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Principes et idéaux d'un étudiant en mathématiques du XXIe siècle (IV)


Qu'est-ce que «l'étude axiomatique des mathématiques»? Comment apprenez-vous et connaissez-vous les vérités mathématiques avec précision? L'élève qui ne se pose jamais ces questions ne commencera jamais vraiment son étude des mathématiques, du moins ces mathématiques fascinantes que nous avons héritées de gens comme David Hilbert. Nous sommes prêts pour deuxième principe. Ne vous y trompez pas! Si vous n'êtes pas capable d'alphabétiser par vous-même et correctement en mathématiques, personne ne le fera pour vous. Votre autonomie intellectuelle est votre seul espoir de vraiment progresser en mathématiques! Vous êtes en même temps libre de penser et condamné à vous méfier de chaque déclaration qui vous vient, jusqu'à ce que vous la fassiez vous-même ou que vous soyez convaincu que vous pourriez la faire.

Consultez donc tout ce que vous apprenez en mathématiques. À la fois ce qui est écrit dans les livres et ce que disent les enseignants ou leurs pairs. Ne laissez pas «vos propres pensées» et votre «intuition» s'échapper, car elles peuvent vous induire en erreur ou vous induire en erreur beaucoup plus facilement qu'il n'y paraît.

En 1931, le mathématicien Kurt Gödel à Vienne, en Autriche, a démontré que si les mathématiques, basées sur les Principia Mathematica de Russell et Whitehead, sont cohérentes, alors il existe des vérités mathématiques qui ne sont pas démontrables. Nous imaginons qu'il est embarrassant pour un étudiant en mathématiques, qu'il soit un futur professeur de mathématiques ou un futur baccalauréat en mathématiques, d'obtenir son diplôme sans ces connaissances fondamentales. Voici un critère plus simple, dérivé des deux premiers principes: Il est intéressant de savoir si vos efforts ne gaspillent pas les mathématiques obsolètes; Il est intéressant de voir par vous-même si vos études envisagent un minimum de connaissances en logique mathématique, par exemple, les notions des théorèmes d'incomplétude de Gödel et les informations selon lesquelles personne ne sait si les mathématiques sont cohérentes ou non!

En 1974, le mathématicien Gregory Chaitin s'est efforcé de montrer que "la plupart des vérités mathématiques sont indémontrables". L'étudiant en mathématiques conscientes ne se permettrait pas d'ignorer ce fait. Si Gödel a découvert qu '«il existe des vérités mathématiques indémontrables», ce n'est que 40 ans plus tard qu'il était intéressant de se demander si le nombre de vérités mathématiques indémontrables n'était pas seulement un nombre non pertinent. Mais Chaitin a attiré l'attention sur le fait que ce nombre n'est pas sans importance, au contraire, le nombre de vérités démontrables est qu'il est "petit"!

Nous qui écrivons ici, nous avons traversé toutes les écoles de premier cycle et des cycles supérieurs en ignorant ce fait. L'une des excuses est que dans les années 1970 ou 1980, l'information scientifique ne circulait pas aussi largement, efficacement et rapidement. Aujourd'hui, il est très facile de connaître les idées de Chaitin, il suffit de visiter son site Web sur Internet. Cette idée de Chaitin est sérieuse et a de grandes répercussions sur notre façon d'étudier les mathématiques. Si nous prenons ces informations dans leurs conséquences ultimes, nous devrons sérieusement envisager la possibilité de modifier en profondeur nos stratégies actuelles d'étude et de recherche. Nous ne nous attarderons pas sur cette discussion ici parce que notre objectif est simplement de suggérer quelques principes et idéaux qui, s'ils sont suivis par l'étudiant en mathématiques, sont efficaces pour élever votre conscience au sommet historique du 21e siècle. Par exemple, c'est le cas de ceux qui écrivent cette colonne qu'il est très facile de passer par un collège, en fait plusieurs, en ignorant les informations fondamentales qui font déjà partie des mathématiques.

Sans surprise, il existe de nombreux autres exemples. Ils sont même dramatiques. Dans les années 1970, alors que nous fréquentions notre premier collège, plusieurs révolutions spectaculaires ont eu lieu en mathématiques, dont nous avions une ignorance absolue!

