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5.6 : Tests de ratio et de racine - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Utilisez le test de ratio pour déterminer la convergence absolue d'une série.
  • Utilisez le test de racine pour déterminer la convergence absolue d'une série.
  • Décrire une stratégie pour tester la convergence d'une série donnée.

Dans cette section, nous prouvons les deux dernières séries de tests de convergence : le test de ratio et le test de racine. Ces tests sont particulièrement sympathiques car ils ne nous obligent pas à trouver une série comparable. Le test du rapport sera particulièrement utile dans la discussion des séries entières dans le prochain chapitre. Tout au long de ce chapitre, nous avons vu qu'aucun test de convergence unique ne fonctionne pour toutes les séries. Par conséquent, à la fin de cette section, nous discutons d'une stratégie pour choisir le test de convergence à utiliser pour une série donnée.

Test de rapport

Considérons une série (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n). D'après notre discussion et nos exemples précédents, nous savons que (displaystyle lim_{n→∞}a_n=0) n'est pas une condition suffisante pour que la série converge. Non seulement nous avons besoin de ( a_n→0), mais nous avons besoin de ( a_n→0) assez rapidement. Par exemple, considérons la série (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n}) et la série (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1} {n^2}). On sait que ( frac{1}{n}→0) et ( frac{1}{n^2}→0). Cependant, seule la série (displaystyle sum_{n=1}^∞ frac{1}{n^2}) converge. La série (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n}) diverge car les termes de la séquence ( left{frac{1}{n} ight} ) ne s'approchent pas assez vite de zéro car ( n→∞). Nous présentons ici le test de rapport, qui fournit un moyen de mesurer à quelle vitesse les termes d'une série se rapprochent de zéro.

Test de rapport

Soit (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) une série avec des termes non nuls. Laisser

[ρ=lim_{n→∞} gauche|frac{a_{n+1}}{a_n}droit|.]

  1. Si ( 0≤ρ<1,) alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) converge absolument.
  2. Si ( ρ>1) ou ( ρ=∞), alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) diverge.
  3. Si ( ρ=1,) le test ne fournit aucune information.

Preuve

Soit (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) une série avec des termes non nuls.

Commençons par la preuve de la partie i. Dans ce cas, ( ρ=lim_{n→∞}∣frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1.) Depuis ( 0≤ρ<1), il existe ( R) tel que ( 0≤ρ0). Par définition de limite d'une suite, il existe un nombre entier ( N) tel que

[left|left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|−ρ ight|<ε,; ext{for all}; n≥N.]

Par conséquent,

[left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|<ρ+ρ=R, ; ext{for all}; n≥N]

Et ainsi,

( |a_{N+1}|

( ∣a_{N+2}∣

( ∣a_{N+3}∣

( ∣a_{N+4}∣

( ⋮.)

Puisque ( R<1,) la série géométrique

[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯]

converge. Compte tenu des inégalités ci-dessus, nous pouvons appliquer le test de comparaison et conclure que la série

[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯]

converge. Par conséquent, depuis

[sum_{n=1}^∞|a_n|=sum_{n=1}^N|a_n|+sum_{n=N+1}^∞|a_n|]

où (displaystyle sum_{n=1}^N|a_n|) est une somme finie et (displaystyle sum_{n=N+1}^∞|a_n|) converge, nous concluons que (displaystyle sum_{n=1}^∞|a_n|) converge.

Pour la partie ii.

[ρ=lim_{n→∞}gauche|frac{a_{n+1}}{a_n}droit|>1.]

Puisque ( ρ>1,) il existe ( R) tel que ( ρ>R>1). Soit ( ε=ρ−R>0). Par définition de la limite d'une suite, il existe un entier ( N) tel que

[left|left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|−ρ ight|<ε, ; ext{for all}; n≥N.]

Par conséquent,

[R=ρ−ε

Et ainsi,

( |a_{N+1}|>R|a_N|)

( ∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣)

( ∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣)

( ∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N .)

Puisque ( R>1,) la série géométrique

[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯]

diverge. En appliquant le test de comparaison, nous concluons que la série

[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯]

diverge, et donc la série (displaystyle sum_{n=1}^∞|a_n|) diverge.

Pour la partie iii. nous montrons que le test ne fournit aucune information si ( ρ=1) en considérant la ( p−series) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n^ p}). Pour tout nombre réel ( p),

[ρ=lim_{n→∞}frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=lim_{n→∞}frac{n^p}{(n+ 1)^p}=1.]

Cependant, nous savons que si ( p≤1,) le série p (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n^p}) diverge, alors que (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n ^p}) converge si ( p>1).

