce segment comme rayon.
  4. Tous les angles droits sont congrus.

Le cinquième postulat dérangeait un peu plus les gens. Il était à l'origine énoncé dans un langage plus fleuri, mais il équivalait à cette déclaration :

  1. La somme des angles d'un triangle est de 180°.

Il est facile de comprendre pourquoi ce cinquième axiome a causé un tel chahut en mathématiques. Cela semblait beaucoup moins évident que les quatre autres, et les mathématiciens avaient l'impression qu'ils trichaient en quelque sorte s'ils le supposaient plutôt que de prouver que cela devait être vrai. De nombreux mathématiciens ont passé de nombreuses années à essayer de prouver ce cinquième axiome à partir des autres axiomes, mais ils n'ont pas pu le faire. Et pour cause : il existe d'autres types de géométries où les quatre premiers axiomes sont vrais, mais le cinquième ne l'est pas !

Par exemple, si vous faites de la géométrie sur une sphère - comme un ballon de basket ou plus important encore sur la surface de la Terre - plutôt que sur un plan plat, les quatre premiers axiomes sont vrais. Mais les triangles sont un peu étranges à la surface de la terre. Chaque triangle que vous pouvez dessiner sur la surface de la terre a une somme d'angle strictement plus grand que 180°. En fait, vous pouvez dessiner un triangle sur la Terre qui a trois angles droits[2], faisant une somme d'angle de 270°.

Triangle avec trois angles droits sur une sphère.

Sur une sphère comme la Terre, la somme des angles n'est pas constante parmi tous les triangles. Les triangles plus grands ont des sommes d'angles plus grandes et les triangles plus petits ont des sommes d'angles plus petites, mais même les triangles les plus petits ont des sommes d'angles supérieures à 180°.

La géométrie que vous étudiez à l'école s'appelle Géométrie euclidienne; c'est la géométrie d'un plan plat, d'un monde plat. C'est une assez bonne approximation pour le petit morceau de Terre que nous voyons à un moment donné, mais ce n'est pas la seule géométrie !

Inégalité triangulaire

Faites une copie de ces bandes de papier et découpez-les. Ils ont des longueurs de 1 unité à 6 unités. Vous pouvez colorer les bandes, y écrire des chiffres ou faire quelque chose qui facilite le suivi des différentes longueurs.

Problème 3

Répétez le processus suivant plusieurs fois (au moins 10) et gardez une trace des résultats (un tableau a été créé pour vous).

  • Choisissez trois bandes de papier. (Les longueurs ne doivent pas nécessairement être toutes différentes les unes des autres ; c'est pourquoi vous avez plusieurs copies de chaque longueur.)
  • Essayez de faire un triangle avec ces trois bandes et décidez si vous pensez que c'est possible ou non. (Ne pas chevaucher les bandes, les couper ou les plier. La longueur des bandes doit être la longueur des côtés du triangle.)
Longueur 1Longueur 2Longueur 3Triangle?
432Oui
421non
422??

Votre objectif est de proposer un règle qui décrit quand trois longueurs feront un triangle et quand ils ne le feront pas. Écrivez la règle dans vos propres mots.

Pensez au partage à deux

Comparez votre règle avec d'autres élèves. Utilisez ensuite votre règle pour répondre aux questions suivantes. Gardez à l'esprit que le but n'est pas d'essayer de construire le triangle, mais de prédire le résultat en fonction de votre règle.

  • Supposons qu'on vous demande de faire un triangle avec des côtés de 40 unités, 40 unités et 100 unités de long. Pensez-vous pouvoir le faire? Expliquez votre réponse.
  • Supposons qu'on vous demande de faire un triangle avec des côtés de 2,5 unités, 2,6 unités et 5 unités de long. Pensez-vous pouvoir le faire? Expliquez votre réponse.

Vous avez probablement trouvé une version de cette déclaration :

Théorème : Inégalité triangulaire

La somme des longueurs des deux côtés d'un triangle est supérieure à la longueur du troisième côté.

Bien sûr, nous savons qu'en géométrie il ne faut pas en croire nos yeux. Vous devez rechercher un explication. Pourquoi votre déclaration a-t-elle du sens ?

Rappelez-vous que « la géométrie est l'art de bien raisonner à partir de mauvais dessins ». Nos matériaux n'étaient pas très précis, alors comment pouvons-nous être sûrs que cette règle que nous avons élaborée est correcte ?

Eh bien, dans ce cas, la règle est vraiment la même que le dicton "la distance la plus courte entre deux points est une ligne droite". En fait, c'est exactement ce que nous entendons par les mots ligne droite en géométrie.

