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0.3 : Théorie des ensembles de base - Mathématiques


0.3 : Théorie des ensembles de base - Mathématiques

Théorie des ensembles naïf

Les ensembles sont sans doute les objets les plus fondamentaux des mathématiques modernes. La familiarité avec la notation des ensembles est certainement une exigence pour la compréhension des mathématiques postsecondaires. De plus, certains mathématiciens ont démontré au fil des ans que la plupart des mathématiques que nous rencontrons peuvent être réduites à la théorie des ensembles ! En conséquence, une version de la théorie des ensembles, appelée théorie axiomatique des ensembles, a été utilisée comme fondement possible des mathématiques. Cependant, nous serons un peu moins ambitieux et étudierons plutôt la théorie naïve des ensembles. Dans la théorie naïve des ensembles, nous n'avons pas besoin d'être trop précis sur la définition exacte d'un ensemble.


0.3 : Théorie des ensembles de base - Mathématiques

Les ensembles sont des collections bien déterminées qui sont complètement caractérisées par leurs éléments. Ainsi, deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont exactement les mêmes éléments. La relation de base dans la théorie des ensembles est celle d'élément, ou d'appartenance. On écrit (ain A) pour indiquer que l'objet (a) est un élément, ou un membre, de l'ensemble (A). On dit aussi que (a) appartient à (UNE). Ainsi, un ensemble (A) est égal à un ensemble (B) si et seulement si pour tout (a), (ain A) si et seulement si (ain B ). En particulier, il n'y a qu'un seul ensemble sans aucun élément. Cet ensemble s'appelle, naturellement, le ensemble vide, et est représenté par le symbole ().

On dit que (A) est un sous-ensemble de (B), noté (Asubseteq B), si tout élément de (A) est un élément de (B). Ainsi, (A=B) si et seulement si (Asubseteq B) et (Bsubseteq A). Notez que (subseteq A), pour chaque ensemble (A).

Étant donnés les ensembles (A) et (B), on peut effectuer quelques opérations de base avec eux donnant les ensembles suivants :

L'ensemble (Acup B), appelé le syndicat de (A) et (B), dont les éléments sont les éléments de (A) et les éléments de (B).

L'ensemble (Acap B), appelé le intersection de (A) et (B), dont les éléments sont les éléments communs à (A) et (B).

L'ensemble (A-B), appelé le différence de (A) et (B), dont les éléments sont les éléments de (A) qui ne sont pas membres de (B).

Il est courant de vérifier que ces opérations satisfont aux propriétés suivantes :

(A cup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C))

(A cap (Bcup C)=(Acap B)cup (Acap C))

Étant donné un objet (a) nous pouvons former l'ensemble qui a (a) comme seul élément. Cet ensemble est noté (< a >). Plus généralement, étant donné (a,b,c,ldots), on peut former l'ensemble ayant (a,b,c,ldots) pour éléments, que l'on note (< a,b ,c, ldots>). Bien sûr, on peut effectivement noter tous les éléments de l'ensemble quand ils ne sont pas trop nombreux. Dans le cas d'ensembles infinis, ce n'est clairement pas possible.

Si (a=b), alors (< a,b>=< a>). Aussi, pour tout (a) et (b), la paire (< a,b>) est la même que la paire (< b,a>). Ainsi, si l'on souhaite tenir compte de l'ordre dans lequel les deux éléments d'un couple sont donnés, il faut trouver une autre façon de représenter le couple. Ainsi, nous définissons le paire ordonnée ((a,b)) comme l'ensemble (< < a>,< a,b>>). On peut facilement vérifier que deux paires ordonnées ((a,b)) et ((c,d)) sont égales si et seulement si (a=c) et (b=d). L'ordre est maintenant important, car si (a e b), alors ((a,b) e (b,a)).

le produit cartésien (A imes B) de deux ensembles, (A) et (B), est défini comme l'ensemble de toutes les paires ordonnées ((a,b)) telles que (ain A ) et (bdans B).

Ayant défini des paires ordonnées, on peut maintenant définir triplés ordonnés ((a,b,c)) comme ((a,(b,c))), ou en général (n)-uplets ordonnés ((a_1,ldots ,a_n)) comme ((a_1, (a_2,ldots ,a_n))).

Le produit cartésien (A_1 imes ldots imes A_n), des ensembles (A_1,ldots , A_n) est l'ensemble de tous les (n)-uplets ((a_1,ldots ,a_n )) tel que (a_i in A_i), pour tout (1leq ileq n). En particulier, pour (ngeq 2), le produit (n)-fois cartésien d'un ensemble (A), noté (A^n), est l'ensemble de tous les (n )-uplets d'éléments de (A).

1. Relations

UNE relation binaire sur un ensemble (A) est un ensemble de paires ordonnées d'éléments de (A), c'est-à-dire un sous-ensemble de (Afois A). En général, un relation (n)-aire sur (A) est un sous-ensemble de (A^n).

Une relation binaire (R) sur un ensemble (A) est appelée réfléchi si ((a,a)in R) pour chaque (ain A). On l'appelle symétrique if ((b,a)in R) quand ((a,b)in R). Et ça s'appelle transitif if ((a,c)in R) quand ((a,b)in R) et ((b,c)in R). Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée relation d'équivalence. La relation d'identité sur tout ensemble (A) est l'exemple paradigmatique d'une relation d'équivalence. Un autre exemple est la relation sur l'ensemble de tous les ensembles finis de nombres naturels constitués de toutes les paires ((a,b)) telles que (a) et (b) ont le même nombre d'éléments.

Si (R) est une relation d'équivalence sur un ensemble (A), et ((a,b)dans R), alors on dit que (a) et (b) sont (R)-équivalent. Pour tout (ain A), le classe d'équivalence de (a), généralement noté ([a]_R), est l'ensemble de tous les éléments de (A) qui sont (R)-équivalents à (a). L'ensemble de toutes les classes d'équivalence (R) est appelé le ensemble de quotients et est noté (A/R). On peut facilement vérifier que (A/R) est un cloison de (A), c'est-à-dire qu'aucun élément de (A/R) n'est vide, deux éléments quelconques de (A/R) sont disjoints, et chaque (ain A) appartient à ( exactement) un élément de (A/R), à savoir la classe ([a]_R).

Si (R) est une relation binaire, alors on écrit généralement (aRb) au lieu de ((a,b)dans R).

Une relation binaire (R) sur un ensemble (A) est appelée antisymétrique if (a=b) quand (aRb) et (bRa). Une relation (R) sur un ensemble (A) qui est réflexive, antisymétrique et transitive, est appelée a (réflexive) commande partielle. Si nous retirons de (R) toutes les paires ((a,a)), pour chaque (ain A), alors nous obtenons un strict commande partielle. La relation (subseteq) sur n'importe quel ensemble d'ensembles est un exemple d'ordre partiel. Un ordre partiel sur un ensemble donné (A) est généralement représenté par le symbole (leq), et l'ordre partiel strict correspondant par (<). Un ordre partiel (leq) sur un ensemble (A) avec la propriété supplémentaire que soit (aleq b) soit (bleq a), pour tous les éléments (a) et (b) de (A), est appelé un commande totale, ou un ordre linéaire. Les ordres habituels de l'ensemble (mathbb) des nombres naturels, l'ensemble (mathbb) des entiers, l'ensemble (mathbb) des nombres rationnels, ou l'ensemble (mathbb) des nombres réels, sont des ordres linéaires.