Le test de ratio est particulièrement utile pour les séries dont les termes contiennent des factorielles ou exponentielles, où le ratio de termes simplifie l'expression. Le test du rapport est pratique car il ne nous oblige pas à trouver une série comparative. L'inconvénient est que le test ne fournit parfois aucune information concernant la convergence.

Exemple ( PageIndex{1}) : Utilisation du test de ratio

Pour chacune des séries suivantes, utilisez le test de ratio pour déterminer si la série converge ou diverge.

  1. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{2^n}{n!})
  2. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^n}{n!} )
  3. (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!})

Solution

une. A partir du test de ratio, on peut voir que

[ ρ=lim_{n→∞}frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=lim_{n→∞}frac{2^ {n+1}}{(n+1)!}⋅frac{n!}{2^n}.]

Puisque ( (n+1)!=(n+1)⋅n!,)

[ ρ=lim_{n→∞}frac{2}{n+1}=0.]

Puisque ( ρ<1,) la série converge.

b. On peut voir ça

[ ρ=lim_{n→∞}frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=lim_{n→∞} frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅frac{n!}{n^n}=lim_{n→∞}(frac{n+1} {n})^n=lim_{n→∞}(1+frac{1}{n})^n=e.]

Puisque ( ρ>1,) la série diverge.

c. Depuis

[ ∣frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2 /(2n)!}∣=frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅frac{(2n)!}{n!n!}=frac {(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}]

on voit ça

[ ρ=lim_{n→∞}frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=frac{1}{4}.]

Puisque ( ρ<1), la série converge.

Exercice (PageIndex{1})

Utilisez le test de ratio pour déterminer si la série (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^3}{3^n}) converge ou diverge.

Indice

Évaluer (displaystyle lim_{n→∞}frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅frac{3^n}{n^3}.)

Répondre

La série converge.

Test racine

L'approche du test de racine est similaire à celui du test de ratio. Considérons une série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) telle que (displaystyle lim_{n→∞}sqrt[n]{|a_n|}=ρ) pour nombre ( ). Alors pour ( N) suffisamment grand, ( ∣a_N∣≈ρN.) On peut donc approximer (displaystyle sum_{n=N}^∞|a_n|) en écrivant

[∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯.]

L'expression de droite est une série géométrique. Comme dans le test de ratio, la série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) converge absolument si ( 0≤ρ<1) et la série diverge si ( ρ≥1). Si ( ρ=1), le test ne fournit aucune information. Par exemple, pour toute série p, (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^p}), nous voyons que

[ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{∣frac{1}{n^p}∣}=lim_{n→∞}frac{1}{n^{p/n }}].

Pour évaluer cette limite, nous utilisons la fonction logarithme népérien. Ce faisant, nous voyons que

( ln ρ=ln(lim_{n→∞}frac{1}{n^{p/n}})=lim_{n→∞}ln(frac{1}{n} )^{p/n}=lim_{n→∞}frac{p}{n}⋅ln(frac{1}{n})=lim_{n→∞}frac{pln (1/n)}{n}.)

En utilisant la règle de L'Hôpital, il en résulte que ( ln ρ=0), et donc ( ρ=1) pour tout ( p). Cependant, on sait que la série p ne converge que si ( p>1) et diverge si ( p<1).

Test racine

Considérez la série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n). Laisser

[ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{|a_n|}].

  1. Si ( 0≤ρ<1,) alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) converge absolument.
  2. Si ( ρ>1) ou ( ρ=∞), alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) diverge.
  3. Si ( ρ=1), le test ne fournit aucune information.

Le test de racine est utile pour les séries dont les termes impliquent des exponentielles. En particulier, pour une série dont les termes ( a_n) satisfont ( |a_n|=(b_n)^n), alors ( sqrt[n]{|a_n|}=b_n) et il suffit d'évaluer (displaystyle lim_{n→∞}b_n).

Exemple ( PageIndex{2}) : Utilisation du test racine

Pour chacune des séries suivantes, utilisez le test de racine pour déterminer si la série converge ou diverge.

  1. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n})
  2. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^n}{(ln(n))^n})

Solution

une. Pour appliquer le test de racine, on calcule

[ ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=lim_{n→∞}frac{n^ 2+3n}{4n^2+5}=frac{1}{4}.]

Puisque ( ρ<1,) la série converge absolument.

b. On a

[ ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{n^n/(ln n)^n}=lim_{n→∞}frac{n}{ln n}=∞ quad ext{par la règle de L'Hôpital.}]

Puisque ( ρ=∞), la série diverge.