Congruence SSS

On dit que deux triangles (ou deux objets géométriques quelconques) sont conforme s'ils ont exactement la même forme et la même taille. Cela signifie que si vous pouviez en prendre un et le déplacer pour le poser sur l'autre, ils se chevaucheraient exactement.

Problème 4

Répétez le processus suivant plusieurs fois et gardez une trace des résultats.

  • Choisissez trois bandes de papier qui formeront certainement un triangle.
  • Essayez d'en faire deux différent triangles (non congruents) avec les trois mêmes bandes de papier. Notez si vous avez pu le faire.

Problème 5

Répétez le processus suivant plusieurs fois et gardez une trace des résultats.

  • Choisissez quatre bandes de papier et formez un quadrilatère avec elles. (Si vos quatre bandes ne forment pas un quadrilatère, choisissez quatre autres bandes.)
  • Essayez d'en faire deux différent quadrilatères (non congruents) avec les mêmes quatre bandes de papier. Notez si vous avez pu le faire.

Pensez au partage à deux

Que remarquez-vous dans les problèmes 4 et 5 ? Pouvez-vous faire une déclaration générale pour décrire ce qui se passe ? Pouvez-vous expliquer pourquoi votre déclaration a du sens?

Vous avez probablement trouvé une version de cette déclaration :

Théorème : SSS (side-side-side) Congruence

Si deux triangles ont la même longueur de côté, alors les triangles sont congrus.

Ce n'est certainement pas vrai pour les quadrilatères. Par exemple, si vous choisissez quatre bandes de même longueur, vous pouvez faire un carré :

Mais vous pouvez également écraser ce carré dans un losange non carré. (Essayez-le !)

Si vous ne choisissez pas quatre longueurs identiques, en plus d'« écraser » la forme, vous pouvez réorganiser les côtés pour créer des formes différentes (non congruentes). (Essayez-le !)

Ces deux quadrilatères ont les mêmes quatre longueurs de côté dans le même ordre.

Ces deux quadrilatères ont les mêmes quatre longueurs de côté que les deux ci-dessus, mais les côtés sont dans un ordre différent.

Mais cela ne peut pas arriver avec des triangles. Pourquoi pas? Eh bien, vous ne pouvez certainement pas réorganiser les trois côtés. Ce serait exactement la même chose que de faire pivoter le triangle ou de le retourner, mais sans créer une nouvelle forme.

Pourquoi les triangles ne peuvent-ils pas « écraser » comme le ferait un quadrilatère (et d'autres formes) ? Voici une façon de le comprendre. Imaginez que vous choisissez deux de vos trois longueurs et que vous les posez l'une sur l'autre, articulées dans un coin.

Cela montre un segment en pointillé violet plus long et un segment vert plus court. Les deux segments sont articulés au niveau du point rouge à gauche.

Imaginez maintenant que vous ouvrez la charnière petit à petit.

Au fur et à mesure que la charnière s'ouvre, les deux extrémités non articulées s'éloignent de plus en plus. Quelle que soit votre troisième longueur (en supposant que vous soyez réellement capable de faire un triangle avec vos trois longueurs), il y a exactement une position de la charnière où il s'adaptera exactement pour fermer le triangle. Aucun autre poste ne fonctionnera.


  1. Portrait d'Euclide de Wikimedia Commons, sous licence Creative Commons Attribution 4.0 Internationale Licence.
  2. Image de Coyau / Wikimedia Commons, via Wikimedia Commons, sous licence Creative Commons Attribution-Partage à l'identique 3.0 non porté.

Feuilles de travail sur les triangles et les quadrilatères

En matière de géométrie, nous devons traiter deux types de formes. Il s'agit notamment du bidimensionnel (2D) et du tridimensionnel (3D). Les formes 2D et 3D sont subdivisées en plusieurs autres formes. Les cercles, les ovales, les triangles et les quadrilatères sont tous des formes de formes 2D. Parmi eux, les triangles et les quadrilatères sont en outre classés en plusieurs types. Les triangles sont des polygones constitués de trois lignes. Cette forme a trois côtés et trois angles. Ceux-ci sont classés en triangles équilatéraux, où les trois côtés et les trois angles sont identiques, triangle isocèle, où deux côtés et deux angles sont identiques, scalène est l'endroit où aucun des trois côtés ou angles n'est le même et triangle rectangle, où un angle est égal à 90°. Le scalène est également divisé en triangles à angle aigu où les trois angles sont inférieurs à 90° et en triangle à angle obtus, où un angle est supérieur à 90°. Les quadrilatères sont des polygones composés de quatre côtés. Il existe quatre types de quadrilatères. Ceux-ci incluent des carrés, où les quatre côtés sont les mêmes, et les quatre angles sont des rectangles à 90°, où deux côtés opposés sont égaux, et les quatre angles sont un parallélogramme à 90°, où les côtés opposés sont parallèles et égaux, et le cerf-volant est un quadrilatère où les diagonales se coupent à 90°.