Notez que si (leq) est un ordre linéaire sur un ensemble (A), et (Bsubseteq A), alors (leq cap , B^2) est aussi un commande sur (B). Si (leq) est un ordre linéaire sur un ensemble (A), alors on dit que (ain A) est le plus petit élément (leq) de (A) si il n'y a pas de (bin A) distinct de (a) tel que (bleq a). Le nombre (0) est le moindre élément de (mathbb), mais (mathbb) n'a pas le moindre élément.

Un ordre linéaire (leq) sur un ensemble (A) est un bien commander si chaque sous-ensemble non vide de (A) a un élément le plus bas (leq). De manière équivalente, s'il n'y a pas de suite infinie strictement descendante [ldots < a_2< a_1< a_0] d'éléments de (A). Ainsi, l'ordre habituel de (mathbb) est un bon ordre. Mais l'ordre habituel sur (mathbb) ne l'est pas, car il n'a pas le moindre élément.

2. Fonctions

A ((1)-aire) une fonction sur un ensemble (A) est une relation binaire (F) sur (A) telle que pour tout (ain A) il y a exactement une paire ((a,b)in F ). L'élément (b) est appelé le valeur de (F) sur (a), et est noté (F(a)). Et l'ensemble (A) est appelé le domaine désactivé). La notation (F:Aà B) indique que (F) est une fonction avec le domaine (A) et des valeurs dans l'ensemble (B). Pour (ngeq 2), un fonction (n)-aire sur (A) est une fonction (F:A^n o B), pour certains (B).

Une fonction (F:Aà B) est Un par un si pour tous les éléments (a) et (b) de (A), si (a e b), alors (F(a) e F(b)). Et est sur si pour tout (bin B) il existe un (ain A) tel que (F(a)=b). Enfin, (F) est bijectif si c'est un à un et sur. Ainsi, une bijection (F:A o B) établit une correspondance bijective entre les éléments de (A) et ceux de (B), et (A) est bijectable avec (B) s'il existe une telle bijection. le fonction d'identité sur un ensemble (A), noté (Id:A o A), et qui est constitué de tous les couples ((a,a)), avec (ain A), est trivialement une bijection.

Étant donné les fonctions (F:A o B) et (G:B o C), le composition de (F) et (G), notée (Gcirc F), est la fonction (Gcirc F:A o C) dont les éléments sont tous des paires ((a,G(F(a)))), où (adans A). Si (F) et (G) sont des bijections, alors (Gcirc F).

3. Ensembles et formules

Le formel langage de la théorie des ensembles est le langage du premier ordre dont le seul symbole non logique est le symbole de relation binaire (in).

Étant donné toute formule (varphi(x,y_1,ldots ,y_n)) du langage de la théorie des ensembles, et les ensembles (A,B_1,ldots ,B_n), on peut former l'ensemble de tous ces éléments de (A) qui satisfont la formule (varphi(x,B_1,ldots ,B_n)). Cet ensemble est noté (< ain A: varphi(a,B_1,ldots ,B_n)>). Voici quelques exemples

Et si (B) et (C) sont des sous-ensembles de (A), alors

Étant donné un sous-ensemble (Csubseteq A imes B), le projection de (C) (sur la première coordonnée) est l'ensemble

Il n'est cependant pas vrai qu'étant donné une formule (varphi(x,y_1,ldots ,y_n)), et des ensembles (B_1,ldots ,B_n), on puisse former l'ensemble de tous ces ensembles qui satisfont la formule (varphi(x,B_1,ldots ,B_n)). Car soit (varphi(x)) la formule (xpas in x). Si (A) était l'ensemble de tous les ensembles qui satisfont la formule, alors (Ain A) si et seulement si (Apas in A). Une contradiction ! Cette contradiction est connue sous le nom Paradoxe de Russell, d'après Bertrand Russell, qui l'a découvert en 1901 (voir l'entrée sur le paradoxe de Russell).

4. Ordinaux

Le premier nombre ordinal est (). Étant donné un ordinal (alpha), le prochain plus grand ordinal, appelé le (immédiat) successeur de (alpha), est l'ensemble (alpha cup < alpha >). Ainsi, le successeur de (alpha) n'est que l'ensemble (alpha) avec un élément supplémentaire, à savoir (alpha) lui-même. le nombres ordinaux finis sont ceux obtenus en commençant par () et en prenant à plusieurs reprises le successeur.

En théorie des ensembles, le nombres naturels sont définis comme les ordinaux finis. Ainsi,

Notez que (1=< 0>), (2=< 0,1>), (3=< 0,1,2>), et en général nous avons (n=< 0,1,2,ldots ,n-1>). Ainsi, chaque entier naturel (n) n'est que l'ensemble de ses prédécesseurs.

Un ensemble (A) est fini s'il existe une correspondance bijective entre un nombre naturel (n) et les éléments de (A), c'est-à-dire une bijection (F:nà A), auquel cas on dit que (A) a (n) éléments. Un ensemble est infini s'il n'est pas fini.

L'ensemble de tous les ordinaux finis est désigné par la lettre grecque omega ((omega)). Ainsi, (omega) n'est que l'ensemble (mathbb) des nombres naturels. (omega) est aussi un ordinal, le premier ordinal infini. Notez que (omega) n'est le successeur d'aucun ordinal, et donc on l'appelle un ordinal limite. Une fois que nous avons (omega) nous pouvons continuer à générer plus d'ordinaux en prenant son successeur (omega cup < omega >), puis son successeur ((omega cup ) cup >), et ainsi de suite. Tous les nombres ordinaux supérieurs à (0) sont produits de cette manière, à savoir, soit en prenant le successeur du dernier ordinal produit, soit, s'il n'y a pas un tel dernier ordinal, en prenant l'ensemble de tous les ordinaux produits jusqu'à présent , comme dans le cas de (omega) qui donne un nouvel ordinal limite. Notons cependant qu'on ne peut pas prendre l'ensemble des tout ordinaux, car alors cet ensemble serait un nouvel ordinal limite, ce qui est impossible, puisque nous les avions déjà tous.

Comme pour les ordinaux finis, chaque ordinal infini n'est que l'ensemble de ses prédécesseurs. Une conséquence de ceci est que la relation (in) est un ordre de forage strict sur n'importe quel ensemble d'ordinaux. Ainsi, pour tous les ordinaux (alpha) et (eta) nous définissons (alpha <eta) si et seulement si (alpha in eta). Alors le bon ordre réflexif associé est défini comme (alpha leq eta) si et seulement si (alpha <eta) ou (alpha =eta). Observons maintenant que (alpha subseteq eta) si et seulement si (alpha leq eta).

5. Ensembles dénombrables et innombrables

Si (A) est un ensemble fini, il existe une bijection (F:nà A) entre un entier naturel (n) et (A). Une telle bijection donne un compte des éléments de (A), à savoir, (F(0)) est le premier élément de (A), (F(1)) est le second, et ainsi de suite. Ainsi, tous les ensembles finis sont dénombrables. Un ensemble infini (A) est appelé dénombrable s'il existe une bijection (F:omega o A) entre l'ensemble des entiers naturels et (A). L'ensemble (mathbb) des nombres naturels est (trivialement) dénombrable. Si (A) est un sous-ensemble infini de (omega), alors (A) est aussi dénombrable : car soit (F:omega o A) tel que (F(n) ) est le plus petit élément de (A) qui n'est pas dans l'ensemble (< F(m)in A: m< n>). Alors (F) est une bijection.

Tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est aussi dénombrable : car supposons que (F:omega o A) soit une bijection et que (Bsubseteq A) soit infini. Alors l'ensemble (< nin omega: F(n)in B>) est un sous-ensemble infini de (omega), donc dénombrable, et donc il y a une bijection (G: omega o < nin omega : F(n)in B>). Alors la fonction de composition (Fcirc G:omega o B) est une bijection.

L'union d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble fini est également dénombrable. Pour des ensembles donnés (A) et (B), qui sans perte de généralité on peut supposer qu'ils sont disjoints, et étant donné les bijections (F:omega o A) et (G:n o B ), pour certains (n<omega), soit (H:omega o Acup B) la bijection donnée par : (H(m)=G(m)), pour tout (m<n), et (H(m)=F(mn)), pour chaque (nleq m).

De plus, l'union de deux ensembles dénombrables est aussi dénombrable : puisque nous avons déjà montré que l'union d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble fini est aussi dénombrable, il suffit de voir que l'union de deux ensembles dénombrables disjoints est aussi dénombrable. Donc, supposons que (A) et (B) soient des ensembles dénombrables et que (F:omega o A) et (G:omega o B) soient des bijections, alors la fonction (H :omega o Acup B) constitué de toutes les paires ((2n,F(n))), plus toutes les paires ((2n+1, G(n))) est une bijection.

Ainsi, l'ensemble (mathbb), étant l'union de deux ensembles dénombrables, à savoir [mathbbcup < -1,-2,-3,-4,ldots >] est également dénombrable.

Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables infinis est également dénombrable. Car supposons que (F:omega o A) et (G:omega o B) soient des bijections. Ensuite, en utilisant le fait que la fonction (J:omega imes omega o omega) donnée par (J((m,n))= 2^m(2n+1)-1) est une bijection, on a que la fonction (H:omega o A imes B) donnée par (H(2^m(2n+1)-1)=(F(m),G(n) )) est aussi une bijection.

Puisque tout nombre rationnel est donné par une paire d'entiers, c'est-à-dire un quotient (frac), où (m,nin mathbb) et (n e 0), l'ensemble (mathbb) des nombres rationnels est également dénombrable.

Cependant, Georg Cantor a découvert que l'ensemble (mathbb) de nombres réels n'est pas dénombrable. Car supposons, en visant une contradiction, que (F:omega o mathbb) est une bijection. Soit (a_0=F(0)). Choisissez le moins (k) tel que (a_0<F(k)) et mettez (b_0=F(k)). Étant donné (a_n) et (b_n), choisissez le moins (l) tel que (a_n<F(l)<b_n), et mettez (a_=F(l)). Et choisissez le moins (m) tel que (a_<F(m)<b_n), et mettez (b_=F(m)). Ainsi, nous avons (a_0<a_1<a_2<cdots) (cdots <b_2<b_1<b_0). Soit maintenant (a) la limite de (a_n). Alors (a) est un nombre réel différent de (F(n)), tout (n), ce qui est impossible car (F) est une bijection.

L'existence d'ensembles indénombrables découle d'un fait beaucoup plus général, également découvert par Cantor. A savoir, étant donné tout ensemble (A), l'ensemble de tous ses sous-ensembles, appelé le ensemble de puissance de (A), et notée (mathcal

(A)), n'est pas bijectable avec (A) : car supposons que (F:A o mathcal

(A)) est une bijection. Alors le sous-ensemble (< ain A: a ot in F(a)>) de (A) est la valeur (F(a)) de certains (ain A ). Mais alors (ain F(a)) si et seulement si (a ot in F(a)). Par conséquent, si (A) est un ensemble infini, alors (mathcal

(A)) est indénombrable.

Il y a aussi d'innombrables ordinaux. L'ensemble de tous les ordinaux finis et dénombrables est aussi un ordinal, appelé (omega_1), et est le premier ordinal indénombrable. De même, l'ensemble de tous les ordinaux qui sont bijectables avec un ordinal inférieur ou égal à (omega_1) est aussi un ordinal, appelé (omega_2), et n'est pas bijectable avec (omega_1), et bientôt.

5.1 Cardinaux

le cardinalité, ou taille, d'un ensemble fini (A) est l'unique entier naturel (n) tel qu'il existe une bijection (F:nà A).

Dans le cas des ensembles infinis, leur cardinalité est donnée, non par un nombre naturel, mais par un ordinal infini. Cependant, contrairement aux ensembles finis, un ensemble infini (A) est bijectable avec de nombreux nombres ordinaux différents. Par exemple, l'ensemble (mathbb) est bijectable avec (omega), mais aussi avec lui successeur (omega cup ) : en affectant (0) à (omega) et (n +1) à (n), pour tout (nin omega), on obtient une bijection entre (omega cup ) et (omega). Mais puisque les ordinaux sont bien ordonnés, nous pouvons définir le cardinal d'un ensemble infini comme le moins ordinal qui est bijectable avec lui.

En particulier, la cardinalité d'un nombre ordinal (alpha) est le moins ordinal (kappa) qui soit bijectable avec lui. Notez que (kappa) n'est pas bijectable avec un ordinal plus petit, car autrement le serait (alpha). Les nombres ordinaux qui ne sont pas bijectables avec un plus petit ordinal sont appelés nombres cardinaux. Ainsi, tous les nombres naturels sont des cardinaux, de même que (omega), (omega_1), (omega_2), et ainsi de suite. En général, étant donné n'importe quel cardinal (kappa), l'ensemble de tous les ordinaux qui sont bijectables avec un ordinal (leq kappa) est aussi un cardinal c'est le plus petit cardinal plus grand que (kappa).

Les cardinaux infinis sont représentés par la lettre aleph ((aleph)) de l'alphabet hébreu. Ainsi, le plus petit cardinal infini est (omega =aleph_0), le suivant est (omega_1=aleph_1), qui est le premier cardinal indénombrable, puis vient (omega_2=aleph_2), etc.

La cardinalité de tout ensemble (A), notée (|A|), est le nombre cardinal unique qui est bijectable avec (A). Nous avons déjà vu que (|mathbb|) est indénombrable, donc supérieur à (aleph_0), mais on ne sait pas de quel nombre cardinal il s'agit. La conjecture que (|mathbb|=aleph_1), formulé par Cantor en 1878, est le célèbre Hypothèse du continu.


"Point" de la théorie des ensembles ?

Eh bien, c'est vraiment une question stupide, en fait. Je suis un étudiant de troisième année de premier cycle qui termine (comme n'ayant qu'un examen final à passer) un cours sur la théorie des ensembles élémentaire.