Exercice (PageIndex{2})

Utilisez le test racine pour déterminer si la série (displaystyle sum^∞_{n=1}1/n^n) converge ou diverge.

Indice

Évaluez (displaystyle lim_{n→∞}sqrt[n]{frac{1}{n^n}}).

Répondre

La série converge.

Choisir un test de convergence

À ce stade, nous avons une longue liste de tests de convergence. Cependant, tous les tests ne peuvent pas être utilisés pour toutes les séries. Lorsqu'on nous donne une série, nous devons déterminer quel test est le meilleur à utiliser. Voici une stratégie pour trouver le meilleur test à appliquer.

Stratégie de résolution de problèmes : choisir un test de convergence pour une série

Considérons une série (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n.) Dans les étapes ci-dessous, nous décrivons une stratégie pour déterminer si la série converge.

  1. Est-ce que (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) est une série familière ? Par exemple, est-ce la série harmonique (qui diverge) ou la série harmonique alternée (qui converge) ? Est-ce un série p ou séries géométriques ? Si c'est le cas, vérifiez la puissance ( p) ou le rapport ( r) pour déterminer si la série converge.
  2. Est-ce une série en alternance ? Sommes-nous intéressés par la convergence absolue ou simplement la convergence ? Si nous voulons simplement savoir si la série converge, appliquez le test des séries alternées. Si nous sommes intéressés par la convergence absolue, passez à l'étape ( 3), en considérant la série de valeurs absolues (displaystyle sum_{n=1}^∞|a_n|.)
  3. La série ressemble-t-elle à un série p ou séries géométriques ? Si c'est le cas, essayez le test de comparaison ou le test de comparaison des limites.
  4. Les termes de la série contiennent-ils une factorielle ou une puissance ? Si les termes sont des puissances telles que ( a_n=(b_n)^n,) essayez d'abord le test racine. Sinon, essayez d'abord le test de ratio.
  5. Utilisez le test de divergence. Si ce test ne fournit aucune information, essayez le test intégral.

Visitez ce site Web pour plus d'informations sur les tests de convergence des séries, ainsi que des informations générales sur les suites et les séries.

Exemple ( PageIndex{3}) : Utilisation de tests de convergence

Pour chacune des séries suivantes, déterminez quel test de convergence est le meilleur à utiliser et expliquez pourquoi. Déterminez ensuite si la série converge ou diverge. Si la série est une série alternée, déterminez si elle converge absolument, converge conditionnellement ou diverge.

  1. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1})
  2. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!})
  3. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{e^n}{n^3})
  4. (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{3^n}{(n+1)^n})

Solution

une. Étape 1. La série n'est pas une série p ou séries géométriques.

Étape 2. La série n'est pas en alternance.

Étape 3. Pour les grandes valeurs de ( n), nous approchons la série par l'expression

( frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈frac{n^2}{n^3}=frac{1}{n}.)

Par conséquent, il semble raisonnable d'appliquer le test de comparaison ou test de comparaison limite en utilisant la série (displaystyle sum_{n=1}^∞1/n). En utilisant le test de comparaison des limites, nous voyons que

(displaystyle lim_{n→∞}frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=lim_{n→∞}frac{ n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.)

Depuis la série (displaystyle sum_{n=1}^∞1/n)

diverge, cette série diverge aussi.

b. Étape 1.La série n'est pas une série familière.

Étape 2. La série est en alternance. Puisque nous nous intéressons à la convergence absolue, considérons la série

(displaystyle sum_{n=1}^∞frac{3n}{(n+1)!}.)

Étape 3. La série n'est pas similaire à une série p ou à une série géométrique.

Étape 4. Puisque chaque terme contient une factorielle, appliquez le test du rapport. On voit ça

(displaystyle lim_{n→∞}frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=lim_{n→∞}frac {3n+3}{(n+1)!}⋅frac{n!}{3n+1}=lim_{n→∞}frac{3n+3}{(n+1)(3n+1 )}=0.)

Par conséquent, cette série converge, et nous concluons que la série originale converge absolument, et donc converge.

c. La série n'est pas une série familière.

Étape 2. Ce n'est pas une série alternée.

Étape 3. Il n'y a pas de série évidente avec laquelle comparer cette série.

Étape 4. Il n'y a pas de factorielle. Il y a un pouvoir, mais ce n'est pas une situation idéale pour le test racine.

Étape 5. Pour appliquer le test de divergence, nous calculons que

(displaystyle lim_{n→∞}frac{e^n}{n^3}=∞.)