Classer les triangles en fonction de mesures

On vous donnera les dimensions des figures et on vous demandera de classer chaque triangle.


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    Ce qui est vrai pour tous les quadrilatères

    Tout d'abord, parlons de ce qui est vrai pour tous les quadrilatères, absolument tous les membres de cet ensemble. Pour chaque quadrilatère, la somme des quatre angles intérieurs est de 360 ​​degrés, que vous devez savoir.

    Une façon de comprendre cela est de voir que chaque quadrilatère peut être divisé en deux triangles. Nous avons donc ici un quadrilatère aléatoire. Et nous traçons la ligne de B à D. Et nous pouvons voir que nous avons deux triangles. Dans le triangle ABD, nous avons les trois angles bleus, ils doivent totaliser 180.

    Dans le triangle BCD, nous avons les trois angles rouges, ceux-ci doivent totaliser 180. Et vraiment, les angles dans tout le quadrilatère ABCD, c'est juste la somme des angles rouges plus les angles bleus. Donc, le rouge et le bleu doivent être égaux à 180, c'est 360. C'est pourquoi chaque quadrilatère a une somme d'angles de 360. Maintenant, cette ligne que nous avons tracée d'un sommet au sommet opposé s'appelle une diagonale.

    Les triangles n'ont pas de diagonales, mais chaque quadrilatère a exactement deux diagonales. Voici donc un quadrilatère avec ses deux diagonales dessinées. Les segments EG et FH sont les diagonales du quadrilatère EFGH. Comme nous le verrons, certains quadrilatères ont des diagonales avec des propriétés particulières. Maintenant, nous pouvons commencer à parler des quadrilatères spéciaux, les quadrilatères les plus élitistes qui sont les plus courants sur le test, le parallélogramme.


    8.4 : Triangles et Quadrilatères - Mathématiques

    Il existe de nombreux types de quadrilatères différents, mais tous ont plusieurs points communs : ils ont tous quatre côtés, sont coplanaires, ont deux diagonales et la somme de leurs quatre angles intérieurs est égale à 360 degrés. C'est ainsi qu'ils se ressemblent, mais qu'est-ce qui les rend différents ?

    Nous connaissons de nombreux quadrilatères par leurs formes et propriétés spéciales, comme les carrés. N'oubliez pas que si vous voyez le mot quadrilatère, cela ne signifie pas nécessairement une figure avec des propriétés spéciales comme un carré ou un rectangle ! Dans les problèmes de mots, veillez à ne pas supposer qu'un quadrilatère a des côtés parallèles ou des côtés égaux à moins que cela ne soit indiqué.

    Quadrilatères spéciaux

    Nous pouvons utiliser un diagramme de Venn pour nous aider à regrouper les types de quadrilatères.

    Un diagramme de Venn utilise des cercles qui se chevauchent pour montrer les relations entre les groupes d'objets. Tous les "quadrilatères" peuvent être séparés en trois sous-groupes : les quadrilatères généraux, les parallélogrammes et les trapèzes.

    Un rectangle est-il toujours un losange ? Non, car les quatre côtés d'un rectangle n'ont pas besoin d'être égaux. Cependant, les ensembles de rectangles et de losanges se coupent, et leur intersection est l'ensemble de carrés – tous les carrés sont à la fois un rectangle et un losange.

    On peut mettre des carrés à l'intersection des deux cercles.

    A partir de ce diagramme, vous pouvez voir qu'un carré est un quadrilatère, un parallélogramme, un rectangle et un losange !

    Un trapèze est-il un parallélogramme ? Non, car un trapèze n'a qu'une paire de côtés parallèles. C'est pourquoi nous devons montrer l'ensemble des trapèzes dans un cercle séparé sur le diagramme de Venn.

    Et les cerfs-volants ? Les cerfs-volants sont des quadrilatères qui pouvez être des parallélogrammes. Si leurs deux paires de côtés sont égales, cela devient un losange, et si leurs angles sont égaux, cela devient un carré.


    Liste des feuilles de travail quadrilatères

    Familiarisez les enfants avec les différents types de quadrilatères et leurs propriétés en utilisant les tableaux visuellement attrayants. Analysez l'arbre généalogique et comprenez également les similitudes et les différences entre les quadrilatères.