Quand il s'agit de discussions entre analyse et algèbre, je suis toujours du côté de l'analyse, j'ai le plus apprécié les cours de probabilités, mais j'apprécie aussi les cours abstraits. Quoi qu'il en soit, bien que je sois capable de voir la "beauté" derrière les fondements de la théorie des ensembles, je ne suis pas vraiment sûr de la réponse à la question "Pourquoi est-ce que j'étudie cela" - simplement parce que, par exemple, les nombres ordinaux ou la définition des nombres naturels comme les ensembles contenus dans chaque ensemble inductif me semblent être quelque chose sur lequel un mathématicien travaillerait quand il s'ennuierait. (Comme dans, je ne vois pas vraiment l'utilité de tout cela au-delà de la définition des fondements philosophiques des mathématiques.)

Oui, cela peut paraître arrogant ou quelque chose du genre, mais je ne cherche vraiment qu'à trouver la bonne motivation pour en savoir encore plus sur le domaine et enfin décider si ça me plaît ou non. Cela semble stupide, oui, mais bon.

Une chose qui peut rendre difficile de voir pourquoi une idée est plus qu'un mathématicien griffonnant pour le plaisir, c'est que les choses sont souvent enseignées avec une perspective très ahistorique. Nous enseignons les concepts, mais nous ne parlons pas du contexte historique dont ils sont issus. Les idées en mathématiques surgissent en réponse à d'autres idées, mais si on ne vous montre pas le contexte, il peut être difficile de voir pourquoi quelqu'un s'en soucierait un jour.

Cet excellent article de Kanamori parle du développement historique de la théorie des ensembles, des problèmes mathématiques qui ont donné naissance à certaines des idées de la théorie des ensembles et de l'origine des constructions spécifiques. Cela vaut la peine d'être lu, ou au moins d'écrémer. La section 1, sur le travail de Cantor, y compris sur les ordinaux, et les sections 3.1 et 3.2, sur la définition de von Neumann de l'ordinal et de la hiérarchie cumulative, pourraient vous intéresser particulièrement.

Pour répondre brièvement à votre question, les ordinaux sont d'une immense importance pour la théorie des ensembles. Ils apparaissent partout. Honnêtement, cela en dit peu sur la classe que vous avez prise que leur importance ne vous ait pas été transmise. Mathias a dit en plaisantant que la théorie des ensembles est l'étude du bien-fondé. Comme tout résumé en une phrase d'un champ, il ignore de nombreuses subtilités. Néanmoins, il y a beaucoup de vérité à cela. Les ordinaux, étant les ordres linéaires bien fondés, sont donc d'une importance naturelle pour la théorie des ensembles.

Regardons quelques utilisations des ordinaux.

Au niveau le plus élémentaire, les ordinaux sont la colonne vertébrale de l'univers des ensembles. C'est la conception dite de la hiérarchie cumulative des ensembles. Nous commençons par l'ensemble vide et générons tous les ensembles en prenant des ensembles de pouvoirs progressifs, une fois pour chaque ordinal. Tout ce qui est basé sur la hiérarchie cumulative, le rang, etc. utilisera à un certain niveau des ordinaux.

Le théorème d'absolu de Schoenfield implique que des déclarations suffisamment simples (dans un sens technique précis) sur les réels sont vraies si elles sont vraies dans L, l'univers constructible. Une application spécifique de ceci est que si vous pouvez prouver une déclaration suffisamment simple en utilisant AC, alors elle est prouvable sans choix. Mais cela fait beaucoup plus : si vous pouvez prouver une affirmation suffisamment simple en utilisant l'un des outils puissants de L : diamant, condensation, GCH, l'existence d'un ordre global bien, etc., alors en fait vous pouvez les prouver juste en ZF. Le théorème d'absolu de Schoenfield est très utilisé en théorie des ensembles. La preuve de ce théorème utilise essentiellement les propriétés des ordinaux, en passant par des arbres bien fondés.

D'ailleurs, la construction de L utilise des ordinaux. Gödel a décrit une fois la construction comme « qui peut être obtenue par la hiérarchie ramifiée de types de Russell, si elle est étendue pour inclure les ordres transfinis ». (Cité de l'article de Kanamori lié ci-dessus.)

De grandes parties de la théorie descriptive des ensembles utilisent des ordinaux. L'exemple classique en est la construction par Borel de la hiérarchie de Borel. Les ensembles de Borel sont organisés en niveaux, avec des ensembles ouverts et fermés au niveau inférieur, et des ensembles aux niveaux supérieurs provenant d'unions/intersections dénombrables d'ensembles des niveaux précédents. Il existe de nombreux niveaux omega_1, un pour chaque ordinal dénombrable.

Pour une application en dehors de la théorie des ensembles, les ordinaux dénombrables apparaissent dans la théorie de la preuve. Une idée, venant de Gentzen, est que nous pouvons mesurer la force d'un système de preuve par un ordinal, le système dit ordinal de la théorie de la preuve. Plus un système de preuve est puissant, plus son ordinal théorique de preuve est grand. Par exemple, l'ordinal théorique de la preuve arithmétique de Peano est epsilon_0, c'est-à-dire la limite de omega, omega omega , omega omega^omega , . L'arithmétique récursive primitive, un fragment faible de PA, n'a de preuve théorique ordinale oméga oméga .

Une autre chose que je dirai, c'est que la théorie des ensembles n'existe pas juste pour jouer un rôle fondamental. Un bon nombre de personnes rejettent la théorie des ensembles parce qu'elles ne s'intéressent pas aux fondations et qu'elles croient à tort que la théorie des ensembles ne concerne que les fondations. Si vous décidez que vous n'êtes pas intéressé par la théorie des ensembles, faites-le parce que vous n'êtes pas intéressé par les mathématiques de la théorie des ensembles, pas parce que vous n'êtes pas intéressé par les fondements.


Le complément d'un ensemble, A, fait référence aux éléments qui ne sont pas dans A. Entre autres notations, le complément de A peut être noté A c . Par exemple, dans un cas où tous les entiers sont pris en compte, si A était l'ensemble de tous les entiers pairs, A c serait l'ensemble de tous les entiers impairs.

Les ensembles peuvent être "soustraits". La différence entre deux ensembles, A et B, peut être notée A B. Cette différence peut être appelée le complément relatif de B dans A et représente l'ensemble de tous les éléments de A qui ne sont pas dans B. Cette différence peut être représenté comme suit :

Dans le contexte des compléments, on peut dire qu'un ensemble universel, U, contient tous les sous-ensembles discutés. Dans un tel cas, U A serait le complément de A. En d'autres termes, A c = U A.

Ci-dessous, une représentation de A c :

La zone grise représente le complément de A.


0.3 : Théorie des ensembles de base - Mathématiques

UNE Ensemble est une collection non ordonnée d'objets, appelés éléments ou membres de l'ensemble.
Un élément ‘a’ appartient à un ensemble A peut s'écrire ‘a &in A’, ‘a ¬in A’ indique que a n'est pas un élément de l'ensemble A.

Représentation d'un ensemble
Un ensemble peut être représenté par différentes méthodes. 3 méthodes courantes utilisées pour représenter l'ensemble :
1. Formulaire de déclaration.
2. Forme de torréfaction ou méthode de forme tabulaire.
3. Définir la méthode Builder.

Formulaire de déclaration
Dans cette représentation, la description bien définie des éléments de l'ensemble est donnée. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples de la même chose.
1. L'ensemble de tous les nombres pairs inférieurs à 10.
2. L'ensemble du nombre inférieur à 10 et supérieur à 1.