Par conséquent, par le test de divergence, la série diverge.

ré. Cette série n'est pas une série familière.

Étape 2. Puisque chaque terme est une puissance de n, nous pouvons appliquer le test de racine. Depuis

(displaystyle lim_{n→∞}sqrt[n]{(frac{3}{n+1})^n}=lim_{n→∞}frac{3}{n+1} =0,)

par le test de racine, nous concluons que la série converge.

Exercice (PageIndex{3})

Pour la série (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{2^n}{3^n+n}), déterminez quel test de convergence est le meilleur à utiliser et expliquez pourquoi.

Indice

La série est similaire à la série géométrique (displaystyle sum^∞_{n=1}left(frac{2}{3} ight)^n).

Répondre

Le test de comparaison car ( dfrac{2^n}{3^n+n}

Dans le tableau, nous résumons les tests de convergence et quand chacun peut être appliqué. Notez que tandis que le test de comparaison, le test de comparaison limite et le test intégral nécessitent que la série (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) ait des termes non négatifs, si (displaystyle sum_{n=1} ^∞a_n) a des termes négatifs, ces tests peuvent être appliqués à (displaystyle sum_{n=1}^∞|a_n|) pour tester la convergence absolue.

Résumé des tests de convergence
Série ou essaiConclusioncommentaires

Test de divergence

Pour toute série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n), évaluez (displaystyle lim_{n→∞}a_n).

Si (displaystyle lim_{n→∞}a_n=0), le test n'est pas concluant.Ce test ne peut pas prouver la convergence d'une série.
Si (displaystyle lim_{n→∞}a_n≠0), la série diverge.

Série géométrique

(displaystyle sum^∞_{n=1}ar^{n−1})

Si ( |r|<1), la série converge vers ( a/(1−r)).Toute série géométrique peut être réindexée pour être écrite sous la forme ( a+ar+ar^2+⋯), où ( a) est le terme initial et r est le rapport.
Si ( |r|≥1,) la série diverge.

Série p

(displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n^p})

Si ( p>1), la série converge.Pour ( p=1), nous avons la série harmonique (displaystyle sum^∞_{n=1}1/n).
Si ( p≤1), la série diverge.

Test de comparaison

Pour (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n ) avec des termes non négatifs, comparer avec une série connue (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n).

Si ( a_n≤b_n) pour tout ( n≥N) et (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) converge, alors (displaystyle sum^∞_{n= 1}a_n) converge.Généralement utilisé pour une série similaire à une série géométrique ou ( p). Il peut parfois être difficile de trouver une série appropriée.
Si ( a_n≥b_n) pour tout ( n≥N) et (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) diverge, alors (displaystyle sum^∞_{n= 1}a_n) diverge.

Test de comparaison des limites

Pour (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) avec des termes positifs, comparer avec une série (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) en évaluant

( L=displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n}{b_n}.)

Si ( L) est un nombre réel et ( L≠0), alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) et (displaystyle sum^∞_{n= 1}b_n) les deux convergent ou les deux divergent.Généralement utilisé pour une série similaire à une série géométrique ou ( p). Souvent plus facile à appliquer que le test de comparaison.
Si ( L=0) et (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) converge, alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) converge.
Si ( L=∞) et (displaystyle sum^∞_{n=1}b_n) divergent, alors (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) diverge.

Test intégral

S'il existe une fonction positive, continue, décroissante ( f) telle que ( a_n=f(n)) pour tout ( n≥N), évaluer ( displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx .)

( ∫^∞_Nf(x)dx) et (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) convergent ou divergent.Limité aux séries pour lesquelles la fonction correspondante f peut être facilement intégrée.

Série en alternance

(displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n) ou (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n)

Si ( b_{n+1}≤b_n) pour tout ( n≥1) et ( b_n→0), alors la série converge.Ne s'applique qu'aux séries alternées.

Test de rapport

Pour toute série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) avec des termes non nuls, soit (displaystyle ρ=lim_{n→∞}left|frac{a_{n+1} }{a_n}droit|)

Si ( 0≤ρ<1), la série converge absolument.

Souvent utilisé pour les séries impliquant des factorielles ou des exponentielles.

Si ( ρ>1) ou ( ρ=∞), la série diverge.
Si ( ρ=1), le test n'est pas concluant.

Test racine

Pour toute série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n), soit ( displaystyle ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{|a_n|}).

Si ( 0≤ρ<1), la série converge absolument.Souvent utilisé pour les séries où ( |a_n|=(b_n)^n).
Si ( ρ>1) ou ( ρ=∞), la série diverge.
Si ( ρ=1), le test n'est pas concluant.

