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L'hypothèse de Riemann



L'invention du calcul différentiel et intégral a provoqué l'une des plus grandes avancées de la pensée occidentale. Le travail monumental réalisé par Newton et Leibniz a conduit au progrès de la science dans tous ses domaines. Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a été l'un des pionniers dans l'application des méthodes de calcul aux problèmes de théorie des nombres donnant lieu à la théorie analytique des nombres. Cependant, le mathématicien allemand G. F. B. Riemann (1826-1866) est reconnu comme le véritable fondateur de la théorie analytique des nombres et comme possédant l'un des esprits brillants les plus originaux et les plus profonds du XIXe siècle.

Riemann a révolutionné l'analyse mathématique, la géométrie et la physique mathématique. Dans la théorie analytique des nombres, ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques, ses idées fondamentales ont encore une profonde influence. Les variétés riemanniennes, les surfaces de Riemann, les équations de Cauchy-Riemann, l'hypothèse de Riemann et bien d'autres sujets figurent parmi ses œuvres.

Riemann avait une intuition puissante et précise, mais malgré son génie et sa créativité, sa vie était extrêmement modeste. Riemann est décédé prématurément de la tuberculose. Sa timidité, son manque de capacité de conférencier et son talent inné pour les mathématiques l'ont empêché de poursuivre sa carrière de théologien, contrairement à la volonté de son père. Le mathématicien allemand Lejeune Dirichlet (1805-1859) était son professeur et a eu une grande influence sur son travail.

En 1851, Riemann termina son doctorat sous la direction du grand mathématicien allemand K. F. Gauss (1777-1855) qui déclara: "Riemann possède une originalité glorieusement fertile." Un fait particulier est que la clé de certains des problèmes contemporains les plus essentiels réside dans une conjecture faite par Riemann.

Appelée l'hypothèse de Riemann, cette conjecture représente l'un des problèmes les plus importants en mathématiques.

Tout a commencé quand Euler a défini en 1740 une fonction désignée par la lettre grecque ς (lire "zeta"). La fonction zêta d'Euler associe chaque nombre réel supérieur à 1 à un nouveau nombre réel

.

Il est intéressant de noter qu'en remplaçant s au numéro 2, Euler a constaté que (2) = π2/ 6. Il a noté que cette fonction donnerait des informations sur le modèle des nombres premiers, et donc que la théorie analytique des nombres est née, c'est-à-dire l'étude des nombres premiers par le calcul appliqué à l'étude des propriétés de certaines fonctions complexes.

Les fonctions complexes sont des fonctions définies dans l'ensemble de nombres complexes qui prennent des valeurs complexes. Vous ne pouvez pas voir le graphique d'une telle fonction car elle a une dimension quatre. Cependant, il est possible, à l'aide d'un bon logiciel, d'obtenir les graphiques des parties réelles et imaginaires d'une telle fonction.

Notez qu'il existe de nombreuses fonctions zêta et certains mathématiciens disent souvent que la théorie des nombres est l'étude des fonctions zêta. Cependant, quelle est la relation entre les nombres premiers et la fonction zêta d'Euler?

Euler a démontré le théorème impressionnant qui dit que pour tout nombre réel s supérieur à 1, la fonction zêta est exprimée comme un produit infini de facteurs de la forme

quel que soit le nombre premier p, c'est-à-dire

.

Cette fonction a été étudiée en détail par Riemann lorsqu'il a remplacé le nombre réel s par un nombre complexe, ce qui a fait de la fonction zêta une fonction complexe. Autrement dit, ς (s) est le nombre complexe:

, pour Re (s) > 1.

Re (s) signifie la partie réelle du nombre complexe.

La fonction zêta n'est pas définie pour tous les nombres complexes. Cependant, Riemann a réalisé, en utilisant une technique de théorie des fonctions complexes, qu'il était possible d'étendre la fonction zêta à tous sauf au nombre complexe. z = 1. Ainsi, la fonction zêta est maintenant appelée fonction zêta de Riemann.