Les étudiants régulièrement inscrits aux facultés de mathématiques du Brésil dans les années 1970 et 1980 étaient profondément occupés par leurs "anciens sujets mathématiques" et ne pouvaient pas à l'époque être conscients des révolutions spectaculaires qui avaient eu lieu dans divers domaines des mathématiques. Ce fut le cas de ceux qui écrivent cette chronique. Exemples: la découverte que les phénomènes non linéaires ne sont pas une partie non pertinente de la science, bien au contraire, ils sont presque la totalité de la nature!

Étonnamment, la découverte que les fonctions du premier et du deuxième degré révèlent déjà, si elles sont étudiées d'un certain point de vue, le monde fascinant du Chaos, l'émergence de l'Ordre au sein du Chaos, l'auto-organisation du Chaos, la bifurcation présente universellement. dans les phénomènes de la nature, la constante de Feigenbaum, la géométrie fractale (appelée par Mandelbrot "la vraie géométrie de la nature"), et bien plus que nous ne pouvions pas rapporter ici. En d'autres termes, la découverte fascinante et très sérieuse que l'imprévisibilité et l'irrégularité de la nature sont déjà présentes dans le comportement des fonctions «ridiculement simples, à une variable»!

Nos suggestions visent quelque peu à éviter que «notre perte de temps» ne soit répétée par les étudiants actuels qui aiment les mathématiques et soupçonnent que c'est très important. Personne ici ne prétend qu'il est facile de fréquenter une faculté de mathématiques tout en prenant conscience des principaux faits qui révolutionnent et font progresser les mathématiques chaque jour. Mais il y a des faits que l'étudiant en mathématiques n'acceptera jamais d'ignorer. Pour cela, il doit suivre certains nobles principes et idéaux qui le guideront le long d'un chemin qui contient les principaux paysages à voir. Comment troisième principe Nous suggérons ce qui suit: chercher à distinguer les livres et les textes, qui diffusent de manière didactique les connaissances mathématiques, des livres écrits pour des spécialistes dans un certain domaine.

L'étudiant en mathématiques doit rechercher des livres et des textes qui révèlent honnêtement et avec compétence les connaissances mathématiques à un débutant. Malheureusement, il existe des livres qui, au lieu d'aider, entravent et peuvent même causer des dommages irréparables à l'éducation des étudiants. Un livre n'est pas exempt d'erreurs simplement parce qu'il s'agit d'un livre publié. L'élève doit savoir que même de bons livres peuvent contenir de graves erreurs. Ainsi l'élève prudent cherchera toujours à s'informer sur un sujet particulier, quel qu'il soit, à travers plusieurs livres, disons au moins 3! C'est un nombre arbitraire, «un coup de pied», mais c'est bien mieux qu'une seule source et encore mieux que seulement deux sources de référence.

Certains «signes» suggèrent la mauvaise qualité d'un livre ou son inefficacité pour les progrès des élèves. Par exemple, nous sommes récemment entrés en contact avec un tableur «nouveau sur le marché» sans indice. L'éditeur n'a donné aucune raison pour mettre un autre livre de calcul sur le marché, ce qui est étrange car il existe déjà des centaines de bons livres de calcul disponibles à l'achat. L'élève doit chercher une bonne raison d'étudier un livre. Si le livre n'a pas d'index, alors il peut avoir été commercialisé au grand mépris de l'éditeur par les lecteurs, car l'index est d'une grande importance pour toute stratégie de lecture et d'étude.

Un autre exemple: chaque fois que nous examinons un livre de calcul de diverses variables, nous recherchons la démonstration du théorème de Stokes; s'il nous semble bien expliqué, intelligible et correct, alors nous aurons une grande attirance pour ce livre. Un autre exemple vient d'Algèbre: Un livre sur la théorie des groupes qui ne présente pas les théorèmes de Sylow dans sa forme complète, y compris la stratégie de démonstration d'action de groupe découverte par Wielandt, ne mérite pas la crédibilité de l'étudiant du 21e siècle. L'importance de ces théorèmes et la beauté de la démonstration de Wielandt sont incontournables pour un esprit de l'ère de l'information et de la connaissance.

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