Série convergeant vers ( π) et ( 1/π)

Il existe des dizaines de séries qui convergent vers ( π) ou une expression algébrique contenant ( π). Nous examinons ici plusieurs exemples et comparons leurs taux de convergence. Par taux de convergence, nous entendons le nombre de termes nécessaires pour qu'une somme partielle se situe dans une certaine limite de la valeur réelle. Les représentations en série de ( ) dans les deux premiers exemples peuvent être expliquées en utilisant les séries de Maclaurin, qui sont discutées dans le chapitre suivant. Le troisième exemple repose sur des éléments qui dépassent le cadre de ce texte.

1. La série

[π=4sum_{n=1}^∞frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−frac{4}{3}+frac{4} {5}−frac{4}{7}+frac{4}{9}−⋯]

a été découvert par Gregory et Leibniz à la fin des années (1600). Ce résultat découle de la série de Maclaurin pour ( f(x)= an^{−1}x). Nous discuterons de cette série dans le prochain chapitre.

une. Montrer que cette série converge.

b. Evaluer les sommes partielles ( S_n) pour ( n=10,20,50,100.)

c. Utilisez l'estimation du reste pour les séries alternées afin d'obtenir une borne sur l'erreur ( R_n).

ré. Quelle est la plus petite valeur de ( N) qui garantit ( |R_N|<0,01) ? Évaluez ( S_N).

2. La série

[π=6sum^∞_{n=0}frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6gauche(frac {1}{2}+frac{1}{2⋅3}gauche(frac{1}{2} ight)^3+frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅ gauche(frac{1}{2} ight)^5+frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}gauche(frac{1}{2} ight)^7 +⋯droit)]

a été attribué à Newton à la fin des années (1600). La preuve de ce résultat utilise la série de Maclaurin pour ( f(x)=sin^{−1}x).

une. Montrer que la série converge.

b. Evaluer les sommes partielles ( S_n) pour ( n=5,10,20.)

c. Comparez (S_n) à ( π) pour ( n=5,10,20) et discutez du nombre de décimales correctes.

3. La série

[frac{1}{π}=frac{sqrt{8}}{9801}sum_{n=0}^∞frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!) ^4396^{4n}}]

a été découvert par Ramanujan Au début des années 1900). William Gosper, Jr., a utilisé cette série pour calculer ( π) avec une précision de plus de ( 17) millions de chiffres au ( milieu des années 1980). À l'époque, c'était un record du monde. Depuis cette époque, cette série et d'autres de Ramanujan ont conduit les mathématiciens à trouver de nombreuses autres représentations de séries pour ( π) et ( 1/π).

une. Évaluez le premier terme de cette série. Comparez ce nombre avec la valeur de ( π) d'un utilitaire de calcul. A combien de décimales ces deux nombres s'accordent-ils ? Et si on ajoutait les deux premiers termes de la série ?

c. Enquêtez sur la vie de Srinivasa Ramanujan ( (1887-1920)) et rédigez un bref résumé. Ramanujan est l'une des histoires les plus fascinantes de l'histoire des mathématiques. Il était fondamentalement autodidacte, sans formation formelle en mathématiques, mais il a contribué de manière très originale à de nombreux domaines avancés des mathématiques.

Concepts clés

  • Pour le test du rapport, on considère

[ρ=lim_{n→∞}∣frac{a_{n+1}}{a_n}∣.]

Si ( ρ<1), la série (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) converge absolument. Si ( ρ>1), la série diverge. Ce test est utile pour les séries dont les termes impliquent des factorielles.

  • Pour le test de racine, on considère

[ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{|a_n|}].

Si ( ρ<1), la série (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) converge absolument. Le test de racine est utile pour les séries dont les termes impliquent des puissances.

  • Pour une série similaire à une série géométrique ou série p, envisager l'un des tests de comparaison.