Formulaire de liste
Dans cette représentation, les éléments sont répertoriés dans la paire de crochets <> et sont séparés par des virgules. Ci-dessous, deux exemples.
1. Soit N l'ensemble des nombres naturels inférieurs à 5.
N = < 1 , 2 , 3, 4 >.

2. L'ensemble de toutes les voyelles de l'alphabet anglais.
V = < a , e , i , o , u >.

Définir le formulaire du générateur
Dans Set-builder, l'ensemble est décrit par une propriété que son membre doit satisfaire.
1. .
2. .

Ensembles égaux
Deux ensembles sont dits égaux si les deux ont les mêmes éléments. Par exemple A = <1, 3, 9, 7>et B = <3, 1, 7, 9>sont des ensembles égaux.

REMARQUE : L'ordre des éléments d'un ensemble n'a pas d'importance.

Un ensemble A est dit sous-ensemble d'un autre ensemble B si et seulement si chaque élément de l'ensemble A fait également partie de l'autre ensemble B.
Dénoté par ‘&sube‘.
‘A &sube B ‘ indique que A est un sous-ensemble de B.

Pour prouver que A est le sous-ensemble de B, nous devons simplement montrer que si x appartient à A, alors x appartient également à B.
Pour prouver que A n'est pas un sous-ensemble de B, nous devons trouver un élément qui fait partie de l'ensemble A mais n'appartient pas à l'ensemble B.

‘U’ désigne l'ensemble universel.
Le diagramme de Venn ci-dessus montre que A est un sous-ensemble de B.

Taille d'un ensemble
La taille d'un ensemble peut être finie ou infinie.

La taille de l'ensemble S est appelée Numéro de cardinalité, noté |S|.

Exemple : Soit A un ensemble d'entiers positifs impairs inférieurs à 10.
Solution : A = <1,3,5,7,9>, la cardinalité de l'ensemble est 5, i.e.,|A| = 5.

Remarque : La cardinalité d'un ensemble nul est 0.

Ensembles de puissance
L'ensemble de puissance est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles de l'ensemble S. Dénoté par P(S).
Exemple : Quel est le jeu de puissance de <0,1,2> ?
Solution : tous les sous-ensembles possibles
<&vide>, <0>, <1>, <2>, <0,1>, <0,2>, <1,2>, <0,1,2>.
Remarque : L'ensemble vide et l'ensemble lui-même sont également membres de cet ensemble de sous-ensembles.

Ensemble de cardinalité de puissance est

, où n est le nombre d'éléments dans un ensemble.

Produits cartésiens
Soient A et B deux ensembles. Le produit cartésien de A et B est noté A × B, est l'ensemble de toutes les paires ordonnées (a,b), où a appartient à A et b appartient à B.

Exemple 1. Quel est le produit cartésien de A = <1,2>et B = .
Solution : A × B =<(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r) >


La cardinalité de A × B
est N*M, où N est la cardinalité de A et M est la cardinalité de B.

Remarque : A × B n'est pas la même chose que B × A.

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Contenu

Les sujets mathématiques émergent et évoluent généralement grâce aux interactions entre de nombreux chercheurs. La théorie des ensembles, cependant, a été fondée par un seul article en 1874 par Georg Cantor : « Sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques réels ». [2] [3]

Depuis le 5ème siècle avant JC, en commençant par le mathématicien grec Zénon d'Élée en Occident et les premiers mathématiciens indiens en Orient, les mathématiciens avaient lutté avec le concept de l'infini. L'œuvre de Bernard Bolzano dans la première moitié du XIXe siècle est particulièrement remarquable. [4] La compréhension moderne de l'infini a commencé en 1870-1874 et a été motivée par le travail de Cantor dans l'analyse réelle. [5] Une rencontre de 1872 entre Cantor et Richard Dedekind a influencé la pensée de Cantor et a abouti à l'article de 1874 de Cantor.

Le travail de Cantor a initialement polarisé les mathématiciens de son époque. Alors que Karl Weierstrass et Dedekind soutenaient Cantor, Leopold Kronecker, désormais considéré comme un fondateur du constructivisme mathématique, ne l'a pas fait. La théorie cantorienne des ensembles s'est finalement répandue, en raison de l'utilité des concepts cantoriens, tels que la correspondance un à un entre les ensembles, sa preuve qu'il y a plus de nombres réels que d'entiers et "l'infini des infinis" ("le paradis de Cantor") résultant du fonctionnement du groupe de puissance. Cette utilité de la théorie des ensembles a conduit à l'article « Mengenlehre », contribué en 1898 par Arthur Schoenflies à l'encyclopédie de Klein.

La prochaine vague d'excitation dans la théorie des ensembles est arrivée vers 1900, quand on a découvert que certaines interprétations de la théorie des ensembles cantorienne ont donné lieu à plusieurs contradictions, appelées antinomies ou paradoxes. Bertrand Russell et Ernst Zermelo ont trouvé indépendamment le paradoxe le plus simple et le plus connu, maintenant appelé paradoxe de Russell : considérer « l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes », ce qui conduit à une contradiction puisqu'il doit être membre de lui-même et non un membre de lui-même. En 1899, Cantor avait lui-même posé la question « Quel est le nombre cardinal de l'ensemble de tous les ensembles ? », et obtenu un paradoxe connexe. Russell a utilisé son paradoxe comme thème dans sa revue de 1903 des mathématiques continentales dans son Les principes des mathématiques.

En 1906, les lecteurs anglais ont obtenu le livre Théorie des ensembles de points [6] par mari et femme William Henry Young et Grace Chisholm Young, publié par Cambridge University Press.

L'élan de la théorie des ensembles était tel que le débat sur les paradoxes n'a pas conduit à son abandon. Les travaux de Zermelo en 1908 et les travaux d'Abraham Fraenkel et Thoralf Skolem en 1922 ont abouti à l'ensemble d'axiomes ZFC, qui est devenu l'ensemble d'axiomes le plus couramment utilisé pour la théorie des ensembles. Les travaux d'analystes, comme celui d'Henri Lebesgue, ont démontré la grande utilité mathématique de la théorie des ensembles, qui s'est depuis tissée dans le tissu des mathématiques modernes. La théorie des ensembles est couramment utilisée comme système fondamental, bien que dans certains domaines, tels que la géométrie algébrique et la topologie algébrique, la théorie des catégories soit considérée comme un fondement privilégié.

La théorie des ensembles commence par une relation binaire fondamentale entre un objet o et un ensemble UNE . Si o est un membre (ou alors élément) de UNE , la mention oUNE est utilisé. [7] Un ensemble est décrit en listant des éléments séparés par des virgules, ou par une propriété caractérisante de ses éléments, entre accolades < >. [8] Puisque les ensembles sont des objets, la relation d'appartenance peut aussi lier des ensembles.

Une relation binaire dérivée entre deux ensembles est la relation de sous-ensemble, également appelée définir l'inclusion. Si tous les membres de l'ensemble UNE sont également membres de l'ensemble B , ensuite UNE est un sous-ensemble de B , noté UNEB . [7] Par exemple, <1, 2>est un sous-ensemble de <1, 2, 3>, de même que <2> mais <1, 4> ne l'est pas. Comme l'implique cette définition, un ensemble est un sous-ensemble de lui-même. For cases where this possibility is unsuitable or would make sense to be rejected, the term proper subset is defined. UNE is called a proper subset de B if and only if UNE is a subset of B , but UNE is not equal to B . Also, 1, 2, and 3 are members (elements) of the set <1, 2, 3>, but are not subsets of it and in turn, the subsets, such as <1>, are not members of the set <1, 2, 3>.

