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Une descente infinie


L'équation diophantienne la plus connue est l'équation de Fermat x.non + ynon = znon. Lorsque n = 2, nous avons x² + y² = z² d'où nous obtenons les combinaisons pythagoriciennes. Sa solution est apparue au cours de l'Antiquité classique dans l'ouvrage "Les Éléments" du mathématicien grec Euclide. Le progrès suivant a été fait 1400 ans plus tard par Fermat, Leibniz et Euler. Depuis le 17e siècle, bon nombre des plus grands mathématiciens ont tenté sans succès de reconstituer la merveilleuse démonstration que Fermat prétendait avoir pour le fait que xnon + ynon = znon Il n'y a pas de solution pour les entiers et les positifs lorsque n> 2. Fermat a déclaré que cela ne correspondait pas à la marge de son exemplaire du livre de Diophantus "Arithmetica". Il est rapporté qu'en 1742, le plus grand mathématicien du XVIIIe siècle, Leonhard Euler, a demandé à son ami Clerôt de fouiller la maison de Fermat à la recherche d'un morceau de papier avec une indication de la démonstration de Fermat, mais rien n'a été trouvé. Cependant, Euler a donné la première démonstration correcte mais incomplète pour le cas de l'exposant n = 3.

Notez que si l'exposant n> 2 n'est pas un nombre premier, alors l'exposant est soit une puissance de deux, soit est divisible par un nombre premier impair p. Dans le premier cas, n = 4k et l'équation peut être réécrite comme

(xk)4 + (yk)4 = (zk)4. Cependant, Fermat a montré que la somme de deux quatrièmes puissances ne peut pas donner lieu à une quatrième puissance. Dans le deuxième cas, n = pk, et l'équation devient (xk)p + (yk)p = (zk)p Par conséquent, pour démontrer que l'équation n'a pas de solution aux puissances arbitraires entières, il suffit de démontrer que l'équation n'est pas soluble lorsque n = p, où p est un nombre premier impair. Nous pouvons encore simplifier le problème si nous observons que si x, y, z forment une solution de l'équation de Fermat et que deux d'entre eux sont divisibles par le même entier d, alors d divise également le troisième (par exemple, si d divise xp et zpalors il y a des entiers le et b tel que xp = de et zp = db; bientôt yp = zp - xp = db -de = d(le - b), et donc d est un diviseur de yp. Il suffit donc de déterminer deux à deux des solutions relativement proches. Ils sont appelés "primitifs". Si p est un nombre impair impair alors (-z)p = -zp et nous pouvons énoncer le théorème de Fermat comme suit: "si p est un cousin impair, alors xp + yp + zp = 0 n'a pas de solutions entières x, y, z qui sont relativement proches deux à deux et telles que xyz ≠ 0.

Dans le cas où n = 4, l'instruction est affectée à Fermat. Cette démonstration est basée sur une forme d'induction qu'il a inventée et appelée «méthode du descendant infini». Cette méthode a été appliquée avec succès à de nombreux autres problèmes et utilise la démonstration indirecte également connue sous le nom de démonstration "Reductio ad Absurdum". Ainsi, la contradiction provient de la négation de la thèse et nous concluons que la thèse originale est vraie. La méthode descendante peut être brièvement décrite comme suit: nous supposons qu'il existe une solution entière et positive à un problème, et à partir de là, nous montrons que nous pouvons obtenir une autre solution entière et positive plus petite que la précédente et continuer de cette manière. Cet argument est contradictoire parce que si nous partons d'une valeur positive et construisons une séquence décroissante de valeurs positives à partir de cette valeur donnée, après un nombre fini d'étapes, nous obtenons zéro ou des nombres négatifs. Nous arrivons donc à une contradiction qui découle de l'hypothèse que le problème a une solution entière et positive, et donc, par réduction à l'absurde, il s'ensuit que le problème n'a pas de solution. Dans la colonne suivante, nous démontrerons le cas n = 4 du théorème de Fermat en utilisant la méthode descendante.

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