    Les feuilles de travail d'identification des quadrilatères comportent de nombreux fichiers PDF pour reconnaître et nommer les quadrilatères, les trier comme « quadrilatère » ou « pas un quadrilatère », dessiner et classer les quadrilatères et résoudre « Qui suis-je ? » énigmes pour n'en citer que quelques-unes.

    Cet ensemble de feuilles de travail sur les carrés offre aux débutants des compétences pour identifier et colorier des carrés, puis calculer le périmètre et l'aire des carrés. Apprenez à déterminer les longueurs de côté à partir de mesures diagonales et vice-versa et bien plus encore.

    La gamme de feuilles de travail sur les rectangles contient des exercices variés sur la reconnaissance des rectangles, le calcul de la surface et du périmètre des rectangles, la recherche de la surface des chemins rectangulaires et des formes rectilignes, la détermination des angles indiqués et bien plus encore.

    Renforcez vos compétences avec cette compilation de feuilles de travail sur les parallélogrammes. Identifiez les parallélogrammes avec et sans les mesures latérales indiquées et les parties congruentes, trouvez les longueurs de côté et les longueurs de diagonale, calculez l'aire et le périmètre, trouvez les angles et bien plus encore !

    Cet assortiment comprend des feuilles de travail sur la classification des trapèzes en scalènes, isocèles ou droits en fonction de leurs parties congruentes. Apprenez à calculer la longueur du segment médian, à calculer l'aire et le périmètre des trapèzes et plus encore.

    Les feuilles de travail imprimables sur les losanges se composent de graphiques pour identifier les losanges en fonction des côtés, des diagonales et des angles, et d'une multitude de fichiers PDF pour s'entraîner à trouver les longueurs des côtés et les mesures diagonales en résolvant des équations linéaires pour trouver « x », déterminer la zone et le périmètre et trouver le l'angle mesure aussi.

    Cette collection compacte de feuilles de travail sur les cerfs-volants contient des graphiques et des compétences pour identifier les cerfs-volants à l'aide des mesures indiquées et des parties congruentes, trouver la longueur des côtés, la surface, le périmètre, les angles et bien plus encore.

    Calculez le périmètre de divers quadrilatères spéciaux comme des carrés, des rectangles, des parallélogrammes, des losanges, des cerfs-volants et des trapèzes avec cet ensemble de feuilles de calcul dont les dimensions sont présentées sous forme d'entiers et de décimaux, comprenez la propriété congruente et résolvez des expressions algébriques pour trouver la longueur des côtés.

    Obtenez une énorme collection de feuilles de travail sur l'aire des quadrilatères pour améliorer votre pratique en trouvant l'aire des quadrilatères avec des dimensions exprimées en nombres entiers et en fractions, trouvez les paramètres manquants des quadrilatères et plus encore.

    Apprenez l'application des propriétés d'angle des quadrilatères, calculez les mesures des angles indiqués, résolvez également pour « x » pour déterminer les angles de quadrilatères spéciaux pour n'en citer que quelques-uns.


    Apprentissage des types de triangles et de quadrilatères :

      Types de triangles :
      Il existe plusieurs types de triangles. C'est le triangle scalène, le triangle isocèle, le triangle équilatéral, le triangle obtus, le triangle aigu, les triangles rectangles.

    1. Triangle scalène: les côtés du triangle sont différents.
    2. Triangle isocèle: Un triangle avec deux côtés égaux.
    3. Triangle équilatéral: Équilatéral (G) tous les côtés sont égaux et chaque angle = 60°, ce qui en fait le seul triangle équiangulaire. Puisque les 3 angles sont inférieurs à 90°, tous les triangles équilatéraux sont des triangles aigus.
    4. Triangle à angle droit : Un triangle rectangle est un triangle dont l'un de ses angles est exactement égal à 90°.
    5. Triangle à angle obtus : Un triangle à angle obtus est un triangle dont l'un de ses angles est supérieur à (>) 90°.
    6. Triangle à angle aigu : Le triangle à angle aigu est un triangle dont les trois angles sont inférieurs à (<) 90°.
    1. Carré: Tous les côtés sont égaux.
    2. Rectangle: Côtés opposés égaux.
    3. Parallélogramme: Côtés opposés parallèles.
    4. Trapèze : Deux côtés parallèles.
    5. Rhombe: Côtés opposés parallèles et égaux.
    6. Cerf-volant: Paires adjacentes de côtés égaux.

    Je prévois d'écrire plus d'articles sur les propriétés des triangles similaires avec un exemple,


    Résumé de la leçon

    Dans cette leçon, vous avez appris qu'un quadrilatère est une figure plane composée de quatre segments de droite se refermant dans un espace. Des types spécifiques de quadrilatères, comme le rectangle, le trapèze et le carré, ont des définitions plus restrictives.