Just as arithmetic features binary operations on numbers, set theory features binary operations on sets. [9] The following is a partial list of them:

  • syndicat of the sets UNE et B , noté UNEB , [7] is the set of all objects that are a member of UNE , ou alors B , or both. [10] For example, the union of <1, 2, 3>and <2, 3, 4>is the set <1, 2, 3, 4>.
  • Intersection of the sets UNE et B , noté UNEB , [7] is the set of all objects that are members of both UNE et B . For example, the intersection of <1, 2, 3>and <2, 3, 4>is the set <2, 3>.
  • Set difference de U et UNE , noté U UNE , is the set of all members of U that are not members of UNE . The set difference <1, 2, 3> <2, 3, 4>is <1>, while conversely, the set difference <2, 3, 4> <1, 2, 3>is <4>. Lorsque UNE is a subset of U , the set difference U UNE is also called the complément de UNE in U . In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation UNEc is sometimes used instead of U UNE , particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.
  • Symmetric difference des ensembles UNE et B , noté UNEB ou alors UNEB , [7] is the set of all objects that are a member of exactly one of UNE et B (elements which are in one of the sets, but not in both). For instance, for the sets <1, 2, 3>and <2, 3, 4>, the symmetric difference set is <1, 4>. It is the set difference of the union and the intersection, (UNEB) (UNEB) or (UNE B) ∪ (B UNE) .
  • Cartesian product de UNE et B , noté UNE × B , [7] is the set whose members are all possible ordered pairs (une, b) , where une is a member of UNE et b is a member of B . For example, the Cartesian product of <1, 2>and is <(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)>.
  • Power set of a set UNE , denoted P ( A ) >(A)> , [7] is the set whose members are all of the possible subsets of UNE . For example, the power set of <1, 2>is < <>, <1>, <2>, <1, 2>> .

Some basic sets of central importance are the set of natural numbers, the set of real numbers and the empty set—the unique set containing no elements. The empty set is also occasionally called the null set, [11] though this name is ambiguous and can lead to several interpretations.

A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. For example, the set <<>> containing only the empty set is a nonempty pure set. In modern set theory, it is common to restrict attention to the von Neumann universe of pure sets, and many systems of axiomatic set theory are designed to axiomatize the pure sets only. There are many technical advantages to this restriction, and little generality is lost, because essentially all mathematical concepts can be modeled by pure sets. Sets in the von Neumann universe are organized into a cumulative hierarchy, based on how deeply their members, members of members, etc. are nested. Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α , known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X . For example, the empty set is assigned rank 0, while the set <<>> containing only the empty set is assigned rank 1. For each ordinal α , the set V α > is defined to consist of all pure sets with rank less than α . The entire von Neumann universe is denoted V .

Elementary set theory can be studied informally and intuitively, and so can be taught in primary schools using Venn diagrams. The intuitive approach tacitly assumes that a set may be formed from the class of all objects satisfying any particular defining condition. This assumption gives rise to paradoxes, the simplest and best known of which are Russell's paradox and the Burali-Forti paradox. Axiomatic set theory was originally devised to rid set theory of such paradoxes. [note 1]

The most widely studied systems of axiomatic set theory imply that all sets form a cumulative hierarchy. Such systems come in two flavors, those whose ontology consists of:

    Sets alone. This includes the most common axiomatic set theory, Zermelo–Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC). Fragments of ZFC inclure:
      , which replaces the axiom schema of replacement with that of separation , a small fragment of Zermelo set theory sufficient for the Peano axioms and finite sets , which omits the axioms of infinity, powerset, and choice, and weakens the axiom schemata of separation and replacement.

    The above systems can be modified to allow urelements, objects that can be members of sets but that are not themselves sets and do not have any members.

    le New Foundations systems of NFU (allowing urelements) and NF (lacking them) are not based on a cumulative hierarchy. NF and NFU include a "set of everything", relative to which every set has a complement. In these systems urelements matter, because NF, but not NFU, produces sets for which the axiom of choice does not hold.

    Systems of constructive set theory, such as CST, CZF, and IZF, embed their set axioms in intuitionistic instead of classical logic. Yet other systems accept classical logic but feature a nonstandard membership relation. These include rough set theory and fuzzy set theory, in which the value of an atomic formula embodying the membership relation is not simply Vrai ou alors Faux. The Boolean-valued models of ZFC are a related subject.

    An enrichment of ZFC called internal set theory was proposed by Edward Nelson in 1977.

    Many mathematical concepts can be defined precisely using only set theoretic concepts. For example, mathematical structures as diverse as graphs, manifolds, rings, and vector spaces can all be defined as sets satisfying various (axiomatic) properties. Equivalence and order relations are ubiquitous in mathematics, and the theory of mathematical relations can be described in set theory.

    Set theory is also a promising foundational system for much of mathematics. Since the publication of the first volume of Principia Mathematica, it has been claimed that most (or even all) mathematical theorems can be derived using an aptly designed set of axioms for set theory, augmented with many definitions, using first or second-order logic. For example, properties of the natural and real numbers can be derived within set theory, as each number system can be identified with a set of equivalence classes under a suitable equivalence relation whose field is some infinite set.

    Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial mathematicians accept (in principle) that theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. However, it remains that few full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, since such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present. One verification project, Metamath, includes human-written, computer-verified derivations of more than 12,000 theorems starting from ZFC set theory, first-order logic and propositional logic.

    Set theory is a major area of research in mathematics, with many interrelated subfields.

    Combinatorial set theory Edit

    Combinatorial set theory concerns extensions of finite combinatorics to infinite sets. This includes the study of cardinal arithmetic and the study of extensions of Ramsey's theorem such as the Erdős–Rado theorem.

    Descriptive set theory Edit

    Descriptive set theory is the study of subsets of the real line and, more generally, subsets of Polish spaces. It begins with the study of pointclasses in the Borel hierarchy and extends to the study of more complex hierarchies such as the projective hierarchy and the Wadge hierarchy. Many properties of Borel sets can be established in ZFC, but proving these properties hold for more complicated sets requires additional axioms related to determinacy and large cardinals.

    The field of effective descriptive set theory is between set theory and recursion theory. It includes the study of lightface pointclasses, and is closely related to hyperarithmetical theory. In many cases, results of classical descriptive set theory have effective versions in some cases, new results are obtained by proving the effective version first and then extending ("relativizing") it to make it more broadly applicable.

    A recent area of research concerns Borel equivalence relations and more complicated definable equivalence relations. This has important applications to the study of invariants in many fields of mathematics.

    Fuzzy set theory Edit

    In set theory as Cantor defined and Zermelo and Fraenkel axiomatized, an object is either a member of a set or not. Dans fuzzy set theory this condition was relaxed by Lotfi A. Zadeh so an object has a degree of membership in a set, a number between 0 and 1. For example, the degree of membership of a person in the set of "tall people" is more flexible than a simple yes or no answer and can be a real number such as 0.75.