Glossaire

essai de rapport
pour une série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) avec des termes non nuls, soit ( displaystyle ρ=lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|) ; si ( 0≤ρ<1), la série converge absolument ; si ( ρ>1), la série diverge ; si ( ρ=1), le test n'est pas concluant
test de racine
pour une série (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n,) let ( displaystyle ρ=lim_{n→∞}sqrt[n]{|a_n|}); si ( 0≤ρ<1), la série converge absolument ; si ( ρ>1), la série diverge ; si ( ρ=1), le test n'est pas concluant

Les tests de ratio et de racine



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Utiliser le test de ratio pour déterminer si une série converge #1
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11.6 Les tests de ratio et de racine

Introduction: Dans cette leçon, nous appliquerons tous les tests de convergence et de divergence que nous avons appris jusqu'à présent pour tester une variété de séries de convergence absolue, de convergence conditionnelle ou de divergence.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Expliquez ce que signifie pour une série d'être absolument convergente.
  • Expliquez ce que signifie pour une série d'être conditionnellement convergente.
  • Utilisez le test de ratio pour déterminer si une série converge ou diverge.
  • Utilisez le test racine pour déterminer si une série converge ou diverge.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (11-6-The-Ratio-and-Root-Tests) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez lire la section 11.6 de votre manuel et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même pour vous entraîner. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Accédez à WebAssign et terminez l'affectation 𔄣.6 Ratio and Root Test”. Il n'y aura qu'un seul devoir pour les deux parties de cette leçon.


5.6 : Tests de ratio et de racine - Mathématiques

Est-ce que la série $dssum_^infty $ converger ? Il est possible, mais un peu désagréable, d'aborder cela avec le test intégral ou le test de comparaison, mais il existe un moyen plus simple. Considérez ce qui se passe lorsque nous passons d'un terme à l'autre dans cette série : $cdots++<(n+1)^5sur 5^>+cdots$ Le dénominateur augmente d'un facteur 5, $ds 5^=5cdot5^n$, mais le numérateur augmente beaucoup moins : $ds (n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1$, ce qui est bien inférieur à $ds 5n^5$ lorsque $n$ est grand, car $ds 5n^4$ est bien inférieur à $ds n^5$. On peut donc deviner qu'à long terme, chaque terme commence à ressembler à 1/5$ du terme précédent. Nous avons vu des séries qui se comportent comme ceci : $sum_^infty <1over 5^n>= <5over4>,$ une série géométrique. Nous pourrions donc essayer de comparer la série donnée à une variation de cette série géométrique. C'est possible, mais un peu brouillon. Nous pouvons en effet faire la même chose, mais contourner la plupart des travaux désagréables.

La clé est de remarquer que $ lim_ <>over a_n>= lim_ <(n+1)^5sur 5^><5^nsur n^5>= lim_ <(n+1)^5over n^5><1over 5>=1cdot <1over5>=<1over 5>. $ C'est vraiment ce que nous avons remarqué ci-dessus, fait un peu plus officiellement : à long terme, chaque terme est un cinquième du terme précédent. Choisissez maintenant un nombre entre 1$/5$ et 1$, disons 1/2$. Parce que $lim_ <>over a_n>=<1over5>,$ alors quand $n$ est assez grand, disons $nge N$ pour quelques $N$, $ <>over a_n> Théorème 11.7.1 (Le test du rapport) Supposons que $dslim_ |a_/a_n|=L$. Si $L 1$ la série diverge, et si $L=1$ ce test ne donne aucune information.

Preuve.
L'exemple ci-dessus prouve essentiellement la première partie de ceci, si nous remplaçons simplement $1/5$ par $L$ et $1/2$ par $r$. Supposons que $L>1$, et choisissez $r$ pour que $1 r quad hboxquad |a_| > r|a_n|.$ Ceci implique que $ds |a_|>r^k|a_N|$, mais puisque $r>1$ cela signifie que $dslim_|a_| ot=0$, ce qui signifie aussi que $dslim_a_npas=0$. Par le test de divergence, la série diverge.

Pour voir que nous n'obtenons aucune information lorsque $L=1$, nous devons présenter deux séries avec $L=1$, une qui converge et une qui diverge. Il est facile de voir que $sum 1/n^2$ et $sum 1/n$ font le travail.

Exemple 11.7.2 Le test du rapport est particulièrement utile pour les séries impliquant la fonction factorielle. Considérez $dssum_^infty 5^n/n!$. $ lim_ <5^au-dessus de (n+1) !>= lim_ <5^plus de 5^n>= lim_ <5><1sur (n+1)>=0. $ Depuis le théorème 11.7.3 (Le test racine) Supposons que $dslim_ |a_n|^<1/n>=L$. Si $L 1$ la série diverge, et si $L=1$ ce test ne donne aucune information.

La preuve du test de racine est en fait plus facile que celle du test de ratio, et c'est un bon exercice.

Exemple 11.7.4 Analyser $dssum_^infty <5^nsur n^n>$.

Le test de ratio s'avère un peu difficile sur cette série (essayez-le). Utilisation du test racine : $ lim_ left(<5^nover n^n> ight)^<1/n>= lim_ <(5^n)^<1/n>over (n^n)^<1/n>>= lim_ <5sur n>=0. $ Puisque < 1$, la série converge.

