+
Les articles

Entiers gaussiens et origines de la théorie algébrique des nombres II


Les mathématiques sont la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques.
C. F. Gauss

La théorie des nombres algébriques a été créée dans la seconde moitié du XIXe siècle dans les travaux des mathématiciens Ernest Kummer (1810-1893), Richard Dedekind (1831-1916) et Leopold Kronecker (1823-1891). Cette théorie a ses origines lorsque le mathématicien allemand Carl F. Gauss (1777-1855) a étendu l'idée de l'entier en définissant l'anneau des entiers algébriques gaussiens, Zje, et plus tard dans une tentative de démontrer le dernier théorème de Fermat. La théorie des nombres algébriques est l'une des théories les plus belles et les plus profondes de toutes les mathématiques.

La première motivation de cette recherche concerne la généralisation du théorème de représentation unique des entiers en tant que produit de nombres premiers, inférieurs à l'ordre des facteurs, aux entiers algébriques. Gauss a introduit l'anneau d'entiers algébriques, Zje, lors de son enquête sur les résidus bikadratiques, et a montré que dans cet anneau la factorisation en éléments premiers existe, et est unique moins que l'ordre des facteurs.

La factorisation d'un nombre dépend beaucoup de l'anneau auquel il appartient, et donc, pour généraliser l'unicité de la factorisation entière, il est nécessaire de travailler sur des sous-anneaux appropriés du corps de nombres complexes.

La deuxième motivation pour l'étude de l'arithmétique des nombres algébriques provient de la théorie des équations diophantiennes. Par exemple, une forme quadratique définie sur un anneau A est un polynôme homogène tel que les coefficients sont des éléments de A, c'est-à-dire des polynômes de la forme f(x, y) = Hache2 + Bxy + Cy2Un, B, C appartiennent à l'anneau A. Si nous prenons la forme quadratique sur l'anneau d'entiers

f(x, y) = x2 - D y2

D est un entier et ÖD n'est pas un entier, il peut être écrit sous la forme

f(x, y) = x2 - D y2 = (x - ÖD y). (x + ÖD y).

Par conséquent, la question de la possibilité de représentation entière r par r = le2 - DB2 = f(le, b) où le et b sont des nombres entiers, est reformulé en fonction de la factorisation des nombres algébriques de l'anneau ZÖD, c'est-à-dire les numéros du formulaire le + bÖD.

Ces motivations montrent clairement l'importance des anneaux Z ÖD et Z je.

Au début des années 1840, Kummer envisageait la forme de l'anneau des nombres.

<>

lep-<>

1V<>

p-<>

1<>

+ lep-2 V<>

p-<>

2<>

+… + le1V<>

+ le0

<>

lep-1, lep-2,… , le1 et le0 sont des nombres entiers, p est un nombre premier impair et V une racine primitive p-th de l'unité, c'est-à-dire un nombre complexe V tel que Vp = 1 et V Côme 1. Comme cet anneau n'a généralement pas la propriété d'une factorisation unique en nombres premiers, Kummer a corrigé cela en introduisant la notion de «nombres idéaux», qui a donné naissance à la notion d '«idéal» due à Dedekind, et a montré cela valait la factorisation unique en nombres premiers idéaux. Avec ce concept, il a démontré le dernier théorème de Fermat, dans de nombreux cas nouveau à l'époque, en utilisant l'identité de

xp - yp = (x - y) (x - Vy)… (x - Vp - 1y ) .

Cette théorie a pris une forme différente de ce que Kummer nous a légué. Cependant, les résultats profonds de Kummer sur les corps cyclotomiques, c'est-à-dire les corps de la forme Q (w) où w est une racine primitive non-th de l'unité, a servi de paradigme pour les chercheurs ultérieurs.

Il a fallu environ 30 ans à Kronecker et Dedekind pour trouver la généralisation correcte des nombres idéaux. Il a été noté qu'il était nécessaire de définir la notion d'entier algébrique.

Un entier algébrique est un type particulier de nombre complexe, c'est-à-dire un nombre complexe qui est la solution d'une équation polynomiale.

<>

lenonxnon<>

+ lenon-1 xnon-1+… + le1x + le0 = 0,

où tous les coefficients lenon, lenon-1,… , le1, le0 sont des entiers. Par exemple, l'unité imaginaire, je, est un entier algébrique car il satisfait l'équation x2 + 1 = 0. La racine carrée de 7, Ö7, est un entier algébrique car elle satisfait l'équation x2 - 7 = 0. Notez que les nombres je, Ö7 sont des exemples d'entiers algébriques et ne sont pas des entiers.

Les anneaux entiers algébriques représentent le concept central de la théorie des nombres algébriques. Pour être exact: un corps de nombres algébriques, K et ses correspondants anneau entier algébrique, DK. Un corps de nombres algébriques, K, est un sous-corps du corps de nombres complexes qui, lorsqu'il est considéré comme un espace vectoriel sur des rationnels, Q a une dimension finie. Les entiers algébriques contenus dans K forment un anneau DK, qui est la structure appropriée pour la généralisation de la factorisation unique en nombres premiers.