    • Les quadrilatères peuvent être simples ou complexes
    • Les quadrilatères simples peuvent être convexes ou concaves
    • Les quadrilatères peuvent être symétriques ou asymétriques
    • Les angles intérieurs de tous les quadrilatères simples (convexes ou concaves) totalisent 360°
    • Les angles intérieurs de tous les quadrilatères complexes s'additionnent jusqu'à 720°

    Lien rapide pour toutes les feuilles de travail de zone et de périmètre

    Cliquez sur l'image pour accéder aux feuilles de travail de la zone et du périmètre.

    Formule de surface et de périmètreFeuilles de travail Page 1

    Formule de surface et de périmètreFeuilles de travail Page 2

    Superficie et périmètre deFeuilles de travail sur les triangles

    Superficie et périmètre deFeuilles de travail sur les quadrilatères

    Superficie et périmètre deFeuilles de travail sur les polygones réguliers

    Superficie et périmètre utilisantToutes les feuilles de travail sur les polygones

    Aire des formes composéesAjout de feuilles de calcul de régions

    Aire des formes composéesFeuilles de travail de soustraction de régions

    Aire des formes composéesAjouter et soustraire des régions


    Solution

    Si nous pouvons montrer que la somme des quatre angles d'un quadrilatère est 360$^circ$ alors il s'ensuit que $m(angle D) = m(angle H)$ :

    Pour voir pourquoi la somme des angles d'un quadrilatère est toujours de 360$^circ$, dessinons l'une des diagonales du quadrilatère :

    La somme des angles du triangle $PQR$ est de 180$ degrés et la somme des angles du triangle $PRS$ est de 180$ degrés :

    On a $m(angle RPQ) + m(angle RPS) = m(angle P)$ et $m(angle PRQ) + m(angle PRS) = m(angle R)$ donc en ajoutant le ci-dessus deux équations donne $ m(angle P) + m(angle Q) + m(angle R) + m(angle S) = 180 + 180 = 360. $

    Tous les trapèzes réguliers ne sont pas similaires. Le cas le plus simple à voir est peut-être le cas particulier des rectangles. Tous les rectangles partagent quatre angles droits congrus mais ils ne sont pas tous similaires. Par exemple, si $ABCD$ est un rectangle de 1 sur 2 et $EFGH$ est un rectangle de 1 sur 4, alors ils ne sont pas similaires car il n'y a pas de facteur d'échelle commun pour les différents côtés des rectangles. Le problème ici est que nous avons mis à l'échelle les rectangles dans une seule direction alors qu'une dilatation du plan se met à l'échelle dans toutes les directions.

    Cette idée peut être appliquée à des trapèzes réguliers qui ne sont pas des rectangles, l'idée étant que l'on peut allonger simultanément les deux côtés parallèles des trapèzes sans changer les angles. Nous pouvons donc considérer que $ABCD$ et $EFGH$ sont des trapèzes réguliers avec une paire d'angles de 45 degrés et une paire d'angles de 135 degrés. Les longueurs de côté de $ABCD$ peuvent être 1, 2, 2 et 3 (les côtés parallèles ayant les longueurs 1 et 3). Pour $EFGH$, nous pouvons allonger les deux côtés parallèles afin que ses longueurs latérales puissent être de 4, 2, 2 et 6. Bien qu'ils partagent quatre angles congrus, ces trapèzes ne sont pas similaires car il n'y a pas de facteur d'échelle qui prendra des longueurs de côté de $ABCD$ aux longueurs de côté (correspondantes) de $EFGH$.

    Dans ce cas, $ABCD$ et $EFGH$ sont similaires. Les diagonales $overline$ et $overline$ bissectent les angles congrus $A$, $C$, $E$ et $G$ (nous utilisons ici le fait que les angles opposés dans un losange sont congrus). Les triangles $ABC$ et $EFG$ partagent trois angles congrus et sont donc similaires. Par conséquent, il existe une séquence de dilatations, translations, rotations et réflexions qui mappe $ riangle ABC$ à $ riangle EFG$. Cette séquence de mouvements rigides mappera également $D$ à $H$ car $ riangle ADC$ est le seul triangle distinct de $ riangle ABC$, congru à $ riangle ABC$, partageant le côté $overline$ : après la séquence de dilatations, translations, rotations et réflexions $ riangle ADC$ correspond à l'unique triangle distinct de mais congru à $ riangle EFG$ partageant le côté $EG$, à savoir $ riangle EHG$.


    Voir la vidéo: Monikulmioiden alat ja kulmien summa (Octobre 2021).