Le test de racine est fréquemment utile lorsque $n$ apparaît comme exposant dans le terme général de la série.


Calcul des premiers transcendants : calcul intégral et multivariable pour les sciences sociales

Est-ce que la série (dssum_^infty ) converger ? Il est possible, mais un peu désagréable, d'aborder cela avec le Test Intégral ou le Test de Comparaison, mais il existe un moyen plus simple. Considérez ce qui se passe lorsque nous passons d'un terme à l'autre dans cette série :

Le dénominateur augmente d'un facteur 5, (ds 5^=5cdot5^n ext<,>) mais le numérateur monte beaucoup moins : (ds (n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+ 5n+1 ext<,>) qui est bien inférieur à (ds 5n^5) lorsque (n) est grand, car (ds 5n^4) est bien inférieur à ( ds n^5 ext<.>) On peut donc deviner qu'à long terme, il commence à sembler que chaque terme est (1/5) du terme précédent. Nous avons vu des séries qui se comportent comme ceci : La série géométrique.

Nous pourrions donc essayer de comparer la série donnée à une variation de cette série géométrique. C'est possible, mais un peu brouillon. Nous pouvons en effet faire la même chose, mais contourner la plupart des travaux désagréables.

La clé est de remarquer que

C'est vraiment ce que nous avons remarqué ci-dessus, fait un peu plus formellement : à long terme, chaque terme est un cinquième du terme précédent. Maintenant, choisissez un nombre entre (1/5) et (1 ext<,>) disons (1/2 ext<.>) Parce que

puis quand (n) est assez grand, disons (nge N) pour certains (N ext<,>)

Donc (ds a_lt a_N/2 ext<,>) (ds a_lt a_/2lt a_N/4 ext<,>) (ds a_lt a_/2lt a_N/8 ext<,>) et ainsi de suite. La forme générale est (ds a_lt a_N/2^k ext<.>) Donc si on regarde la série

ses termes sont inférieurs ou égaux aux termes de la suite

Ainsi, par le test de comparaison, (dssum_^infty a_) converge, et cela signifie que (dssum_^infty a_) converge, puisqu'on vient d'ajouter le nombre fixe (ds a_0+a_1+cdots+a_ exte<.>)

Dans quelles circonstances pourrions-nous faire cela? La partie cruciale était que la limite de (ds a_/a_n ext<,>) disons que (L ext<,>) était inférieur à 1 afin que nous puissions choisir une valeur (r) de sorte que (Llt rlt 1 ext< .>) Le fait que (Llt r) (dans notre exemple (1/5lt 1/2)) permet de comparer la série (sum a_n) à ( sum r^n ext<,>) et le fait que (rlt 1) garantit que (sum r^n) converge. C'est vraiment tout ce qui est nécessaire pour que l'argument fonctionne.

Théorème 6.59 . Test de rapport.

Soit une série (sum a_n) à termes positifs et (limlimits_ frac<>> = L exte<:>)

Si (L lt 1 ext<,>) alors la série converge.

Si (L > 1 ext<,>) alors la série diverge.

Si (L=1 ext<,>) alors ce test ne donne aucune information.

Preuve.

L'exemple ci-dessus prouve essentiellement la première partie de ceci, si nous remplaçons simplement (1/5) par (L) et (1/2) par (r ext<.>) Supposons que (L>1 ext<,>) et choisissez (r) pour que (1lt rlt L ext<.>) Puis pour (nge N ext<,>) pour certains (N exte<,>)

Cela implique que (ds |a_|>r^k|a_N| ext<,>) mais puisque (r>1) cela signifie que (dslim_|a_| ot=0 ext<,>) ce qui signifie aussi que (dslim_a_n ot=0 ext<.>) Par le test de divergence, les séries divergent.

Pour voir que nous n'obtenons aucune information lorsque (L=1 ext<,>) nous devons présenter deux séries avec (L=1 ext<,>) une qui converge et une qui diverge. Les séries (sum 1/n^2) et (sum 1/n) fournissent un exemple simple.

Le test de ratio est particulièrement utile pour les séries impliquant des factorielles et des exponentielles.

En général, nous exigeons qu'une série n'ait que des termes non nuls.

Puis on considère les valeurs absolues des termes : (limlimits_ gauchevert dfrac<>> ightvert = L)

Cela signifie que nous testons la convergence absolue.

Exemple 6.60 . Factorielles et test de rapport.

Depuis (0lt 1 ext<,>) la série converge.