En 1859, Riemann a publié un brillant article de huit pages, son seul article dans la théorie des nombres, où il a utilisé la fonction zêta pour étudier le modèle des cousins. Son objectif était de démontrer la conjecture de Gauss, maintenant connue sous le nom de théorème des nombres premiers, qui affirmait que le nombre de nombres premiers compris entre 1 et xquand x c'est trop gros c'est sur x divisé par le logarithme naturel de xc'est-à-dire,

x / ln x.

Bien que Riemann n'ait pas réussi, son travail était très important pour le développement de la théorie analytique des nombres. Plusieurs résultats ont été obtenus par lui en étudiant les propriétés de cette fonction. Riemann a montré que les propriétés de cette fonction sont étroitement liées à la distribution des nombres premiers, c'est-à-dire à la séquence naturelle des nombres premiers dans l'ensemble des entiers positifs.

Riemann a tracé la voie des progrès futurs dans cette enquête sur une série de conjectures bien fondées, y compris la célèbre hypothèse de Riemann. En 1896, le mathématicien français J. Hadamard et le mathématicien belge C. J. de la Vallée-Poussin ont démontré indépendamment le théorème des nombres premiers en utilisant les idées développées par Riemann.

Considérons l'équation ς (s) = 0. Donc, tout nombre complexe s qui résout cette équation est appelée une équation «zéro».

Riemann a d'abord noté que les entiers pairs même négatifs -2, -4 -6,… sont des zéros de la fonction. Il a ensuite observé qu'il devrait y avoir des zéros complexes infinis, puis a hardiment conjecturé que tout autre zéro complexe de la fonction zêta a une partie réelle égale à ½, c'est-à-dire qu'ils ont la forme s = ½ + b i.

Par conséquent, tous les zéros de la fonction zêta qui ne sont pas des nombres réels seront sur la ligne verticale. x = ½. Cette ligne est souvent appelée ligne critique.

La première chose à noter est que les zéros de la ligne critique ne sont pas réels, ils sont placés symétriquement par rapport à l'axe réel et également par rapport à la ligne critique elle-même. C'est la fameuse hypothèse de Riemann. Il s'agit sans aucun doute d'un problème très important, car la connaissance des zéros de la fonction zêta se traduit par une compréhension plus approfondie de la distribution des nombres premiers.

Au premier semestre 2004, la preuve de cette conjecture a été annoncée par le mathématicien français Louis de Branges de Bourcia et est en cours d'examen par des spécialistes. Ce mathématicien avait précédemment annoncé qu'il avait démontré cette fameuse conjecture, mais des erreurs ont été trouvées dans ses démonstrations.

Les mathématiques exercent une grande fascination sur les hommes et certains millionnaires, sans être des mathématiciens, stimulent la recherche mathématique. C'est le cas de Landon Clay, magnat des fonds d'investissement et amoureux des mathématiques, qui a créé à Cambridge, Massachussets, une organisation à but non lucratif pour promouvoir et financer la recherche en mathématiques: le Clay Mathematics Institute (CMI). ).

Lors d'une réunion tenue au Collège de France à Paris en mai 2000, le COE a annoncé une offre de sept prix, chacun d'une valeur de 1 million de dollars, pour trouver des solutions à chacun des sept problèmes les plus importants, mathématiques les plus difficiles et les plus difficiles. Un petit comité de grands mathématiciens d'aujourd'hui a choisi ces problèmes, qui sont maintenant appelés les «problèmes du millénaire».

L'hypothèse de Riemann a été considérée comme l'un des problèmes du millénaire, car c'est le problème le plus important des mathématiques non résolues qui a des conséquences en physique et des répercussions profondes sur la théorie de l'information, comme, par exemple, la question de la sécurité Internet. Ces conséquences, qui représentent une composante essentielle de la vie d'aujourd'hui, feront l'objet de notre prochaine chronique.

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