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La distribution des nombres premiers


Nous allons maintenant faire une incursion dans l'un des domaines les plus anciens et les plus intéressants de la théorie des nombres: la distribution des nombres premiers. Cette enquête fascine l'esprit des hommes depuis l'antiquité classique: comment les nombres premiers se répartissent-ils sur les nombres entiers?

L'étude de la distribution des nombres premiers a développé la théorie des fonctions d'une variable complexe, en particulier la théorie des fonctions entières. Au cours du développement de cette enquête, des méthodes profondes d'algèbre et d'analyse ont vu le jour, mais elles ne produisent pas toujours le succès escompté. D'un autre côté, certains des résultats les plus importants peuvent être obtenus grâce à un raisonnement étonnamment simple mais ingénieux, comme la démonstration d'Euclide de l'infinité de l'ensemble des nombres premiers.

Nous devons d'abord savoir ce qu'est un nombre premier, à tous égards de la théorie des nombres, la notion essentielle. Étant donné deux nombres entiers, leur somme, leur différence et votre produit sont également des nombres entiers. Cependant, le rapport de division d'un entier par un autre peut ne pas donner lieu à un entier, par exemple, le résultat de la division de l'entier 5 par l'entier 3 n'est pas un entier. Les efforts pour construire des ensembles qui donneraient des résultats des opérations souhaitées ont conduit les mathématiciens à généraliser successivement la notion de nombre. Par exemple, si l'on considère l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire les fractions a / ble et b sont des entiers, et b ¹ 0, donc le quotient de division est toujours défini, c'est-à-dire (a / b) ¸ (c/ d) = (ab)/(cd). Cependant, les données les entiers le et b, s'il y a un entier quoi tel que a = bq nous disons que le est divisible par b, ou que b diviser le. Le nombre b est un diviseur de nombre le et le nombre le est un multiple du nombre b. Nous indiquons souvent le fait que b diviser le comme suit: b½le. Par exemple, 2½4 (lire 2 divise 4), 4 est un multiple de deux et 2 est un diviseur de 4.

Chaque entier positif le qui est supérieur à 1 a deux diviseurs évidents, 1 et lui-même le. Si au-delà de ces diviseurs l'entier le posséder un autre diviseur disons b, 1< b < lealors le C'est ce qu'on appelle un nombre composé. Sinon, l'entier le ça s'appelle un nombre premier, ou tout simplement un cousin. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sont des nombres premiers car ils ont exactement deux diviseurs. Le nombre 6 a comme séparateurs 1, 2, 3 et 6 et est donc appelé un nombre composé. Par conséquent, à l'exception de 1, les nombres naturels concernant leur comportement de divisibilité sont divisés en deux ensembles numériques: nombres premiers et le nombres composés.

Lorsque nous multiplions des nombres premiers, nous obtenons un nombre composé et, inversement, lorsque nous isolons des diviseurs premiers d'un nombre lenous représentons le comme un produit de facteurs premiers, c'est-à-dire Par exemple, le nombre 90 est divisible par 2, et donc nous obtenons: 90 = 2 x 45. À son tour, 45 est divisible par 3 puis 45 = 3 x 15. Si nous continuons ce processus, nous obtenons: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

Une question intéressante est de savoir si cette décomposition est unique. La réponse est oui, c'est-à-dire que tout entier positif peut être représenté comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, sauf dans l'ordre des facteurs. Pour cette raison, les nombres premiers sont souvent appelés blocs de construction entiers.

Nous observons qu'il existe de nombreux ensembles avec des opérations d'addition et de multiplication où la décomposition en facteurs premiers n'est pas unique, nous reviendrons sur ce problème dans d'autres colonnes.

La représentation des nombres entiers en tant que produit principal a longtemps été considérée comme un fait évident, mais le mathématicien Gauss l'a démontré dans son célèbre travail. Disquisitiones Arithmeticae 1801. Cette déclaration est connue comme le théorème arithmétique fondamental (APT), ou factorisation unique.

Ce théorème montre que les nombres premiers forment une base multiplicative. Connaître certaines des propriétés de cette base est très important, car cela équivaut à connaître certaines propriétés des nombres premiers. La première question qui se pose est liée à l'infinité des nombres premiers, c'est-à-dire qu'il existe un nombre infini de nombres premiers? La réponse est oui et ce théorème a été démontré par Euclide:

Supposons que l'ensemble des nombres premiers, P, être fini. Soit r le nombre exact de nombres premiers, c'est-à-dire la cardinalité de l'ensemble P. Dans ce cas ,… Jusqu'à qui est le plus grand (et dernier) nombre premier. Ainsi, nous soulignons que l'ensemble P contient tous les nombres premiers existants. Considérons maintenant un nouvel entier n = TFA déclare qu'il ne peut pas être factorisé en premier, n = où les cousins sont des éléments de l'ensemble P et k> 1. Il s'ensuit que ½ est un cousin de l'ensemble P. Par conséquent pour certains j où 1 £ j £ r. Par conséquent ½ . Par conséquent ½n e ½ ; bientôt ½n - . En revanche, n - = 1 et donc ½non - = 1, c'est-à-dire ½1, contrairement à la définition du nombre premier. Cette contradiction montre qu'aucun ensemble fini P peut contenir tous les nombres premiers.

Un autre problème très intéressant lié aux nombres premiers concerne la fréquence d'occurrence des nombres premiers dans leur ordre d'apparition naturel dans l'ensemble des nombres. naturel. En d'autres termes, combien y a-t-il de nombres premiers entre les nombres naturels 1, 2,…, X quand X est-ce un grand nombre? Ce nombre, qui dépend généralement de X, est noté p (X), c'est-à-dire p (X) est le nombre de cousins ​​inférieur ou égal à X. Par exemple, p (4) = 2, p (7) = 4.

La première conjecture sur l'amplitude de p (X) en fonction de X a été réalisé par les mathématiciens Gauss et Legendre indépendamment à la fin du XVIIIe siècle. Sur la base de calculs approfondis, Gauss et Legendre ont fait la conjecture que

p (X) ~ X / log X,

soit p (X) est approximativement X / log X quand X C'est un très grand nombre naturel. Cette conjecture suggère que le quotient de p (X) par X / log X tend à limiter 1 lorsque X tend à l'infini. Cette formulation est connue sous le nom de théorème des nombres premiers et a été démontrée de façon indépendante par de la Vallée-Poussin et Hadamard en 1896 en utilisant de nouvelles méthodes analytiques puissantes de la théorie des variables complexes. En 1948, Atle Selberg et Paul Erdös ont donné une autre démonstration sans recourir à la théorie des variables complexes. De nombreux mathématiciens ont contribué à la démonstration du théorème des nombres premiers: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Tchebychev, etc. Ce fut l'une des plus grandes réalisations des mathématiques du XIXe siècle et a donné naissance à la théorie analytique des nombres.

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