De manière générale: si w est un nombre algébrique arbitraire et que nous prenons le corps K = Q (w) alors considérons le sous-anneau distingué DK de K appelé l'anneau des entiers algébriques de K. Les éléments de DK sont des nombres complexes contenus dans K = Q (w) qui sont des solutions d'équations polynomiales

<>

lenonxnon<>

+ lenon-1 xnon-1+… + le1x + le0 = 0,

où tous les coefficients lenon, lenon-1,… , le1, le0 sont des entiers.

Notez que la relation entre DK et K est analogue à la relation entre Z et Q. Cependant, la factorisation principale a tendance à échouer pour les éléments d'anneau entier, mais pas pour les idéaux.

Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que lorsque nous prenons le corps K = Q (w), où w est un nombre algébrique arbitraire, alors l'anneau d'entiers algébriques n'est pas toujours de la forme DK = Z w. Par contre, il est vrai que Z w est contenu dans DK,parce que DK est un anneau contenant w. Par exemple, Q (Ö5) est un corps de nombres algébriques. En fait, le nombre complexe Ö5 est la racine du polynôme. p(x) = x2 - 5, donc un nombre algébrique, et Q (Ö5) est un espace vectoriel de dimension finie égal à 2 sur Q, une base étant l'ensemble {1, Ö5}. Cependant, Z Ö5 n'est pas votre anneau entier. En fait, le nombre complexe (1 + Ö5) / 2 est la racine du polynôme. p(x) = x2 - x - 1, donc un entier algébrique appartenant à Q (Ö5). Ainsi, le nombre complexe (1 + Ö5) / 2 appartient à l'anneau des entiers algébriques DK, mais n'appartient pas à Z (Ö5) car le nombre 1/2 n'est pas un entier.

Le mathématicien Dedekind a reformulé le concept de Kummer du nombre idéal, proposant le concept clé fondamental de "l'idéal" qui subsiste aujourd'hui. La définition de Dedekind est distincte de la définition de Kummer, mais il est démontré qu'elles sont équivalentes. Dans cette théorie, les blocs de construction essentiels sont les idéaux principaux. Il est démontré que dans les anneaux entiers algébriques, chaque idéal non nul a une factorisation unique des puissances des idéaux premiers.

La théorie des idéaux d'anneaux entiers algébriques a été créée pour fournir de nouvelles méthodes classiques de résolution de problèmes de la théorie des nombres. Le développement de méthodes en théorie des nombres algébriques reste un domaine de recherche important en théorie des nombres.

L'abstraction des propriétés les plus essentielles des anneaux algébriques entiers a donné naissance à des axiomes qui ont défini une nouvelle classe d'anneaux appelée Dedekind Domains, comme l'a démontré le brillant mathématicien allemand Emmy Noether (1882-1935). La classe de domaine de Dedekind est beaucoup plus grande que la classe d'origine des anneaux entiers algébriques. L'invariant de base d'un anneau Dedekind est son groupe de classes idéales, groupe de classe en anglais, et sa cardinalité est appelée le nombre de classes idéales, numéro de classe en anglais. Il s'agit généralement d'un groupe abélien infini. Cependant, c'est toujours un groupe fini pour les anneaux entiers algébriques.

Si l'on considère un corps de nombres algébriques K et son anneau d'entiers algébriques DK, on montre que l'anneau entier algébrique, DK, est un domaine de Dedekind. Être DK un anneau d'entiers algébriques la groupe de classe est fini et il est démontré que le numéro de classe est égal à 1 si, et seulement si, l'anneau entier, DK, a la propriété d'une factorisation unique.

La recherche des propriétés arithmétiques de l'anneau entier d'un corps de nombres algébriques est l'un des principaux objets d'investigation de la théorie des nombres algébriques. Il existe trois méthodes pour étudier l'arithmétique D.K. Kronecker a considéré les polynômes avec des coefficients DK. Dedekind a introduit la notion d’idéaux dans DKen définissant l'un des concepts les plus importants de l'algèbre. Hensel a introduit la méthode qui est actuellement appelée localisation.

Une grande partie de la théorie des nombres classique peut être exprimée dans le contexte de la théorie des nombres algébrique, et cette théorie est passée d'un outil à un objet d'investigation essentiel en théorie des nombres. Ce point de vue a été fortement souligné par le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) qui a eu une énorme influence sur le développement de la théorie des nombres. En conséquence, la théorie des nombres algébriques est une branche fertile, prospère et importante des mathématiques, avec des méthodes et des applications profondes non seulement en théorie des nombres elle-même, mais aussi en théorie des groupes, géométrie algébrique, algèbre commutative, topologie. , Analyse et K-Theory.

Retour aux colonnes

<