    Inner model theory Edit

    An inner model of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) is a transitive class that includes all the ordinals and satisfies all the axioms of ZF. The canonical example is the constructible universe L developed by Gödel. One reason that the study of inner models is of interest is that it can be used to prove consistency results. For example, it can be shown that regardless of whether a model V of ZF satisfies the continuum hypothesis or the axiom of choice, the inner model L constructed inside the original model will satisfy both the generalized continuum hypothesis and the axiom of choice. Thus the assumption that ZF is consistent (has at least one model) implies that ZF together with these two principles is consistent.

    The study of inner models is common in the study of determinacy and large cardinals, especially when considering axioms such as the axiom of determinacy that contradict the axiom of choice. Even if a fixed model of set theory satisfies the axiom of choice, it is possible for an inner model to fail to satisfy the axiom of choice. For example, the existence of sufficiently large cardinals implies that there is an inner model satisfying the axiom of determinacy (and thus not satisfying the axiom of choice). [12]

    Large cardinals Edit

    UNE large cardinal is a cardinal number with an extra property. Many such properties are studied, including inaccessible cardinals, measurable cardinals, and many more. These properties typically imply the cardinal number must be very large, with the existence of a cardinal with the specified property unprovable in Zermelo–Fraenkel set theory.

    Determinacy Edit

    Determinacy refers to the fact that, under appropriate assumptions, certain two-player games of perfect information are determined from the start in the sense that one player must have a winning strategy. The existence of these strategies has important consequences in descriptive set theory, as the assumption that a broader class of games is determined often implies that a broader class of sets will have a topological property. The axiom of determinacy (AD) is an important object of study although incompatible with the axiom of choice, AD implies that all subsets of the real line are well behaved (in particular, measurable and with the perfect set property). AD can be used to prove that the Wadge degrees have an elegant structure.

    Forcing Edit

    Paul Cohen invented the method of forcer while searching for a model of ZFC in which the continuum hypothesis fails, or a model of ZF in which the axiom of choice fails. Forcing adjoins to some given model of set theory additional sets in order to create a larger model with properties determined (i.e. "forced") by the construction and the original model. For example, Cohen's construction adjoins additional subsets of the natural numbers without changing any of the cardinal numbers of the original model. Forcing is also one of two methods for proving relative consistency by finitistic methods, the other method being Boolean-valued models.

    Cardinal invariants Edit

    UNE cardinal invariant is a property of the real line measured by a cardinal number. For example, a well-studied invariant is the smallest cardinality of a collection of meagre sets of reals whose union is the entire real line. These are invariants in the sense that any two isomorphic models of set theory must give the same cardinal for each invariant. Many cardinal invariants have been studied, and the relationships between them are often complex and related to axioms of set theory.

    Set-theoretic topology Edit

    Set-theoretic topology studies questions of general topology that are set-theoretic in nature or that require advanced methods of set theory for their solution. Many of these theorems are independent of ZFC, requiring stronger axioms for their proof. A famous problem is the normal Moore space question, a question in general topology that was the subject of intense research. The answer to the normal Moore space question was eventually proved to be independent of ZFC.

    From set theory's inception, some mathematicians have objected to it as a foundation for mathematics. The most common objection to set theory, one Kronecker voiced in set theory's earliest years, starts from the constructivist view that mathematics is loosely related to computation. If this view is granted, then the treatment of infinite sets, both in naive and in axiomatic set theory, introduces into mathematics methods and objects that are not computable even in principle. The feasibility of constructivism as a substitute foundation for mathematics was greatly increased by Errett Bishop's influential book Foundations of Constructive Analysis. [13]

    A different objection put forth by Henri Poincaré is that defining sets using the axiom schemas of specification and replacement, as well as the axiom of power set, introduces impredicativity, a type of circularity, into the definitions of mathematical objects. The scope of predicatively founded mathematics, while less than that of the commonly accepted Zermelo–Fraenkel theory, is much greater than that of constructive mathematics, to the point that Solomon Feferman has said that "all of scientifically applicable analysis can be developed [using predicative methods]". [14]

    Ludwig Wittgenstein condemned set theory philosophically for its connotations of Mathematical platonism. [15] He wrote that "set theory is wrong", since it builds on the "nonsense" of fictitious symbolism, has "pernicious idioms", and that it is nonsensical to talk about "all numbers". [16] Wittgenstein identified mathematics with algorithmic human deduction [17] the need for a secure foundation for mathematics seemed, to him, nonsensical. [18] Moreover, since human effort is necessarily finite, Wittgenstein's philosophy required an ontological commitment to radical constructivism and finitism. Meta-mathematical statements — which, for Wittgenstein, included any statement quantifying over infinite domains, and thus almost all modern set theory — are not mathematics. [19] Few modern philosophers have adopted Wittgenstein's views after a spectacular blunder in Remarks on the Foundations of Mathematics: Wittgenstein attempted to refute Gödel's incompleteness theorems after having only read the abstract. As reviewers Kreisel, Bernays, Dummett, and Goodstein all pointed out, many of his critiques did not apply to the paper in full. Only recently have philosophers such as Crispin Wright begun to rehabilitate Wittgenstein's arguments. [20]

    Category theorists have proposed topos theory as an alternative to traditional axiomatic set theory. Topos theory can interpret various alternatives to that theory, such as constructivism, finite set theory, and computable set theory. [21] [22] Topoi also give a natural setting for forcing and discussions of the independence of choice from ZF, as well as providing the framework for pointless topology and Stone spaces. [23]

    An active area of research is the univalent foundations and related to it homotopy type theory. Within homotopy type theory, a set may be regarded as a homotopy 0-type, with universal properties of sets arising from the inductive and recursive properties of higher inductive types. Principles such as the axiom of choice and the law of the excluded middle can be formulated in a manner corresponding to the classical formulation in set theory or perhaps in a spectrum of distinct ways unique to type theory. Some of these principles may be proven to be a consequence of other principles. The variety of formulations of these axiomatic principles allows for a detailed analysis of the formulations required in order to derive various mathematical results. [24] [25]

    As set theory gained popularity as a foundation for modern mathematics, there has been support for the idea of introducing the basics of naive set theory early in mathematics education.

    In the US in the 1960s, the New Math experiment aimed to teach basic set theory, among other abstract concepts, to primary school students, but was met with much criticism. The math syllabus in European schools followed this trend, and currently includes the subject at different levels in all grades. Venn diagrams are widely employed to explain basic set-theoretic relationships to primary school students (even though John Venn originally devised them as part of a procedure to assess the validity of inferences in term logic).

    Set theory is used to introduce students to logical operators (NOT, AND, OR), and semantic or rule description (technically intensional definition [26] ) of sets (e.g. "months starting with the letter UNE"), which may be useful when learning computer programming, since boolean logic is used in various programming languages. Likewise, sets and other collection-like objects, such as multisets and lists, are common datatypes in computer science and programming.

    In addition to that, sets are commonly referred to in mathematical teaching when talking about different types of numbers ( N , Z , R , . ), and when defining a mathematical function as a relation from one set (the domain) to another set (the range).


    Basic Set Theory

    The Basic Library List Committee suggests that undergraduate mathematics libraries consider this book for acquisition.