Un argument similaire à celui utilisé pour le test de ratio justifie un test connexe qui est parfois plus facile à appliquer, à savoir le soi-disant .

Théorème 6.61 . Test de racine.

Soit une série (sum a_n) à termes positifs et (limlimits_(a_n)^ <1/n>= L exte<:>)

Si (L lt 1 ext<,>) alors la série converge.

Si (L > 1 ext<,>) alors la série diverge.

Si (L=1 ext<,>) alors ce test ne donne aucune information.

La preuve du Root Test est en fait plus facile que celle du Ratio Test, et est laissée en exercice.

Exemple 6.62 . Exponentielles et test racine.

Le Ratio Test s'avère un peu difficile sur cette série (essayez-le). Utilisation du test racine :

Depuis (0lt 1 ext<,>) la série converge.

Le test racine est fréquemment utile pour les séries impliquant des exponentielles.

En général, nous exigeons qu'une série n'ait que des termes non nuls.

Puis on considère les valeurs absolues des termes : (limlimits_ left(leftvert a_n ightvert ight)^ <1/n>= L)


Si les deux limites existent, elles doivent être égales. En fait, pour une suite de termes positifs $(a_n)$, si $limlimits_ <>over a_n>$ existe, alors $limlimits_ existe aussi oot n de $ et de plus, dans ce cas, les deux bornes sont égales l'une à l'autre. Cela découle d'un fait plus général contenu dans ces notes de Pete L. Clark.

Je ne sais pas si ce qui suit répond à votre deuxième question, mais :

En général, il n'y a pas de relation entre la valeur de la limite $limlimits_ <>over a_n>$ et la valeur de la somme $sumlimits_^infty a_n$.
En effet, voici un exemple idiot montrant ceci :

Supposons que $(a_n)$ soit une séquence de termes positifs et que $limlimits_ <>sur a_n>=r<1$. Puis $sumlimits_^infty a_n$ converge, disons vers $S e 0$. Soit maintenant $a>0$ et considérons la séquence $(b_n)$ définie par $b_n=acdot a_n$. Ici nous avons $limlimits_ <>over b_n> =limlimits_ <>over a_n>= r$. Mais, $sumlimits_^infty b_n=aS$.

Donc si, $limlimits_ <>over a_n>=r<1$, la série correspondante pourrait éventuellement converger vers n'importe quel nombre positif donné. La même remarque vaut pour la limite dans le test Root.

Pour une série réelle non négative $(a_n)_>$, les tests donnent deux nombres (éventuellement indéfinis) : appelons-les $L_ extit := lim_n (a_n)^>$, et $L_ extit := lim_n frac<>>$.

From Lemma 3 of these notes by Pete L. Clark, it follows that if $L_< extit>$ is defined, then $L_ extit$ is also defined, and they are equal.

This is reasonably intuitive, with a bit of thought: suppose that for $n>N$, the ratio of consecutive terms $frac<>>$ is always close to $L$. Then (still for $n>N$), consider $a_n$ as produced by multiplying $a_N$ by all the later consecutive ratios so it’s close to $L^ a_N$, and its $n$th root is close to $(L^ a_N)^> = L (frac)^frac<1>$. The second factor here, being the $n$th root of a constant, goes to $1$ as $n$ grows so for sufficiently large $n$, $(a_n)^frac<1>$ will be close to $L$. (Exercise: make this argument precise — replace each “…close to…” by appropriate specific bounds.)

On the other hand, the converse doesn’t generally hold. $L_ extit$ may be defined even if $L_ extit$ is not. For example, set $a_n = 2^n$ when $n$ is even, $a_n = 2^$ when $n$ is odd. Then the ratio of consecutive terms alternates between 1 and 4, so $L_ extit$ is undefined but the sequence is close enough to $2^n$ that the root converges, with $L_ extit = 2$.

(Thanks to @David Mitra’s comment for the reference to the linked notes.)


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Calculating Square Roots

It is easy to work out the square root of a perfect square, but it is really hard to work out other square roots.

Example: what is √10?

Well, 3 × 3 = 9 and 4 × 4 = 16, so we can guess the answer is between 3 and 4.

  • Let's try 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25
  • Let's try 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24
  • Let's try 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61
  • .

Getting closer to 10, but it will take a long time to get a good answer!

At this point, I get out my calculator and it says:

3.1622776601683793319988935444327

But the digits just go on and on, without any pattern.

So even the calculator's answer is only an approximation !

Note: numbers like that are called Irrational Numbers, if you want to know more.


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Last updated 12/2020

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