    This book, a Dover reprint of a text first published by Springer in 1979, is a very rigorous and quite sophisticated introduction to axiomatic set theory. Given both the selection of some of the contents and the way in which this content is presented, this book&rsquos title gives a whole new meaning to the term &ldquobasic.&rdquo

    The book is divided into two parts. Part I (&ldquoPure Set Theory&rdquo) covers an axiomatic introduction to Zermelo-Frankel set theory, both with and without the Axiom of Choice (denoted ZFC and ZF, respectively). Topics covered include cardinal and ordinal numbers and their arithmetic, as well as the Axiom of Choice and a number of its equivalents and alternatives. Part II (&ldquoApplications and Advanced Topics&rdquo) discusses ways in which set theory is used (for example, in topology) and also looks at more sophisticated topics in set theory. More about this shortly.

    Some of the material in Part I is in some sense &ldquobasic,&rdquo but the way in which it is presented here is not. Although the back-cover blurb advertises this book, as back-cover blurbs inevitably do, as being &ldquo[g]eared toward upper-level undergraduate and graduate students,&rdquo I view this book as being wholly unsuitable as a text for an undergraduate course at an average university. The author&rsquos writing style is succinct, and illustrative examples are few and far between. Learning the axioms of set theory from this text is a much more complicated matter than, say, seeing an axiomatic development of group theory or linear algebra. Some of this may be inherent in the nature of the subject matter, but much of it is attributable to the very sophisticated level at which the author approaches things.

    For example: many books on axiomatic set theory begin with an introductory (&ldquonaïve&rdquo) account, to help motivate what follows. There is none of that here the author simply begins with a discussion of &ldquosets&rdquo versus &ldquoclasses&rdquo. This all takes place very early in the text (the first ten pages or so), even before the axioms of ZF and ZFC have been set out.

    In addition, the author uses the language of first order predicate logic with equality to discuss the axioms, and this sometimes results in very complicated-looking expressions that will undoubtedly be confusing to beginning students. The &ldquoschema of replacement&rdquo that appears on page 30, for example, which is much too cumbersome for me to reproduce here, takes one full line of text to write out. The use of first order logic to write the axioms of set theory is certainly not uncommon, but seems unsuitable for students with little background in logic: I can&rsquot help but believe that such students would be overwhelmed by much of the discussion here.

    Additionally, a considerable amount of the material in Part I of the book is certainly not what I would call &ldquobasic&rdquo. Indeed, there are, particularly in chapter V, some results that were, in 1979 when the book was originally published, only a few years old.

    Part II of the text covers some advanced topics in set theory and also looks at ways in which set theory is applied to other areas of mathematics. The first chapter in this part is a very rapid (about 15 pages long) overview of point set topology, essentially devoid of proofs (except for one or two results where some brief hint of a proof is given). This chapter seems to be intended as background for some of the material in the next two chapters, the first of which discusses the real numbers and real spaces. Following an exceptionally succinct (four page long) description of the integers, rational numbers and real numbers, the author also introduces Cantor space and Baire space and discusses the topological and set-theoretical structure of them and the real numbers. Chapters like these two are not common in beginning set theory textbooks, but there may be some benefit in indicating how set theory impacts these topics.

    The next chapter introduces Boolean algebras (&ldquonot a part of set theory proper, but &hellip an off and on companion to set theory&rdquo), starting with the definition. Applications to topology are given (Tychonoff&rsquos theorem is proved using filters and assuming the Axiom of Choice, and then later it is stated, with a proof sketched, that this theorem is actually equivalent to the Axiom of Choice), and related topics in set theory such as Martin&rsquos axiom (a statement implied by the continuum hypothesis, but not itself provable in ZF, hence viewable as a weaker version of the continuum hypothesis) are introduced.

    The final chapter in the text is on infinite combinatorics and large cardinals. An introduction to constructible sets is given, but the subject is not pursued in depth. People interested in a somewhat more accessible introduction to some of these ideas can also consult the last third of Combinatorics and Graph Theory by Harris, Hirst and Mossinghoff (which lists Levy in the bibliography as a &ldquomore technical&rdquo reference).

    Though not, as I have said, suitable for undergraduates, the Levy book may fare better as a possible text for reasonably sophisticated graduate students (although it does deliberately omit some topics, such as model theory and forcing, that one might want to cover in such a course), and also provides a valuable reference for mathematics professionals in other specialties. In this regard, I was particularly impressed by two stylistic decisions made by the author. One was to include, after the statement of many definitions or theorems, a reference to the name of the person responsible, and the date of discovery or creation. (This is how I, a non-expert in set theory if ever there was one, was able to confidently assert, earlier in this review, that some of the results established here were proved just a few years before the text was originally published.)

    Another nice feature is the inclusion of the phrase &ldquoAc&rdquo before the statement of any theorem whose proof requires the Axiom of Choice. However, although the author spends some time discussing weaker versions of this Axiom, he does not distinguish between the full axiom and any weaker versions when annotating theorems in this fashion.

    The book contains a fairly large number of exercises, scattered throughout the body of the text. There are no back-of-the-book solutions, but some of the more difficult ones have hints added to them.

    I previously mentioned that the original Springer text was published in 1979. This Dover reprint was published in 2002. While the body of the text is basically unchanged, a six-page Appendix of additions and corrections has been added at the end, along with a one-page update to the original (quite extensive) bibliography.

    To summarize and conclude: this is not a book for beginners to learn this material from for the first time, but people with some background and sophistication in the area should find much of value here. Levy&rsquos expertise in this area is well-known, and he has obviously given a great deal of thought to how to present this material. This is certainly a book that belongs in any good college library.


    Working with Sets

    Just as numbers can be added, subtracted, multiplied and divided, there are four basic operations for sets:

    Union, Intersection, Relative complement and Complement

    We can look at each of these using three sets:

    Syndicat

    Union is like adding. The union of two sets is their combined elements, that is, all the elements that are in either set. The symbol for union is .

    When the same number appears in both sets, you only need to include it once in the union set.

    The union of any set with itself is itself, A ∪ A = A.

    The union of any set with the empty set is also itself, A ∪ ∅ = A

    Intersection

    The intersection between two sets is the elements that they have in common. The symbol for intersection is .

    Using the three sets above:

    A ∩ C = <1, 2, 4, 7>∩ <5, 10, 15, 20>= <>. In other words, there are no elements in common, so the intersection is the empty set.

    Relative Complement

    If union is like addition, relative complement is a bit like subtraction. The symbol for it is the minus sign, −.

    You start with the first set and take out every element that appears in the second set as well.

    You do NOT end up with all the elements that are only in one or the other!

    The reverse complement is ONLY those elements of the first set that are NOT also in the second set.

    In each case, the only number that is in both is 2, so that is the only number that is removed from the first set.

    Complément

    The complement of a set is everything that is not in it. This is where the universal set comes in useful, because the complement is U (the universal set) – the set you are working with.

    The symbol for complement is &lsquo, so you would write A&lsquo or B&lsquo for the sets above.

    Complement and Reverse Complement

    Both complement and reverse complement are very similar to subtraction BUT

    • To get the complement of a set, you subtract the set from the universal set.
    • To get the reverse complement of a set, you subtract it from another defined set.

    In conclusion…

    Sets may not seem very useful on a day-to-day basis. However, they are extremely useful for higher mathematics, so bear with them. It&rsquos good to understand the basics, so that you can come back to them later if necessary.